指数与指数函数复习学案

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指数函数复习学案

指数与指数函数【知识梳理】1.根式 ⑴根式的概念⑵两个重要公式:①⎩⎨⎧=n n a ②()a a n n =（注意a 必须使n a 有意义）．2.有理数指数幂 ⑴幂的有关概念 ①正整数指数幂：n a = )(+∈N n ；②零指数幂：a = )0(≠a ；③负整数指数幂：n a -= )0,(≠∈+a N n④正分数指数幂：=n ma ()均为正整数、n m a ,0>；⑤负分数指数幂：_____________==n ma -()均为正整数、n m a ,0>；⑥0的正分数指数幂等于_________ ，0的负分数指数幂_________ (2)性质①s t a a = ② ()_________=t s a ③()t ab = 其中,,0,0s t Q a b ∈>>． 3.指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数．4.指数函数图像与性质【例题讲解】【例1】填空题：(1)比较下列各组数值大小：①n m 2.02.0<，则n m ,的大小关系； ②1.23.38.0______7.1； ③3.38.07.04.3______． (2)函数a y x +=+13的图象不经过第二象限，则实数a 的取值范围．(3)对任意的R x x ∈21,，若函数x x f 2)(=，试比较2)()(21x f x f +与⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x f 的大小关系【例2】设函数)(2112R a a y x x ∈+-⋅=是R 上的奇函数. ⑴求a 的值；⑵求)(x f 的值域；⑶判断)(x f 在R 上的单调性，并加以证明．【例3】函数122)21(++-=x x y 求定义域，值域，单调增区间【练习反馈】1．方程151243=-x的解集为． 2．当0>x时，函数x a x f )1()(2-=的值总大于1，则实数a 的取值范围是． 3．函数[]2,1)10(在且≠>=a a a y x 上的最大值比最小值大2a ，则=a ． 4.已知函数)(x f y =的图象与函数12-=-x y 的图象关于y 轴对称，则=)4(f ． 6．设1.19.01.12,1.1,9.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系为．7．若,31=+-aa 则=--2323a a ． 8．若直线a y 2=与函数)10(1≠>-=a a a y x 且的图象有两个公共点，则a 的取值范围是9．⑴已知2)41(22-+≤x x x ，求函数x x y --=22的值域； 10设,20≤≤x 求函数，5234)(21+⋅-=-x x x f 的最大值最小值．。

指数与指数函数的复习教案

指数与指数幂的运算教学目的:1、理解分数指数幂和根式的概念；2、掌握分数指数幂和根式之间的互化；3、掌握分数指数幂的运算性质；教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；教学难点：分数指数幂及根式概念的理解一、复习什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零. 二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根（nthroot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a 的n用.n 为奇数时，a 的nn 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？n a n a n a n ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n0=举例：16的4次方根为2±，275-的27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.根据n次方根的意义，可得：n a=n a=a n的n a=一定成立吗？通过探究得到：n a=n为偶数,,0 ||,0a aaa a≥⎧==⎨-<⎩|8|8==-=-=小结：当n再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）(1)(2)(3)(4)分析：当n||a=，然后再去绝对值.n=是否成立，举例说明.课堂练习：1.求出下列各式的值(1)a≤21,a a=-求的取值范围.3三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n 为偶数时，x =2．掌握两个公式：(0),||(0)n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时分数指数幂的运算1．习初中时的整数指数幂，运算性质？00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义1(0)n na a a -=≠;()m n m n m n mn a a a a a +⋅==(),()n m mn n n n a a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.2．观察以下式子，并总结出规律：a ＞0① 1025a a === ②842a a ===③1234a a === 1025a a ===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：23(0)a a ==> 12(0)b b ==>54(0)c c ==>*(0,,1)m na a n N n =>∈>为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：*0,,)m na a m n N =>∈正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,,)m nm naa m n N a-=>∈规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)n mmmma a a a a =⋅⋅⋅⋅>由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈ （2）()(0,,)r S rs a a a r s Q =>∈ （3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ⋅=>>∈若a ＞0，P 是一个无理数，则P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P 62——P 62.所以，的近似值从小于的方向逼近.向逼近，所以，.一般来说，无理数指数幂(0,)p a a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈3．例题（1）．求值解：① 2223323338(2)224⨯====② 1112()21222125(5)555--⨯--====③ 5151(5)1()(2)2322----⨯-===④334()344162227()()()81338-⨯--===（2）．用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）解：117333222a a a aa +=⋅==228222333a a a a a +⋅==421332()a a ====分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 课堂练习：补充练习：1. 计算：122121(2)()248n n n ++-⋅的结果2. 若13107310333,384,[()]n a a a a a -==⋅求的值小结：1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数.3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.例1．计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（2）31884 () m n-分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解：（1）原式=211115326236 [2(6)(3)]a b+-+-⨯-÷-=0 4ab =4a（2）原式=318884()() m n-=23m n-例2．（P61例5）计算下列各式（1）（22(a＞0）分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解：（1）原式=111324 (25125)25-÷=231322 (55)5-÷=2131 3222 55---=1655-= 5（2）原式=125222362132a aa a a--===⋅小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数. 课堂练习：化简：（1）2932)-（2（3）归纳小结：1．熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.指数函数及其性质指数函数的定义一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.若a =1, 11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究a ＞1的情况用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2xy =的图象.从图中我们看出12()2xxy y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2xxy y y ==与的图象关于轴对称,实质是2xy =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2xx y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x xx x y y y y ====的函数图象.问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看x y a =（a ＞1）与xy a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.xx问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.问题3：指数函数xy a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系. 5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[,]xa b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或（2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；例题：例1：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.分析：要求(0),(1),(3),,x f f f a x π-13的值,只需求出得出f()=()再把0，1，3分别代入x ，即可求得(0),(1),(3)f f f -.课堂练习：P 68 练习：第1，2，3题补充练习：1、函数1()()2x f x =的定义域和值域分别是多少?2、当[1,1],()32x x f x ∈-=-时函数的值域是多少?解（1）,0x R y ∈>（2）（－53，１）例2：求下列函数的定义域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =分析：类为(1,0)x y a a a =≠>的定义域是R ，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得 .3．归纳小结1、理解指数函数(0),101x y a a a a =>><<注意与两种情况。

