数据结构树_二叉树的定义和二叉树性质与存储本共38页文档
数据结构实验报告 二叉树
数据结构实验报告二叉树数据结构实验报告：二叉树引言：数据结构是计算机科学中的重要基础，它为我们提供了存储和组织数据的方式。
二叉树作为一种常见的数据结构，广泛应用于各个领域。
本次实验旨在通过实践，深入理解二叉树的概念、性质和操作。
一、二叉树的定义与性质1.1 定义二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以为空树，也可以是由根节点和左右子树组成的非空树。
1.2 基本性质（1）每个节点最多有两个子节点；（2）左子树和右子树是有顺序的，不能颠倒；（3）二叉树的子树仍然是二叉树。
二、二叉树的遍历2.1 前序遍历前序遍历是指首先访问根节点，然后按照先左后右的顺序遍历左右子树。
在实际应用中，前序遍历常用于复制一颗二叉树或创建二叉树的副本。
2.2 中序遍历中序遍历是指按照先左后根再右的顺序遍历二叉树。
中序遍历的结果是一个有序序列，因此在二叉搜索树中特别有用。
2.3 后序遍历后序遍历是指按照先左后右再根的顺序遍历二叉树。
后序遍历常用于计算二叉树的表达式或释放二叉树的内存。
三、二叉树的实现与应用3.1 二叉树的存储结构二叉树的存储可以使用链式存储或顺序存储。
链式存储使用节点指针连接各个节点，而顺序存储则使用数组来表示二叉树。
3.2 二叉树的应用（1）二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的左子树上的节点都小于根节点，右子树上的节点都大于根节点。
二叉搜索树常用于实现查找、插入和删除等操作。
（2）堆：堆是一种特殊的二叉树，它满足堆序性质。
堆常用于实现优先队列，如操作系统中的进程调度。
（3）哈夫曼树：哈夫曼树是一种带权路径最短的二叉树，常用于数据压缩和编码。
四、实验结果与总结通过本次实验，我成功实现了二叉树的基本操作，包括创建二叉树、遍历二叉树和查找节点等。
在实践中，我进一步理解了二叉树的定义、性质和应用。
二叉树作为一种重要的数据结构，在计算机科学中有着广泛的应用，对于提高算法效率和解决实际问题具有重要意义。
数据结构之二叉树（BinaryTree）
数据结构之⼆叉树（BinaryTree）⽬录导读 ⼆叉树是⼀种很常见的数据结构，但要注意的是，⼆叉树并不是树的特殊情况，⼆叉树与树是两种不⼀样的数据结构。
⽬录 ⼀、⼆叉树的定义 ⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 三、⼆叉树的五种基本形态 四、⼆叉树相关术语 五、⼆叉树的主要性质（6个） 六、⼆叉树的存储结构（2种） 七、⼆叉树的遍历算法（4种） ⼋、⼆叉树的基本应⽤：⼆叉排序树、平衡⼆叉树、赫夫曼树及赫夫曼编码⼀、⼆叉树的定义 如果你知道树的定义（有限个结点组成的具有层次关系的集合），那么就很好理解⼆叉树了。
定义：⼆叉树是n(n≥0)个结点的有限集，⼆叉树是每个结点最多有两个⼦树的树结构，它由⼀个根结点及左⼦树和右⼦树组成。
（这⾥的左⼦树和右⼦树也是⼆叉树）。
值得注意的是，⼆叉树和“度⾄多为2的有序树”⼏乎⼀样，但，⼆叉树不是树的特殊情形。
具体分析如下⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 1、⼆叉树与⽆序树不同 ⼆叉树的⼦树有左右之分，不能颠倒。
⽆序树的⼦树⽆左右之分。
2、⼆叉树与有序树也不同（关键） 当有序树有两个⼦树时，确实可以看做⼀颗⼆叉树，但当只有⼀个⼦树时，就没有了左右之分，如图所⽰：三、⼆叉树的五种基本状态四、⼆叉树相关术语是满⼆叉树；⽽国际定义为，不存在度为1的结点，即结点的度要么为2要么为0，这样的⼆叉树就称为满⼆叉树。
这两种概念完全不同，既然在国内，我们就默认第⼀种定义就好）。
完全⼆叉树：如果将⼀颗深度为K的⼆叉树按从上到下、从左到右的顺序进⾏编号，如果各结点的编号与深度为K的满⼆叉树相同位置的编号完全对应，那么这就是⼀颗完全⼆叉树。
如图所⽰：五、⼆叉树的主要性质 ⼆叉树的性质是基于它的结构⽽得来的，这些性质不必死记，使⽤到再查询或者⾃⼰根据⼆叉树结构进⾏推理即可。
性质1：⾮空⼆叉树的叶⼦结点数等于双分⽀结点数加1。
证明：设⼆叉树的叶⼦结点数为X，单分⽀结点数为Y，双分⽀结点数为Z。
树和二叉树——精选推荐
第6章 树和二叉树内容概要：本章主要介绍树，二叉树，最优二叉树的相关概念和操作，存储结构和相应的操作，并在综合应用设计中，给出了对应算法的C 语言实现。
教学目标1．理解各种树和森林与二叉树的相应操作。
2．熟练掌握二叉树的各种遍历算法，并能灵活运用遍历算法实现二叉树的其他操作。
3．熟练掌握二叉树和树的各种存储结构及其建立的算法。
4．掌握哈夫曼编码的方法。
5．通过综合应用设计，掌握各种算法的C 语言实现过程。
基本知识点：树和二叉树的定义、二叉树的存储表示、二叉树的遍历以及其它操作的实现、树和森林的存储表示、树和森林的遍历以及其它操作的实现、最优树和赫夫曼编码重点：二叉树的性质、二叉树的遍历及其应用，构造哈夫曼树。
难点：编写实现二叉树和树的各种操作的递归算法。
