【高考数学试题】1996年试题
普通高等学校招生全国统一考试数学 96文
1996年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分种.第I卷（选择题共65分）注意事项:1.答案Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集I=｛1,2,3,4,5,6,7｝,集合A=｛1,3,5,7｝,B=｛3,5｝.则(2)当a>1时,在同一坐标系中.函数y=a-x与y=log a x的图象是(3)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是(5)6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(A)720种(B)360种(C)240种(D)120种(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ(C)最大值是2,最小值是-2 (D)最大值是2,最小值是-1(10)圆锥母线长为1,侧面展开图圆心角为240°,该圆锥的体积是(11)椭圆25x2-150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3),(3,-5)(C)(1,1),(-7,1) (D)(7,-1),(-1,-1)(12)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为(13)等差数列｛a n｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130 (B)170(C)210 (D)260(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7,5)等于(A)0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)注意事项:1．第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。
1996全国高考理科数学试题
页脚内容11996年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)已知全集I =N ，集合A ={x │x =2n ，n ∈N }，B ={x │x =4n ，n ∈N }，则 ()(A)B A I(B)B A I (C)B A I (D)B A I(2)当a >1时，在同一坐标系中，函数y =a －x 与y =l og a x 的图像 () (3)若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是()页脚内容2(A)Z k k x k x ,412432(B)Z k k x k x ,452412(C)Z k k x k x ,4141(D)Z k k x k x ,4341(4)复数54)31()22(i i 等于 ()(A)i 31 (B)i 31 (C)i 31 (D)i 31(5)如果直线l 、m 与平面 、 、 满足：l l , ∥m m 和 ,,⊥ ，那么必有 () (A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C)m ∥β且l ⊥m(D)α∥β且α⊥γ(6)当x x x f x cos 3sin )(,22函数时的()(A)最大值是1，最小值是－1 (B)最大值是1，最小值是－21页脚内容3(C)最大值是2，最小值是－2 (D)最大值是2，最小值是－1(7)椭圆sin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是()(A)(－3，5)，(－3，－3) (B)(3，3)，(3，－5)(C)(1，1)，(－7，1) (D)(7，－1)，(－1，－1))](arccos[sin )]2(arcsin[cos ,20)8(则若等于 ()(A)2(B)－2(C)2－2 (D)－2－2(9)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD =a ，则三棱锥D －ABC 的体积为 ()(A)63a(B)123a(C)3123a (D)3122a (10)等比数列 n a 的首项a 1=－1，前n 项和为S n ，若3231510S S 则n n Slim 等于 ()(A)32(B)－32(C)2 (D)－2(11)椭圆的极坐标方程为cos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是页脚内容4()(A)(3，0)，(1， )(B)(3，2)，(3，23 )(C)(2，3)，(2，35)(D)(7，23arctg)，(7，23arctg -2 ) (12)等差数列 n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 ()(A)130 (B)170 (C)210 (D)260(13)设双曲线)0(12222b a by a x 的半焦距为c ,直线l 过),0)(0,(b a 两点，已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 ()(A)2 (B)3 (C)2 (D)332 (14)母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角 等于 ()页脚内容5(A)322 (B)332 (C) 2 (D)362 (15)设f (x )是(－∞，+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )=x ，则f (7.5) 等于()(A)0.5 (B)－0.5 (C)1.5 (D)－1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． (16)已知圆07622 x y x 与抛物线)0(22 p px y 的准线相切，则P=(17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个（用数字作答）(18) 40tg 20tg 340tg 20tg 的值是(19)如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)解不等式1)11(log xa ．(21)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：B C A B C A cos 2cos 1cos 1,2 ，求2cos CA 的值．页脚内容622．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1．(Ⅰ)求证：BE =EB 1;(Ⅱ)若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数． 注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)(Ⅰ)证明：在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足． ①∵∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB =BC 得BF ⊥AC ， ②∵∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ． ③∵∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE =FG ， ④∵∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ， ⑤∵ ∴112121BB AA FG，即11,21EB BE BB BE 故 23．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?页脚内容7（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）24．已知l 1、l 2是过点)0,2( P 的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线122 x y 各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2．(Ⅰ)求l 1的斜率k 1的取值范围； (Ⅱ)若12211,5l B A B A 求 、l 2的方程25．已知a 、b 、c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1． (Ⅰ)证明：│c │≤1；(Ⅱ)证明：当－1≤x ≤1时，│g (x )│≤2；(Ⅲ)设a >0，当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，求f (x )．1996年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．页脚内容8四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A(3)D(4)B(5)A(6)D(7)B(8)A(9)D(10)B(11)C(12)C(13)A (14)D (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（16）2 （17）32 （18）3 （19）42 三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分． 解：(Ⅰ)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组：.11,011a x x——2分由此得xa 11． 因为1－a <0，所以x <0， ∴.011x a——5分(Ⅱ)当0<a <1时，原不等式等价于不等式组：页脚内容9.11,011a xx由①得，x >1或x <0， 由②得，,110ax ∴ax111 ——10分综上，当1 a 时，不等式的解集为011x a x ；当10 a 时，不等式的解集为a x x 111——11分(21)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分． 解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°．——2分∵,2260cos 2∴22cos 1cos 1 CA 将上式化为C A C A cos cos 22cos cos 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A ——6分页脚内容10将21)cos(,2160cos 2cosC A C A 代入上式得 将1)2(cos 2)cos(2 CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242 CA C A ——9分∵,032cos22 CA ∴.022cos2 CA 从而得.222cosC A ——12分解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°． 设 2,2C A CA 则，可得 60A ， 60C ——3分所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1 C A 43cos cos 2——7分依题设条件有Bcos 243cos cos 2， ∵21cosB ∴2243cos cos 2页脚内容11整理得,023cos 2cos 242 ——9分∵03cos 22 ，∴02cos 2 ．从而得222cos C A ． ——12分(22)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．(Ⅰ)①∵面A 1EC ⊥侧面AC 1， ——2分 ②∵面ABC ⊥侧面AC 1， ——3分 ③∵BE ∥侧面AC 1， ——4分 ④∵BE ∥AA 1， ——5分 ⑤∵AF =FC ，——6分(Ⅱ)解：分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D ． ∵1EB ∥11112121,CC BB EB CC ， ∴,21111111B A C B DC DB∵∠B 1A 1C 1=∠B 1C 1A 1=60°， ∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21（180°－∠DB 1A 1）=30°，页脚内容12∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即1DA ⊥11C A——9分∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C ， 所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角． ——11分∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1，∠A 1C 1C =90°， ∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°——12分 (23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷． 依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104 P M P x M ——5分化简得]22.1)01.01(1.11[10103x ——7分∵]22.1)01.01(1.11[101031.4——9分∴x ≤4（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．——10分(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满页脚内容13分12分．解：（I ）依题设，l 1、l 2的斜率都存在，因为l 1过点P )0,2( 且与双曲线有两个交点，故方程组1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221 k x k x k ②若0121 k ，则方程组①只有一个解，即l 1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121 k ，即11 k ，方程②的判别式为设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2( P 且与双曲线有两个交点，故方程组.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222 k x k x k ④同理有)13(4,0122222k k 又因为l 1⊥l 2，所以有k 1·k 2=－1． ——4分于是，l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于页脚内容14解得.1,33311k k——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1k ——7分(Ⅱ)设),(),,(221111y x B y x A 由方程②知 ∴│A 1B 1│2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)22212121)1()13)(1(4 k k k ⑤ ——9分同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A ⑥ 由22115B A B A ，得2222115B A B A 将⑤、⑥代入上式得 解得21 k取21 k 时，)2(22:),2(2:21x y l x y l ； 取21 k 时，)2(22:),2(2:21x y l x y l ． ——12分(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．(Ⅰ)证明：由条件当－1≤x≤1时，│f(x)│≤1，取x=0得│c│=│f(0)│≤1，即│c│≤1．——2分(Ⅱ)证法一：当a>0时，g(x)=ax+b在[－1，1]上是增函数，∴g(－1)≤g(x)≤g(1)，∵│f(x)│≤1(－1≤x≤1)，│c│≤1，∴g(1)=a+b=f(1)－c≤│f(1)│+│c│≤2，g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(│f(－1)│+│c│)≥－2，由此得│g(x)│≤2; ——5分当a<0时，g(x)=ax+b在[－1，1]上是减函数，∴g(－1)≥g(x)≥g(1)，∵│f(x)│≤1(－1≤x≤1)，│c│≤1，∴g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≤│f(－1)│+│c│≤2，g(1)=a+b=f(1)－c≥－(│f(1)│+│c│)≥－2，由此得│g(x)│≤2; ——7分当a=0时，g(x)=b，f(x)=bx+c．页脚内容15页脚内容16∵－1≤x ≤1，∴│g (x )│=│f (1)－c │≤│f (1)│+│c │≤2． 综上得│g (x )│≤2． ——8分证法二：由4)1()1(22 x x x ，可得),21()21(x f x f ——6分当－1≤x ≤1时，有,0211,1210x x 根据含绝对值的不等式的性质，得 即│g (x )│≤2．——8分(Ⅲ)因为a >0，g (x )在[－1，1]上是增函数，当x =1时取得最大值2， 即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2．① ∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1， ∴c =f (0)=－1．——10分因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)，根据二次函数的性质，直线x =0为f (x )的图像的对称轴，由此得 由①得a =2．所以f(x)=2x2－1．——12分页脚内容17。
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1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 已知全集I =N ，集合A ={x │x =2n ，n ∈N }，B ={x │x =4n ，n ∈N }，则 ( )(A) B A I =(B)B A I =(C) B A I =(D) B A I =(2) 当a >1时，在同一坐标系中，函数y =a －x与y =log a x 的图像( )(3) 若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是 ( )(A) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ(B) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ(C) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ(D) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ(4) 复数54)31()22(i i -+等于 ( )(A) i 31+ (B) i 31+- (C) i 31- (D) i 31--(5) 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l l ,γβ =∥m m 和αα⊂,,⊥γ，那么必有( )(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C)m ∥β且l ⊥m(D)α∥β且α⊥γ(6) 当x x x f x cos 3sin )(,22+=≤≤-函数时ππ的( )(A) 最大值是1，最小值是－1 (B) 最大值是1，最小值是－21(C) 最大值是2，最小值是－2 (D) 最大值是2，最小值是－1(7) 椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是( )(A) (－3，5)，(－3，－3) (B) (3，3)，(3，－5) (C) (1，1)，(－7，1)(D) (7，－1)，(－1，－1))](arccos[sin )]2(arcsin[cos ,20)8(απαππα+++<<则若等于( ) (A)2π(B) －2π(C)2π－2α (D) －2π－2α(9) 将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD =a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )(A)63a(B)123a(C)3123a(D)3122a(10) 等比数列{}n a 的首项a 1=－1，前n 项和为S n ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于( )(A) 32 (B) －32(C) 2 (D) －2(11) 椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是( )(A) (3，0)，(1，π) (B) (3，2π)，(3，23π)(C) (2，3π)，(2，35π)(D) (7，23arctg)，(7，23arctg -2π)(12) 等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )(A) 130 (B) 170 (C) 210 (D) 260(13) 设双曲线)0(12222b a by ax <<=-的半焦距为c ,直线l 过),0)(0,(b a 两点，已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 ( )(A) 2(B) 3 (C) 2 (D)332 (14) 母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于 ( )(A)π322 (B)π332 (C) π2 (D)π362(15) 设f (x )是(－∞，+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )=x ，则f (7.5) 等于( )(A) 0.5(B) －0.5(C) 1.5(D) －1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(16)已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则P= (17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）(18)40tg 20tg 340tg 20tg ++的值是(19)如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)解不等式1)11(log >-x a ．(21)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：BCAB C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求2cos C A -的值．22．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1．(Ⅰ)求证：BE =EB 1;(Ⅱ)若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)(Ⅰ)证明：在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足． ① ∵∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB =BC 得BF ⊥AC ，② ∵∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ． ③ ∵∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE =FG ， ④ ∵ ∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ， ⑤ ∵ ∴112121BB AA FG ==，即11,21EB BE BB BE ==故23．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）24．已知l 1、l 2是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2．(Ⅰ)求l 1的斜率k 1的取值范围；(Ⅱ)若12211,5l B A B A 求=、l 2的方程25．已知a 、b 、c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1．(Ⅰ)证明：│c │≤1；(Ⅱ)证明：当－1≤x ≤1时，│g (x )│≤2；(Ⅲ)设a >0，当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，求f (x )．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A (3)D(4)B(5)A(6)D(7)B(8)A(9)D(10)B (11)C (12)C (13)A (14)D (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（16）2 （17）32 （18）3 （19）42三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．解：(Ⅰ)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a x x ——2分由此得xa 11>-．因为1－a <0，所以x <0， ∴.011<<-x a——5分(Ⅱ)当0<a <1时，原不等式等价于不等式组： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.11,011a xx由①得，x >1或x<0， 由②得，,110ax -<<∴ax -<<111——10分综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111 ——11分(21)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°． ——2分∵,2260cos 2-=-∴22cos 1cos 1-=+CA将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+ 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos2cos2C A C A C A C A -++-=-+ ——6分将21)cos(,2160cos 2cos -=+==+C A C A代入上式得)cos(222)2cos(C A C A --=- 将1)2(cos 2)cos(2--=-C A C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-C A C A ——9分,0)32cos 22)(22cos2(=+---CA C A∵,032cos 22≠+-C A ∴.022cos2=--CA从而得.222cos=-C A ——12分解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°． 