解绝对值不等式,涵盖高中所有绝对值不等式解法
绝对值不等式的解题方法与技巧
绝对值不等式的解题方法与技巧绝对值不等式是指形式为|ax + b| < c或|ax + b| > c的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。
解绝对值不等式的方法和技巧如下：1. 分类讨论法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以根据ax + b的正负情况分别讨论。
当ax + b大于等于0时，即ax + b >= 0，此时不等式化简为ax + b < c或ax + b > c；当ax + b小于0时，即ax + b < 0，此时不等式化简为-(ax + b) < c或-(ax + b) > c。
分别解出这两种情况下的不等式，得到的解集合再取并集即为原不等式的解集合。
2. 图像法，可以将|ax + b|看作一个以点(-b/a, 0)为中心，以c为半径的圆形，|ax + b| < c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离小于c的区域，|ax + b| > c对应的是圆心到直线ax + b = c的距离大于c的区域。
通过绘制图像，可以直观地找到不等式的解集合。
3. 代数法，对于形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的绝对值不等式，可以通过代数方法将其转化为一元一次不等式进行求解。
例如，对于|2x 3| < 5，可以分别得到-5 < 2x 3 < 5，进而得到-2 < x < 4，即解集合为(-2, 4)。
4. 绝对值性质法，利用绝对值的性质，如|a| < b等价于-b <a < b，可以将绝对值不等式转化为一元一次不等式进行求解。
总之，解绝对值不等式的方法和技巧有很多种，可以根据具体的不等式形式和题目要求选择合适的方法进行求解，需要灵活运用代数、几何和逻辑推理等知识。
希望以上回答能够帮助到你。
绝对值与不等式的解法
绝对值与不等式的解法绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。
绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。
本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。
一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指形如|f(x)| ≤ g(x)，或|f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。
解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。
例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当 2x - 3 ≥ 0 时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4；当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得x ≥ -1。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。
二、绝对值方程的解法绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。
解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。
下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。
例题：解方程 |4x - 7| = 3同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。
当4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。
针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。
因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。
在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。
一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。
例1：解不等式 |x - 2| > 3。
首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。
通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。
二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。
例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。
根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。
三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。
例3：解不等式 |3x + 2| > 5。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。
四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。
例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。
根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。
综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。
绝对值不等式公式大全
绝对值不等式公式大全下面是一些常见的绝对值不等式及其推导和解法。
1.绝对值的定义：对于任意实数x，绝对值，x，定义如下：-当x≥0时，x，=x。
-当x<0时，x，=-x。
2.单个绝对值不等式：2.1，x，＞a时，有以下不等式：-方程的解集为：x＞a或x＜-a。
-解法：将，x，＞a拆解为x＞a或x＜-a，然后根据实际问题分析确定解集。
2.2，x，＜a时，有以下不等式：-方程的解集为：-a＜x＜a。
-解法：将，x，＜a拆解为x＞-a且x＜a，然后根据实际问题分析确定解集。
3.绝对值的性质：3.1，a+b，≤，a，+，b该性质成立是因为绝对值函数具有非负性质，并且，a+b，的取值范围比，a，+，b，的取值范围要小。
3.2，a-b，≥，a，-，b该性质成立是因为绝对值的定义在于，x，≥-x，同时采用了加法的逆运算。
3.3，a-b，≥，b，-，a该性质成立是因为绝对值的定义在于，x，≥-x，同时采用了减法的逆运算。
4.绝对值不等式的加法运算法则：若，a，≤，b，则有以下结论：-，a+x，≤，b+x-，x+a，≤，x+b解法：根据2.1的解法，将，x，≤a拆解为-a≤x≤a，根据性质3.1，可得，a+x，≤，a，+，x，≤，a，+，b。
5.绝对值不等式的乘法运算法则：若0≤a≤b-，a*x，≤，b*x，其中x可以是任意实数。
解法：对于给定的，x，≤a（根据2.2的解法得到），将其乘以非负的实数k，则有，k*x，≤a*k，根据性质3.1，可得，k*x，≤a*k≤b*k。
6.绝对值不等式的复合运算法则：若，a，≤b且，c，≤d，则有以下结论：-，a+c，≤，b+d-，a-c，≤，b-d解法：根据4的解法，分别将，a+c，和，a-c，展开为，a+x，的形式，并应用3.1的性质，可以得到上述结论。
这些是常见的绝对值不等式及其推导和解法，通过这些公式和方法，我们可以更方便地求解一些数学问题。
但需要注意的是，在应用绝对值不等式时，需要根据具体问题来确定解集，并判断是否需要考虑特殊情况，提高解题的准确性和完整性。
高中数学绝对值不等式的解法【精选】
22.03.2022
南粤名校——南海中学
三、例题讲解
例1 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解2 ： 法 3 |32x|5 3|2x3|5
32x23x305，或32x3(2x03)5
x
3 2
，
3 x 4
或
x
3 2
，
1 x 0
3 x 4 ， 或 1 x 0 .
