高中数学 等差数列与等比数列 课件

第1讲等差数列与等比数列

高考定位 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.

真题感悟

1.(2019·全国Ⅰ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则()

A.a n＝2n－5

B.a n＝3n－10

C.S n＝2n2－8n

D.S n＝1

2n

2－2n

2.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于

122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音

的频率为( ) A.32f B.3

22f C.1225f D.1227f

3.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝

________.

4.(2019·全国Ⅱ卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和.

考 点 整 合

1.等差数列

(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；

(2)求和公式：S n ＝

n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2

d ； (3)性质：

①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；

②a n ＝a m ＋(n －m )d ；

③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列.

2.等比数列

(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)；

(2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1；q ≠1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q

； (3)性质：

①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ；

②a n ＝a m ·q n －m ；

③S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列.

温馨提醒应用公式a n＝S n－S n－1时一定注意条件n≥2，n∈N*.

热点一等差、等比数列的基本运算

【例1】(1)(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()

A.16

B.8

C.4

D.2

(2)(2019·北京卷)设{a n}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.

①求{a n}的通项公式；

②记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值.

探究提高 1.等差(比)数列基本运算的解题途径：

(1)设基本量a1和公差d(公比q).

(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.

2.第(2)题求出基本量a1与公差d，进而由等差数列前n项和公式将结论表示成“n”的函数，求出最小值.

【训练1】(1)(2019·全国Ⅲ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.

(2)(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.

①求{a n}的通项公式；

②记S n为{a n}的前n项和.若S m＝63，求m.

热点二等差(比)数列的性质

【例2】(1)在等比数列{a n}中，a6，a10是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则a8的值为()

A.2

B.－2或 2

C. 2

D.－ 2

(2)设S n为等差数列{a n}的前n项和，(n＋1)S n

a7<－1，则()

A.S n的最大值是S8

B.S n的最小值是S8

C.S n的最大值是S7

D.S n的最小值是S7

探究提高 1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.

2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.

【训练2】(1)(2019·天一大联考)记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝16，S5＝35，则{a n}的公差为()

A.－3

B.－2

C.3

D.2

(2)等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg a n}的前8项和S8为()

A.4

B.2

C.3

D.5

热点三等差(比)数列的判断与证明

【例3】已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n>0，S2n＝a2n＋1－λS n＋1，其中λ为常数.

(1)证明：S n＋1＝2S n＋λ；

(2)是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由.

【迁移】若本例中条件“a1＝1”改为“a1＝2”其它条件不变，试求解第(2)问. 探究提高 1.判定等差(比)数列的主要方法：(1)定义法：对于任意n≥1，