设αα2,2=--=C A C A 则，可得α+=60A ，α-=60C——3分所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+CAααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα ——7分依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα，∵21cos =B∴2243cos cos 2-=-αα整理得,023cos 2cos 242=-+αα——9分,0)3cos 22)(2cos 2(=+-αα∵03cos 22≠+α， ∴02cos 2=-α．从而得222cos =-C A ． ——12分(22)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．(Ⅰ) ①∵面A 1EC ⊥侧面AC 1，——2分 ②∵面ABC ⊥侧面AC 1， ——3分 ③∵BE ∥侧面AC 1， ——4分 ④∵BE ∥AA 1，——5分⑤∵AF =FC ，——6分(Ⅱ)解：分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D ． ∵1EB ∥11112121,CC BB EB CC ==，∴,21111111B A C B DC DB ===∵∠B 1A 1C 1=∠B 1 C 1A 1=60°， ∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21（180°－∠D B 1A 1）=30°，∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即1DA ⊥11C A——9分∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C ， 所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角． ——11分∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1，∠A 1C 1C =90°， ∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°——12分 (23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯PM P x M ——5分化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ——7分∵]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯)]01.001.01(22.11.11[1022101103+⨯+⨯+⨯-⨯=C C ]1045.122.11.11[103⨯-⨯≈1.4≈ —— 9分∴x ≤4（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．——10分(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：（I ）依题设，l 1、l 2的斜率都存在，因为l 1过点P )0,2(-且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即l 1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为).13(4)12)(1(4)22(2121212211-=---=∆k k k k设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k 又因为l 1⊥l 2，所以有k 1·k 2=－1．——4分于是，l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k ——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ——7分(Ⅱ)设),(),,(221111y x B y x A 由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x∴│A 1B 1│2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)222121))(1(x x k -+= 2212121)1()13)(1(4--+=kk k ⑤——9分同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+=⑥由22115B A B A =，得2222115B A B A =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+解得21±=k取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ；取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ． ——12分(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．(Ⅰ)证明：由条件当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1，取x =0得 │c │=│f (0)│≤1， 即│c │≤1． ——2分(Ⅱ)证法一：当a >0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是增函数， ∴g (－1)≤g (x )≤g (1)，∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1， ∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤│f (1)│+│c │≤2，g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(│f (－1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2;——5分当a <0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是减函数， ∴g (－1)≥g (x )≥g (1)，∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1，∴g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≤│f (－1)│+│c │≤2， g (1)=a +b =f (1)－c ≥－(│f (1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2;——7分当a =0时，g (x )=b ，f (x )=bx +c ． ∵－1≤x ≤1，∴│g (x )│=│f (1)－c │≤│f (1)│+│c │≤2． 综上得│g (x )│≤2． ——8分证法二： 由4)1()1(22--+=x x x ，可得b ax x g +=)( )2121(])21()21[(22--++--+=x x b x x a])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++=),21()21(--+=x f x f ——6分当－1≤x ≤1时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f即│g (x )│≤2．——8分(Ⅲ)因为a >0，g (x )在[－1，1]上是增函数，当x =1时取得最大值2， 即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2． ① ∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1， ∴c =f (0)=－1．——10分因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)，根据二次函数的性质，直线x =0为f (x )的图像的对称轴，由此得0,02==-b ab 即由① 得a =2． 所以 f (x )=2x 2－1． ——12分。
1996年高考数学试题(全国文)及答案
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的(1)设全集I ={1，2，3，4，5，6，7}，集合A ={1，3，5，7}，B ={3，5}．则()(A)I =A ∪B ；(B)I =A ∪B ；(C)I =A ∪B ；(D)A ∪B 。
(2)当a >1时，在同坐标系中．函数y =a －x与y =log a x 的图像是()(3)若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是()(A)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<−Z k k x k x ,412432ππππ；(B)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ；(C)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<−Z k k x k x ,4141ππππ；(D)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ。
(4)复数54)31()22i i −+（等于()(A)i 31+；(B)i 31+−；(C)i 31−；(D)i 31−−。
(5)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()(A)720种；(B)360种；(C)240种；(D)120种。
(6)已知α是第三象限角sin α=－2524，则tg 2α=()(A)34；(B)43；(C)－43；(D)－34。
(7)如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l =β∩γ，l ∥α，m =α，m ⊥γ，那么必有()(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β(C)m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ(8)当－2π≤x ≤2π时，函数f (x )=sin x ＋3cos x 的()(A)最大值是1，最小值是－1；(B)最大值是1，最小值是－21；(C)最大值是2，最小值是－2；(D)最大值是2，最小值是－1。
1996年陕西高考文科数学真题及答案
1996年陕西高考文科数学真题及答案 第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合．则{}1,2,3,4,5,6,7I ={}{}1,3,5,7,3,5A B ==A ． B ． C ． D ． I A B = I A B = I A B = I A B = 【答案】C【解析】显然C 正确．2．当时，在同一坐标系中，函数与的图像1a >xy a -=log a y x =【答案】A【解析】当时，函数是减函数，且过点；而函数为增函数，1a >xy a -=(0,1)log a y x =且过点． (1,0)3．若，则的取值范围是22sin cos x x >xA ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππB ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππC ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππD ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ【答案】D【解析】或，解得2221sin cos sin sin 2x x x x >⇒>⇒>sin x <24k x ππ+<或，即 32()4k k Z ππ<+∈322()44k x k k Z ππππ-<<-∈(21)(21)4k x k πππ-+<<-，所以的取值范围是． 3()4k Z π+∈x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 4．复数等于54)31()22(i i -+A ． B ． C ． D ． i 31+i 31+-i 31-i 31--【答案】B．25(2)12()i ω===-+-5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种 【答案】C【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有． 5252240A A =6．已知是第三象限角且，则 α24sin 25α=-tan 2α=A ．B ．C ．D ． 433434-43-【答案】D【解析】由已知得，所以 7cos 25α=-2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-===． 71()42524325--==--7．如果直线与平面满足：和，那么必 ,l m ,,αβγ,//,l l m βγαα=⊂ m γ⊥有A ．且B ．且C ．且D ．且 αγ⊥l m ⊥αγ⊥//m β//m βl m ⊥//αβαγ⊥【答案】A【解析】略． 8．当时，函数的22x ππ-≤≤()sin f x x x =+A ．最大值是1，最小值是 B ．最大值是1，最小值是 1-12-C．最大值是2，最小值是 D ．最大值是2，最小值是 2-1-【答案】D【解析】因为，由已知．故当 ()sin 2sin(3f x x x x π=+=+5636x πππ-≤+≤，即时，有最大值是2；当，即时，有32x ππ+=6x π=()f x 36x ππ+=-2x π=-()f x 最小值是． 1-9．中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是 4x =±12A ．B ．C ．22143x y +=22134x y +=2214x y +=D ．2214y x +=【答案】A【解析】由题设可得，解得，所以椭圆方程是．214,2a c c a ==2,1a c ==22143x y +=10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为，该圆锥的体积是240︒A B ． C D ．881π1081π【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，则，得，， r 224021360r ππ︒=⨯︒23r ==圆锥的体积是 212()33π=11．椭圆的两个焦点坐标是222515091890x x y y -+++=A ． B ．(3,5),(3,3)---(3,3),(3,5)- C ． D ． (1,1),(7,1)-(7,1),(1,1)---【答案】B【解析】椭圆的标准方程为，而的焦点为，所以2222(1)(3)153y x +-+=2222153y x +=(0,4)±的焦点坐标是． 2222(1)(3)153y x +-+=(3,3),(3,5)-12．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的a ABCD AC BD a =D ABC -体积为A ．B ．C ．D ． 63a 123a 3123a 3122a 【答案】D【解析】取的中点，连接，如图所示．AC O ,BO DO均为等腰直角三角形，， ,ABC ADC ∆∆2AC BO DO ===∴，则面，就是三棱锥2BOD π∠=DO ⊥ABC DO D ABC-的高，所以． 231132D ABC V a a -=⋅=13．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 {}n a m 2m 3m A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】由已知得，则成等差数列，所以230,100m m S S ==232,,m m m m m S S S S S --．323()210m m m S S S =-=14．设双曲线的半焦距为，直线过两点．已知原点)0(12222b a by a x <<=-c l (,0),(0,)a b 到直线的距离为，则双曲线的离心率为 l c 43A ．2B ．C ．D ． 32332【答案】A【解析】直线的方程为，原点到直线，则 l 0bx ay ab +-=l =，即，解得或，所以 22222316a b c a b =+22222()316a c a c c -=2e =e =0ab <<，所以不合题意． e ==>e =15． 是上的奇函数，，当时，，则()f x (,)-∞+∞(2)()f x f x +=-01x ≤≤()f x x = 等于(7.5)f A ． B ． C ． D ． 0.50.5- 1.5 1.5-【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---．(0.5)0.5f =-=-第Ⅱ卷（非选择题共85分） 注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知点与抛物线的焦点的距离是5，则 ． (2,3)-)0(22>=p px y p =【答案】4，解得． 5=4p =17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37C 37332C -=个．18．的值是 ．tg20tg40tg40++【答案】3【解析】∵，∴，tg20tg40tg(2040)1tg20tg40++==-tg20tg40tg20tg40)+=tg20tg40tg40+=19．如图，正方形所在平面与正方形所在平面成的二面角，则异面直线ABCD ABEF 60与所成角的余弦值是 ．AD BF 【答案】42【解析】由于，所以即为异面直线与//AD BC CBF ∠AD 所成角，设正方形边长为，在中，BFa CBF ∆,,BF BC a FC====，．=222cos 2BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分11分）解不等式．log (1)1a x a +->【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．（Ⅰ）时，原不等式等价于不等式组： ——2分1>a 10,1.x a x a a +->⎧⎨+->⎩解得． ——5分 21x a >-（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组： ——7分01a <<10,1.x a x a a +->⎧⎨+-<⎩解得． 10分121a x a -<<-综上，当时，不等式的解集为；1>a {}21x x a >-当时，不等式的解集为． ——11分 01a <<{}121x a x a -<<-21．（本小题满分12分）设等比数列的前项和为．若，求数列的公比． {}n a n n S 3692S S S +=q 【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．若，则有．但，1q =3161913,6,9S a S a S a ===10a ≠即得，与题设矛盾，故． ——2分3692S S S +≠1q ≠又依题意可得． 3692S S S +=369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---整理得．363(21)0q q q --=由得方程．， —— 9分0q ≠63210q q --=33(21)(1)0q q +-=∵ ，∴，∴ ——12分 31,1q q ≠≠3210q +=q =22．（本小题满分11分）已知的三个内角满足：，求 ABC ∆,,A B C BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+的值． 2cosCA -解法一：由题设条件知． ——2分60,120B A C =+=，∴． =-22cos 1cos 1-=+C A 将上式化为． C A C A cos cos 22cos cos -=+利用和差化积及积化和差公式，上式可化为． ——6分 )]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+将代入上式得 21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A ．cos)2A C A C -=-将代入上式并整理得 1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A ——9分0232cos(22(cos 242=--+-CA C A ，(2cos 3)022A C A C ---+=∵，∴．302A C -+≠2cos 02A C-=从而得． ——12分cos2A C -=解法二：由题设条件知．60,120B A C =+=设，则，可得， ——3分 2A C α-=2A C α-=60,60A C αα=+=-所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+C Aααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=． ——7分 ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα依题设条件有， Bcos 243cos cos 2-=-αα∵，∴．21cos =B 2243cos cos 2-=-αα整理得 ——9分22cos 0,αα+-=，(2cos 3)0αα+=∵，∴．03cos 22≠+α02cos 2=-α从而得． ——11分 222cos =-C A23．（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标号①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程；并解答（Ⅱ），如图2．】如图1，在正三棱柱中，，分别是上的点，111ABC A B C -13AA AB a ==,E F 11,BB CC 且．,2BE a CF a ==（Ⅰ）求证：面面； AEF ⊥ACF （Ⅱ）求三棱锥的体积．1A AEF -（Ⅰ）证明： ①∵，，延长与延,2BE a CF a ==//BE CF FE CB 长线交于，连结．D AD ∴，DBE DCF ∆∆ ∴． DB BEDC CF= ② ． ∴．DB AB =③ ． ∴．DA AC ⊥④ ． ∴．FA AD ⊥⑤ ．∴面． AEF ⊥ACF （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）②∵，∴，∴， ——1分:1:2BE CF =2DC DB =DB BC =③∵是等腰三角形，且，ABD ∆120ABD ∠=︒∴，∴， —— 3分 30BAD ∠=︒90CAD ∠=︒④∵面，∴是在面上的射影，FC ⊥ACD CA FA ACD 且， —— 5分 CA AD ⊥⑤∵，面，面，FA AC A = DA ⊥ACF DA ⊂ADF ∴面面． 7分 ADF ⊥ACF（Ⅱ）∵，11A AEF E AA F V V --=在面内作，垂足为． 111A B C 111B G A C ⊥G 1B G =面面，∴面， 111A B C ⊥1A C 1B G ⊥1A C∵，而面，∴三棱柱．——9分 1E BB ∈1//BB 1A C 1E AA F -——10分 1112A FA S AA AC ∆=⋅=∴ ——12分 11A AEF E AA FV V --==24．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=，人均粮食占有量=） 耕地面积总产量总人口数总产量【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少公顷，又设该地区现有人口为人，粮食单产为吨/x P M 公顷．依题意得不等式．——5分 %)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M 化简得． ——7分 ]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ∵ 103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+ ． —— 9分 3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈∴（公顷）．4x ≤答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分25．（本小题满分12分）已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两12,l l )0,2(-P 12,l l 122=-x y 个交点，分别为和．11,A B 22,A B （Ⅰ）求的斜率的取值范围；1l 1k （Ⅱ）若恰是双曲线的一个顶点，求的值．1A 22A B 【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（Ⅰ）依题设，的斜率都存在，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程12,l l 1l )0,2(-P 组 ① ——1分 1122(0),1.y k x k y x ⎧=+≠⎪⎨-=⎪⎩有两个不同的解．在方程组①中消去，整理得． ②y 01222)1(2121221=-++-k x k x k 若，则方程组①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故 0121=-k 1l ，即，方程②的判别式为0121≠-k 11≠k ．2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-设的斜率为，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组2l 2k 2l )0,2(-P ③ ⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y 有两个不同的解．在方程组③中消去，整理得y ． ④01222)1(2222222=-++-k x k x k 同理有．)13(4,0122222-=∆≠-k k 又因为，所以有． ——4分 12l l ⊥121l l ⋅=-于是，与双曲线各有两个交点，等价于12,l l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得——6分 ⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k ∴． ——7分 )3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k （Ⅱ）双曲线的顶点为．122=-x y (0,1),(0,1)-取时，有，1(0,1)A 1(01k =解得．从而——8分 1k =211k k =-=将． ⑤2k =230x ++=记与双曲线的两交点为，则 2l 211222(,),(,)A x y B x y ． 2222222122121212()()3()3[()4]A B x x y y xx x x x x =-+-=-=+-由⑤知．1212)3xx x x +=-=∴ ——11分2222260,A B A B ==当取时，由双曲线关于轴的对称性，知．1(0,1)A -122=-x y x 22A B =所以过双曲线的一个顶点时，． ——12分1l 22A B =。
1996全国高考理科数学试题