原不等式{x的 |1 解 x集 0， 或 3是 x4}.
对原不等式两边平方得x2<1 即 x2－1<0 即 (x+1)(x－1)<0 即－1<x<1 所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。
方法四：利用函数图象观察
从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数
y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对
应的x的取值范围。
方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论
方法三：两边同时平方去掉绝对值符号
方法四：利用函数图象观察 这是解含绝对值不等式的四种常用思路
探索：不等式|x|<1的解集。 方法一：利用绝对值的几何意义观察
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1
0
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
将(1)、(2)、(3)的结果取并,集
2
4
则 原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 2 ,或 x 4 } .
22.03.2022
南粤名校——南海中学
三、例题讲解 例3 解不等式| x －1 | + | 2x－4 |＞3 + x
绝对值不等式的解法-高中数学知识点讲解
绝对值不等式的解法1．绝对值不等式的解法【知识点的认识】绝对值不等式的解法1、绝对值不等式|x|＞a 与|x|＜a 的解集不等式a＞0 a＝0 a＜0|x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ∅∅|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c 或ax+b≤﹣c；（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．【解题方法点拨】1、解绝对值不等式的基本方法：（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c 的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0 且|a|≥|b|．。
解绝对值不等式的方法
解绝对值不等式的方法绝对值不等式是数学中常见且重要的一种不等式类型。
解绝对值不等式可以帮助我们确定变量的取值范围，从而求解问题。
本文将介绍三种常用的方法来解绝对值不等式。
一、符号法符号法是解绝对值不等式最简单直观的方法之一。
当我们遇到简单的一元一次绝对值不等式时，可以通过考虑绝对值的取正负两种情况来解决。
例如，对于不等式|x-2|<5，我们可以先考虑取正的情况：x-2<5 --> x<7然后再考虑取负的情况：-（x-2）<5 --> x>-3综合两个不等式的解集，我们得到-3<x<7，即解为(-3,7)。
二、区间法区间法是一种更加系统和严谨的方法，适用于更复杂的绝对值不等式。
该方法基于绝对值的定义，将不等式转化为分段函数的形式。
例如，对于不等式|2x-1|≥3，我们可以先将其拆分为两个情况：1. 当2x-1≥0时，不等式变为2x-1≥3，解得x≥2。
2. 当2x-1<0时，不等式变为-(2x-1)≥3，解得x≤-1。
综合两个情况的解集，我们得到解为x≤-1或x≥2。
三、平方法平方法是解决带有二次项的绝对值不等式的常用方法。
该方法的关键是利用平方的非负性。
例如，对于不等式|x^2-4|<3，我们可以先对不等式进行拆分：1. 当x^2-4≥0时，不等式变为x^2-4<3，解得-1<x<3。
2. 当x^2-4<0时，不等式变为-(x^2-4)<3，展开后得到x^2-4>-3，解得-√7<x<√7。
综合两个情况的解集，我们得到解为-√7<x<-1或1<x<√7。
绝对值不等式的解方法还有其他变种，上述仅是其中常用的三种方法。
在解题过程中，我们需要根据不等式的形式和特点选择合适的方法。
此外，需要注意绝对值不等式的符号翻转和取等问题。
总结起来，解绝对值不等式的方法有符号法、区间法和平方法等。
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结
1. 分类讨论法：
根据绝对值符号，将条件分为两种情况，分别对式子做处理，最后将解集联合起
来就可以求出绝对值不等式的解集。
例如：解不等式|2x+3|<5，可以写成如下形式：
2x+3<5 且 -2x-3<5，解出两个不等式的解集，解集：x<1 且 x>-2，因此解集为 x<1 U
x>-2，其中U表示并。
2. 代入法：
根据条件可以得到相应绝对值不等式，首先将相关数字代入不等式中，质疑是否
满足不等式，如果满足，表示相应数属于此绝对值不等式解集；如果不满足，表示该数不
属于此绝对值不等式解集。
例如：解不等式|x-5|≤2，x=7时，将x=7代入不等式，可得
|7-5|≤2，满足不等式，因此x=7属于此不等式的解集。
4. 化简法：
根据不等式的特殊性可以将不等式转化为熟悉的不等式，再求其解，最后再转化
回原来的绝对值不等式，以求出解集。
例如：解不等式|5x-6|>10，先将左边绝对值分离，变为 5x-6>10 且 -(5x-6)>10 ，即 5x>16 且 5x<-4，可以写为 x>16/5 且 x<-4/5，再
转化为原来的绝对值表示形式，可得解集：|5x-6|>10，x>3 且 x<-2/5。
7大类型！绝对值不等式解法，全部涵盖，学到就是赚到
7大类型！绝对值不等式解法，全部涵盖，学到就是赚到
在数学中，绝对值问题是一直存在的，从七年级的课本中就开始提出了，并且研究了简单的绝对值的性质，其一直都是初中的难点。
在高中阶段，绝对值内容也是渗透在多个模块中，一般处理这一类问题，即利用绝对值性质去绝对值符号，然后将绝对值问题转换为不含绝对值的问题。
而对于绝对值的定义即绝对值的几何意义很少深入挖掘，而绝对值从几何中来，最终也应该回归几何，将绝对值几何意义精确地掌握才能更好衔接高等数学。