本章知识体系结构：课时安排：6个课时树的定义 树树的性质 树的逻辑表示法 树形表示法 树的存储结构 双亲存储结构 文氏表示法凹入表示法 括号表示法 孩子存储结构 孩子双亲存储结构二叉树二叉树的定义 二叉树的性质二叉树的逻辑表示法（采用树的逻辑表示法）二叉树的存储结构二叉树的顺序存储结构先序遍历 中序遍历 后序遍历二叉树的遍历 二叉树的链式存储结构（二叉链） 由先序序列和中序序列构造二叉树 由中序序列和后序序列构造二叉树二叉树的构造 二叉树的线索化 哈夫曼树二叉树和树之间的差别 二叉树与树、森林之间的转换二叉树和树课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授（PPT）教学目标掌握树、二叉树的基本概念和术语，二叉树的性质教学重点二叉树的定义、二叉树的性质、链式存储结构教学难点二叉树的性质、链式存储二叉树的基本操作组织教学一、树的定义二、树的基本概念三、二叉树的定义、性质四、二叉树的顺序存储结构和链式存储结构五、小结作业复习本讲内容并预习下一讲内容课堂情况及课后分析课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授（PPT）教学目标掌握二叉树遍历的三种方法及二叉树的基本操作教学重点二叉树的遍历算法教学难点中序与后序遍历的非递归算法组织教学一、复习二叉树的定义二、遍历二叉树的三种方法三、递归法遍历二叉树四、二叉树的基本操作五、总结作业复习本讲内容并预习下一讲内容课堂情况及课后分析课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授（PPT）教学目标理解树与森林的转换，掌握哈夫曼树教学重点哈夫曼树教学难点树与森林的转换组织教学一、导入二、树与森林三、哈夫曼树四、小结作业习题6课堂情况及课后分析前面几章讨论的数据结构都属于线性结构，线性结构的特点是逻辑结构简单，易于进行查找、插入和删除等操作，可用于描述客观世界中具有单一前驱和后继的数据关系。
数据结构(C语言版CHAP6(1)
G
说明 1）二叉树中每个结点最多有两颗子树；二叉树每个结点度小于等于2; 2）左、右子树不能颠例——有序树; 3）二叉树是递归结构，在二叉树的定义中又用到了二叉树的概念;
结束
第 16 页
6.2 二 叉 树
A B D G (a) E C F F C
A B D G (b) E
(a)、(b)是不同的二叉树， (a)的左子树有四个结点， (b)的左子树有两个结点，
结束
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6.2 二 叉 树
2． 二叉树的基本形态
φ
结束
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6.2 二 叉 树
3．应用举例 例1 可以用二叉树表示表达式
+ a * /
e
f
b
c
d
a+b*(c-d)-e/f
结束
ห้องสมุดไป่ตู้
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6.2 二 叉 树
例2 双人比赛的所有可能的结局
开始
甲
开局连赢两局 或五局三胜
乙
甲
甲 甲 乙
乙
对于线性结构由于每个结点只有一个直接后继，遍历是很容易的事 二叉树是非线性结构，每个结点可能有两个后继，如 何访问二叉树的每个结点，而且每个结点仅被访问一次？
结束
第 32 页
6.3
一 二叉树的遍历方法
二叉树的遍历
二叉树由根、左子树、右子树三部分组成 二叉树的遍历可以分解为：访问根，遍历左子树和遍历右子树 令：L：遍历左子树 D：访问根结点 R：遍历右子树 有六种遍历方法： DLR，LDR，LRD，
3）树的结点，可以有零个或多个后继； 4）除根外的其他结点，都存在唯一条从根到该结点的路径； 5）树是一种分枝结构
数据结构实验报告—二叉树
数据结构实验报告—二叉树数据结构实验报告—二叉树引言二叉树是一种常用的数据结构，它由节点和边构成，每个节点最多有两个子节点。
在本次实验中，我们将对二叉树的基本结构和基本操作进行实现和测试，并深入了解它的特性和应用。
实验目的1. 掌握二叉树的基本概念和特性2. 熟练掌握二叉树的基本操作，包括创建、遍历和查找等3. 了解二叉树在实际应用中的使用场景实验内容1. 二叉树的定义和存储结构：我们将首先学习二叉树的定义，并实现二叉树的存储结构，包括节点的定义和节点指针的表示方法。
2. 二叉树的创建和初始化：我们将实现二叉树的创建和初始化操作，以便后续操作和测试使用。
3. 二叉树的遍历：我们将实现二叉树的前序、中序和后序遍历算法，并测试其正确性和效率。
4. 二叉树的查找：我们将实现二叉树的查找操作，包括查找节点和查找最大值、最小值等。
5. 二叉树的应用：我们将探讨二叉树在实际应用中的使用场景，如哈夫曼编码、二叉搜索树等。
二叉树的定义和存储结构二叉树是一种特殊的树形结构，它的每个节点最多有两个子节点。
节点被表示为一个由数据和指向其左右子节点的指针组成的结构。
二叉树可以分为三类：满二叉树、完全二叉树和非完全二叉树。
二叉树可以用链式存储结构或顺序存储结构表示。
- 链式存储结构：采用节点定义和指针表示法，通过将节点起来形成一个树状结构来表示二叉树。
- 顺序存储结构：采用数组存储节点信息，通过计算节点在数组中的位置来进行访问和操作。
二叉树的创建和初始化二叉树的创建和初始化是二叉树操作中的基础部分。
我们可以通过手动输入或读取外部文件中的数据来创建二叉树。
对于链式存储结构，我们需要自定义节点和指针，并通过节点的方式来构建二叉树。
对于顺序存储结构，我们需要定义数组和索引，通过索引计算来定位节点的位置。
一般来说，初始化一个二叉树可以使用以下步骤：1. 创建树根节点，并赋初值。
2. 创建子节点，并到父节点。
3. 重复步骤2，直到创建完整个二叉树。
非线性数据结构
01
算法3-1 先序遍历根结点指针为bt的二叉树。
02
void preorder(TNODE *bt)
03
{
04
if (bt != NULL)
05
{
06
printf(''%d \n'', bt->data);
07
preorder(bt->lchild);
08
preorder(bt->rchild);
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树的深度：一棵树中，结点的最大层次值就是树的深度。图3-1中树的深度为4。