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 已知全集I =N ，集合A ={x │x =2n ，n ∈N },B =｛x │x =4n ,n ∈N }，则 ( )（A ） B A I =(B ）B A I =（C ） B A I =(D ） B A I =(2) 当a 〉1时，在同一坐标系中,函数y =a －x 与y =log a x 的图像( ）(3） 若sin 2x >cos 2x ,则x 的取值范围是 ( )(A) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ (B ） ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ（C ） ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ (D) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ (4） 复数54)31()22(i i -+等于( ）（A ） i 31+（B ） i 31+- （C) i 31- （D) i 31--(5) 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l l ,γβ =∥m m 和αα⊂,,⊥γ，那么必有( )（A ）α⊥γ且l ⊥m（B ）α⊥γ且m ∥β（C)m ∥β且l ⊥m(D ）α∥β且α⊥γ（6) 当x x x f x cos 3sin )(,22+=≤≤-函数时ππ的（ ）(A ） 最大值是1，最小值是－1 （B) 最大值是1,最小值是－21(C ） 最大值是2,最小值是－2 (D ） 最大值是2，最小值是－1（7) 椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是（ ）(A) (－3，5)，（－3,－3） (B) (3，3），(3，－5) (C ） (1,1)，(－7，1)(D) （7，－1)，（－1，－1))](arccos[sin )]2(arcsin[cos ,20)8(απαππα+++<<则若等于（ ） （A)2π(B ） －2π (C) 2π－2α (D ） －2π－2α(9） 将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD =a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( ）（A) 63a（B ） 123a(C)3123a (D)3122a （10） 等比数列{}n a 的首项a 1=－1，前n 项和为S n ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于( ）（A)32 （B ） －32 (C ） 2 （D) －2（11) 椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=,则它在短轴上的两个顶点的极坐标是( ）（A) (3，0),（1，π)（B) (3，2π)，(3,23π)（C) （2，3π)，（2，35π)（D ） (7，23arctg)，（7,23arctg -2π) (12) 等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )（A) 130（B) 170(C ） 210（D ） 260（13） 设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ,直线l 过),0)(0,(b a 两点，已知原点到直线l 的距离为c 43,则双曲线的离心率为 （ ）（A) 2（B ）3（C)2 (D)332 （14) 母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ϕ等于 （ )（A ）π322 （B ）π332 （C ）π2(D ）π362 （15） 设f (x ）是(－∞，+∞)上的奇函数，f （x +2）=－f （x )，当0≤x ≤1时，f (x ）=x ，则f (7。
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.文)
1996年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学第I卷一、选择题:本大题共15小题;第1-10题每小题4分,第11-15题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集I=｛1,2,3,4,5,6,7｝,集合A=｛1,3,5,7｝,B=｛3,5｝.则(2)当a>1时,在同一坐标系中.函数y=a-x与y=log a x的图象是(3)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是(5)6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(A)720种 (B)360种 (C)240种 (D)120种(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ(C)最大值是2,最小值是-2 (D)最大值是2,最小值是-1(10)圆锥母线长为1,侧面展开图圆心角为240°,该圆锥的体积是(11)椭圆25x2-150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3),(3,-5)(C)(1,1),(-7,1) (D)(7,-1),(-1,-1)(12)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为(13)等差数列｛a n｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130 (B)170(C)210 (D)260(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7,5)等于(A)0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上。
(16)已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p=(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有个.(用数字作答)(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是 .三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（20）（本小题满分11分）解不等式log a(x+1-a)>1.（21）（本小题满分12分）设等比数列｛a n｝的前n项和为S n.若S3+S6=2S9,求数列的公比q.（22）（本小题满分12分）（23）（本小题满分12分）【注意:本题的要求是,参照标号①的写法,在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤,完成(Ⅰ)证明的全过程;并解答(Ⅱ).】(Ⅰ)求证:面AEF⊥面ACF;(Ⅱ)求三棱锥A1-AEF的体积.(Ⅰ)证明:①∵BE=a,CF=2a,BE∥CF,延长FE与CB延长线交于D,连结AD.∴△DBE∽△DCF③∴DB=AB.④∴DA⊥AC.⑤∴FA⊥AD.∴面AEF⊥面ACF.（24）（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷.规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?（25）（本小题满分12分）各有两个交点,分别为A1、B1和A2、B2.(Ⅰ)求l1的斜率k1的取值范围;(Ⅱ)若A1恰是双曲线的一个顶点,求│A2B2│的值.。
1996年全国统一高考数学试卷(理科)
1996年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）已知全集I=N ，集合A={x|x=2n ，n ∈N}，B={x|x=4n ，n ∈N}，则（ ）A ． I =A ∪B B ． I =∪BC ．D ．2．（4分）（2010•兰州一模）当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a ﹣x 与y=log a x 的图象（ ）A ．B ．C ．D ．3．（4分）若sin 2x ＞cos 2x ，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（4分）复数等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．（4分）（2015•广东模拟）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有（ ）A ． α⊥γ且l ⊥mB ． α⊥γ且m ∥βC ． m ∥β且l ⊥mD ． α∥β且α⊥γ6．（4分）当时，函数f （x ）=sinx+cosx 的（ ）A ． 最大值是1，最小值是﹣1B ． 最大值是1，最小值是﹣C ． 最大值是2，最小值是﹣2D ． 最大值是2，最小值是﹣17．（4分）椭圆（θ为参数）的两个焦点坐标是（ ）A ． （﹣3，5），（﹣3，﹣3）B ． （3，3），（3，﹣5）C ． （1，1），（﹣7，1）D ． （7，﹣1），（﹣1，﹣1）8．（4分）若，则等于（ ）A ．B ． ﹣C ． ﹣2αD ． ﹣﹣2α9．（4分）（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．10．（4分）等比数列{a n}的首项a1=﹣1，前n项和为S n，若则等于（）A．B．﹣C．2D．﹣211．（5分）椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（）B．（，），（，）A．（3，0），（1，π）C．（2，），（2，D．（，），（，））12．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．26013．（5分）设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．14．（5分）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（）A．B．C．D．15．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f （7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）（2010•柳州三模）已知圆x2+y2+4x+3=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则P=_________．17．（4分）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_________个（用数字作答）．18．（4分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=_________．19．（4分）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF所成角的余弦值是_________．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（7分）解不等式．21．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．（1）证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足．①∵_________∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，②∵_________∴BF⊥侧面AC1；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．③∵_________∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，④∵_________∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，⑤∵_________∴，即．23．（12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）24．（12分）已知l1、l2是过点P（﹣，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2﹣x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．25．（16分）已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1，求证：①|c|≤1．②当﹣1≤x≤1时，|g（x）|≤2．1996年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，则（）A．I=A∪B B．I=∪B C．D．考点：集合的包含关系判断及应用．分析：根据题意，分析A是正偶数的集合，而B是4的正整数倍组成的集合，易得B⊂A，做出图示，分析可得答案．解答：解：根据题意，A是正偶数的集合，而B是4的正整数倍组成的集合．易得B⊂A，根据题意，做出图示可得，由图示可得，故选C．点评：本题考查集合间的关系，图示法简单直观的方法．2．（4分）（2010•兰州一模）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果．解答：解：∵函数y=a﹣x可化为函数y=，其底数小于1，是减函数，又y=log a x，当a＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．3．（4分）若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（）A．B．C．D．考点：余弦函数的单调性；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：sin2x＞cos2x化为cos2x﹣sin2x＜0，就是cos2x＜0，然后求解不等式即可得到x的取值范围．解答：解：因为sin2x＞cos2x，所以cos2x﹣sin2x＜0，就是cos2x＜0解得：2kπ+＜2x＜2kπk∈Z所以x的取值范围是故选D．点评：本题考查余弦函数的单调性，二倍角的余弦，考查计算能力，是基础题．4．（4分）复数等于（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用1的立方虚根的性质化简，然后求得答案．解答：解：复数==．故选B．点评：复数代数形式的混合运算，同时应用1的立方虚根的性质化简；本题是中档题．5．（4分）（2015•广东模拟）如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，l=β∩γ，l⊂γ．然后推出l⊥m，得到结果．解答：解：∵m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，∵l=β∩γ，l⊂γ．∴l⊥m，故选A．点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，画出图形，帮助分析，考查逻辑思维能力和分析判断能力，基础题．6．（4分）当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣1考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：首先对三角函数式变形，提出2变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域． 解答： 解：∵f （x ）=sinx+cosx=2（sinx+cosx ） =2sin （x+）， ∵，∴f （x ）∈[﹣1，2]， 故选D 点评： 了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，本题主要是公式的逆用和对三角函数值域的考查．7．（4分）椭圆（θ为参数）的两个焦点坐标是（ ）A ． （﹣3，5），（﹣3，﹣3）B ． （3，3），（3，﹣5）C ． （1，1），（﹣7，1）D ． （7，﹣1），（﹣1，﹣1）考点： 椭圆的参数方程．专题： 计算题．分析： 由题意将椭圆先化为一般方程坐标，然后再计算两个焦点坐标．解答：解：∵椭圆，∴5x ﹣15=15cos φ，3y+3=15sin φ，方程两边平方相加， ∴（5x ﹣15）2+（3y+3）2=152∴，∴椭圆的两个焦点坐标是（3，3），（3，﹣5）， 故选B ． 点评：此题考查椭圆的性质和焦点坐标，还考查了参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．8．（4分）若，则等于（ ） A ．B ． ﹣C ． ﹣2αD ． ﹣﹣2α考点：反三角函数的运用． 专题： 计算题． 分析： 利用诱导公式化简，然后根据﹣sin α∈[﹣1，1]，反三角函数的运算法则求出结果即可． 解答： 解：=arcsin[﹣sinα]+arccos[﹣sinα]因为﹣sinα∈[﹣1，1]所以，上式=故选A．点评：本题考查反三角函数的运用，诱导公式，是基础题．9．（4分）（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可求三棱锥D ﹣ABC的体积．解答：解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，DO=B0==，BD=a，△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，DO就是三棱锥D﹣ABC的高，S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：，故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．10．（4分）等比数列{a n}的首项a1=﹣1，前n项和为S n，若则等于（）A．B．﹣C．2D．﹣2考点：等比数列的前n项和；极限及其运算．专题：计算题．分析：根据q5=得到q5，进而求出q．根据等比数列的求和公式，求得S n，最后令n趋近无穷取极限可得到答案．解答：解：∵∴q5===﹣∴q=∴==（）•[1﹣（）n﹣1]=﹣故选B点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的应用．本题巧妙利用了在同一等比数列中项数相等的几组数列仍是等比数列的性质．11．（5分）椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（）A．（3，0），（1，B ．（，），（，）π）D．（，），（，）C．（2，），（2，）考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的短轴上的两个顶点位置，从而确定它们的极坐标．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=，a=2，b=，c=1．∴它在短轴上的两个顶点的极坐标（2，），（2，）．故选C．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．12．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列进行求解．解答：解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，解得d=，a1=，∴s3m=3ma1+d=3m+=210．故选C．解法2：∵设{a n}为等差数列，∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100=70×2，解得s3m=210．故选C．点评：解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为s n，则s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n，…成等差数列．13．（5分）设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：直线l的方程为，原点到直线l的距离为，∴，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．解答：解：∵直线l的方程为，c2=a2+b2∴原点到直线l的距离为，∴，∴16a2b2=3c4，∴16a2（c2﹣a2）=3c4，∴16a2c2﹣16a4=3c4，∴3e4﹣16e2+16=0，解得或e=2.0＜a＜b，∴e=2．故选A．点评：若，则有0＜b＜a．14．（5分）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（）A．B．C．D．考点：基本不等式在最值问题中的应用；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；压轴题．分析：利用母线长得到底面半径与高的关系，利用圆锥的体积公式将体积表示成底面半径的函数，将函数凑成乘积为定值的形式，利用基本不等式求函数的最值．解答：解：设圆锥底面半径为r，高为h，则圆锥体积V=πr2•h又∵r2+h2=1∴h=∴圆锥体积V=πr2•=•∵=，当且仅当时，即当时圆锥体积V取得最大值∴侧面展开图圆心角ϕ=2πr=2π•故选择D点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值：需要注意满足的条件：一正；二定；三相等．15．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5考点：奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：题目中条件：“f（x+2）=﹣f（x），”可得f（x+4）=f（x），故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．解答：解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．故选B．点评：本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）（2010•柳州三模）已知圆x2+y2+4x+3=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则P=2或6．考点：直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先求出准线方程为x=﹣，因为准线与圆相切，得到圆心到准线的距离等于半径，再根据对称性得到，列出方程求出P即可．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（﹣2，0），半径为1；由抛物线的方程得：准线方程为x=﹣，因为准线与圆相切，所以圆心到准线的距离d=圆的半径r得：d===r=1，解得p=2，p=﹣2（舍去），所以p=2；得到准线方程为x=﹣1，根据对称性得：x=﹣3也和圆相切，所以﹣=﹣3，解得p=6．所以p=2或6．故答案为2或6点评：考查学生掌握直线与圆相切时得到圆心到直线的距离等于圆的半径，以及灵活运用抛物线的简单性质解决数学问题，此题有两种情况，学生容易漏解．17．（4分）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有32个（用数字作答）．考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法减去在一条直线上的三点的个数即可．解答：解：正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法是：C73=35在一条直线上的三点有3个符合题意的三角形有35﹣3=32个故答案为：32点评：本题考查组合及组合数公式，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（4分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题；压轴题．分析：利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．解答：解：tan60°=tan（20°+40°）==tan20°+tan40°+tan20°tan40故答案为：点评：本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题．19．（4分）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即是EF⊥CE．进而求出CF、FB、BC，即可求出异面直线AD与BF所成角的余弦值．解答：解：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即三角形CEF为直角三角形和三角形CBE为等边三角形；即是EF⊥CE．设AB=1，则CE=1，CF=，FB=，利用余弦定理，得．故异面直线AD与BF所成角的余弦值是．点评：此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（7分）解不等式．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；分类讨论；转化思想．分析：先由对数函数的单调性转化不等式分a＞1时，原不等式等价于不等式组：，0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：求解．解答：解：①当a＞1时，原不等式等价于不等式组：由此得．因为1﹣a＜0，所以x＜0，∴．②当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：解得：综上，当a＞1时，不等式的解集为；当0＜a＜1时，不等式的解集为点评：本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．最后两种结果分开来写．既不取并集也不能取交集．21．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的积化和差公式．专题：计算题．分析：先根据A，B，C的关系求出B的值，再代入到中得到cosA，cosC的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos，cos（A+C）的值代入整理后因式分解，即可求出的值．解答：解：由题设条件知B=60°，A+C=120°．∵，∴将上式化为利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式得将代入上式并整理得，∵，∴从而得点评：本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．（1）证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足．①∵面A1EC⊥侧面AC1∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，②∵面ABC⊥侧面AC1∴BF⊥侧面AC1；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．③∵BE∥侧面AC1∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，④∵BE∥AA1∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，⑤∵AF=FC∴，即．考点：与二面角有关的立体几何综合题；棱柱的结构特征．分析：本题考查的知识点是棱柱的结构特征及二面角及其度量，（1）要证BE=EB1；即证E为BB1的中点；由截面A1EC⊥侧面AC1．