高等量子力学习题.

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高等量子力学-习题及答案 ch02

第二章量子力学测量问题一、从不同角度，量子测量有不同分类，常见的分类有哪些。

(1)一般测量、投影测量和POVM；(2)直接测量和间接测量；(3)完全测量与不完全测量。

二、理想测量的三个基本要求是什么。

(1)当t=0，即探测体和被测系统相互作用之前，探测体制备在量子态ρp，同时量子客体制备在ρ0态。

(2)使用仪器测量之前，量子客体和探测体在t=0时开始相互作用，在t=τ>0时结束作用。

(3)此方法的第三步是，一个经典仪器及在探测体上的测量可以用冯·诺依曼投影假设的理想测量描述。

三、什么叫标准量子极限，标准量子极限可以逾越吗？其中，叫作标准量子极限。

标准量子极限可以逾越吗?答案是肯定的。

在得到这个极限时用了不确定关系，但是二者是不相同的。

标准量子极限的具体数值依赖于量子态，与如何测量有关，而不确定关系是底线。

那么，在遵守不确定性原理的前提下如何使测量精度超越标准量子极限呢?目前有两种思路：一种是以牺牲共轭量一方为代价，去求得另一方的超精度测量，这即是压缩态的思想；另一种就是量子非破坏性测量(QuantumNon-DemolitionMeasurement，QND测量)。

四、什么是量子Zeno效应，在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统，请简单描述。

量子Zeno效应是纯量子测量效应。

理论和实验都已经表明，频繁的测量能阻止不稳定量子系统的衰变或跃迁。

极端而言，连续进行的量子测量将使不稳定的量子系统稳定地保持在其初态上，这种不稳定初态的存活概率在连续测量下将成为百分之百，这就是量子Zeno 效应。

这种在古代哲学中提到的“飞矢不动”的佯谬，在量子系统中真的可以实现。

在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统。

其一，它可以影响被测量的可观测值的期望值的演化。

这被称为“动力学反作用”，这种影响是可以预测的。

其二，测量设备以随机的方式扰动这个可观测量，增加它们的不确定性，从而造成对期.望值的随机偏离。

高等量子力学习题

高等量子力学习题班级成绩Chapter 7 晶体中电子在电场和磁场中的运动学号（the movement of crystal electron in electric姓名field and magnetic field）一、简要回答下列问题（answer the following questions）：1、何谓准自由电子？2、晶体中电子的速度是怎样描述的？证明对于能带中的电子，k 状态和－k状态的电子速度相等，方向相反。

3、何谓准动量？加速度和有效质量是怎样定义的？4、有效质量是否为电子的真实质量？引入有效质量的目的是什么？5、半导体和绝缘体的能带有何异同？6、当有电场后，满带中的电子能永远漂移下去吗？加电场后，空穴向什么方向漂移？二、解释下列物理概念（explain the following physics concepts）1、波包2、回旋共振和德?哈斯－范?阿尔芬效应3、金属与半金属三、已知一维晶格中电子的能带可写成 )2cos 81cos 87()(22ka ka ma k E +-=式中a 是晶格常数，m 是电子的质量，求1、能带宽度；2、电子的平均速度；3、在带顶和带底的电子的有效质量。

四、已知某简立方晶体的晶格常数为a ，其价电子的能带为B a k a k a k A E z y x +=)cos()cos()cos(1、已测得带顶电子的有效质量为22*2a m -= ，试求参数A ；2、求出能带宽度；3、求出布里渊区中心点附近电子的状态密度。

五、设电子等能面为椭球 222222312123()222k k k E k m m m =++外加磁场B 相对于椭球主轴方向余弦为,,αβγ，1、写出电子的准经典运动方程，2、求电子绕磁场的回转频率。

