复合函数单调性(讲解+练习)
复合函数的单调性例讲
复 合 函 数 的 单 调 性 例 讲山西忻州五寨一中 摄爱忠高考主要考查：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题．①“中间变量”是形成问题转化的桥梁. ②函数思想是解决问题的关键．复合函数定义：1. 设)(u f y =定义域为Ａ，)(x g u =的值域为Ｂ，若A B ⊆，则y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间变量．外函数：)(u f y =； 内函数：)(x g u =复合函数的单调性：同增异减.2.若)(x g u = )(u f y =则)]([x g f y =增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数增函数减函数3.求解复合函数的单调性的步骤如下： (1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)； (3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。
题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型.例 题1：◇已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) 解：设y= log a u ，u=2-ax ，∵a 是底数，所以a>0，∵ 函数y=log a u 在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是减函数， ∴ y= log a u 是u ∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立， 令g(x)= 2-ax ，由{g(0)=2-a ·0>0g(1)=2-a ·1>0，解得a<2，∴1<a<2，故选(B).变式训练：◇ 已知函数)121ln(-=xy ，求其单调区间. 【分析】：由0121>-x ，得 0<x ，即)0,(-∞∈x . 而函数u y ln =在),0(∞+∈u 上是增函数，函数121-=x u 在)0,(-∞∈x 上是减函数， 故函数)121ln(-=xy 在)0,(-∞∈x 上是减函数. 题型2：外函数有一种单调性内函数有两种单调性的复合型.例 题2：◇求函数y=log 0.5(x 2+4x+3)的单调区间.解：令y= log 0.5u ，u= x 2+4x+3，由x 2+4x+3>0知函数的定义域为),1()3,(∞+-⋃--∞∈x ，因y= log 0.5u 在u ∈(0,+∞)上是减函数，而u= x 2+4x+4在x ∈(-∞，-3)上是减函数， 在(-1，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=log 0.5(x 2+4x+4) 在x ∈(-∞，-3)上是增函数；在x ∈(-1，+ ∞)上是减函数.变式训练：◇讨论函数34252+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的单调性。
复合函数的单调性典型习题
复合函数的单调性练习题山东 王宪华._____________,)21(.1322减区间为的增区间为-+-=x x y._____________,2.2822减区间为的增区间为++-=x x y._______________,)32(log .322减区间为的增区间为--=x x y.______________,)82-(log 4.22减区间为的增区间为++=x x y的取值范围上是减函数，求在且a a a ax y a ]1,0[)1,0)(2(log 5.≠>+-=.3-13-)(,)(log )(6.25.0的取值范围求）上是增函数，，在（且的值域为a x f R a ax x x f --=参考答案]1,(:),,1[:.1-∞+∞减区间为增区间为]4,1[:]1,2[.2，减区间为增区间为：- )1,(:),,3(:.3--∞+∞减区间为增区间为)4,1[:],1,2(:.4减区间为增区间为- 21:)2)(1()2......(..................................................1),0(log .]2,0[)2(log ,0,]2,0[2]2,0[,2s log ]1,0[),1(log )1........(..........2021,]1,0[2,0.]1,0[)2(log ,02],1,0[]1,0[)1,0)(2(log 5min <<>∴+∞=∴+-=>+-=∈+-==∈+-=<⇒>+•-=∴+-=∴>+-=>+-=∈∀∴≠>+-=a a a t y ax y s ax s x ax s y x ax y a a s ax s a ax y ax s x a a ax y a a a a a a 的取值范围为式可知由上是增函数在知由复合函数的单调性可上是减函数在且上是减函数在而的复合函数，与是上是减函数在上且递减在且上是减函数在且解)1...(..................................................04,)(log )(6.2225.0≥+=∆∴--=∴--=a a a ax x s R a ax x x f 可以取到所有正实数的值域为解上是增函数在且上是增函数，，在)31,3()(log )()2.(....................0),31,3()3-13-()(log )(25.0225.0----=>--=--∈∀∴--=a ax x x f a ax x s x a ax x x f0)31()31()2()3........(. (312):)31,3(:)31,3()(log ),0(log )31,3(,log )31,3(),(log )(2225.05.025.02≥--•--⇔-≥--∴----=∴----=+∞=--∈--==--∈--=a a a a ax x s a ax x y s y x a ax x s s y x a ax x x f a 且由二次函数的图象可知上是减函数在知由复合函数的单调性可上是增函数在是减函数，在而的复合函数与是200)31()31(31204)3)(2)(1(22≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--•---≥--≥+∴a a a a a a a 解得：同时满足综上可知。
复合函数的单调性
练习.求函数y 3x2x6的单调递减区间。
解：函数f (x)的定义域是 R。
令u
x2
x
6
x
1
2
13
, 则y
3u
2 2
y 3u 在定义域内是增函数。
又u
x
1 2
2
13 2
在
,
1 2
上是减函数，在
1 2
,上是增函数。
y
3x2
x6
在
,
1 2
上是减函数，在
1 2
,
上是增函数。
y
3x2
复合函数y=f[g(x)]单调性
3、对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
y f (u)
增函数
u g(x)
增函数
y f [g(x)] 法
增函数
则
增函数
减函数
减函数
同
减函数
增函数
减函数
增
减函数
减函数
又u x 22 1在2,3上是减函数。
y x2 4x 3在2,3上是减函数。
故函数y x2 4x 3的单调递减区间为2,3。
(问：函数y x2 4x 3的单调递增区间是什么？）
例4.求f (x) log x2 4x 3 的单调区间。 0.4 解： x2 4x 3 0 1 x 3,即定义域为1,3 令u x2 4x 3 x 22 1,
增函数
异
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 减
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。
例1、求函数y x2 2x-3的单调区间。
复合函数单调性(专题训练)
