人教课标版高中数学选修1-1《函数的单调性与导数》导学案
人教课标版高中数学选修1-1《函数的极值与导数》导学案
§3.3.2函数的极值与导数学习目标1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤.学习过程一、课前准备（预习教材P 93~ P 96，找出疑惑之处）复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .试试：（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的.(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点. 即：导数为0是点为极值点的 条件.※ 典型例题例1 求函数31443y x x =-+的极值.变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0x 的值；(2)a ，b ，c 的值.小结：求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)求方程f ′(x )=0 (4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.变式2：已知函数32()3911f x x x x =--+.（1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.※ 动手试试练1. 求下列函数的极值：（1）2()62f x x x =--；（2）3()27f x x x =-；（3）3()612f x x x =+-；（4）3()3f x x x =-.练2. 下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.三、总结提升※ 学习小结1. 求可导函数f (x )的极值的步骤；2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.※ 知识拓展函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.由些可见：“有极值但不一定可导”学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数232y x x =--的极值情况是（ ）A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也极小值2. 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）A ．3269y x x x =++B ．3269y x x x =-+C ．3269y x x x =--D ．3269y x x x =+-3. 函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ）A ．3,3a b ==-或4,11a b =-=B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=C ．1,5a b =-=D ．以上都不正确4. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为5. 函数32()3(0)f x x ax a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为课后作业1. 如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极大值？（2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()y f x =有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？2. 求下列函数的极值：（1）2()62f x x x =++；（2）3()48f x x x =-.。
高中数学 3.3.1函数的单调性与导数导学案 新人教版选修1-1-新人教版高二选修1-1数学学案
函数的单调性与导数导学案【学习目标】1、了解可导函数的单调性与其导数的关系.2、掌握利用导数判断函数单调性的方法.【学习重难点】教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 【学法指导】运用导数这个工具研究函数的单调性，体会导数在研究函数中的应用，并与以前知识相比较，体会导数在研究函数中优越性。
知识链接一、【自主学习】1．增函数、减函数的定义一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．2．函数的单调性如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．1.观察23页图1.3.2的四副图，完成下列表格。
2、以小组为单位完成上列表格二【合作探究】1、学生以小组为单位讨论上述表格函数的单调性与其导数的正负的关系：2、抽生回答3、师总结：在区间[a’b]内，若f '(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f '(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减。
备注：f '(x )＞0是函数单调递增的充分不必要条件 f '(x )＜0是函数单调递减的充分不必要条件。
f '(x )》0f '(x )《0例．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．师扮演过程：解：f (x )'＝6x 2－12x ．令6x 2－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2．因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数， 当x ∈(2, ＋∞)时， f (x )也是增函数． 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2． 因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数． 师总结：利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．练习1：教材P24面的例2 【课堂小结】1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法. 【达标检测】1、求下列函数的单调区间．(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝12x.2、已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1） 求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。
高中数学人教版选修1-1 3.3.1函数的单调性与导数 教案2
导数与函数的单调性 (教案)教学目标：(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多观察、多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。
教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法：“诱思探究”法 教学手段：多媒体课件等辅助手段 教学过程：一、回顾与思考 提问：1．到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？ （引导学生回答“定义法”，“图象法”。
） 2．比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。
） 3．还有没有其它方法？那如果遇到函数： 我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。
）4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到我们今天要学的另外一种判断函数单调性的方法——导数法。
这时，老师板书课题——导数与函数的单调性。
以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：像上述这种三次函数，判断它的单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。
二、观察与表达借助多媒体，出示表格1（见下页），所给函数都是学生特别熟悉的一次函数（初中已32()233616f x x x x =--+经学过）。
让学生自己填写表格中的相关内容，目的是让学生探索函数的单调性和导数正负的关系。
老师问：通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？学生很自然的就回答出：当导数为正时，函数在整个定义域上是增加的，当导数为负时，函数在整个定义域上是减少的。
高中数学选修1-1优质学案：3.3.1 函数的单调性与导数
§3.3导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识点1函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0【预习评价】思考在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？提示必要不充分条件.知识点2利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.【预习评价】函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋2的单调增区间是________.[解析] f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞3，故f (x )的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞). [答案] (－∞，－1)，(3，＋∞)题型一 利用导数判断(或证明)函数的单调性【例1】 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 则cos x <0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f ′(x )>0(或<0)，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥0(或≤0).【训练1】 证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数. 证明 ∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2.又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数.题型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2) f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4) f (x )＝x 3－3tx .解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36.由f ′(x )＞0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2； 由f ′(x )＜0解得－3<x <2.故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2). (2)f ′(x )＝cos x －1.因为0<x <π，所以cos x －1＜0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π). (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x . 