122排列组合(分类习题)

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学案7：1.2.2 组合

1.2.2 组合（二）学习目标1.掌握几种有限制条件的排列问题．2.能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题．讲练互动探究点1无限制条件的排列问题例1(1)利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(2)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？互动探究变条件若将本例(2)中的“有5本不同的书”改为“有5种不同的书”，则有多少种不同的送法？方法归纳求解有关排列的实际应用问题的步骤第一步，正确地理解题意，这也是最关键的一步；第二步，在第一步的基础上，看能否把问题归结为排列问题，即问题中是否要求顺序，也即看当选出的元素位置发生变化时，结果是否一样；第三步，如果是排列问题，要善于把题目中的文字语言翻译成排列的相关用语；第四步，根据排列的知识、方法求出排列的方法种数．跟踪训练1.把3张不同场次的电影票分给10人中的3人，分发种数为()A．2 160种B．240种C．720种D．120种2．从100个两两互质的数中取出两个，其商的个数为________．探究点2元素“相邻”与“不相邻”问题例23名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻．方法归纳“相邻”与“不相邻”问题的解决方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．跟踪训练5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为()A．18 B．24C．36 D．48探究点3元素“在”与“不在”问题例3六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．反思提升“在”与“不在”问题的解决方法跟踪训练1.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人不排在两端，不同的排法共有()A．2 400种B．3 600种C．4 800种D．7 200种2．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？(1)六位数且是奇数；(2)个位上的数字不是5的六位数．当堂检测1．用1，2，3，…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为() A．324B．224C．360 D．6482．已知6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种B．360种C．480种D．720种3．5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种．4．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能站中间或两端；(2)全体站成一排，男生必须排在一起．课堂小结1.解排列应用题的基本思想实际问题――→化归（建模）排列问题――→求数学模型的解求排列数――→得实际问题的解实际问题2．解有限制条件的排列问题的基本思路限制条件解题策略特殊元素通常采用“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素特殊位置通常采用“位置分析”法，即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置元素相邻通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列元素不相邻通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中参考答案讲练互动探究点1无限制条件的排列问题例1解：(1)本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故有A34＝4×3×2＝24种排法，即可以组成24个没有重复数字的三位数．(2)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A35＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．互动探究变条件解：由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法．跟踪训练1.【答案】C【解析】有A310＝720种不同的分法．2．【答案】A2100(或9 900)【解析】从100个两两互质的数中取出两个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为A2100.探究点2元素“相邻”与“不相邻”问题例2解：(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288种排队方法．(2)三个男生全排列有A33种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A55种排法．故有A33·A55＝720种排队方法．(3)先安排女生，共有A44种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A35种排法，故共有A44·A35＝1 440种排法．(4)排好男生后让女生插空，共有A33·A44＝144种排法．跟踪训练【答案】C【解析】5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A33×A22＝36(种)．探究点3元素“在”与“不在”问题例3解：(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A14·A55＝480种．法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A25种站法，然后其余4人有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A25·A44＝480种．法三：若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A66－2A55＝480种．(2)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A22·A44＝48种站法．(3)法一：甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A44种，共有A66－2A55＋A44＝504种站法．法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有A55种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A14·A14·A44种，故共有A55＋A14·A14·A44＝504种站法．跟踪训练1. 【答案】A【解析】可分两步：第一步，排两端，从5名志愿者中选2名全排有A25＝20(种) 排法；第二步，剩余3名志愿者与2位老人全排列有A55＝120(种)排法．根据分步乘法计数原理，共有20×120＝2 400(种)排法．2．解：(1)法一：从特殊位置入手(直接法)：第一步：排个位，从1，3，5三个数字中选1个，有A13种排法；第二步：排十万位，有A14种排法；第三步：排其他位，有A44种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A13A14A44＝288(个)．法二：从特殊元素入手(直接法)：0不在两端，有A14种排法；从1，3，5中任选一个排在个位上，有A13种排法；其他数字全排列有A44种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有A14A13A44＝288(个)．法三：(排除法)①从整体上排除：6个数字的全排列数为A66，0，2，4在个位上的排列数为3A55，而1，3，5在个位上，0在十万位上的排列数为3A44，故符合题意的六位数奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．②从局部上排除：1在个位上的排列有A55个，其中0在十万位上的排列有A44个，故1在个位上的六位奇数有(A55－A44)个，同理，3，5在个位上的六位奇数也各有(A55－A44)个，因此符合题意的六位奇数共有3(A55－A44)＝288(个)．(2)法一：(排除法)6个数字的全排列有A66个，0在十万位上的排列有A55个，5在个位上的排列有A55个，0在十万位上且5在个位上的排列有A44个，故符合题意的六位数共有A66－A55－(A55－A44)＝504(个)．法二：(直接法)个位上不排5，有A15种排法．但十万位上数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此，需分两类：第一类，当个位上排0时，有A55种排法；第二类，当个位上不排0时，有A14·A14·A44种排法．故符合题意的六位数共有A55＋A14·A14·A44＝504(个)．当堂检测1．【答案】B【解析】先排个位数，有A14种，然后排十位和百位，有A28种，故共有A14A28＝224个没有重复数字的三位偶数．2．【答案】C【解析】先排甲，有4种；剩余5人全排列有A55＝120(种)，所以不同的演讲次序有4×120＝480(种)．故选C.3．【答案】86 400【解析】第1步，先排5位母亲的位置，有A55种排法；第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：母亲____母亲____母亲____母亲____母亲____，共有A56种排法．由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有A55·A56＝86 400种．4．解：(1)(特殊元素优先法)先考虑甲的位置，有A13种方法，再考虑其余6人的位置，有A66种方法．故有A13·A66＝2 160种方法．(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有A33·A55＝720种不同的排法．。

