16.4.1角平分线尺规作图
角平分线作图
角平分线作图角平分线作图是在初中数学中常见的一种题型，它是指将一个角平分成两个相等的角的过程，也就是将角所在的直线分为相等的两段。
实际上，角平分线作图是一种利用尺规作图原理解决问题的方法，它的实现需要借助一些基本工具和构造方式。
下面我们就来详细介绍一下角平分线作图的具体方法。
一、基本工具准备在进行角平分线作图之前，我们需要准备好以下基本工具：1、圆规：用来画圆和测量距离的工具。
2、尺子：用来画直线和测量长度的工具。
3、铅笔：用来绘制图形或做笔记的工具。
二、角平分线作图步骤1、已知一角OAB，要求作出它的平分线。
2、首先用铅笔和尺子画出OA和OB两条直线。
3、以O点为圆心，任取一个半径作圆弧，使这个圆弧与OA和OB两条直线交于A1和B1两点。
4、以A1和B1两点为圆心，取相等的半径，画2个圆弧，它们交于C点。
5、连接OC，OC就是角OAB的平分线。
6、检验：通过对角OAB和角OBC进行测量，可以验证OC 是这两个角的平分线。
三、方法总结以上就是角平分线作图的具体步骤，通过这样的方法可以对角进行平分，将一个角划分为两个相等的角，从而解决与角有关的一些问题。
除此之外，角平分线作图还可以借助一些其他的方法来进行，比如说三角形内部角平分线作图、四边形对角线作图等，不同的角平分线作图方法都有相应的基本步骤，需要根据不同的题目进行选择和使用。
总之，角平分线作图是初中数学中非常基础的一个知识点，它虽然看似简单，但是却是解决一些题目和问题的重要工具。
因此，我们需要仔细学习并熟练掌握这个知识点，才能够在日后的学习和工作中取得良好的成绩和效果。
17.5 角平分线
O
1 2
∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)．
DA PC
E
B
定理： 角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
即 如果一个点在一个角的平分线上， 那么这个点到角的两边的距离相等．
逆命题： 在角内部的点，如果到角两边的距离相等，
那么这个点在这个角的平分线上．
逆定理 在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两
任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E.
求证:PD=PE.
DA
P
O
C
E
B
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴∠PDO＝∠PEO＝90° (垂直的意义)
∵OC是∠AOB的平分线
∴∠1＝∠2 （角平分线的意义）
在△PDO和△PEO中
PDO PEO 1 2 OP OP
∴△PDO≌△PEO(A·A·S)．
边距离相等的点在这个角的平分线上.
例
已知：如图，AO、BO分别为∠A、
题 ∠B的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB，垂足分
选 别为点D、E。求证：点O在∠C的平分线
讲上
A
E
F
OБайду номын сангаас
B
D
C
随 堂 1、已知：如图，点P、D在∠AOB的平分线 练 上，OA＝OB，PM⊥BD,PN⊥AD，垂足分别 习 是点M、N.求证：（1）∠BDO=∠ADO；（2）
PM=PN
B M
O
P
D
N A
2、已知：如图，在△ABC中∠C=90°,AC=BC， 点D在BC上，DE⊥AB，点E为垂足，且DE=DC， 连接AD．求∠ADB的度数．
C
D
A
E
尺规作图：角平分线、垂直平分线、过P作线的垂线
尺规作图：角平分线、垂直平分线、过线外一点作线的垂线◆角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 尺规作图步骤：（以作∠ABC 的角平分线为例）①任意选取半径，以角的顶点点B 为圆心画圆弧，与∠ABC 的两边分别交于点M 、N ；②取一半径满足r >21MN ，分别以M 、N 为圆心，画等半径的圆弧，交于点O ；③以B 为端点，过O 作射线BO ，射线BO 就是∠ABC 的角平分线.为何射线BO 是∠ABC 的角平分线？