高中数学_指数与指数函数单元复习教学设计学情分析教材分析课后反思

指数函数单元复习教材分析：指数函数是学生对指数幂与基本初等函数的初始认识，是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型.本节课是学生在已掌握了指数幂基本运算与指数函数的图像与性质的基础上，运用所学知识来解决一些实际问题，培养学生数学应用意识.为后面对数与对数函数和幂函数的学习打下坚实的基础，有助于后面类比法数学思想的实施.教学目标：（一）知识目标1、理解根式的概念与表示方法.了解指数函数模型背景及实用性、必要性.2、使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.3、理解并掌握指数函数及其图象的性质，并能熟练解决相关问题.（二）能力目标1. 培养学生基本的运算能力.2．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力.3．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力.4．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力.（三）价值目标1．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质.2．培养学生观察分析、抽象概括能力、数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力.3．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用.复习指导：1.熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是得分的保证，所以熟练掌握这一技能是重中之重.2.本节复习，还应结合具体事例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质.重点解决：（1）指数幂的运算：（2）指数函数的图象和性质.教学重点：指数幂的运算、指数函数的图象和性质.教学难点：指数函数的图象和性质的应用教学方法：自主与分小组讨论结合. 教学过程：1．指数函数：叫做指数函数，其中x是自变量.2．指数函数的图象和性质：解析式xy a=定义域R值域()0,+∞图象1>a10<<a函数值函数的图象恒过_______点. 当0>x时，当0<x时，当0>x时，当0<x时，单调性在()+∞∞-,上是___函数.在()+∞∞-,上是___函数.奇偶性师：以幻灯片的形式展示给学生.生：完成空白部分的填写师生：共通对填写的结果辨别，修改错误之处.让学生重新回顾指数函数的图象及其性质，为其应用做好准备，让学生展示填写结果，让学生有自主参与课堂的意识.3分钟群策群力底数对图象的影响1>a时，图象像一撇，且在y轴右侧a越大，图象越靠近y轴(如图1)；01a<<时，图象像一捺，且在y轴左侧a越小，图象越靠近y轴(如图2)思考: xy a=与xay-=的图象有何关系？师：以幻灯片的形式将问题展示给学生生：小组讨论出结果，以小组形式将结果展示出来师生：共同修正结果，做出总结.复习指数函数的图象后，让学生用数形结合的思想解决该问题，同时强调特例法在数学中的应用.3分钟xOy1y=1y=O xy学以致用：（一）指数与指数幂的运算部分例1.(1)计算：1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+⨯+⨯-[解题思路] 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算.[解析]原式1111113633344222()1(2)2(23)()242711033=⨯+⨯+⨯-=+⨯=（2）化简46394369)()(a a ⋅的结果为A ．a16B ．a8C ．a4D ．a 2[解题思路]根式有多重时，按从内到外的顺序化简牛刀小试：计算：()1 )0,0(3224>>⋅-b a ab b a（2）12112133265····a b a b a b---⎛⎫ ⎪⎝⎭（二）指数函数与性质部分 1）定义的考查：例2．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ＞0且a≠1 分析：主要考察指数函数的定义xy a =中系数为“1”.练习：指数函数y ＝f (x )的图象经过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________关于y 轴对称方法总结主要方法：（1）指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，再利用指数函数的单调性求解；(2)确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论；(3)要注意运用数形结合思想解决问题.师：提出问题生：讨论总结出结果师生：共同对所总结方法补充完整，得到最终结果.通过总结让学生对所学知识有一个整体认识1分钟2）定义域与值域的应用例3.函数12-=x y 的定义域为，值域为注：定义域是使表达式有意义的x 的取值范围，值域求解时结合图象或函数单调性. 练习：求函数12xy = 的定义域与值域 3）图象的考察：例4.（1）函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如右图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是 ( A )注：图象的关键是底与“1”的大小决定图象的单调情况.练习：函数y ＝2－x的图象是图中的( )4）单调性的应用：类型一：比较大小例5. 比较下列各数的大小（按从小到大的顺序排列）5353537.0,7.0,7.1===-c b a练习：比较大小（1）2.05.05.0,5.0 ② 3 33类型二：解不等式例6．不等式282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为注：解指数不等式应将两侧化成同底指数，利用单调性得出指数部分的大小.练习：求不等式2741x x a a -->中的x 的取值范围5）过定点问题例7．函数y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)的图象经过的定点坐标是( ) A ．(0,1) B ．(2,1) C ．(－2,0) D ．(－2,1) 注：指数函数恒过定点（0,1），指数型函数的图象是将指数函数图象平移的结果，定点也随着移动而移动，也可以采取变量替换的思想去计算.练习：函数12x y a-=+(0,1)a a >≠且的图象恒过定点_________.6）底数大小对图象位置的影响：例8. 如图所示是指数函数的图象，已知a 的值取2，43，310，15，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 依次为________．注：先用“1”分类，同类的再结合底的大小与图象和坐标轴距离的关系得出结论.设计意图：在进行完基本内容的复习后，针对每个知识点给出对应的例题和练习题，让学生学会知识点的应用，同时加深对知识的理解，让学生有个“理论联系实际”的过程. 本节小结：1）指数幂运算要化成分数指数幂的形式，利用运算法则运算，多重根式要从內至外依次展开.2）有关指数函数的问题要结合图象作出思考，即数形结合数学思想的应用. 作业：必做题：1.计算43(22)的结果是( ) (A)22(B)2 (C) 2 (D)2 2 2.若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则a 的值为( ) (A)3 (B)2 (C)-2 (D)123.设a=22.5,b=2.50,c=()2.5,则a,b,c 的大小关系是( ) (A)a>c>b(B)c>a>b (C)a>b>c(D)b>a>c4．(广州)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b b a >b，则f (x )＝2x⊕2－x的图象是( )5.已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是( )6.()1xf x a b =+-（0a >，且1a ≠）的图经过第二、三、四象限，则一定 A ．010><>b a 且 C ．010<<b a 且选做题：1. 若指数函数()xf x a =在[]1,1-上的最大值与最小值的差是1，求a 的值2.4()42xx f x =+，若01a <<，试求下列式子的值：（1）()(1)f a f a +-；（2）1231000()()()()1001100110011001f f f f +++⋅⋅⋅+3. 已知定义域为R 的函数f(x)=22xxb a -+是奇函数. (1)求a,b 的值.(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.(3)若对于任意t ∈R,不等式f(t 2-2t)+f(2t 2-k)<0恒成立,求k 的范围.设计意图：在分层教学的需求下，习题分必做和选做，适合因材施教的要求.照顾到全体同学的需求，既让能力较差学生跟得上，也让学有余力的同学“吃得饱”.学情分析本节的学习内容是普通高中新课程标准实验教科书《数学必修1》（人教A 版）第二章每一节指数函数的单元复习课.函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中.而指数函数作为重要的基本初等函数之一，是高中所研究的第一种函数，指数函数的学习有助于加深学生对函数概念的理解，也有助于理解函数的应用价值.同时指数函数的学习也为今后研究其他函数提供了可供借鉴的方法和模式，指数函数在高中数学知识体系中起到了承上启下的作用，在整个高中数学课程中占有重要的地位.教学对象是刚步入高中的学生，学生系统地学习了函数概念及性质，掌握了指数与指数幂的运算以及指数函数的图像与性质的基础上展开复习的.虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也逐步形成，但对函数的研究方法虽然在初中的基础上有所进步，但对函数的掌握与应用仍然不熟练.通过本节的教学，让学生在初步掌握指数函数的基础上进一步加深对指数函数的理解.通过本节学习，学生为后面用类比法学习对数函数、幂函数等其它函数奠定更为坚实的基础.学生课前根据《导学案》内容，回顾学过的知识，对于基础较差同学，要求掌握基本的定义公式及图像与性质，会解决较容易的题目，并通过向基础较好的同学学习、探讨，巩固基础的同时，提高自己的能力；基础较好的同学负责几个基础较差的同学的学习掌握情况，在掌握基本的定义公式及图像与性质的基础上，通过给同学讲解，发现自己的不足.效果分析通过本节复习情况来看，学生掌握情况普遍较好，通过学生的评测练习的解答情况来看，大部分学生对指数幂的运算及指数函数的图像与性质的掌握情况良好.练习都是对于基础内容的考查，大部分学生解答情况良好.指数幂的运算部分,在讲解之前,部分学生根据预习可以做出正确答案,但缺少数学思想的归纳,甚至有些同学得出错误的结论.在讲解后,学生重新思考修改,对本类题型有了新的认识,从例题到思考题做的效果都很好.指数函数的定义部分练习,由于形式固定,计算不复杂,全体同学一起通过,没有出现错误;但在定义域与值域的考察题上,小数同学缺乏变量替换的意识,使值域计算错误;图象复习部分,基本图像学生都会,但针对题目,需一步转化过程,少数同学转化出现问题,使该题错误,究其原因,是对图像形成缺少理解.单调性的三个应用掌握情况良好,在本部分也相对应做出总结,学生更进一步理解内容并更好地应用;图像过定点问题,题目较简单,做的效果良好,但也让学生了解除了平移的思想还有变量替换的思想更适合于该种题型.在评测练习的答题情况中, 1，2，3,6,7,8,9,10题做的很好，没有出现错误。