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森林：森林是m(m≥0)棵互不相交的树的集合。
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孩子(child)：某结点子树的根称为该结点的孩子结点。
双亲(parent)：一个结点是它的那些子树的根的双亲结点。 兄弟(sibling)：同一个双亲的孩子之间互为兄弟。如A是B、C、D的双亲；B、C、D是A的孩子；B、C、D互为兄弟。 堂兄弟(cousins)：其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。如G与E、F、H、I互为堂兄弟。
另外，还有两种特殊的二叉树，平衡二叉树和二叉排序树。二叉排序树将在第4章中介绍，这里只介绍平衡二叉树的概念。 二叉树上任一结点的左子树深度减去右子树深度的差值，称为此结点的平衡因子。 若一棵二叉树中，每个结点的平衡因子之绝对值都不大于1，则称这棵二叉树为平衡二叉树。
例3-2 图3-9中有两棵二叉树，试判定其是否是平衡二叉树？ 解：二叉树 (a) 是平衡二叉树。二叉树(b)中结点C的平衡因子为2，大于1，故不是平衡二叉树。
对于完全二叉树，按图3-8中的编号顺序，就能得到一个足以反映整个二叉树结构的线性序列。因此，可将完全二叉树中所有结点按编号顺序依次存储到一组连续的存储单元(即向量)中，这样既不浪费内存，又可以利用地址公式确定其结点的位置。但对于一般的二叉树，顺序分配常会造成内存的浪费，因为一般的二叉树也必须按完全二叉树的形式来存储。图3-8所示的完全二叉树，其顺序存储结构如图3-10(a)所示。
《算法导论》读书笔记之第10章 基本数据结构之二叉树
《算法导论》读书笔记之第10章基本数据结构之二叉树摘要书中第10章10.4小节介绍了有根树，简单介绍了二叉树和分支数目无限制的有根树的存储结构，而没有关于二叉树的遍历过程。
为此对二叉树做个简单的总结，介绍一下二叉树基本概念、性质、二叉树的存储结构和遍历过程，主要包括先根遍历、中根遍历、后根遍历和层次遍历。
1、二叉树的定义二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树型结构，每个节点至多有两棵子树，且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
由定义可知，二叉树中不存在度（结点拥有的子树数目）大于2的节点。
二叉树形状如下下图所示：2、二叉树的性质（1）在二叉树中的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1)。
备注:^表示此方（2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点（k>=1)。
（3）对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数目为n0，度为2的节点数目为n2，则n0=n2+1。
满二叉树：深度为k且具有2^k-1个结点的二叉树。
即满二叉树中的每一层上的结点数都是最大的结点数。
完全二叉树：深度为k具有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应。
可以得到一般结论：满二叉树和完全二叉树是两种特殊形态的二叉树，满二叉树肯定是完全二叉树，但完全二叉树不不一定是满二叉树。
举例如下图是所示：（4）具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n + 1。
3、二叉树的存储结构可以采用顺序存储数组和链式存储二叉链表两种方法来存储二叉树。
经常使用的二叉链表方法，因为其非常灵活，方便二叉树的操作。
二叉树的二叉链表存储结构如下所示：1 typedef struct binary_tree_node2 {3 int elem;4 struct binary_tree_node *left;5 struct binary_tree_node *right;6 }binary_tree_node,*binary_tree;举例说明二叉链表存储过程，如下图所示：从图中可以看出：在还有n个结点的二叉链表中有n+1个空链域。
计算机二级二叉树
计算机二级二叉树1. 概述二叉树是一种常见的数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。
在计算机科学中，二叉树有着广泛的应用，例如在算法和数据存储中都能够发挥重要作用。
本文将介绍计算机二级二叉树的基本概念、性质以及相关操作。
2. 二叉树的定义二叉树是一种有序树，其中每个节点最多有两个子节点。
它通常用来表示层次关系、排序关系、树形结构等。
二叉树的子节点分为左子节点和右子节点，子节点的顺序是固定的。
3. 二叉树的性质(1) 二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点。
(2) 深度为k的二叉树最多有2^k-1个节点。
(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶子节点数为n0，度为2的节点数为n2，则n0=n2+1。
(4) 对于完全二叉树，假设其深度为h，则其节点数为2^h-1（h≥1）。
4. 二叉树的遍历二叉树的遍历主要分为前序遍历、中序遍历和后序遍历。
下面分别介绍这三种遍历方式的定义和实现。
(1) 前序遍历：遍历顺序为根节点、左子树、右子树。
(2) 中序遍历：遍历顺序为左子树、根节点、右子树。
(3) 后序遍历：遍历顺序为左子树、右子树、根节点。
二叉树的遍历可以用递归或者迭代的方法实现。
