柯西不等式与排序不等式练习题

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2021年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式课后训练新人教A版选修

2021年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式课后训练新人教A版选修1．如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为( )．A． B．C． D．2．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为( )．A．4 B．2 C．1 D．3．设a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为__________．4．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为__________，此时b＝__________.5．设a＋b＝1，则a2＋b2≥__________.6．已知a＞b＞c，求证：.7．设a，b，c＞0，且a cos2θ＋b sin2θ＜c.求证：.8．已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：.参考答案1.答案：B解析：由柯西不等式，得(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab；当，时，.2.答案：A解析：222211⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝＋＋，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．3.答案：解析：∵a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，∴a·b＝x－2z. 由柯西不等式，得[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2.当且仅当存在实数，使b＝k a时等号成立．∴5×16≥(x－2z)2，∴|x－2z|≤.∴≤x－2z≤，即≤a ·b ≤.∴a ·b 的最大值为.4. 答案：－18 (4，－2，－4)解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a ||b |， ∴|a ·b |≤18，当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18.∴a ·b 的最小值为－18，此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)．5. 答案：解析：(12＋12)(a 2＋b 2)≥(a ×1＋b ×1)2＝1，∴a 2＋b 2≥，当且仅当a ＝b ＝时，等号成立．6. 证明：＝[(a －b )＋(b －c )]2222]＝24≥＝，即a －b ＝b －c 时，等号成立．∴原不等式成立．7. 证明：由柯西不等式及题设，得2cos sin )θθθθ2222))](cos sin )θθθθ≤＋＋＝a cos 2θ＋b sin 2θ＜c.sin sin θθθθ，即a ＝b 时，等号成立．∴.8. 证明：(a 1b 1＋a 2b 2)2222]＝2≥＝(a 1＋a 2)2，当且仅当，即b 1＝b 2时，等号成立．∴原不等式成立．9. 证明：设，n ＝(cos θ，sin θ)．则||cos sin cos sin a b a b θθθθ＋＝＋＝|m·n |≤|m ||n |，∴.。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式练习新人教A版选修4-5-新人教

二一般形式的柯西不等式,[学生用书P45])[A 基础达标]1．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值为( ) A ．102B ．10C ．210D ．310解析：选A.由柯西不等式，得(a ＋b ＋2c )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222[(a )2＋(b )2＋(4c )2] ＝52×1＝52，所以a ＋b ＋2c ≤52＝102，当且仅当a ＝b ＝22c 时，等号成立．故选A. 2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不确定解析：选A.因为(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当a i ＝kx i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立，所以a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.故选A.3．已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，则|x ＋3y ＋4z |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.由柯西不等式知(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2，又x 2＋3y 2＋4z 2＝2所以2×8≥(x ＋3y ＋4z )2. 所以|x ＋3y ＋4z |≤4. 当且仅当x ＝3y 3＝2z 2，即x ＝y ＝z ＝12时取等号．4．设a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝6，则1a ＋4b ＋9c的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．9解析：选C.由柯西不等式得(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2] ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫9c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·2b ＋c ·3c 2＝36.即6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c ≥36.所以1a ＋4b ＋9c≥6.故选C.5．已知实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( ) A ．13 B ．23 C ．53D ．2解析：选B.因为实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，所以2x －y －2z ＝6. 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x －y －2z )2＝36，所以x 2＋y 2＋z 2≥4.再根据x 2＋y 2＋z 2≤4，可得x 2＋y 2＋z 2＝4.故有x 2＝y －1＝z－2，所以x ＝－2y ，z ＝2y .再把x ＝－2y ，z ＝2y 代入2x －y －2z －6＝0，求得y ＝－23，则2x ＋y ＋z ＝－4y ＋y ＋2y ＝－y ＝23.6．已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析：因为a ＋2b ＋3c ＝6，所以1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.所以(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2＝36，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．答案：127．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________．解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327.当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得：x ＝87，y ＝127，z ＝47，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 8．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为________．解析：利用柯西不等式，因为(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．综上可知，1x ＋4y ＋9z的最小值为36.答案：369．设x ＋y ＋z ＝1，求H ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值．解：因为x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z ，所以由柯西不等式得： (x ＋y ＋z )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1·(2x 2＋3y 2＋z 2)，即116·H ≥1，解得H ≥611，等号成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1.2x 12＝3y 13＝z1，解得x ＝ 311，y ＝211，z ＝611.此时，H ＝611. 综上所述，H 的最小值为611.10．已知|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )．(1)求x 2＋y 2＋z 2的最小值；(2)若|a ＋2|≤72(x 2＋y 2＋z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，某某数a 的取值X围．解：(1)因为(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)，且|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )，所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.(2)因为x 2＋y 2＋z 2的最小值为87，所以|a ＋2|≤72×87＝4，所以－4≤a ＋2≤4，解得－6≤a ≤2，即a 的取值X 围为[－6，2]．[B 能力提升]1．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A ．14B ．13C ．12D ．34解析：选C.由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋14y 2＋14z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax ＋12by ＋12cz 2，当且仅当a 12x ＝b 12y ＝c12z 时等号成立．因为a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，所以等号成立．所以a 12x ＝b 12y ＝c12z . 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.2．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径R 为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是________．解析：由已知得12ab sin C ＝14，csin C ＝2R ＝2.所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ca ，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (ab ＋bc ＋ca )≥(b ＋c ＋a )2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥(a ＋b ＋c )2.即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．当a ＝b ＝c 时，三角形ABC 的面积为34，不满足题意，所以s <t . 答案：s <t3．设x 1、x 2、…、x n ∈R ＋且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.证明：(n ＋1)(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝(1＋x 1＋1＋x 2＋…＋1＋x n )(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝[(1＋x 1)2＋(1＋x 2)2＋…＋(1＋x n )2]·[(x 11＋x 1)2＋(x 21＋x 2)2＋…＋(x n1＋x n)2]≥(1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2＋…＋1＋x n ·x n1＋x n)2＝(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.4．已知正数x ，y ，z 满足5x ＋4y ＋3z ＝10. (1)求证：25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥5.(2)求9x 2＋9y 2＋z 2的最小值．解：(1)证明：根据柯西不等式，得[(4y ＋3z )＋(3z ＋5x )＋(5x ＋4y )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥(5x ＋4y ＋3z )2，当且仅当4y ＋3z 5x ＝3z ＋5x 4y ＝5x ＋4y 3z 时，等号成立，因为5x ＋4y ＋3z ＝10，所以25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥10220＝5.(2)根据基本不等式，得9x 2＋9y 2＋z 2≥29x 2·9y 2＋z 2＝2·3x 2＋y 2＋z 2，当且仅当x 2＝y 2＋z 2时，等号成立．根据柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(52＋42＋32)≥(5x ＋4y ＋3z )2＝100，即x 2＋y 2＋z 2≥2，当且仅当x 5＝y 4＝z 3＝15时，等号成立．综上，9x 2＋9y 2＋z 2≥2×32＝18.。

不等式选讲――柯西不等式与排序不等式(全)