高三复习学案指数与指数函数

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二．条件求值证明问题见数学之友第 21 页例题 1.
三．幂、指数函数单调性的运用见数学之友第 21 页例题 2.
2
指数与指数函数
1． 3 a 6 a 的值为（）
A． a
B． a
C． a
D． a
2．下列结论中，正确的命题的个数是（） 3
①当 a<0 时， (a 21) 2 a 3 ；② n a n | a | ； ③函数 y (x 2) 2 (3x 7)0 的定义域为 (0, ) ；④若 (n a ) n 与 n a n 相同。
①当 n 为奇数时， n a n =a.
②当
n 为偶数时， n
an
a =|a|= a
(a 0), (a 0).
（3）分数指数幂的意义
m
①a n = n a m （a＞0，m、n 都是正整数，n＞1）.
m
②a n =
1
=
1
（a＞0，m、n 都是正整数，n＞1）.
m
an
n am
2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数 y=ax（a＞0 且 a≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象（3）指数函数的性质 ①定义域：R. ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即 x=0 时，y=1. ④当 a＞1 时，在 R 上是增函数；当 0＜a＜1 时，在 R 上是减函数.
A．0
B．1
C．2
D．3
3．化简 a 4 (1 a) 4 的结果是( )
A．1
B．2a－1
C．1 或 2a－1
D．0
4．如果 a，b 都是实数，则下列实数一定成立的是（）
A． 3 a 3 b 2 a b

高三数学复习专题8 指数与指数函数学案理苏科版学案

word学案8 指数与指数函数【导学引领】（一）考点梳理 1．根式 (1)根式的概念如果一个实数x 满足x n＝a (n >1，n ∈N *)，那么称x 为a 的n 次方根．式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数．这时，a 的n 次实数方根只有一个，记为x ＝na .②当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数．这时，正数a 的正的n 次实数方根用符号n a 表示，负的n 次实数方根用符号－n a 表示，它们可以合并写成±na (an 次实数方根等于0. ③(na )n＝a .④当n 为奇数时，na n＝a . 当n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥0，－a a ＜0.⑤负数没有偶次方根． 2．分数指数幂的意义(1)a mn＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(2)a －m n ＝1a mn＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．3．指数幂的运算规律a s a t ＝a s ＋t ，(a s )t ＝a st ，(ab )t ＝a t b t ，其中s 、t ∈Q ，a >0，b >0.4．指数函数的图象与性质y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域性质过定点当x ＞0时，；x ＜0时，当x ＞0时，x ＜0时，在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是【自学检测】1．已知f (x )＝2x＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )＝________.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，a x，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 值等于________．3．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 4．已知a ＝2，b ＝，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________．5．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )＜－12的解集是________．【合作释疑】指数幂的运算【训练1】计算下列各式：(1)1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋8×42＋(32×3)6－⎝ ⎛⎭⎪⎫2323； (2)a 43－8a 13ba 23＋23ab ＋4b23÷⎝⎛⎭⎪⎫1－2 3b a ×3a ；【训练2】化简下列各式(其中各字母均为正数)：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23·b －1－12·a －12·b 136a ·b 5；(2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312.指数函数的图象及应用【训练1】 (1)已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值X 围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2.若存在x 1，x 2，且0≤x 1<x 2<2时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 2)的取值X 围是________．【训练2】如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x的图象于点C .若AC 平行于y 轴．求点A 的坐标．指数函数的性质及应用【训练1】 (1)设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．【训练2】已知f (x )＝a －12x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f (x )的值域为________．【训练3】已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值X 围．【当堂达标】1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <0，则f (f (－4))＝________.2．若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.3．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值X 围是________． 4．已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值X 围．【课后作业】1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a ＝________.2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是周期为2的周期函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x－1，则f (log 126)＝________.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x，x ≤0，f x －1，x >0，则f (f (－1))＝________.4．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ≤0，f x －1－f x －2，x ＞0，则f (2 010)＝________.5．已知函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则g (0)，g (2)，g (3)的大小关系是________．6．已知1＋2x＋4x·a ＞0对一切x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数a 的取值X 围是________． 7．已知函数f (x )＝2x－12x (x ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性与奇偶性；(2)若2xf (2x )＋mf (x )≥0对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立，求m 的取值X 围． 8．已知函数f (x )＝a x－24－a x－1(a >0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域、值域；(2)某某数a 的取值X 围，使得当定义域为[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立．。

指数与指数函数复习教案

指数函数要求①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.④知道指数函数是一类重要的函数模型.1 根式根式的概念：符号表示备注如果xn=a，那么x叫做a的n次方根n>1且n属于N+ 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数（）零的n次方根是零负数的n次方根是一个负数当n为偶数时。