令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0， 解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0， 解得x <－33或0<x <33.又∵x>0，∴0<x<33.∴f(x)的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).(4)f′(x)＝3x2－3t.令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t，∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)；当t>0时，由x2＞t解得x＞t或x＜－t；由f′(x)＜0解得－t＜x＜t，函数f(x)的增区间是(－∞，－t)和(t，＋∞)，减区间是(－t，t).综上，当t≤0时，f(x)的增区间是(－∞，＋∞)；当t＞0时，f(x)的增区间是(－∞，－t)，(t，＋∞)，减区间是(－t，t).规律方法求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间.【训练2】求函数f(x)＝x3＋3x的单调区间.解方法一函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2.由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1.由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0，1).方法二 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x 2)；令f ′(x )＝0，得x ＝±1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0，1).【例3－1】 已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立. ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a＝16时，f′(x)＝2x3－16x2≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16].方向2利用函数的单调性证明不等式【例3－2】已知a，b为实数，且b＞a＞e，其中e为自然对数的底，求证：a b＞b a.证明当b＞a＞e时，要证a b＞b a，只要证b ln a＞a ln b，即只要证ln aa＞ln bb.构造函数y＝ln xx(x＞0)，则y′＝1－ln xx2.因为当x＞e时，y′＝1－ln xx2＜0，所以函数y＝ln xx在(e，＋∞)内是减函数.又因为b＞a＞e，所以ln aa ＞ln bb.故a b＞b a.规律方法(1)已知函数的单调性，求函数[解析]式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.(2)“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.【训练3】若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围.解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上的单调函数，所以f ′(x )≥0恒成立或f ′(x )≤0恒成立.因为二次项系数3＞0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立. 因此Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13.当m ＝13时，使f ′(x )＝0的点只有一个x ＝－13，也符合题意.故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.课堂达标1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0，6)上是( ) A.增函数 B.减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 [解析] ∵f ′(x )＝1＋1x >0， ∴函数在(0，6)上单调递增. [答案] A2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )[解析] 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)为减函数；当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.[答案] D3.若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.a＝1C.(－∞，1]D.(0，1)[解析]∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0，1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0，1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.[答案] A4.函数y＝x2－4x＋a的增区间为______，减区间为______.[解析]y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；令y′<0，得x<2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).[答案](2，＋∞)(－∞，2)5.若函数f(x)＝ln x－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________.[解析]f′(x)＝1x－ax－2＝－ax2＋2x－1x.因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)≤0有解.又因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内有解.①当a＞0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a＜0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，若ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a ＞0，解得－1≤a ＜0， 而当a ＝－1时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x ＝（x －1）2x ≥0，不符合题意，故－1＜a ＜0；③当a ＝0时，显然符合题意.综上所述，a 的取值范围是(－1，＋∞). [答案] (－1，＋∞)课堂小结1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.。
高中数学-函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
《函数的单调性与导数》教学设汁【教学目标】知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：i.通过本巧的学习，掌握用导数研究单调性的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
【教学的重点和难点】教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
性问题.内容讲授例题讲解例1 : 求函数f(x) = x3-3x2的单调区间，并画出函数的大致图像.分析：根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关。
因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间.解：引导学生回答问题并同时板书.根据单调性的结论画出函数的图像.学生思考回答思路.学生利用导数知识解决函数的单调性问题.明确利用导数是求函数单调区间的最简单的方法.加深对单调性的理解，体会数形结合的思想.加强学生对利用导数求函数单调性的方法进一步熟练掌握，特别是单调区间满足在定义域内.学生总结并回答问题加深记忆.练习1求函数/（x ） = — lnx 的单调区间.函数的导数值大 于零时，其函数为 单调递增；函数的 导数值小于零时， 其函数为单调递 从函数的单调性 和导数的正负关 系的讨论环节中， 不断的比较了函 数和导函数的图 像，因此设置该 题，从熟悉的函数 到该题，题LI 更容 易解决.1求定义域；2求函数/（X ）的导数， 3讨论单调区间，解不等式 广（力＞°,解集为增区间;4解不等式广（切＜°,解集为减区间.山学生共同回答.例2函数图像如下图，导函数图像可能为哪'一木讨论函数单调性的一般步骤 是什么教师根据一个学 生的作图进行讲 解.学生对所学知识 进一步巩固和熟 练掌握.【板书设计】参与课堂的学生为高二年级理科的学生，学生基础参差不齐，差别较大，而单调性的槪念是在髙一第一学期学过的，因此对于单调性槪念的理解不够准确，同时导数是髙中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表而上•本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判左函数的单调性.效果分析本节课教师运用了多种教学手段，创设了丰富的教学情境，成功的激发了学生的学习兴趣：教学目标简明扼要，便于实施，注重数学思想、能力的培养，广度和深度都符合数学课程标准的要求，符合学生的实际情况。
高中数学选修1-1优质学案4：3.3.1 函数的单调性与导数
3.3.1函数的单调性与导数学习目标：1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．核心扫描1．利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．(重点)2．利用导数证明一些简单不等式．(难点)3．常与不等式、方程等结合命题.课前探究学习自学导引1．函数的单调性与其导函数的正负间的关系设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导想一想：在区间(a，b)答：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件．2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就比较“平缓”．3．利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的取值范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．名师点睛1．理解函数的单调性与其导数的关系需注意的问题(1)根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．(2)在某个区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f ′(x )＝0，不会影响函数f (x )在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f (x )＝x 3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f ′(x )＝3x 2知，f ′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f ′(x )>0.可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零．2．利用导数求函数的单调区间需注意的问题(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间中间一般不能用“∪”连接，可用“逗号”或“和”字隔开． 课堂讲练互动：题型一 利用导数判断函数的单调性例1：证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数．