固体物理(第13课)电子热容

(1) 费米面：在波矢空间中 ， E E F的等能面
(2) 费米波矢： k F
kF
2mE F
(3) 费米波长：
F＝
2
kF
2
2mE F
(4) 费米温度：
TF
EF kB
(5) 费米速度： vF
2EF m
5.4 金属的电导率和欧姆定律
• 电导率
• 热平衡时，电子状态在K空间的分布是关于原点对 称的，K态电子与-K态电子成对出现，因而自由电 子气的总动量为零。金属中没有电流。
N0Z
Ee T
V
2
2
N0Z kB2
EFo
1 T
T
：电子热容系数 费米温度: TF0 EF0 /kB 104 ~105K
只有kBT附近的电子才能受热激发而跃迁至较高能级。
和经典理论的比较：
2
CV量 子 2 CV经 典
N0ZkB2 EFo
3 2
N0ZkB
1TkEBF To 1
晶体的摩尔热容为(液氦温度)
• 当金属加均匀恒定电场E时，电子动量变化方程：
dkeEdkeE dt
dt
• 经过时间τ后电子波矢的增量为
d keE keE
dt
• 上式表明整个费米面在K空间移动了k，因而电子 状态的分布不再具有中心对称，系统的总动量不 为0，金属中有电流流过。
ky k
kx
• 杂质、缺陷、声子对电子的散射，导致电流不可
vvdv，量子态的数目：
V 4π3
dkxdkydkz
V 4π3
m3d
vxdvydvz＝2V
5.3 自由电子气的比热
晶体定容热容：CV
E T
V
E：晶体平均内 电 晶能子 格运 振动 动 忽略
T 0K时，金属中电子的平均 能量为：
Ee
EdN
0
N
Ef ( E )CE 1/ 2dE
0
N
2 C 0 5N
f ( E )dE 5/ 2
2 5
C N
f
(
E
)E
5
/
2
0
2 C 0 5N
• 5.7.1 热电子发射与功函数(示意图)
热电子发射：电子外 依界 靠提供的热能而金 逸属 出 的现象
里查森－杜师曼公j式 ： AT2eW/kBT
j：电流密度A/ m2 W：逸出功函数
j eW/kBT
A： Richardosn- Dushma常 n 数
(1) 经典自由电子论的推导
T j
a. 模型（示意图） b. 推导过程
k k
dk，量子态的数目：4Vπ3
dk＝4Vπ3
dkxdkydkz
P
mv
k mvx
kx
dkx
m
dvx
v 同v 理d ：v d， ky m量 dvy
dkz
m dvz
子态
的
数
Baidu Nhomakorabea
目
：
4 V π3dxk dyk dzk 4 V π3 m 3dxv dyv dz＝ v2V m h 3dxv dyv dzv
T
0K时：
E0
3 5
E
o F
T
0K时：
Ee g(EF
g(EF
)
2 5
) C N
2
6
k BT
2
g(
EF
E 5/2 F
)
Ee
2 5
C N
EF 5/ 2 1
5 2
8
kBT EF
2
EF标志着金属中均 电能 子量 的水 平 EF平 高， ， 则电子的平均E能 F低量，高则，电子的平 能量低。
能无限大，直至一个恒定值。
•
电子的漂移速度：v漂移mek
e
me
E
• 金属体内电流密度：
Jne漂 v移 nm2eeEE 为电导率
例子
• 铜：vF≈1.57×108cm/s • T=4k时，≈2×10-9s， =vF≈0.3cm • T=300k时， ≈2×10-14s ，≈3×10-6cm • 可见低温时平均自由程相当大，表明电子不是经
E 5/2 f dE E
令g( E )
2 5
C N
E 5 / 2，则E e
f
g( E )
0
E
dE
Ee
g(EF
)
2
6
kBT 2
g( E F
)
3 5
E
o F
1
5 2
12
kBT
E
o F
2
电子气的摩尔热容量为：
CV
E T V
N0 Z Ee T
V
N0：每摩尔金属中 含有的原子数 Z：每个原子的价电子数
• 自由电子气的热导率： k13CVv13CVv2
• v取费米球面上电子的速度vF，于是：
k1 3CVvF1 3CVvF 22 3km B 2n eT
• 维德曼-弗兰兹定律：给定温度下，金属的热导率和 电导率之比是常数
k1(kB )2 2 .4 5 1 8 W 0 K 2 T3e
5.7 功函数与接触电势
j dyv dzv 2 m ( q )vxn 0 2m k B T 3/2e 2 m kB 2 T d vxv
ex2dx
j
n0q
kBT
1/
2
e/kBT
2m
W
j AT2eW/kBT
(2) 量子自由电子论的推导
a. 模型（示意图）
kb空. 推间导中过，程量子态分布度密：4Vπ3
CV CVe C VL T bT 3
b
2
2
12
5
N
0Z
k
2 B
4 Nk
B
/
3 D
E
o F
1
EF o 1m EF o2 m 2 3n22/3
引入有效 m*质 量 m*：
Cv和的N(EF)关系
N ( E ) CE 1/ 2
N
(
E
o F
)
C
E
o F
1/2
C
E
o F
E
3/
o F
2
N
2C 3
E
o F
3/2
E
o F
3/2
3 2
N C
N
(
E
o F
)
3 2
N
E
o F
C V
2
2
N
0Z
k
2 B
E
o F
1 T
N
N 0Z
2
2
CV
E
o F
k
2 B
T
N
(
E
o F
)
3
2
CV
k
2 B
T
CV
2
3
N
(
E
o F
)
k
2 B
T
CV
N
(
E
o F
)
和EF有关的补充内容：
里查森简介 （附后）
电子速度分布函数为：
d
n
n0
m
2kBT
3/
2
mv2
e 2kBT
dv
n0
m
2kBT
3/
2
mv2
e 2kBT
dvxd
vyd
vz
dn： 单 位 体 积 中 速 度v在 ~ v dv范 围 内 的 电 子 数
n0： 电 子 浓 度
选x坐标沿垂直发射面的方向，则发射电流：
j dyv dzv 2 m ( q )vxn 0 2m k B T 3/2e 2 m kB 2 T d vxv
典粒子，而是服从量子物理规律的粒子。参与导 电的电子只是费米面附近的部分电子，具有很高 的速度，才会有很大的平均自由程。
5.5 金属的热导率
• 前面讨论绝缘晶体的热传导是由声子完成的。
• 实验表明，金属存在温度梯度时，金属样品中产生 热流，其热导率大大高于绝缘晶体的热导率，所以 对于金属热传导主要是电子在起作用。