第六章 投影变换

［例2］已知一般位置直线AB的两投影，试求直线AB的β 角
分析：欲求一般位置 直线的β 角，需把直线AB 绕正垂轴旋转成水平线。
3.2.2
把投影面平行线旋转成投影面垂直线
某投影面的平行线绕该投影面的垂直轴旋转时，始终保 持与该投影面平行，而能改变对另一投影面的倾角。所以投 影面平行线可经一次旋转为投影面垂直线。 ［例3］试将正平线AB旋转成为铅垂线
［例3］试将正垂面ABC 旋转成为水平面
分析：欲求正垂面△ＡＢＣ的实形，应将ABC平面 旋转成为水平面，即需改变平面对H面的倾角，所以旋转 轴为正垂线。
作图步骤： 1）过点A作正垂轴OO，ａ∈ｏｏ，ｏｏ⊥ＯＸ，ａ′ 与ｏ′重合。 2）求平面的新投影：将正面投影ｂ′、ｃ′以ａ′ 为圆心旋转，使ａ’ｂ 1’ｃ 1’ ∥ＯＸ。同时求出水平 投影ｃ1、ｂ1，△ａｂ1ｃ1就是△ＡＢＣ的实形。
§３ 旋转法
如图所示，空间点A 绕直线OO旋转，点A称 为旋转点，直线OO称为 旋转轴。自A点向OO轴 引垂线，其垂足O称旋 转中心，AO称旋转半径， A点的旋转轨迹是以O为 圆心，以AO为半径的圆 周，称为轨迹圆，轨迹 圆所在的平面与旋转轴 垂直。
按旋转轴与投影面的相对位置不同，旋转法分为： 1)绕垂直于投影面的轴线旋转，简称绕垂直轴旋转。 2)绕平行于投影面的轴线旋转，简称绕平行轴旋转。 3)绕一般位置的轴线旋转。
3.1
点的旋转
如图所示，点A绕垂直于V面的OO轴(正垂轴)旋转，其 V投影反映轨迹圆实形，而H投影为过A点且平行于X轴的直 线段，其长度等于轨迹圆的直径。
如图所示，点A绕铅垂轴旋转，其H投影反映轨迹圆实 形，即H投影ａ沿圆周旋转θ 角到ａ1，其V投影ａ′沿投影 轴的平行线移动至ａ1’，ａ′ａ1’∥ＯＸ。
3.3
平面的旋转
平面的旋转是通过旋 转该平面所含不共直线的 三个点来实现的，旋转时， 必须遵循同轴、同方向、 同角度的规则。
平面的旋转性质： 1)平面绕垂直轴旋转时，平面在旋转轴所垂直的投影 面上的投影，其形状和大小都不变。
2)平面对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。
3)平面的另一个投影，其形状和大小发生改变，并且， 该平面对旋转轴所不垂直的那个投影面的倾角也改变。
［例2］试求一般位置平面ABC对H面的倾角α
分析：欲求一般位置平 面ABC对H面的倾角α ，需 把平面ABC旋转成为正垂面。 为此应在平面内取一条水平 线CD，只要将水平线CD绕 铅垂轴（含C点）旋转成为 正垂线，那么，平面ABC就 旋转成为正垂面。
3.3.2
把投影面垂直面旋转成为投影面平行面
投影面垂直面绕同一投影面的垂直轴旋转时，可改变 垂直面对另一投影面的倾角。所以只要经一次旋转，就能 使垂直面旋转成为另一投影面的平行面。
由上可知点的旋转规律：当点绕垂直轴旋转时，点在与 旋转轴垂直的那个投影面上的投影作圆周运动，而另一投影 则沿与旋转轴垂直的直线移动。
3.2
直线的旋转
直线的旋转，仅需使属于 该直线的任意两点遵循绕同一 轴、沿相同方向、转同一角度 的规则作旋转，然后，把旋转 后的两个点连接起来。 如图所示，直线AB绕铅垂 轴OO按逆时针方向旋转θ 角， 也就是使A、B两点分别绕OO轴 逆时针旋转θ 角，按照点的旋 转规律求得ａ1b1、 ａ1’ b1’。
3.3.1