不等式选讲――柯西不等式与排序不等式（全）例1 已知12,,n a a a ⋅⋅⋅都是正数，求证：21212111()()n na a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥ 证1：()i a R i N +∈∈12n a a a ∴++⋅⋅⋅+≥，12111n a a a ++⋅⋅⋅+≥21212111()()n na a a n a a a ∴++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥，当且仅当12n a a a ==⋅⋅⋅=时等号成立. 证2：构造两个数组：利用柯西不等式有22211`1([][]nn ni i i ===≤⋅∑∑即 21111(1)()()nn nii i i ia a===≤∑∑∑21212111()()n na a a n a a a ∴++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥例2 设(1,2,,)i a R i n ∈=⋅⋅⋅，且22111()1nnii i i A a a n ==+<-∑∑，证明：122A a a <证明：由柯西不等式，有2222222212121211()[()](111)[()](1)(2)n ni n ni i i a a a a a a a n a a a ===++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+∑∑221211(1)(2)1ni i i A a n a a a n =∴+<⋅-+-∑∑122A a a ∴<例3. 设12,,,,k a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，有2111nnk k k a k k==≥∑∑证明：22211()[nnn n k a k k a =≤⋅∑∑∑∑不妨设12k a a a <<⋅⋅⋅<，则k a k ≥，故11k a k≤ 1111nn k k k a k==∴≤∑∑2211111()()n n n k k k k a k k k ===∴≤∑∑∑，即2111nn kk k a k k ==≤∑∑例4.已知,0a b >，4422222(1)1(1)(1)a b f b a b a b+=+++++，求证：16f ≥ 证明：由题意，可得442222222222222(1)1(1)(1)(1)[(1)][(1)]a b a b f b a a b a b b a b b a++=+++++=+++++ 222222222(1)(1)[(1)][][]a b a b a b b a b a++=+++≥+令22(1)a b g b a+=+22222()](1)a b g b a ∴+=++≥++221()2()11()()24a b a b a b g a b a b a b a b++++++∴≥==+++≥+++即4f ≥例5.证明：22221212()n na a a a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤证明：221212()(111)n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅222221212()(111)()n n a a a n a a a ≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ 22221212()n n a a a a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+∴≤若上述不等式中12,,,0n a a a ⋅⋅⋅>，两边开平方，得12n a a a n ++⋅⋅⋅+≤这就是著名的不等式：n 个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值.例6 .求证：对于任意实数12,a a 和12,b b ，下面不等式恒成立证明：由柯西不等式，得： 2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+又 2222222212112)()(()b a a b b b =++++ 222222121211221122()()2()()()a a b b a b a b a b a b ≥+++++=+++两边开平方即得证. 例7 .证明：对于任意实数,,x y z ，不等式222222()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x +++≥+++成立.证明：由柯西不等式，得 222222()()()()x y y z x yy z y x z++≥+=+ 22222()()()y z z x z y x ++≥+，222222()()()z x x y x y z ++≥+2222222222222()()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x ∴+++≥+++ 222222,,0x y y z z x +++≥222222()()()()()()x y y z z x xyz x y y z z x ∴+++≥+++例8. 若u =,p q 是使u 有意义的实数，试确定u 的最大值.解：由柯西不等式，得u =1122(111)(23262)p q q p q ≤++-+-+-=当且仅当23262p q q p q -=-=-即2,2p q ==时等号成立.max u ∴=练习：1.已知a 1,a 2,a 3,…,a n ，b 1,b 2,…,b n 为正数，求证：2设,,,,21+∈R x x x n 求证：n nn x x x x x x x x x x x +++≥++++ 211232213.已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=，试求a 的最值.4.设a 、b 、c>0且acos2θ+bsin2θ<c ，求证c b a <+θθ22sin cos.5.设a ﹐b 为不相等的正数﹐试证：(a ＋b)(a 3＋b 3)＞(a 2＋b 2)2﹒6.设a ﹑b 均为正数，则(a ＋2b )(1a ＋2b)之最小值＝ .﹒ 7.(a 2＋b 2＋c 2)((21a )＋(21b)＋(21c ))最小值为 .8.设16)1z (9)1y (4x 222++++=1，求2x+y+z-16之最大值，最小值 . 9.设x ，y ，z ∈R ，若x 2+y 2+z 2=5，求x-y+2z 的最大值 .，且此时(x ，y ，z)= . 10.设x ，y ，z 均为正实数，且x+y+z=10，求z9y 1x 4++的最小值 .且此是(x ，y ，z)= . 11.x , y , z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5﹐求(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值 . 12.设a 、b 为实数，求a 2+b 2+(2a-3b+4)2的最小值为 . 13.设x ，y ，z ∈R ，求222zy 2x z y x 2++-+的最大值 .14.设 a , b , c > 0，证明１）．a 2a b 2b c 2c ≥ a b+c b c+a c a+b . ２）．a a b b c c ≥ 3)(cb a abc ++.３）．ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a 333222222222++≤+++++≤++. ４）．333888111c b a c b a c b a ++≤++. 5). cb a b a ac c b ++++222222 ≥ abc.15.设 x 1 , x 2 , … , x n (n ≥ 2) 全是正整数，并有以下性质：x 1 + x 2 + … + x n = x 1x 2 … x n证明：1 < nx x x n+++...21 ≤ 2.16.设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证：cb a ac c b b a ++>+++++922217.a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++.18.若a >b >c 求证：ca cb b a -≥-+-411.19.+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a .20. 设 a , b , c ≥ 0，證明 23≥+++++b a c a c b c b a .21.已知a 、b 、c ∈R +且a+b+c=1，求141414+++++c b a 的最大值.22.求)cos 11)(sin 11(a a y ++=的最小值)20(π<<a .23.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，其外接圆半径为R ，求证：222222236)sin 1sin 1sin 1)((R CB A c b a ≥++++24.比较大小：1010⨯1111⨯1212⨯1313 与 1013⨯1112⨯1211⨯1310.。

高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3.2一般形式的柯西不等式试题新人教A版选修4-5(2021年

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二一般形式的柯西不等式课后篇巩固探究A组1.已知a，b，c均大于0,A=,B=,则A,B的大小关系是()A。

A>B B。

A≥BC。

A<B D.A≤B解析因为(12+12+12）·(a2+b2+c2)≥（a+b+c）2,所以,当且仅当a=b=c时,等号成立。

又a，b,c均大于0，所以a+b+c>0,所以。

答案B2。

若x2+y2+z2=1,则x+y+z的最大值等于()A.2 B。

4C.D。

8解析由柯西不等式，可得［12+12+（)2］（x2+y2+z2)≥(x+y+z)2，即（x+y+z）2≤4,因此x+y+z≤2当且仅当x=y=，即x=,y=,z=时，等号成立,即x+y+z的最大值等于2.答案A3.已知+…+=1，+…+=1，则a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是（）A.1B.2C.3 D。

4解析∵(a1x1+a2x2+…+a n x n)2≤(+…+）×(+…+)=1×1=1，∴a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是1.答案A4。

设a,b,c均为正数且a+b+c=9，则的最小值为（)A.81 B。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式同步检测(含解析)新人教A版选修4-5(

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3。

3排序不等式同步检测一、选择题 1。

已知两组数，，其中,，,，，，，,,，将重新排列记为则的最大值和最小值分别是（ )A.132，6B.304,212C.22,6D.21，36 答案：B 解析：解答:因为112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n ++≥+++≥++-,所以的最大值为2374869101211304⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，最小值为2117108694123212⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故选B分析：本题主要考查了排序不等式,解决问题的关键是根据排序不等式112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n ++≥+++≥++-分析计算即可.2. 若,,其中，都是正数,则A 与B 的大小关系为（ ) A 。

A ＞B B 。

A ＜B C. D.答案：C解析：解答：依序列的各项都是正数，不妨设,则，为序列的一个排列。

依排序不等式，得，即。

分析：本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据排序不等式112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n ++≥+++≥++-分析计算即可.3. 已知a ，b ,c ＞0,则的正负情况是( )A 。

2018_2019版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式3.1二维形式的柯西不等式试题新人教A版选修