正数的n次方根有两个，（）负数没有偶次方根他们互为相反数两个重要公式：1（）备课笔记2（）2 分数指数幂1 正数的正分数指数幂是（）2 正数的负分数指数幂是（）3 0的正分数指数幂是0,0的复分数指数幂无意义4 有理指数幂的运算性质：ar。

as=ar+s （a>0，r，s属于Q）（ar）s=ars （a>0，r，s属于Q）（ab）r= ar as （a>0，b>0，r属于Q）3 指数函数的定义：y=ax （a>0 且a不等于1）叫指数函数，定义域：实数集R性质1 y>0图像经过（0，1）非奇非偶函数a>1，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1a>1，y=ax为增函数，0<a<1时，y=ax为减函数画指数函数y=ax图像，应抓住3个关键点：（1，a），（0，a），（-1,1/a）熟记指数函数y=10x，y=2x，y=（1 / 10）x，y=(1 /2)x在同一坐标系中图像的相对位置4 指数函数的类型及解法（在指数里含有未知数的方程叫指数方程）指数方程的可解类型可分为 1 形如af（x）=ag（x）（a>0 且a不等于1）化为f（x）=g（x）求解2形如af（x）=bg（x）（a>0 ，b>0且a，b均不等于1）的方程，两边同时取对数3 形如a2x+b。

ax+c=0的方程，换元法求解5 指数函数的有关复合函数问题1 函数y= af（x）的定义域与f（x）的定义域相同2 求y= af（x）的值域：先确定f（x）的值域，再根据指数函数的值域，单调性求解3 求单调性先分析，再求解。

2023年高三数学指数学案

平陆中学高三年级理科数学学案《指数与指数函数》学习目标1. 能够准确熟练进行知识点梳理；2. 能够熟练进行指数运算，保证每一步骤的正确性；3. 会画指数函数及指数型函数的图象，并且会根据图象熟练总结指数函数的性质，进而可以运用性质解决几类问题；4. 能够分析与指数函数相关的复合函数的性质，达到解决问题的目的。

学习重点理解指数函数的图象和性质学习难点掌握指数函数的应用以及求解相关复合函数的性质的方法学习过程一．知识梳理1．根式 (1)根式的概念①若，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． ②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒ x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n ＝＝ (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂．(2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． ②(a r )s ＝ (a >0，r ，s ∈Q )． ③(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4（π－4）4＝π－4.( )(2)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) (3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (4)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( )(5)若a m >a n ，则m >n .( )(教材习题改编)有下列四个式子： ① 3（－8）3＝－8；②（－10）2＝－10； ③4（3－π）4＝3－π；④2 018（a －b ）2 018＝a －b .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2018·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2| C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )函数f (x )＝1－e x 的值域为________．(教材习题改编)若指数函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．三．典例分析例题一. 化简下列各式：(1)0.027－13－⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)12·ab .【方法总结】例题二. 若方程|3x －1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．【方法总结】1.指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．2. 指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质．例题三.(1) 比较指数幂的大小已知a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝2－43，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则下列关系式中正确的是( ) A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c(2) 解简单的指数方程或不等式设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(3)研究指数型函数的性质函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0，4]D ．[4，＋∞) 【方法总结】四．巩固练习1. 化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝⎛⎭⎫27125－13－⎝⎛⎭⎫2790.5； (2)⎝⎛⎭⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.2. (1) 函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2) 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．3．已知函数y ＝9x ＋m ·3x －3在区间[－2，2]上单调递减，则m 的取值范围为________．五．课堂小结六．作业㈠.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．㈡基础达标1．化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a 3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab2．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数3．(2018·湖北四市联考)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )4．若2x 2＋1≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x 的值域是( )A ．[18，2)B ．[18，2]C ．(－∞，18]D ．[2，＋∞)5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]6．化简：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5＝________． 7．(2018·陕西西安模拟)若函数f (x )＝a x －2－2a (a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎝⎛⎭⎫x 0，13，则函数f (x )在[0，3]上的最小值等于________．8．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________． 9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值．10．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )． (1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件．1．(2018·河南濮阳检测)若“m >a ”是函数“f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．12．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) 3．若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．5．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 6．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．。

[修订]指数与指数函数复习学案.doc

指数与指数函数复习学案复习目标：1・了解指数函数模型的实际背景.2•理解有理数指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算.3•理解指数函数的概念，掌握指数函数的性质.4 •知道指数函数是一类重要的函数模型.忆一忆知识要点1 •根式(1)根式的概念如果存在实数x, W x n=a(aGR, n>l, nWN+),则x叫做______________________ ・求a的n次方根，叫做把_________ ,称作开方运算.式子茁叫做___________ ,这里n叫做_______ , a叫做被开方数.(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时,a的n次方根用符号_______ 表示.②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号_______ 表示，负的n次方根用符号 _______ 表示.正负两个n次方根可以合写为______ (a>0).@(茁)"= _____ ・④当n为奇数时，冷= ___________ 当n为偶数时，*/ = |a|=・⑤负数没有偶次方根.2.有理数指数幕(1)幕的有关概念①正整数指数幕：a—aa…・a (nEN+).②零指数幕：a°= __________ (aHO)・X--- V --- '斤个③负整数指数幕：3一P=____ (aHO, pWN+)・rti④正分数指数幕：亦= ________ (a>0, m、nGN+,且半为既约分数).⑤负分数指数幕：上丿= __________ =丄(a>0,m>nGN+,且芋为既约分数).⑥0的正分数指数幕等于____ ,0的负分数指数幕 ____________.(2)有理数指数幕的性质®a tt a p= ________ (a>0, a、卩GQ)；②(a tt)p= ________ (a>0, «> peQ)；③ ____________ (ab)tt = (a>0, b>0, a EQ). 3. 指数函数的图象与性质y=a x a>l0<a<l图象『iy=^ *__zLro\ 1 Xo\ 1 X定义域 (1)值域(2)性质(3)过定点⑷当x>0时，；x<0 时， ⑸当x>0时，；xV)时，(6)在(一8, +8)上是(7)在(一8, +8)上是1.用分数指数幕表示下列各式.(1)疔= __________ ； (2)J(d+b)? ((a + b)>0)= __________ 2.化简[(—2)6] 2—(—1)。

指数及指数函数——导学案(高三一轮复习)

第4讲指数与指数函数2023.9.14课标解读1. 通过认识有理数指数幂、实数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质；2. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3. 能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．必备知识自主学习知|识|梳|理1．根式(1)如果x n ＝a ，那么叫做a 的n 次方根．(2)式子n a 叫做，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (3)(n a )n ＝ .当n 为奇数时，n a n ＝，当n 为偶数时，n a n ＝＝ . 2．分数指数幂正数的正分数指数幂，n m a＝ (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，n ma＝＝ (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 0的正分数指数幂为 ,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝；(a r )s ＝；(ab )r ＝ (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10＜a＜1图象定义域值域性质图象过定点，即x＝0时，y＝1当x>0时，；当x＜0时，当x＜0时，；当x>0时，在(－∞，＋∞)上是16在(－∞，＋∞)上是17基|础|自|测1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.( )(2)分数指数幂可以理解为mn个a相乘．( )(3)函数y＝2x－1是指数函数．( )(4)函数y＝(a>1)的值域是(0，＋∞)．( )2．化简：÷（13a）(a>0)＝()A．6a B．－a C．－9a D．9a2 3．函数f(x)＝2x－1的值域为．命题点1 指数幂的运算例1 (1)某灭活疫苗的有效保存时间T (单位：小时h)与储藏的温度t (单位：℃)满足的函数关系为T ＝e kt ＋b (k ，b 为常数)，超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0 ℃时的有效保存时间是1 080 h ，在10 ℃时的有效保存时间是120 h ，则该疫苗在15 ℃时的有效保存时间为( )A ．15 hB ．30 hC ．40 hD ．60 h(2) 化简求值：＝ .(3) 已知a 2x ＝5，则a 3x －a －3x a x －a －x ＝ .针对训练1．(多选)下列运算正确的是( )A.(m n )7＝m 7·(m >0，n >0) B.12(－3)4＝1234＝33 C.4x 3＋y 3＝(x >0，y >0) D.39＝332．(2023·山西太原质检)计算：－(−17)−2＋－3－1＋(2－1)0＝ .命题点2 指数函数的图象及应用例2 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是________．[母题探究]1．(变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝m有两个不同实根，则实数m的取值范围是________．2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．针对训练1．(2023·山东济南摸底)已知函数y＝f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝1，当x>1时，f(x)＝2x－1，则f(x－1)<2的解集是．2．若直线y＝a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，则a的取值范围是．当堂小结课后作业：1、预习指数及指数函数的性质2、完成对应作业。