六、简述能带论的局限性。

高等量子力学练习题及答案解析

练习28.1 证明: ()[]()t G t G -=-++00证明: 根据公式(28.4)()()()00H t t ie t t it t G '--±'±='-θ可知()()00tH ie t it G-+-=θ()()()00H t i e t i t G ---+=-θ则()[]()()000tH i tH i e t ie t i t G θθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-++()()()t G e t i H t i-==---00θ #28.2证明下列二式成立：()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't t VG ''t t G 't t G 't t G 00()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't ''t VG ''t t G 't t G 't t G 00证明：因为：()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i00又因为：()()()()E VG E G E G E G 00±±±±+=即有()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G dE e E VG E G 21't t G dE e E VG E G 21dE e E G 21dE e E VG E G E G 21dE e E G 21't t G '00't t E i00't t E i 0't t E i 0't t E i00't t E i00--+-=π+-=π+π=+π=π=-±∞+∞-±±∞+∞---±±±∞+∞---±±∞+∞---±∞+∞---±±±∞+∞---±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为()()()()()()()E VG E G E G E VG E G E G E G 0000±±±±±±±+=+=同理可证得()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '00--+-=-±+∞∞-±±±⎰综上所述()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G ''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '0'00--+-=---+-=-±∞+∞-±±±±+∞∞-±±±⎰⎰两式成立。

（完整版）高等量子力学习题汇总

（完整版）⾼等量⼦⼒学习题汇总第⼀章1、简述量⼦⼒学基本原理。

答：QM 原理⼀描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的⽮量,只相差⼀个复数因⼦的两个⽮量，描写挺⼀个物理状态。

QM 原理⼆ 1、描写围观体系物理量的是Hillbert空间内的厄⽶算符(A)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、⼀个任意态总可以⽤算符A ?的本征态ia 展开如下：ψψi i i iia C a C==∑；⽽物理量A 在ψ中出现的⼏率与2i C 成正⽐。

原理三⼀个微观粒⼦在直⾓坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[]ij j i i p x δη=?,? 原理四在薛定谔图景中，微观体系态⽮量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔⽅程给()()t H t ti ψψ?=??η在海森堡图景中，⼀个厄⽶算符()()t A H ?的运动规律由海森堡⽅程给出：()()()[]H A i t A dt d H H ?,?1?η= 原理五⼀个包含多个全同粒⼦的体系，在Hillbert 空间中的态⽮对于任何⼀对粒⼦的交换是对称的或反对称的。

服从前者的粒⼦称为玻⾊⼦，服从后者的粒⼦称为费⽶⼦。

2、薛定谔图景的概念？答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态⽮随时间⽽变⽽x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来⾃()t ψ⽽x 来⾃x ，这叫做薛定谔图景.3、已知.10,01= =βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=±>=±x S 4、已知：P 为极化⽮量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求证：答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2) P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 12+y 12-x 22-y 22 P 2=P x 2+P y 2+P z 2=4(x 1x 2+y 1y 2)2+4(x 1y 2-x 2y 1)2+(x 12+y 12-x 22-y 22)2=4(x 12x 22+y 12y 22+x 12y 22+x 22y 12)+(x 14-2x 12x 22-2x 12y 22-2x 22y 12-2y 12y 22-2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x14+2x 12x 22+2x 12y 22+2x 22y 12+2y 12y 22+2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 12+y 12+x 22+y 22)2 =(|C 1|2+|C 2|2)2 5、6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量A ∧和B ∧成⽴不等式：（1）先证明⼀个引理----schwarz 不等式：对于两个态⽮|α?和|β?，必有：（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个⽮量a,b ，必有：（3）对任意复常数λ，我们有：（4）取||βαλββ??=-，代⼊上式可得（2）.现在证明（1）式：取（5）这⾥⽤态|?来强调对任何ket ⽮量都适⽤，于是（2）式给出：（6）因：（7）其中对易⼦,,A B A B ∧∧∧∧=???是⼀个反厄⽶算符，它的平⽅值恒为纯虚数，⽽反对易⼦},A B ∧∧是厄⽶算符，它的平⽅值恒为实数，于是：的模的平⽅等于。

