《核反应堆物理分析》公式整理

第 1 章—核反应堆物理分析
中子按能量分为三类: 快中子(E﹥0.1 MeV),中能中子(1eV﹤E﹤0.1 MeV),热中子(E﹤ 1eV).
共振弹性散射
A Z
X
+ 01n
→
[A+1ZX] *
→
AZX + 01n
势散射
AZX + 01n → AZX + 01n
辐射俘获是最常见的吸收反应.反应式为
AZX + 01n → [A+1ZX]* → A+1ZX + γ
核反应率定义为 中子通量密度
R = nvΣ ϕ = nv
单位是 中子∕m3⋅s
总的中子通量密度Φ
∞
∞
Φ = ∫0 n(E)v(E)dE = ∫0 ϕ (E)dE
平均宏观截面或平均截面为
∫ Σ = R =
Σ(E)ϕ (E)dE
∆E
Φ
∫ ϕ(E)dE ∆E
辐射俘获截面和裂变截面之比称为俘获--裂变之比用α表示
,t
)
−
Σ
aϕ
(r
,t
)
设中子通量密度不随时间变化，得稳态单能中子扩散方程 D∇2ϕ(r ) − Σ aϕ(r ) + S (r ) = 0
∫ ts
=
−
Eth E0
λs (E) ξv
dE E
=
2
λs
⎡ ⎢
ξ ⎢⎣
1− Eth
1⎤ ⎥
E0 ⎥⎦
热中子平均寿命为 质）
td (E)
=
λa (E) v
=
1 Σa ( E)v
=
1 Σa0 v0
（吸收截面满足
1/v
律的介
中子的平均寿命
l = ts + td
慢化密度
∞
0
q(r , E) = ∫E dE′∫E Σs (r , E′) f (E′ → E)ϕ (r , E′)dE
慢化剂的慢化能力 慢化比 由 E0 慢化到 Eth 所需的慢化时间 tS
ξ
=1+ α 1− α
lnα
= 1−
( A −1)2 2A
ln
⎛ ⎜⎝
A + 1⎞ A− 1⎟⎠
ξ
≈
2 A+
2
3
∫1 π
µ0 = 2 0
A cosθc + 1 A2 + 2A cosθc
sin θc dθc +1
=
2 3A
ξΣs ξΣs /Σa
α = σγ σf
有效裂变中子数
η = νσ f = νσ f
ν =
σa σ f +σγ 1+α
有效增殖因数
系统内中子的产生率 keff = 系统内中子的总消失（吸收 + 泄漏）率
四因子公式
k ef f
=
nε pf ηΛs Λd n
= k∞Λ
k∞ = ε pf η
中子的不泄露概率
系统内中子的吸收率 Λ = 系统内中子的吸收率 + 系统内中子的泄露率
NA ξΣs
⎤ Ii ⎥
⎦
∑ ∫ I = Ii = ∆E σa (E)ϕ(E)dE i
N (E)
=
2π
(π
kT
)3/2
n
e− E /kTn
E1/2
中子温度
Tn
=
TM
(1+
C
Σa (kTM ξΣS
))
核反应率守恒原则，热中子平均截面为
∫ ∫ Ec σ ( E) N( E)vdE Ec σ (E)N (E) EdE
E)
=
exp(−
E0
ξΣs E′
S0
E
Σa ( E)
dE′ )
ξΣs E′
第 j 个共振峰的有效共振积分
∫ I j ≡ σγ , A (E) φ* (E)dE Ej
逃脱共振俘获概率 pi 等于
整个共振区的有效共振积分 热中子能谱具有麦克斯韦谱的分布形式
pi
= 1−
NAIi ξΣs
=
exp
⎡ ⎢ ⎣
−
在 C 系内碰撞后中子散射角在θc 附近 dθc 内的概率:
dθ 对应圆环面积 2π (r sinθ )rd θ sinθ dθ
f (θc )dθc =
球面积
=
4π r 2
= 2
能量均布定律
f (E → E′)dE′ = − dE′ (1−α )E
平均对数能降 当 A>10 时可采用以下近似
L 系内的平均散射角余弦 µ0
gradφ
=−
λs 3
∇φ
中子数守恒（中子数平衡）
d dt
∫V
n(r,
t)dV
=
产生率(S)
−
泄漏率(L)
− 吸收率 ( A)
中子连续方程
∂n(r, ∂t
t)
=
S
(r
,t)−
Σ aϕ
(r
,t)−
divJ
(r,
t)
如果斐克定律成立，得单能中子扩散方程
1 v
∂ϕ (r, t ) ∂t
=
S(r,t
)
+
D∇2ϕ (r
∫ ∫ ∫ q(r, E) =
E
a dE′
E
Σs(r, E′)ϕ (r, E′)dE =
E
α E′
(1−α )E′
E α
E
Σs
(r,
E′)ϕ
(r,
E′)
E −α E′ (1−α )E′
dE′
E
∫ 稳态无限介质内的中子慢化方程为 Σt (E)ϕ (E) = ∞ Σs (E′)ϕ (E′) f (E′ → E )dE ′+ S (E )
235U 裂变反应的反应式
23592U + 01n → [23692U]* → A1Z1X + A2Z2X +ν01n
微观截面
ΔI=-σINΔx
σ = −∆I = −∆I / I IN ∆x N ∆x
宏观截面
Σ= σN
单位体积内的原子核数
N = N0ρ A
中子穿过 x 长的路程未发生核反应，而在 x 和 x+dx 之间发生首次核反应的概率 P(x)dx= e-ΣxΣdx
菲克定律
�� J = −D∇φ
D = λs 3
λtr
= λs 1− µ0
µ0
=
2 3A
J
− z
=
ϕ0 4
+
1 6Σs
∂ϕ (
∂z
)0
J
＋ z
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ϕ0 4
－1 6Σs
∂ϕ (
∂z
)0
Jz
=
J
+ z
−
J
− z
=
1 −
3Σs
∂φ ( ∂z
)0
�� J
=
��� Jxi + J y j + Jz k
=−
λs 3
无吸收单核素无限介质情况
∫ Σt (E)ϕ(E) =
E α
Σ
s
(
E′)ϕ(
E′)
dE
′
E (1 −α) E′
无限介质弱吸收情况
dE 内被吸收的中子数
dq = q(E) − q(E − dE) = Σaϕ(E)dE
∫ ∫ q(E) =
S0 exp(−
E0 E
Σa
dE ′ )
逃脱共振俘获概率
p(E)
=
q(
σ= 0
=0
∫Ec N (E)vdE 0
∫Ec N (E) EdE 0
若吸收截面s a 服从“1/v”律
σ a( E) E = σ a(0.0253) 0.0253
若吸收截面不服从“1/v”变化，须引入一个修正因子 gn
σa
=
σ a(0.0253) 1.128
293 Tn gn
第 3 章-中子扩散理论
热中子利用系数
燃料吸收的热中子 f = 被吸收的热中子总数
第 2 章-中子慢化和慢化能谱
α
=
⎛ ⎜⎝
A
−
1
2
⎞
A +1 ⎟⎠
在 L 系中，散射中子能量分布函数
能量分布函数与散射角分布函数一一对应
E'
=
1 2
[ (1 + α
)
+
(1−α
) cosθ c ]
E
f (E → E ')dE ' = f (θc )dθc