规律方法 关于利用导数证明函数单调性的判断问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f ′(x )>(或<)0，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥(或≤)0.变式1：试证明：函数f (x )＝sin xx在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．题型二 利用导数求函数的单调区间例2：求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝x 3－x ； (2)y ＝e x －x ＋1.规律方法 利用导数求函数f (x )的单调区间，实质上是转化为解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0，不等式的解集就是函数的单调区间．注意：如果函数的单调区间不止一个时，单调区间应用“，”、“和”等连接，而不能写成并集的形式．变式2：求函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间．题型三 已知函数单调性求参数的取值范围例3：已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围．规律方法 已知函数的单调性，求函数[解析]式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f (x )在区间Ⅰ上单调递增(或减)，转化为不等式f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间Ⅰ上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．变式3： (1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，求b ，c 的值． (2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．题型四 用单调性与导数关系证不等式例4：当x ＞0时，证明不等式ln x ＞x －12x 2.题后反思：要证明不等式f (x )>g (x )(x ∈(a ，b ))成立，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，然后利用导数证明函数F (x )＝f (x )－g (x )在(a ，b )上是增函数，若F (a )－g (a )≥0.由增函数的定义可知，当x ∈(a ，b )时，f (x )－g (x )>0，从而证明了不等式f (x )>g (x )．变式4：当0＜x ＜π2时，求证：x －sin x ＜16x 3.方法技巧 转化与化归思想在单调性中的应用运用导数这个工具研究函数的单调性，体现了转化与化归的数学思想，凸显了导数在研究函数单调性方面的优越性，在平时的学习中应予以高度重视．示例：已知a >0，且a ≠1，证明函数y ＝a x －x ln a 在(－∞，0)内是减函数．方法点评本题体现了转化与化归的思想．证明函数的单调性当然可以利用定义法，但过程冗长繁琐．利用导数来研究函数的性质，过程比较简洁，学习中应认真总结体会．本题中还需注意对a 的讨论，否则证明过程会出现纰漏．——★ 参 考 答 案 ★——：例1：证明：∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1.∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0， 故f (x )在区间(0，e)上是单调递增函数． 变式1：证明：f ′(x )＝x cos x －sin x x2，又x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 则cos x <0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数． 例2：解：(1)f ′(x )＝3x 2－1＝(3x ＋1)(3x －1)， 令f ′(x )>0，则x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞，令f ′(x )<0，则x ∈⎝⎛⎭⎫－33，33. ∴f (x )＝x 3－x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33，33. (2)y ′＝e x －1，令y ′>0，即e x －1>0，则x ∈(0，＋∞)，令y ′<0，即e x －1<0，则x ∈(－∞，0)， ∴y ＝e x －x ＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．变式2：解：函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2(3x 2－1)x.由f ′(x )>0，即3x 2－1x >0，得x >33，∴函数f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞，由f ′(x )<0，即3x 2－1x <0，得0<x <33，∴f (x )的减区间为⎝⎛⎭⎫0，33， ∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞，减区间为⎝⎛⎭⎫0，33. 例3：解：f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min . ∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16]．变式3：解：(1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ， 由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集． ∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根， ∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c 3，即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间， ∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a >0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)． 例4：证明：令f (x )＝ln x －x ＋12x 2，则f ′(x )＝1x－1＋x ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34x.当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 于是当x ＞0时，f (x )＞f (0)＝0，∴当x ＞0时，不等式ln x ＞x －12x 2成立．变式4：证明：设g (x )＝x －sin x －16x 3，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， g ′(x )＝1－cos x －12x 2＝2⎣⎡⎦⎤sin 2x 2－⎝⎛⎭⎫x 22. ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0＜sin x ＜x ， ∴sin 2x 2＜⎝⎛⎭⎫x 22，∴g ′(x )＜0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， ∴g (x )＜g (0)＝0，∴x －sin x ＜16x 3.方法技巧 转化与化归思想在单调性中的应用示例：解：y′＝a x ln a－ln a＝ln a(a x－1) 当a>1时，∵ln a>0，a x<1，∴y′<0，即y在(－∞，0)内是减函数；当0<a<1时，∵ln a<0，a x>1，∴y′<0，即y在(－∞，0)内是减函数．综上，函数在(－∞，0)内是减函数．。
高中数学《函数的单调性与导数》导学案
3．3.1函数的单调性与导数1．函数单调性和导数的关系设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导(1)若在区间(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内是□01单调递增的．(2)若在区间(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间内是□02单调递减的．2．求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的□03定义域．(2)计算f′(x)，令□04f′(x)＝0，求零点．(3)用零点和不连续点(或不可导点)将定义域分成若干区间(若无不连续点或不可导点，则直接用零点划分区间)．(4)判断f′(x)在每个区间的□05符号，确定函数f(x)的□06增区间和□07减区间．函数的增减快慢与导数一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图，函数y ＝f (x )的图象在(0，a )内“陡峭”，在(a ，＋∞)内“平缓”．说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则函数f (x )在定义域上单调递增．( ) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y ＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．(2)若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上为增函数，则a ，b ，c 的关系式为________．(3)函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________． 答案 (1)上升 (2)a >0，且b 2≤3ac (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53，(1，＋∞)探究1函数与导函数图象之间的关系例1f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y ＝f(x)的图象可能是()[解析]由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C正确．[答案] C拓展提升函数的图象与导数值的关系(1)当f′(x)>0时，f(x)图象上升；当f′(x)<0时，f(x)图象下降．(2)当|f′(x)|越大，f(x)图象越“陡峭”；当|f′(x)|越小，f(x)图象越“平缓”．【跟踪训练1】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的导函数f′(x)的图象最有可能为()答案 D解析由f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，－2)和(0，＋∞)上f′(x)<0，在(－2,0)上f′(x)>0，故选D.探究2求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝e xx－2；(3)f (x )＝－x 3＋3x 2；(4)f (x )＝－13ax 3＋x 2＋1(a ≤0)．[解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x.因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，22.(2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x (x －2)－e x(x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x >0，(x －2)2>0.由f ′(x )>0，解得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0，解得x <3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)f (x )＝－x 3＋3x 2的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)．