高等量子力学试题库

高等量子力学试题库一、简述题1. (§1.4)试以一维线性谐振子基函数所构成的空间为例，说明一般矢量空间的维数与位形空间维数的区别 2. (§2.4)试述幺正算符的性质 3. (§3.2)试述本征子空间的概念 4. (§3.3)试述厄米算符完备组的概念和建立厄米算符完备组的必要性 5. (§6.2)试述量子力学的基本原理 6. (§11)试述相互作用绘景与薛定谔绘景、海森伯绘景的区别和联系7. (§17.2)设氢原子的定态狄拉克方程为 ψψβαE r e mc P c =-+⋅)ˆ(212 ，为求氢原子哈密顿算符Hˆ 确切的本征矢量，试确定包含Hˆ在内的厄米算符完备组 8. (§19)若系统的哈密顿具有下列对称性（1）空间反演（2）空间平移（3）空间转动（4）SO(4)（5）时间平移，试分别给出这些对称性所带来的守恒量9. (§21.2)对于 Fermi 子，试讨论由时间反演引起的简并。

（提示：参阅曾书335页） 10. (§23)试述角动量耦合与3j ，6j 和9j 符号之间的关系11. (§23.7)对具有两个价电子的原子，设两电子的轨道和自旋角动量分别为21,L L 和21,S S，试在希尔伯特空间中给出两组可能的耦合基矢 12. (§34.4)试给出位置表象中的Hartree-Fock 方程并叙述其物理意义二、证明题1. (§1.1)利用矢量空间的加法运算法则证明零矢量是唯一的2. (§1.1)利用矢量空间的数乘运算法则证明：若0=a ψ，则0=a 或0=ψ3. (§1.2)对于任意ψ和ϕ，试证：ϕψϕψ+≤+4. (§1.5)试证明：若三个右矢ψ、ϕ和χ满足χϕψ=+，则有χϕψ=+5. (§2.3)证明定理：在复矢量空间中，若算符A 对其定义域中的任意ψ满足0=ψψA ，则必有0=A6. (§2.4)证明定理：算符H 为厄米算符的充要条件是对其定义域中的所有矢量ψ满足=ψψH 实数7. (§2.4)证明：若I U U =+，则对任意ψ和ϕ，U 满足ϕψϕψ=U U ，进而证明，幺正变换不改变矢量的模8. (§2.4)设U 是幺正算符，试证明：在矢量空间中，若{}iν是一组基矢，则{iU ν也是一组基矢9. (§2.5)证明投影算符是厄米算符，并由全空间的投影算符证明基矢的完全性关系 10. (§3.1)证明：复空间中厄米算符的本征值都是实数11. (§3.1)证明：厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量互相正交12. (§3.1)证明：若B A ,两算符相似，则二者有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度 13. (§6.6)设i a 是算符A 属于本征值i a 的本征函数，即满足i i i a a a A =，且定义物理量在状态ψ中的平均值为ψψA A =。

高等量子力学30节练习

a b a b a b a b 0 a b a† b a† b a b b b
(31.4) (31.6)
N b a† b a† b N b a† b a b a† b a† b a† b a b
2 3
3 1 3
1 类似可证： 112 112 , 111 111 1 3 (2)对于费米子系统 1 p 123 132 1 P 1 1 1 1 2 2 3 2 3 3 2 3 3! p 1 1 1 1 1 2 2 3 2 3 3 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 3 1 2 2 2 2 3 3 1 3 3! 1 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 2 3 1 1 2 1 2 2 1 2 3 3 3 3 1 1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3
(31.6)
a† b a† b a b a† b b b a† b a† b a b
(31.2)
a † b a † b a b b b a † b a † b a b
1 6
1 6
1 1 类似可证： 12 12 , 123 123 2 6
† 练习31.6 证明 N b 同 a b及 a b 的对易关系为(31.10)式 PF:已知 a† b a† b a† b a† b 0 (31.2)
d b d x d x x b b x † x x
1†
PF: N d bN b d ba b a b (31.21)
† x x d x a † b a b d b N N b †