我们可以在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足，则易证FG=BE，我们可转化为FG=，由中位线性质，我们易得答案．（2）分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D．我们易得∠CA1C1是平面A1EC与平面A1B1C1所成锐二面角的平面角，解三角形CA1C1即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）①面A1EC⊥侧面AC1②面ABC⊥侧面AC1③BE∥侧面AC1④BE∥AA1⑤AF=FC（Ⅱ）解：分别延长CE、C1B1交于点D，连接A1D．∵EB1∥，∴，∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=60°，∠DA1B1=∠A1DB1=（180°﹣∠DB1A1）=30°，∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°，即DA1⊥A1C1∵CC1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C，所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．∵CC1=AA1=A1B1=A1C1，∠A1C1C=90°，∴∠CA1C1=45°，即所求二面角为45°点评：本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠CA1C1为所求二面角的平面角，通过解∠CA1C1所在的三角形求得∠CA1C1．其解题过程为：作∠CA1C1→证∠CA1C1是二面角的平面角→计算∠CA1C1，简记为“作、证、算”．23．（12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）考点：二项式定理的应用；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：利用公式粮食单产=，人均粮食占有量=分别求出现在和10 年后的人均粮食占有量再利用已知条件人均粮食占有量比现在提高10%．列出不等式解得．解答：解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷．依题意得不等式化简得∵=≈4.1∴x≤4（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．点评：本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．24．（12分）已知l1、l2是过点P（﹣，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2﹣x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；斜率的计算公式．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：（1）显然l1、l2斜率都存在，设l1的斜率为k1，得到l1、l2的方程，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根的判别即可求得斜率k1的取值范围；（2）利用（1）中得到的关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用弦长公式列关于k的方程，解方程即可求得k值，从而求出l1、l2的方程．解答：解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+）．联立得y=k1（x+），y2﹣x2=1，消去y得（k12﹣1）x2+2k12x+2k12﹣1=0．①根据题意得k12﹣1≠0，②△1＞0，即有12k12﹣4＞0．③完全类似地有﹣1≠0，④△2＞0，即有12•﹣4＞0，⑤从而k1∈（﹣，﹣）∪（，）且k1≠±1．（2）由弦长公式得|A1B1|=．⑥完全类似地有|A2B2|=．⑦∵|A1B1|=|A2B2|，∴k1=±，k2=．从而l1：y=（x+），l2：y=﹣（x+）或l1：y=﹣（x+），l2：y=（x+）．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的交点，直线和圆锥曲线的位置是解析几何中的一个重点内容，也是一个难点，在高考试题中占有一席之地，属于中档题．25．（16分）已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1，求证：①|c|≤1．②当﹣1≤x≤1时，|g（x）|≤2．考点：简单线性规划．专题：压轴题；分类讨论．分析：①中因为C为函数解析式的常数项，则C=f（0），由些证明C的范围可转化为f（0）的范围②中由于a值不确定，因此要对a进行分类讨论，分类标准为a与0的关系；在每种情况中结合g（x）的单调性与①中结论不难给出结论．注意：分类讨论后一定要有总结的过程，此步骤虽无实际作用，但不可缺少．解答：证明：①∵当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1，令x=0得|c|=|f（0）|≤1，即|c|≤1．②当a＞0时，g（x）=ax+b在[﹣1，1]上是增函数，∴g（﹣1）≤g（x）≤g（1），又∵|f（x）|≤1（﹣1≤x≤1），|c|≤1，∴g（1）=a+b=f（1）﹣c≤|f（1）|+|c|≤2，g（﹣1）=﹣a+b=﹣f（﹣1）+c≥﹣（|f（﹣1）|+|c|）≥﹣2，由此得|g（x）|≤2；同理当a＜0时，g（x）=ax+b在[﹣1，1]上是减函数，∴g（﹣1）≥g（x）≥g（1），又∵|f（x）|≤1（﹣1≤x≤1），|c|≤1，∴g（﹣1）=﹣a+b=﹣f（﹣1）+c≤|f（﹣1）|+|c|≤2，g（1）=a+b=f（1）﹣c≥﹣（|f（1）|+|c|）≥﹣2，由此得|g（x）|≤2；当a=0时，g（x）=b，f（x）=bx+c．∵﹣1≤x≤1，∴|g（x）|=|f（1）﹣c|≤|f（1）|+|c|≤2．综上得|g（x）|≤2．点评：在高中阶段由于研究函数的角度与初中阶段相比有所变化，因此同样对二次函数来说，高中研究的主要是二次函数性质的应用，如单调性、对称性等，因此解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并注意和方程思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等高中重要数学思想之间的紧密联系．。
1996年山西高考文科数学真题及答案
1996年山西高考文科数学真题及答案 第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合．则{}1,2,3,4,5,6,7I ={}{}1,3,5,7,3,5A B ==A ． B ． C ． D ． I A B = I A B = I A B = I A B = 【答案】C【解析】显然C 正确．2．当时，在同一坐标系中，函数与的图像1a >xy a -=log a y x =【答案】A【解析】当时，函数是减函数，且过点；而函数为增函数，1a >xy a -=(0,1)log a y x =且过点． (1,0)3．若，则的取值范围是22sin cos x x >xA ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππB ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππC ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππD ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ【答案】D【解析】或，解得2221sin cos sin sin 2x x x x >⇒>⇒>sin x <24k x ππ+<或，即 32()4k k Z ππ<+∈322()44k x k k Z ππππ-<<-∈(21)(21)4k x k πππ-+<<-，所以的取值范围是． 3()4k Z π+∈x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 4．复数等于54)31()22(i i -+A ． B ． C ． D ． i 31+i 31+-i 31-i 31--【答案】B．25(2)12()i ω===-+-5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种 【答案】C【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有． 5252240A A =6．已知是第三象限角且，则 α24sin 25α=-tan 2α=A ．B ．C ．D ． 433434-43-【答案】D【解析】由已知得，所以 7cos 25α=-2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-===． 71()42524325--==--7．如果直线与平面满足：和，那么必 ,l m ,,αβγ,//,l l m βγαα=⊂ m γ⊥有A ．且B ．且C ．且D ．且 αγ⊥l m ⊥αγ⊥//m β//m βl m ⊥//αβαγ⊥【答案】A【解析】略． 8．当时，函数的22x ππ-≤≤()sin f x x x =+A ．最大值是1，最小值是 B ．最大值是1，最小值是 1-12-C．最大值是2，最小值是 D ．最大值是2，最小值是 2-1-【答案】D【解析】因为，由已知．故当 ()sin 2sin(3f x x x x π=+=+5636x πππ-≤+≤，即时，有最大值是2；当，即时，有32x ππ+=6x π=()f x 36x ππ+=-2x π=-()f x 最小值是． 1-9．中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是 4x =±12A ．B ．C ．22143x y +=22134x y +=2214x y +=D ．2214y x +=【答案】A【解析】由题设可得，解得，所以椭圆方程是．214,2a c c a ==2,1a c ==22143x y +=10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为，该圆锥的体积是240︒A B ． C D ．881π1081π【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，则，得，， r 224021360r ππ︒=⨯︒23r ==圆锥的体积是 212()33π=11．椭圆的两个焦点坐标是222515091890x x y y -+++=A ． B ．(3,5),(3,3)---(3,3),(3,5)- C ． D ． (1,1),(7,1)-(7,1),(1,1)---【答案】B【解析】椭圆的标准方程为，而的焦点为，所以2222(1)(3)153y x +-+=2222153y x +=(0,4)±的焦点坐标是． 2222(1)(3)153y x +-+=(3,3),(3,5)-12．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的a ABCD AC BD a =D ABC -体积为A ．B ．C ．D ． 63a 123a 3123a 3122a 【答案】D【解析】取的中点，连接，如图所示．AC O ,BO DO均为等腰直角三角形，， ,ABC ADC ∆∆2AC BO DO ===∴，则面，就是三棱锥2BOD π∠=DO ⊥ABC DO D ABC-的高，所以． 231132D ABC V a a -=⋅=13．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 {}n a m 2m 3m A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】由已知得，则成等差数列，所以230,100m m S S ==232,,m m m m m S S S S S --．323()210m m m S S S =-=14．设双曲线的半焦距为，直线过两点．已知原点)0(12222b a by a x <<=-c l (,0),(0,)a b 到直线的距离为，则双曲线的离心率为 l c 43A ．2B ．C ．D ． 32332【答案】A【解析】直线的方程为，原点到直线，则 l 0bx ay ab +-=l =，即，解得或，所以 22222316a b c a b =+22222()316a c a c c -=2e =e =0ab <<，所以不合题意． e ==>e =15． 是上的奇函数，，当时，，则()f x (,)-∞+∞(2)()f x f x +=-01x ≤≤()f x x = 等于(7.5)f A ． B ． C ． D ． 0.50.5- 1.5 1.5-【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---．(0.5)0.5f =-=-第Ⅱ卷（非选择题共85分） 注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知点与抛物线的焦点的距离是5，则 ． (2,3)-)0(22>=p px y p =【答案】4，解得． 5=4p =17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37C 37332C -=个．18．的值是 ．tg20tg40tg40++【答案】3【解析】∵，∴，tg20tg40tg(2040)1tg20tg40++==-tg20tg40tg20tg40)+=tg20tg40tg40+=19．如图，正方形所在平面与正方形所在平面成的二面角，则异面直线ABCD ABEF 60与所成角的余弦值是 ．AD BF 【答案】42【解析】由于，所以即为异面直线与//AD BC CBF ∠AD 所成角，设正方形边长为，在中，BFa CBF ∆,,BF BC a FC====，．=222cos 2BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分11分）解不等式．log (1)1a x a +->【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．（Ⅰ）时，原不等式等价于不等式组： ——2分1>a 10,1.x a x a a +->⎧⎨+->⎩解得． ——5分 21x a >-（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组： ——7分01a <<10,1.x a x a a +->⎧⎨+-<⎩解得． 10分121a x a -<<-综上，当时，不等式的解集为；1>a {}21x x a >-当时，不等式的解集为． ——11分 01a <<{}121x a x a -<<-21．（本小题满分12分）设等比数列的前项和为．若，求数列的公比． {}n a n n S 3692S S S +=q 【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．若，则有．但，1q =3161913,6,9S a S a S a ===10a ≠即得，与题设矛盾，故． ——2分3692S S S +≠1q ≠又依题意可得． 3692S S S +=369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---整理得．363(21)0q q q --=由得方程．， —— 9分0q ≠63210q q --=33(21)(1)0q q +-=∵ ，∴，∴ ——12分 31,1q q ≠≠3210q +=q =22．（本小题满分11分）已知的三个内角满足：，求 ABC ∆,,A B C BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+的值． 2cosCA -解法一：由题设条件知． ——2分60,120B A C =+=，∴． =-22cos 1cos 1-=+C A 将上式化为． C A C A cos cos 22cos cos -=+利用和差化积及积化和差公式，上式可化为． ——6分 )]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+将代入上式得 21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A ．cos)2A C A C -=-将代入上式并整理得 1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A ——9分0232cos(22(cos 242=--+-CA C A ，(2cos 3)022A C A C ---+=∵，∴．302A C -+≠2cos 02A C-=从而得． ——12分cos2A C -=解法二：由题设条件知．60,120B A C =+=设，则，可得， ——3分 2A C α-=2A C α-=60,60A C αα=+=-所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+C Aααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=． ——7分 ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα依题设条件有， Bcos 243cos cos 2-=-αα∵，∴．21cos =B 2243cos cos 2-=-αα整理得 ——9分22cos 0,αα+-=，(2cos 3)0αα+=∵，∴．03cos 22≠+α02cos 2=-α从而得． ——11分 222cos =-C A23．（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标号①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程；并解答（Ⅱ），如图2．】如图1，在正三棱柱中，，分别是上的点，111ABC A B C -13AA AB a ==,E F 11,BB CC 且．,2BE a CF a ==（Ⅰ）求证：面面； AEF ⊥ACF （Ⅱ）求三棱锥的体积．1A AEF -（Ⅰ）证明： ①∵，，延长与延,2BE a CF a ==//BE CF FE CB 长线交于，连结．D AD ∴，DBE DCF ∆∆ ∴． DB BEDC CF= ② ． ∴．DB AB =③ ． ∴．DA AC ⊥④ ． ∴．FA AD ⊥⑤ ．∴面． AEF ⊥ACF （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）②∵，∴，∴， ——1分:1:2BE CF =2DC DB =DB BC =③∵是等腰三角形，且，ABD ∆120ABD ∠=︒∴，∴， —— 3分 30BAD ∠=︒90CAD ∠=︒④∵面，∴是在面上的射影，FC ⊥ACD CA FA ACD 且， —— 5分 CA AD ⊥⑤∵，面，面，FA AC A = DA ⊥ACF DA ⊂ADF ∴面面． 7分 ADF ⊥ACF（Ⅱ）∵，11A AEF E AA F V V --=在面内作，垂足为． 111A B C 111B G A C ⊥G 1B G =面面，∴面， 111A B C ⊥1A C 1B G ⊥1A C∵，而面，∴三棱柱．——9分 1E BB ∈1//BB 1A C 1E AA F -——10分 1112A FA S AA AC ∆=⋅=∴ ——12分 11A AEF E AA FV V --==24．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=，人均粮食占有量=） 耕地面积总产量总人口数总产量【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少公顷，又设该地区现有人口为人，粮食单产为吨/x P M 公顷．依题意得不等式．——5分 %)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M 化简得． ——7分 ]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ∵ 103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+ ． —— 9分 3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈∴（公顷）．4x ≤答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分25．（本小题满分12分）已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两12,l l )0,2(-P 12,l l 122=-x y 个交点，分别为和．11,A B 22,A B （Ⅰ）求的斜率的取值范围；1l 1k （Ⅱ）若恰是双曲线的一个顶点，求的值．1A 22A B 【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（Ⅰ）依题设，的斜率都存在，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程12,l l 1l )0,2(-P 组 ① ——1分 1122(0),1.y k x k y x ⎧=+≠⎪⎨-=⎪⎩有两个不同的解．在方程组①中消去，整理得． ②y 01222)1(2121221=-++-k x k x k 若，则方程组①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故 0121=-k 1l ，即，方程②的判别式为0121≠-k 11≠k ．2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-设的斜率为，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组2l 2k 2l )0,2(-P ③ ⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y 有两个不同的解．在方程组③中消去，整理得y ． ④01222)1(2222222=-++-k x k x k 同理有．)13(4,0122222-=∆≠-k k 又因为，所以有． ——4分 12l l ⊥121l l ⋅=-于是，与双曲线各有两个交点，等价于12,l l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得——6分 ⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k ∴． ——7分 )3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k （Ⅱ）双曲线的顶点为．122=-x y (0,1),(0,1)-取时，有，1(0,1)A 1(01k =解得．从而——8分 1k =211k k =-=将． ⑤2k =230x ++=记与双曲线的两交点为，则 2l 211222(,),(,)A x y B x y ． 2222222122121212()()3()3[()4]A B x x y y xx x x x x =-+-=-=+-由⑤知．1212)3xx x x +=-=∴ ——11分2222260,A B A B ==当取时，由双曲线关于轴的对称性，知．1(0,1)A -122=-x y x 22A B =所以过双曲线的一个顶点时，． ——12分1l 22A B =。
1996年全国高考数学试题
一九九六年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集I=N ，集合},2|{N n n x x A ∈==，},4|{N n n x x B ∈==。
则 （ C ）（A ）B A I ⋃= （B ）B A I ⋃= （C ）B A I ⋃= （D ）B A I ⋃=（2）当1>a 时，在同一坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图象是 （ A ）（3）若x x 22cos sin >，则x 的取值范围是 （ D ）（A ）},412432|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（B ）},452412|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（C ）},4141|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（D ）},4341|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（4）复数54)31()22(i i -+等于 （ B ）（A ）i 31+ （B ）i 31+- （C ）i 31- （D ）i 31--（5）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：α⊂αγ⋂β=m l l ,//,和γ⊥m ，那么必有 （ A ）(A) y (B) y (C) y (D) yx（A ）γ⊥α且m l ⊥ （B ）γ⊥α且β//m （C ）β//m 且m l ⊥ （D ）βα//且γ⊥α（6）当22π≤≤π-x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ D ） （A ）最大值是1，最小值是-1 （B ）最大值是1，最小值是21- （C ）最大值是2，最小值是-2 （D ）最大值是2，最小值是-1 （7）椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=.sin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是 （ B ）（A ）（-3，5），（-3，-3） （B ）（3，3），（3，-5） （C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1）（8）若20π<α<，则)](arccos[sin )]2(arcsin[cos α+π+α+π等于 （ A ） （A ）2π （B ）2π- （C ）α-π22 （D ）α-π-22（9）将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为 （ D ）（A ）63a （B ）123a （C ）3123a （D ）3122a（10）等比数列}{n a 的首项11-=a ，前n 项和为n S ，若3231510=S S ，则nn S ∞→lim 等于 （ B ） （A ）32 （B ）32- （C ）2 （D ）-2 （11）椭圆的极坐标方程为θ-=ρcos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 （ C ）（A ）（3，0），（1，π） （B ）（2,3π），（23,3π） （C ）（2，3π），（2，35π） （D ）（23,7arctg ），（232,7arctg -π）（12）等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 （ C ） （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260（13）设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点。
1996年全国高考数学(理科)试题