当0<x <2时，f ′(x )>0，因此，函数在区间(0,2)上是单调递增的；当x <0或x >2时，f ′(x )<0，因此，函数在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是单调递减的．故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)． (4)因为f ′(x )＝－ax 2＋2x .①当a ＝0时，f (x )＝x 2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，令f ′(x )>0，所以(－ax ＋2)x >0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a x >0，得x >0或x <2a ，由f ′(x )<0得2a <x <0.故f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0.拓展提升(1)求函数单调区间的步骤是：先确定定义域，再求出f ′(x )，最后通过f ′(x )>0和f ′(x )<0来求出单调区间．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”隔开或用“和”字连接．(3)要特别注意函数的定义域．【跟踪训练2】 求下列函数的单调区间． (1)y ＝(1－x )e x ； (2)y ＝x 3－2x 2＋x ；(3)y ＝12x ＋sin x ，x ∈(0，π)． 解 (1)∵y ＝(1－x )e x ，∴y ′＝－x e x ，∴y ′>0时x <0，y ′<0时x >0，∴函数y ＝(1－x )e x 的增区间为(－∞，0)，减区间为(0，＋∞)． (2)∵y ＝x 3－2x 2＋x ，∴y ′＝3x 2－4x ＋1，x ∈R ， ①令3x 2－4x ＋1>0，得x >1或x <13. ②令3x 2－4x ＋1<0，得13<x <1.∴函数y ＝x 3－2x 2＋x 的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(3)∵y ＝12x ＋sin x ，∴y ′＝12＋cos x ， ①令y ′>0，得cos x >－12， 又∵x ∈(0，π)，∴0<x <2π3. ②令y ′<0，得cos x <－12，又∵x ∈(0，π)，∴2π3<x <π.∴函数y ＝12x ＋sin x 的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π.探究3 应用函数单调性求参数范围例3 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间[1,4]上为减函数，在区间[6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．[解] 解法一：f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a －1. 当a －1≤1，即a ≤2时，对于任意的x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，即函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意；当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1]和[a －1，＋∞)上单调递增，在[1，a －1]上单调递减，依题意[1,4]⊆[1，a －1]且[6，＋∞)⊆[a －1，＋∞)，从而4≤a －1≤6，故5≤a ≤7.综上，实数a 的取值范围为[5,7]． 解法二：f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，依题意，得f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，且f ′(x )≥0在[6，＋∞)上恒成立，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a －1，故4≤a －1≤6，即5≤a ≤7.故所求实数a 的取值范围为[5,7]． 拓展提升已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性，求参数范围的方法：(1)利用集合的包含关系处理：f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理：f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在(a ，b )内恒成立，注意验证等号是否成立．(3)对于探索性问题，一般先假设存在，然后由此假设出发，根据已知条件进行推理论证．【跟踪训练3】 已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求a 的取值范围．解 因为f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x －1.因为当x ∈R 时，f (x )为减函数，所以f ′(x )≤0在R 上恒成立． 可得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝36＋12a ≤0，解得a ≤－3.经验证：a ＝－3时，f (x )在R 上是减函数， 所以，当a ≤－3时，函数f (x )在R 上为减函数． 所以a 的取值范围为(－∞，－3]． 探究4 利用导数证明不等式例4 求证：当n ∈N *，且n ≥3时，2n ＞2n ＋1. 证明 设f (x )＝2x －2x －1(x ≥3)， 则f ′(x )＝2x ln 2－2(x ≥3)． 因为x ≥3，所以f ′(x )≥23·ln 2－2＞0. 所以f (x )在[3，＋∞)内是增函数．所以f (x )的最小值为f (3)＝23－2×3－1＝1＞0.所以当n ∈N *，且n ≥3时，f (n )≥f (3)＞0， 即2n －2n －1＞0恒成立．故当n ∈N *，且n ≥3时，2n ＞2n ＋1成立． 拓展提升利用导数证明此类不等式，可以作不等式两边的差构造函数f (x )．因此，要证不等式成立，只需证f (x )＞0在其定义域内恒成立即可．【跟踪训练4】 已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.解 (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52.故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.判断函数单调性的方法(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x 1，x 2，且x 1<x 2，通过判断f (x 1)－f (x 2)的符号确定函数的单调性.(2)图象法，观察图象的变化趋势直观判断.(3)利用导数判断可导函数f (x )在(a ，b )内的单调性，步骤是：①求f ′(x )；②确定f ′(x )在(a ，b )内符号；③得出结论.1．下列命题中正确的是( )A ．若f (x )在(a ，b )上是增函数，则对任意x ∈(a ，b )都有f ′(x )>0B ．若在(a ，b )上对任意x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数C ．若f (x )在(a ，b )上是单调函数，则f ′(x )也是单调函数D ．若可导函数f (x )在(a ，b )上有f ′(x )<0，则在(a ，b )上有f (x )<0 答案 B解析 根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可知B 正确；对于A ，可能存在x 0∈(a ，b )，使得f ′(x 0)＝0；因为f ′(x )的单调性与f (x )的单调性的关系不确定，所以C 不正确；因为f ′(x )与f (x )的符号关系不确定，所以D 不正确．2．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2 D ．a ≤13 答案 A解析 由题意可知f ′(x )≤0恒成立，即3ax 2－1≤0恒成立，显然B ，C ，D 都不能使3ax 2－1≤0恒成立，故选A.3．函数f (x )＝x ln x 的单调减区间为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1.令f ′(x )<0得x <1e ，又x >0，所以f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .4．设函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，因为f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以3x 2＋a ≥0对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≥－3x 2对x ∈(1，＋∞)恒成立，又－3x 2<－3，所以a ≥－3.5．判断函数y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．解y′＝3ax2，x2≥0.当a>0时，y′≥0，函数在R上单调递增；当a<0时，y′≤0，函数在R上单调递减；当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．A级：基础巩固练一、选择题1．函数f(x)＝x3－3x＋1的单调递减区间为()A．(－1,1) B．(1,2)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)答案 A解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－3<0得－1<x<1.所以原函数的单调递减区间为(－1,1)．2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()答案 A解析因为导函数f′(x)是增函数，所以切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大．3．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有()A．f(2)<f(e)<f(3) B．f(e)<f(2)<f(3)C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2)答案 A解析因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝12x＋1x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．故选A.4．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为()A．a≥3 B．a>3 C．a≤3 D．a<3答案 A解析∵f′(x)＝3x2－a，又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立，又0≤3x2<3，∴a≥3，经验证当a＝3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．5．已知函数y＝xf′(x)的图象如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y＝f(x) 的图象大致是()答案 C解析由题图知，当x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0，∴x <－1时，函数y ＝f (x )单调递增； 当－1<x <0时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )<0， ∴－1<x <0时，函数y ＝f (x )单调递减； 当0<x <1时，xf ′(x )<0，∴f ′(x )<0， ∴0<x <1时，函数y ＝f (x )单调递减； 当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，∴x >1时，y ＝f (x )单调递增． 