高等量子力学-习题及答案 ch01

第一章量子力学基本概念和一般理论
一、量子态矢量的定义是什么。

描述微观粒子状态的态矢量ψ等符号代表一个复矢量，而y+是y的厄密共轭矢量或称“对偶矢量"。

用狄拉克符号记为|ψ>，表示波函数ψ的右矢；<ψ|表示左矢。

右矢和左矢是互相独立的，但存在如下关系：。

二、请简述线性算符的运算规则和性质。

(6)若由方程能够唯一地解出|ψ>，则可定义算符A的逆算符
，于是A'满足
(7)若，则U称为幺正算符。

(8)，表示算符A的函数。

三、幺正变换的基本性质有哪些。

幺正变换具有许多非常有意义的性质。

(1)幺正变换下两个态矢量的内积不变。

(2)幺正变换下算符方程的形式不变。

(3)幺正变换下力学量算符对应的平均值保持不变。

(4)幺正变换下算符的行列式不变。

(5)幺正变换下算符的本征值谱不变。

(6)幺正变换下算符的迹不变。

(7)利用上述性质(6)可以给出指数算符函数的一一个有用公式。

(8)可以证明，若算符R是厄米算符，即R=R+，则由它所生成的算符
四、时间演化算符U(t，t0)的基本性质有哪些。

1.初始条件
2.幺正性
3.因子化特性
4.时间反演特性
5.薛定谔绘景中的动力学方程
五、矢量空间中的如下运算规则有哪些。

六、什么叫密度矩阵？
如果采用一个具体表象，例如，F表象(分立情形，)，则与量子态|ψ>相应的密度算符可表示成如下矩阵形式，称为密度矩阵。

七、请列举混合态密度算符的性质。

高等量子力学练习3-5,4-4,4-5

① 是B对应不同本征值 b j 的本征矢对应不同本征值
( A − ai ) jiα
⇒ 它们线性无关，关于正交它们线性无关，关于j正交则 ∑ ( A − a ) jiα ≠ 0 同（）矛盾，矛盾，
j j
这种情况不可取
⇒ ( A − ai ) jiα = 0
A jiα = ai jiα
符合（ ② =0符合（）符合
0 2 − 2 2 2
显然可验证: 显然可验证
M −1 = M †
(5)
0 2 0 0 −1 −1 M AM = 8 2 , M BM = −2 12 0 0
det S = ∏ S nn =∏ e
n
=e
i
∑ Hn
n
= exp ( i tr H )
附：
Hψ Sψ
( n)
= Hn ψ =e
iH
(n)
(n)
ψ
(n)
1 m m (n) =∑ i H ψ m m!
1 m m (n) iH n ( n) = ∑ i Hn ψ =e ψ m m!
矩阵的行列式和迹均与表象的选择无关，故上式适用于任何表象。矩阵的行列式和迹均与表象的选择无关，故上式适用于任何表象。算符的表象变换是一种相似变换。二矩阵相似，注：算符的表象变换是一种相似变换。若A、B二矩阵相似，二矩阵相似
非简并
） :对n=4维空间例:对n=4维空间
z
非简并
{ iα }
{
jβ
o x z
y
（简并）本征子空间(xoy) 简并）本征子空间
}
非简并
o x
y
非简并

高等量子力学习题1

k ijk j i S i S S ε=],[2322212S SS S ++=>>=+0|)(!1|n b n n ⎰=++-x x x x e e d ****2φφφφπφ高等量子力学第一章习题：1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。

在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符：试证明它们满足如下对易和反对易关系： ij j i S S δ2},{2=+ 并求出两个态矢量 |+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表达式2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为：H ＝a|1><1| + b|2><2| + c|1><2| + d|2><1|其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。

问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。

3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式<x|n>。

4、设某系统的哈密顿算符为: H(t)=a 1(t)J ++a 2(t) J 0+a 3(t) J －其中a i (t),i=1 , 2 , 3为任意时间t 的函数，J + , J 0 , J －为SU(1,1)群的生成元，其满足下述对易关系: [J + , J －]=－2 J 0 , [J 0 , J ±]=±J ±试证明该系统的时间演化算符可表示为:U(t,0)=exp[C 1(t)J +]exp[C 2(t)J 0]exp[C 3(t)J －] , 并导出确定C i (t)的方程.。