鉴于此，小编帮助大家整理了一份“绝对值不等式解法”，共分为7大类型，将这些掌握，再也不怕绝对值不等式。
总结解绝对值不等式的方法与技巧
总结解绝对值不等式的方法与技巧绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，涉及到绝对值的性质和运算。
解绝对值不等式要灵活运用各种技巧和方法，下面将总结解绝对值不等式的一些常用技巧和方法。
一、基本性质与运算法则1. 绝对值的定义：对于任意实数x，其绝对值|x|的值分两种情况讨论，当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
2. 绝对值的非负性：对于任意实数x，有|x|≥0。
3. 绝对值的等价关系：对于任意实数x和y，若|x|=|y|，则x=y或x=-y。
4. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|和|x-y|≥|x|-|y|。
5. 绝对值的运算法则：对于任意实数x和y，有以下运算法则：(a) |x·y|=|x|·|y|(b) |x/y|=|x|/|y|（其中y≠0）(c) |x^n|=|x|^n（n为正整数）二、绝对值不等式的解法1. 以不等式符号为界限：(a) 若|x|<a，则-a<x<a；(b) 若|x|>a，则x<-a或x>a；(c) 若|x|≤a，则-a≤x≤a；(d) 若|x|≥a，则x≤-a或x≥a。
2. 分情况讨论法：(a) 当x≥0时，将不等式去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解；(b) 当x<0时，反号后去掉绝对值符号得到等价不等式，再继续求解。
3. 使用绝对值性质：(a) 应用绝对值的非负性和等价关系来转化不等式，例如将|x-a|<b 转化为-a<x-a<b+a；(b) 应用绝对值的三角不等式来转化不等式，例如将|2x-3|≥5转化为2x-3≥5或2x-3≤-5。
4. 求解多个绝对值不等式的交集或并集：(a) 对于交集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B 的交集；(b) 对于并集，解两个不等式分别得到解集A和B，最后求A和B的并集。
三、绝对值不等式的应用技巧1. 与多项式结合：对于包含绝对值的多项式不等式，可以将其拆分成多个简化的不等式，再求解。
高中绝对值不等式的解法
高中绝对值不等式的解法解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。
带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。
绝对值不等式公式是||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|。
绝对值不等式（一）几何意义法例如：求不等式|x|＜1的解集不等式|x|＜1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合，所以不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。
（二）讨论法例如：求不等式|x|＜1的解集①当x≥0时，原来的不等式可以化为x＜1，∴0≤x＜1。
②当x＜0时，原来的不等式可以化为-x＜1，∴-1＜x＜0。
综上所述，不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。
（三）平方法例如：求不等式|x|＜1的解集把原不等式的两边平方可以得到：x2＜1，即x2-1＜0，即（x+1）（x-1）＜0即-1＜x小于1，∴不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。
（四）函数图像法例如：求不等式|x|＜1的解集从函数观点看，不等式|x|＜1的解集表示函数y=|x|的图像位于y=1的图像下方的部分对应的x的取值范围。
所以不等式|x|＜1的解集为{x|-1＜x＜1}。
绝对值不等式的解法有哪些通解一般是数轴标根法，也是一般情况下最快的方法。
在数轴上把使绝对值为零的点都标出来，根据绝对值的几何意义，绝对值表示的是两点间的距离(当然就为正了)，以此解题。
比如|x-3|+|x-6|>5,如果x在3和6之间，那么x到3的距离加上x到6的距离就只能是6-3=3，而5-3=2，2/2=1，故答案应为x<3-1=2或者x>6+1=7，即(x<2)||(x>7)。
也可以用零点分段法，也是在数轴上将使式中绝对值为零的点都标出，然后不用几何意义，而是分段讨论。
把每个绝对值项展开，然后化为普通不等式，将求得的解集与你所分的这一段取交集，得到x在此段的解集(比如在-1还有就是平方法了。
高中数学绝对值不等式公式大全
高中数学绝对值不等式公式大全1、绝对值不等式：（1）一般表示式：|x|≠|y|（2）相等情况：|x|=|y|（3）不相等情况：|x|≠|y|2、绝对值不等式的特殊形式：（1）x≠0：|x|=a，a>0（2）x=m：|x|≠m（3）|x|<b：x<b（4）|x|≤b：x≤b（5）|x|>a：x>a（6）|x|≥a：x≥a3、绝对值不等式的解法：（1）把绝对值当作不计符号类型的线性方程，即把等号左边的绝对值画成两个相反数的图形，等号右边的绝对值也可以画成两个相反数的图形。
即可确定有解的条件，然后求出所有的可行解。
（2）将绝对值拆分成幂函数求解。
绝对值不等式=ax2 + bx + c≠d可以拆分成（x-x1）2+4dFalse=b2-4ac， b2-4ac>0时有解，反之无解。
（3）利用中值定理来求解。
设绝对值不等式|x-a|=|x-b|，按照中值定理，即可得到可解解 x = （a+b）/ 2。
（4）通过几何方式来求解。
即直线 y=|x-a| 的图形和y=|x-b|的图形有相等的两个交点，将这些交点的 x 坐标求出即可。
