绝对值
数的绝对值知识点
数的绝对值知识点数的绝对值是数学中一个基本的概念，它可以用来表示一个数与零的距离，而不考虑这个数的实际取值是正数还是负数。
在数学中，数的绝对值常常和绝对值函数一起讨论。
本文将介绍数的绝对值的定义、性质以及在不同数学领域中的应用。
一、数的绝对值的定义数的绝对值的定义非常简单，即一个数的绝对值等于这个数的绝对值函数所得到的值。
当一个数为正数或者零时，它的绝对值等于本身；当一个数为负数时，它的绝对值等于它的相反数。
绝对值可以用一个竖线 "|" 来表示。
例如：-5的绝对值为|-5| = 50的绝对值为|0| = 07的绝对值为|7| = 7二、数的绝对值的性质数的绝对值有以下几个基本的性质：1. 非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即对于任意实数x，|x| ≥ 0。
2. 正数的绝对值为本身：对于任意正数x，|x| = x。
3. 负数的绝对值为相反数：对于任意负数x，|x| = -x。
4. 零的绝对值为零：|0| = 0。
5. 三角不等式：对于任意实数x和y，有|xy| = |x| |y|。
三、数的绝对值的应用1. 绝对值的意义：绝对值可以用来衡量一个数与零的距离，而不考虑这个数的符号。
在实际应用中，我们常常使用绝对值来表示误差、距离、温度差等概念。
2. 绝对值的运算：绝对值也可以进行加减乘除运算。
当进行加减运算时，只需考虑数的绝对值，不用考虑它们的符号。
当进行乘除运算时，需要将数的绝对值进行运算，并根据原数的符号来确定结果的符号。
3. 不等式的解：绝对值在不等式的求解中经常出现。
当我们需要求解一个绝对值不等式时，可以将它转化为两个简单的不等式来求解，分别考虑被绝对值函数包围的正负部分。
4. 函数的图像：绝对值函数的图像可以帮助我们更直观地理解绝对值的性质。
绝对值函数的图像是一条以原点为对称中心的折线，当自变量为正数时，函数值等于自变量；当自变量为负数时，函数值等于自变量的相反数。
5. 复数的模：复数的模也是一种绝对值的概念。
绝对值不等式
绝对值不等式绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，它与绝对值的性质和运算相关。
通过研究绝对值不等式，我们可以解决许多实际问题，同时也提升了我们的数学思维和解题能力。
一、绝对值的定义绝对值是表示一个数离原点的距离。
对于一个实数x，它的绝对值记作|x|，定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
例如，|5|=5，|-3|=3。
二、绝对值不等式的性质1. 绝对值的非负性质：对于任意实数x，有|x|≥0。
2. 绝对值的等价性：若|x|=0，则x=0。
3. 绝对值的三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|≤|x|+|y|。
三、一元绝对值不等式的求解方法当我们遇到一元绝对值不等式时，可以采用以下两种方法求解：1. 列举法：根据不等式的性质及绝对值的定义，列举出满足不等式条件的数。
例题1：|x-2|<3根据绝对值的定义，可以得到以下两个不等式：x-2<3 ==> x<5；-(x-2)<3 ==> -x+2<3 ==> 2-x<3 ==> x>-1。
综合以上两个不等式的解，得到-1<x<5。
2. 分类讨论法：将绝对值拆分成正负两种情况，分别求解。
例题2：|2x-3|>4当2x-3>0时，可以得到以下不等式：2x-3>4 ===> 2x>7 ===> x>3.5。
当2x-3<0时，可以得到以下不等式：-(2x-3)>4 ===> -2x+3>4 ===> -2x>1 ===> x<-0.5。
综合以上两个情况的解，得到x>3.5或x<-0.5。
四、二元绝对值不等式的求解方法对于二元绝对值不等式，我们需要分别对两个变量进行分类讨论，并结合不等式的特点进行求解。
例题3：|x-2|+|y+1|<5当x-2>0且y+1>0时，可以得到以下不等式：x-2+y+1<5 ==> x+y<6。
绝对值与绝对值不等式
绝对值与绝对值不等式绝对值是数学中的一个重要概念，它表示一个数与零之间的距离。
绝对值可以用符号“| |”来表示，其内部的数值可为正数或负数。
绝对值有时会与不等式一起讨论，这就是我们所说的绝对值不等式。
一、绝对值的定义绝对值的定义非常简单，对于任意的实数a，它的绝对值为|a|，表示数a与0之间的距离，计算公式如下：若a ≥ 0 ，则|a| = a若a < 0 ，则|a| = -a例如，|5| = 5，|-3| = 3，|0| = 0。
绝对值的本质是将一个数的正负情况抹去，只关注它与零之间的距离。
二、绝对值不等式的定义绝对值不等式是指将绝对值与不等式相结合，表示一个数与另一个数之间的关系。
