柯布—道格拉斯生产函数讲解
柯布-道格拉斯生产函数
柯布-道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
柯布-道格拉斯生产函数-简介保罗·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。
他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。
在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。
这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。
同时，他们还排除了对土地的投资。
这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。
因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。
而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。
但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。
因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。
比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。
经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。
令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式：P=1.01L3/4C1/4柯布（C.W.Cobb）这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。
柯布—道格拉斯生产函数及其应用
首先,要努力提高全民的科技意识,其次,保持一支精干的科研力量,从事基础性研究、有关国家长远利益的应用研究、高技术研究以及重大科技攻关活动。再次,发挥市场机制作用,让大批从事技术开发、技术服务的机构面向市场,从事科技转化工作,把科技优势转化为生产力优势,加快科技转化的速度,提高效益。
在考察时间足够长时，可能两种或两种以上的投入都可以变动、甚至所有的投入都可以变动，通常称为长期生产函数。
三、柯布—道格拉斯生产函数
(一）基本形式
柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为：Y = A(t)LαKβμ。式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人）,K是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）,α是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，μ≤1。从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。根据α和β的组合情况,它有三种类型：
作者简介：李昂（1989.01-），女，河北省唐山市人，当前职务：助理统计师，当前职称：初级，学历：本科，研究方向：科技统计。
（1）生产要素的可替代性，资本和劳动两个生产要素是能够相互替代的，并且能够以可变的比例相配合。
（2）技术进步的中性
（3）规模效益不变即α+β=1
（4）生产函数的一阶奇次性
生产函数模型为Yt=At
式中，Y为t时期的产出，K为t时期的资本投入，L为t时期的劳动投入，A为科技水平，为资本的产出弹性，为劳动的产出弹性。
柯布—道格拉斯生产函数及其应用
柯布一道格拉斯生产函数
柯布一道格拉斯生产函数格拉斯(Gresham)生产函数是英国经济学家托马斯·戈德堡·格拉斯（Thomas Gresham）在16初提出的一个经济供给方程，它涉及了多种因素，比如货币发行、供求状况、财政政策等。
格拉斯生产函数的理论认为，当政府发行某种新货币时，与原有货币相比，原有货币投资就会受到冲击，从而全面改变市场上货币价值的基本构成，应当注意的是，这种改变可能是正面的，也可能是负面的。
格拉斯生产函数的根本原理是，当政府发行一种新的货币时，新货币比原有货币升值，因此新货币可以迅速替代原有货币，而且新货币发行量不必完全取代旧货币发行量，这也是为什么有时新货币发行也会引发投机活动。
而新货币史蒂芬开始交易及经济活动之后，会有很多用新货币价格的产品出现，新旧货币的汇率也会随之调整。
格拉斯生产函数显示出政府发行某种新货币，对于经济的影响是相当大的，尤其是涉及到货币的金融服务行业，如银行、保险公司以及金融交易所等。
新货币可以给行业带来新的商机，这些利益群体在获得利益时也会受到政府的一定控制，所以新货币可以被认为是为经济服务的一种货币，新货币发行可以改变对其它经济系统所施加的影响，改变社会分配模式，因此新货币发行是带来经济影响的关键因素。
格拉斯生产函数可以帮助人们理解政府发行某种新货币时的经济影响，也可以帮助政府作出更加明智的货币发行政策。
如果经济体正发生重大变化，政府为了解决当前经济困境，应当更好的利用格拉斯生产函数的理论，作出正确的决策，以减轻经济的影响。
此外，格拉斯生产函数中表明的升值效应可以解释一些经济反应出现的原因，这有助于更好地全面应用经济学原理，制定出更有效的发行政策，以利于经济繁荣。
柯布-道格拉斯生产函数
• 这就意味着边际生产率函数为零阶齐次 的。
– 如果一个函数是k 阶齐次的，那么其导数就 是k-1阶齐次的
29
规模报酬不变
• 任何投入的边际生产率取决于资本和劳 动之比(而不是这些投入的具体水平) • k 和 l 之间的边际技术替代率仅仅取决于 k 和 l之比，而不是运行规模
30
规模报酬不变
• 生产函数是位似的 • 从几何上看,所有的等产量线均是彼此的 射线扩展
31
规模报酬不变
• 沿着一条从原点出发的射线 ( k/l不变), 所 有等产量线上的RTS都是相同的
k 每期
随着产出扩张，等产量线 均匀排列
q=3 q=2 q=1
l 每期
32
规模报酬
• 规模报酬可被扩展为n 种投入的生产函数
q = f(x1,x2,…,xn)
• 如果所有的投入均乘以一个正常数t, 可以 得到
– 生产中劳动分工的进一步细化和专业化 – 效率降低，因为企业规模变大会导致管理难 度增加