一二维形式的柯西不等式课后篇巩固探究1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为()A.1B. 2C.2D.4解析由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,所以-2≤a+b≤2(当且仅当a=1,b=1或a=-1,b=-1时,等号成立),即a+b的最大值为2.答案C492.已知=2,x,y>0,则x+y的最小值是()푥+푦25255A. B. C. D.524249解析由푥+=2,푦[( 푥)2+( 푦)2][(可得x+y=222푥)+(23푦)]21231252(푥·푥+푦·푦)≥=(2+3)2=.223215当且仅当푥·푦=푦·,即x=5,y=时等号成立.푥2答案A3.已知3x+2y=1,则当x2+y2取最小值时,实数x,y的值为()3푥=13,푥=A.{13B.{2푦=푦=213,31311 푥 = 푥 = 6,C.{4D.{1푦 = 푦=1 4,1 61 1 1 1 푥 푦 解析因为 x 2+y 2= (x 2+y 2)(32+22)≥ (3x+2y )2= ,所以当 x 2+y 2有最小值 ,当且仅当3 = 时,131313132푥 = 푦 =等号成立,得{313,2 13.答案 A4.函数 y= 푥 -5+2 6 -푥的最大值是( ) A. 3B. 5C.3D.5解析根据柯西不等式,知 y=1× 푥 -5+2× 266 -푥 ≤12 + 22 ×( 푥 -5)2 +( 6 -푥)2 =5 6 -푥 푥 -5 ,当且仅当 =2 ,即 x=5时,等号成立. 答案 B1 5.已知 m 2+n 2= ,则 2m+2n 的最大值为( )43 6A.B.C. 6D.6221解析由柯西不等式可得(m 2+n 2)[(2)2+22]≥( 2m+2n )2,即 ×6≥( 2m+2n )2,则 2m+2n ≤46 6,故 2m+2n 的最大值为 .22答案 B 6.导学号 26394051若长方形 ABCD 是半径为 R 的圆的内接长方形,则长方形ABCD 周长的最大值为( )A.2RB.2 2RC.4RD.4 2R2解析如图,设圆内接长方形 ABCD 的长为 x ,则宽为 4푅2 - 푥2,于是 ABCD 的周长 l=2(x+4푅2 - 푥2 4푅2 - 푥2)=2(1×x+1×).11由柯西不等式得 l ≤2[x 2+( 4푅2- 푥2)2] (12+12 =2×2R×=4 R ,当且仅当 x ·1=2 )2224푅2 - 푥22·1,即 x=R 时,等号成立.此时 4푅2 - 푥2 = 4푅2 - ( 2푅)2 = 2R ,即四边形 ABCD 为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为 4 2R. 答案 D7.若 3x+4y=2,则 x 2+y 2的最小值为 . 解析由柯西不等式(x 2+y 2)(32+42)≥(3x+4y )2,得 25(x 2+y 2)≥4,4푥푦25(当且仅当4时,等号成立) 所以x 2+y 2≥.3 =63푥 + 4푦 = 2, 푥 =25,解方程组{得{푥 푦3 = 4,푦 =825.684因此,当 x= ,y=时,x 2+y 2取得最小值,最小值为 .2525254答案25푏푑8.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P= 푎푏+푐푑,Q= 푚푎+푛푐푚+,则P与Q的大小关系푛是.解析P= 푎푚×푏푚+푛푐×푑푛3≤ ( 푎푚)2 + ( 푛푐)2 ×( 2 푏 푚) + ( 2푑푛)푏 푑 푑 푏= 푎푚 + 푛푐=Q 当且仅当时,等号成立 ).푛(푎푚· 푛=푛푐· 푚 +푚答案 P ≤Q9.已知 a ,b ,m ,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则(am+bn )(bm+an )的最小值为 . 解析由柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd )2,可得(am+bn )(bm+an )≥( 푎푚· 푎푛 + 푏푚· 푏푛)2=mn (a+b )2=2,即(am+bn )(bm+an )的最小值为 2. 答案 210.函数 y= 푥 -4 + 25 -5푥的最大值为 . 解析∵y= 푥 -4 + 25 -5푥,∴y=1× 푥 -4 + 5 × 5 - 푥25≤ (1 + 5)(푥 -4 + 5 -푥)= 6(当且仅当,即 x= 时等号成立5 -푥 = 5· 푥 - 46).答案 611 11.已知 a ,b ∈R +,且 a+b=1,则2푎 + 的最小值是 .푏1 1 1 1푏(푏)解析因为 a ,b ∈R +,且 a+b=1,所以2푎 + =(a+b )· 2푎 + ,由柯西不等式得(a+b )1(2푎 +1푏)≥ ( 푎·1 2푎+ 푏·21 푏)= ( 222+ 1)= 3 푎푏2 +2,当且仅当,且 a+b=1,即 a=-푏=22푎1 1 31,b=2- 2时,取最小值 .2푎 + 2 + 2푏3答案2+212.已知a,b,c为正数,且满足a cos2θ+b sin2θ<c,求证푎cos2θ+푏sin2θ<푐.证明由柯西不等式得푎cos2θ+푏sin2θ4≤ ( 푎cos 휃)2 + ( 푏sin 휃)2· cos 2휃 + sin 2휃= ( 푎cos 휃)2 + ( 푏sin 휃)2 = 푎cos 2휃 + 푏sin 2휃 < 푐,故不等式成立.푎2푏213.设 a ,b ∈R +,且 a+b=2.求证2 -푎 +≥2.2 - 푏证明由柯西不等式,有푎2 [(2-a )+(2-b )](2 -푎 +푏22 -푏)=[( 2 -푎)2+(2 -푏)2][( 2푎2 -푎)+ ( 2푏2 -푏) ]≥( 2 -푎 × 푎 2 -푎+ 2 -푏 ×2푏2 -푏)=(a+b )2=4.푎2 则2 -푎 + 푏2 2 -푏 ≥ 4(2 -푎)+ (2 -푏)푏 2 -푎 푎 2 - 푏=2(当且仅当时,等号成立).=2 -푏2 - 푎故原不等式成立.1 114.已知 x 2+y 2=2,且|x|≠|y|,求 + 的最小值.(푥 + 푦)2(푥 -푦)2푢 + 푣 푢 - 푣解令 u=x+y ,v=x-y ,则 x=,y=.22∵x 2+y 2=2,∴(u+v )2+(u-v )2=8, ∴u 2+v 2=4.11由柯西不等式,得(푣2)(u 2+v 2)≥4,+푢21 1当且仅当u2=v2=2,即x=±2,y=0,或x=0,y=±2时, 的最小值是1.+(푥+푦)2(푥-푦)2515.导学号26394053求函数y=푥2-2푥+3+푥2-6푥+14的最小值.解y=(푥-1)2+2+(3-푥)2+5,根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2 [(푥-1)2+2][(3-푥)2+5]≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)(3-x)+10]=[(x-1)+(3-x)]2+( 2+5)2=11+2 10.32+5当且仅当5(x-1)=2(3-x),即x=时,等号成立.2+5此时y min=11+210=( 10+1)2=10+1.6。

一般形式的柯西不等式及排序不等式

巩固练习一、
[ 例 1] 1 1 设 x1，x2，„，xn 都是正数，求证：＋＋„ x1 x2
1 n2 ＋x ≥ . n x1＋x2＋„＋xn
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 ＋＋＋＞＋＋＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[例 2]
π aA＋bB＋cC 在△ABC 中，试证： ≤ 3 a＋b＋c
[证明]
1 1 ∵a≥b>0，于是a≤b，
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 1 1 1 同理ca≥ab，从而bc≥ca≥ab. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a5 b5 c5 b5 c5 a5 ＋＋ ≥ ＋＋ b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 ＝ 3＋ 3＋ 3(∵a2≥b2≥c2， 3≥ 3≥ 3) c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 ≥ 3＋ 3＋ 3＝＋＋ c a b c a b 1 1 1 ＝＋＋ . a b c 所以原不等式成立．
和 S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
备注乱序和
S5=a1b3+a2b1+a3b2=185 S6=a1b3+a2b2+a3b1=180 (最小值)
乱序和
反序和
答案:220 180
知识总结点拨
1.对排序不等式的证明的理解对排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验—— 证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了 “一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识

【人教版】高中数学选修4-5第3讲柯西不等式与排序不等式课堂练习

所
以
1 a3＋b3＋abc
＋
1 b3＋c3＋abc
＋
1 c3＋a3＋abc
≤
1 ab（a＋b）＋abc
＋
bc（b＋1c）＋abc＋ac（a＋1c）＋abc＝a＋1b＋ca1b＋b1c＋c1a＝a＋1b＋c·c＋aab＋c b
＝a1bc.
故原不等式得证．
B 级能力提升
1．若 0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且 a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是( )
＋c c≤3.
所以 a b＋b c＋c a≤3. 答案：C 5．已知 a，b，c∈(0，＋∞)，则 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零
B．大于等于零
C．小于零
D．小于等于零
解析：设 a≥b≥c＞0，所以 a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得 a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a. 又知 ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以 a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab. 所以 a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即 a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0. 答案：B 二、填空题 6．设 a1，a2，…，an 为实数，b1，b2，…，bn 是 a1，a2，…，an 的任一排列，则乘积 a1b1＋a2b2＋…＋anbn 不小于________．答案：a1an＋a2an－1＋…＋ana1 7．已知 a，b，c 都是正数，则b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥________．解析：设 a≥b≥c＞0，所以b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b，由排序原理，知b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋b c＋c＋c a＋b＋a a，① b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋c c＋c＋a a＋a＋c b，② ①＋②得b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥32. 答案：23 8．设 a，b，c＞0，则bac＋cba＋acb________a＋b＋c. 解析：不妨设 a≥b≥c＞0，则1a≤1b≤1c，bc≤ac≤ab. 由顺序和≥乱序和，得 acb＋abc＋bac≥b1·bc＋1c·ac＋1a·ab＝c＋a＋b，

(部编本人教版)最新版高中数学第三章柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式试题新人教A版选修4-5【必