高等量子力学习题

吉林大学物理学院理论物理中心高等量子力学习题† 量子力学中的对称性1、试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。

这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ−Q 。

进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

2、令坐标系xyz O −绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R zeG 的矩阵表示。

3、设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n G转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψG =。

试导出转动算符),(θd n U G的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U G下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。

4、设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。

5、证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。

6、试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。

7、试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π=−=。

8、试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。

† 角动量理论1、角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。

2、试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。

3、定义角动量升降算符yx J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。

4、给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。

5、设总角动量算符21J J J G G G +=，1J G 、2J G相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。

高等量子力学习题和答案

高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。

这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。

进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

解：设有线性变换Qˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。

在变换 ˆ(,)'(,)(,)r t r t Qr t ψ→ψ=ψ 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ˆ''ˆt ti Hi H ∂ψ=ψ∂ψ=ψ进而有11[,]0t t i Q HQ i Q HQ Q HQ H H Q --∂ψ=ψ⇒∂ψ=ψ⇒=⇒=2、令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。

解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zθθθθθ-=+=-+=考虑坐标系绕轴转角'1''x x yd d y xd y z z θθθ=+⎧⎪<<⇒=-+⎨⎪=⎩若用矩阵表示 '10'10'001x d x y d y z z θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭还可表示为 '()z e r R d r θ=10()10001z e d R d d θθθ⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭3、设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。

试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。

解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符()z e U d θ利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψ 可得 ()1z e z iU d d L θθ=-通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符()lim(1)z z i L n e z n i U L e nθθθ-→∞=-=绕任意轴n 转θ角的转动算符为()in Ln U eθθ-⋅=1U U U -+=⇒ 为幺正算符若(')()()z e r U d r θψ=ψ则必有1(')()()()()[,]z z e e z H r U d H r U d iH r d H L θθθ-==+若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒4、设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。

高等量子力学习题

高等量子力学习题1．分别取动量算符和初坐标算符为力学量完全集，求解一维自由粒子的薛定谔方程。

2．对于一维谐振子体系，在相干态中，计算坐标、动量、能量等物理量的平均值及其涨落。

3．均匀磁场i B B=中，有一定域电子，其哈密顿量为 x x eB H σωσμˆˆ2ˆ == 设0=t 时，电子自旋2=z S ，求t 时刻电子自旋S ˆ 的平均值。

4．电荷为q 的自由谐振子，置于均匀电场ε中，其哈密顿量为x q x m p m H εω-+=22221ˆ21ˆ 试确定该体系的能级。

5．不考虑自旋，取Landau 规范，带电粒子在垂直于均匀磁场k B B =的平面内运动的哈密顿量为 ()[]22ˆˆ21ˆqBx p p H y x -+=μ若取力学量完全集{}yp H ˆ,ˆ，则它们的共同本征函数可写为 ()()y p i y ex y x φ=ψ,试确定该体系的能级。

6．证明：在角动量z L ˆ的本征态下，角动量x L ˆ和yL ˆ的平均值均为0。

7．设量子体系的束缚态能级和归一化能量本征矢分别为n E 和n ，设λ为哈密顿量Hˆ含有的一个参数。

试证明 n H n E n λλ∂∂=∂∂ˆ 8．讨论一维无限深势阱()L x ≤≤0中电子气体的性质。

9．讨论边长为L 的二维盒子中电子气体的性质。

10．讨论边长为L 的三维盒子中电子气体的性质。

11．设力学量Aˆ满足最简单的代数方程 ()0ˆˆˆ2=++=βαA A Af βα,为常数。

试证明A ˆ有两个本征值，它们都是方程()0=x f 的根。

12．以a a ,+表示费米子体系的某个单粒子的产生和消灭算符，它们满足关系()0,0,122===++++a a a a aa 。

以a a n +=ˆ表示该单粒子态上的粒子数算符。

（1）求nˆ的本征值；（2）计算[][]a n a n,ˆ,,ˆ+。

13．试说明自由粒子量子力学的平面波解（箱归一化） ()()∞→<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-L L x L e L t x t m p px i p ,,21,22 φ的经典极限不描述单粒子、而描述系综。