绝对值不等式的一般形式为：|a - b| < c其中a、b、c为实数，且c > 0。
这种不等式的含义是，表示a与b之间的距离小于c。
例如，|x - 2| < 3，表示x与2之间的距离小于3。
三、绝对值不等式的求解方法要解决绝对值不等式，我们需要掌握一些基本的求解技巧。
1. 消去绝对值符号当绝对值不等式中只含有一个绝对值符号时，我们可以通过判断绝对值内部的值的范围来消去绝对值符号。
例如，对于不等式|2x - 3| < 5，我们可以考虑两种情况：当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，原不等式变为2x - 3 < 5，解得2x < 8，x < 4。
当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3)，原不等式变为-(2x - 3) < 5，解得2x > -2，x > -1。
综合以上情况可得，x的取值范围为-1 < x < 4。
2. 利用绝对值的性质绝对值有一个重要的性质：|a - b| ≤ c等价于 -c ≤ a - b ≤ c。
例如，对于不等式|3x - 1| ≤ 2，我们可以利用这个性质进行求解：-2 ≤ 3x - 1 ≤ 2，-1 ≤ 3x ≤ 3，-1/3 ≤ x ≤ 1。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛.在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x| > 0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c| 化简结果为（）A. 2a+3b-c B . 3b-c C . b+c D . c-b（第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题）解：由图形可知a v 0, c>b>0,且|c| > |b| >|a|，贝U a+b> 0, b-c v 0. 所以原式=-a+b+a+b-b+c = b+c，故应选（C）.三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x| > 0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x< |x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等（显然如|6| = |-6| ，但6丰-6），只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例 2. 已知：|x-2|+x-2 = 0,求：(1)x+2 的最大值；(2)6-x 的最小值。
解：•/ |x-2|+x-2 = 0 ,••• |x-2| = -(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，• x-2 w 0,即卩x w 2，这表示x的最大值为2(1) 当x= 2时，x+2得最大值2+2= 4;(2) 当x= 2时，6-x得最小值6-2 = 42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的,就需先求零点,再分区间定性质,最后去掉绝对值符号。
指数对数绝对值
5、绝对值等式、不等式： （1）|a|*|b|=|ab| （2）|a|/|b|=|a/b|（b≠0） （3）a^2=|a|^2 这个性质一般用在含绝对值的一元二次方程中，例：x^23|x|+2=0，可以变成 |x|^2-3|x|+2=0，(|x|-1)(|x|-2)=0，|x|=1或2，x=±1或 ±2 （4）|x|-|y|<=|x+y|<=|x|+|y| 由此可以得出推论|x|-|y|<=|x-y|<=|x|+|y|，因为|x|-|y|<=|x+(-y)|<=|x|+|-y| （5）|x|≤a（a＞0） 表示 -a ≤ x ≤a |x|≥a（a＞0） 表示 x ≥ a 或 x=a
y a x (a0，且a 1)的函数叫做指数函数，
为什么有限制条件：a0，且a 1？
（1）如果
, 比如
，这时对于
等，在实数范围内函数值不存在；
（2）如果
，
（3）如果
，
，是个常值函数；
因此，a0，且a 1
判断下列函数是否是指数函数
y4
x
yx
x
4
y (4)
y4
x
2
指数函数的图象是怎样的呢？
b＝logaN
N 1 零 1 0
问题1：我们知道am＋n＝am· an，那么logaM· N＝
logaM· logaN正确吗？举例说明． 提示：不正确，例如log24＝log22×2＝log22· log22＝
1×1＝1，而log24＝2.