如图，连接MO 、NO ，根据作图步骤①知：BM=BN （同圆内半径相等）根据作图步骤②知：MO=NO （等圆中半径相等）在△BMO 与△BNO 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===BO BO NO MO BN BM ，所以△BMO ≌△BNO （SSS从而有∠MBO=∠NBO ，即BO 为∠ABC 的角平分线所以射线BO 是∠ABC 的角平分线相关性质与结论：（1）角平分线是一条射线，而不是一条直线或线段；（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）在角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的角平分线上◆垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线尺规作图步骤：（以作线段AB 的垂直平分线为例）①选一半径满足r >21AB ，分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的上方画圆弧交于点P ；②选一半径满足r >21AB （可与①中的半径一致），分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的下方画圆弧交于点Q ；③过P、Q 作直线PQ，直线PQ 即为线段AB 的垂直平分线.为何直线PQ 是线段AB 的垂直平分线？如图，根据作图步骤①知：AP=BP （等圆中半径相等）根据作图步骤②知：AQ=BQ （等圆中半径相等）在△APQ 与△BPQ 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===PQ PQ BQ AQ BP AP ，所以△APQ ≌△BPQ （SSS ）则可说明△APQ 与△BPQ 关于直线PQ 对称而A 、B 为一组对应点，且与对称轴PQ 交于点O ，则AB ⊥PQ 且AO=BO（两个成轴对称的图形，对应点所连成的线段被对称轴垂直平分）所以直线PQ 为线段AB 的垂直平分线相关性质与结论：（1）垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；（2）与一条线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上；（3）如果两点到线段的两个端点的距离相等，那么这两点所在的直线就是该线段的垂直平分线.◆过线外一点作直线的垂线尺规作图步骤：（以过P 作l 的垂线为例）①以P 为观察点，分别在直线l 的左、右两侧任取两点M、N；②以M 为圆心，MP 为半径在直线l 的下方画圆弧；以N 为圆心，NP 为半径在直线l 的下方画圆弧，两圆弧交于点Q；③过PQ 作直线PQ，则直线PQ 垂直于直线l ，即为所求.为何直线PQ是直线l的垂线？如图，根据作图步骤②知：NP=NQ，MP=MQ（等圆中半径相等）很显然△MPN≌△MQN（SSS）即△MPN与△MQN关于直线l对称而P、Q作为一组对应点，则PQ⊥l补充说明：这个作图方法也可以用来找垂足O、垂线段PO相关性质与结论：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（3）注意：垂线与垂线段都具有垂直已知直线的特征，但垂线是一条直线，不能度量；而垂线段是一条线段，可以度量，它是垂线的一部分。
几何画板中怎样用尺规作图法构造角平分线
几何画板中怎样用尺规作图法构造角平分线
利用几何画板可以很快速地作出角的平分线，但在研究角平分线的相关性质时会需要利用尺规作图，以便能更好地理解。
下面就介绍尺规作图法怎样构造几何画板角平分线。
（几何画板官网）
操作步骤如下：
1.利用线段工具构造一个角，顶点为O。
利用圆工具以O点为圆心，任意长为半径画圆。
利用线段工具和圆工具构造角与圆
2.圆O与角的两条边产交点分别为A、B。
选中点A、B，选择“构造”——“以圆心和圆周上的点绘圆”构造出圆A，同样的方法构造圆B。
两圆的交点为P。
利用圆工具分别以A、B为圆心AB为半径画圆
3.选中点O、点P，选择“构造”——“线段”，线段OP就是角的平分线。
选中多余的圆与点，按下“Ctrl+H”，尺规作图完成。
选中点O、点P构造线段即为角平分线