三排序不等式课后篇巩固探究A组1.顺序和S、反序和S'、乱序和S″的大小关系是()A.S≤S'≤S″B.S≥S'≥S″C.S≥S″≥S'D.S≤S″≤S'.2.设x,y,z均为正数,P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则P与Q的大小关系是()A.P≥QB.P>QC.P≤QD.P<Qx≥y≥z>0,则x2≥y2≥z2,则由排序不等式可得顺序和为P,乱序和为Q,则P≥Q.3.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是()A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cza<b<c,x<y<z,由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和,得顺序和ax+by+cz最大.故选D.4.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中最大的是()A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.a1b1+a2b2+a1b2+a2b1=(a1+a2)(b1+b2)=1,a1b1+a2b2-a1b2-a2b1=(a1-a2)(b1-b2)>0,∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.且a1b1+a2b2>>a1b2+a2b1.又1=a1+a2≥2,∴a1a2≤.∵0<a1<a2,∴a1a2<.同理b1b2<,∴a1a2+b1b2<.∴a1b1+a2b2>>a1a2+b1b2,∴a1b1+a2b2最大.5.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序原理,得a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.6.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是.2+22+32+42=30,最小值为反序和1×4+2×3+3×2+4×1=20.1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和17.如图所示,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若阴影部分的面积为S1,空白部分的面积之和为S2,则S1与S2的大小关系是.,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,得S1≥S2.S21≥8.若a,b,c为正数,求证a3+b3+c3≥3abc.a≥b≥c>0,则a2≥b2≥c2>0,由排序不等式,得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2,三式相加,得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).因为a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac,所以2(a3+b3+c3)≥6abc,即a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立).9.设a,b均为正数,求证.a≥b>0,则a2≥b2>0,>0,由不等式性质,得>0.则由排序不等式,可得,即.10.设a,b,c都是正数,求证a+b+c≤.a≥b≥c>0.由不等式的性质,知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.根据排序原理,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①又由不等式的性质,知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.再根据排序原理,得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②由①②及不等式的传递性,得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.两边同除以abc,得a+b+c≤(当且仅当a=b=c时,等号成立).B组1.设a,b,c>0,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()A.M≥0B.M≤0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca≥a3bc+b3ac+c3ab.∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.2.若0<α<β<γ<,F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ),则()A.F>0B.F≥0C.F≤0D.F<00<α<β<γ<,所以0<sin α<sin β<sin γ,0<cos γ<cos β<cos α,由排序不等式可知,sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α>sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ, 而F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin 2α+sin 2β+sin 2γ)=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ)>0.3.导学号26394057车间里有5台机床同时出了故障,从第1台到第5台的修复时间依次为4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每台机床停产1 min损失5元,经合理安排损失最少为()A.420元B.400元C.450元D.570元1台到第5台的修复时间依次为t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第1台到第5台的顺序修复,则修复第一台需要t1分钟,则停产总时间为5t1,修复第2台需要t2分钟,则停产总时间为4t2,…,修复第5台需要t5分钟,则停产总时间为t5,因此修复5台机床一共需要停产的时间为5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值.由排序不等式可知,当t1<t2<t3<t4<t5时,5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值,最小值为5×4+4×5+3×6+2×8+10=84分钟,故损失最小为84×5=420元.4.导学号26394058在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边依次为a,b,c,试比较的大小关系.a≥b≥c,则有A≥B≥C.由排序不等式,可得aA+bB+cC≥aA+bC+cB,aA+bB+cC≥aB+bA+cC,aA+bB+cC≥aC+bB+cA.将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c)π.所以.5.导学号26394059设x>0,求证1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.x≥1时,因为1≤x≤x2≤…≤x n,所以由排序原理得1·1+x·x+x2·x2+…+x n·x n≥1·x n+x·x n-1+…+·x+x n·1,即1+x2+x4+…+≥(n+1)x n.①又x,x2,…,x n,1为序列1,x,x2,…,x n的一个排列,所以1·x+x·x2+…+x n-1x n+x n·1≥1·x n+x·x n-1+…+x n-1·x+x n·1,因此x+x3+…++x n≥(n+1)x n, ②①+②,得1+x+x2+…+≥(2n+1)x n.③当0<x<1时,1>x≥x2≥…≥x n,①②仍成立,故③也成立.综上,原不等式成立.。