问题2：你能推出loga(MN )(M>0，N>0)的表达式吗？ 提示：能． 令am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n. 由对数的定义知 logaM＝m，logaN＝n，logaMN＝m＋n， ∴logaMN＝logaM＋logaN.
绝对值知识讲解及经典例题
第三讲绝对值【例2】若|a＋1|＝3，则a－3的值为（）．A．－1 B．－7 C．－7或－1 D．2或－4【解析】（方法1）因为|a＋1|＝3，由绝对值的几何意义可得，数轴上表示数(a＋1)的点与原点的距离是3．故a＋1＝±3．所以a＝3－1＝2或a＝－3－1＝－4．所以a－3＝2－3＝－1或－4－3＝－7．故选C．（方法2）由|a＋1|＝3，得|a－3＋4|＝3．所以a－3＋4＝±3．将a－3看作一个整体，得a－3＝－3＋4＝－1或a－3＝－3－4=－7．故选C．【答案】C．【例3】若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，则a＋b＝________．【解析】由|a|＝2，a＞0可得a＝2．由|b|＝6，b＜0可得b＝－6．所以a＋b＝2＋（－6）＝－4．【答案】－4．知识点2 有理数比较大小（1）利用有理数的性质比较大小①法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.②比较两个负数大小的步骤：a.分别求出这两个负数的绝对值；b.比较这两个绝对值的大小；c.根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断．（2）利用数轴比较大小数轴上不同的两个点表示的数，左边的点表示的数总比右边的点表示的数小．【注意】比较两个数大小时，在比较两个数的绝对值的大小后，不要忘记比较问题中原数的大小．【例5】在，0，－2，，2这五个数中，最小的数为（）．A．0 B．C．－2 D．【解析】（方法一）正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．由此可得－2最小．（方法二）把这几个数在数轴上表示出来，然后根据最左边的点所对应的数最小得出结论．【答案】C．【例6】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：2，－0.5，0，1.5，－2.5．【解析】先把数2，－0.5，0，1.5，－2.5分别在数轴上表示出来，然后根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数得出结论．【答案】由数轴可得，－2.5＜－0.5＜0＜1.5＜2 ．【例7】已知a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，则a，－a，b，－b的大小关系是_______（用“＜”号连接）．【解析】由a＞0，b＞0，且|a|＞|b|，可以得到a＞b＞0．由此再得到－a＜－b＜0，所以a，－a，b，－b的大小关系是－a＜－b＜b＜a．【答案】－a＜－b＜b＜a．2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.－32的绝对值是_____. 4.绝对值最小的数是_____.5.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.6.若b ＜0且a =|b |，则a 与b 的关系是______.7.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.8.如果|a |＞a ，那么a 是_____.9.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.10.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－32，51 ，|－21|，0，|－5.1| 11.如果－|a |=|a |，那么a =_____.12.已知|a |+|b |+|c |=0，则a =_____，b =_____，c =_____.13.比较大小（填写“＞”或“＜”号）（1）－53_____|－21|（2）|－51|_____0（3）|－56|_____|－34| 14.计算 （1）|－2|×(－2)=_____ （2）|－21|×5.2=_____ （3）|－21|－21=_____ （4）－3－|－5.3|=_____ 15.任何一个有理数的绝对值一定（ ）A.大于0B.小于0C.不大于0D.不小于016.若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a +b 一定是（ ）A.正数B.负数C.非负数D.非正数17.下列说法正确的是（ ）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数18.下列结论正确的是（ ）A.若|x |=|y |，则x =－yB.若x =－y ，则|x |=|y |C.若|a |＜|b |，则a ＜bD.若a ＜b ，则|a |＜|b |19.某班举办“迎七一”知识竞赛，规定答对一题得10分，不答得0分，答错一题扣10分，今有甲、乙、丙、丁四名同学所得分数，分别为+50，+20，0，－30，请问哪个同学分数最高，哪个最低，为什么？最高分高出最低分多少？1．在数轴上看，零一切负数，零一切正数；两个数，右边的数左边的数，原点左侧的点所代表的数越向左越，即离原点越远，表示的数越，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而。
绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式
绝对值的运算法则及公式是一种重要的数学概念，它涉及到求出
未知数的绝对值在运算中扮演着重要的作用。
绝对值是实数或复数的
一种计算方法，即不考虑数的符号，只考虑数的大小。
如果a表示一个实数，可表示为绝对值的形式：
| a | = a (实数)
如果z是一个复数，可以用复平面上的模量表示为绝对值的形式：| z | = √(x² + y² ) (复数)
绝对值的运算规则有以下三条：
1、绝对值的加法法则：
| a + b | = |a| + |b|
2、绝对值的乘法法则：
| a × b | = |a| × |b|
3、绝对值的减法法则：
| a - b |≤|a| + |b|
此外，绝对值还有三个基本性质：
1、不等式性质：对任意实数a，都有0 ≤ | a | 。
2、加法性质：对任意实数a，都有| a + b |≤|a| + |b| 。
3、乘法性质：对任意实数a，都有| a × b |=|a| × |b| 。
以上就是绝对值的运算规则及公式，它们不但在数学中有着广泛
的应用，而且在日常生活中也是重要的数学知识。
因此，了解绝对值
运算的基本规则和公式，对我们的数学学习和生活有着重要的意义。
第5节 解读绝对值
绝对值(absolute value)是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数(rational number)运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程(组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：1.去绝对值的符号法则：|a|=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(00a a a a a ）（ 2.绝对值基本性质 ① 非负性：|a|≥0；②|ab|=|a||b|；③|b a |=||||b a （b ≠0）； ④222||||a a a ==；⑤|a+b|≤|a|+|b|；⑥||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.3．绝对值的几何意义从数轴上看，|a|表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；|a-b|表示数a 、数b 的两点间的距离．【例l 】(1)已知|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=_______．(北京市“迎春杯”竞赛题)(2)已知a 、b 、c 、d 是有理数，|a-b|≤9，|c-d|≤16，且|a-b-c+d|=25,那么|b-a|-|d-c|=_______．(第14届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 (1)由已知条件求出a 、b 、c 的值，注意条件a>b>c 的约束；(2)若注意到9+16=25这一条件，结合绝对值的性质。
问题可获解．【例2】如果a 、b 、c 是非零有理数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ．1或一1C ．2或一2D ．0或一2(2003年山东省竞赛题)思路点拨 根据a 、b 的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关 镩．【例3】 已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式)2002)(2002(1)2)(2(1)1)((11+++++++++b a b a b b a ab 的值. 思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出a 、b 的值．【例4】 化简(1)|2x 一1|；(2)|x-1|一|x-3|；(3)||x-1|一2|+|x+1|．思路点拨 (1)就2x 一1≥0，2x 一1<O 两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1，3(使x-1=0，3-x=0的值)在同一数轴上表示出来，就x<l ，1≤x<3，x≥3三种情况进行讨论；(3)由|x+1|=0，|x-1|-2=0得x=-1，x=1，x=3．