高三数学高考考前复习指数与指数函数教案

学习必备欢迎下载第二章指数函数与对数函数及函数的应用一、知识网络基本初等函数 ( Ⅰ )函数的应用指数函数对数函数幂函数函数的零点整数指数幂函数与方程定义有理指数幂指数对数运算性质二分法无理指数幂指数函数对数函数函数模型及其应用互为反函数几类不同增长的函数模型定义定义用已知函数模型解决问题图像与性质图像与性质建立实际问题的函数模型二、课标要求和最新考纲要求1、指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

2、对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3、知道指数函数y a x与对数函数y log a x 互为反函数（a＞0，a≠1）。

4、函数与方程（1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

（2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。

能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数 .5、函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。

知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

（3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

指数与指数函数 (1)

函数一轮复习学案五（指数与指数函数）知识梳理一．指数的概念与分数指数幂1、根式的概念：一般地，如果一个数的n 次方等于)1(*N n n a ∈>且,那么这个数叫做a 的n 次方根。

也就是说，若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，其中*1N n n ∈>且。

式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。

2、根式的性质：（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n 次方根用符号n a 表示。

（2）当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示。

正负两个n 次方根能够合写为)0(>±a a n 。

此时，负数没有n 次方根。

（3）()a a nn=；（4）当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a n n（5）零的任何次方根都是零。

3、分数指数幂的意义：（1）)1,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 且，；（2）)1,,0(1≥∈>=⨯-n N n m a aanm nm ，且4、指数的运算法则：（1）),,0(Q s Q r a aa a sr sr∈∈>=⋅+；（2））（Q s Q r a a a a sr sr∈∈>=÷-,,0 （3）()),,0(Q s Q r a a a rs sr∈∈>=；（4）()),,0(Q s Q r a a a ab sr r∈∈>⋅=二．指数函数的图像和性质1、指数函数的概念：一般地，函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，的定义域是R 。

3、深化：（1）指数函数的定义必须符合xa y =才能够，如函数xy 32⨯=不是指数函数。

高考数学总复习指数与指数函数学案理北师大版

学案7指数与指数函数导学目标： 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a 的n次方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号________表示，负的n次方根用符号________表示．正负两个n次方根可以合写成________(a>0)．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是mna-＝____________＝______________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是______，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a r a s＝________(a>0，r，s∈Q)．②(a r)s＝________(a>0，r，s∈Q)．③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)．自我检测 1．下列结论正确的个数是( )①当a <0时，232)(a ＝a 3； ②na n ＝|a |；③函数y ＝21)2( x －(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1. A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有 ( ) A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a >0且a ≠13．如图所示的曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ( )A ．a 1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于 ( )A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．25．(2011·六安模拟)函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0探究点一有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x＋9＝0的两根，且a 0)的结果是( )A.b a B ．ab C.a b D ．a 2b 探究点二指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x ＋1|.(1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 (2009·山东)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为 ( )探究点三指数函数的性质及应用例3 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．变式迁移3 (2011·龙岩月考)已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.分类讨论思想的应用例 (12分)已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．【答题模板】解 (1)函数定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[3分] (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．[5分] 当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．[7分] (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数， ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)，∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1.[10分]∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]．[12分] 【突破思维障碍】本例第(2)(3)问是难点，讨论f (x )的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．【易错点剖析】在(2)中，函数的单调性既与a x －a －x 有关，还与a a 2－1的符号有关，若没考虑a a 2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a 的题设条件中的范围也是错误的．1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c <d <1<a <b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．函数y＝x2的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．[2，＋∞)2．(2011·金华月考)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )3．(2010·重庆)函数f (x )＝4x ＋12x的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 4．定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，则函数f (x )＝x的图象是( )5．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)6．(2011·嘉兴月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a的取值范围是________．7．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________.8．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·衡阳模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．10．(12分)(2010·北京丰台区期末)已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]．(1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．11．(14分)(2011·东莞模拟)函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．答案自主梳理1．(1)a 的n 次方根根式根指数被开方数 (2)①n a ②n a －n a ±na ③a⑤a 2.(1)①na m ②nm a 11na m③0 (2)①a r ＋s ②a rs ③a r b r 3.(1)R (2)(0，＋∞)(3)(0,1) (4)y >1 0<y <1 (5)0<y <1 y >1 (6)增函数 (7)减函数自我检测1．B [只有④正确．①中a <0时，232)(a >0，a 3<0，所以232)(a ≠a 3；②中，n 为奇数时且a <0时，na n ＝a ；③中定义域为[2，73)∪(73，＋∞)．]2．C [∵y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，∴a 2－3a ＋3＝1，解得a ＝2或a ＝1(舍去)．] 3．D [y 轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c >d >1,1>a >b >0.]4．D [(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝4，∵a >1，b >0，∴a b >1,0<a －b <1，∴a b －a －b ＝2.]5．D [由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1；函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.] 课堂活动区例1 解题导引 1.指数幂的化简原则 (1)化负数指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．解 ∵a ，b 是方程的两根，而由9x 2－82x ＋9＝0解得x 1＝19，x 2＝9，且a <b ，故a ＝19，b ＝9，(1)化去负指数后求解．a －1＋b －1(ab )－1＝1a ＋1b 1ab ＝a ＋b ab 1ab ＝a ＋b . ∵a ＝19，b ＝9，∴a ＋b ＝829，即原式＝829.(2)原式＝3127⨯a ·3123⨯-a ÷ (21)38(⨯-a·21315⨯a)＝)2534(2167+---a＝21-a.∵a ＝19，∴原式＝3.变式迁移1 C [原式＝31312316123ba ab ba b a -∙∙＝3123113116123--++-+∙ba＝ab －1＝a b.]例2 解题导引在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．解 (1)方法一由函数解析式可得y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧(13)x ＋1， x ≥－1，3x ＋1， x <－1.其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x (x ≥0)――→向左平移1个单位y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x (x <0)――→向左平移1个单位y ＝3x ＋1(x <－1)．如图所示．方法二 ①由y ＝(13)|x |可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x 的图象，保留x ≥0的部分，当x <0时，其图象是将y ＝(13)x (x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y＝(13)|x |的图象． ②将y ＝(13)|x |向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．变式迁移2 A [y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确．]例3 解题导引 1.指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究．2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解设t ＝a x ，则y ＝f (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.(1)当a >1时，t ∈[a －1，a ]，∴y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，满足 a >1；(2)当0<a <1时，t ∈[a ，a －1]，∴y max ＝(a －1)2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13，满足0<a <1.故所求a 的值为3或13.变式迁移3 (1)解由2x －1≠0⇒x ≠0，所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)证明 f (x )＝(12x －1＋12)x 3可化为f (x )＝2x ＋12(2x －1)·x 3，则f (－x )＝2－x ＋12(2－x －1)(－x )3＝2x＋12(2x －1)x 3＝f (x )，所以f (－x )＝f (x )．(3)证明当x >0时，2x >1，x 3>0，所以(12x －1＋12)x 3>0.因为f (－x )＝f (x )，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )>0. 综上所述，f (x )>0. 课后练习区1．B [由y ＝x 2中x ≥0，所以y ＝x2≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．]2．D [函数的定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x， x >0－a x ，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，其底数a 满足0<a <1，所以函数递减；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x的图象关于x 轴对称，函数递增．]3．D [函数定义域为R ，关于原点对称，∵f (－x )＝4－x ＋12x ＝1＋4x2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称．]4．A [当x <0时，0<2x <1，此时f (x )＝2x ；当x ≥0时，2x ≥1，此时f (x )＝1.所以f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x <0)，1 (x ≥0).] 5．D [方程|a x －1|＝2a 有两个不等实根可转化为函数y ＝|a x －1|与函数y ＝2a 有两个不同交点，作出函数y ＝|a x －1|的图象，从图象观察可知只有0<2a <1时，符合题意，即0<a <12.]6．[13，1)解析据单调性定义，f (x )为减函数应满足： ⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1. 7．－1解析设g (x )＝e x ＋a e －x ，则f (x )＝xg (x )是偶函数．∴g (x )＝e x ＋a e －x 是奇函数．∴g (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0， ∴a ＝－1. 8. 3解析当a >1时，f (2)＝2，∴a 2－1＝2，a ＝3，经验证符合题意；当0<a <1时，f (0)＝2，即1－1＝2，无解． ∴a ＝ 3.9．解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，…………………………………………………(2分)从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.经检验a ＝2适合题意，∴所求a 、b 的值分别为2、1.……………………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．…………………………………………(6分) 又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )<－f (2t 2－k ) ＝f (－2t 2＋k )．……………………………………………………………………………(8分) 因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.………………………………………………(12分)10．解方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.…………………………(4分) (2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝)22)(22(1221x x xx ---λ>0恒成立，……………………………(8分)即λ<1222x x +恒成立．由于0222212+>+xx ＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2. ……………………………………………………………………………………………(12分)方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.……………………………………………………………………………………………(4分) (2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x ＋λ)≤0成立，…………………………(8分)所以只需要λ≤2·2x 恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………(12分)11．解由题意得1＋2x ＋4x a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．………………………………………………(6分)又因为－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x ，设t ＝(12)x ，∵x ≤1，∴t ≥12且函数f (t )＝－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋14(t ≥12)在t ＝12时，取到最大值．∴(12)x ＝12即x ＝1时，－1＋2x 4x 的最大值为－34，………………………………………(12分) ∴a >－34.…………………………………………………………………………………(14分)。