1.2.2排列组合应用题( 二)

排列组合应用题（二）学习目标：1．知识：能运用排列组合知识解决有条件限制的简单应用题；2．能力：通过对排列组合应用题的解决，提高学生分析问题与解决问题的能力；3．方法：排列组合综合题（先定元素后定序）；分配（均分分步有序，不均分分步无序）；分堆（均分分步要除序，不均分分步正当时）学法指导：排列组合综合题（先定元素后定序）；分配（均分分步有序，不均分分步无序）；分堆（均分分步要除序，不均分分步正当时）学习过程：一、复习与回顾：1．两个计数原理；2．排列与组合的区别；3．排列数与组合数的计算；二、典型例题：例1：5名男生和4名女生，从中任选5人，参加5项不同的活动（1）5人中恰有3男2女；（2）5人中恰有3男2女，但男甲和乙女不可同去；（3）5人中至多有3名男生；小结：排列组合综合问题处理方法：先再例2：6本不同的书分给甲、乙、丙三人（1）甲3本、乙2本、丙1本；（2）一人3本、一人2本、一人1本；（3）每人2本；（4）一人4本，其余两人各1本。

小结：分配问题处理方法：（1）平均分配：；（2）不均分配（无序）；不均分配（有序）例3：6本不同的书进行分堆：（1）分三堆，每堆2本；（2）分三堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；（3）分四堆，两堆各2本，其余两堆各1本；（4）分三堆，一堆4本，其余两堆各1本小结：均分堆分步含序要；不均分堆；例4：（1）某公路上亮着9盏路灯，现为了节约用电，要求灭掉其中的3盏灯，但两端的灯不能灭掉，且不能灭掉相邻的两盏灯，问有多少种不同的办法？（2）8个三好生名额分给六个班级，每班至少一个名额，一共有多少种不同的分法？（3）8个三好生名额分给三个班级，每班至少两个名额，一共有多少种不同的分法？三、课堂小结：四、练习与作业：1.从1、3、5、7、9中任选3个数，从2、4、6、8中任选两个数，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？2.从5名男生和4名女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到4个不同的工厂调查，不同的分配方法有多少种？3.6名实习医生分到三家不同的医院进行实习，（1）要求每家医院2人，有多少种分法？（2）甲医院1人，乙医院2人，丙医院3人，有多少种不同的分法？4.6张无座的足球票，分给4人，每人至少一张，有多少种不同的分法？。

(完整版)排列组合题型分类解析(教师版)

排列组合题型分类解析一. 知识梳理：1、两个计数原理：___________________________(分类)____________________________(分步)2、排列：（1）排列的定义：_______________________（2）排列数公式：__________________________3、组合：（1）组合的定义：_______________________（2）组合数公式：__________________________（3）组合数性质：①______________②_______________二.排列组合题常见解法.1. 分类法.例1：50件产品中有4件是次品从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共多少种．解析：分两类，有4件次品抽法14644C C ⋅；有三件次品的抽法24634C C ⋅，所以共有14644C C ⋅ +24634C C ⋅＝4186种不同的抽法．练习1. 假设在100件产品中有3件次品，从中任意抽取5件. ①至少有两件是次品的抽法共多少种? ②至多有两件是次品的抽法共有多少种?2. 捆绑法例2： 6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有___种 ( C )(A)720种 (B)360种 (C)240种 (D)120种解析将甲、乙两人视为一人，则有55A 种，再将甲、Z 两人互换位置，则共有5522A A ⋅=240种.练习2. 7个人按如下各种方式排队照相, 甲乙两人要站在一起的排法共有多少种?练习3. 6人站成一排，其中甲乙丙不全相邻的排法共有_________种3. 对称法例3. A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一排，若B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻)．则不同排法共有( )。

A. 24种B. 60种C. 90种D. 120种解析：考虑对称性，B 在A 右和A 在B 右机会均等．应得排法5521A =60种．说明本题还可以推广到更为一般的情况，m 个人并排站成一排，其中n(m>n)个人的相对顺序一定，共有n n m m A A 种．如例3中，若A 、B 、C 顺序一定，共有3355A A =20种。