【例5】 已知a 为有理数，那么代数式|a-1|+|a-2|+|a-3|+|a-4|的取值有没有最小值?如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．思路点拨 a 在有理数范围变化，a-1、a-2、a-3、a-4的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉,为此要对a 的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．1.若有理数x 、y 满足20022)1(-x +|x-12y+1|=0,则=+22y x ________. 2.已知|a|=5,|b|=3,且|a －b|=b-a,那么a+b=________. 3.已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如图所示:则|c-1|+|a-c|+|a-b|化简后的结果是___________.(2000湖北省选拔赛题) （第3题）4.若a,b 为有理数，那么，下列判断中：（1）若|a|=b ，则一定有a=b ； (2)若|a|>|b|，则一定有a>b ； (3)若|a|>b,则一定有|a|>|b|； (4)若|a|=b ，则一定有22)(b a -=。
什么是绝对值
什么是绝对值
绝对值就是在数轴上任意一个点到原点的距离，用符号“∥”表示。
比如：数字3在数轴上距离原点为3个单位，那么3的绝对值便为3，用数学符号表示为，3，＝3，数字－6在数轴上距离原点为6个单位，所
以－6的绝对值为6，表示为，－6，＝6，特殊数字0距离原点为0，所
以0的绝对值还是为0，具体表示为，0，＝0。
绝对值有关性质：
（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非
负性。
（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0。
（3）绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数或相等。
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值等式、不等式：
（1），a，b，=，ab，。
（2），a，、，b，=，a、b，（b≠0）。
（3）a^2=，a，^2。
绝对值(教师版)
3．乘积的绝对值等于绝对值的乘积，商的绝对值等于绝对值的商．
即对于任意实数a、b， ， ．
4．绝对值内的非负因数或因式可以直接提到绝对值号外面．
例如： ， ．
题模一：非负性
例1.1.1已知一个数的绝对值是4，则这个数是．
【答案】±4
【解析】绝对值是4的数有两个，4或﹣4．
A．﹣1
B．1
C．3
D．﹣3
【答案】B
【解析】当1＜a＜2时，
|a﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1．
例1.1.4若|m-n|=n-m，且|m|=4，|n|=3，则（m+n）2=____或____（按从小到大顺序填写）．
【答案】1；49
【解析】根据已知条件，结合绝对值的性质得到m，n的值，再根据乘方的意义进行计算．
∵|m-n|=n-m，∴m-n≤0，即m≤n．
又|m|=4，|n|=3，
∴m=-4，n=3或m=-4，n=-3．
∴当m=-4，n=3时，（m+n）2=（-1）2=1；
当m=-4，n=-3时，（m+n）2=（-7）2=49．
例1.1.5已知 ，求 、 、 的值.
【答案】 ， ， ．
【解析】由绝对值的非负ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知， ．
D．原点或原点右侧
【答案】B
【解析】∵|a|=﹣a，
∴a一定是非正数，
∴实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．
随练1.2若（a-2）2+|b-1|=0，则（b-a）2012的值是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2012
【答案】C
绝对值的知识点
绝对值的知识点在数学的世界里，绝对值是一个非常重要的概念。
它虽然看似简单，却在解决各种数学问题中发挥着关键作用。
接下来，就让我们一起深入了解绝对值的相关知识。
绝对值的定义其实很好理解。
简单来说，绝对值就是一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
比如，数字5 在数轴上距离原点5 个单位，所以 5 的绝对值就是 5 ；而－5 在数轴上距离原点也是 5 个单位，所以－5 的绝对值同样是 5 。
用数学符号表示，绝对值记作“ ｜｜”，所以｜5| ＝ 5 ，｜－5| ＝ 5 。
从几何意义上看，绝对值表示的是距离，所以它具有非负性，也就是说，任何数的绝对值总是大于等于 0 的。
这是绝对值的一个重要性质。
接下来，我们看看绝对值的运算规则。
对于正数，它的绝对值就是它本身。