高中数学-指数与指数函数学案

指数与指数函数一.考纲解读及趋势预测 1. 内容解读（1）指数运算法则；（2）指数函数图像与性质. 2. 能力解读（1）运算与变形能力（2）掌握指数函数的单调性3.命题趋势：本节内容在高考中属于知识性考察范围，主要考查指数函数以及有它复合而成的函数的图象和性质，大多涉及比较大小，奇偶性，过定点，点调性及求最值。

预计在2017年高考中，指数函数与对数函数和分段函数综合仍是重点和热点。

二.学习目标1. 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；2. 理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画不同底数的指数函数的图象； 3. 会用指数函数图像解决实际问题. 三、例题分析考点一：指数幂的化简与求值例1.考点二：指数函数的图像例2：已知函数2)21(+=x y（1）做出函数的图像；(2)由函数图像指出其单调区间；（3）由函数图像指出,当x 去什么值时有最值。

变式1：函数x xx xe e y e e --+=-的图象大致是（）变式2：已知函数()y f x =的定义域为{|x x R ∈且2}x ≠，且()2y f x =+是偶函数，当2x < 么当2x >时，函数()f x 的递减区间是（） A.()3,5 B.()3,+∞C.(]2,4D.()2,+∞考点三：指数函数的性质例3. 若存在[]2,1x ∈--，使得不等式()24210x x mm ---≤成立，则实数m ∈______．变式3：若函数a a x f x --=22)(在]1,(-∞上存在零点，则正实数a 的取值范围是（）（A ）]1,0( （B ）]1,0[ （C ）]2,0( （D ）]2,0[考点四：指数函数的综合应用例 4. 已知函数()xf x b a =⋅，（其中,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,8),(3,32)A B（1）求()f x 的解析式（2）在(],1x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围四、随堂检测1．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有________个．2．把函数y ＝f (x )的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y ＝2x的图象，则f (x )＝__________.3．(2016·唐山一中模拟)函数y ＝(12)x ＋1的图像关于直线y ＝x对称的图像大致是( )4．若函数f (x )＝a －e x1＋a e x (a 为常数)在定义域上为奇函数，则a的值为________．5．(2016·福州质检)已知实数a ≠1，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x ，x<0，若f(1－a)＝f(a －1)，则a 的值为________． 6．已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0；③2－a <2c; ④2a ＋2c <2.7．若指数函数y ＝a x 在上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.8．函数f (x )＝322-+x x a ＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________. 9．设函数f (x )＝a－|x |(a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是__________．10．若函数f (x )满足：对于任意x 1，x 2>0，都有f (x 1)>0，f (x 2)>0，且f (x 1)＋f (x 2)<f (x 1＋x 2)成立，则称函数f (x )具有性质M . 给出下列四个函数：①y ＝x 3，②y ＝log 2(x ＋1)，③y ＝2x －1， ④y ＝sin x .其中具有性质M 的函数是__________．(填序号)例5参考答案：例1.-45例2. 递增 (),2-∞- 递减 ()2,-+∞当2x =-时最大变式1：A例 3. 【答案】[]4,5-试题分析：[]1,2--∈x ，令则已知条件可化为()0122≤---t t m m 在令()1)(22---=t t m m t f ，解得32-≤≤m ．考点：含参的一元二次不等式参数取值范围．变式2【答案】C 试题分析：由题先由当2x < 时，得：减区间为(),0-∞，增区间为; ()0,2.再运用()2y f x =+得：减区间为(),2-∞-，增区间为;()2,0-.又是偶函数得：减区间为()0,2，增区间为;()2,+∞.当2x >时，函数()y f x =的递减区间是(]2,4. 考点：函数性质与数形结合思想..变式3【答案】A 试题分析：()22xf x a a =--，在(],1-∞上存在零点等价于22x a a =+有解，1,022xx ≤∴<≤，202a a ∴<+≤，即2101a a a -≤≤⎧⎨><-⎩或，01a ∴<≤，故选A.考点：函数零点与方程根之间的关系.例4.（1）将点,A B 坐标代入函数()f x 的解析式即可求得,a b的值．（2）可将问题转化(],1x ∈-∞上恒成立．即等于m ．可用二次函数配方法求值．试题解析：（1）⎩⎨⎧==3283ba ba 则⎩⎨⎧==42b a ，xx f 24)(⋅=∴（2在(],1x ∈-∞上恒成立等价于在(],1x ∈-∞上恒成立考点：1指数函数的性质；2二次函数求最值；3转化思想．随堂检测1.02.2x －2＋2 3A 4.±1 5.答案 126.④7.98.f (－2)>f (1)9.①③。

