指数与指数函数复习学案

指数与指数函数复习学案（解析篇）

【高考要求】指数函数（B ）

【学习目标】理解有理数指数幂的含义；了解实数指数幂的意义,能进行幂的运算.

理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质,会画指数函数的图象. 了解指数函数模型的实际案例,会用指数函数模型解决简单的实际问题.

【学习重难点】指数函数的性质及其应用

（课前基础知识回顾，事先发给学生填写，课上用投影打出一起回顾）

一、根式

1．根式的概念

2．两个重要公式

(1)n a n

＝⎩⎨⎧

a ， n 为奇数，

|a |＝⎩

⎪⎨⎪⎧

a (a ≥0)，－a (a ＜0)， n 为偶数；

(2)(n a )n ＝a (注意a 必须使n

a 有意义)． 二、有理数指数幂 1．幂的有关概念

(1)正分数指数幂：a m n ＝n

a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；

(2)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1

n

a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；

(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s ＝a r ＋

s (a >0，r ，s ∈Q)； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)．

三、指数函数的图象和性质

函数

y ＝a x (a >0，且a ≠1)

图象

0

a >1

图象特征

在x 轴上方，过定点(0,1)

性 质

定义域 R 值域

(0，＋∞)

单调性

减函数

增函数

函数值变化

规律 当x >0时，y >1

当x <0时，y >1；当x >0时，0

当x <0时，0

1．(教材习题改编)化简[(－2)6]1

2－(－1)0的结果为( )

A ．－9

B ．7

C ．－10

D ．9

解析：选B 原式＝(26)1

2

－1＝7.

2．(教材习题改编)函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)

D ．(－∞，＋∞)

解析：选A ∵1－2x ≥0，∴2x ≤1，∴x ≤0. 3．已知函数f (x )＝4＋a x －1

的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,4)

D ．(4,0)

解析：选A 当x ＝1时，f (x )＝5.

4．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a 的值为________． 解析：∵a 2－3a ＋3＝1，∴a ＝2或a ＝1(舍)． 答案：2

5．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．

解析：由题意知0

1.分数指数幂与根式的关系：

分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为

幂的运算，从而简化计算过程．

2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0

和a >1进行分类讨论．

【经典题回顾】

[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5

；

(2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋37

48. [自主解答] (1)原式＝a －13b 12·a －12b 1

3

a 16

b 56

＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a

.

(2)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. 总结提炼：

指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．

变式训练： 1．计算：

(1)(0.027)－1

3－⎝⎛⎭

⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0；

(2)⎝⎛⎭⎫14－12·(4ab －

1)30.1－2(a 3b －3

)

12

.

解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－13－(－1)－2⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫25912－1 ＝103－49＋5

3－1＝－45. (2)原式＝412·43

2100·a 32·a －32·b 32·b －3

2

＝425a 0·b 0＝4

25

. 【重点知识强化】

[例2] (2012·四川高考)函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )

[自主解答] 法一：令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.

法二：当a >1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，且过(1,0)，排除选项A 、B ； 当0

1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． 变式训练：