26
规模报酬
• 如果生产函数给定为 q = f(k,l)，所有的投 入都乘以某个正常数 (t >1), 则
对产出的影响 f(tk,tl) = tf(k,l) f(tk,tl) < tf(k,l) f(tk,tl) > tf(k,l) 规模报酬 不变 递减 递增
这一生产函数就意味着k 和 l 足够大时， 边际生产率递减
– fll 和 fkk < 0 如果 kl > 200
22
递减的边际技术替代率
• 对任一生产函数求二阶交叉导数得
fkl = flk = 2400kl - 9k 2l 2
仅当 kl < 266时，为正
计量经济学柯布道格拉斯
经济含义：
柯布-道格拉斯生产函数通常被人们称为性状良好的生产函数，因为 利用它可以较好地研究生产过程中的投入和产出问题。 当α+β=1时，α和β分别表示劳动和资本在生产过程中的相对重要性， 或者说是表示劳动所得和资本所得在总产量中所占的份额；A通常用来 表示技术进步因素（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术 等）。根据α和β的组合情况，往往可以用柯布-道格拉斯生产函数来判断 企业的规模报酬状况： ①α+β>1， 称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产 出是有利的。规模报酬递增是指产量增加的比例大于各种生产要素增加 的比例。造成规模报酬递增的原因在于由于规模扩大带来生产效率的提 高。
根据柯布和道格拉斯对美国1899年到1922年期间有关经济资料的分 析和估算，A值为1.01，α值为0.75，β值为0.25 Q=1.01 L0.75·K0.25 这说明，在技术水平不变的情况下，每增加1%的劳动所引起的产量增加 将3倍于每增加1%的资本所引起的产量增加。这一结论与美国工资收入 与资本收益之比（3：1）大体相符。
②α+β<1，称为递减报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产 出是得不偿失的。如果产量增加的比例小于各种生产要素增加的比例， 则为规模报酬递减。造成规模报酬递减的原因在于，由于规模过大使得 生产的各个方面难以协调，从而降低生产效率。 ③α+β=1，称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大 而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。规模报酬不变是指产 量增加的比例等于各种生产要素增加的比例。造成规模报酬不变的原因 是，在规模报酬递增阶段的后期，大规模生产的优越性已得到充分发挥， 厂商逐渐用完了种种规模优势，从而导致厂商规模增加的幅度与报酬增 加幅度相等。
柯布-道格拉斯生产函数
柯布-道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
柯布-道格拉斯生产函数-简介保罗·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。
他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。
在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。
这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。
同时，他们还排除了对土地的投资。
这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。
因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。
而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。
但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。
因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。
比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。
经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。
令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式：P=1.01L3/4C1/4柯布（C.W.Cobb）这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。
柯布--道格拉斯生产函数
dQ d[cL(t) y (t)] cL(t)y 1 dy c dL(t) y 0
dt
d (t)
dt d (t)
整理得：
dQ dt
0
1
K0 K0
e(1 )t
1
1
因为 0 ，1所以上式右端恒大于1，因而当左端中 （0即
)e (1
) t
1 ]
知：
dy dt
0 1
K0 K0
e(1 ) t
0
显然，此式成立的条件为
K0 K0
1
K0 K0
此式含义为：劳动力相对增长率小于初始投资增长率
······数理学派在这时运用数学方法， 只对资本主义关系做数量上的说明，而抛开 对资本主义经济制度本质的研究，这样就更 有利于掩盖资本主义的剥削和矛盾。同时， 她运用数学方法，也企图用数学的精确性和 科学性，使资产阶级政治经济学具有一种高 度科学性的假象和外观。
/UploadFile
0
s/2009327144012527.swf
五、模型的改进与推广
1，探讨资金和劳动力的最佳分配（静态）
➢何为最佳分配？ ➢成本包括哪些？
资金来自贷款，利率 r
劳动力付工资 w
资金和劳动力创造的效益 S Q rK wL
问题转化为K/L满足什么条件使得S最大
S K
0 QK
r
0
S L 0 QL W 0
QK QL
CK L 1 1 C(1)K L
r w
K w
L 1 r
由该式可知：当，w变大、r变小时，分配
柯布-道格拉斯生产函数-详解