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把一般位置平面旋转成投影面垂直面
只要将平面内的一条投影面平行线旋转成垂直于某投 影面，则平面就垂直于该投影面。
［例1］试求一般位置平面 ABC对V面的倾角β
分析：欲求一般位置平面ABC对V面的倾角β ，须将 平面ABC旋转成为铅垂面，为此，应在平面内取一条正平 线（如CD），只要将正平线CD绕正垂轴(含C点)旋转成为 铅垂线，那么平面ABC就旋转成为铅垂面。 作图步骤： 1）含点Ｃ作正垂轴ＯＯ：C∈OO，ｏｏ⊥ＯＸ；ｃ′与 ｏ′重合 2）作平面ABC内的正平线CD：ｃｄ∥ＯＸ，并求出ｃ′ ｄ′。 3）求平面的新投影：将ｃ′ｄ′旋转至ｃ’ｄ 1’， ｃ’ ｄ 1’⊥ＯＸ，ａ、ｂ旋转相同的角度，平面△ＡＢＣ就 成为铅垂面，它的水平投影ａ1ｃｂ1积聚成一直线。正面 投影ａ′、ｂ′依三同原则旋转至ａ1’、ｂ1’位置。 4）求β 角：ａ1ｃｂ1与OX轴的夹角β 即为所求。
作图步骤： 1）作β ＝４５°的水平线ＭＮ1：作ｍｎ1，使ｍｎ1 与OX轴的夹角为４５°，ｍ′ｎ1’∥ＯＸ。
2）过点M作正垂轴OO：ｍ∈ｏｏ，ｏｏ⊥ＯＸ；ｍ ′与ｏ′重合。
3）将正面投影ｎ1’旋转至ａ′ｂ′上的ｎ′位置， 同时求出水平投影ｎ，ｎ∈ａｂ。 4）连接ｍ′ｎ′，ｍｎ，即为所求。
分析：正平线和铅垂线都平行于V面，因此，在旋转过程 中，直线对V面的倾角应保持不变，只改变它对H面的倾角， 所以应取正垂线为旋转轴。
作图步骤： 1）过点A作正垂轴OO：ａ∈ｏｏ，ｏｏ⊥ＯＸ； ａ′与ｏ′重合 2）以OO为轴，将AB旋转成铅垂线：即将正面投影 ｂ′沿圆周（ 以ａ′为圆心，以ａ′ｂ′为半径） 旋转至ｂ1’。 3）连接ｂ1’ａ′（ｂ1′ａ′⊥ＯＸ），水平投影 ａ与ｂ1重合。
直线旋转的基本性质 1)直线绕垂直轴旋转时，直线在旋转轴所垂直的投影面 上的投影长度不变。 2)直线对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。 3)直线在旋转轴所平行的投影面上的投影长度及对该投 影面的倾角都改变。
3.2.1
把一般位置直线旋转成投影面平行线
直线绕垂直轴旋转一次，就能改变直线对一个投影面的 倾角，因此，用绕垂直轴旋转的方法，求一般位置直线的实 长及对投影面的倾角时，只要旋转一次即可实现。 ［例1］已知一般位置直线AB的两投影，试求直线AB的 实长和α 角
3.4
旋转法的应用
［例1］试在平面ABCD内过点M作一直线MN，使其与V面 的倾角为４５° 分析：过点M作β ＝４ ５°的直线MN会有若干条， 但含于平面ABCD内的直线， 却是有确定解的，为此，包 含M点任作一水平线ＭＮ1， 使MN1直线与V面的倾角β ＝ ４５°；然后，将Ｎ1点旋转 到平面ABCD上，为保持β ＝ ４５°，旋转轴应为过M点 的正垂线。
分析：欲求一般位置直线AB的实长和α 角，需把直线 AB绕铅垂轴旋转成正平线。为了作图简便，使该轴过直线 的一个端点，如A点，那么，只旋转B点即可。
作图步骤： 1）过点A作铅垂轴OO：ａ′∈ｏ′ｏ′，ｏ′ｏ′⊥ＯＸ 2）求新投影ｂ 1 、b’1 ：将水平投影ｂ以ｏ（ｏ与ａ重合） 为圆心，ａｂ为半径旋转至ｂ1，ａｂ1∥ＯＸ，b1’沿OX轴平 行线平移至b’。 3）连接ａ’ｂ1’、ａｂ1；ａ′ｂ1’反映AB的实长。 4）确定α 角：ａ′ｂ1’与OX轴的夹角α 即为所求。