高考数学各地模拟汇编---数学柯西不等式与排序不等式

2014年12月28日高中数学柯西不等式与排序不等式一．解答题（共30小题）1．（2014•福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．2．（2014•漳州三模）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣3|，（Ⅰ）求f（x）的最小值m（Ⅱ）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．3．（2014•福建模拟）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．4．（2014•泉州模拟）设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．5．（2014•河南模拟）已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．6．（2014•泉州模拟）已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．7．（2014•福建模拟）已知a＞b＞0，且m=a+．（Ⅰ）试利用基本不等式求m的最小值t；（Ⅱ）若实数x，y，z满足x+y+z=3且x2+4y2+z2=t，求证：|x+2y+z|≤3．8．（2014•徐州模拟）已知a，b，c均为正数，且a+2b+4c=3，求的最小值，并指出取得最小值时a，b，c的值．9．（2014•南京三模）已知a，b，c∈R，a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最大值．10．（2014•宿迁模拟）已知不等式|x+1|≤4的解集为A，记A中的最大元素为T，若正实数a，b，c满足a2+b2+c2=T，求a+2b+c的最大值．11．（2014•宁德模拟）已知函数f（x）=|x﹣4|﹒（Ⅰ）若f（x）≤2，求x的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求g（x）=2+的最大值﹒（Ⅰ）求M的值；（Ⅱ）解关于x的不等式|x+4|﹣|x﹣1|≥M．13．（2014•盐城三模）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，求证：x+y+z=．14．（2014•徐州三模）已知x，y，z∈R，且x+2y+3z+8=0．求证：（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2≥14．15．（2014•福建模拟）若a，b，c∈R+，且满足a+b+c=2．（Ⅰ）求abc的最大值；（Ⅱ）证明：++≥．16．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．17．（2014•泰州模拟）若不等式|a﹣1|≥x+2y+2z对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围．18．（2014•南通模拟）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求++的最大值．19．（2013•福建一模）已知函数f（x）=2+（Ⅰ）求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|m﹣2|恒成立，求实数m的取值范围．20．（2013•厦门模拟）（Ⅰ）证明二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）；（Ⅱ）若实数x，y，z满足x2+y2+z2=3，求x+2y﹣2z的取值范围．21．（2013•徐州三模）不等式选讲：已知x，y，z∈R，且x﹣2y﹣3z=4，求x2+y2+z2的最小值．22．（2013•江苏一模）（选修4﹣5：不等式选讲）已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求的最大值．23．（2012•焦作一模）已知|x﹣2y|=5，求证：x2+y2≥5．24．（2012•盐城一模）已知x、y、z均为正数，求证：．25．（2012•浙江模拟）已知函数f（x）的定义域为[a，b]，且f（a）=f（b），对于定义域内的任意实数x1，x2（x1≠x2）都有|f（x1）﹣f（x2）|＜|x1﹣x2|（1）设S=（x+y﹣3）2+（1﹣x）2+（6﹣2y﹣x）2，当且仅当x=a，y=b时，S取得最小值，求a，b的值；（2）在（1）的条件下，证明：对任意x1，x2∈[a，b]，有|f（x1）﹣f（x2）|＜成立．26．（2012•焦作模拟）选修4﹣5：不等式选讲已知|x﹣2y|=5，求证：x2+y2≥5．27．（2011•辽宁二模）（选做题）已知x2+3y2+4z2=2，求证：|x+3y+4z|≤4．28．（2010•福建模拟）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，求a的取值范围．29．已知3x2+2y2≤6，求2x+y的最大值．30．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2014•福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：计算题；证明题；不等式的解法及应用．分析：（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可证得．解答：（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3．点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．2．（2014•漳州三模）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣3|，（Ⅰ）求f（x）的最小值m（Ⅱ）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：选作题；不等式选讲．分析：（Ⅰ）法1：f（x）=|x﹣4|+|x﹣3|≥|（x﹣4）﹣（x﹣3）|=1，可得函数f（x）的最小值；法2：写出分段函数，可得函数f（x）的最小值；（Ⅱ）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2=1解答：解：（Ⅰ）法1：f（x）=|x﹣4|+|x﹣3|≥|（x﹣4）﹣（x﹣3）|=1，故函数f（x）的最小值为1．m=1．…（4分）法2：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）分）故函数f（x）的最小值为1．m=1．…（4分）（Ⅱ）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）故a2+b2+c2≥﹣…（6分）当且仅当时取等号…（7分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查二维形式的柯西不等式，属于中档题．3．（2014•福建模拟）已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）由条件可得，求得3≤m≤5．根据不等式仅有一个整数解2，可得整数m的值．（2）根据a4+b4+c4=1，利用柯西不等式求得（a2+b2+c2）2≤3，从而求得a2+b2+c2的最大值．解答：解：（I）由|2x﹣m|≤1，得．∵不等式的整数解为2，∴⇒3≤m≤5．又不等式仅有一个整数解2，∴m=4．（2）由（1）知，m=4，故a4+b4+c4=1，由柯西不等式可知；（a2+b2+c2）2≤（12+12+12）[（a2）2+（b2）2+（c2）2]所以（a2+b2+c2）2≤3，即，当且仅当时取等号，最大值为．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题．4．（2014•泉州模拟）设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=+=•+≤•=3，求得实数M的值．（Ⅱ）关于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得x的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．故不等式的解集为[﹣2，1]．点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题．5．（2014•河南模拟）已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．考点：二维形式的柯西不等式；函数恒成立问题．专题：选作题；不等式选讲．分析：（Ⅰ）利用柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3；（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3，问题等价于|x﹣1|+|x+1|≥3．解答：解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以﹣≤a+b+c≤所以：|a+b+c|≤；…（5分）（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3 …（7分）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪，+∞）…（10分）点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，正确运用柯西不等式是关键．6．（2014•泉州模拟）已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用绝对值三角不等式求得|t+3|﹣|t﹣2|的最大值，可得6m﹣m2≥5，由此求得实数m的取值范围（Ⅱ）由题意可得λ=5，3x+4y+5z=5，再根据（x2+y2+z2）（32+42+52）≥25，求得x2+y2+z2的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵|t+3|﹣|t﹣2|≤|（t+3）﹣（t﹣2）|=5，不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立，可得6m﹣m2≥5，求得1≤m≤5，或m≥5，即实数m的取值范围为{m|1≤m≤5}．（Ⅱ）由题意可得λ=5，3x+4y+5z=5．∵（x2+y2+z2）（32+42+52）≥（3x+4y+5z）2=25，当期仅当==时，等号成立，即x=，y=，z=时，取等号．∴50（x2+y2+z2）≥25，∴x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值为，点评：本题主要考查绝对值三角不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．7．（2014•福建模拟）已知a＞b＞0，且m=a+．（Ⅰ）试利用基本不等式求m的最小值t；（Ⅱ）若实数x，y，z满足x+y+z=3且x2+4y2+z2=t，求证：|x+2y+z|≤3．考点：二维形式的柯西不等式；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅱ）由条件利用柯西不等式求得当且仅当x=z=，y=时，9≥（x+2y+z）2成立，从而证得结论．解答：解：（Ⅰ）∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，m=a+=（a﹣b）+b+=3．（当且仅当a﹣b=b=，即b=1，a=2时取“=”号），∴m的最小值t=3．（Ⅱ）∵x+y+z=3，且x2+4y2+z2=t，由柯西不等式得：[且x2+（2y）2+z2]•（1+1+1）≥（x+2y+z）2，（当且仅当==，即x=z=，y=，时取“=”号）整理得：9≥（x+2y+z）2，∴：|x+2y+z|≤3．点评：本题主要考查基本不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题．8．（2014•徐州模拟）已知a，b，c均为正数，且a+2b+4c=3，求的最小值，并指出取得最小值时a，b，c的值．考点：二维形式的柯西不等式．专题：选作题；不等式选讲．分析：由a+2b+4c=3，可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）=10，由柯西不等式可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）[++]≥（1++2）2，即可得出结论．解答：解：∵a+2b+4c=3，∴（a+1）+2（b+1）+4（c+1）=10，∵a，b，c均为正数，∴由柯西不等式可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）[++]≥（1++2）2，当且仅当（a+1）2=2（b+1）2=4（c+1）2，等号成立，∴++≥，∴2（c+1）+2（c+1）+4（c+1）=10，∴c=，b=，a=．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．9．（2014•南京三模）已知a，b，c∈R，a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最大值．考点：二维形式的柯西不等式．专题：计算题；不等式选讲．分析：考虑到柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2的应用，构造出柯西不等式求出（a+b+c）2的最大值开方即可得到答案．解答：解：因为已知a、b、c是实数，且a2+2b2+3c2=6，根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2故有（a2+2b2+3c2）（1++）≥（a+b+c）22点评：此题主要考查一般形式的柯西不等式的应用，对于此类题目很多同学一开始就想到应用参数方程求解，这个方法可行但是计算量较高，而应用柯西不等式求解较简单，同学们需要很好的理解掌握．10．（2014•宿迁模拟）已知不等式|x+1|≤4的解集为A，记A中的最大元素为T，若正实数a，b，c满足a2+b2+c2=T，求a+2b+c的最大值．考点：二维形式的柯西不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：首先求出解集A，求出最大元素3，再运用柯西不等式：（ad+be+cf）2≤（a2+b2+c2）（d2+e2+f2），注意等号成立的条件：．解答：解：∵不等式|x+1|≤4的解集A是[﹣5，3]，∴A中的最大元素为3，即T=3，∴a2+b2+c2=T=3，由柯西不等式得（a+2b+c）2≤（12+22+12）（a2+b2+c2）=18，∵a，b，c均为正数，∴a+2b+3c≤3，当且仅当即a=，b=，c=时，a+2b+c的最大值为3．点评：本题主要考查柯西不等式及运用，注意等号成立的条件，同时考查绝对值不等式的解法，是一道基础题．11．（2014•宁德模拟）已知函数f（x）=|x﹣4|﹒（Ⅰ）若f（x）≤2，求x的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求g（x）=2+的最大值﹒考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）解绝对值不等式f（x）≤2，求得x的取值范围．（Ⅱ）由即2≤x≤6 可得g（x）=2+，利用柯西不等式，求得g（x）的最大值．解答：解：（Ⅰ）由已知得，|x﹣4|≤2，即﹣2≤x﹣4≤2，即2≤x≤6，即x的范围为[2，6]．（Ⅱ）由即2≤x≤6 可得g（x）=2+，由柯西不等式，得g（x）≤=2．当且仅当=即x=时，g（x）的最大值为2．点评：本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想12．（2014•厦门二模）已知a，b，c∈R，且a+b+c=3，a2+b2+c2的最小值为M．（Ⅰ）求M的值；（Ⅱ）解关于x的不等式|x+4|﹣|x﹣1|≥M．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（a+b+c）2=9，从而求得a2+b2+c2的最小值为M．（Ⅱ）把不等式|x+4|﹣|x﹣1|≥3等价转化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，解答：解：（Ⅰ）由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（a+b+c）2=9，故a2+b2+c2 ≥3，即a2+b2+c2的最小值为M=3．