指数运算与指数函数——必修一函数复习学案

八、指数运算与指数函数知识要点1、指数运算公式2、分数指数幂（1）tsa a ⋅=____________________ ； nm a =___________________________（2）ts a )(=_____________________ ； nm a-=_____________________________（3）=t saa _______________________；（4）()=sab ______________________。

3、根式运算:=n n a ______________；n n a )(=________________ 二、指数函数1、定义：一般的,)10(≠>=a a a y x 且叫做_____________2、指数函数的图像及性质在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）x )31(y =，（2）x )21(y =（3）x 2y =，（4）x 3y =，（5）x 5y = 结论：基础自测1． (课本改编题)化简[(－2)6]12－(－1)0的值为________．答案 7解析 [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝23－1＝7.2．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.3．若函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.答案3解析当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]．因定义域和值域一致，故a 2－1＝2，即a ＝ 3. 当0<a <1时，x ∈[0,2]，y ∈[a 2－1,0]．此时，定义域和值域不一致，故此时无解．综上，a ＝ 3.4． (2012·四川)函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图像可能是( )答案 D解析当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A ，B. 当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，且在y 轴上的截距为1－1a <0，故选D. 5．设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)答案 A解析 ∵f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4， ∴a －2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，∴f (－2)>f (－1)，故选A.典型例题题型一：指数的化简与计算例1. 将下列各式用另一种形式表示出来 54a ，()345a 1-， ()4322ba +， 865-a 32b例2. 化简下列各式（1）()337-，()29-，()443π- （2）（232a 21b ）（-621a 31b ）÷（-361a 65b ）（3）()410001.0-+()3227-216449-⎪⎭⎫⎝⎛+5.191-⎪⎭⎫ ⎝⎛ （4）4332baa b b a练习：（1）5.0972⎪⎭⎫ ⎝⎛+21.0-+3127102-⎪⎭⎫ ⎝⎛+0π （2） 21211m m 2m m +++-- （3））（10a a 2a 3234<<+-a例3. 已知21a +21a-=3，求下列各值（1）1a -+a （2）2a +2a - （3）212123-23aa a a ---变式训练：2k )12k ()12k (222---+-+-等于 ( )A ．2k 2- B.)12k (2-- C.1)-(2k 2-+ D.2练习：244)(x x+=x f ，若10<<a ，求(1))1()()(a f a f x f -+=的值（2）)10011000(...)10013()10012()10011(f f f f ++++的值（二）指数函数题型一：判断指数函数例1. 若函数()x a a x f )12)(3(--=是指数函数，求a 的值。

指数与指数函数(一轮复习导学案)

§2.6指数与指数函数主备人：钱美平审核人：陈军题型一：指数幂的运算【知识构建】1．指数幂的概念（1）根式:如果一个实数x 满足(1,N )n x a n n *=>∈，那么称x 为a 的，叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.① 当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个数，负数的n 次实数方根是一个数，此时，a 的n 次实数方根只有一个，记为x= .② 当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有个，它们互为，此时，正数 a 的正的n 次实数方根用符号表示，负的n 次实数方根用符号表示.正负两个n 次实数方根可以合写为 (a >0)的形式.负数没有偶次实数方根. 零的任何次实数方根都是 .（2）根式的性质：①n = ；②当n 为奇数时，n = ；当n 为偶数时, n =a = .2．有理指数幂（1）分数指数幂的表示① 正数的正分数指数幂m n a = ；② 正数的负分数指数幂m n a-= ；③ 0的正分数指数幂是，0的负分数指数幂无意义.（2）有理指数幂的运算性质①s t a a = (0,,a s t Q >∈)； ②()s t a = (0,,a s t Q >∈)； ③()tab = (0,0,a b t Q >>∈).例1化简：（1） a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a －13b 13(a >0，b >0)；（2）21103227()(0.002)2)8----+-+【方法提炼】题型二：指数函数的图象、性质【知识构建】指数函数概念、图象和性质（1）定义：（2）图象与性质例2 （1）函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列对a，b的范围判断正确的是________.(填序号)①a>1，b<0；②a>1，b>0；③0<a<1，b>0；④0<a<1，b<0.（2）若函数f(x)＝e－(x－μ)2 (e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m＋μ＝________..【方法提炼】题型三：指数函数的应用例3 （1）k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？（2）已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x | . ① 若f (x )＝32，求x 的值； ② 若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围.【方法提炼】题型四：综合与创新例4 已知过点O 的直线与函数y ＝3x 的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标是________．【方法提炼】【变式训练】变式1：（1）20.520371037(2)0.1(2)392748π--++-+= （2）1213321()4(0.1)()a b ---=变式2.1：已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式： ① 00且a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a ＝______.变式3：设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数. (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值.变式4：已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．。

《§2.8指数与指数函数》复习学案

2.8《指数与指数函数》复习学案命题人：侯学军班级姓名学号一、考纲导读（一）复习目标：1、了解指数函数模型的实际背景，理解有理指数幂的含义；2、了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3、理解指数函数的概念，图象和性质。

（二）高考预测：1、指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点；2、通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想；3、题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题的形式出现。

二、考点梳理（一）分数指数幂 1.根式如果),1(*∈>=N n n a x n ，那么x 称为a 的；式子n a 叫做根式，其中n 叫做，a 叫做方根的性质：当nn 为偶数时，n n a =|a |= 2.分数指数幂（1）分数指数幂的意义:a nm = ，anm -= = （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.（2）有理数指数幂的性质：（1）（2）（3）注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（二）指数函数的图象及性质的应用①指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数. ②指数函数的图像a > ）1(0③底数互为倒数的两个指数函数的图像关于对称.④指数函数的性质：定义域：；值域：；过点；即x =0时，y = .当a ＞1时，在R 上是；当0＜a ＜1时，在R 上是 .三、考点自测 1.不等式224122xx +-≤的解集为． 2．函数x a a a y ∙+-=)33(2 是指数函数，则有（） A.21==a a 或 B. 1=a C. 2=a D. 10≠>a a 且3.不论a 为何正实数,函数12x y a +=-的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_____ ____4.满足条件m 2m ＞（m m ）2的正数m 的取值范围是______ ___四、典型突破自主探究考点一指数幂的运算例1计算：100.256371.5()86-⨯-+化简原则：①化负指数为正指数；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序。