比如｜3| ＝ 3 。
对于 0 ，其绝对值就是 0 ，即｜0| ＝ 0 。
对于负数，它的绝对值是它的相反数。
例如｜－7| ＝ 7 。
在进行加减运算时，如果两个数同号（即同为正数或同为负数），那么它们的绝对值相加，符号不变；如果两个数异号（一个为正数，一个为负数），则用绝对值较大的数减去绝对值较小的数，符号取绝对值较大的数的符号。
例如，计算｜5| ＋｜－3| ，因为 5 和－3 异号，且｜5| ＞｜－3| ，所以结果为 5 3 ＝ 2 。
在乘法运算中，两个数相乘，绝对值相乘，若同号得正，异号得负。
比如，｜－2| ×｜3| ＝ 2 × 3 ＝ 6 ，｜2| ×｜－3| ＝ 2 × 3 ＝ 6 。
在除法运算中，两个数相除，绝对值相除，若同号得正，异号得负。
比如，｜－6| ÷｜2| ＝ 6 ÷ 2 ＝ 3 ，｜6| ÷｜－2| ＝ 6 ÷ 2 ＝ 3 。
绝对值还有一些常见的不等式。
比如，对于任意实数 a 和 b ，有｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b| ，当且仅当ab ≥ 0 时，等号成立。
绝对值
第三节 绝对值知识点：1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作22+=，-3的绝对值等于3，记作33-=2、绝对值的一般规律：（1）正数的绝对值是它本身； （2）负数的绝对值是它的相反数（3）0的绝对值是0。
（4）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
3．绝对值的非负性：由绝对值的定义可知：不论有理数a 取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a|≥0。
考试要求：1．初步理解绝对值的概念。
2．明确绝对值的代数定义和几何意义；会求一个已知数的绝对值；会在已知一个数的绝对值条件下求这个数。
3．了解用数形结合思想解决问题，渗透分类讨论的数学思想。
A 类：例1、求下列各数的绝对值：217-，101，―4.75，10.5。
例2、计算：（1）|0.32|+|0.3|； （2）|–4.2|–|4.2|；例3、绝对值不大于5的整数中，最大的整数是_______,最小的正整数是______;一个负数在增大时，它的绝对值在________。
例4、已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|B 类：例1、如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么下列说法中正确的是（ ） A.这个数必须大于另一个数 B. 这个数必须小于另一个数 C.这两个数的符号相反 D.无法确定这两个数的大小 例2、如果0,,a b c a b c ++=>>则下列说法中可能成立的是（ ）A. ,a b 为正数，c 为负数B. ,a c 为正数，b 为负数C. ,b c 为正数，a 为负数D.,a c为负数，b 为正数例3、表示负数的点都在原点的_____侧；绝对值越大的负数，表示它的点离原点越______.因此，两个负数，绝对值大的反而________。
例4、（05天津中考）已知14,2x y ==，且0xy <，则xy 的值等于_______。
绝对值
绝对值复习1、什么叫绝对值？在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如+5的绝对值等于5，记作|+5|=5；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．2、绝对值的特点有哪些？（1）一个正数的绝对值是它本身；例如，|4|＝4，|＋7.1| ＝ 7.1 （2）一个负数的绝对值是它的相反数；例如，|－2|＝2，|－5.2|＝5.2 （3）0的绝对值是0．容易看出，两个互为相反数的数的绝对值相等．如|-5|=|+5|=5．若用a 表示一个数，当a 是正数时可以表示成a ＞0，当a 是负数时可以表示成a ＜0，这样，上面的绝对值的特点可用用符号语言可表示为：(1) 如果a ＞0，那么|a|＝a ； (2) 如果a ＜0，那么|a|＝－a ； (3) 如果a ＝0，那么|a|＝0。
3、绝对值在本节课中的应用——比较两个负数的大小由于绝对值是表示数的点到原点的距离，则离原点越远的点表示的数的绝对值越大．负数的绝对值越大，表示这个数的点就越靠左边，因此，两个负数比较，绝对值大的反而小．一、含有一个绝对值符号的化简题1. 已知未知数的取值或取值范围进行化简。
例1． 当x >2时化简||23x x -+（根据绝对值的意义直接化简） 解：原式=-+=-2333x x x 。
拓展： 设 化简 的结果是（ ）。
（A ）（B ）（C ）（D ）思路分析 由 可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解∴ 应选（B ）．归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．2. 没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简。