二、填空题6．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．答案 m ≥13解析 因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1在R 上单调，f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f (x )在R 上只能递增，f ′(x )≥0，所以Δ＝4－12m ≤0，所以m ≥13.7．设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．答案 (－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0)解析 因为f (x )＝x (e x －1)－12x 2，所以f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．8．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析 f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2，由题意得f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，所以解不等式得a ≤12，但当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不符合题意，应舍去，所以a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象过点P (1,2)，且在点P 处的切线斜率为8.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)因为函数f (x )的图象过点P (1,2)，所以f (1)＝2，所以a ＋b ＝1.① 又函数图象在点P 处的切线斜率为8，所以f ′(1)＝8， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以2a ＋b ＝5.② 解由①②组成的方程组，可得a ＝4，b ＝－3. (2)由(1)得f ′(x )＝3x 2＋8x －3， 令f ′(x )>0，解得x <－3或x >13； 令f ′(x )<0，解得－3<x <13.所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，13. 10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a的取值范围．解 f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞内，导函数大于零有解，令29＋2a >0，得a >－19.所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间．B 级：能力提升练1．若函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 答案 C解析 f ′(x )＝1－23cos2x ＋a cos x ＝1－23×(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，令cos x ＝t ，t ∈[－1,1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在[－1,1]上恒成立，令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13.故选C.2．已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋a ＋1x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当－12≤a ≤0时，讨论f (x )的单调性． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1， 此时f ′(x )＝1x ＋1－2x 2，f ′(2)＝12＋1－24＝1. 又因为f (2)＝ln 2＋2＋22－1＝ln 2＋2， 所以切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2， 整理得x －y ＋ln 2＝0. (2)f ′(x )＝1x ＋a －1＋a x 2＝ax 2＋x －a －1x 2＝(ax ＋a ＋1)(x －1)x 2.当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2.此时，在(0,1)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减；在(1，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当－12≤a <0时，f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a (x －1)x 2.当－1＋a a ＝1，即a ＝－12时，f ′(x )＝－(x －1)22x 2≤0在(0，＋∞)上恒成立， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当－12<a <0时，－1＋a a >1，此时在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a a ，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减；在⎝⎛⎭⎪⎫1，－1＋a a 上，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上，当a ＝0时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当－12<a <0时，f (x )在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1＋a a 上单调递增；当a ＝－12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．。
最新人教版高中数学选修1-1《函数的单调性与导数》教学设计
教学设计1．3导数在研究函数中的应用1．3.1函数的单调性与导数教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，很多变化规律可用函数的性质来描述，函数的单调性是函数的重要性质．导数是学习高等数学的基础，作为解决数学问题的一种重要工具，它为高中数学注入了新的活力．利用导数来研究函数的单调性非常具有优越性，而且也会涉及到最值等问题，具有良好的承上启下作用．本节内容是整个章节的核心，所涉及到的知识和方法，是高中数学的重点．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标在观察、探索的基础上，归纳出函数的单调性与导数的关系，并用其判断函数的单调性，会求函数的单调区间．2．过程与方法目标利用图象为结论提供直观支持，通过观察分析、归纳总结等方式，培养学生的数形结合意识和应用数学知识解决问题的数学思维．3．情感、态度与价值观通过学习本节内容，增强对数学的好奇心与求知欲；在教学过程中，培养学生勇于探索、善于发现的创新思想．重点难点重点：了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．难点：利用导数的几何意义来探究函数的单调性，理解用导数研究函数单调性的实质．教学过程引入新课提出问题1：画出下列函数的图象，并根据图象指出每个函数的单调区间．(1)y＝1x；(2)y＝x2－2x－1；(3)y＝3x.活动设计：先让学生独立完成，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：由于是以前的基础知识，学生一般能完成如下结果：(1)在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是减函数，但在定义域上不是减函数．(2)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．(3)在(－∞，＋∞)上是增函数．教师提问：函数单调性的定义是什么？你能根据上面的图形和结论，探讨出函数的单调性与其导数的关系吗？活动设计：学生分组讨论，教师巡视、指导，对于学生的结论先记下，不作评论．学情预测：在教师指导下，结合前面知识，学生能得出结论，但可能不规范．活动成果：记下学生的结论，不作解释．设计意图函数单调性是必修一的内容，是函数的重要性质，为更好地学好本节课知识，先进行必要的复习．另外，为什么可以用导数研究函数单调性是本节的一个重点，不可仓促给出结论．探究新知提出问题：如图(1)，它表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象．(1)运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？活动设计：提问学生，教师订正．教师：通过观察图象，我们可以发现：(1)运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数．相应地，v(t)＝h′(t)>0.(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是减函数．相应地，v(t)＝h′(t)<0.教师：结合前面的引例，你认为这些情况具有一般性吗？为什么？活动设计：学生分小组讨论，教师巡视、指导．学生分组提出观点，供大家交流、评析．教师：在导数的几何意义一节中，我们知道函数f(x)在一点x0处的导数值，就是以该点为切点的切线的斜率．当斜率大于零时，在此点附近，图象上升，函数递增；反之，当斜率小于零时，在此点附近，图象下降，函数递减．如图，导数f′(x0)表示函数f(x)在点(x0，y0)处的切线的斜率．在x＝x0处，f′(x0)>0，切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在x0附近单调递增；在x＝x1处，f′(x1)<0，切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在x1附近单调递减．活动成果：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．特别地，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．理解新知例1已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数y＝f(x)图象的大致形状．活动设计：学生自己在练习本上独立完成，教师用投影仪展示学生的成果．活动成果：当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数y＝f(x)图象的大致形状如图所示．设计意图让学生运用所学的导数与单调性关系，将抽象的文字表述转化为直观的图形语言，从而体会导数在研究函数问题中的应用．运用新知例2判断下列函数的单调性，并求出单调区间．(1)f(x)＝x3＋3x；(2)f(x)＝x2－2x－3；(3)f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)；(4)f(x)＝2x3＋3x2－24x＋1.思路分析：求函数的单调区间，就是利用导数的运算公式，解关于f′(x)>0或f′(x)<0的不等式．解：(1)因为f(x)＝x3＋3x，所以f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)>0.因此，f(x)＝x3＋3x在R上单调递增，如图(1)所示．(2)因为f(x)＝x2－2x－3，所以f′(x)＝2x－2＝2(x－1)．当f′(x)>0，即x>1时，函数f(x)＝x2－2x－3单调递增；当f′(x)<0，即x<1时，函数f(x)＝x2－2x－3单调递减．函数f(x)＝x2－2x－3的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)．