2009年全国高考数学福建卷理科第15题详细解析

2009年全国高考数学福建卷理科第15题

题目背景是斐波那契(Fibonacci)数列.

（2009•福建）五位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为

5

．【解法二】归纳猜想：

1．列举：五个数一圈，则分为五个一群。如下：|| 1、1、2、3、5；|| 8、13、21、34、55；|| 89、144、233、377、610；|| 987……

2．观察：上面分群数列中，显然，甲所报数各群首数，呈周期性出现，周期为５。而所报数为３的倍数的数也呈周期性出现，周期为4。

３．找首数：即找甲同学第一次拍手时，所报数。易得第16个数987既是3的倍数，又是甲报的数。

４．规律：由第二步可知，甲所报数为３的倍数的数也呈周期性出现，周期为4与５的最小公倍数，即为２０．以后每报数增加4×5=20个时，甲同学拍一次手。５．结论：所以甲报第16个，第36个，第56个，第76个，第96个数时拍手，１００个数之内，甲共拍手5次。

解法三：由题意可知：

（1）将每位同学所报的数排列起来，即是“雯波那契数列”：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…（2）该数列的一个规律是，第4，8，12，16，…4n项均是3的倍数．（3）甲同学报数的序数是1，6，11，16，…，5m-4．

（4）．问题可化为求数列{4n}与{5m-4}的共同部分数，

易知，当m=4k，n=5k-4时，5m-4=20k-4=4n，又1＜4n≤100，

∴20k-4＜100．∴k≤5

∴甲拍手的总次数为5次．即第16，36，56，76，96次报数时拍手．故答案为：5

变式训练：

五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为。

解析:：这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.

这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、

8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次.