4、绝对值不等式的特殊问题：（1）当x=a时：绝对值不等式|x-a|≠|x-b|可解成x=（a+b）/2（2）当x=a或x=b时：绝对值不等式|x-a|=|x-b|可解成x=a或x=b（3）当x=0时：绝对值不等式|x|=|y|可解成x=y（4）当x≥b时：绝对值不等式|x-a|<|x-b|可解成x≥b（5）当x≤a时：绝对值不等式|x-a|>|x-b|可解成x≤a（6）当x=a或x=b时：绝对值不等式|x-a|>|x-b|可解成x<a或x>b（此处的a和b指的是参数值）5、绝对值不等式的应用：绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们看起来结构简单，而求解又显得很有技巧。
其在涉及数理计算机科学，物理电学、金融学等方面具有重要价值。
高中数学方法总结不等式与绝对值的解法与不等式组解法
高中数学方法总结不等式与绝对值的解法与不等式组解法高中数学方法总结：不等式与绝对值的解法与不等式组解法不等式是数学中常见的问题，解决不等式问题需要掌握一定的数学方法和技巧。
在高中数学中，不等式与绝对值的解法以及不等式组的解法是常见的题型，下面将对这些内容进行总结。
一、不等式与绝对值的解法1.1 单变量不等式解法对于单变量不等式，可以使用图像法或者代数法来解决。
对于图像法，可通过绘制不等式的图像，观察图像与坐标轴的交点来得到解的范围。
代数法中常用的有加减法、乘除法和开方法。
1.2 绝对值不等式解法绝对值不等式是指带有绝对值符号的不等式。
常见的解法有分类讨论法和代数法。
分类讨论法将绝对值拆解为正负两个部分，分别进行讨论求解。
代数法可以通过构建不等式的条件，将绝对值不等式转化为一元一次不等式或二次不等式。
二、不等式组解法不等式组是由多个不等式组成的问题。
解决不等式组问题一般采取分段讨论法和代数法两种方法。
2.1 分段讨论法分段讨论法适用于不等式组的条件较少且简单的情况。
通过将不等式组的解空间进行分段，然后分别解决每个子不等式，最后将各个子解空间的交集作为问题的解空间。
2.2 代数法代数法适用于不等式组条件复杂的情况。
常见的代数法有代数解法和系数比较法。
代数解法通过将不等式组进行整理和转化，得到等价的简化形式，进而求解。
系数比较法则通过对不等式组条件中的系数进行比较，确定解的范围。
三、不等式与绝对值解法的应用3.1 实际问题的建模与解决不等式与绝对值解法在实际问题的建模与解决中起着重要的作用。
通过把实际问题转化为数学问题，可以使用不等式和绝对值来描述问题的约束条件，然后通过解不等式和绝对值不等式来获得问题的解。
3.2 函数图像与不等式关系不等式与绝对值的解法与函数图像有密切的关系。
通过绘制函数的图像，我们可以更直观地理解不等式与绝对值的解法，并且能够从图像中获得更多的信息，辅助我们解答问题。
四、不等式与绝对值解法的拓展不等式与绝对值的解法还有很多其他的拓展应用，例如通过变量代换法、基本不等式、奇偶性判断等方法来求解复杂的不等式问题。
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。
下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。
利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。
例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。
二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。
这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。
例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。
三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。
具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。
例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。
然后解这个不等式得到x<1或x>7。
四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。
例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。
在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。
在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。
高中绝对值不等式
高中绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中常见的一类问题，它们与绝对值的性质和不等式的求解密切相关。
在解决绝对值不等式的过程中，我们需要掌握一些基本的技巧和方法，才能准确地得出不等式的解集。
本文将介绍如何解决高中中常见的绝对值不等式题目，并给出一些例题来加深理解。
一、绝对值的定义绝对值是数学中常用的一种运算符号，用两个竖线表示，例如|a|，表示a的绝对值。
绝对值的定义如下：当a ≥ 0时，|a| = a。
当a < 0时，|a| = -a。
二、基本性质绝对值具有以下的基本性质：1. |a| ≥ 0，即绝对值一定大于等于零。
2. |a| = 0 当且仅当 a = 0。
3. |a × b| = |a| × |b|，即两个数的乘积的绝对值等于这两个数绝对值的乘积。
三、绝对值不等式的解法1. 形如 |ax + b| > c 的不等式我们假设a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
对于这类不等式，有两种情况：情况1：当c > 0时，不等式解集为 x < - (b + c)/a 或 x > (c - b)/a。
情况2：当c < 0时，不等式解集为 x < (c - b)/a 或 x > - (b + c)/a。
2. 形如 |ax + b| < c 的不等式我们假设a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
对于这类不等式，有两种情况：情况1：当c > 0时，不等式解集为 (c - b)/a < x < - (b - c)/a。