函数f(x)＝x2－2x－3的图象如图(2)所示．(3)因为f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)，所以f′(x)＝cosx－1<0.因此，函数f(x)＝sinx －x 在(0，π)内单调递减，如图(3)所示．(4)因为f(x)＝2x 3＋3x 2－24x ＋1，所以f ′(x)＝6x 2＋6x －24.当f ′(x)>0，即x<－1－172或x>－1＋172时，函数f(x)＝2x 3＋3x 2－24x ＋1单调递增； 当f ′(x)<0，即－1－172<x<－1＋172时，函数f(x)＝2x 3＋3x 2－24x ＋1单调递减． 函数f(x)＝2x 3＋3x 2－24x ＋1的单调递增区间为(－∞，－1－172)、(－1＋172，＋∞)，单调减区间为(－1－172，－1＋172)． 函数f(x)＝2x 3＋3x 2－24x ＋1的图象如图(4)所示．点评：求函数y ＝f(x)单调区间的步骤：(1)确定函数y ＝f(x)的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x)；(3)解不等式f ′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f ′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．设计意图求函数的单调区间是导数与单调性知识的重要应用之一，本题选择四个比较简单的函数，主要目的是规范学生的解题步骤．在每一个小题后面，我们都要求给出函数的图象，目的是用函数的图象为我们的结论提供直观支持．巩固练习 1．设函数f(x)＝－2x 1＋x 2，则f(x)( ) A ．在(－∞，＋∞)内单调增加B ．在(－∞，＋∞)内单调减小C ．在(－1,1)内单调减小，其余区间单调增加D ．在(－1,1)内单调增加，其余区间单调减小2．设y ＝x －lnx ，则此函数在区间(0,1)内为( )A ．单调递增B ．有增有减C ．单调递减D ．不确定3．函数f(x)＝x·e －x 的一个单调递增区间是( ) A ．[－1,0] B ．[2,8]C ．[1,2]D ．[0,2]答案：1.C 2.C 3.A变练演编例3(1)求函数f(x)＝x 3的单调区间；(2)求函数f(x)＝13x 3－x 2＋x ＋1的单调区间； (3)求函数f(x)＝13x 3－3x 2＋8x ＋4的单调区间． 解：(1)因为f ′(x)＝3x 2≥0，所以f(x)在整个定义域上都是增函数．(2)因为f ′(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以f(x)在整个定义域上都是增函数．(3)因为f ′(x)＝x 2－6x ＋8，由f ′(x)<0，可得2<x<4；由f ′(x)>0，可得x<2或x>4，所以函数f(x)的单调增区间是(－∞，2)、(4，＋∞)，单调减区间是(2,4)．变式1.求函数y ＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2的单调减区间． 变式2.求函数y ＝x －x 2的单调区间．活动设计：由于题目有一定的运算量，应先让学生独立思考，然后分组分别解决． 学情预测：对于变式1涉及到含有字母的方程和不等式运算，对于变式2中的复合函数等运算，学生做的可能不理想．活动成果：解：变式1.y ′＝x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝(x －a)(x －a 2)，令y ′＜0，得(x －a)(x －a 2)＜0. ①当a ＜0时，不等式解集为a ＜x ＜a 2，此时函数的单调减区间为(a ，a 2)；②当0＜a ＜1时，不等式解集为a 2＜x ＜a ，此时函数的单调减区间为(a 2，a)；③当a ＞1时，不等式解集为a ＜x ＜a 2，此时函数的单调减区间为(a ，a 2)；④当a ＝0或a ＝1时，y ′≥0，此时，函数无减区间．综上所述：当a ＜0或a ＞1时，函数y ＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2的单调减区间为(a ，a 2)；当0＜a ＜1时，函数y ＝13x 3－12(a ＋a 2)x 2＋a 3x ＋a 2的单调减区间为(a 2，a)； 当a ＝0或a ＝1时，函数无减区间．变式2.∵x －x 2≥0，∴0≤x ≤1.则y ′＝1－2x2x －x 2. 令y ′＞0，即1－2x 2x －x 2＞0，解得x ＜12，即函数的增区间为(0，12)． 令y ′＜0，即1－2x 2x －x 2＜0，解得x ＞12，即函数的减区间为(12，1)． 设计意图由于函数的单调区间必定是它的定义域的子区间，故求函数的单调区间一定要先确定函数的定义域，在求出y ′＞0或y ′＜0的结果后，要求其与定义域的交集．在求解含参数的不等式时，要进行分类讨论．达标检测1．函数f(x)＝3x －x 3的单调增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)2．函数f(x)＝x 3－3x 2＋1的单调减区间为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)D ．(0,2)3．f(x)＝xlnx 在(0,5)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是递减函数，在(1e，5)上是递增函数 D ．在(0，1e )上是递增函数，在(1e，5)上是递减函数 4．f(x)＝xcosx －sinx 在下面__________区间内是增函数．( )A ．(π2，3π2) B ．(π，2π) C ．(3π2，5π2) D ．(2π，3π) 5．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．(1)f(x)＝－2x ＋1；(2)f(x)＝x ＋cosx ，x ∈(0，π2)； (3)f(x)＝2x 3＋4x.6．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t)，若函数f(x)＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．答案：1～4.C D C B5．(1)在R 上为减函数；(2)在(0，π2)上为增函数；(3)在R 上为增函数． 6．[5，＋∞)．课堂小结利用导数研究函数的单调性，是导数的重要应用．本节课从导数的几何意义入手，从导数与斜率，斜率与单调性等关系分析，发现了利用导数研究函数单调性的基本方法和步骤，并应用这一原理初步完成了判断函数单调性，求解函数单调区间的一系列问题，其中的函数与方程、函数与不等式转化是重要工具．布置作业课本本节练习3、4题，习题1.3A1，A2.补充练习1．若函数f(x)在区间(a ，b)内的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在(a ，b)内有( )A ．f(x)>0B ．f(x)<0C ．f(x)＝0D ．无法确定2．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调区间为__________．3．设函数f(x)＝ax －(a ＋1)ln(x ＋1)，其中a ≥－1，求f(x)的单调区间．答案：1.B2．递增区间为(－∞，13)，(1，＋∞)；递减区间为(－13，1) 3．由已知，得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x)＝ax －1x ＋1(a ≥－1)． (1)当－1≤a ≤0时，f ′(x)＜0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．(2)当a ＞0时，由f ′(x)＝0，解得x ＝1a. f ′(x)、f(x)随x 的变化情况如下表：从上表可知，当x ∈(－1，1a )时，f ′(x)<0，函数f(x)在(－1，1a)上单调递减； 当x ∈(1a ，＋∞)时，f ′(x)＞0，函数f(x)在(1a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当－1≤a ≤0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＞0时，函数f(x)在(－1，1a )上单调递减，在(1a，＋∞)上单调递增． 设计说明本节的教学内容属于导数的应用范畴，是在学生学习了导数的概念、计算公式和法则及导数几何意义后的教学内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础．由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性．通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简洁得多(尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言)，充分展示了利用导数解决问题的优越性．本节课的设计，充分尊重学生的主体地位，从观察分析到探索发现，再到尝试应用，循序渐进、逐步深入．同时，也注意对学生规范性的培养．备课资料用定义(不等式)或图象这些初等方法讨论函数的单调性，一般比较繁杂，比较复杂的函数的单调性，用初等方法解决有时比较困难．而函数f(x)的导数f ′(x)正是反映了函数的变化率，即反映函数的增加或减小变化的快慢．因此我们可以利用导数判断函数的单调性．为此先证如下定理：定理 设函数f(x)在区间(a ，b)内可导．如果在(a ，b)内f ′(x)＞0，那么f(x)在(a ，b)内是增函数；如果在(a ，b)内f ′(x)＜0，那么f(x)在(a ，b)内是减函数．如果在(a ，b)内恒有f ′(x)＝0，那么f(x)在(a ，b)内是常数函数．证明：在区间(a ，b)内任取两点x 1，x 2，使x 1＜x 2，在[x 1，x 2]上满足拉格朗日中值定理(见注释)条件，可得在(x 1，x 2)内存在一点ξ，使得f(x 2)－f(x 1)＝f ′(ξ)(x 2－x 1)，x 1＜ξ＜x 2.①如果在区间(a ，b)内f ′(x)＞0，则①式中f ′(ξ)＞0，而x 2－x 1＞0，则f(x 2)－f(x 1)＞0，f(x 2)＞f(x 1)．这就是说，f(x)在(a ，b)内是增函数．如果在区间(a ，b)内f ′(x)＜0，则①式中f ′(ξ)＜0，而x 2－x 1＞0，则f(x 2)－f(x 1)＜0，f(x 2)＜f(x 1)．这就是说，f(x)在(a ，b)内是减函数．如果在区间(a ，b)内恒有f ′(x)＝0，则①式中f ′(ξ)＝0，那么对任意x 1，x 2∈(a ，b)恒有f(x 2)＝f(x 1)，因此f(x)在(a ，b)内是常数函数．[注释]拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续，在开区间(a ，b)内可导，那么在(a ，b)内至少有一点ξ，使得f(b)－f(a)＝f ′(ξ)(b －a)．下面我们利用这个定理讨论怎样利用导数判断函数的单调性．例1确定函数y ＝2x的单调性和单调区间． 解：y ′＝－2x 2，因为x ≠0，所以y ′＝－2x 2<0.故y ＝2x在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数．例2确定函数y ＝ln(2－3x)的单调区间．解：函数y ＝ln(2－3x)的定义域是(－∞，23)，且y ′＝－32－3x.在(－∞，23)内，y ′<0. ∴函数在(－∞，23)内单调递减． 例3讨论y ＝x 3的增减性．解：y ′＝3x 2.当x ≠0时，y ′＝3x 2＞0；当x ＝0时，y ′＝0，所以y ＝x 3在(－∞，＋∞)内是增函数．如图所示．由例3不难看出f ′(x)＞0是f(x)递增的充分条件，但不是必要条件，出现个别点f ′(x)＝0不影响它在某个区间的单调性．还要注意只在个别点x 处f ′(x)＝0(如x ＝0处，f ′(x)＝0)，不能认为f(x)是常数函数．只有在某个区间(a ，b)内恒有f ′(x)＝0时，f(x)在该区间内是常数函数．(设计者：张春生)。
高中数学 导数与函数的单调性导学案 新人教A版选修1-1 学案
导数与函数的单调性
学习目标：1、理解导数正、负与函数单调性之间的关系；
2、能利用导函数确定函数的单调区间.
