平面几何4--张角定理及西姆松定理

平面几何（4）----张角定理及西姆松定理

张角定理：设A ，C ，B 顺次分别是平面内一点P 所

引三条射线PA ，PC ，PB 上的点，线段AC ，CB 对

点P 的张角分别为,,αβ且180o αβ+<，则A ，C ，B 三点共线的充要条件是：

sin()sin sin PC PB PA

αβαβ+=+.

例1． 如图，已知ABCD 为四边形，两组对边延长后得到交点E ，F ，对角线BD//EF ，AC 的延长线交EF 于G ，求证：EG=GF.

例2． 已知ABC 的顶点A ，B ，C 对应的三边长分别为a ，b ，c ，E 为其内切

圆圆心，AE 交BC 于D ，求证：AE b c ED a

+=

例3. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,BAD ∠在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G ，求证：GAC EAC ∠=∠

例4. 如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中点，任作一直线顺次交AB ，AC ，AM 于P ，Q ，N ，求证：

,,AB AM AC

AP AN AQ

成等差数列.

西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）.

西姆松定理的逆定理： 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则改点在此三角形的外接圆上.

例1. 如图，过正ABC 外接圆的 AC 上点P 作PD ⊥直线AB 于D ，作PE ⊥AC

于E ，作PF BC ⊥于F ，求证：

111PF PD PE

+=

例2. 如图，设AD ，BE ，CF 为ABC 的三条高线，自D 点作DP AB ⊥于P ，DQ BE ⊥于Q ，DR CF ⊥于R ，DS AC ⊥于S ，连PS. 求证：Q ，R 在直线PS 上.

例3. 如图，设P 为ABC 外接圆上一点，作'PA BC ⊥交圆周于'A ，作'PB ⊥直线AC 交圆周于'B ，作'PC AB ⊥交圆周于'C ，求证：'''////AA BB CC