情况2：当c < 0时，不等式解集为 - (b - c)/a < x < (c - b)/a。
3. 形如|ax + b| ≤ c 的不等式我们假设a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
对于这类不等式，有两种情况：情况1：当c > 0时，不等式解集为x ≤ - (b + c)/a 或x ≥ (c - b)/a。
人教版数学高二备课资料解含绝对值不等式的九种方法
解含绝对值不等式的九种方法含绝对值不等式是数学中的重要内容，解含有绝对值的不等式的关键是把含绝对值符号的不等式转化为不含绝对值符号的不等式，然后再去求解，本文举例说明解含绝对值的九种方法.一、利用绝对值的定义利用实数绝对值的定义即(0)a (0)a a a a ≥⎧=⎨-<⎩，去掉不等式的绝对值符号，从而进一步求解例1、解不等式6532x x -<- 解析：原不等式可化为6506532x x x -≥⎧⎨-<-⎩或6505632x x x-<⎧⎨-<-⎩，解得917x <<， 故原不等式的解集为9(1,)7二、利用绝对值的几何意义利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。
画出数轴较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于||||x a x b m -+->或||||x a x b m -+-<(m 为正常数)类型不等式。
对||||ax b cx d m +++>(或<m )，当|a |≠|c |时一般不用例2、解不等式215x x ++-≥解析：2x +，1x -分别表示x 轴上x 点到点-2,1的距离，从数轴上可见(如图)当-3<x<2时，距离之和小于5；而当x ≤-3或x ≥2时，距离之和大于等于5。
故原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞)三、公式法利用()()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><-或及()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<等公式来化简不等式例3、解不等式23810x x +-≥解析：原不等式可化为10832≥-+x x （1）或10832-≤-+x x （2）由(1)得:01832≥-+x x 解得}{63-≤≥x x x 或由(2)得:0232≤++x x 解得}{12-≤≤-x x ∴原不等式的解集为 }{}{}{31261263≥-≤≤--≤=-≤≤-⋃-≤≥x x x x x x x x x 或或或四、平方法 对于形如()()f x g x ≥或()()f x g x ≤的绝对值的不等式，利用平方法脱去绝对值符号来解例4、解不等式1x x a -<+ 解析：由于10x -≥，0x a +≥，所以两边平方后有：221x x a -<+即有222212x x x ax a -+<++，整理得2(22)1a x a +>-当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为1(1)2x a >-； 当2a +2=0即a =－1时，不等式无解；当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为1(1)2x a <- 故当为a >－1时，原不等式的解集为1(1),2a ⎛⎫-+∞⎪ ⎭⎝；当a =－1时，原不等式的解集为∅；当a <－1时，原不等式的解集为1,(1)2a ⎛⎫-∞-⎪ ⎭⎝五、零点分段讨论法含有多个绝对值符号的不等式，可先求出使含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个部分，讨论每一个绝对值号内代数式在每个部分上的符号，从而去掉绝对值符号。
解绝对值不等式,涵盖高中所有绝对值不等式解法。
绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5解绝对值不等式题根探讨 题根四解不等式2|55|1x x -+<．［题根4］解不等式2|55|1x x -+<．［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) -a<f(x)<a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组21551x x -<-+<即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩求解。
［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。
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绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5解绝对值不等式题根探讨题根四 解不等式2|55|1x x -+<．［题根4］解不等式2|55|1x x -+<．［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) -a<f(x)<a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组21551x x -<-+<即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩求解。
［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。
2）本题也可用数形结合法来求解。
在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的 的图象，解方程2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集。