高中数学排列组合试题集（含答案）

绝密★启用前2019-2020学年度学校2月月考卷试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲、丁不相邻的不同的排法种数为（）A ．12B ．14C ．16D ．182．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（）A ．120种B ．240种C ．144种D ．288种3．凸10边形内对角线最多有( )个交点A ．210AB ．210C C ．410AD ．410C 4．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A ．30 B ．36 C ．60 D ．725．将7个座位连成一排，安排4个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）A ．240B ．480C ．720D ．9606．设集合(){}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（）A ．60B ．90C ．120D ．1307．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1,2,,6)i i =⋅⋅⋅，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有（）A ．22种B ．24种C ．25种D ．27种8．从装有1n +个不同小球的口袋中取出m 个小球（0,,m n m n N <≤∈），共有1mn C +种取法．在这1mn C +种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有01m n C C ⋅种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有111mn C C -⋅种取法．显然011111m m m n n n C C C C C -+⋅+⋅=，即有等式：11m m mn n n C C C -++=成立．试根据上述想法，下面式子1122m m m k m kn k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅（其中1,,,k m n k m n N ≤<≤∈）应等于（）A ．m n k C +B ．+1m n kC + C ．+1m n k C +D ．kn m C +9．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（）A ．300种B ．150种C ．120种D ．90种10．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( ) A ．72 B ．60 C ．36 D ．3011．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（不同排课顺序共有（）A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（）A ．234B ．363C ．350D ．34613．2015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人A B 、、C 、D 、E ，除B 与E 、D 与E 不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤．现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有（们单独会晤的不同方法共有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．8种14．某班级星期一上午要排5节课，语文、数学、英语、音乐、体育各1节，考虑到学生学习的效果，第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有( )A ．14种B ．16种C ．20种D ．30种15．一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a b c <<，c d e >>（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是( )A ．8568B ．2142C ．2139D ．113416．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( ) A ．50种 B ．60种C ．120种D ．210种17．6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种A ．24B ．36C ．48D ．6018．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A ．18B ．24C ．30D ．3619．某学校高三有四个优秀的同学甲､乙､丙､丁获得了保送到重庆大学､西南大学和重庆邮电大学3所大学的机会,若每所大学至少保送1人,且甲同学要求不去重庆邮电大学,则不同的保送方案共有( )种A ．24B ．36C ．48D ．6420．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．90种21．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++L ，则9a =（） A ．9 B ．10 C ．-9 D ．-1022．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A ．2764B ．916C ．81256 D ．71623．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（）A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种24．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（）A ．100种B ．60种C ．42种D ．25种25．设集合12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5}i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件12345"1||||||||||3"x x x x x ≤++++≤的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．13026．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（） A ．72 B ．144 C ．150 D ．18027．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种A ．60B ．90C ．120D ．15028．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（）A ．90B ．15C ．36D ．2029．若矩阵12341234a a a a b b b b ⎛⎫⎪⎝⎭满足下列条件：①每行中的四个数均为集合{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足则满足①②条件的矩阵的个数为( )A ．48B ．72C ．144D ．264名同学准备拼车去旅游，其中其中()1班、()2班，()3班、年元旦假期，高三的高三的8名同学准备拼车去旅游，()4班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中()1班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A．18种B．24种C．48种D．36种31．从1，3，5，7，9中任取两个数，从0，2，4，6，8中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．2100 B．2200 C．2160 D．240032．安排A，B，C，D，E，F，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义义工A不安排照顾老人甲，义工B 工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有（）A．30种B．40种C．42种D．48种33．为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等点．若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为（）A．3600 B．1080 C．1440 D．252034．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A．10 B．11 C．12 D．15第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明卷的文字说明参考答案1．B【解析】从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为5,4,3,2,1.要求4,1不相邻，分四类：①先排5,4时，则1只有1种排法，3,2在剩余的两个位上，这样有2222A A 4=种排法；②先排5,3时，则4只有1种排法，1,2在剩余的两个位上，这样有2222A A 4=种排法；③先排2,1时，则4只有1种排法，5,3在剩余的两个位上，这样有2222A A 4=种排法；④先排3,1时，则这样的排法只有两种，即43512,21534综上共有142444=+++种，故选B. 考点：排列与计数原理知识的运用.2．D【解析】【分析】首先计算出“黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，然后计算出“红色在左右两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，用前者减去后者，求得题目所求不同的涂色方案总数.【详解】不考虑红色的位置，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案有()22323234432C A A A ⋅⋅=种. 这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有()2212232223144C A C A A ⋅⋅⋅=种；从而所求的结果为432144288-=种.故选D. 【点睛】本小题主要考查涂色问题，本小题主要考查涂色问题，考查相邻问题、考查相邻问题、考查相邻问题、不在两端的排列组合问题的求解策略，不在两端的排列组合问题的求解策略，不在两端的排列组合问题的求解策略，考查对立考查对立事件的方法，属于中档题.3．D【解析】【分析】【分析】根据凸n 边形内对角线最多有个交点的公式求得.【详解】【详解】凸n 边形内对角线最多有4n n C - 个交点，又10441010C C -= ，故选D. 【点睛】本题考查凸边形内对角线最多有个交点的公式，属于中档题.4．C【解析】【分析】记事件:A 2位男生连着出场，事件:B 女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦，再利用排列组合可求出答案。