柯布道格拉斯生产函数-详解(重定向自柯布—道格拉斯函数)柯布-道格拉斯生产函数(Cobb-Douglas production function)目录• 1 柯布-道格拉斯生产函数概述• 2 柯布-道格拉斯生产函数的基本形式• 3 柯布一道格拉斯生产函数的应用[1]• 4 参考文献柯布-道格拉斯生产函数概述柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(Paul H. Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的。
是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
它是以美国数学家C·W·柯布和经济学家保罗·H·道格拉斯的名字命名的。
柯布—道格拉斯生产函数的一般形式可以表示为：他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，在技术经济条件不变的情况下，得出了产出与投入的劳动力及资本的关系。
但是柯布－道格拉斯生产函数中把技术水平A作为固定常数，难以反映出因技术进步而给产出带来的影响。
柯布—道格拉斯生产函数中，如果有任何一种投入品为零，则产出也为零，因此对于生产来说，每种生产要素都是必需的，没有一种要素可以完全替代另一种要素。
柯布—道格拉斯生产函数是采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。
是生产函数中应用广泛的一种！根据研究目的和需要，现在有很多在柯布——道格拉斯生产函数基础上变形应用的函数形式。
柯布-道格拉斯生产函数的基本形式柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为：Y = A(t)LαKβμ式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人）,K 是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）,α 是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，μ≤1。
柯布-道格拉斯生产函数.docx
柯布 - 道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布 (C.W.Cobb) 和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas) 共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
柯布 - 道格拉斯生产函数- 简介保罗·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是 1899 年至 1922 年美国制造业的生产函数。
他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。
在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。
这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。
同时，他们还排除了对土地的投资。
这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。
因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。
而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。
但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。
因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。
比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。
经过一番处理，他们得到关于1899 年至 1922 年间，产出量 P、资本 C 和劳动 L 的相对变化的数据（以 1899 年为基准）。
柯布道格拉斯生产函数模型
生产函数模型—-经济增长分析柯布-道格拉斯生产函数的基本的形式为:式中Y是工业总产值A(t）是综合技术水平L是投入的劳动力数（万人/人）K是投入的资本，一般指固定资产净值（亿元/万元,但必须与劳动力数的单位相对应,劳动力：万人，固定资产净值:亿元）α是劳动力产出的弹性系数β是资本产出的弹性系数μ表示随机干扰的影响，μ≤1从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数L、固定资产K和综合技术水平A（t）(包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等).根据α 和β的组合情况，它有三种类型：①α+β〉1,递增报酬型，表明按现有技术水平扩大生产规模的来增加产出是有利的。
②α+β<1，递减报酬型,表明按现有技术水平扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。
③α+β=1，不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高,只有提高技术水平，才会提高经济效益.美国经济学家R。
M。
斯诺提出的中性技术模式即斯诺模型属于不变报酬型.当μ=1时，斯诺模型为:根据柯布-道格拉斯生产函数可以得到下列经济参数（设μ＝1):①劳动力边际生产力表示在资产不变时增加单位劳动力所增加的产值.②资产边际生产力表示在劳动力不变时增加单位资产所增加的产值.③劳力对资产的边际代换率表示产值不变时增加单位劳动力所能减少的资产值.④劳动力产出弹性系数，表示劳动力投入的变化引起产值的变化的速率。
⑤资产产出弹性系数,表示资产投入的变化引起产值变化的速率。
国际上一般取α＝0.2~0。
4，β=0.8~0.6.中国根据国家计委测算一般可取α＝0.2～0.3,β＝0.8～0。
7。
（三）斯诺模型美国经济学家R.M。
斯诺提出的中性技术模式即斯诺模型属于不变报酬型。
当μ＝1时，斯诺模型为:Y = A(t）L1 − εKε 或,式中(1-ε)是劳动力产出的弹性系数。
根据弹性系数的经济意义和数学意义，.这里p是产出价格,q是资本价格。
当p＝q时,。
技术(柯布-道格拉斯生产函数)经济学解析
柯布-道格拉斯生产函数
x2
a2 x1a1 x2 y"
a2 x1a1 x2 y a2 y x1a1 x2
x1
二、技术的特征：单调性和凸性
技术的单调性.