第1变 右边的常数变代数式［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} ⇔⇔⇔(2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x［请你试试4—1］1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-<x<1+ 解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜ 而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤234xx -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于2234xx -≤19x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) x 4-17x 2+16≥0 x 2≤1或x 2≥16-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变 含两个绝对值的不等式22⇒⇒⇒⇒［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。
［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有：|x －1|2<|x +a |2即有2x －2x +1<2x +2ax +2a ，整理得(2a +2)x >1－2a 当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >12(1－a )； 当2a +2=0即a =－1时，不等式无解； 当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x <1(1)2a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5.解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3. 当-3<x<2时，原不等式为(2-x)+(x+3)>55>5无解. 当x ≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>52x>4x>2. 综合得：原不等式解集为｛x ｜x>2或x<-3｝.［收获］1）形如|()f x |<|()g x |型不等式此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|()f x |<|()g x |⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<02）所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。
零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化［请你试试4—2］1 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1) 解析：易知－1<x <1，换成常用对数得：lg(1)lg(1)||||lg lg x x a a-+> ∴22|lg(1)||lg(1)|x x ->+ 于是22lg (1)lg (1)0x x --+>∴[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0x x x x -++--+>⇒⇒⇒⇒⇒⇒∴21lg(1)lg 01xx x-->+ ∵－1<x <1 ∴0<1－2x <1∴lg (1－2x )<0∴1lg1xx -+<0 ∴1011x x -<<+解得0<x <12．不等式|x+3|-|2x-1|<2x+1的解集为 。
解：|x+3|-|2x-1|=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x∴当21≥x 时124+<-x x ∴x>2当-3<x<21时4x+2<2x +1 ∴723-<<-x当3-≤x 时124+<-xx ∴3-≤x综上72-<x 或x>2故填),2()72,(+∞⋃--∞。
3．求不等式1331log log 13x x+≥-的解集. 解：因为对数必须有意义，即解不等式组0103x x>⎧⎪⎨>⎪-⎩，解得03x << 又原不等式可化为()33log log 31x x +-≥(1)当01x <≤时，不等式化为()33log log 31x x -+-≥即()33log 3log 3x x -≥∴ 33x x -≥ ∴ 34x ≤综合前提得：304x <≤。
(2)当1<x ≤2时，即()333log log 3log 3x x +-≥.∴ 2330x x -+≤ x ∴∈∅。
(1) 当23x <<时，()333log log 3log 3x x --≥ (2) ∴()33x x ≥- ∴94x ≥，结合前提得：934x ≤<。
综合得原不等式的解集为390,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U第3变 解含参绝对值不等式［变题3］解关于x 的不等式34422+>+-m m mx x［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。
若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。
在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。
［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3-<m 时， x ∈R［收获］1）一题有多解，方法的选择更重要。
2）形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：① 当a >0时，|()f x |<a ⇔－a <()f x <a ；|()f x |>a ⇔()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x 有意义。