5. 二叉树的插入在二叉树中插入节点是一种常见的操作。
下面介绍一种基本的插入算法：(1) 如果树为空，则将节点作为根节点插入。
(2) 如果树不为空：- 将节点与根节点进行比较，若小于根节点，则插入到左子树中。
- 若大于根节点，则插入到右子树中。
- 对左子树或右子树递归执行插入操作。
6. 二叉树的删除二叉树的删除操作比插入操作稍微复杂一些。
一般情况下，可以按照以下步骤进行删除：(1) 如果要删除的节点是叶子节点，直接删除即可。
(2) 如果要删除的节点只有一个子节点，将其子节点代替要删除的节点。
(3) 如果要删除的节点有两个子节点，则需要找到其右子树中的最小节点（或左子树中的最大节点）来代替要删除的节点，并删除那个最小节点。
7. 二叉树的应用二叉树在计算机科学中有着广泛的应用，下面介绍几种常见的应用场景：(1) 搜索二叉树：可以在O(log n)的时间复杂度内进行搜索操作。
《数据结构——C语言描述》第6章：树
先根遍历: -+a*b–cd/ef 中根遍历: a+b*c–d–e/f 后根遍历: abcd-*+ef/-
typedef struct Node { datatype data; struct Node *Lchild; struct Node *Rchild; } BTnode,*Btree;
满二叉树：一棵深度为k且有2k-1个结 点的二叉树称为满二叉树。 完全二叉树：深度为k，有n个结点的 二叉树当且仅当其每一个结点都与深度 为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一 对应时，称为完全二叉树。
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1 3 5 7
树的度：树中最大的结点的度数即为 树的度。图6.1中的树的度为3。 结点的层次(level)：从根结点算起， 根为第一层，它的孩子为第二层……。 若某结点在第l层，则其孩子结点就在 第l+1层。图6.1中，结点A的层次为1， 结点M的层次为4。 树的高度(depth)：树中结点的最大层 次数。图6.1中的树的高度为4。 森林(forest)：m(m≥0)棵互不相交的 树的集合。
数据结构实验报告-树(二叉树)
实验5：树（二叉树）（采用二叉链表存储）一、实验项目名称二叉树及其应用二、实验目的熟悉二叉树的存储结构的特性以及二叉树的基本操作。
三、实验基本原理之前我们都是学习的线性结构，这次我们就开始学习非线性结构——树。
线性结构中结点间具有唯一前驱、唯一后继关系，而非线性结构中结点的前驱、后继的关系并不具有唯一性。
在树结构中，节点间关系是前驱唯一而后继不唯一，即结点之间是一对多的关系。
直观地看，树结构是具有分支关系的结构（其分叉、分层的特征类似于自然界中的树）。
四、主要仪器设备及耗材Window 11、Dev-C++5.11五、实验步骤1.导入库和预定义2.创建二叉树3.前序遍历4.中序遍历5.后序遍历6.总结点数7.叶子节点数8.树的深度9.树根到叶子的最长路径10.交换所有节点的左右子女11.顺序存储12.显示顺序存储13.测试函数和主函数对二叉树的每一个操作写测试函数，然后在主函数用while+switch-case的方式实现一个带菜单的简易测试程序，代码见“实验完整代码”。
实验完整代码：#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define MAX_TREE_SIZE 100typedef char ElemType;ElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE];struct BiTNode{ElemType data;BiTNode *l,*r;}*T;void createBiTree(BiTNode *&T){ElemType e;e = getchar();if(e == '\n')return;else if(e == ' ')T = NULL;else{if(!(T = (BiTNode *)malloc(sizeof (BiTNode)))){cout << "内存分配错误!" << endl;exit(0);}T->data = e;createBiTree(T->l);createBiTree(T->r);}}void createBiTree2(BiTNode *T,int u) {if(T){SqBiTree[u] = T->data;createBiTree2(T->l,2 * u + 1);createBiTree2(T->r,2 * u + 2); }}void outputBiTree2(int n){int cnt = 0;for(int i = 0;cnt <= n;i++){cout << SqBiTree[i];if(SqBiTree[i] != ' ')cnt ++;}cout << endl;}void preOrderTraverse(BiTNode *T) {if(T){cout << T->data;preOrderTraverse(T->l);preOrderTraverse(T->r);}}void inOrderTraverse(BiTNode *T) {if(T){inOrderTraverse(T->l);cout << T->data;inOrderTraverse(T->r);}}void beOrderTraverse(BiTNode *T){if(T){beOrderTraverse(T->l);beOrderTraverse(T->r);cout << T->data;}}int sumOfVer(BiTNode *T){if(!T)return 0;return