1996年全国统一高考数学试卷（理科数学）一、选择题： 本大题共15小题:第1-10题每小题4分,第11-15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集I N =，集合{}2,A x x n n N ==∈，{}4,B x x n n N ==∈，则 A.I A B = B.()I I C A B = C.()I I A C B = D.()()I I I C A C B =2.当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象3．若22sin cos x x>，则x 的取值范围是A. 322,44x k x k k z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ B. 522,44x k x k k z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭C. ,44x k x k k z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭D. 3,44x k x k k z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭44等于 A.1+ B. 1-+ C. 1- D. 1- 5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：l βγ=，l ∥α，m α⊂和m γ⊥，那么必有A.αγ⊥且l m ⊥B.αγ⊥且m ∥βC.m ∥β且l m ⊥D.α∥β且αγ⊥ 6．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =的A. 最大值是1,最小值是1-B. 最大值是1,最小值是12-C. 最大值是2,最小值是2-D. 最大值是2,最小值是1-7.椭圆33cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）的两个焦点坐标是A.(3,5)-,(3,3)-B. (3,3),(3,5)-C. (1,1),(7,1)-D. (7,1),(1,1)-- 8.若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于 A.2πB. 2π-C. 22πα-D. 22πα--9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A.36aB. 312aC. 312D. 31210．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若1053132S S =,则lim n n S →∞等于A.23 B . 23- C. 2 D. 2- 11．椭圆的极坐标方程为32cos ρθ=-，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是A.(3,0),(1,)πB.(3,)2π,3)2πC.(2,)3π,5(2,)3πD. )2,2arctan )2π- 12.等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A.130 B. 170 C. 210 D. 26013.设双曲线22221x y a b-=（0a b <<）的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线l的距离为4，则双曲线的离心率为 A.214.母线长为l 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于A.315.设()f x 是(,)-∞∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =， 则(7.5)f 等于A. 0.5B. 0.5-C. 1.5D. 1.5- 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =__ . 17.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）．18.求值：tan 20tan 403tan 20tan 40++=_______ ．19.如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是 ____ ． 三、解答题：本大题共6小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.20.（本小题满分11分）解不等式1log (1)1a x ->．21.（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：2A C B +=,11cos cos cos A C B+=-，求cos2A C-的值． 22．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 在1BB 上， 截面1A EC ⊥侧面11AAC C ．（1）求证：1BE EB =；注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（1）的完整证明，并解答（2）． （1）证明：在截面1A EC 内，过E 作1EG A C ⊥，G 是垂足． ①∵ _________ABCD E FABCEA 1B 1C 1∴EG ⊥侧面1AC ；取AC 的中点F ，连接,BF FG ，由AB BC =,得BF AC ⊥， ②∵ _________∴BF ⊥侧面1AC ；得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面1AC 于FG ． ③∵ _________∴BE ∥FG ，四边形BEFG 是平行四边形，BE FG =， ④∵ _________∴FG ∥1AA ，1AA C ∆∽FGC ∆，⑤∵ _________∴111122FG AA BB ==，112BE BB =,故1BE EB =（2）若111AA A B =；求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数． 23.（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数） 24.（本小题满分12分）已知1l ,2l 是过点(P 的两条互相垂直的直线，且1l ,2l 与双曲线221y x -=,各有两个交点，分别为1A ,1B 和2A ,2B ． （1）求1l 的斜率1k 的取值范围；（2）若1122A B B =，求1l ,2l 的方程． 25．（本小题满分12分）已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++，()g x ax b =+，当11x -≤≤时，()1f x ≤. （1）证明：1c ≤；（2）证明：当11x -≤≤时，()2g x ≤；（3）设0a >,当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x .。
1996年全国高考数学试题含答案
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集I=N,集合A={x │x=2n,n ∈N},B={x │x=4n,n ∈N},则B A I )D (B A I )C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=[Key] C(1)已知全集I=N,集合A={x │x=2n,n ∈N},B={x │x=4n,n ∈N},则B A I )D (B A I )C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=[Key] C(3)若sin 2x>cos 2x,则x 的取值范围是}Z k ,43k x 41k 2|x ){D (}Z k ,43k x 41k |x ){C (}Z k ,45k 2x 41k 2|x ){B (}Z k ,41k 2x 43k 2|x ){A (∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π[Key] D(4)复数)i 31()i 22(4-+等于i 31)D (i 31)C (i 31)B (i 31)A (---+-+[Key] B5)如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l=β∩γ,l//α,m ⊂α和m ⊥γ那么必有 (A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C)m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ [Key] A (6)当2x 2π≤≤π-，函数xcos 3x sin )x (f +=的(A)最大值是1，最小值是-1(B)最大值是1，最小值是-(1/2) (C)最大值是2，最小值是-2(D)最大值是2，最小值是-1 [Key] D(7)椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=sin 51y cos 33x 的两个焦点坐标是(B) (A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3,),(3,-5) (C)(1,1,),(-7,1) (D)(7,-1,),(-1,-1) (8)若2a 0π<<，则)]a (arccos[sin )]a 2(arcsin[cos +π++π等于a 22)D (a 22)C (2)B (2)A (-π--ππ-π[Key] A(9)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC 的体积为3333a 122)D (a 123)C (12a )B (6a )A ([Key] D(10)等比数列{a n }的首项a 1=-1，前n 项的和为S n ，若3231S S 510=，则n n S lim ∞→等于2)D (2)C (32)B (32)A (-- [Key]B (11)椭圆的极坐标方程为θ-=ρcos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是)23arctg 2,7)(23arctg ,7)(B ()35,2)(3,2)(B ()23,3)(2,3)(B (),1)(0,3)(A (-ππππππ [Key] C(12)等差数列{a n 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为 (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 [Key] C(13)设双曲线)b a 0(1b y a x 2222<<=+的半焦距为c ，直线l 过两点(a,0)(0,b)。
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 已知全集I =N ，集合A ={x │x =2n ，n ∈N }，B ={x │x =4n ，n ∈N }，则 ( )(A) B A I =(B)B A I =(C) B A I =(D) B A I =(2) 当a >1时，在同一坐标系中，函数y =a －x 与y =log a x 的图像( )(3) 若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是 ( )(A) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ (B) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ (C) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ (D) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ(4) 复数54)31()22(i i -+等于( )(A) i 31+(B) i 31+-(C) i 31-(D) i 31--(5) 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l l ,γβ =∥m m 和αα⊂,,⊥γ，那么必有( )(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C)m ∥β且l ⊥m(D)α∥β且α⊥γ(6) 当x x x f x cos 3sin )(,22+=≤≤-函数时ππ的( ) (A) 最大值是1，最小值是－1 (B) 最大值是1，最小值是－21 (C) 最大值是2，最小值是－2 (D) 最大值是2，最小值是－1(7) 椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是( )(A) (－3，5)，(－3，－3) (B) (3，3)，(3，－5) (C) (1，1)，(－7，1)(D) (7，－1)，(－1，－1))](arccos[sin )]2(arcsin[cos ,20)8(απαππα+++<<则若等于( )(A)2π (B) －2π (C)2π－2α (D) －2π－2α (9) 将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD =a ，则三棱锥D －ABC 的体积为( )(A) 63a(B) 123a(C)3123a (D)3122a (10) 等比数列{}n a 的首项a 1=－1，前n 项和为S n ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于( )(A)32(B) －32 (C) 2 (D) －2(11) 椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是( )(A) (3，0)，(1，π)(B) (3，2π)，(3，23π)(C) (2，3π)，(2，35π)(D) (7，23arctg)，(7，23arctg -2π) (12) 等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )(A) 130(B) 170(C) 210(D) 260(13) 设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ,直线l 过),0)(0,(b a 两点，已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 ( )(A) 2(B)3(C)2 (D)332 (14) 母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于 ( )(A)π322 (B)π332 (C)π2(D)π362 (15) 设f (x )是(－∞，+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )=x ，则f (7.5) 等于( )(A) 0.5 (B) －0.5(C) 1.5(D) －1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(16)已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则P=(17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答）(18)40tg 20tg 340tg 20tg ++的值是(19)如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)解不等式1)11(log >-xa ．(21)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求2cosCA -的值． 22．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1．(Ⅰ)求证：BE =EB 1;(Ⅱ)若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)(Ⅰ)证明：在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足． ① ∵∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB =BC 得BF ⊥AC ，② ∵∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ． ③ ∵∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE =FG ， ④ ∵ ∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ， ⑤ ∵ ∴112121BB AA FG ==，即11,21EB BE BB BE ==故 23．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）24．已知l 1、l 2是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2．(Ⅰ)求l 1的斜率k 1的取值范围；(Ⅱ)若12211,5l B A B A 求 、l 2的方程25．已知a 、b 、c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1．(Ⅰ)证明：│c │≤1；(Ⅱ)证明：当－1≤x ≤1时，│g (x )│≤2；(Ⅲ)设a >0，当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，求f (x )．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A (3)D (4)B(5)A(6)D(7)B(8)A(9)D(10)B (11)C (12)C (13)A (14)D (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（16）2 （17）32 （18）3（19）42三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．解：(Ⅰ)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a xx——2分由此得xa 11>-． 因为1－a <0，所以x <0， ∴.011<<-x a——5分(Ⅱ)当0<a <1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.11,011a xx由①得，x >1或x <0， 由②得，,110ax -<< ∴ax -<<111 ——10分综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111 ——11分(21)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°． ——2分∵,2260cos 2-=-∴22cos 1cos 1-=+CA 将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+ 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+ ——6分将21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A 代入上式得)cos(222)2cos(C A C A --=- 将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分,0)32cos 22)(22cos2(=+---C A C A ∵,032cos 22≠+-CA ∴.022cos2=--CA 从而得.222cos=-C A ——12分解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°． 设αα2,2=--=C A CA 则，可得α+= 60A ，α-= 60C ——3分所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα——7分依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ∴2243cos cos 2-=-αα整理得,023cos 2cos 242=-+αα——9分,0)3cos 22)(2cos 2(=+-αα∵03cos 22≠+α， ∴02cos 2=-α． 从而得222cos =-C A ． ——12分(22)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．(Ⅰ) ①∵面A 1EC ⊥侧面AC 1，——2分 ②∵面ABC ⊥侧面AC 1， ——3分 ③∵BE ∥侧面AC 1， ——4分 ④∵BE ∥AA 1， ——5分 ⑤∵AF =FC ，——6分(Ⅱ)解：分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D ． ∵1EB ∥11112121,CC BB EB CC ==， ∴,21111111B A C B DC DB ===∵∠B 1A 1C 1=∠B 1 C 1A 1=60°， ∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=21（180°－∠D B 1A 1）=30°， ∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即1DA ⊥11C A——9分∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C ， 所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角． ——11分∵CC 1=AA 1=A 1B 1=A 1C 1，∠A 1C 1C =90°， ∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°——12分 (23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ——5分化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ——7分 ∵]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯ )]01.001.01(22.11.11[1022101103 +⨯+⨯+⨯-⨯=C C ]1045.122.11.11[103⨯-⨯≈ 1.4≈—— 9分∴x ≤4（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．——10分(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：（I ）依题设，l 1、l 2的斜率都存在，因为l 1过点P )0,2(-且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即l 1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为).13(4)12)(1(4)22(2121212211-=---=∆k k k k设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k 又因为l 1⊥l 2，所以有k 1·k 2=－1．——4分于是，l 1、l 2与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ——7分(Ⅱ)设),(),,(221111y x B y x A 由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x ∴│A 1B 1│2=(x 1－x 2)2+(y 1－y 2)222121))(1(x x k -+=2212121)1()13)(1(4--+=k k k ⑤ ——9分同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+=⑥ 由22115B A B A =，得2222115B A B A =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+ 解得21±=k 取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ； 取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ． ——12分(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．(Ⅰ)证明：由条件当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1，取x =0得 │c │=│f (0)│≤1， 即│c │≤1．——2分(Ⅱ)证法一：当a >0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是增函数， ∴g (－1)≤g (x )≤g (1)，∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1， ∴g (1)=a +b =f (1)－c ≤│f (1)│+│c │≤2，g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≥－(│f (－1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2;——5分当a <0时，g (x )=ax +b 在[－1，1]上是减函数， ∴g (－1)≥g (x )≥g (1)，∵│f (x )│≤1 (－1≤x ≤1)，│c │≤1，∴g (－1)=－a +b =－f (－1)+c ≤│f (－1)│+│c │≤2， g (1)=a +b =f (1)－c ≥－(│f (1)│+│c │)≥－2， 由此得│g (x )│≤2;——7分 当a =0时，g (x )=b ，f (x )=bx +c ． ∵－1≤x ≤1，∴│g (x )│=│f (1)－c │≤│f (1)│+│c │≤2． 综上得│g (x )│≤2． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得b ax x g +=)()2121(])21()21[(22--++--+=x x b x x a ])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++= ),21()21(--+=x f x f ——6分当－1≤x ≤1时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x 根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f 即│g (x )│≤2．——8分(Ⅲ)因为a >0，g (x )在[－1，1]上是增函数，当x =1时取得最大值2， 即g (1)=a +b =f (1)－f (0)=2． ①∵－1≤f (0)=f (1)－2≤1－2=－1， ∴c =f (0)=－1．——10分因为当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1，即f (x )≥f (0)，根据二次函数的性质，直线x =0为f (x )的图像的对称轴，由此得0,02==-b ab即 由① 得a =2． 所以 f (x )=2x 2－1． ——12分。
【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试.文科数学试题及答案