高中量子力学试题及答案

高中量子力学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的基本原理之一是波粒二象性，以下哪个现象不是波粒二象性的体现？A. 光的干涉现象B. 光电效应C. 电子的衍射现象D. 牛顿运动定律2. 根据量子力学，一个粒子的位置和动量不能同时被准确测量，这是由以下哪个原理所描述的？A. 能量守恒原理B. 泡利不相容原理C. 测不准原理D. 相对性原理3. 量子力学中的波函数是用来描述什么？A. 粒子的电荷B. 粒子的动量C. 粒子在空间中的概率分布D. 粒子的质量4. 量子力学中，一个系统的状态可以用一个什么来描述？A. 波函数B. 动量C. 位置D. 能量5. 以下哪个是量子力学中的一个基本假设？A. 所有物体都遵循牛顿运动定律B. 粒子在没有观察时不具有确定的位置C. 所有物体都具有确定的动量和位置D. 能量守恒定律不适用于微观粒子6. 量子力学中的薛定谔方程是用来描述什么的？A. 粒子的动量B. 粒子的位置C. 粒子的波函数随时间的变化D. 粒子的总能量7. 量子力学中的量子态叠加原理指的是什么？A. 粒子的动量和位置可以同时被准确测量B. 粒子可以同时处于多个状态的叠加C. 粒子的状态只能由一个确定的波函数描述D. 粒子的状态不能被准确预测8. 量子纠缠是量子力学中的一个现象，它描述了什么？A. 两个粒子之间的相互作用B. 两个粒子之间的空间关系C. 两个或多个粒子的量子态不能独立于彼此存在D. 两个粒子之间的动量守恒9. 量子力学中的泡利不相容原理指的是什么？A. 两个相同的费米子不能处于同一个量子态B. 两个相同的玻色子不能处于同一个量子态C. 两个不同的费米子可以处于同一个量子态D. 两个不同的玻色子不能处于同一个量子态10. 以下哪个实验支持了量子力学的波粒二象性？A. 双缝实验B. 光电效应实验C. 迈克尔逊-莫雷实验D. 万有引力实验二、简答题（每题5分，共30分）1. 请简述量子力学与经典力学的主要区别。

高等量子力学考试题

1.一个包含两个质量和频率都相同的线性谐振子系统，它们之间存在相互作用，其哈密顿算符为：121222222ˆˆˆ()()1ˆ()...(1,2)22i i i H H x H x x x H x m x i m x λω=++∂=-+=∂ (1) 试证明该系统可以表述为两个非耦合谐振子系统(2) 求出该系统的能量2.由李普曼-许温格方程01V E H i ϕε±±ψ=+ψ-± 试计算下列关系式： (1)b a ++ψψ(2) b a -+ψψ3.已知混沌场密度算符1H k T B Z e ρ--=，其中H k T B Z Tre -=，系统的哈密顿量1ˆ()2H a a ω+=+，求此混沌场系统中ˆN a a +=和2ˆN 平均值。

4.设两种系统的哈密顿能量分别为：221ˆˆˆˆˆ()()2H b b b b ωα++=+++和ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(1)()Ha ab b ab a b ωα++++=++++，其中ˆˆa b 、和++ˆˆa b 、为玻色子算符，求两种系统的元激发谱。

5.已知位移算符*ˆˆˆ()exp()Db b ααα+=-，α为非零复数，ˆb +是声子产生算符，ˆb 是声子消灭算符。

(1) 试计算关系式4()()?D b D αα+= (2) 将位移算符作用于声子真空态得到相干态()0D αα=，试证明相干态α就是ˆb的本征态，对应的本征值为α。

(3) 计算相干态在坐标表象中的结果：?x α=(4) 试证等式*()b αααααα+∂=+∂和*()b αααααα∂=+∂ (5) 试判断声子产生算符ˆb +是否存在本征态，并证明你的判断。