X表示一个可以生产Y单位产出的投入向量，X’是与X中 的每种投入至少一样多的投入向量，那么X’也可以生产至少 Y单位的产出。因为如果厂商能够不费成本地处置任何投入， 那么多余的投入就不会产生任何损失。这又被称为所谓自由 处置假设。 例如一定的技术条件下，一单位的A要素和一单位的B要 素可以的到一单位的产出，现在两单位的A要素和一单位的B 要素至少可以得到一单位的产出，因为可以把一单位的A要素 不费任何成本的处置，只剩下一单位的A和一单位的B,确保可 以得到一单位的产出。
' 1
' 2
x
'' 2
'' B( x1'' , x2 )
y f ( x1 , x2 )
x1
x
' 1
x
'' 1
柯布道格拉斯的生产函数的凸性 对
a b f ( x1, x 2 ) Ax1 x2
进行微分
df
f f a 1 b a b 1 dx1 dx2 ( Aax x ) dx ( Abx x2 )dx2 1 2 1 1 x1 x2
①
f (tx1 , kx2 ,, kxn ) tf ( x1 , x2 ,, xn ), (t 1)
y = f(x)
规模报酬不变
产出
2y’
y’
x’
2x’
投入
②
产出
f (tx1 , kx2 ,, kxn ) tf ( x1, x2 ,, xn ), (t 1)
柯布道格拉斯生产函数模型
生产函数模型——经济增长分析柯布—道格拉斯生产函数的基本的形式为：式中Y是工业总产值A(t)是综合技术水平L是投入的劳动力数（万人/人）K是投入的资本，一般指固定资产净值（亿元/万元，但必须与劳动力数的单位相对应，劳动力：万人，固定资产净值：亿元）α是劳动力产出的弹性系数β是资本产出的弹性系数μ表示随机干扰的影响，μ≤1从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数L、固定资产K 和综合技术水平A(t)（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。
根据α 和β的组合情况，它有三种类型：①α+β>1，递增报酬型，表明按现有技术水平扩大生产规模的来增加产出是有利的。
②α+β<1，递减报酬型，表明按现有技术水平扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。
③α+β=1，不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。
美国经济学家R.M.斯诺提出的中性技术模式即斯诺模型属于不变报酬型。
当μ=1时，斯诺模型为：根据柯布-道格拉斯生产函数可以得到下列经济参数（设μ＝1）：①劳动力边际生产力表示在资产不变时增加单位劳动力所增加的产值。
②资产边际生产力表示在劳动力不变时增加单位资产所增加的产值。
③劳力对资产的边际代换率表示产值不变时增加单位劳动力所能减少的资产值。
④劳动力产出弹性系数，表示劳动力投入的变化引起产值的变化的速率。
⑤资产产出弹性系数,表示资产投入的变化引起产值变化的速率。
国际上一般取α＝0.2～0.4,β=0.8～0.6。
中国根据国家计委测算一般可取α＝0.2～0.3,β＝0.8～0.7。
（三）斯诺模型美国经济学家R.M.斯诺提出的中性技术模式即斯诺模型属于不变报酬型。
当μ＝1时，斯诺模型为：Y = A(t)L1 − εKε 或，式中(1-ε)是劳动力产出的弹性系数。
根据弹性系数的经济意义和数学意义,。
这里p是产出价格,q是资本价格。
柯布—道格拉斯生产函数的一般形式
到1/3。
1
K=2/3
L=1
K=1/3
Q2=90
L=1 L=1
Q1=75
0
1
2
3
4
5
每月投入劳动
MRTS递减规律
在产量或其它条件不变的情况下，如果不断增 加一种要素以替代另一生产要素，则一单位该 生产要素所能替代的另一种生产要素的数量将 不断减少。
MRTS递减性质的经济含义是：
当大量使用劳动来替代资本时，劳动的生产率会 下降；
边际产出 － 10 20 30 20 15 13 4 0 -4 -8
TP、MP和AP
L1
L2 L3
边际产量递减规律
边际产量（边际投入的报酬）
当包括技术在内的其它投入固定不变时，一种投入数 量增加最终会达到一个临界点，在它以后产出水平会 因为这一投入的增加而减少。
边际产量先递增、后递减 一般来讲，如果前提条件改变，将推迟边际产量递减
等产量线的斜率（绝对值）：在固定产出不变 的前提下，一种投入品替代另一种投入品的替 代比率。即MRTS。
边际技术替代率
MRTS LK
K L
MPL MPK
L对Kห้องสมุดไป่ตู้MRTS是其 边际产量的比率
Q f (L, K)