【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项:1.答案Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一.选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集I=｛1,2,3,4,5,6,7｝,集合A=｛1,3,5,7｝,B=｛3,5｝.则(A)I=A∪B(B)I=∪B(C)I=A∪(D)I=∪(2)当a>1时,在同一坐标系中.函数y=a-x与y=logax的图象是(3)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是(A){x|2kπ-3π/4<x<2kπ+π/4,k∈Z}(B){x|2kπ+π/4<x<2kπ+5π/4,k∈Z}(C){x|kπ-π/4<x<kπ+π/4,k∈Z}(D){x|kπ+3π/4<x<kπ+3π/4,k∈Z}(4)复数(2+2i)4/(1-i)5等于(A)1+i (B)-1+i (C)1-i (D)-1-i(5)6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有(A)720种(B)360种(C)240种(D)120种(6)已知α是第三象限角且sinα=-24/25,则tgα=(A)4/3 (B)3/4 (C)-3/4 (D)-4/3(7)如果直线l、m 与平面α、β、γ满足l=β∩γ，l∥α，m =α，m⊥γ，那么必有(A)α⊥γ且l⊥m(B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ(8)当-π/2≤x≤π/2时，函数f(x)＝sinx+cosx的(A)最大值是1,最小值是-1 (B)最大值是1,最小值是-1/2(C)最大值是2,最小值是-2 (D)最大值是2,最小值是-1(9)中心在原点，准线方程为x=±4，离心率为1/2的椭圆方程是(A)x2/4+y2/3=1 (B)x2/3+y2/4=1(C)x2/4+y2=1 (D)x2+y2/4=1(10)圆锥母线长为1,侧面展开图圆心角为240°,该圆锥的体积是(A)2π/81 (B)4π/81 (C)10π/81 (D)8π/81(11)椭圆25x2-150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3),(3,-5)(C)(1,1),(-7,1) (D)(7,-1),(-1,-1)(12)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC 的体积为(A)a3/6 (B)a3/12 (C)a3/12 (D)a3/12(13)等差数列｛an｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130 (B)170 (C)210 (D)260(14)设双曲线x2/a2+y2/b2=1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直线的距离为c/4，则双曲线的离心率为(A)2 (B)(C)(D)2/3(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7,5)等于(A)0.5 (B)-0.5 (C)1.5 (D)-1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)注意事项:1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.(16)已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5,则p=______.(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有______个.(用数字作答)(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是______ .三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(20)(本小题满分11分) 解不等式loga(x+1-a)>1.21)(本小题满分12分)设等比数列｛an ｝的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9 ，求数列的公比q.(22)(本小题满分11分)已知三角形ABC的三个内角A,B,C满足A+C=2B,1/cosA+1/cosC=－/cosB,求cos{(A-C)/2}.(23)(本小题满分12分)【注意:本题的要求是,参照标号①的写法,在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤,完成(Ⅰ)证明的全过程;并解答(Ⅱ).】如图：在正三棱柱ABC－A1B1C1中,AB=AA1/3=a,E,F分别是BB1,CC1上的点,且BE=a,CF=2a.(Ⅰ)求证:面AEF⊥面ACF;(Ⅱ)求三棱锥A1-AEF的体积.(Ⅰ)证明:①∵BE=a,CF=2a,BE∥CF,延长FE与CB延长线交于D,连结AD.∴△DBE∽△DCF________________________________________________。
1996年全国统一高考数学试卷(文科)
1996年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，第1-10题，每小题4分，第11-15题，每小题5分，满分65分）1．（4分）设全集I={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，7}，B={3，5}．则（）A．I=A∪B B．I=∪B C．I=A∪D．∪2．（4分）（2010•兰州一模）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象（）A．B．C．D．3．（4分）若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（）A．B．C．D．4．（4分）复数等于（）A．B．C．D．5．（4分）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）A．720种B．360种C．240种D．120种6．（4分）已知α是第三象限角sinα=﹣，则tan=（）A．B．C．﹣D．﹣7．（4分）（2015•广东模拟）如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ8．（4分）当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣19．（4分）中心在原点，准线方程为x=±4，离心为的椭圆方程是（）A ．=1B ．=1C ．+y 2=1D ．x 2+=110．（4分）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，该圆锥的体积（ ） A ． B ． C ．D ． 11．（5分）椭圆25x 2﹣150x+9y 2+18y+9=0的两个焦点坐标是（ ） A ． （﹣3，5），（﹣3，﹣3） B ． （3，3），（3，﹣5） C ． （1，1），（﹣7，1） D ． （7，﹣1），（﹣1，﹣1） 12．（5分）（2014•广西模拟）将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D ﹣ABC 的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．13．（5分）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ） A ． 130 B ． 170 C ． 210 D ． 26014．（5分）设双曲线=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 B ．C ．D ．15．（5分）设f （x ）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f （x+2）=﹣f （x ），当0≤x≤1时，f （x ）=x ，则f （7.5）等于（ ） A ． 0.5 B ． ﹣0.5 C ． 1.5 D ． ﹣1.5二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 16．（4分）已知点（﹣2，3）与抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点的距离是5，则p= _________ ． 17．（4分）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 _________ 个（用数字作答）．18．（4分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°= _________ ． 19．（4分）如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是 _________ ．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（11分）解不等式log a（x+1﹣a）＞1．21．（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S3+S6=2S9，求数列的公比q．22．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．23．（12分）如图：在正三棱柱ABC﹣A1 B1 C1中，AB==a，E，F分别是BB1，CC1上的点且BE=a，CF=2a．（Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣AEF的体积．24．（10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）25．（12分）已知l1、l2是过点P（﹣，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2﹣x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．1996年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，第1-10题，每小题4分，第11-15题，每小题5分，满分65分）1．（4分）设全集I={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，7}，B={3，5}．则（）A．I=A∪B B．I=∪B C．I=A∪D．∪考点：并集及其运算．专题：综合题．分析：根据全集和集合B求出集合B的补集，然后求出A和B补集的并集，得到正确答案．解答：解：因为全集I={1，2，3，4，5，6，7}，B={3，5}，所以={1，2，4，6，7}，又A={1，3，5，7}，则A∪={1，2，3，4，5，6，7}=I．故选C点评：本题考查了并集及补集的运算，是一道基础题．2．（4分）（2010•兰州一模）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果．解答：解：∵函数y=a﹣x可化为函数y=，其底数小于1，是减函数，又y=log a x，当a＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．3．（4分）若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是（）A．B．C．D．考点：余弦函数的单调性；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：sin2x＞cos2x化为cos2x﹣sin2x＜0，就是cos2x＜0，然后求解不等式即可得到x的取值范围．解答：解：因为sin2x＞cos2x，所以cos2x﹣sin2x＜0，就是cos2x＜0解得：2kπ+＜2x＜2kπk∈Z所以x的取值范围是故选D．点评：本题考查余弦函数的单调性，二倍角的余弦，考查计算能力，是基础题．4．（4分）复数等于（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用1的立方虚根的性质化简，然后求得答案．解答：解：复数==．故选B．点评：复数代数形式的混合运算，同时应用1的立方虚根的性质化简；本题是中档题．5．（4分）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）A．720种B．360种C．240种D．120种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，对于相邻的问题，一般用捆绑法，首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外4个元素排列，再者甲和乙之间还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．解答：解：∵6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，∴首先把甲和乙看做一个元素，使得它与另外4个元素排列，再者甲和乙之间还有一个排列，共有A55A22=240，故选C．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查相邻问题，是一个比较简单的题目，这种题目一般有限制条件，首先排列有限制条件的元素．6．（4分）已知α是第三象限角sinα=﹣，则tan=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：弦切互化；象限角、轴线角．专题：综合题．分析：由α是第三象限角，得到cosα小于0，然后由sinα的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用弦切互化公式化简后，把sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由α是第三象限角，得到cosα=﹣=﹣，则tan====﹣．故选D．点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及弦切互化公式化简求值，是一道中档题．7．（4分）（2015•广东模拟）如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，l=β∩γ，l⊂γ．然后推出l⊥m，得到结果．解答：解：∵m⊂α和m⊥γ⇒α⊥γ，∵l=β∩γ，l⊂γ．∴l⊥m，故选A．点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，画出图形，帮助分析，考查逻辑思维能力和分析判断能力，基础题．8．（4分）当时，函数f（x）=sinx+cosx的（）A．最大值是1，最小值是﹣1 B．最大值是1，最小值是﹣C．最大值是2，最小值是﹣2 D．最大值是2，最小值是﹣1考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：首先对三角函数式变形，提出2变为符合两角和的正弦公式形式，根据自变量的范围求出括号内角的范围，根据正弦曲线得到函数的值域．解答：解：∵f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），∵，∴f（x）∈[﹣1，2]，故选D点评：了解各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，本题主要是公式的逆用和对三角函数值域的考查．9．（4分）中心在原点，准线方程为x=±4，离心为的椭圆方程是（）A ．=1B ．=1C ．+y 2=1D ．x 2+=1考点： 椭圆的标准方程． 专题： 综合题．分析：设出a ，b ，c 分别为椭圆的半长轴，半短轴及焦距的一半，根据椭圆的准线方程公式列出a 与c 的方程记作①，根据离心率列出a 与c 的方程记作②，联立①②即可求出a 与c 的值，根据a 2=b 2+c 2即可求出b 的值，由椭圆的中心在原点，利用a 与b 的值写出椭圆的标准方程即可． 解答：解：设a 为半长轴，b 为半短轴，c 为焦距的一半， 根据题意可知：±=±4即a 2=4c ①，=即a=2c ②， 把②代入①解得：c=1，把c=1代入②解得a=2，所以b==，又椭圆的中心在原点，则所求椭圆的方程为：+=1．故选A ．点评：此题考查学生灵活运用椭圆的准线方程及离心率的公式化简求值，掌握椭圆的一些基本性质，是一道综合题．10．（4分）圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，该圆锥的体积（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 计算题．分析： 求出侧面展开图的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面半径，高，即可求出圆锥的体积． 解答：解：侧面展开图的弧长，就是圆锥的底面周长：，底面半径为：，高：，圆锥的体积为：=故选C点评： 本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图与圆锥的关系，考查计算能力，注意弧长等于底面周长．11．（5分）椭圆25x 2﹣150x+9y 2+18y+9=0的两个焦点坐标是（ ） A ． （﹣3，5），（﹣3，﹣3） B ． （3，3），（3，﹣5） C ． （1，1），（﹣7，1） D ． （7，﹣1），（﹣1，﹣1）考点： 椭圆的简单性质． 专题： 综合题． 分析： 把椭圆的方程化为标准方程后，找出a 与b ，根据a 2=b 2+c 2求出c 的值，然后根据椭圆的中心坐标即可得到两焦点的坐标．解答：解：把椭圆方程25x 2﹣150x+9y 2+18y+9=0化为标准方程为：+=1，所以a=5，b=3，则c==4，且椭圆的中心为（3，﹣1），则两焦点坐标分别为（3，3）和（3，﹣5）．故选B点评：此题考查学生灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道中档题．12．（5分）（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可求三棱锥D ﹣ABC的体积．解答：解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，DO=B0==，BD=a，△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，DO就是三棱锥D﹣ABC的高，S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：，故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．13．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列进行求解．解答：解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，解得d=，a1=，∴s3m=3ma1+d=3m+=210．故选C．解法2：∵设{a n}为等差数列，∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100=70×2，解得s3m=210．故选C．点评：解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为s n，则s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n，…成等差数列．14．（5分）设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：直线l的方程为，原点到直线l的距离为，∴，据此求出a，b，c间的数量关系，从而求出双曲线的离心率．解答：解：∵直线l的方程为，c2=a2+b2∴原点到直线l的距离为，∴，∴16a2b2=3c4，∴16a2（c2﹣a2）=3c4，∴16a2c2﹣16a4=3c4，∴3e4﹣16e2+16=0，解得或e=2.0＜a＜b，∴e=2．故选A．点评：若，则有0＜b＜a．15．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（）A．0.5 B．﹣0.5 C．1.5 D．﹣1.5考点：奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：题目中条件：“f（x+2）=﹣f（x），”可得f（x+4）=f（x），故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．解答：解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x），∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）．∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5．故选B．点评：本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知点（﹣2，3）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离是5，则p=4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据抛物线的方程求得焦点的坐标，进而利用点到直线的距离建立方程求得p．解答：解：依题意可知抛物线的焦点为（，0）∴已知点到抛物线的焦点的距离为=5，求得p=4或﹣12（舍负），故答案为：4．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质和两点间距离公式的应用．考查了学生基础知识的掌握和基本运算的能力．17．（4分）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有32个（用数字作答）．考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法减去在一条直线上的三点的个数即可．解答：解：正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法是：C73=35在一条直线上的三点有3个符合题意的三角形有35﹣3=32个故答案为：32点评：本题考查组合及组合数公式，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．18．（4分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题；压轴题．分析：利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．解答：解：tan60°=tan（20°+40°）==tan20°+tan40°+tan20°tan40故答案为：点评：本题考查两角和的正切函数公式的应用，考查计算化简能力，观察能力，是基础题．19．（4分）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即是EF⊥CE．进而求出CF、FB、BC，即可求出异面直线AD与BF所成角的余弦值．解答：解：由题意得，CB⊥AB，AB⊥BE．可得正方形ABCD所在平面与正方形ABEF的二面角即∠CBE=60°，同时也得AB⊥平面BCE，即AB⊥CE，即三角形CEF为直角三角形和三角形CBE为等边三角形；即是EF⊥CE．设AB=1，则CE=1，CF=，FB=，利用余弦定理，得．故异面直线AD与BF所成角的余弦值是．点评：此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（11分）解不等式log a（x+1﹣a）＞1．考点：对数函数的单调性与特殊点；对数的运算性质．专题：计算题；分类讨论．分析：原不等式可转化为log a（x+1﹣a）＞log a a，分①a＞1②0＜a＜1两种情况讨论，结合对数函数的单调性解对数不等式可求．解答：解：①当a＞1时，原不等式等价于不等式组：解得x＞2a﹣1．②当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组：解得a﹣1＜x＜2a﹣1综上，当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞2a﹣1}；当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|a﹣1＜x＜2a﹣1}．点评：本小题考查对数函数的单调性性质的运用，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．21．（12分）设等比数列{a n}的前n项和为S n．若S3+S6=2S9，求数列的公比q．考点：等比数列的性质．专题：综合题．分析：先假设q=1，分别利用首项表示出前3、6、及9项的和，得到已知的等式不成立，矛盾，所以得到q不等于1，然后利用等比数列的前n项和的公式化简S3+S6=2S9得到关于q的方程，根据q不等于0和1，求出方程的解，即可得到q的值．解答：解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1．但a1≠0，即得S3+S6≠2S9，与题设矛盾，q≠1．又依题意S3+S6=2S9可得整理得q3（2q6﹣q3﹣1）=0．由q≠0得方程2q6﹣q3﹣1=0．（2q3+1）（q3﹣1）=0，∵q≠1，q3﹣1≠0，∴2q3+1=0∴q=﹣．点评：本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力，是一道综合题．22．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的积化和差公式．专题：计算题．分析：先根据A，B，C的关系求出B的值，再代入到中得到cosA，cosC的关系，根据和差化积及积化和差公式化简，再将cos，cos（A+C）的值代入整理后因式分解，即可求出的值．解答：解：由题设条件知B=60°，A+C=120°．∵，∴将上式化为利用和差化积及积化和差公式，上式可化为将代入上式得将代入上式并整理得，∵，∴从而得点评：本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．23．（12分）如图：在正三棱柱ABC﹣A1 B1 C1中，AB==a，E，F分别是BB1，CC1上的点且BE=a，CF=2a．（Ⅰ）求证：面AEF⊥面ACF；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣AEF的体积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）欲证面ADF⊥面ACF，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADF内一直线与平面ACF 垂直，根据题意易证CA⊥AD，而FC⊥面ACD，则CA是FA在面ACD上射影，FA∩AC=A，满足线面垂直的判定定理，则DA⊥面ACF，而DA⊂面ADF，满足面面垂直的判定定理．（Ⅱ）先根据将所求的体积进行转化，在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1，垂足为G，求出B1G，然后利用体积公式进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）∵BE：CF=1：2∴DC=2BD，∴DB=BC，∵△ABD是等腰三角形，且∠ABD=120°，∴∠BAD=30°，∴∠CAD=90°，∵FC⊥面ACD，∴CA是FA在面ACD上射影，且CA⊥AD，∵FA∩AC=A，DA⊥面ACF，DA⊂面ADF∴面ADF⊥面ACF．（Ⅱ）解：∵．在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1，垂足为G．B1G=面A1B1C1⊥面A1C∵B1G⊥面A1C，∵E∈BB1，而BB1∥面A1C，∴三棱柱E﹣AA1F的高为B1G==AA1•=∴点评：本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．24．（10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）考点：二项式定理的应用；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：利用公式粮食单产=，人均粮食占有量=分别求出现在和10 年后的人均粮食占有量再利用已知条件人均粮食占有量比现在提高10%．列出不等式解得．解答：解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷．依题意得不等式化简得∵=≈4.1∴x≤4（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．点评：本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．25．（12分）已知l1、l2是过点P（﹣，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2﹣x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；斜率的计算公式．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：（1）显然l1、l2斜率都存在，设l1的斜率为k1，得到l1、l2的方程，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y得到关于x的二次方程，再结合根的判别即可求得斜率k1的取值范围；（2）利用（1）中得到的关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用弦长公式列关于k的方程，解方程即可求得k值，从而求出l1、l2的方程．解答：解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+）．联立得y=k1（x+），y2﹣x2=1，消去y得（k12﹣1）x2+2k12x+2k12﹣1=0．①根据题意得k12﹣1≠0，②△1＞0，即有12k12﹣4＞0．③完全类似地有﹣1≠0，④△2＞0，即有12•﹣4＞0，⑤从而k1∈（﹣，﹣）∪（，）且k1≠±1．（2）由弦长公式得|A1B1|=．⑥完全类似地有|A2B2|=．⑦∵|A1B1|=|A2B2|，∴k1=±，k2=．从而l1：y=（x+），l2：y=﹣（x+）或l1：y=﹣（x+），l2：y=（x+）．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的交点，直线和圆锥曲线的位置是解析几何中的一个重点内容，也是一个难点，在高考试题中占有一席之地，属于中档题．。