高等量子力学练习题及答案解析三

3.1幺正算符也有本征矢量。

证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。

证明：设算符U为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u 为对应的本征值。

即ψψu U =则ψψψψψψψψu u U U U U *+===因0≠ψψ，所以1=*u u 即 1=u即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。

设算符U 为幺正算符的两个本征值为1u 、2u ，对应的矢量分别为1ψ、2ψ，且21u u ≠。

则111ψψu U = 11111ψψu U =- 222ψψu U = 22211ψψu U =- 因为幺正算符1-+=U U则有21212121ψψψψψψu u U U *+==2121211ψψψψu u UU *+== 所以01212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-**ψψu u u u 因为012121≠-**u u u u ，故021=ψψ，即 1ψ和2ψ正交。

即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。

3.2 投影于某一子空间的投影算符P ，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？解：投影于某一子空间的投影算符∑==mi iP 1，设全空间是n 维的，且n m <。

则本征值方程ψλψψ==∑=mi i iP 1⑴其中λ为本征值，ψ为相应的本征态。

则ψλψλψ22==P P ⑵ 由幺正算符等幂性P P =2得ψψP P =2 ⑶ 由⑴、⑵和⑶式得λλ=2，所以1=λ或0=λ。

即求得投影算符的本征值是1或0。

当1=λ时，本征失量是i ，其中m i ,2,1=。

所以是简并的，本征子空间S 是由这m 个基矢构成的矢量空间。

当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。

所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。

#练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。

证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在即ψφφ-==AA 1已知A的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…，∴()ψψφ--==A a AA算符A 存在零本征值，即00=⇒=φa a∴对于任意本征矢量()ψφa A -≠与()ψφ-=A a 矛盾∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。

高等量子力学习题一

1．1证明实直线是一个度量空间。

1．2在实数集合上，能定义一个度量吗？ 2(,)()d x y x y =−1．3证明(,)d x y =在实数集合上定义了一个度量。

1．4证明：12{,,,}n x x x "，其中i i x t =，是空间中的线性无关组。

[,]C a b 1．5证明：在维线性空间中，任一n V φ作为给定基矢量，，"，的线性组合，起表达式是唯一的。

1e 2e n e 1．6证明：同一个域上的两个线性空间和的卡氏积1V 2V 12=×V V V ，按下述方式定义代数运算12121122(,)(,)(,)φφψψφψφψ+=++1212(,)(,)c c c φφφφ=则它成为一个线性空间。

1．7求的基{的对偶基。

3\(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}1．8设123{,,}f f f 的对偶基是，其中123{,,}e e e 1(1,1,1)e =，2(1,1,1)e =−，3(1,1,1)e =−−是的一个基。

求3\1()f x ，2()f x ，3()f x ，其中。

(1,0,0)x =1．9证明内积空间上模数||||(,)φφφ≡满足平行四边形等式222||||||||2(||||||||)φψφψφψ++−=+21．10在内积空间中，若对所有的φ都有等式(,)(,)φεφη=，证明εη=。

1．11证明：任一有限维的内积空间都有一个正交归一基n 1{,,}n εε"。

1．12设()i ε是内积空间中的任一正交归一序列。

证明对任意的I φ，ψ∈I ，有1|(,)(,)|||||||||nk k k φεψεφψ=≤⋅∑1．13设和是希尔伯特空间H 到的线性算符。

若对一切1T 2T H φ∈H 都有12(,)(,)φφφ=T T φ，证明12=T T 。

1．14设T ：是用22[0,1][0,1]L L →()()()x t tx t =T 定义的算符。

高等量子力学习题3.1

n +1 Qn +1,n = Qn,n +1 = 2 n +1 P = − Pn, n +1 = i n +1,n 2
(31)
类似的，x, p也可表示成a, a +
x= ℏ Q= mω ℏ (a + + a) 2mω mωℏ + (a − a ) 2
(32)
p = mωℏ P = i
(27)
利用式（4），可将Q, P表示成a, a +
Q= 1 2 (a + + a ), P = i 2 (a + − a)
(28)
由式（26），易得
Qn = Pn =i n +1 n n +1 + n −1 2 2 n +1 n n +1 − i n −1 2 2
(29) (30)
不等于0的矩阵元为
1
1
[a, a + a ] = a + [a, a ] + [a, a + ]a = [a, a + ]a = a [a + , a + a ] = a + [a + , a ] + [a + , a + ]a = a + [a + , a ] = −a +
（7）（8）
(b)根据定义式（4），可得：
Ha + E ' = ( E '+ℏω )a + E '
（18）（19）（20）
重复这个推理过程，易知 E ' , E '−ℏω , E '−2ℏω , ……