人教版数学高二选修2-3 1.2排列组合题的常见题型归类分析

排列、组合题的常见题型归类分析山东省利津县第一中学胡彬 257400排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，本文介绍十二类典型排列组合题的归类分析解答．1．相邻问题并组法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．【例1】A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果A 、B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 [ ]A ．60种B ．48种C ．36种D ．24种分析把A 、B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人全排列,共有2444=A 种,故选D.2．相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是[ ]A ．1440B ．3600C ．4820D ．4800分析除甲、乙外,其余5个的排列数为55A 种,再用甲、乙去插6个空位有26A 种不同的排法种数是36002655=A A 种,故选B. 3．定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．【例3】A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站A 的右边(A 、B 可不相邻)，那么不同的排法种数有[ ]A ．24种B ．60种C ．90种D ．120种分析 B 在A 右边与B 在A 左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即602155=A 种, 故选B. 4．标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．【例4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 [ ]A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种分析先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1＝9种填法，故选B ．5．有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[ ]A ．1260种B ．2025种C ．2520种D ．5040种分析先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1个承担两项任务，不同的选法共有:25201718110=C C C 种, 故选C.6．多元素问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计．【例6】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 [ ]A ．210个B ．300个C ．464个D ．600个分析按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个、331314A A A 个、331313A A A 个、331312A A A 个、3313A A 个,合并总计得300个, 故选B.【例7】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法(不计顺序)共有多少种？分析被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被7整除的数的集合记作A ，则A ＝｛7，14，…98｝共有14个元素，不能被7整除的数的集合{}100,99,2,1⋅⋅⋅=A 共有86个元素.由此可知,从集合A 中任取两个数的取法,共有214C 种; 从集合A 中任取一个数又从集合A 中任取一个数的取法,共有186114C C 种,两种情形共得符合要求的取法有1295186114214=+C C C 种. 【例8】从1，2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少？分析将Ⅰ＝｛1，2，…，100｝分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A ＝｛4，8，…， 100｝；被4除余1的数集B ＝｛1，5，…，97｝；被4除余2的数集为C ＝｛2，6，…98｝；被4除余3的数集为D ＝｛3，7，…99｝，易见这四个集合，每一个都含25个元素；从A 中任取两个数符合要求；从B 、D 中各取一个数的取法也符合要求；从C 中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都不符合要求.由此可得符合要求的取法共有225125125225C C C C ++(种).7．交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A ∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A ∩B)【例 9】从6名运动员中选出4个参加4×100m 接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A ＝｛甲第一棒的排列｝，B ＝｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()25224353546=+--=⋂+--A A A A B A n B n A n I n (种)8．定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有________种．分析老师在中间三个位置上任选一个位置,有13P 种;然后4名同学在其余4个位置上有44A 种,共有724413=A A 种. 9．多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．【例11】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ]A ．36B ．120C ．720D ．1440．分析前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素排成一排,共72066=A 种,故选C.【例12】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？分析看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有24A 种;某1个元素在后半段四个位置中任选一个,有14A 种;其余5个元素任排在剩余的5个位置上有55A 种,故共有5760552414=A A A 种排法. 10．“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有 [ ]A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种分析逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机,故不同取法共有70353439=--C C C 种,故选C.11．选排问题先取后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．【例14】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？分析先取男、女运动员各两名,有2425C C 种;这四名运动员混双练习有22A 种排法,故共有222425A C C 种分组法.12．部分合条件问题排除法在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．【例15】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 [ ]A ．70个B ．64个C ．58个D ．52个分析正方体8个顶点,从中每次取四个点,理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有581248=-C 个,故选C.。

排列组合题集(含详细标准答案)

排列组合题集一、解决排列、组合问题常用方法：两个原理、优限法、排除法、捆绑法（视一法）等可能法、固定模型、树图法等，但最基础的是“两个原理” . 、排列、组合问题大体分以下几个类型、插空法、隔板法、类型一：排队问题例1： 7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲不站排头，乙不站排尾 ____________________ （2）甲、乙两人不站两端 _____ 甲、乙两人相邻 ______________________________ （ 4）甲、乙两人不相邻 _____ 甲、乙之间隔着 2人_________________________ （6）甲在乙的左边 ____________ 若7人顺序不变，再加入 3个人，要求保持原先 7人顺序不变 __________________若7人中有4男生，3女生，男、女生相间隔排列 _____________ 7人站成前后两排，前排 3人，后排4人的站法 ________________ 甲站中间 ______ （ 11）7人中现需改变3人所站位置，则不同排法若7人身高各不相同，则按照从高到低的站法_____________________ 甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法 ______________ 若甲、乙两人去坐标号为 1，2, 3, 4，5，6, 7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法类型二：分组与分配问题例2:将6本不同的书，若按如下方式来分，则不同分法种数有：（1 ）平均分成3堆，每堆2本 _____________________ （ 2 ）分给甲、乙、丙3人，每人2本___ 分成3堆，每堆本数分别是1, 2, 3， ________________ （4）分给甲1本，乙2本，丙3本_ 分给3人，1人1本，1人2本，1人3本 ______________________ 分给甲、乙、丙 3人，每人至少1本 _________________________ 若将6本不同书放到5个不同盒子里，有 ___________ 种不同放法若将6本不同书放到5个不同盒子里，每个盒子至少1本，则有若将6本不同书放到6个不同盒子里，恰有一个空盒子的方法_ I 若将6本书放到四个不同盒子中，每个盒子至少一本 _____________ 若将6本编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的不同的书放到编号为 1, 2, 3, 4, 5, 6的6个不同盒子中, 要求有3本书的编号与盒子不一致的放法 _______________）将6名优秀指标分到4个不同的班中去，每班至少从中得出注意问题：分清是否是平均分配，有无归属，如C 2 C 2本书按2, 2, 3来分有C 7斗丝A(3) (5) (7) (8) (9)(10) (12) (13)(14)(3) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)(12) 种分法。