（Ⅱ）由不等式|x+4|﹣|x﹣1|≥3，可得①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得0≤x＜1，解③求得x≥1，综上可得，不等式的解集为[0，+∞）．点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．13．（2014•盐城三模）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，求证：x+y+z=．考点：二维形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用二维形式的柯西不等式求得x、y、z的值，从而证得x+y+z=．解答：证明：∵14=（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14，∴，∴z=3x，y=2x，又，∴x=，y=，z=，∴．点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题．14．（2014•徐州三模）已知x，y，z∈R，且x+2y+3z+8=0．求证：（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2≥14．考点：二维形式的柯西不等式．专题：证明题；不等式选讲．分析：由柯西不等式，可得：[（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2]（12+22+32）≥[（x﹣1）+（y+2）+（z﹣3）]2=（x+2y+3z ﹣6）2，即可得出结论．解答：证明：因为：[（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2]（12+22+32）≥[（x﹣1）+（y+2）+（z﹣3）]2 =（x+2y+3z﹣6）2=142，…（8分）当且仅当，即x=z=0，y=﹣4时，取等号，所以：（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2≥14．…（10分）点评：此题主要考查一般形式的柯西不等式的应用，考查学生分析解决问题的能力．15．（2014•福建模拟）若a，b，c∈R+，且满足a+b+c=2．（Ⅰ）求abc的最大值；（Ⅱ）证明：++≥．考点：二维形式的柯西不等式．专题：选作题；不等式选讲．分析：（Ⅰ）利用基本不等式，可求abc的最大值；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可证明．解答：（Ⅰ）解：因为a，b，c∈R+，所以2=a+b+c≥3，故abc≤．…．（3分）当且仅当a=b=c=时等号成立，所以abc的最大值为．…．（4分）（Ⅱ）证明：因为a，b，c∈R+，且a+b+c=2，所以根据柯西不等式，可得++=（a+b+c）（++）…．（5分）=[][]≥（++）2=．所以++≥．…．（7分）点评：本小题主要考查平均值不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想．16．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．考点：一般形式的柯西不等式．专题：计算题．分析：利用柯西不等式，即可求得的最小值．解答：解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，即当且仅当a=b=c=时，取等号∴当a=b=c=时，的最小值为1．点评：本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题．17．（2014•泰州模拟）若不等式|a﹣1|≥x+2y+2z对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围．考点：一般形式的柯西不等式．专题：综合题．分析：不等式|a﹣1|≥x+2y+2z恒成立，只要|a﹣1|≥（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z）2求出x+2y+2z的最大值，再解关于a的绝对值不等式即可．解答：解：由柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z）2即x+2y+2z≤3，当且仅当且x2+y2+z2=1取等号，即x=，y=，z=时，x+2y+2z取得最大值3．∵不等式|a﹣1|≥x+2y+2z，对满足x2+y2+z2=1的一切实数x，y，z恒成立，只需|a﹣1|≥3，解得a﹣1≥3或a﹣1≤﹣3，∴a≥4或a≤﹣2．即实数的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．点评：本题考查柯西不等式的应用，考查运算能力和运用所学知识解决问题的能力．18．（2014•南通模拟）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求++的最大值．考点：一般形式的柯西不等式．专题：计算题；不等式选讲．分析：根据柯西不等式（x1y1+x2y2+x3y3）2≤（x12+x22+x32）（y12+y22+y32），将原式进行配凑并结合已知条件a+b+c=1加以计算，即可得到++的最大值．解答：解：因为a、b、c＞0，所以（++）2=（•1+•1+•1）2≤（（a+1）+（b+1）+（c+1））（1+1+1）=12，…3分于是++≤2，当且仅当==，即a=b=c=时，取“=”．所以，++的最大值为2…10分．点评：本题给出三个正数满足a+b+c=1，求++的最大值．考查了利用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．19．（2013•福建一模）已知函数f（x）=2+（Ⅰ）求证：f（x）≤5，并说明等号成立的条件；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|m﹣2|恒成立，求实数m的取值范围．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．专题：选作题；不等式选讲．分析：（Ⅰ）由柯西不等式可得（2+）2≤（22+12）[（）2+（）2]=25，即可得证；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≤|m﹣2|恒成立，等价于|m﹣2|≥5，即可求出实数m的取值范围．解答：（Ⅰ）证明：由柯西不等式可得（2+）2≤（22+12）[（）2+（）2]=25∴f（x）=2+≤5，当且仅当，即x=4时等号成立；（Ⅱ）解：关于x的不等式f（x）≤|m﹣2|恒成立，等价于|m﹣2|≥5，∴m≥7或m≤﹣3．点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（2013•厦门模拟）（Ⅰ）证明二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）；（Ⅱ）若实数x，y，z满足x2+y2+z2=3，求x+2y﹣2z的取值范围．考点：二维形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）用作差比较法证明（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立．（II）利用柯西不等式求得（x+2y﹣2z）2≤27，可得x+2y﹣2z的取值范围．解答：解：（I）证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2 =a2d2﹣2adbc+b2c2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立，当且仅当ad=bc时取得等号．（II）∵（x+2y﹣2z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+（﹣2）2）3×9=27，∴．点评：本题主要考查用作差比较法证明不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．21．（2013•徐州三模）不等式选讲：已知x，y，z∈R，且x﹣2y﹣3z=4，求x2+y2+z2的最小值．考点：一般形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用题中条件：“x﹣2y﹣3z=4”构造柯西不等式：[x+（﹣2）y+（﹣3）z]2≤[12+（﹣2）2+（﹣3）2]（x2+y2+z2），利用这个条件进行计算即可．解答：解：由柯西不等式，得[x+（﹣2）y+（﹣3）z]2≤[12+（﹣2）2+（﹣3）2]（x2+y2+z2），即（x﹣2y﹣3z）2≤14（x2+y2+z2），…（5分）即16≤14（x2+y2+z2）．所以，即x2+y2+z2的最小值为．…（10分）点评：本题考查柯西不等式在函数极值中的应用，关键是利用：[x+（﹣2）y+（﹣3）z]2≤[12+（﹣2）2+（﹣3）2]（x2+y2+z2）．22．（2013•江苏一模）（选修4﹣5：不等式选讲）已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求的最大值．考点：一般形式的柯西不等式；平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用柯西不等式，结合a+2b+3c=6，即可求得的最大值．解答：解：由柯西不等式可得（）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×9∴≤3，当且仅当时取等号．∴的最大值是3故最大值为3．点评：本题考查最值问题，考查柯西不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．23．（2012•焦作一模）已知|x﹣2y|=5，求证：x2+y2≥5．考点：二维形式的柯西不等式．专题：选作题；不等式选讲．分析：根据柯西不等式，得5（x2+y2）≥|x﹣2y|2，结合已知等式|x﹣2y|=5，得x2+y2≥5，再利用不等式取等号的条件加以检验即可．解答：证明：由柯西不等式，得（x2+y2）[12+（﹣2）2]≥（x﹣2y）2即5（x2+y2）≥（x﹣2y）2=|x﹣2y|2∵|x﹣2y|=5，∴5（x2+y2）≥25，化简得x2+y2≥5．当且仅当2x=﹣y时，即x=﹣1，y=2时，x2+y2的最小值为5∴不等式x2+y2≥5成立．点评：本题给出条件等式，叫我们证明不等式恒成立，考查了运用柯西不等式证明不等式恒成立和不等式的等价变形等知识，属于基础题．24．（2012•盐城一模）已知x、y、z均为正数，求证：．考点：一般形式的柯西不等式．专题：证明题．分析：已知x、y、z均为正数，根据柯西不等式（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）≥（a1b1+a2b2+a3b3）2，可得然后进行化简，从而进行证明．解答：证明：由柯西不等式得…（5分）则，即…（10分）点评：此题主要是柯西不等式的应用，只是进行简单的变形而已，此题比较简单．25．（2012•浙江模拟）已知函数f（x）的定义域为[a，b]，且f（a）=f（b），对于定义域内的任意实数x1，x2（x1≠x2）都有|f（x1）﹣f（x2）|＜|x1﹣x2|（1）设S=（x+y﹣3）2+（1﹣x）2+（6﹣2y﹣x）2，当且仅当x=a，y=b时，S取得最小值，求a，b的值；（2）在（1）的条件下，证明：对任意x1，x2∈[a，b]，有|f（x1）﹣f（x2）|＜成立．考点：一般形式的柯西不等式；不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）S=（x+y﹣3）2+（1﹣x）2+（6﹣2y﹣x）2，利用柯西不等式求解S的最小值，当且仅当x=a，y=b时，S取得最小值，直接求a，b的值；（2）在（1）的条件下，对任意x1，x2∈[a，b]，不妨设x2＞x1，通过的大小分类讨论，证明|f（x1）﹣f（x2）|＜成立．解答：“数学史与不等式选讲”模块（10分）（1）解：由柯西不等式得（22+12+12）[（x+y﹣3）2+（1﹣x）2+（6﹣2y﹣x）2]≥（2x+2y﹣6+1﹣x+6﹣2y ﹣x）2=1当且仅当时取等号，即．…（5分）（2）证明：不妨设x2＞x1，当…（7分）当故|f（x1）﹣f（x2）|=||（x1）﹣f（a）+f（b）﹣f（x2）|≤|f（x1）﹣f（a）|+|f（x2）﹣f（b）|＜|x1﹣a|+|x2﹣b|=x1﹣a﹣x2+b=＜．故对任意成立…（10分）点评：本题考查不等式的证明，柯西不等式的几何意义，考查逻辑推理能力以及分类讨论思想的应用．26．（2012•焦作模拟）选修4﹣5：不等式选讲已知|x﹣2y|=5，求证：x2+y2≥5．考点：柯西不等式的几何意义．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式，得5（x2+y2）≥|x﹣2y|2，结合已知等式|x﹣2y|=5，得x2+y2≥5，再利用不等式取等号的条件加以检验即可．解答：解：由柯西不等式，得（x2+y2）[12+（﹣2）2]≥（x﹣2y）2即5（x2+y2）≥（x﹣2y）2=|x﹣2y|2∵|x﹣2y|=5，∴5（x2+y2）≥25，化简得x2+y2≥5．当且仅当2x=﹣y时，即x=﹣1，y=2时，x2+y2的最小值为5∴不等式x2+y2≥5成立．点评：本题给出条件等式，叫我们证明不等式恒成立，考查了运用柯西不等式证明不等式恒成立和不等式的等价变形等知识，属于基础题．27．（2011•辽宁二模）（选做题）已知x2+3y2+4z2=2，求证：|x+3y+4z|≤4．考点：一般形式的柯西不等式．专题：证明题．分析：分析题目已知x2+3y2+4z2=2，求证：|x+3y+4z|≤4．考虑到应用柯西不等式（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2），首先构造出柯西不等式求出（x+3y+4z）2的最大值，开平方根即可得到答案．解答：证明：因为已知x2+3y2+4z2=2根据柯西不等式（ax+by+cz）2≤（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）构造得：即（x+3y+4z）2≤（x2+3y2+4z2）（12+2+22）≤2×8=16故：|x+3y+4z|≤4．点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于此类题目有很多解法，但大多数比较繁琐，而用柯西不等式求解非常简练，需要同学们注意掌握．28．（2010•福建模拟）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，求a的取值范围．考点：一般形式的柯西不等式．专题：计算题．分析：先由柯西不等式得从而得到关于a的不等关系：5﹣a2≥（3﹣a）2，解之即a的取值范围．解答：解：由柯西不等式得即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2将条件代入可得5﹣a2≥（3﹣a）2，解得1≤a≤2当且仅当时等号成立，可知b=，c=，d=时a最大=2，b=1，c=，d=时，a最小=1，所以：a的取值范围是[1，2]．点评：此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的应用问题，有一定的技巧性，需要同学们对一般形式的柯西不等式非常熟练．29．已知3x2+2y2≤6，求2x+y的最大值．考点：二维形式的柯西不等式．专题：计算题．分析：令柯西不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）中的a1=x，a2=y，b1=，b2=代入即可得出解答：解：令a1=x，a2=y，b1=，b2=代入柯西不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）得（2x+y）2≤（3x2+2y2）（+）≤6×=11∴﹣≤2x+y≤∴2x+y的最大值为．点评：应用柯西不等式解题，关键是柯西不等式的项应由那些数充当．30．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．考点：一般形式的柯西不等式．专题：证明题；压轴题．分析：（I）利用柯西不等式得（a2+b2+c2）（m2+n2+p2）≥（am+bn+cp）2得，代入已知a+b+c=3即得；（Ⅱ）由，得，若c=ab，由（I）得，，从而得出c≤1即得．解答：解：（Ⅰ）由柯西不等式得代入已知a+b+c=3，∴，∴当且仅当=b=c=1，取等号．（3分）（Ⅱ）由，得，若c=ab，则，，所以，即c≤1，当且仅当a=b=1时，∴c有最大值1．（7分）．点评：本题主要考查了一般形式的柯西不等式．证明不等式时，关键是如何凑成能利用一般形式的柯西不等式的形式，注意重要不等式中等号成立的条件．。

