解绝对值不等式,涵盖高中所有绝对值不等式解法

绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

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y=|x-3|+|x+2|≥|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值

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|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5

即函数的最小值是-5，最大值是5

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也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5

解绝对值不等式题根探讨

题根四 解不等式2|55|1x x -+<．

［题根4］解不等式2

|55|1x x -+<．

［思路］利用｜f(x)｜0) -a

去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等

式组2

1551x x -<-+<即22

551(1)551

(2)

x x x x ⎧-+<⎪

⎨-+>-⎪⎩求解。

［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<，

即22

551(1)551

(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩

由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，

所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．

［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。

2）本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的 的图象，解方程2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集。

第1变 右边的常数变代数式

［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x

［思路］利用｜f(x)｜g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )

解得x >

12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12

} ⇔⇔⇔

(2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x

即222

226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩

⎩⎩⎩或 2

所以原不等式的解集是{x |2

［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式

这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x

［请你试试4—1］

1．解不等式（1）｜x-x 2

-2｜>x 2

-3x-4；（2）234

x

x -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于：

x-x 2-2>x 2

-3x-4 ①

或x-x 2-2<-(x 2

-3x-4) ② 解①得：1--3

故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝

分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2

-x+2｜ 而x 2

-x+2＝(x-14)2+74

>0 所以｜x-x 2

-2｜中的绝对值符号可直接去掉.

故原不等式等价于x 2-x+2>x 2

-3x-4 解得：x>-3

∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤234

x

x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可

平方后求解.

原不等式等价于2

234

x

x -≤1

9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) x 4-17x 2+16≥0 x 2≤1或x 2≥16

-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4

注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.

第2变 含两个绝对值的不等式

22⇒⇒⇒⇒

［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜f 2

(x)〈g 2(x)两边平方

去掉绝对值符号。

（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。 ［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有：

|x －1|2<|x +a |2

即有2x －2x +1<2x +2ax +2a ，整理得(2a +2)x >1－2a 当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >1

2(1－a )； 当2a +2=0即a =－1时，不等式无解； 当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x <

1

(1)2

a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5.

解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3. 当-355>5无解. 当x ≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2. 综合得：原不等式解集为｛x ｜x>2或x<-3｝.

［收获］1）形如|()f x |<|()g x |型不等式

此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：

|()f x |<|()g x |⇔2

2

()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<0

2）所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化

［请你试试4—2］

1 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1) 解析：易知－1

|

|||lg lg x x a a

-+> ∴22

|lg(1)||lg(1)|x x ->+ 于是2

2

lg (1)lg (1)0x x --+>

∴[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0x x x x -++--+>

⇒⇒⇒⇒⇒⇒