对数函数性质及练习(有答案)

\

对数函数及其性质

1．对数函数的概念

(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

(2)对数函数的特征：

特征⎩⎪⎨⎪

⎧

log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数

log a x 的真数：仅是自变量x

判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．

比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因

是不符合对数函数解析式的特点．

,

【例1－1】函数f (x )＝(a 2

－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2

－a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．

(1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；

(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ． 解析：

2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质

(1)图象与性质

谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．

(2)指数函数与对数函数的性质比较

(3)底数a 对对数函数的图象的影响

①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a ＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．

②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．

【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ，43，35，1

10

中取值，

则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( )

"

A 43，35，110

B ，43，110，35

C ．

43，35，110 D ．43110，35

解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的

底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，1

10

．答案：A

点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法 (1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在x 轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．

3．反函数

(1)对数函数的反函数

指数函数y ＝a x

(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．

（

(2)互为反函数的两个函数之间的关系

①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称． (3)求已知函数的反函数，一般步骤如下： ①由y ＝f (x )解出x ，即用y 表示出x ； ②把x 替换为y ，y 替换为x ；

③根据y ＝f (x )的值域，写出其反函数的定义域．

【例3－1】若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )

%

A．log2x B．1

2x

C．

1

2

log x D．2x－2

解析：因为函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，

又f(2)＝1，即log a2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x．答案：A

【例3－2】函数f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为( )

A．(0，＋∞) B．(1,9] C．(0,1) D．[9，＋∞)

解析：∵ 0＜x≤2，∴1＜3x≤9，即函数f(x)的值域为(1,9]．

故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9]．答案：B

【例3－3】若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点( ) <

A．(5,1) B．(1,5) C．(1,1) D．(5,5)

解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称，而点(1,5)关于直线y＝x的对称点为(5,1)，所以函数y＝f(x)的图象必经过点(5,1)．答案：A

4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值

对数函数的解析式y＝log a x(a＞0，且a≠1)中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)，利用已知条件列方程求出常数a的值．

利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m＝n，这时先把对数式log a m＝n化为指数式的形式a n＝m，把m化为以n为指数的指数幂形式m＝k n(k＞0，且k≠1)，

则解得a＝k＞0．还可以直接写出

1

n

a m

=，再利用指数幂的运算性质化简

1

n

m．

例如：解方程log a4＝－2，则a－2＝4，由于

2

1

4

2

-

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，所以

1

2

a=±．又a＞0，所以

1

2

a=．当

然，也可以直接写出

1

2

4

a-

=，再利用指数幂的运算性质，得

11

21

22

1

4(2)2

2

a---

====．

【例4－1】已知f(e x)＝x，则f(5)＝( )

*

A．e5B．5e C．ln 5 D．log5e

解析：(方法一)令t＝e x，则x＝ln t，所以f(t)＝ln t，即f(x)＝ln x．所以f(5)＝ln 5．(方法二)令e x＝5，则x＝ln 5，所以f(5)＝ln 5．答案：C

【例4－2】已知对数函数f(x)的图象经过点

1

,2

9

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，试求f(3)的值．

分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出．