以上内容向大家介绍了尺规作图法构造几何画板角平分线的方法，操作非常简单，可以看到作图过程中利用了几何画板圆工具，利用圆工具可以辅助构造很多图形，比如等分线段。
尺规作图（二）角平分线
课题：基本作图（二）-----角平分线及其性质教学重点：角平分线的尺规作图、性质定理及它们的应用。
教学难点：理解角平分线尺规作图的依据，以及角平分线性质定理的应用；教学目标：1．知识与技能：掌握角平分线的尺规作图方法及角平分线的性质定理，并用它们解决相关问题；2．过程与方法：学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。
3．情感与态度：经过对角的平分线的性质的探索与形成的过程，发展应用数学知识的意识与能力，养成良好的学习态度和严谨的科学态度。
教学过程：实际问题引入：若要在S区建一个瞭望塔，安排人员进行环境监测，要求瞭望塔到三条公路的距离都相等，请问瞭望塔应建于何处？预设一：学生想到作高线，找交点。
预设二：学生想到作中线，找交点。
预设三：学生想到作角平分线，找交点。
（在此情况下，学生分组进行画图实验，之后比较，猜想哪种做法是有可能正确的，之后引出作角平分线的方法，既然作角平分线的方法有可能，那就研究标准的作角平分线的的方法，研究猜想是否正确。
）【活动一】作角平分线。
（一）提出问题：你能自己想办法做出一个角的角平分线吗？（学生自己考虑解决问题的方法）预设一：学生估计角度的大小，直接画出近似的角平分线；预设二：学生用折纸的方法完成；预设三：学生用量角器度量功能完成；预设四：学生用直尺量出AO=BO,联结AB ，确定AB中点C ，之后作射线预设五：学生用直尺量出AO=BO,分别过A,B 作OA,OB 的垂线，两条垂线相交于点C ，之后作射线OC;预设六：学生思考到尺规作图的方法，但是不能准确叙述或者是完成；预设七：学生可以用尺规作图的方法完成。
如果学生出现预设中的一、二、三、四、五情形的时候，老师适时提出：预设一不准确，预设二相对准确些，但是不便于操作，预设三、四、五，这时可以提问：如果我们没有刻度尺，没有半圆仪这些带刻度的工具，我们能不能考虑其他方法解决这个问题呢？如何做呢？如果学生考虑到了预设六、七中的尺规作图，鼓励学生继续思考，如果学生不能完成，老师可以带领学生完成，如果有的学生能够完成，可以教师带领学生写好已知、求作，由学生演示做法。
角平分线的尺规作图.4.1 角平分线的尺规作图教案
第1课时角平分线的尺规作图【学习目标】1、会画已知角的平分线2、能通过逻辑推理验证所作图形是角平分线【学习重点】掌握尺规作已知角的平分线的作法【学习难点】从作图过程中找到已知条件，通过逻辑推理验证所作图形为角平分线A O B(一)同学们，通过前面的学习，大家知道运用没有刻度的直尺和圆规画一条线段等于已知线段，画一个角等于已知角。
首先，我要检查大家对前面2个基本作图的掌握情况。
那么利用尺规还能画角平分线吗?(二)新课前面我们学习了用尺规画线段，那么你能利用尺规作图将一个角两等分吗?利用尺规作图画角平分线.请同学们探索用直尺和圆规准确地画出一个角的平分线.已知∠AOB，用直尺和圆规准确地画出已知∠AOB的平分线.请各小组同学讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.例1 已知∠α与∠β，求作一个角，使它等于(∠α+∠β)的一半.分析：要完成这个作图，先作出等于(∠α+∠β)的角，再作平分线即可.已知、求作、作法由学生自行完成.(略)例2 已知三角形中的一个角，此角的平分线长，以及这个角的一边长，求作三角形.分析：首先作出符合条件的图形草图，分析图形的特征，然后确定作图的顺序，写出已知、求作、作法，作图中遇到属于基本作图的，只叙述基本作图即可.已知：∠α，以及线段b、c(b＜c).求作：△ABC，使得∠BAC=∠α，AB=c，∠BAC的平分线AD=b.作法：(1)作∠MAN=∠α.(2)作∠MAN的平分线AE.(3)在AM上截取AB=c，在AE上截取AD=b.(4)连结BD，并延长交AN于点C.△ABC就是所画的三角形.(如图)例3 已知三角形的一边及这边上的中线和高(中线长大于高)，求作三角形.同学们先自主思考探索，然后各小组同学讨论、交流、归纳出具体的作图方法.再请学生代表上黑板示范，并解释原由.例4 已知直线和直线外两点(过这两点的直线与已知直线不垂直)，利用尺规作图在直线上求作一点，使其到直线外已知两点的距离和最小.同学们先自主思考，然后各小组交流意见，完成作图.练习教材练习第1、2题.(三)1.尺规作图的五种常用基本作图.2.掌握一些规范的几何作图语句.3.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述即可.4.解决尺规作图问题，先作出符合条件的图形草图，再确定具体的作图方法.。