排列组合应用题求解专题

有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
种.
解：符合条件的要求着色至少
2
须要三种颜色，故可分为： 3
1
5
（1）使用三种颜色时，
4
A 2与4同色且3与5同色，共有 3 种方法 4
（2）使用四种颜色时，
A 若2与4同色，有
4 4
种方法；若3与5
同色，也有 A44 种方法
所以不同的着色方法共有 A43 2A44 72 种
(2)2张2一起出，3张A分两次出，有种 C32 A53 方法
(3)2张2一起出，3张A分三次出，有种 A54 方法
(4)2张2分开出，3张A一起出，有种 A53 方法
(5)2张2分开出，3张A分两次出，有 C32 A54 种方法.
(6) 2张2分开出，3张A分三次出，有 A55 种方法
因此，共有不同的出牌方法 A55 A52 A54 C32 A53 A53 C32 A54
7、全体学生手拉手站成一圈
7、机会均等法：七个人站成一圈，有七个
接点，从不同的接点剪开后得到的排列数就
是七人的全排 A77 ，而七个人站成一圈，只
有顺序之分，无位置之分，所以满足条件的
排法为 A77 种
7
练习
例题一、12个相同的小球放入编号为 1、 2、3、4的盒子中：
（1）、每个盒子中至少有一个小球的不同方法有多少种？
法能一满样足，条有件，C和53 种（放1）法的解法一样，有 C53
种放法
练习
例题一、按以下要求分配6本不同的书, 各有几种分法？
(1) 平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2) 平均分成三份，每份2本；
(3)分成三份，一份一本，一份2本，一份3本；

122组合(1)

例练
例1.计算：（1）C102 （2）C108
例2.已知：C
3 n
An2
，求n的值.
例3.(1) 平面内有10个点，以其中每2个点为端点
的线段共有多少条？
C120
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向
线段共有多少条？
C120 A22
例4.凸n(n>3)边形有多少条对角线？ Cn2 n
(2)再将它们排成一列.
选法：Cnm 种. 排法：Amm 种.
Anm
C
m n
Amm
由 Anm
C
m n
Amm
得：
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m(m 1)
(n m 1) 321
而：Anm
n! , (n m)!
Amm
m!
所以：Cnm
n! m !(n m)!
C
n n
1.
规定： Cn0 1.
3 4
4
bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb
A43
24
C
3 4
A33
3.组合数公式：
求：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的排列数，就是先从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，再将它们排成一列，求共有多少种不同的排法.
(1)先从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素.
元素的组合数，记为：C
m n
练习：写出从a,b,c,d4个元素中任取3个元素的所有组合、
排列.
abc
abc, acb, bac, bca, cab, cba
组 abd 合
acd
abd, adb, bad, bda, dab, dba

高二数学 1. 2. 2 组合(一)

1. 2. 2 组合（一）【自主检测】1．从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有种不同的选法；2.从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有种不同的选法；3.判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．【典型例题】例1.（1）写出由五个元素a 、b 、c 、d 、e 中任取三个元素的所有组合,并求出其组合数.（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？例2.计算：（1）47C ；（2）710C ；例3.求证：11+⋅-+=m n mn C m n m C【课堂检测】1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（）（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有种不同的选法;从6位同学中选出2人去参加座谈会，有种不同的选法3．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成种币值.4．计算：（1）315C ；（2）3468C C【总结提升】1.掌握组合及组合数的定义，理解组合模型特征，会用组合模型解决符合组合问题特征的实际问题；2.组合和排列是两个不同的数学模型，应用时注意区分两者的特征，排列选出的m 个元素讲究顺序，而组合选出的m 个元素是不讲究顺序的，但二者之间也是有联系，排列可以看成是先选出m 个元素，再排列顺序，其中选出m 个元素的过程恰是组合的过程.【学习目标】 1 理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.正确认识组合与排列的联系与区别 .【自主学习】1．什么是组合数？2．组合数公式的推导过程是什么？3．组合数公式的限制条件是什么？4. 组合数公式与排列有什么关系？【自主检测】1．从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有种不同的选法；2.从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有种不同的选法；3.判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．【典型例题】例1.（1）写出由五个元素a 、b 、c 、d 、e 中任取三个元素的所有组合,并求出其组合数.（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？例2.计算：（1）47C ；（2）710C ；例3.求证：11+⋅-+=m n mn C m n m C【课堂检测】1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（）（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有种不同的选法;从6位同学中选出2人去参加座谈会，有种不同的选法3．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成种币值.4．计算：（1）315C ；（2）3468C C ÷ 【总结提升】1.掌握组合及组合数的定义，理解组合模型特征，会用组合模型解决符合组合问题特征的实际问题；2.组合和排列是两个不同的数学模型，应用时注意区分两者的特征，排列选出的m 个元素讲究顺序，而组合选出的m 个元素是不讲究顺序的，但二者之间也是有联系，排列可以看成是先选出m 个元素，再排列顺序，其中选出m 个元素的过程恰是组合的过程.。