sumOfVer(T->l) + sumOfVer(T->r) + 1;}int sumOfLeaf(BiTNode *T){if(!T)return 0;if(T->l == NULL && T->r == NULL)return 1;return sumOfLeaf(T->l) + sumOfLeaf(T->r);}int depth(BiTNode *T){if(!T)return 0;return max(depth(T->l),depth(T->r)) + 1;}bool LongestPath(int dist,int dist2,vector<ElemType> &ne,BiTNode *T) {if(!T)return false;if(dist2 == dist)return true;if(LongestPath(dist,dist2 + 1,ne,T->l)){ne.push_back(T->l->data);return true;}else if(LongestPath(dist,dist2 + 1,ne,T->r)){ne.push_back(T->r->data);return true;}return false;}void swapVer(BiTNode *&T){if(T){swapVer(T->l);swapVer(T->r);BiTNode *tmp = T->l;T->l = T->r;T->r = tmp;}}//以下是测试程序void test1(){getchar();cout << "请以先序次序输入二叉树结点的值，空结点用空格表示:" << endl; createBiTree(T);cout << "二叉树创建成功!" << endl;}void test2(){cout << "二叉树的前序遍历为:" << endl;preOrderTraverse(T);cout << endl;}void test3(){cout << "二叉树的中序遍历为:" << endl;inOrderTraverse(T);cout << endl;}void test4(){cout << "二叉树的后序遍历为:" << endl;beOrderTraverse(T);cout << endl;}void test5(){cout << "二叉树的总结点数为：" << sumOfVer(T) << endl;}void test6(){cout << "二叉树的叶子结点数为：" << sumOfLeaf(T) << endl; }void test7(){cout << "二叉树的深度为：" << depth(T) << endl;}void test8(){int dist = depth(T);vector<ElemType> ne;cout << "树根到叶子的最长路径:" << endl;LongestPath(dist,1,ne,T);ne.push_back(T->data);reverse(ne.begin(),ne.end());cout << ne[0];for(int i = 1;i < ne.size();i++)cout << "->" << ne[i];cout << endl;}void test9(){swapVer(T);cout << "操作成功!" << endl;}void test10(){memset(SqBiTree,' ',sizeof SqBiTree);createBiTree2(T,0);cout << "操作成功!" << endl;}void test11(){int n = sumOfVer(T);outputBiTree2(n);}int main(){int op = 0;while(op != 12){cout << "-----------------menu--------------------" << endl;cout << "--------------1：创建二叉树--------------" << endl;cout << "--------------2：前序遍历----------------" << endl;cout << "--------------3：中序遍历----------------" << endl;cout << "--------------4：后序遍历----------------" << endl;cout << "--------------5：总结点数----------------" << endl;cout << "--------------6：叶子节点数--------------" << endl;cout << "--------------7：树的深度----------------" << endl;cout << "--------------8：树根到叶子的最长路径----" << endl;cout << "--------------9：交换所有节点左右子女----" << endl;cout << "--------------10：顺序存储---------------" << endl;cout << "--------------11：显示顺序存储-----------" << endl;cout << "--------------12：退出测试程序-----------" << endl;cout << "请输入指令编号:" << endl;if(!