作角平分线的方法
作角平分线的方法
作角平分线是一个基本的几何作图问题，有许多不同的方法可以完成。
以下是其中两种常见的方法：
方法一：使用量角器和直尺
1. 在角的两边上分别取一点 A 和 B，使得 A 和 B 到角的顶点 O 的距离相等。
2. 将量角器的中心对准顶点 O，并将 0 刻度线与 OA 或 OB 重合。
3. 找到量角器上与角的度数相等的刻度线，标记为点 C。
4. 连接 OC，即为角的平分线。
方法二：使用直尺和圆规
1. 在角的两边上分别取一点 A 和 B，使得 A 和 B 到角的顶点 O 的距离相等。
2. 以顶点 O 为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交 OA 和 OB 于点 D 和 E。
3. 分别以 D 和 E 为圆心，以大于 DE/2 的长度为半径画弧，两弧交于点 F。
4. 连接 OF，即为角的平分线。
这两种方法都是基于角的平分性质，即角的平分线将角分成两个相等的角。
无论使用哪种方法，关键是要准确地测量和绘制，以确保得到正确的角平分线。
尺规作图角平分线原理
尺规作图角平分线原理
尺规作图是古代数学中非常重要的一部分，它是指利用尺规来完成一些特定的
几何图形构造。
其中，尺规作图角平分线原理是尺规作图中的一个重要原理，它在几何学中有着广泛的应用。
本文将对尺规作图角平分线原理进行详细的介绍，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一原理。
首先，我们来了解一下什么是尺规作图角平分线原理。
在平面几何中，角平分
线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
而尺规作图角平分线原理则是利用尺规和直尺来作出一个给定角的平分线。
这一原理在解决各种几何问题时具有重要的作用，例如构造等腰三角形、证明角的相等等。
接下来，我们来看一下尺规作图角平分线原理的具体步骤。
首先，我们需要有
一个待平分的角。
然后，我们利用尺规在这个角上作出一个任意长度的弧线。
接着，我们在这个角的两个边上各作一个等长的弧线，使得这两个弧线与之前作出的弧线相交于两个点。
最后，我们连接这两个点和角的顶点，就可以得到这个角的平分线。
在实际应用中，尺规作图角平分线原理可以帮助我们解决很多几何问题。
例如，当我们需要构造一个等腰三角形时，可以利用尺规作图角平分线原理来找到等腰三角形的顶点。
又如，当我们需要证明两个角相等时，也可以利用这一原理来作出这两个角的平分线，从而证明它们相等。
总之，尺规作图角平分线原理是几何学中非常重要的一个原理，它在解决各种
几何问题时具有广泛的应用。
通过利用尺规和直尺，我们可以轻松地作出一个给定角的平分线，从而解决各种与角平分线相关的问题。
希望本文对读者能够有所帮助，让大家更好地理解和应用尺规作图角平分线原理。
用刻度尺画角平分线的八种方法
用刻度尺画角平分线的八种方法以用刻度尺画角平分线的八种方法为题，我们将介绍八种不同的方法来使用刻度尺画角平分线。
这些方法都很简单易行，只需要一把刻度尺和一些基本的几何知识。
下面我们来逐一介绍这八种方法。
方法一：三等分法在刻度尺上选择任意一段长度作为角的边长，记为AB。
以A为起点，用尺子量出A点到B点的距离，然后在尺子上找到与此距离相等的一段长度，并标记出C点。
连接C点与B点，即可得到角ABC的平分线。
方法二：相等法在刻度尺上选择任意一段长度作为角的边长，记为AB。
以A为起点，在尺子上找到与AB长度相等的一段长度，并标记出B'点。
以B'为起点，在尺子上找到与AB长度相等的一段长度，并标记出C'点。
连接B'点与C'点，即可得到角ABC的平分线。
方法三：等腰三角形法在刻度尺上选择任意一段长度作为角的边长，记为AB。
以A为起点，在尺子上找到与AB长度相等的一段长度，并标记出B'点。
以B'为中心，以AB长度为半径画一个圆，该圆与刻度尺的交点分别标记为C'和C''。