例2. 化简||x x -+52（必须进行讨论）我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值，显然绝对值符号内代数式是x -5，使x -=50的未知数的值是5，所以我们把5叫做此题的界值，确定了界值后，我们就把它分成三种情况进行讨论。
绝对值知识讲解
绝对值知识讲解一、知识框架图二、基础知识1、绝对值的概念（1）定义：一个数的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
（3）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。
离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
（4）绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对于任意有理数a ，总有a ≥0.2、绝对值的求法 绝对值是一种运算，这个运算符号是“”。
求一个数的绝对值，就是想办法去掉这个绝对值符号，对于任意有理数a ，有：a （a ＞0）（1） 0（a=0）a -（a ＜0）a （a ≥0）（2）a -（a ＜0）a （a ＞0）（3）a -（a ≤0）这就说，去掉绝对值符号不是随便就能完成的，要看绝对值里面的数是什么性质的数。
若绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身，此时绝对值“”符号就相当于“（ ）”的作用，如125--=）（125--=415=-。
由于这里2－1是正数，故去掉绝对值符号后12-=（2－1）；若绝对值里面的数是负数，那么这个负数的绝对值就是这个负数的相反数这时去掉绝对值时，就要把绝对值里面的数添上括号，再在括号前面加上负号“－”。
3、利用绝对值比较两个数的大小两个负数，绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小，可按照下列步骤进行：绝对值 绝对值的概念 绝对值的求法 比较两个数的大小（1）先求出两个负数的绝对值；（2）比较这两个绝对值的大小；（3）写出正确的判断结果。
三、例题讲解例1求下列各数的绝对值（1）21；（2）31-；（3）434-；（4）331 分析：运用绝对值的意义来求解。
解：（1）21=21；（2）31-=3131=--）（； （3）434434434=--=-）（；（4）3313=31 点评：解答本题首先要弄清楚绝对值的意义，准确列出代数式，再运用绝对值的意义求出结果，切不可写作31-=31-=31. 例2计算：（1）2.1--；（2））（3---；（3）023+---. 分析：本题关键是确定绝对值里面的数的性质，再按照绝对值的意义去掉绝对值负号。
绝对值的基础知识
绝对值的基础知识绝对值是数学中的一个概念，用来表示一个数距离零点的远近，而不考虑它的正负。
绝对值的定义非常简单，对于任意实数x，它的绝对值记作| x |，定义如下：当x大于等于零时，| x |等于x本身；当x小于零时，| x |等于-x。
绝对值有着广泛的应用，不仅在数学中常常被用到，而且在物理、经济、计算机等领域也有着重要的作用。
在数学中，绝对值的运算有一些基本的性质。
首先，绝对值永远是非负数，即| x |大于等于零。
其次，绝对值满足一个重要的性质，即对于任意实数x和y，有| x · y |等于| x |乘以| y |。
这个性质在解决一些数学问题时经常被用到。
绝对值的概念在不等式中也起到了重要的作用。
例如，当我们需要解决一个关于x的不等式时，可以通过求出x的绝对值来化简问题。
对于一个不等式| x - a |小于等于b，我们可以将其转化为两个简单的不等式，即x - a小于等于b，以及x - a大于等于-b。
通过求解这两个不等式，我们可以得到原不等式的解集。
绝对值还可以用来表示距离。
例如，当我们要计算两个点在数轴上的距离时，可以通过求它们的坐标的差的绝对值来得到。
这个概念在几何学中有着广泛的应用。
在物理学中，绝对值常常被用来表示物理量的大小。
例如，速度的绝对值表示物体在单位时间内所覆盖的距离，而不考虑其运动的方向。
这在描述物体的运动时非常重要。
在经济学中，绝对值可以表示收入、成本、利润等重要的经济指标。
通过计算这些指标的绝对值，我们可以对经济状况进行评估和比较。
在计算机科学中，绝对值也有着广泛的应用。
例如，在编写程序时，我们经常需要计算两个数之间的差的绝对值，以判断它们的大小关系。
另外，绝对值还可以用来处理图像处理、数据压缩等问题。
绝对值是数学中一个重要的概念，它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、经济、计算机等领域也发挥着重要的作用。
对于任意实数x，它的绝对值表示了它距离零点的远近，而不考虑其正负。
绝对值怎么算
1.绝对值怎么算？
答：绝对值是数学中的一种运算，是对于一个数或一个代数式而言，如果一个数或一个式中的某一部分，乘或除以一个正数，结果仍然是这个数或这个式，那么就称这个式子或这一部分叫做这个数或这个式的绝对值。