重点、难点：利用导函数求单调性.
自主学习
已知(),(,)y f x x a b =∈
（1）对任意(,)x a b ∈，有'()0f x >，则()f x 在区间(,)a b 内 （2）对任意(,)x a
b ∈，有'()0f x <，则()f x 在区间(,)a b 内 合作探究
1、确定函数
2()43f x x x =-+在哪个区间上是增函数，哪个区间上是减函数？
2、确定函数
32()267f x x x =-+在哪些区间上是增函数.
3、确定函数
()sin ,(0,2)f x x x π=∈的单调区间.
4、证明：当1x >时，有13x >-.
练习反馈
1、确定下列函数的单调区间
（1）2y x x =
- （2）3y x x =-
2、讨论函数
()f x 的单调性： （1）()f x kx b =+
（2）()k f x x
= （3）
2()f x ax bx c =++
3、用导数证明：
（1）
()x f x e =在区间(,)-∞+∞上是增函数； （2）()x f x e x =-在区间(,0)-∞上是减函数.。
人教新课标版数学高二选修1-1导学案函数的单调性与导数
3.3.1函数的单调性与导数（结合配套课件、作业使用，效果更佳）【学习目标】1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．重点：利用导数判断函数单调性的方法；难点：导数与函数的单调性的关系.【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象及h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．思考2观察图中函数f(x)，填写下表导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0 <0(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上知识点二函数图象的变化趋势与导数值大小的关系思考观察下图，填写下表注：表的最右一列填“平缓”或“陡峭”，函数值变化一栏中填快或慢.区间导数的绝对值函数值变化函数图象(－∞，a)(a,0)(0，b)(b，＋∞)导数的绝对值函数值变化函数的图象越大越小【合作探究】问题一导数与单调性的关系例1已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的()跟踪训练1已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是如图所示的()问题二 利用导数研究函数的单调性例2 讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．跟踪训练2 设函数f (x )＝e x －ax －2，求f (x )的单调区间．问题三 已知函数的单调性求参数的范围例3 (1)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是________． (2)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上不单调，则k 的取值范围是________． (2)已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________．【学生展示】探究点一、二、【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1．设函数f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能为( )2．已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是( )3．函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( ) A ．(0，1e )B ．(e ，＋∞)C ．(1e，＋∞)D ．(1e，e)4．已知f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．【小结作业】 小结：作业：①限时练；②预习导学案。
高中数学选修1《函数的单调性与导数》导学案
第三章 导数及其应用第三节3.3.1 函数的单调性与导数一、学习目标：1.理解函数的单调性与导数正负的关2.掌握利用导数判断函数单调性的方法和步骤3.掌握含有参数的求导及相应单调区间的综合问题【重点、难点】重点：利用导数研究函数的单调性难点：求含有参数多的函数单调性问题二、学习过程【情景创设】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系吗?【导入新课】如图，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减。
知识点归纳总结：函数的单调性与导数的关系:在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减。
【典型例题】例1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间。
（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--；例 2.若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+()2a >在区间(1,4)上为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围。
【变式拓展】1.已知函数()321f x x ax x =-+--在(-∞,+∞)上是单调函数,求实数a 的取值范围。
22.求函数()22ln f x x a x =+的单调区间。
函数的单调性与导数(教学设计)
《函数的单调性与导数》教学设计广东省开平市风采华侨中学 刘学军【课题】函数的单调性与导数【教材】人民教育出版社《数学》选修1-1 【课时】1课时 【教材分析】“函数的单调性与导数”是人民教育出版社《数学》选修1-1第三章“导数及其应用”第三节“导数在研究函数中的应用”的第1课时内容。
在学习本节课之前学生已经学习了导数、函数及函数单调性等概念，对导数的几何意义与函数单调性有了一定的感性和理性的认识。
函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。
以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。
学好本课时知识对接下来要学习利用导数研究函数的极值奠定知识基础，因此，学习本节内容具有承上启下的作用。
【学生学情分析】学生为高二年级的学生，学生基础较差，对函数单调性的概念理解不够准确，加上时间间隔长，甚至有的学生已经忘记函数单调性的概念。
导数及其几何意义是学生刚接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。
在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，学习了用导数求曲线的切线方程，本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性。
【教学目标】 1、 知识与能力：(1)理解函数单调性与导数关系：函数f (x )在区间(a ,b)内可导，若()0f x '>，则f (x )在区间(a ,b)内单调递增；若()0f x '<，则f (x )在区间(a ,b)内单调递减。
(2)探究函数的单调性与导数的关系，利用导数与函数单调性的关系求函数的单调区间、画函数的简单图像。
2、 过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的研究过程,引导学生养成自主学习的学习习惯，体会知识的类比迁移，体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3、 情感态度与价值观：(1)通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。
高中数学选修1-1人教A教案导学案：331函数的单调性与导数5页word文档
3. 3.1函数的单调性与导数课前预习学案一、预习目标了解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系，会利用导数求函数的单调区间，会利用导数画出函数的大致图象二、预习内容怎样判断函数的单调性？1、__________2、___________ 例如判断函数y=x 2的单调性：想一想：怎样判断函数y=x 3-3x 的单调性呢？ 函数单调性与导数的关系：函数及图象 单调性 导数)('x f 的正负在)0,(-∞上递减 在),0(+∞上递增在(a,b)上递增 在(a,b)上递减结论：对于函数f(x)，在某个区间（a ，b ）内，⇒>0)('x f __________________________________________ ⇒<0)('x f ___________________________________________三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1.了解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系2.会利用导数求函数的单调区间，会利用导数画出函数的大致图象 学习重难点：导数与函数单调性的关系。
二、学习过程 (一)知识回顾：怎样判断函数的单调性？1、__________2、___________ 例如判断函数y=x 2的单调性：想一想：怎样判断函数y=x 3-3x 的单调性呢？ 函数单调性与导数的关系：函数及图像单调性导数)('x f 的正负在)0,(-∞上递减 在),0(+∞上递增在(a,b)上递增 在(a,b)上递减结论：对于函数f(x)，在某个区间（a ，b ）内，⇒>0)('x f __________________________________________ ⇒<0)('x f ___________________________________________（二）探究一：讨论函数单调性，求函数单调区间：1、(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”)(1) 函数y=x －3在[－3，5]上为__________函数。
人教版高中数学选修1《函数的单调性与导数》表格式教学设计
函数的单调性与导数
教学内容：人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1－1 P 97—101 教学目标：
(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导
数信息绘制函数大致图象。
(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，
引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法：发现式、启发式
教学手段：多媒体课件等辅助手段
教具、学具准备：CAI课件一套、学生每人一份实验表格及一支牙签。
人教版高中数学全套教案导学案1.3.1函数的单调性和导数
1. 3.1 函数的单调性和导数课前预习学案一、预习目标1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。
二、预习内容1．利用导数的符来判断函数单调性:一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，如果在这个区间内'()0f x >，则()y f x =为这个区间内的 ； 如果在这个区间内'()0f x <，则()y f x =为这个区间内的 。