122组合习题

4 6 4
练习：、某学习小组有5个男生个女生，从中选3名个男生3个女生练习：1、某学习小组有个男生个女生，从中选名男生和1名女生参加三项竞赛活动每项活动至少有1 名女生参加三项竞赛活动，男生和名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有人参加，则有不同参赛方法______种. 人参加，则有不同参赛方法种
C C = 60
1 6 2 5
（3）分为三份，一份一本，一份二本，一份三本。分为三份，一份一本，一份二本，一份三本。（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一分给甲、丙三人，一人一本，一人二本， 1 2 3 人三本。人三本。 C6C5 A3 = 360 C1C1
6 5
（5）分给三堆，有两堆各一本，另一堆4本分给三堆，有两堆各一本，另一堆4 （6）摆在三层书架上，每层两本摆在三层书架上，
二、不相邻问题插空法
只路灯，例、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节某城新建的一条道路上有只路灯省用电而不影响正常的照明，省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏但两端的灯不能熄灭，灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（盏灯，可以熄灭的方法共有（） 3 3 3 3 A C8 种（B） 8 种（C） 9 种（D） 11 种 C C （A）））））
四、元素交叉问题
某出旅行社有9名导游，其中有5 例4、某出旅行社有9名导游，其中有5人只会英语，人只会日语，还有1 会英语，3人只会日语，还有1人既会英语又会日语，现从这9人中选出3人会英语，会日语，现从这9人中选出3人会英语，2人会日语，有多少种不同的选法？日语，有多少种不同的选法？
（3）、将四个小球分成两组，一组三个，一组一个，有）、将四个小球分成两组，一组三个，一组一个，将四个小球分成两组多少分法？多少分法？（4）、将四个小球分给甲乙两人，一人三个，一人一）、将四个小球分给甲乙两人，一人三个，将四个小球分给甲乙两人有多少分法？个，有多少分法？

原创1 ：1.2.2组合（二）

类，分析分别从每类元素抽取多少个元素来组成所要抽取的元素，一般用
分类加法原理．
2．常见的分组问题
(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
3．解决与几何图形有关的组合问题时，要充分挖掘图形的隐含条件，转化
5
解：(1) 12
＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有92 ＝36种
不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有95 ＝126种
不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，
有31 ＝3种选法，再从另外的9人中选4人有94 种选法．共有31 94 ＝378种
62 42 22 ＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有
61 52 33 33 ＝360种方法；③“1、1、4型”，有64 33 ＝90种方
法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．
几何中的组合问题
例3. (1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？
为有限制条件的组合问题求解．
第一章
计数原理
§1.2.2组合（二）
高中数学选修2-3·精品课件
学习目标
1.进一步深化排列与组合的概念，熟练排列数公式及组合数公式．
2．应用排列与组合知识解决简单的实际问题．
自学检测
1.按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB四种之一，依血型
遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女一定不是O型，

§122组合3

§122 组合（3）d &d -学习目标1. 进一步理解组合的意义，区分排列与组合；2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；3. 熟练运用排列与组合，解较简单的应用问题 .•心•学习过程一、课前准备（预习教材P 23~ P 25，找出疑惑之处）复习1：⑴ 从_个 ________ 元素中取出 _（m <n ）个元素的 _______ 组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 _表示；从 _个 ____________________ 元素中取出（m < n ）个元素的的个数，叫做从n 个不同元素取出 m 元素的排列数，用符合 ____ 表示.⑵ A m= __________mn — ---------A m 与c n"关系公式是复习2 :组合数的性质组合数的性质二、新课导学探学习探究探究任务一：问题：一位教练的足球队共有 17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是 11人.问：⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案？⑵ 如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？新知：排列组合在实际运用中，可以同时使用，但要分清他们的使用条件：排列与元素的顺序有关，而组合只要选出元素即可，不要考虑元素的顺序.试试：⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条?⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段多少条? C 1：排列组合的应用反思：排列组合在一个问题中能同时使用吗?2件次品，从中任取 5件： ⑵ 其中恰有1件次品的抽法有多少种？ ⑷ 其中至少有1件次品的抽法有多少种?小结：对综合应用两个计数原理以及组合知识问题，思路是：先分类，后分步例2现有6本不同书，分别求下列分法种数：⑴分成三堆，一堆 3本，一堆2本，一堆1 ⑵分给3个人，一人 3本，一人2本，一人 ⑶平均分成三堆.例3现有五种不同颜色要对如图中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用一种颜色，问共有几种不同的着色方法？探典型例题例1在100件产品中，有 ⑴ 有多少种不同的抽法？ ⑵抽出的3件中恰好有⑶抽出的3件中至少有 98件合格品，2件次品•从这100件产品中任意抽出 3件.件是次品的抽法有多少种? 件是次品的抽法有多少种?变式：在200件产品中有⑴ 其中恰有2件次品的抽法有多少种?⑶ 其中没有次品的抽法有多少种？本；1本;变式：6本不同的书全部送给5人，每人至少 1本，有多少种不同的送书方法?变式：某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中两位同学要么都请，要么都不请，共有多少种邀请方法？探动手试试练1.甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六, 问可以排出多少种不同的值周表？练2.高二（1）班共有35名同学,其中男生20名，女生15名，今从中取出3名同学参加活动，（1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2名女生在内，字与开出的7个数字一样既得一等奖.问多少注彩票可有一个一等奖？如果要将一等奖的1 1机会提高到 ——1一以上且不超过一1一，可在37个数中取几个数字？不同的取法有多少种三、总结提升学习小结正确区分排列组合问题对综合问题，要“先分类, 知识拓展1. 2. 根据某个福利彩票方案，在后分步”，对特别元素，应优先考虑1至37这37个数字中，选取 7个数字，如果选出的7个数6000000 500000学习评价当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分: 凸五边形对角线有—条；3•要从5件不同的礼物中选出 3件送给3个同学，不同方法的种数是4. 有5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是5. 从1，3，5，乙9中任取3个数字，从2, 4，6，8中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的五位数？心课后作业1.在一次考试的选做题部分，要求在第 1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3 个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法？从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.如果4人中男生和女生各选 2名，有多少种选法？如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？如果男生中的甲和女生中的乙至少有 1人在内，有多少种选法?如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？1.2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥，可得不同的三棱锥有个;2. ⑴ ⑵ ⑶ ⑷。