第76讲柯西不等式、排序不等式及应用

5．(改编)设 x1，x2，x3，x4 是 2,3,4,5 的任一排列，则 2x1＋3x2＋4x3＋5x4 的最小值是 .
解析：反序和最小，即最小值为 2×5＋3×4＋4×3＋ 5×2＝44.
一
利用柯西不等式和排序不等式求最值
【例 1】(1)已知实数 x，y，z 满足 x2＋2y2＋3z2＝3，求
2.(2013· 湖北卷)设 x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1， x＋2y＋3z＝ 14，则 x＋y＋z＝ .
解析：根据柯西不等式有 (x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2， x y z 当＝＝时“＝”成立． 1 2 3 不妨令 x＝k，y＝2k，z＝3k，则由 x2＋y2＋z2＝1， 14 解得 k＝ (负根舍去)， 14 3 14 所以 x＋y＋z＝6k＝ . 7
1.(2012· 浙江卷)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋ 4y 的最小值是( C ) 24 A. 5 C．5 28 B. 5 D．6
3 1 解析：因为 x＋3y＝5xy，＋＝5， x y 于是由 x＞0，y＞0，得 1 3 1 3x＋4y＝ (3x＋4y)· ( ＋ ) 5 x y 1 3 12 ≥ ( 3x· ＋ 4y· ) 5 x y ＝5，故选 C.
又由 0<b＋c－a,0<a＋b－c,0<a＋c－b，得 0<A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)， aA＋bB＋cC π 所以 < ， a＋b＋c 2 π aA＋bB＋cC π 所以 ≤ < . 3 a＋b＋c 2

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式练习(含解析)新人教A版选修4-5-新人

三排序不等式基础巩固1有一有序数组,其顺序和为A,反序和为B,乱序和为C,则它们的大小关系为() A.A≥B≥C B.A≥C≥BC.A≤B≤CD.A≤C≤B,顺序和≥乱序和≥反序和,故A≥C≥B.2已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5,b1≤b2≤b3≤b4≤b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将b i(i=1,2,3,4,5)重新排列记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+…+a5c5的最大值和最小值分别是()A.132,6B.304,212C.22,6D.21,363设a,b>0,P=a3+b3,Q=a2b+ab2,则P与Q的大小关系是()A.P>QB.P≥QC.P<QD.P≤Q4已知a,b,c>0,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序不等式,得a3·a+b3·b+c3·c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.5设a1,a2,a3为正数,E=a1a2a3+a2a3a1+a3a1a2,a=a1+a2+a3,则a,a的大小关系是()A.E<FB.E≥FC.E=FD.E≤Fa1≥a2≥a3>0,于是1a1≤1a2≤1a3,a2a3≤a3a1≤a1a2.由排序不等式,得a1a2a3+a3a1a2+a2a3a1≥1a2·a2a3+1a3·a3a1+1a1·a1a2=a3+a1+a2,即a1a2a3+a2a3a1+a3a1a2≥a1+a2+a3.故E≥F.6某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品4件,5件和2件.现在选择商店中单价分别为3元,2元和1元的礼品,则至少要花元,最多要花元.257已知a,b,x,y∈R+,且1a >1a,a>a,则aa+a与aa+a的大小关系是.1a>1a,a>a,由排序不等式,得aa>aa>0.∴aa<aa,∴a+aa<a+aa.∴aa+a>aa+a.>aa+a8若a>0,b>0且a+b=1,则a2a+a2a的最小值是.a≥b>0,则有a2≥b2,且1a≥1a,由排序不等式,得a2a+a2a≥1a·a2+1a·b2=a+b=1,当且仅当a=b=12时,等号成立.所以a2a+a2a的最小值为1.9n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为.0<a1≤a2≤a3≤…≤a n,则0<a a-1≤a a-1-1≤…≤a1-1,由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和.故最小值为反序和a1·a1-1+a2·a2-1+⋯+a n·a a-1=a.10设a,b都是正数,求证:(aa)2+(aa)2≥aa+aa.,并比较大小,用排序不等式证明.a≥b>0,则a2≥b2,1a≥1a.所以a2a≥a2a.根据排序不等式,知a2a ·1a+a2a·1a≥a2a·1a+a2a·1a,即(aa)2+(aa)2≥aa+aa.能力提升1设x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则P=a2a +a2a+a2a与1的大小关系为()A.P=1B.P<1C.P≥1D.P≤1x,y,z∈R+,且x+y+z=1,不妨设x≥y≥z,则x2≥y2≥z2,1a ≤1a≤1a.由排序不等式,得a2a +a2a+a2a≥a2a+a2a+a2a=a+a+a=1,当且仅当x=y=z=13时,等号成立.所以P≥1.2若A=a12+a22+⋯+a a2,a=a1a2+a2a3+⋯+aa−1aa+aaa1,其中a1,a2,…,aa都是正数,则a与a的大小关系为()A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤B{x n}的各项都是正数,不妨设0<x1≤x2≤…≤x n,则x2,x3,…,x n,x1为序列{x n}的一个排列.依排序不等式,得x1x1+x2x2+…+x n x n≥x1x2+x2x3+…+x n x1,即a12+a22+⋯+a a2≥x1x2+x2x3+…+x n x1.3在锐角三角形ABC中,设P=a+a+a2,a=a cos a+a cos a+a cos a,则a,a的大小关系为()A.P≥QB.P=QC.P≤QD.不能确定A≥B≥C,则a≥b≥c,cos A≤cos B≤cos C,则由排序不等式有Q=a cos C+b cos B+c cos A≥a cos B+b cos C+c cos A=R(2sin A cos B+2sin B cos C+2sin C cos A),Q=a cos C+b cos B+c cos A≥b cos A+c cos B+a cos C=R(2sin B cos A+2sin C cos B+2sin A cos C),上面两式相加,得Q=a cos C+b cos B+c cos A≥12a(2sin A cos B+2sin B cos A+2sin B cos C+2sin C cos B+2sin C cos A+2sin A cos C)=R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]=R(sin C+sin A+sin B)=a+a+a2=a.4设a,b,c都是正数,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()A.M≥0B.M≤0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4, 则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.∵a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca≥a3bc+b3ac+c3ab.∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.5已知a,b,c都是正数,则aa+a +aa+a+aa+a的最小值为.a≥b≥c>0,则1a+a ≥1a+a≥1a+a.由排序不等式,知aa+a +aa+a+aa+a≥aa+a+aa+a+aa+a,①aa+a +aa+a+aa+a≥aa+a+aa+a+aa+a.②①+②,得aa+a +aa+a+aa+a≥32,当且仅当a=b=c时,等号成立.★6在Rt△ABC中,C为直角,A,B所对的边分别为a,b,则aA+bB与π4(a+a)的大小关系为.a≥b>0,则A≥B>0.由排序不等式aa+aa≥aa+aa aa+aa=aa+aa}⇒2(aA+bB)≥a(A+B)+b(A+B)=π2(a+a).故aA+bB≥π4(a+a).≥π4(a+a)7设a ,b ,c 都是正实数,求证:a a b b c c≥(ab a )a +a +a3.a ≥b ≥c>0,则lg a ≥lg b ≥lgc , 由排序不等式,得a lg a+b lg b+c lg c ≥b lg a+c lg b+a lg c , a lg a+b lg b+c lg c ≥c lg a+a lg b+b lg c ,且a lg a+b lg b+c lg c=a lg a+b lg b+c lg c , 以上三式相加整理,得3(a lg a+b lg b+c lg c ) ≥(a+b+c )(lg a+lg b+lg c ), 即lg(a a b b c c)≥a +a +a3·lg(abc ). 故a a b b c c≥(ab a )a +a +a3.★8设a ,b ,c 都是正实数,求证:1a+1a+1a≤a 8+a 8+a 8a 3a 3a 3.a ≥b ≥c>0,则1a ≥1a ≥1a ,而1a 3a 3≥1a 3a 3≥1a 3a 3.由不等式的性质,知a 5≥b 5≥c 5. 由排序不等式,知a 5a 3a 3+a 5a 3a 3+a 5a 3a 3≥a 5a 3a 3+a 5a 3a 3+a 5a 3a 3=a 2a 3+a 2a 3+a 2a 3.又由不等式的性质,知a 2≥b 2≥c 2,1a 3≥1a 3≥1a 3.由排序不等式,得a 2a 3+a 2a 3+a 2a 3≥a 2a 3+a 2a 3+a 2a 3=1a +1a +1a. 由不等式的传递性,知1a +1a +1a ≤a 5a 3a 3+a 5a 3a 3+a 5a 3a 3=a 8+a 8+a 8a 3a 3a 3. 故原不等式成立.。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形