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高等量子力学习题
1、对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是()
()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。

设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e
i p
a a D -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛= ˆexp 。

2、当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。

3、若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。

4、给定算符B A ,，证明[][][]....,,!
21
,++
+=-B A A B A B Be
e A
A
ξξ。

5、给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。

证明Glauber
公式C
A B C B
A B
A e
e e e
e e e
2
12
1
==-+。

6、设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足
122=+B A 和[]0,=B A 。

试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密
算符。

7、已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02
=A ，1=+++AA A A ，A A B +
=。

试证明
B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。

8、对于一维谐振子，求湮灭算符a
ˆ的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。

已知1ˆ-=n n n a 。

9、从谐振子对易关系[
]1,=+
a a 出发，证明a e ae e
a
a
a
a λλλ--=+
+。

10、证明谐振子相干态可以表示为
0*a
a e
ααα-+=。

11、
谐振子的产生和湮灭算符用a 和+
a 表示，经线性变换得+
+=va ua b 和
++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。

试证明：对于算符b 的任
何一个本征态，2
=∆⋅∆p x 。

12、
某量子体系的哈密顿量为，()
223
2
35++++=
a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++
+
a a aa
a a 。

试求该体系的能量本征值。

13、
用+
a
ˆ和a ˆ表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式
[]()
ˆ,0ˆ1ˆˆˆˆˆ,ˆ2
2
===+=++++
+a a
a a a a
a a
，
该单粒子态上的粒子数算符记为a a n ˆˆˆ+=。

求n ˆ的本征值，并计算对易式[][
]?ˆ,ˆ?,ˆ,ˆ==+
a n a n
14、
用+
a
ˆ和a ˆ表示玻色子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式 []1ˆˆˆˆˆ,ˆ=-=++
+
a a
a a a a
，该单粒子态上的粒子数算符记为a a n
ˆˆˆ+
=。

计算对易式[]
()[],...3,2,1?,ˆ,ˆ?,ˆ,ˆ===+k a n a n k
k 。

15、
设有两个独立的谐振子组成一个体系，用+
+
2211ˆ,ˆ,ˆ,ˆa a a a
分别表示两个谐振子的产生和湮灭算符，满足对易关系[][]
1ˆ,ˆ,1ˆ,ˆ2211==+
+a a a a
，用222111ˆˆˆˆˆˆa a n a a n +
+==和表示粒子数算符。

在粒子数表象中，归一化本征态记为2121n n n n ⊗=。

令(
)
+
+
+=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=2121,a a a a a a ()为泡利矩阵σσ,2
1a a J +=。

求：（1）用+
+2211ˆ,ˆ,ˆ,ˆa a a a 表示出?,,,=±J J J J z y x
（2）证明这样定义的算符的全部代数性质；（3）求出z J J ,2
的本征值和共同本征态。

16、
设J 为角动量，在z J J ,2表象中定义矩阵(
)jm e
jm d i j
m m λ
λ-=''，其中λ为实
数。

当2
1
=j 时，求出这个矩阵的具体形式。

17、
在费米子体系中，场算符为()()
∑⋅=i
i i b r k i V
r ˆex p 1
ˆ
ψ
，其中算符i
b ˆ和+i b ˆ满足对易关系[]1ˆˆˆ
ˆˆ,ˆ=+=++
+
+i i i
i i
i b b b b b b 。

单个费米子自由运动时的哈密顿量为
22
222ˆˆ∇-==m
m p H 。

试推导N 个费米子组成的体系在二次量子化后的粒子数表象中的形式？。