排列组合练习试题和答案解析

《排列组合》一、排列与组合1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有A.12个B.13个C.14个D.15个5．用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？二、注意附加条件1.6人排成一列（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？（2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是A.3761B.4175C.5132D.61574. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种5.从编号为1，2，…，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是A.230种B.236种C.455种D.2640种6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有A.240种B.180种C.120种D.60种7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是。

B2 2-2~2-3(学生用) 排列组合_数学满级分计画

5 1
＝35
(２)
C29
＝
9！＝ 2！（9－2）！
9 2

8 1
＝36
(３)
C112
＝
12！＝ 1！（12－1）！
12 1
＝12
(４)
C
9 6
＝
9！＝ 6！（9－6）！
987654 65 43 21
＝
987 3 21
＝84
18. 求下列各數：
(1)
C
10 2
(2)
Ans:384 種
B2 2-2~2-3(學生用) 排列組合_數學滿級分計畫
直線排列
從 n 個不同事物中任選 k 個（1 k n ）排成一列﹐共有
P
n k

nn
1n
2
n k 2n k 1
n!
n k !
種排法
練習:請在下列空格內填入適當的數字：
(1) P25
B2 2-2~2-3(學生用) 排列組合_數學滿級分計畫
排列組合
加法原理：若完成某件事情有 A1 , A2 , , An 等n種方式，而且只能選擇其中一種方式完成這件事情，若 A1 方式中有 x1 種選擇， A2 方式中有 x2 種選擇，， An 方式中有 xn 種選擇，則完成此件事情共有 x1 + x2 ++ xn 種方法。
計 n 個﹐即 m1 m2 … mk = n ﹒將此 n 個事物排成一列﹐共有
Ans:336 種
B2 2-2~2-3(學生用) 排列組合_數學滿級分計畫
12. 從 a，b，c，d，e，f 之中任取 4 個不同的字母排成一列，求有多少種排法？