例如：3×绝对值的符号为：“|”。
绝对值的几种表示方法：用一个数去乘另一个数，所得的积作为这个数的绝对值。
如：4×是4与5的积，4和5是20的因数，20是4与5的积的绝对值。
用一个代数式去乘另一个代数式，所得的积作为这个代数式的绝对值。
如： 3×是3与5的积，3与5是15的因数。
15是3与5的积的绝对值。
用一个数的绝对值去乘另一个数。
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绝对值
【小故事】
工资的选择
假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择： A ．工资以年薪计，第一年为4000美元，以后每年增加800美元； B ．工资以半年薪计，第一个半年为2000美元，以后每半年增加200美元； 你选择哪一捉方案？这什么？
令人惊讶的是，第二种方案比第一种方案好得多，如果你接受第二种方案，每年将比第一种方案多挣200美元！下表列出在开头6年中，根据这两种方案你分别能得到的年收入。
年份 方案A 方案B 1 ＄4000 ＄4200 2 4800 5000 3 5600 5800 4 6400 6600 5 7200 7400 6 8000 8200
【典型例题】
例1 若21a -≤<，求22a a ++-的值。
例2 如果()2
2230x y ++-=，则2x y += 。
例3 m 是有理数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值。
例4 （1）a ； （2）1x - （3）21x - （4）12x x -+- （5）123x x x -+-+-
例5 已知37a =，9
20
b =，且b a <，试求a 、b 的值。
例6 三个互不相等的有理数，可表示为1，a+b ，a 的形式，又可表示为0，
b
a
，b 的形式，试求19981999a b +的值。
绝对值练习
1．已知0≤a ≤4，那么23a a -+-的最大值等于（ ）。
A ．1 B ．5 C ．8 D ．3
2．若a+b<0，则化简13a b a b +----的结果是 。
3．如果x<-2，那么11x -+= 。
4．当13x -<<时，化简132x x +--+。
5．若1999a -与2000b +互为相反数，则()3
a b +的值为 。
6．已知120a b -++=，求()2003
a b +.
7．若1a -与2b +互为相反数，则()()
()()2001
2000
2
a b a b a b a b ++++
++++的值是 。
8．若a 、b 、c 为整数，且12001
2001
=-+-a
c b a ，试计算a c b a a c -+-+-的值。
9
．
已
知
2ab -与1b -互为相反数，试求代数式
()()()()
()()
111
1
112219991999ab a b a b a b ++++
++++++的值。
10．11x x ++-的最小值是 。
11．已知a 是有理数，则20012002a a -+-的最小值是 。
12．如果0<p<15，那么代数式1515x p x x p -+-+--在p ≤x ≤15的最小值是（ ）。
A ．30 B ．0 C ．15 D ．一个与p 有关的代数式 13．化简3438x x x x
--
14．已知abc ≠0，则
a b c ab ac bc abc
a b c ab ac bc abc
++++++
的值为 。
15．求a b c a
b
c ++的值。
16．已知x y y x -=-，且3x =，4y =，那么()3
x y += 。
17．已知1a =，2b =，3c =，且a>b>c ，那么()2
a b c +-= 。
18．若19a =，97b =，且a b a b +≠+，那么a-b 的值是（ ）。
A ．-78或116 B ．78或116 C ．-78或-116 D ．78或-116 19．三个有理数a 、b 、c 其积是负数，其和是正数，当a b c
x a b c
=++时，
代数式200120023x x -+的值。
20．若a 、b 、c 为整数，且19
99
1a b
c a
-+-=，试求c a a b b c -+-+-的值。
21．设a 、b 、c 、d 分别是一个四位数的千位、百位、十位和个位上的数字并且，a ≤b ，b ≤c ，c ≤d ，则a b b c c d d c -+-+-+-可能取得的最大值是 。
22．已知1b a <<，0ab <，1a b +<-，那么a ，b ，1a ，1
a b
+之间的大小关系是 （用
“<”号连接）
23．如果010m <<，并且10m x ≤≤，那么代数式1010x m x x m -+-+--化简后得到的最后结果是（ ）
A ．－10
B ．10
C ．20x -
D ．20x -
24.已知：关于x 的方程a x =--12有三个整数解，求a 的值。
25.已知：方程1+=mx x 有一负根而无正根，求m 的取值范围。