1996年全国统一高考理科数学试卷
故选： ．
5．（4分）已知直线 ， 与平面 ， ， ，满足 ， ， ， ，那么必定有
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
【解答】解： 和 ， ， ． ，
故选： ．
6．（4分）当 时，函数 的
A．最大值是1，最小值是 B．最大值是1，最小值是
C．最大值是2，最小值是 D．最大值是2，最小值是
【解答】解：解法1：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由题意得方程组 ，
解得 ， ，
．
故选 ．
解法 设 为等差数列，
， ， 成等差数列，
即30，70， 成等差数列，
，
解得 ．
故选 ．
13．（5分）设双曲线 的半焦距为 ，直线 过 ， ， 两点，已知原点到直线 的距离为 ，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
【解答】解： 函数 可化为
函数 ，其底数小于1，是减函数，
又 ，当 时是增函数，
两个函数是一增一减，前减后增．
故选： ．
3．（4分）若 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【解答】解：因为 ，
所以 ，就是
解得：
所以 的取值范围是
故选： ．
4．（4分）复数 等于
A． B． C． D．
19．（4分）如图，正方形 所在平面与正方形 所在平面成 的二面角，则异面直线 与 所成角的余弦值是．
三、解答题（共6小题，满分69分）
20．（7分）解不等式 ．
21．（10分）已知 三个内角 、 、 满足 ， ，求 的值．
22．（12分）如图，在正三棱柱 中， ，截面 侧面 ．
（1）求证： ；
（2）若 ；求平面 与平面 所成二面角（锐角）的度数．
1996年上海高考文科数学真题及答案
1996年上海高考文科数学真题及答案 第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合．则{}1,2,3,4,5,6,7I ={}{}1,3,5,7,3,5A B ==A ． B ． C ． D ． I A B = I A B = I A B = I A B = 【答案】C【解析】显然C 正确．2．当时，在同一坐标系中，函数与的图像1a >xy a -=log a y x =【答案】A【解析】当时，函数是减函数，且过点；而函数为增函数，1a >xy a -=(0,1)log a y x =且过点． (1,0)3．若，则的取值范围是22sin cos x x >xA ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππB ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππC ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππD ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ【答案】D【解析】或，解得2221sin cos sin sin 2x x x x >⇒>⇒>sin x <24k x ππ+<或，即 32()4k k Z ππ<+∈322()44k x k k Z ππππ-<<-∈(21)(21)4k x k πππ-+<<-，所以的取值范围是． 3()4k Z π+∈x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 4．复数等于54)31()22(i i -+A ． B ． C ． D ． i 31+i 31+-i 31-i 31--【答案】B．25(2)12()i ω===-+-5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种 【答案】C【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有． 5252240A A =6．已知是第三象限角且，则 α24sin 25α=-tan 2α=A ．B ．C ．D ． 433434-43-【答案】D【解析】由已知得，所以 7cos 25α=-2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-===． 71()42524325--==--7．如果直线与平面满足：和，那么必 ,l m ,,αβγ,//,l l m βγαα=⊂ m γ⊥有A ．且B ．且C ．且D ．且 αγ⊥l m ⊥αγ⊥//m β//m βl m ⊥//αβαγ⊥【答案】A【解析】略． 8．当时，函数的22x ππ-≤≤()sin f x x x =+A ．最大值是1，最小值是 B ．最大值是1，最小值是 1-12-C．最大值是2，最小值是 D ．最大值是2，最小值是 2-1-【答案】D【解析】因为，由已知．故当 ()sin 2sin(3f x x x x π=+=+5636x πππ-≤+≤，即时，有最大值是2；当，即时，有32x ππ+=6x π=()f x 36x ππ+=-2x π=-()f x 最小值是． 1-9．中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是 4x =±12A ．B ．C ．22143x y +=22134x y +=2214x y +=D ．2214y x +=【答案】A【解析】由题设可得，解得，所以椭圆方程是．214,2a c c a ==2,1a c ==22143x y +=10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为，该圆锥的体积是240︒A B ． C D ．881π1081π【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，则，得，， r 224021360r ππ︒=⨯︒23r ==圆锥的体积是 212()33π=11．椭圆的两个焦点坐标是222515091890x x y y -+++=A ． B ．(3,5),(3,3)---(3,3),(3,5)- C ． D ． (1,1),(7,1)-(7,1),(1,1)---【答案】B【解析】椭圆的标准方程为，而的焦点为，所以2222(1)(3)153y x +-+=2222153y x +=(0,4)±的焦点坐标是． 2222(1)(3)153y x +-+=(3,3),(3,5)-12．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的a ABCD AC BD a =D ABC -体积为A ．B ．C ．D ． 63a 123a 3123a 3122a 【答案】D【解析】取的中点，连接，如图所示．AC O ,BO DO均为等腰直角三角形，， ,ABC ADC ∆∆2AC BO DO ===∴，则面，就是三棱锥2BOD π∠=DO ⊥ABC DO D ABC-的高，所以． 231132D ABC V a a -=⋅=13．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 {}n a m 2m 3m A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】由已知得，则成等差数列，所以230,100m m S S ==232,,m m m m m S S S S S --．323()210m m m S S S =-=14．设双曲线的半焦距为，直线过两点．已知原点)0(12222b a by a x <<=-c l (,0),(0,)a b 到直线的距离为，则双曲线的离心率为 l c 43A ．2B ．C ．D ． 32332【答案】A【解析】直线的方程为，原点到直线，则 l 0bx ay ab +-=l =，即，解得或，所以 22222316a b c a b =+22222()316a c a c c -=2e =e =0ab <<，所以不合题意． e ==>e =15． 是上的奇函数，，当时，，则()f x (,)-∞+∞(2)()f x f x +=-01x ≤≤()f x x = 等于(7.5)f A ． B ． C ． D ． 0.50.5- 1.5 1.5-【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---．(0.5)0.5f =-=-第Ⅱ卷（非选择题共85分） 注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知点与抛物线的焦点的距离是5，则 ． (2,3)-)0(22>=p px y p =【答案】4，解得． 5=4p =17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37C 37332C -=个．18．的值是 ．tg20tg40tg40++【答案】3【解析】∵，∴，tg20tg40tg(2040)1tg20tg40++==-tg20tg40tg20tg40)+=tg20tg40tg40+=19．如图，正方形所在平面与正方形所在平面成的二面角，则异面直线ABCD ABEF 60与所成角的余弦值是 ．AD BF 【答案】42【解析】由于，所以即为异面直线与//AD BC CBF ∠AD 所成角，设正方形边长为，在中，BFa CBF ∆,,BF BC a FC====，．=222cos 2BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分11分）解不等式．log (1)1a x a +->【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．（Ⅰ）时，原不等式等价于不等式组： ——2分1>a 10,1.x a x a a +->⎧⎨+->⎩解得． ——5分 21x a >-（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组： ——7分01a <<10,1.x a x a a +->⎧⎨+-<⎩解得． 10分121a x a -<<-综上，当时，不等式的解集为；1>a {}21x x a >-当时，不等式的解集为． ——11分 01a <<{}121x a x a -<<-21．（本小题满分12分）设等比数列的前项和为．若，求数列的公比． {}n a n n S 3692S S S +=q 【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．若，则有．但，1q =3161913,6,9S a S a S a ===10a ≠即得，与题设矛盾，故． ——2分3692S S S +≠1q ≠又依题意可得． 3692S S S +=369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---整理得．363(21)0q q q --=由得方程．， —— 9分0q ≠63210q q --=33(21)(1)0q q +-=∵ ，∴，∴ ——12分 31,1q q ≠≠3210q +=q =22．（本小题满分11分）已知的三个内角满足：，求 ABC ∆,,A B C BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+的值． 2cosCA -解法一：由题设条件知． ——2分60,120B A C =+=，∴． =-22cos 1cos 1-=+C A 将上式化为． C A C A cos cos 22cos cos -=+利用和差化积及积化和差公式，上式可化为． ——6分 )]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+将代入上式得 21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A ．cos)2A C A C -=-将代入上式并整理得 1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A ——9分0232cos(22(cos 242=--+-CA C A ，(2cos 3)022A C A C ---+=∵，∴．302A C -+≠2cos 02A C-=从而得． ——12分cos2A C -=解法二：由题设条件知．60,120B A C =+=设，则，可得， ——3分 2A C α-=2A C α-=60,60A C αα=+=-所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+C Aααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=． ——7分 ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα依题设条件有， Bcos 243cos cos 2-=-αα∵，∴．21cos =B 2243cos cos 2-=-αα整理得 ——9分22cos 0,αα+-=，(2cos 3)0αα+=∵，∴．03cos 22≠+α02cos 2=-α从而得． ——11分 222cos =-C A23．（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标号①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程；并解答（Ⅱ），如图2．】如图1，在正三棱柱中，，分别是上的点，111ABC A B C -13AA AB a ==,E F 11,BB CC 且．,2BE a CF a ==（Ⅰ）求证：面面； AEF ⊥ACF （Ⅱ）求三棱锥的体积．1A AEF -（Ⅰ）证明： ①∵，，延长与延,2BE a CF a ==//BE CF FE CB 长线交于，连结．D AD ∴，DBE DCF ∆∆ ∴． DB BEDC CF= ② ． ∴．DB AB =③ ． ∴．DA AC ⊥④ ． ∴．FA AD ⊥⑤ ．∴面． AEF ⊥ACF （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）②∵，∴，∴， ——1分:1:2BE CF =2DC DB =DB BC =③∵是等腰三角形，且，ABD ∆120ABD ∠=︒∴，∴， —— 3分 30BAD ∠=︒90CAD ∠=︒④∵面，∴是在面上的射影，FC ⊥ACD CA FA ACD 且， —— 5分 CA AD ⊥⑤∵，面，面，FA AC A = DA ⊥ACF DA ⊂ADF ∴面面． 7分 ADF ⊥ACF（Ⅱ）∵，11A AEF E AA F V V --=在面内作，垂足为． 111A B C 111B G A C ⊥G 1B G =面面，∴面， 111A B C ⊥1A C 1B G ⊥1A C∵，而面，∴三棱柱．——9分 1E BB ∈1//BB 1A C 1E AA F -——10分 1112A FA S AA AC ∆=⋅=∴ ——12分 11A AEF E AA FV V --==24．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=，人均粮食占有量=） 耕地面积总产量总人口数总产量【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少公顷，又设该地区现有人口为人，粮食单产为吨/x P M 公顷．依题意得不等式．——5分 %)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M 化简得． ——7分 ]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ∵ 103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+ ． —— 9分 3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈∴（公顷）．4x ≤答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分25．（本小题满分12分）已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两12,l l )0,2(-P 12,l l 122=-x y 个交点，分别为和．11,A B 22,A B （Ⅰ）求的斜率的取值范围；1l 1k （Ⅱ）若恰是双曲线的一个顶点，求的值．1A 22A B 【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（Ⅰ）依题设，的斜率都存在，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程12,l l 1l )0,2(-P 组 ① ——1分 1122(0),1.y k x k y x ⎧=+≠⎪⎨-=⎪⎩有两个不同的解．在方程组①中消去，整理得． ②y 01222)1(2121221=-++-k x k x k 若，则方程组①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故 0121=-k 1l ，即，方程②的判别式为0121≠-k 11≠k ．2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-设的斜率为，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组2l 2k 2l )0,2(-P ③ ⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y 有两个不同的解．在方程组③中消去，整理得y ． ④01222)1(2222222=-++-k x k x k 同理有．)13(4,0122222-=∆≠-k k 又因为，所以有． ——4分 12l l ⊥121l l ⋅=-于是，与双曲线各有两个交点，等价于12,l l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得——6分 ⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k ∴． ——7分 )3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k （Ⅱ）双曲线的顶点为．122=-x y (0,1),(0,1)-取时，有，1(0,1)A 1(01k =解得．从而——8分 1k =211k k =-=将． ⑤2k =230x ++=记与双曲线的两交点为，则 2l 211222(,),(,)A x y B x y ． 2222222122121212()()3()3[()4]A B x x y y xx x x x x =-+-=-=+-由⑤知．1212)3xx x x +=-=∴ ——11分2222260,A B A B ==当取时，由双曲线关于轴的对称性，知．1(0,1)A -122=-x y x 22A B =所以过双曲线的一个顶点时，． ——12分1l 22A B =。
【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试.理科数学试题及答案
【高考数学试题】1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集I=N,集合A={x│x=2n,n∈N},B={x│x=4n,n∈N},则(A)I＝A∪B (B)I＝∪B(C)I＝A∪(D)I＝∪(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log a x的图象是(3)若sin2x＞cos2x,则x的取值范围是(A){x|2kπ－3/4π＜x＜2kπ＋1/4π，k∈Z} (B){x|2kπ＋1/4π＜x＜2kπ＋5/4π，k∈Z}(C){x|kπ－1/4π＜x＜kπ＋1/4π，k∈Z} (D){x|kπ＋1/4π＜x＜kπ＋3/4π，k∈Z}(4）复数(2＋2i)4/(1－i)5(A)1＋ i (B)－1＋ i (C)1－ i (D)－1－ i(5)如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ(6)当－π/2≤x≤π/2，函数f(x)＝sinx＋cosx的(A)最大值是1，最小值是－1(B)最大值是1，最小值是1/2(C)最大值是2，最小值是－2(C)最大值是2，最小值是－1(7)椭圆的两个焦点坐标是(A)(－3,5)，(－3,－3)(B)(3,3)，(3,－5)(C)(1,1)，(－7,1)(D)(7,－1)，(－1,－1)(8)若0＜a＜π/2，则arcsin[cos(π/2＋a)]＋arccos[s in(π＋a)]等于(A)π/2(B)－π/2(C)π/2－2a(D)－π/2－2a(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD＝a,则三棱锥D-ABC的体积为(A)a3/6(B)a3/12(C)(/12)a3(D)(/12)a3(10)等比数列{a n}的首项a1＝－1，前n项和为S n，若S10/S5＝31/32，则limS n等于(A)2/3(B)－2/3(C)2(D)－2(11)椭圆的极坐标方程为ρ＝3/(2－cosθ)，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是(A)(3,0)，(1,π)(B)(,π/2)，(,3π/2)(C)(2,π/3)，(2,5π/3)(D)(,arctg(/2))，(,2π－arctg(/2))(12)等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130 (B)170 (C)210 (D)260(13)设双曲线x2/a2－y2/b2＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0,b)两点，已知原点到直线l的距离为/4c，则双曲线的离心率为(A)2 (B)(C)(D)2/3(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ψ等于(A)2 /3 π(B)2/3π(C)π(D)2/3π(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于(A)0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(16)已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则P= (17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个（用数字作答） (18) 40tg 20tg 340tg 20tg ++的值是(19)如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是三．解答题：本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)解不等式1)11(log >-x a ． (21)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求2c os C A -的值．22．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ∈BB 1，截面A 1EC ⊥侧面AC 1．(Ⅰ)求证：BE =EB 1;(Ⅱ)若AA 1=A 1B 1;求平面A 1EC 与平面A 1B 1C 1所成二面角(锐角)的度数．注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)(Ⅰ)证明：在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足．① ∵∴EG ⊥侧面AC 1;取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB =BC 得BF⊥AC ，② ∵∴BF ⊥侧面AC 1;得BF ∥EG ，BF 、EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．③ ∵∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE =FG ，④ ∵∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ，⑤ ∵ ∴112121BB AA FG ==，即11,21EB BE BB BE ==故 23．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量） 24．已知l 1、l 2是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2．(Ⅰ)求l 1的斜率k 1的取值范围；(Ⅱ)若12211,5l B A B A 求=、l 2的方程25．已知a 、b 、c 是实数，函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=ax +b ，当－1≤x ≤1时，│f (x )│≤1． (Ⅰ)证明：│c │≤1；(Ⅱ)证明：当－1≤x ≤1时，│g (x )│≤2；(Ⅲ)设a >0，当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，求f (x )．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试96