(cin >> op)){cin.clear();cin.ignore(INT_MAX,'\n');cout << "请输入整数!" << endl;continue;}switch(op){case 1:test1();break;case 2:test2();break;case 3:test3();break;case 4:test4();break;case 5:test5();break;case 6:test6();break;case 7:test7();break;case 8:test8();break;case 9:test9();break;case 10:test10();break;case 11:test11();break;case 12:cout << "测试结束!" << endl;break;default:cout << "请输入正确的指令编号!" << endl;}}return 0;}六、实验数据及处理结果测试用例：1.创建二叉树（二叉链表形式）2.前序遍历3.中序遍历4.后序遍历5.总结点数6.叶子结点数7.树的深度8.树根到叶子的最长路径9.交换所有左右子女10.顺序存储七、思考讨论题或体会或对改进实验的建议通过这次实验，我掌握了二叉树的顺序存储和链式存储，体会了二叉树的存储结构的特性，掌握了二叉树的树上相关操作。
计算机数据结构知识点梳理 二叉树的定义及其主要特征
当 n ≠ 2k , 即 n 不是2的方幂或者 n = 2k 但是一棵满二叉树，其高度为
。
当 n = 2k 但是非满二叉树，其高度为
。
②有n个结点的完全k叉树的高度为
。
性质5推广：一棵满k叉树，如果按层次顺序从1开始对全部结点编号，
①编号为p=1的结点无父结点，否则编号为p结点的父结点的编号是
（k≥2）；
[题1]若一棵二叉树有126个结点，在第7层（根结点在第1层）至多有（ ）个结点。
A.32
B.64
C.63
D.不存在第7层
分析：根据二叉树的性质，第7层至多有64（27-1）个结点，但是题目中给出了二叉树的结点 总数126，由此来判断第7层是否可以有64个结点？
要在二叉树的第7层达到最多的结点个数，其上面6层必须是一个满二叉树，深度为6的满 二叉树有63（26－1）个结点，由此可以判断出此二叉树的第7层不可能达到64个结点，最 多是126-63=63个结点。
（2）完全二叉树：一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到 右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树 中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。它的特点是：叶子结点只能出现在最下 层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。
任何完全二叉树中度为1的结点只有0个或1个。
中的所有结点从1开始顺序编号，则对于任意的序号为i的结点，有：
（1）如果i＞1，则序号i的结点的双亲结点的序号为 ；如果i＝1，则序号为i的结点是根 结点，无双亲结点。
（2）如果2i≤n，则序号为i的结点的左孩子结点的序号为2i；如果2i＞n，则序号为i的结 点无左孩子。
（3）如果2i＋1≤n，则序号为i的结点的右孩子结点的序号为2i＋1；如果2i＋1＞n，则 序号为i的结点无右孩子。
数据结构中各种树
数据结构中各种树阅读⽬录 数据结构中有很多树的结构，其中包括⼆叉树、⼆叉搜索树、2-3树、红⿊树等等。
本⽂中对数据结构中常见的⼏种树的概念和⽤途进⾏了汇总，不求严格精准，但求简单易懂。
1. ⼆叉树 ⼆叉树是数据结构中⼀种重要的数据结构，也是树表家族最为基础的结构。
⼆叉树的定义：⼆叉树的每个结点⾄多只有⼆棵⼦树(不存在度⼤于2的结点)，⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒。
⼆叉树的第i层⾄多有2i-1个结点；深度为k的⼆叉树⾄多有2k-1个结点；对任何⼀棵⼆叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
⼆叉树的⽰例：满⼆叉树和完全⼆叉树： 满⼆叉树：除最后⼀层⽆任何⼦节点外，每⼀层上的所有结点都有两个⼦结点。
也可以这样理解，除叶⼦结点外的所有结点均有两个⼦结点。
节点数达到最⼤值，所有叶⼦结点必须在同⼀层上。
满⼆叉树的性质： 1) ⼀颗树深度为h，最⼤层数为k，深度与最⼤层数相同，k=h; 2) 叶⼦数为2h; 3) 第k层的结点数是：2k-1; 4) 总结点数是：2k-1，且总节点数⼀定是奇数。
完全⼆叉树：若设⼆叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～(h-1)层) 的结点数都达到最⼤个数，第h层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全⼆叉树。
注：完全⼆叉树是效率很⾼的数据结构，堆是⼀种完全⼆叉树或者近似完全⼆叉树，所以效率极⾼，像⼗分常⽤的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要⽤堆才能优化，⼆叉排序树的效率也要借助平衡性来提⾼，⽽平衡性基于完全⼆叉树。
⼆叉树的性质：1) 在⾮空⼆叉树中，第i层的结点总数不超过2i-1, i>=1; 2) 深度为h的⼆叉树最多有2h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点; 3) 对于任意⼀棵⼆叉树，如果其叶结点数为N0，⽽度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1; 4) 具有n个结点的完全⼆叉树的深度为log2(n+1); 5)有N个结点的完全⼆叉树各结点如果⽤顺序⽅式存储，则结点之间有如下关系： 若I为结点编号则如果I>1，则其⽗结点的编号为I/2； 如果2I<=N，则其左⼉⼦（即左⼦树的根结点）的编号为2I；若2I>N，则⽆左⼉⼦； 如果2I+1<=N，则其右⼉⼦的结点编号为2I+1；若2I+1>N，则⽆右⼉⼦。
常见基本数据结构——树，二叉树，二叉查找树，AVL树
常见基本数据结构——树，⼆叉树，⼆叉查找树，AVL树常见数据结构——树处理⼤量的数据时，链表的线性时间太慢了，不宜使⽤。
在树的数据结构中，其⼤部分的运⾏时间平均为O(logN)。
并且通过对树结构的修改，我们能够保证它的最坏情形下上述的时间界。
树的定义有很多种⽅式。
定义树的⾃然的⽅式是递归的⽅式。
⼀棵树是⼀些节点的集合，这个集合可以是空集，若⾮空集，则⼀棵树是由根节点r以及0个或多个⾮空⼦树T1,T2,T3,......,Tk组成，这些⼦树中每⼀棵的根都有来⾃根r的⼀条有向的边所连接。
从递归的定义中，我们发现⼀棵树是N个节点和N-1条边组成的，每⼀个节点都有⼀条边连接⽗节点，但是根节点除外。
具有相同⽗亲的节点为兄弟，类似的⽅法可以定义祖⽗和孙⼦的关系。
从节点n1到nk的路径定义为节点n1，n2，...，nk的⼀个序列，并且ni是ni+1的⽗亲。
这个路径的长是路径上的边数，即k-1。
每个节点到⾃⼰有⼀条长为0的路径。
⼀棵树从根到叶⼦节点恰好存在⼀条路径。
对于任意的节点ni，ni的深度为从根到ni的唯⼀路径长。
ni的⾼是从ni到⼀⽚叶⼦的最长路径的长。
因此，所有的树叶的⾼度都是0，⼀棵树的⾼等于它的根节点的⾼。
⼀棵树的深度总是等于它最深叶⼦的深度；该深度等于这棵树的⾼度。
树的实现实现树的⼀种⽅法可以是在每⼀个节点除数据外还要有⼀些指针，使得该节点的每⼀个⼉⼦都有⼀个指针指向它。
但是由于每个节点的⼉⼦树可以变化很⼤⽽且事先不知道，故在各个节点建⽴⼦节点的链接是不可⾏的，这样将会浪费⼤量的空间。
实际的做法很简单：将每个节点的所有⼉⼦都放在树节点的链表中。
下⾯是典型的声明：typedef struct TreeNode *PtrToNodestruct TreeNode{ ElementType Element; PtrToNode FirstChild; PtrToNode NextSibling}下⾯是⼉⼦兄弟表⽰法的图⽰：树的遍历及应⽤⼀个常见的使⽤是操作系统中的⽬录结构。
二叉树
7.1.2
二叉树的五种基本形态
Ф
左子树
(a) (b) (c)
右子树
(d)
左子树
(e)
右子树
7.1.3
两种特殊形态的二叉树
结点拥有的子树数称为该结点的度(degree)。度为零的结点称 为叶子(leaf)，其余结点称为分支结点(branch)。树中结点的最大的 度称为树的度。显然，二叉树结点的度可能为0、1或2。 根结点的层次(level)为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结 点的层次加1。树中结点的最大层次称为该树的高度或深度。 1．满二叉树 2．完全二叉树
7.6
本章小结
本章讨论了二叉树数据类型的定义以及实现方法。二叉树是 以两个分支关系定义的层次结构，结构中的数据元素之间存在着一 对多的关系，因此它为计算机应用中出现的具有层次关系或分支关 系的数据，提供了一种自然的表示方法。 二叉树是有明确的左子树和右子树的树形结构，因此当用二 叉树来描述层次关系时，其左孩子表示下属关系，而右孩子表示的 是同一层次的关系。 二叉树的遍历算法是实现各种操作的基础。遍历的实质是按 某种规则将二叉树中的数据元素排列成一个线性序列，二叉树的线 索链表便可看成是二叉树的一种线性存储结构，在线索链表上可对 二叉树进行线性化的遍历，即不需要递归，而是从第一个元素起， 逐个访问后继元素直至后继为空止。因此，线索链表是通过遍历生 成的，即在遍历过程中保存结点之间的前驱和后继的关系。
7.1.4
二叉树的几个特性
由二叉树的定义、形态，我们很容易的得出下面二叉树的 一些特性。 性质1 在二叉树的第i 层上至多有 2i-1 个结点(i≥1)。 性质2 深度为k的二叉树中至多含有2k-1 个结点(k≥1)。 性质3 对任何一棵二叉树 T，如果其终端结点数为，度为 2的结点数为，则。 性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2n+1。 性质5 如果对一棵有 n 个结点的完全二叉树（其深度为 log2n+1）的结点按层序（从第1层到第 log2n+1 层，每层从左到 右）从1起开始编号。
数据结构 第六章 树和二叉树
F
G
H
M
I
J
结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先
5
树的基本操作
树的应用很广，应用不同基本操作也不同。下面列举了树的一些基本操作： 1）InitTree(&T); 2）DestroyTree(&T); 3）CreateTree(&T, definition); 4）ClearTree(&T); 5）TreeEmpty(T); 6）TreeDepth(T); 7） Root(T); 8） Value(T, &cur_e); 9） Assign(T, cur_e, value); 10）Paret(T, cur_e); 11）LeftChild(T, cur_e); 12）RightSibling(T, cur_e); 13）InsertChild(&T, &p, i, c); 14）DeleteChild(&T,&p, i); 15）TraverseTree(T, Visit( ));
1
2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1
3
5 7
证明：设二叉树中度为1的结点个数为n1 根据二叉树的定义可知，该二叉树的结点数n=n0+n1+n2
又因为在二叉树中，度为0的结点没有孩子，度为1的结点有1 个孩子，度为2的结点有2个结孩子，故该二叉树的孩子结点 数为 n0*0+n1*1+n2*2(分支数） 而一棵二叉树中，除根结点外所有都为孩子结点，故该二叉 树的结点数应为孩子结点数加1即：n=n0*0+n1*1+n2*2+1
文件夹1
文件夹n
树和二叉树的定义
树的结构与特点
1
有根树
树的结构由根节点和子节点组成，根节点是整个树的起点。
2
无环图
树是一种无环的图，这意味着树中不存在回路或循环路径。
3
分级结构
Байду номын сангаас
树的层次结构使得数据可以按照分级关系进行组织和访问。
二叉树的结构与特点
查找和排序
二叉树的结构使得在其中进行查找和排序操 作更加高效，而树适用于组织和管理分级数 据。
树和二叉树的应用领域
1 数据库管理
树和二叉树广泛应用于数据库管理系统中，用于索引和组织数据。
2 编译器设计
编译器中常用的语法树和抽象语法树是树的变种，用于解析和分析程序代码。
3 网络路由
在网络路由算法中，树和二叉树被用于在网络中选择最佳的路径。
树和二叉树的定义
树和二叉树是在计算机科学中常见的数据结构。它们是由节点组成的有层次 结构，用于存储和组织数据。
树的定义
树的层次结构
树是一种非线性数据结 构，由根节点和多个子 节点组成。每个子节点 都可以再次拥有自己的 子树。
节点和边
树的节点表示数据元素， 而边代表节点之间的关 系。每个节点可以有多 个子节点，但只能有一 个父节点。
完全二叉树
二叉搜索树
完全二叉树是一种特殊的二 叉树结构，除了最后一层外， 其他层的节点都是满的。
二叉搜索树是一种有序的二 叉树，左子节点的值小于父 节点，右子节点的值大于父 节点。
平衡二叉树
平衡二叉树是一种高度平衡 的二叉树，保持左右子树的 高度差在一个可接受的范围 内。
树与二叉树的关系
数据结构5树资料
3.树的术语:
结点(node)
数据元素。
结点的度(degree)
结点的子树个数。
树中所有结点度的最大值。 度不为0的结点。 度为0的结点。 某结点子树的根结点。
树的度(degree) 分支(branch)结点
叶(leaf)结点 孩子(child)结点
2018/10/13 第5章 树和二叉树
同构型
19/112
A
异构型
B
C
D
E
F
G
H
I
J
孩子表示法－－ c语言描述 (同构型)
typedef struct TreeNode
{ DataType data;
struct TreeNdoe *Son[MAXSON];
} nodetype;
2018/10/13 第5章 树和二叉树 20/112
a b d i e j f c g h
2018/10/13
第5章 树和二叉树
2/112
除根以外的其它结点划分为m (m 0)个互不相交 的有限集合T0, T1, …, Tm-1，每个集合又是一棵树， 并且称之为根的子树(SubTree)。
每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但可 以有0个或多个直接后继。
B E F C G H D I J
E，F，B，G，C，H，I，J， D，A
第5章 树和二叉树 26/112
2018/10/13
3.层序遍历
按层次顺序（1,2,…）遍历，同一层按从左 到右的顺序。
A B E F C G H D I J
遍历序列： A，B，C，D，E，F，G，H，I，J
软件技术--树与二叉树
（3 ） 若*p结点的左子树和右子树均不为空。
五、哈夫曼树的应用
1、什么是哈夫曼树
假设有n个权值{w1，w2，…，wn}，试构造一棵有n 个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wi，则其中带 权路径长度WPL最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫 曼树。
2、 树的基本术语
结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。 叶子结点：度为0的结点称为叶子（Leaf）或终端结点。 非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结 点之外，分支结点也称为内部结点。
树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。 树中结点之间的关系：在描述结点之间的关系时，通常用家族关 系来形象的称呼结点之间的联系。结点的子树的根称为该结点的孩 子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parents）或父结点。 同一个双亲的孩子之间称为兄弟（Sibling）。 结点的层次（Level）：一棵树从根开始定义起，根为第一层，根的 孩子为第二层，…，依此类推。若某结点在第i层，则其子树的根就 在第i＋1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
(4) 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n＋1。
3、几种特殊的二叉树
• 满二叉树：深度为K，且存在2K-1个结点的二叉树。 • 完全二叉树：至多只有最下面两层上的结点度数可以小于
2，并且最下层结点都集中在该层最左边的位置。 • 平衡二叉树：或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：
每次插入一个结点的递归算法
struct node {anytype data; struct node *lchild; struct node *rchild; } *root; void insnode(t,d) struct node *t; anytype d;