2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书:第一章-1-第1讲-集合及其运算

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2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书:第一章-1-第1讲-集

合及其运算

work Information Technology Company.2020YEAR

知识点

最新考纲

集合了解集合、元素的含义及其关系.理解集合的表示法.

了解集合之间的包含、相等关系.理解全集、空集、子集的含义.会求简单集合间的并集、交集.理解补集的含义并会求补集.

命题及其关系、充分条件与必要条件

了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义,及其相互之间的关系.

理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义,能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.

1.集合与元素

(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.

(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N+)Z Q R

表示

关系

文字语言符号语言记法

基本关

子集

集合A的所有元素

都是集合B的元素

x∈A⇒

x∈B

A⊆B或

B⊇A 真子集集合A是集合B的A⊆B,且存在x0∈A B

系子集,且集合B中

至少有一个元素不属

于A

B,x0∉A 或B A 相等

集合A,B的元素完

全相同

A⊆B,

B⊆A

A=B 空集

不含任何元素的集

合.空集是任何集合

A的子集

任意x,x∉∅,∅⊆A ∅

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集图形

语言

符号

语言

A∪B=

{x|x∈A,或x∈B}

A∩B=

{x|x∈A,且x∈B}

∁U A=

{x|x∈U,且x∉A}

(1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;

A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.

(2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;

A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.

(3)补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=∅.

(4)∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B);

∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B).

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()

(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.()

(3){x|x≤1}={t|t≤1}.()

(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()

(5)若A∩B=A∩C,则B=C.()

答案:(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×

[教材衍化]

1.(必修1P12A组T3改编)若集合P={x∈N|x≤ 2 021},a=22,则() A.a∈P B.{a}∈P C.{a}⊆P D.a∉P

解析:选 D.因为a =22不是自然数,而集合P 是不大于 2 021的自然数构成的集合,所以a ∉P .故选D.

2.(必修1P11例9改编)已知U ={α|0°<α<180°},A ={x |x 是锐角},B ={x |x 是钝角},则∁U (A ∪B )=________.

答案:{x |x 是直角}

3.(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为________.

解析:集合A 表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆,集合B 表示直线y =x ,圆x 2

+y 2=1与直线y =x 相交于

两点⎝⎛

⎭⎫22

22,⎝⎛⎭⎫-22,-2

2,则A ∩B 中有两个元素. 答案:2 [易错纠偏]

(1)忽视集合中元素的互异性致误; (2)忽视空集的情况致误; (3)忽视区间端点值致误.

1.已知集合A ={1,3,m },B ={1,m },若B ⊆A ,则m =________.

解析:因为B ⊆A ,所以m =3或m =m ,即m =3或m =0或m =1,根据集合元素的互异性可知,m ≠1,所以m =0或3.

答案:0或3

2.已知集合M ={x |x -2=0},N ={x |ax -1=0},若M ∩N =N ,则实数a 的值是________.

解析:易得M ={2}.因为M ∩N =N ,所以N ⊆M ,所以N =∅或N =M ,所以a =0或a =1

2

. 答案:0或1

2

3.已知集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2<x <4},则A ∩B =________,A ∪B =________,(∁R A )∪B =________.

解析:由已知得A ={x |1<x <3},B ={x |2<x <4},所以A ∩B ={x |2<x <3},A ∪B ={x |1<x <4},

(∁R A )∪B ={x |x ≤1或x >2}.

答案:(2,3) (1,4) (-∞,1]∪(2,+∞)

集合的含义

(1)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={(x ,y )|x ≥y ,x ∈A ,y ∈A }中元素的个

数是( )

A .1

B .3

C .6

D .9

(2)若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =( ) A .92

B .98

C .0

D .0或9

8

(3)设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }=⎩

⎨⎧

⎬⎫0,b a ,b ,则b -a =________.

【解析】 (1)当x =0时,y =0;当x =1时,y =0或y =1;当x =2时,y =0,1,2. 故集合B ={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)}, 即集合B 中有6个元素. (2)当a =0时,显然成立; 当a ≠0时,Δ=(-3)2-8a =0, 即a =98

.

(3)因为{1,a +b ,a }=⎩

⎨⎧

⎬⎫0,b a ,b ,a ≠0,

所以a +b =0,则b

a =-1,

所以a =-1,b =1. 所以b -a =2.

【答案】 (1)C (2)D (3)2

与集合中的元素有关问题的求解步骤

1.(2020·温州八校联考)已知集合M ={1,m +2,m 2+4},且5∈M ,则m 的值为( )

A .1或-1

B .1或3

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