3.1二维形式的柯西不等式同步检测一、选择题1. 已知x，y＞0，且xy＝1 ，则的最小值为( )A.4B.2C.1D.答案：A解析：解答：，当且仅当时等号成立.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.2. 函数的最大值是( )A.3B.C.D.4答案：C解析：解答：，当且仅当，即时等号成立.∴y的最大值为分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是两边平方，如何根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.3. 已知，x，y＞0，则x＋y的最小值是( )A. B. C. D.5答案：A解析：解答：由，可得.当且仅当，即，时等号成立.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.4. 已知x＋y＝1，那么的最小值是( )A. B. C. D.答案：B解析：解答：.当且仅当，即，时等号成立.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式构造变换计算即可.5. 若，则2x＋y的最大值为( )A.8B.4C.D.5答案：C解析：解答：.∴，当且仅当时等号成立，即.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.6. 若a＋b＝1，则的最小值为( )A.1B.2C.D.答案：C解析：解答：.∵，∴，又，以上两个不等式都是当且仅当时，等号成立.∴，当且仅当时等号成立，取到最小值.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是首项展开所给式子，如何结合条件根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.7. 已知，则2x＋y的最大值是( )A. B.2 C. D.3答案：C解析：解答：当且仅当，即时等号成立，即取到最大值.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.二、填空题8.设xy＞0，则的最小值为__________.答案：9解析：解答：原式.当且仅当时等号成立，即所求最小值为9.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.9. 函数的最大值为__________.答案：5解析：解答：∵，当且仅当，即时等号成立.∴函数y的最大值为5.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是两边平方然后根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.10. 设实数x，y满足，则2x＋y的最大值为__________.答案：解析：解答：由柯西不等式得.当且仅当，即，时等号成立.因此的最大值为.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.三、解答题11. 如何把一条长为m的绳子截成3段，各围成一个正方形，使这3个正方形的面积和最小？答案：解：设这3段的长度分别为x，y，z，则x＋y＋z＝m，且3个正方形的面积和.因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝m2，等号当且仅当时成立，所以x2＋y2＋z2有最小值，从而S有最小值.把绳子三等分后，这3段所围成的3个正方形的面积和最小.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给问题求得面积的表达式，如何根据二维形式的柯西不等式变换计算求得其最小值即可.12. 已知，，求证：.答案：证明：由柯西不等式，得.当且仅当时等号成立.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.13. 设a，b，C为正数，求证：.答案：证明：由柯西不等式：，即，同理：，，将上面三个同向不等式相加得：，∴.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可.14. 在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形.答案：解：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为，于是长方形ABCD的周长.由柯西不等式得.当且仅当，即时等号成立.此时，.即长方形ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给实际问题得到周长的表达式，然后根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.15. 设a，b＞0，且a＋b＝2.求证：.答案：证明：根据柯西不等式，有.∴.当且仅当，即时等号成立.∴原不等式成立.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用柯西不等式前，需要观察不等式的结构特点，本题可以看作求的最小值，因而需出现结构.把视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是.16. 设a，b，c，b是4个不全为零的实数，求证：.答案：证明：ab＋2bc＋cd＝(ab＋cd)＋(bc－ad)＋(bc＋ad)∴.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件.17. 设a1，a2，a3为正数，求证：答案：证明：因为，由柯西不等式得，于是.故，同理，将以上三个同向不等式相加，即得解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可.18. 若3x＋4y＝2，求x2+y2的最小值答案：解：由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2得25(x2＋y2)≥4，所以.当且仅当时等号成立，由得因此，当，时，x2＋y2取得最小值，最小值为.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后利用柯西不等式求最值.19. 已知a＞b＞c，求证：答案：证明：原不等式可变形为.又，利用柯西不等式证明即可.证明：，当且仅当，即时等号成立.∴原不等式成立.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键对所给条件解析变换结合如何构造不等式计算即可20. 已知且关于的不等式的解集为.①求的值；②若，均为正实数，且满足，求的最小值.答案：解答：①因为，不等式可化为，∴，即，∵其解集为，∴，.②由①知，(方法一：利用基本不等式)∵，∴，∴的最小值为.(方法二：利用柯西不等式)∵，∴，∴的最小值为.(方法三：消元法求二次函数的最值)∵，∴，∴，∴的最小值为.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是(1)先利用求出不等式的解集，再结合解集的端点值进行求解；(2)解法一：根据两正数为定和，两边平方，借助进行求解；解法二：构造柯西不等式的形式进行求解；解法三：消元，将其转化为关于的二次函数进行求解．21. 求证：点到直线Ax＋By＋C＝0的距离为答案：证明：设是直线上任意一点，则.因为，，由柯西不等式，得所以.当且仅当时，取等号，取得最小值.因此，点到直线 =0的距离为.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用二维形式的柯西不等式，取“＝”的条件是ad＝bc.因此，在解题时，对照柯西不等式，必须弄清要求的问题中相当于柯西不等式中的“a，b，c，d”的数或代数式，否则一般出错.。