高考数学普通高等学校招生全国统一考试96本试卷分选择题和非选择题两部分..共4页；满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前；考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡试卷类型（B ）涂黑。
2．每小题选出答案后；用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动；用像皮擦干净后；再选涂其它答案；不能答在试题卷上.3．考试结束；监考人将本试卷和答题卡一并收回.第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分；共50分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的1、函数2()lg(31)f x x ++的定义域是A.1(,)3-+∞B. 1(,1)3-C. 11(,)33-D. 1(,)3-∞- 2、若复数z 满足方程220z +=；则3z =A.±B. -C. -D. ± 3、下列函数中；在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.3 ,y x x R =-∈B. sin ,y x x R =∈C. ,y x x R =∈D. x 1() ,2y x R =∈ 4、如图1所示；D 是ABC ∆的边AB 上的中点；则向量CD =A.12BC BA -+B. 12BC BA --C. 12BC BA -D. 12BC BA +5、给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行；经过这条直线的平面和这个平面相交；那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直；那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面；那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线；那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是A.4B. 3C. 2D. 1 6、已知某等差数列共有10项；其奇数项之和为15；偶数项之和为30；则其公差为A.5B.4C. 3D. 2 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y轴交于点ACB 图1(0,2)P （如图2所示）；则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =A.4B.3C.8、已知双曲线2239x y -=；则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于B.C. 2D. 4 9、在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下；当35x ≤≤时；目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8] 10、对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ；规定：(,)(,)a b c d =；当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++；设,p q R ∈；若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=；则(1,2)(,)p q ⊕=A.(4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,4)-第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题；每题5分；共20分. 11、2241lim()42x x x →--=-+________. 12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上；则该球的表面积为______. 13、在112()x x-的展开式中；5x 的系数为________.14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间；某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品；其中第1堆只有1层；就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放；从第二层开始；每层的小球自然垒放在下一层之上；第n 堆第n 层就放一个乒乓球；以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数；则(3)_____f =；()_____f n =（答案用n 表示）.三解答题：本大题共6小题；共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题14分)已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(I)求()f x 的最小正周期；(II)求()f x 的的最大值和最小值； (III)若3()4f α=；求sin 2α的值. 图4…x +y +16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：X067 8 9 10 P0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击；以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩；记为ξ. (I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求ξ的分布列(III) 求ξ的数学期望E ξ.17、(本题14分)如图5所示；AF 、DE 分别世O 、1O 的直径；AD 与两圆所在的平面均垂直；8AD =.BC 是O 的直径；6AB AC ==,//OE AD .(I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角.18、(本题14分)设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,）；该平面上动点P 满足•4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =- (I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.19、(本题14分)已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9；无穷等比数列{}2na 各项的和为815. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ； (II)对给定的(1,2,3,,)k k n =；设()k T 是首项为k a ；公差为21k a -的等差数列；求(2)T 的前10项之和；(III)设i b 为数列()k T 的第i 项；12n n S b b b =+++；求n S ；并求正整数(1)m m >；使得limnmn S n →∞存在且不等于零.（注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限）20、(本题12分)A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数()x ϕ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈；都有(2)(1,2)x ϕ∈；②存在常数(01)L L <<；使得对任意的12,[1,2]x x ∈；都有图5A FD1212|(2)(2)|||x x L x x ϕϕ-≤-.(I)设(2)[2,4]x x ϕ∈ ；证明：()x A ϕ∈(II)设()x A ϕ∈；如果存在0(1,2)x ∈；使得00(2)x x ϕ=；那么这样的0x 是唯一的； (III) 设()x A ϕ∈；任取1(1,2)x ∈；令1(2)n n x x ϕ-=；1,2,n =；证明：给定正整数k ；对任意的正整数p ；成立不等式121||||1k k p k L x x x x L-+-≤--高考 (B)第一部分 选择题（50分）1、函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞1、解：由1311301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ；故选B.2、若复数z 满足方程022=+z ；则=3zA.22±B. 22-C. i 22-D. i 22± 2、由i z i z z 2220232±=⇒±=⇒=+；故选D. 3、下列函数中；在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D.R x x y ∈=,)21(3、B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.4、如图1所示；D 是△ABC 的边AB 上的中点；则向量=CDA. BA BC 21+- B. BA BC 21-- C. BA BC 21- D. BA BC 21+4、BA BC BD CB CD 21+-=+=；故选A.5、给出以下四个命题①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是5、①②④正确；故选B.6、已知等差数列共有10项；其中奇数项之和15；偶数项之和为30；则其公差是 A.56、3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ；故选C.7、函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=的图象与y 轴交于点)2,0(P (如图2所示)；则方程0)(=x f 的根是=x7、0)(=x f 的根是=x 2；故选C8、已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于 A.2 B.332 8、依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ；2332===a c e ；故选C. 9、在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下；当53≤≤s 时；目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是A. ]15,6[B. ]15,7[C. ]8,6[D. ]8,7[9、由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+42442s y sx x y s y x 交点为)4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '--； （1） 当43<≤s 时可行域是四边形OABC ；此时；87≤≤z （2） 当54≤≤s 时可行域是△OA C '此时；8max =z故选D.10、对于任意的两个实数对（a ,b ）和(c,d),规定（a ,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗；运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕；设R q p ∈,；若)0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q pA. )0,4(B. )0,2(C.)2,0(D.)4,0(-10、由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-210252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.第二部分 非选择题（100分）二、填空题 11、=+---→)2144(lim 22x xx 11、4121lim )2144(lim 222=-=+---→-→x x xx x 12、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上；则该球的表面积为 12、ππ274233332==⇒=⇒=R S R d 13、在112⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中；5x 的系数为13、85112)2()2(1121111111111111=⇒=-⇒-=-=-----+r r x C xx C T r r r rrrr所以5x 的系数为1320)2()2(3113111111-=-=---C C r r14、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间；某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品；其中第一堆只有一层；就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始；每层的小球自然垒放在下一层之上；第n 堆第n 层就放一个乒乓球；以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数；则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .14、=)3(f 10；6)2)(1()(++=n n n n f三、解答题15、（本小题满分14分） 已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值；（Ⅲ）若43)(=αf ；求α2sin 的值. 15解：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ; （Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-；（Ⅲ）因为43)(=αf ；即167cos sin 2①43cos sin -=⇒⋅⋅⋅=+αααα,即 1672sin -=α16、（本小题满分12分）现进行两次射击；以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩；记为ξ. (Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率； (Ⅱ)求ξ分布列； (Ⅲ) 求ξ的数学希望.16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=⨯=P ； (Ⅱ) ξ的可能取值为7、8、9、1004.0)7(==ξP 21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξPξ分布列为(Ⅲ) ξ的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .17、（本小题满分14分）如图5所示；AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直；AD ＝8,BC 是⊙O 的直径；AB ＝AC ＝6；OE//AD. (Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小； (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角.17、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角； 依题意可知；ABCD 是正方形；所以∠BAD ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；(Ⅱ)以O 为原点；BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴；建立空间直角坐标系（如图所示）；则O （0；0；0）；A （0；23-；0）；B （23；0；0）,D （0；23-；8）；E （0；0；8）；F （0；23；0）所以；)8,23,0(),8,23,23(-=--=FE BD10828210064180||||,cos =⨯++=•>=<FE BD FE BD EF BD 设异面直线BD与EF所成角为α；则1082|,cos |cos =><=EF BD α 直线BD 与EF 所成的角为1082arccos18、（本小题满分14分）设函数23)(3++-=x x x f 分别在1x 、2x 处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为))(,(11x f x 、))(,(22x f x ,该平面上动点P 满足4=•PB PA ,点Q 是点P 关于直线)4(2-=x y 的对称点.求(Ⅰ)点A 、B 的坐标 ； (Ⅱ)动点Q 的轨迹方程18解: (Ⅰ)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或 当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.(Ⅱ) 设),(n m p ；),(y x Q ；()()4414,1,122=-+-=--•---=•n n m n m n m PB PA21-=PQ k ；所以21-=--m x n y ；又PQ 的中点在)4(2-=x y 上；所以⎪⎭⎫⎝⎛-+=+4222n x m y消去n m ,得()()92822=++-y x19、（本小题满分14分）已知公比为)10(<<q q 的无穷等比数列}{n a 各项的和为9；无穷等比数列}{2n a 各项的和为581. (Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ； (Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ⋅⋅⋅=,设)(k T 是首项为k a ；公差为12-k a )(k T的前10项之和；(Ⅲ)设i b 为数列)(i T 的第i 项；n n b b b S +⋅⋅⋅++=21；求n S ；并求正整数)1(>m m ；使得m S nn ∞→lim存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当∞→n 时该无穷数列前n 项和的极限)19解: (Ⅰ)依题意可知,⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-32358119112121q a q a q a(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155. (Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231--⎪⎭⎫⎝⎛--i i i ；()()2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n S nn ；m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()m nm m n n n n n n 2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+- 当m=2时；m n n n S ∞→lim=－21；当m>2时；m n n nS ∞→lim =0；所以m=220、（本小题满分12分）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ；都有)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ；使得对任意的]2,1[,21∈x x ；都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ（Ⅰ）设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ；证明：A x ∈)(ϕ(Ⅱ)设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的;(Ⅲ)设A x ∈)(ϕ,任取)2,1(∈l x ,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式||1||121x x LL x x k k lk --≤-++解：对任意]2,1[∈x ,]2,1[,21)2(3∈+=x x x ϕ,≤33)2(x ϕ35≤,253133<<<,所以)2,1()2(∈x ϕ对任意的]2,1[,21∈x x ；()()()()23232132121211121212|||)2()2(|x x x x x x x x ++++++-=-ϕϕ；<3()()()()32321321112121x x x x ++++++；所以0<()()()()2323213211121212x x x x ++++++32<,令()()()()2323213211121212x x x x ++++++=L；10<<L ；|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ所以A x ∈)(ϕ反证法:设存在两个0000),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ϕ=,)2(00x x '='ϕ则 由|||)2()2(|/00/00x x L x x -≤-ϕϕ；得||||/00/00x x L x x -≤-；所以1≥L ；矛盾；故结论成立。
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1996年普通高等学校招生全国统一考试
数学
(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知全集I=N,集合A={x │x=2n,n ∈N},B={x │x=4n,n ∈N},则
B A I )D (B A I )
C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=
[Key] C
(1)已知全集I=N,集合A={x │x=2n,n ∈N},B={x │x=4n,n ∈N},则
B A I )D (B A I )
C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=
[Key] C
(3)若sin 2x>cos 2x,则x 的取值范围是
}Z k ,43k x 41k 2|x ){D (}Z k ,4
3k x 41k |x ){C (}Z k ,4
5k 2x 41k 2|x ){B (}Z k ,4
1k 2x 43k 2|x ){A (∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π
[Key] D
(4)复数)i 31()i 22(4
-+等于
i 31)D (i 31)C (i 31)B (i 31)A (---+-+
[Key] B
5)如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l=β∩γ,l//α,m ⊂α和m ⊥γ那么必有
(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β
(C)m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ
[Key] A
(6)当2x 2π≤≤π-，函数x cos 3x sin )x (f +=的
(A)最大值是1，最小值是-1
(B)最大值是1，最小值是-(1/2)
(C)最大值是2，最小值是-2
(D)最大值是2，最小值是-1
[Key] D
(7)椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=sin 51y cos 33x 的两个焦点坐标是(B)
(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3,),(3,-5)
(C)(1,1,),(-7,1) (D)(7,-1,),(-1,-1)
(8)若
2a 0π<<，则)]a (arccos[sin )]a 2(arcsin[cos +π++π等于 a 22)D (a 22)C (2)B (2)A (-π--ππ-π
[Key] A
(9)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC 的体积为
3333
a 122)D (a 123)C (12a )B (6a )A (
[Key] D
(10)等比数列{a n }的首项a 1=-1，前n 项的和为S n ，若3231S S 510=，则n n S lim ∞→等于
2)D (2)C (32)B (32)
A (--
[Key] B
(11)椭圆的极坐标方程为
θ-=ρcos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 )23arctg 2,7)(23arctg ,7)(B ()35,2)(3,2)(B ()2
3,3)(2,3)(B (),1)(0,3)(A (-ππππππ
[Key] C
(12)等差数列{a n 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为
(A)130 (B)170 (C)210 (D)260
[Key] C
(13)设双曲线)b a 0(1b y a x 22
22<<=+的半焦距为c ，直线l 过两点(a,0)(0,b)。
已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为
33
2)D (2)C (3)B (2)A (
[Key] A
(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ψ等于
ππππ362)D (2)C (332)B (322)A (
[Key] D
(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x ≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于
(A)0.5 (B)-0.5
(C)1.5 (D)-1.5
[Key] B
(16)已知圆x 2+y 2-6x-7=0与抛物线y 2=2px(p>0)的准线相切.则P= .
[Key] 2
(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有
个(用数字作答).
[Key] 32
(18)tg20°+ tg40°+
3tg20°tg40°的值是______________ [Key]
3
(19)如图,
正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角,则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是
[Key]
42.
(20)解不等式
1)x 11(log a >-。
[Key]
本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力.满分11分. 解:(Ⅰ)当a ＞1时,原不等式等价于不等式组:。