高三数学一轮复习学案：指数与指数函数

高三数学一轮复习学案：指数与指数函数一、考试要求： 1）理解分数指数幂的概念。

（2）理解有理指数幂的含义；了解实数指数幂的意义；掌握幂运算。

（3）理解指数函数的概念与意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数单调性与特殊性。

二、知识梳理：=0.1a __________( 0≠a ) =-n a __________( +∈≠N n a ,0 )2． =n n a )(_________( +∈>N n n ,1 ) ⎩⎨⎧=为偶数）（为奇数）（n _____________________n a n n 3．=n m a _________ = ________(n m ,0，+∈N n m a 为即约分数) =-n ma ________（n m ,,0+∈N n m a 为即约分数） 4．=⨯βαa a __________=βα)(a ____________ =α)(ab _________ （Q ∈βα,）5．一般地____________________________叫做指数函数。

61、函数x a y =在[0，1]上的最大值与最小值的和是3，则a 等于（）A 21 B.2 C.4 D.41 2、函数x e y -=的图像（）A ．与x e y =的图像关于y 轴对称B ．与x e y =的图像关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图像关于y 轴对称D ．与x e y -=的图像关于坐标原点对称3、（07山东）已知集合{}1,1-=M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<∈=+42211x Z x N ，则=N M （） A.{}1,1- B. {}1- C. {}0 D.{}0,1-4、已知：9.014=y ，48.028=y ， 5.13)21(-=y 则（） A.213y y y >> B. .312y y y >> C. .321y y y >> D. .231y y y >>5、为得到x y )31(3⨯=的图像，可以把函数x y )31(=的图像（） A. 向左平移3个单位长度 B. 向右平移3个单位长度C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度6、(11、山东)若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan 6a π的值为( ) （A ）0 （B ）3（C ）1 （D7、(07重庆)若函数()1222-=--a ax xx f 的定义域为R ，则[]0,1-实数a 的取值范围。

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指数与指数函数复习学案（解析篇）【高考要求】指数函数（B ）【学习目标】理解有理数指数幂的含义；了解实数指数幂的意义,能进行幂的运算.理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质,会画指数函数的图象. 了解指数函数模型的实际案例,会用指数函数模型解决简单的实际问题.【学习重难点】指数函数的性质及其应用（课前基础知识回顾，事先发给学生填写，课上用投影打出一起回顾）一、根式1．根式的概念2．两个重要公式(1)n a n＝⎩⎨⎧a ， n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0)， n 为偶数；(2)(n a )n ＝a (注意a 必须使na 有意义)．二、有理数指数幂 1．幂的有关概念(1)正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(2)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q)； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)．三、指数函数的图象和性质函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图象0<a <1a >1图象特征在x 轴上方，过定点(0,1)性质定义域 R 值域(0，＋∞)单调性减函数增函数函数值变化规律当x >0时，y >1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1当x <0时，0<y <1；当x ＝0时，y ＝11．(教材习题改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：选B 原式＝(26)12－1＝7.2．(教材习题改编)函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A ∵1－2x ≥0，∴2x ≤1，∴x ≤0. 3．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,4)D ．(4,0)解析：选A 当x ＝1时，f (x )＝5.4．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a 的值为________．解析：∵a 2－3a ＋3＝1，∴a ＝2或a ＝1(舍)．答案：25．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2，得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)1.分数指数幂与根式的关系：分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程．2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论．【经典题回顾】[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5；(2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748. [自主解答] (1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. 总结提炼：指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．变式训练： 1．计算：(1)(0.027)－13－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0；(2)⎝⎛⎭⎫14－12·(4ab －1)30.1－2(a 3b －3)12.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－13－(－1)－2⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫25912－1 ＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 32·b －32＝425a 0·b 0＝425. 【重点知识强化】[例2] (2012·四川高考)函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )[自主解答] 法一：令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a >1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，且过(1,0)，排除选项A 、B ；当0<a <1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，因为0<a <1，故排除选项D. [答案] C 总结提炼：1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．变式训练：2．(1)(2012·北京模拟)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．解析：(1)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝2－x ，∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称． (2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．答案：(1)A (2)1[例3] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a .则函数f (x )的单调递增区间为________，单调递减区间为________．[自主解答] 令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)． [答案] (－∞，0] [0，＋∞) 变式训练：在本例条件下，若f (x )的最大值等于94，则a ＝______.解析：由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，从而a ＝2. 答案：2 总结提炼：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．变式训练：3．(1)(2012·福州质检)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a(2)(2012·上海高考)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：(1)由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .(2)结合函数图象求解．因为y ＝e u 是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1.答案：(1)A (2)(－∞，1]【课堂练习A 组—巩固】1．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝1－2x解析：选B ∵1－x ∈R ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫131－x 的值域是正实数集．2．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：选B 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，∴根据分段函数即可画出函数图象．4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，可知C 正确．5．(2012·深圳诊断)设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)解析：选A ∵f (2)＝4，∴a－|2|＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |，∴f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x是增函数，∴x <0时，f (x )是减函数，∴f (－2)>f (－1)．6．若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析：选D 因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，即m 2－m －2<0，得－1<m <2. 综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. 7.⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ⎝⎛⎭⎫－2323＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 答案：28．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 答案：m >n9．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9.则f (x )的单调递减区间是________．解析：由f (1)＝9得a 2＝9，∴a ＝3.因此f (x )＝3|2x －4|，又∵g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，∴f (x )的单调递减区间是(－∞，2]．答案：(－∞，2]10．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2；(2)y ＝ 32x －1－19.解：(1)显然定义域为R. ∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，且y ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数． ∴⎝⎛⎭⎫122x －x 2≥⎝⎛⎭⎫121＝12. 故函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. (2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞，由上可知32x －1－19≥0，∴y ≥0.即函数的值域为[0，＋∞)．11．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.12．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值．解：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1， ∴M ＝{x |x ＞3，或x ＜1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎫2x －162＋2512. ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2， ∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．【课堂练习B 组选做】1．(2013·绍兴一中模拟)函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定解析：选A 由题意知a >1，又f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)． 2．(2012·衡水模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.解析：画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图)，由图象可知，a <0，b 的符号不确定，c >0. 故①②错；∵f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|， ∴|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1，故2a ＋2c <2，④成立；又2a ＋2c >22a ＋c ，∴2a ＋c <1，∴a ＋c <0，∴－a >c ，∴2－a >2c ，③不成立．答案：④3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.。