思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？回答：提示： f (x )＝x 3，在R 上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？ （2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为 函数．2．利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间； 解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一．学习目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系.2掌握利用导数判断函数单调性的方法.学习重点：利用导数符判断一个函数在其定义区间内的单调性. 二、学习过程 【引 例】1．确定函数243=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解答：， 问 1）、为什么243=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？ 解答：，2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？ 解答：， 2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？ 解答：， 【探 究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
最新人教版高中数学选修1-1《函数的单调性与导数》目标导引
3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
一览众山小
三维目标
1.借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.能够利用单调性证明一些简单的不等式.
2.通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法.
3.通过实例探究出函数的单调性与导数的关系的过程，体会知识间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力.
学法指导
本节是通过联系单调性的定义和变化率的结构式来得到函数的导数与单调性的关系的.利用导数解决含有参数的单调问题,一般是将问题转化为不等式的恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
学习本节内容要注意借助数形结合思想来加深对函数的导数与单调性的关系的理解.通过实例，体会利用导数解决单调性问题的方法，不断培养理论联系实际，分析问题、解决问题的能力.
诱学导入
材料：如右图所示直线l 和圆c ，l 从l 0开始在平面上绕点O 匀速旋转（旋转角度不超过90°）
.
问题：它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，你能画出它的大致图象吗？ 导入：借助几何直观探索我们可了解函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，是我们这节所要学习的内容.。
函数的单调性与导数(导学案).doc
1. 3. 1函数的单调性与导数导学案)【学习目标】1.探索函数的单调性与导数的关系；会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。
2 •能由导数信息绘制函数大致图象。
【学习重点】探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。
【学习难点】利用导数信息绘制函数的大致图象。
【学习方法】：发现式、启发式。
【学习过程】一.回顾与思考1、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断曲的单调性，如何进行？(分别用定义法、图像法完成)二.新知探究函数的单调性与导数之间的关系【思考】如图(1),它表示跳水运动中高度力随时问r变化的函数/谊)=_4.9八+6.5/+ 10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间f变化的函数卩⑴二"⑴=一9& + 6.5的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？【探究】通过观察图像，我们可以发现：(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度力随时间r的增加而增加，即/?⑴是增函数•相应地，_________________ .(2)从最高点到入水，运动员离水面的高力随时间f的增加而减少，即力⑴是减函数.相应地，_________________ .【思考】导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.【探究】观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.(1)函数y = x的定义域为—，并且在定义域上是_____ ,其导数 __________ ;(2)函数y = /的定义域为_,在(_oo, 0)上单调_____ ,在(0, +°°)上单调______ ；而y=（x2y=2x,当兀＜（）时，其导数—；当兀〉o时，其导数—；当兀=o时，其导数—o（3）____________________________________________ 函数）=疋的定义域为在定义域上为；而y=（x3y=3%2,若wo,则其导数当*0时，其导数_；（4）________________________________________________________ 函数）U丄的定义域为（- 8,0）U（0,+oe）,在（-00,0） ±单调 _____________________________ ,在（0,+oO）上单调而：/ =（丄）'=一一,因为兀工0,显然）0・x %•【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间（。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.3.1函数的单调性与导数
学习目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
学习过程
一、课前准备
（预习教材P 89~ P 93，找出疑惑之处）
复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.
对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有＝ ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数.
复习2： 'C = ；()'n x = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；(log )'a x = ；()'x e = ；()'x a = ；
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：
问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：
在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的
值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为 函数；
在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.
新知：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么
函数()y f x =在这个区间内的减函数.
试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
（1）3()3f x x x =+；
（2）2()23f x x x =--；
（3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈；
（4）32()23241f x x x x =+-+.
反思：用导数求函数单调区间的三个步骤：
①求函数f (x )的导数()f x '.
②令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间.
③令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间.
探究任务二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？
※ 典型例题
例1 已知导函数的下列信息：
当14x <<时，()0f x '>；
当4x >，或1x <时，()0f x '<；
当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状.
变式：函数()y f x =的图象如图所示，试画出导函数()f x '图象
的大致形状.
例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应
的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.
※动手试试
练1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
（1）2
f x x x
=-+；
()24
（2）()x
=-；
f x e x
（3）3
f x x x
=-；
()3
（4）32
=--.
f x x x x
()
练2. 求证：函数32
=-+在(0,2)内是减函数.
()267
f x x x
三、总结提升
※学习小结
用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f(x)的定义域；
②求函数f(x)的导数()
'.
f x
③令()0
'=，求出全部驻点；
f x
④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内()
'的符号，由此确
f x
定()
f x的单调区间
注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.
※知识拓展
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函数()
b+∞
y f x
a内的图象“陡峭”，在(,)
=在(0,)b或(,0)
或(,)a
-∞内的图象“平缓”.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则一定有（ ）
A ．240b ac -<
B ．230b ac -<
C ．240b ac ->
D ．230b ac ->
2.函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）
A ．3(,
)22ππ B ．(,2)ππ C ．35(,)22
ππ D ．(2,3)ππ 3. 若在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ）
A ．()0f x >
B ．()0f x <
C ．()0f x =
D ．不能确定
4.函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是
5.已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于。