连接B'点与C'点，以及B'点与C''点，即可得到角ABC的平分线。
方法四：正方形法在刻度尺上选择任意一段长度作为角的边长，记为AB。
以A为起点，在尺子上找到与AB长度相等的一段长度，并标记出B'点。
以B'为中心，以AB长度为边长画一个正方形，该正方形与刻度尺的交点分别标记为C'和C''。
连接B'点与C'点，以及B'点与C''点，即可得到角ABC的平分线。
方法五：正五边形法在刻度尺上选择任意一段长度作为角的边长，记为AB。
以A为起点，在尺子上找到与AB长度相等的一段长度，并标记出B'点。
以B'为中心，以AB长度为半径画一个圆，该圆与刻度尺的交点分别标记为C'、C''、C'''、C''''和C'''''.连接B'点与C'点、C''点、C'''点、C''''点以及C'''''点，即可得到角ABC的平分线。
角平分线之尺规作图与性质
ABD ACD( AAS )
BD = CD
C
角平分線的點至兩邊距離相等
5
觀察角平分線的性質-2
6
角平分線的性質-2
已知 BD ⊥ AB ， CD ⊥ AC ， BD = CD 試證明 D 在角平分線上
證明 連接直線AD 在 △ABD 和 △ACD 中 ∵ AD = AD
BD = CD
B
∠DBA = ∠DCA = 90° ∴
A
D
ABD ACD( RHS )
C
∠BAD = ∠CAD
得證 D點在角平分線上
7
Q： 直線 AD 真的是角平分線嗎?
2
驗證直線 AD為角平分線
依照上例中的作圖法，求證直線 AD為∠A的角平分線。
證明
連接 BD 、 CD 在△ABD 和△ACD 中 ∵
AB = AC
B D
AD = AD
A C
BD = CD
∴
ABD ACD( SSS )
∠BAD = ∠CAD
得證直線AD是角平分線
角平分線之尺規作圖與性質
公館國中 蘇柏奇老師 興華高中 馬鳳琴老師 興華高中 游淑媛老師
角平分線的尺規作圖
已知：∠A 求作：∠A 的角平分線 作法：
B 1. 以 A 為圓心，適當長為半徑劃弧， 與兩邊相交於 B、C A 2. 以 B、C為圓心，相同長度為半徑劃弧， 兩弧相交於 D 3. 連接直線 AD，即為∠A 之角平分線 C D
3
觀察角平分線的性質-1
4
பைடு நூலகம்
畫弧驗證長度相等
角平分線的性質-1
直線 AD 是∠A 的角平分線，D 是線上任一點， BD ⊥ AB 、 CD ⊥ AC 試證明 BD = CD
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A
基础练习：
• 如图：过点Ｐ画∠Ｏ两边的垂线。
P
O
基础练习：
•
如图：画△ＡＢＣ边ＢＣ上的高。
A
B C
本节课学习了什么内容？
家庭作业：点拨训练
Ｎ
Ｏ O
自学检测：
•
如下图：用尺规过点Ｃ画直线Ｌ的垂 线。怎么画呢？
C
L
自学检测：
•
若点Ｃ在Ｌ外呢？互相交流一下，看这 个问题能不转化为“画线段垂直平分线” 的问题呢？
C
L
基础练习：
•
画出图中三角形三个内角的角平分线。 （不写画法，保留作图痕迹）
•
基础练习：
•
如图：已知∠Ａ，试画∠Ｂ＝0.5∠Ａ （不写画法，保留作图痕迹）
角的平分线（1）
马鞍山市金瑞中学数学初二备课组
本节课学习目标
• 1.掌握尺规作图法作出角的平分线. • 2.利用上述方法完成：经过一点作已知直 线的垂线。
自学内容： 课本133页~135页
自学检测：
尺规作角的平分线
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于点 Ｍ，交ＯＢ于点N． ２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠Ａ ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
A
Ｍ
ＣＢΒιβλιοθήκη ＮＯ射线ＯＣ即为所求．
自学检测：
为什么OC是角平分线呢？ 已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分∠AOB。 A Ｍ Ｃ
证明：连接CM,CN
在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） Ｂ ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB