实变函数积分理论部分复习题(附答案版)
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2011级实变函数积分理论复习题
一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）
1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1
()()n
n f x f
x ∞
==∑是[0,1]上的Lebesgue
可积函数。（×）
2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1
()()n
n f x f
x ∞
==∑是[0,1]上的Lebesgue
可测函数。（√）
3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则
[0,1][0,1]
lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞
→∞
=⎰
⎰
。
（×）
4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{}
()k n f x ，使得，
[0,1][0,1]
lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞
→∞
<⎰
⎰
。
（×，比如{}()n f x 为单调递增时，由Levi 定理，这样的子列一定不存在。） 5、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{}
()k n f x ，使得，
[0,1][0,1]
lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞
→∞
=⎰
⎰
。
（×，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。） 6、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则
[0,1][0,1]
lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞
→∞
≤⎰⎰
。
（√）
7、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则
[0,1][0,1]
lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞
→∞
≥⎰
⎰
。
（×）
8、设()f x 是[0,1]上的黎曼可积函数，则()f x 必为[0,1]上的可测函数。 （√，Lebesgue 积分与正常黎曼积分的关系）
9、设()f x 是[0,)+∞的上黎曼反常积分存在，则()f x 必为[0,)+∞上的可测函数。 （√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数0n
，()f x 在[0,]n 上
黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1
[0,)[0,]n n ∞
=+∞=
上的可测函数）
10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，[0,1],n G f 表示()n f x 在
[0,1]上的下方图形，()lim ()n n
f x f x ，则[0,1],n G f 单调递增，且
1
lim [0,1],[0,1],[0,1],n
n
n
n G f G f G f ，[0,1],lim [0,1],n n
mG f
mG f 。
（√，用集合关系的定义，单调递增可测集列的极限性可以证明。）
二、叙述题（请完整地叙述以下定理或命题） （自己在书上找答案，务必要跟书上一模一样）
1、单调收敛定理（即Levi 定理）
2、Fatou 引理（法都引理）
3、非负可测函数的Fubini 定理和Lebesgue 可积函数的Fubini 定理
4、Lebesgue 控制收敛定理（两个）
5、Lebesgue 基本定理（即非负可测函数项级数的逐项积分定理）
6、积分的绝对连续性
三、计算题（请完整写出计算过程和结果）
1、设0D 为[0,]π中的零测集，30
sin ,(),x x x D f x e x D ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩ ，求
[0,]
()d f x x π⎰
。
解：由题设()sin f x x =，..a e 于[0,]π，而sin x 在[0,]π上连续，
于是由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得
[0,]
[0,]
()d sin d ()sin (cos )
2f x x x x R xdx x π
π
ππ===-=⎰
⎰
⎰。
2、设Q 为[0,+)∞中有理数全体，2
3
sin ,
[0,)\(),x x x
xe x Q f x e
x Q
-⎧∈+∞⎪=⎨∈⎪⎩ ，求
[0.)
()d f x x +∞⎰
。
解：因为Q 为可数集，所以0mQ =，从而2
()x f x xe -=，..a e 于[0,)+∞，而2
x xe
-在
[0,)+∞上非负连续，且220
11()()d ()d 2
2x x
R f x x R xe x e +∞+∞--+∞==-=
⎰
⎰， 所以由积分的惟一性和L 积分与R 积分的关系得
2
2
2
[0.)
[0.)
11()d d ()d 2
2
x x x f x x xe
x R xe
x e
+∞---+∞+∞+∞===-=
⎰
⎰
⎰
。