122排列

第二节排列考纲解读理解排列的意义，掌握排列数公式，并使用它们解决一些简单的应用问题. 命题趋势探究预测2015年高考有关排列的试题，主要以选择题和填空题的形式出现，大多数试题难度与教材相当，主要涉及特元特位，捆绑，插空，和定序等问题，对本专题的考查以基本概念和基本方法为主，难度中等. 知识点精讲一、特殊元素与特殊位置问题排列时，某个（或某些）元素一定在（或一定不在）某个（或某些）位置. 二、捆绑问题某些元素作为一个整体在排列中不能分开. 三、插空问题某些元素互补相等. 四、定序问题某些元素相对顺序保持不变. 五、其他排列双排列和有相同元素的排列等. 题型归纳及思路提示题型164 特殊元素或特殊位置的排列问题思路提示（1）加法：①把全部特殊位置上的元素排好；②剩余位置由剩余元素排列.（2）减法：①取消某些“不能”的限制去排列；②减去因此而“扩进”的方法数. 注：对于含有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般采用直接法，即先排特殊元素或特殊位置，有时也采用间接法，通常有以下解决问题的途径：①以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. ②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.③先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，在减去不合要求的排列数或组合数. 例12.12 7个人排成一排.（1）甲在左端，乙不在右端的排列有多少个？（2）甲不在左端，乙不在右端的排列有多少个？（3）甲在两端，乙不在中间的排列有多少个？（4）甲不在左端，乙不在右端，丙不在中间的排列有多少个？（5）甲、乙都不在两端的排列有多少个？解析（1）左端定甲，右端（去掉甲、乙）有15C ，剩余5元任排55A ，共6005515=A C （种）排法.（2）加法，以左端分类：372055151566=+A C C A 减法：-77A37202556677=+-A A A （种）排法.（3）先定甲位12C ，再定中间位15C ，共1200551512=A C C （种）排法.（4—设1A 表示甲坐左端，2A 表示乙坐右端，3A 表示丙坐中间.()端，丙不在中间甲不在左端，乙不在右card =-77A ()321A A A card ⋃⋃=77A —()()()()()()()()321313221321A A A card A A card A A card A A card A card A card A card ⋂⋂+⋂-⋂-⋂-++4455667733A A A A -+-=3216=（种）排法（见容斥原理）. 解法二：甲不排左端，乙不排右端—甲不排左端，乙不排右端，且丙在中间的情形，3216372044141455=--A C C A 种.（5）第一步：先排“特位”——两端25A ，第二步：排中间55A ，故共有24005525=A A （种）排法.评注 ①第（2）与（4）题减法用到()()-=U card A C card U ()A card ，其中()A card 表示有限集合A 中元素的个数.②容斥原理：,321A A A A ⋃⋃=()()()()()()-⋂-⋂-++=3221321A A card A A card A card A card A card A card ()31A A card ⋂+()321A A A card ⋂⋂.变式1 9~0共10个数字，可组成多少个无重复数字的：（1）四位数；（2）五位偶数；（3）五位奇数；（4）大于或等于30000的五位数；（5）在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第几；（6）五位数中大于23014小于43987的数的个数.变式2（2012四川理11）方程c x b ay +=22中的{}3,2,1,0,2,3,,--∈c b a ，且c b a ,,互不相同，在所以这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）. A.60条 B.62 条 C.71条 D.80条变式3 广州亚运会组委会要从小张，小赵，小李，小罗，小王5名志愿者选派4人分别从事翻译、导游、礼仪、司机4项不同的工作，其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事着4项工作，则共有（）种选派方案. A.12 B.18 C.36 D.48变式4 一生产过程有4道工序，每道工序需要一个人照看，现从甲、乙、丙等6人中安排4人分别照看每一道工序，第一道只能从甲、乙中安排1人，第四道工序只能从甲、丙中安排1人，则共有（）种安排方法. A.24 B.36 C.48 D.72题型165 元素相邻的排列问题思路提示先把排在一起的元素（m 个）捆绑成一个板块（有mm A 种方法）；再把板块当作一个大元素与其他元素精心排列.注对于元素相邻排列问题，通常采用捆绑法，即可以把相邻元素看作一个整体，再参与其他元素的排列.例12.13 七个人排成一排.（1）甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？（2）甲、乙相邻，且丙、丁相邻，共有多少种排法？（3）甲、乙、丙排在一起，且都不在两端，有多少种排法？（4）甲、乙、丙排在一起，且甲在两端，有多少种排法？（5）甲、乙之间恰有2人的排法有多少？（6）甲、乙之间是丙的排法有多少？解析（1）甲、乙、丙板块（33A 种排法）与其余4人排列，共7205533=A A （种）排法. （2）甲、乙板块（22A 种方法），丙、丁板块（22A 种方法）与其他3人排列，共480552222=A A A （种）排法.（3）甲、乙、丙板块（33A 种排法）与其余4人排列，板块不在两端，共432441333=A C A （种）排法.（4）如图12-15所示，甲在两端（12A 种方法），乙、丙板块（22A 种方法）与甲相邻，共96442212=A A A （种）排法.图12-15 出板块（2222A A 种方法），与其余（5）如图12-16所示，先作3个元素排列，共2222A A 44A =960（种）排法. 出板块，22A 与其他4个元素排列，共（6）如图12-17所示，先作2405522=A A （种）排法.评注关键在于板块的形成.变式1 一排8个车位，停5辆不同车，每车位至多停一车.（1）停车的5个车位相邻有多少停法？（2）不停车的3个空位相邻有多少停法？（3）一共多少停法？变式2 某次文艺汇演要将F E D C B A ,,,,,这6个不同节目排成一个节目单（如图12-18所示），如果B A ,两个节目要相邻，且都不排在第3个位置，则共有（）种节目单的不同A.192B.96C.108D.144例12.14 用6,5,4,3,2,1组成无重复数字的六位数，要求任意两个相邻数字的奇偶性不同且1和2相邻，共有________个这样的六位数（用数字作答）.分析由题意知，这6位数字奇偶相间，且1和2相邻，关键是排2,1的位置.解析解法一：先排2,1的位置（15C 种方法），再将2,1排列（22A 种排法），然后其他位置的元素排列（1212A A 种方法），故共有15C 22A 1212A A =40（种）. 解法二：可分三步来做这件事.第一步：将5,3排列，共有22A 种排法；第二步：将6,4插空，共有222A 种排法；第三步：将2,1放到6,5,4,3形成的空中，共有15C 种排法. 由分步计数原理得，共有22A （222A ）15C =40（种）.变式1 用4,3,2,1,0组成无重复数字的五位数，其中2,1相邻的偶数有________个. 变式2 用4,3,2,1,0这5个数字组成无重复数字的五位数，其中一个偶数夹在两个奇数之间，这样的五位数有（）个.A.48B.12C.36D.28题型166 元素不相邻排列问题思路提示步骤1：m 个不同的元素在n 个不同元素中抽空，先把n 个元素排好，有nm A 种排法. 步骤2：n 个元素有1+n 个空，m 个不同的元素互不相邻有mn A 1+种排法.步骤3：共有mn n m A A 1+种排法.注对于元素不相邻的排列，通常采用插空的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中. 例12.15 7个人排成一排.（1）甲乙丙互不相邻，共有多少种排法？（2）甲乙相邻，丙丁不相邻有多少种排法？（3）甲不与乙相邻，丙不与乙相邻，有多少种排法？解析（1）共有14403544=A A 种排法.（2）甲、乙板块（22A 种）与其他3人共4个元素排列，丙、丁在5个空中插空，共有960254422=A A A 种排法.（3）甲、丙可能相邻也可不相邻，分两类：甲、乙、丙互不相邻，有14403544=A A 种排法.甲、丙相邻形成板块（22A 种排法）与乙在其余4人中插空960254422=A A A ，共有24009601440=+种排法.评注捆绑与插空同时发生时，先捆后插，如与特殊位（某元不在某位）问题结合宜用减法. 变式1 一排8个车位，停5辆不同车，每车位至多停一车.（1）空车位互不相邻有多少停法？（2）恰两个车位相邻有多少停法？变式2 某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众来就坐. （1）若3名观众互不相邻，共有多少种坐法？（2）若3名观众互不相邻，且要求每人左右都至多有两个空位，共有多少种不同的坐法（用数字作答）.变式3 2男3女共5个同学站成一排，男生甲不站两端，3女中有且仅有2女相邻，则有（）种不同的排法.A. 60B.48C.42D.36例12.16 用6,5,4,3,2,1组成的没有重复数字的6位偶数中，1与3都不与5相邻的有（）个.A.72B.96C.108D.144分析分析用插空法求解时要注意限制条件（六位偶数），3个偶数形成4个空位，但另3个数只能插入前3空位中.解析1083323333333=+A A A A A 。