现代控制理论(第四章)

元素
和时间 的函数。一般地，为时变的非线性函数。
如果不显含 ，则为定常的非线性系统。
设方程式(1)在给定初始条件
下，有唯一解：
式中，
为表示 在初始时刻
（2） 时的状态； 是从
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开始观察的时间变量。
式(2)实际上描述了系统式(1)在n 维状态空间中从初始条件
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
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系统稳定性的定义与李雅普诺夫方法
控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。扰动消失后，偏差 逐渐变小，能恢复到原来的平衡状态，则稳定。偏差逐渐变大，不能恢复到 原来的平衡状态，则不稳定。 李雅普诺夫第一法：求解微分方程，根据解的方法判断稳定性
几何意义：
初始状态有界，随时间推 移，状态向量距平衡点越 来越远。
x2
S( )
xe
x1
S( )
注：在经典控制理论中，渐近稳定系统才称作稳定系统，而李雅普诺夫意义下的 稳定但不是渐近稳定的系统（临界稳定），在工程上属于不稳定系统。
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4.2 李雅普诺夫第一法
出
发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。
若系统式(1)存在状态矢量 ，对所有 ，都使：
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（3）
成立，则称 为系统的平衡状态。
对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯
一的，例如对线性定常系统：
（4）
当A为非奇异矩阵时，满足
的解
是系统唯一存在的一个
平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。
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对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所 确定的常值解．例加系系统：
就有三个平衡状态：
稳定性都是相由于平衡点而言，任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐
标变换将其 移到坐标原点
处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的
4.2.1 线性系统的稳定判据 线性定常系统
（1）
平衡状态 实部。
渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负
以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义
上看，往往更重视系统的输出稳定性。
如果系统对于有界输入 稳定。
线性定常系统
所引起的输出 是有界的，则称系统为输出 输出稳定的充要条件是其传递函数：
x 若系统方程的平衡状态 e 不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有
lt i m x(t;x0,t0)xe 0
x 则称系统的平衡状态 e 是渐近稳定的。
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几何意义：
x 当 t时，从S( ) 出发的轨迹不仅不超出 S( )，而且最终收敛于 e，则
稳定性就可以了。
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4.1.2 稳定性的几个定义
若用
表示状态矢量 与平衡状态 的距离，用点集
以 为中心 为半径的超球体，那么
，则表示：
式中，
为欧几里德范数。
在n维状态空间中，有：
（5）
表示
当 很小时，则称
则意味着
域
内，便有：
（6）
为 的邻域。因此，若有
初始状态有界，随时间推移，状 态向量距平衡点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到达不了平衡点。
x2
S( )
xe
x1
S( )
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2、渐近稳定
x 设系统初始状态位于以平衡状态 e 为球心， 为半径的闭球域 S( )内，即
x0xe tt0
，
同理，若方程式(1)的解
位于球
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（7） 式(7)表明齐次方程式(1)内初态 或短暂扰动所引起的自由响应是有界 的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。
1．李雅普诺夫意义下稳定 2．渐近稳定 3．大范围渐近稳定 4．不稳定
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1、李雅普诺夫意义下稳定
设系统对于任意选定的 0 ，都对应的存在另一实数 (,t0)0使当
x0xe tt0
时，从任意初始状态出发的解都满足
x (t;x 0,t0) x e, t t0
x 则称系统的平衡 状态
在李雅普诺夫意义下稳定。------简称为稳定
e
t 其中 与 有关，一般情况下也与 0 有关。
如果 与初始时间无关，称为一致稳定。
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几何意义：
任给一个从球域 S(，) 出发的若存在一个球域 S ( )使得当 t时，从S( ) 出发的轨迹不离开 S ( ，) 则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下的稳定。
李雅普诺夫第二法：构造李雅普诺夫标量函数判定稳定性，在最优控制、滤 波、自适应控制等方面有广泛应用。
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4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
4.1.1 系统状态的运动及平衡状态 设所研究系统的齐次状态方程为
（1）
式中， 为 维状态矢量； 为与 同维的矢量函数，它是x的各
称系统的平衡状态是渐近稳定的。
x2
初始状态有界，随时间推移， 状态向量距平衡点的距离可 以无限接近，直至到达平衡 点后停止运动。
S( )
xe
x1
S( )
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3、大范围渐近稳定
当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平 衡状态是大范围渐近稳定的。
几何意义：
当 t时，从状态空间任意一点出发的轨迹都
x 收敛于 e 。
初始状态在整个状态空间时，平衡状态都渐近稳定。
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4、不稳定
如果对于某个实数 0 和任一个实数 0，不管这 有多小，在 S( )
x 内 出发的状态轨迹，至少有一个轨线超出 S ( )， 则称此平衡状态 e 是不稳定的。