dQ Q dL Q dK L K
Q dQ 0;
Q dL dK 0 L K
大量使用资本来替代劳动时，资本的生产率会下 降；
A代表技术水平，K，L分别代表资本和劳动， α 和 β 分别表示劳动和资本在生产过程中的作用。
短期和长期
长期：所有投入都是可变的
Q=f（K，L）
短期：至少有一种投入是不可变的， 假设资本不变，则：
柯布-道格拉斯生产函数
柯布-道格拉斯生产函数柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。
用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。
是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。
柯布-道格拉斯生产函数-简介保罗·道格拉斯柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。
他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。
在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。
这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。
同时，他们还排除了对土地的投资。
这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。
因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。
而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。
但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。
因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。
比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。
经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。
令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式：P=1.01L3/4C1/4柯布（C.W.Cobb）这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。
柯布道格拉斯生产函数
柯布道格拉斯生产函数柯布道格拉斯生产函数前言在社会经济的发展中，生产力的提高是推动经济持续增长的重要因素之一。
生产函数是研究生产力的核心工具，柯布道格拉斯生产函数是其中的经典代表之一。
下面将对柯布道格拉斯生产函数进行详细介绍。
一、生产函数的概念生产函数是研究生产关系的基本方法，它描述了技术、资本和劳动等生产要素之间的数量关系，即输入到输出的转化关系。
生产函数通常以数学公式的形式表达，可以表示为：Y = F(K, L)其中，Y表示产出，K表示资本，L表示劳动，F代表生产函数。
生产函数需要满足以下性质：1.生产函数是单调递增的，即当资本和劳动数量增加时，产出也会增加。
2.生产函数的边际收益递减，即当某一要素的投入增加时，对应的产出增加量会逐渐减少。
3.生产函数的二阶导数是负数，即边际产出弹性递减。
二、柯布道格拉斯生产函数的基本形式柯布道格拉斯生产函数是一种以“常比例”为特征的生产函数，它的基本形式为：Y = AK^α L^β其中，Y、K、L、A分别表示产出、资本、劳动、全要素生产率；α、β为弹性系数，常数A反映了技术水平和生产组织的效率。
三、柯布道格拉斯生产函数的特点1. 规模报酬递增当资本和劳动的增加引起产出增加的比率超过资本和劳动增加的比率时，称之为规模报酬递增。
对于柯布道格拉斯生产函数来说，如果α+β>1，则在所有的生产要素数量翻倍的情况下，产品输出将以更快的比率增长。
2. 规模报酬递减当资本和劳动的增加引起产出增加的比率低于资本和劳动增加的比率时，称之为规模报酬递减。
对于柯布道格拉斯生产函数来说，如果α+β<1，则在所有的生产要素数量翻倍的情况下，产品输出将以更慢的比率增长。
3. 规模报酬不变当资本和劳动的增加引起产出增加的比率等于资本和劳动增加的比率时，称之为规模报酬不变。
对于柯布道格拉斯生产函数来说，如果α+β=1，则在所有的生产要素数量翻倍的情况下，产品输出将按照同样的比率增长。