复合函数单调性一．选择题1．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．2．函数y=（）的单调递增区间是（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．[，2]3．函数f（x）=的单调减区间为（）A．（）B．（）C．D．（1，+∞）4．已知函数在[1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．D．5．设函数，则使得f（x）≤f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．6．已知函数f（x）=log a（﹣x2﹣2x+3），若f（0）＜0，则此函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1）D．（﹣3，﹣1]7．函数y=|log2x|在区间（k﹣1，k+1）内有意义且不单调，则k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．[1，2）D．（0，2）8．函数在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．1＜a D．a＜29．若函数有最大值，则a的取值范围为（）A．B．C．D．（1，2）10．设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A．y=在R上为减函数B．y=|f（x）|在R上为增函数C．y=2﹣f（x）在R上为减函数D．y=﹣[f（x）]3在R上为增函数11．函数f（x）=log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）12．函数y=|log2|x﹣2||的单调递增区间（）A．（2，3）B．（3，+∞）C．（1，2）和（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（2，3）二．填空题13．已知f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，则实数a的取值范围是．14．函数y=（）|x|﹣1的单调增区间为．15．函数f（x）=lgx2的单调递减区间是．16．函数f（x）=（x2﹣6x+5）的单调递减区间是．17．已知函数y=log a（ax2﹣x）在区间[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是．18．函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数且在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为．19．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥f3（x）恒成立，则实数t的取值范围是．20．已知函数f（x）与函数的图象关于直线y=x对称，则函数f（x2+2x）的单调递增区间是．复合函数单调性一．选择题（共12小题）1．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的定义域与函数的单调性排除A、B，C，推出结果即可．【解答】解：令g（x）=lnx﹣1，则g′（x）=＞0，由g'（x）＞0，得x＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以当x=e时，函数g（x）=0，函数f（x）=对任意的x∈（0，e），（e，+∞），有f（x）是减函数，故排除A、B、C，故选：D．2．函数y=（）的单调递增区间是（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．[，2]【分析】令t=﹣x2+x+2，则y=（）t，本题即求函数t的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：y=（），令t=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，则y=（）t，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质可得t的减区间为[，+∞），故选：C．3．函数f（x）=的单调减区间为（）A．（）B．（）C．D．（1，+∞）【分析】令t=x2﹣x＞0，求得函数的定义域，本题即求t在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得t在定义域内的增区间．【解答】解：令t=x2﹣x＞0，求得x＜0，或x＞1，故函数的定义域为{x|x＜0，或x＞1}，本题即求t在{x|x＜0，或x＞1}内的增区间．利用二次函数的性质可得t在{x|x＜0，或x＞1}内的增区间为（1，+∞），即函数f（x）=的单调减区间为（1，+∞），故选：D．4．已知函数在[1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．D．【分析】可看出该函数是由t=x2﹣ax+3a和y=log0.5t复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义域便可建立关于a的不等式组，解出a的取值范围即可．【解答】解：设y=f（x），令x2﹣ax+3a=t，则y=log0.5t单调递减；∵f（x）在[1，+∞）上单调递减；∴t=x2﹣ax+3a在[1，+∞）上单调递增，且满足t＞0；∴；解得，﹣＜a≤2；∴实数a的取值范围是（﹣，2]．故选：D．5．设函数，则使得f（x）≤f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为减函数，进而可以将f（x）≤f（2x﹣1）转化为|x|≥|2x﹣1|，变形可得x2≥4x2﹣4x+1，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，分析可得f（﹣x）=[1+（﹣x）2]+=（1+x2）+=f（x），则函数f（x）为偶函数，分析易得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，若f（x）≤f（2x﹣1），则有f（|x|）≤f（|2x﹣1|），即有|x|≥|2x﹣1|，变形可得x2≥4x2﹣4x+1，解可得：≤x≤1，即x的取值范围是[，1]；故选：C．6．已知函数f（x）=log a（﹣x2﹣2x+3），若f（0）＜0，则此函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1）D．（﹣3，﹣1]【分析】令t=﹣x2+2x﹣3＞0，求得函数的定义域，根据f（0）=log a3＜0，可得0＜a＜1，f（x）=g（t）=log a t，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：令t=﹣x2﹣2x+3＞0，可得﹣3＜x＜1，故函数的定义域为{x|﹣3＜x＜1}．根据f（0）=log a3＜0，可得0＜a＜1，f（x）=g（t）=log a t，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质求得函数t在定义域内的减区间为[﹣1，1），故选：C．7．函数y=|log2x|在区间（k﹣1，k+1）内有意义且不单调，则k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．[1，2）D．（0，2）【分析】由题意可得1＞k﹣1≥0，且k+1＞1，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵函数y=|log2x|在区间（k﹣1，k+1）内有意义且不单调，可得k﹣1≥0，且1∈（k ﹣1，k+1），∴1＞k﹣1≥0，且k+1＞1．解得1≤k＜2，故选：C．8．函数在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．1＜a D．a＜2【分析】利用对数函数的底数，求出a的范围，利用复合函数的单调性求解即可．【解答】解：函数在[0，1]上是减函数，可得a＞0并且a≠1，y=1﹣在[0，1]上是减函数，所以a＞1，并且1，解得a∈（1，2）．故选：B．9．若函数有最大值，则a的取值范围为（）A．B．C．D．（1，2）【分析】由题意可得内层函数t=要有最小正值，且为减函数，可得外层函数y=log a t 为减函数，可知0＜a＜1．再由二次函数t=的判别式小于0求得x的范围，取交集得答案．【解答】解：令t=，要使函数有最大值，则内层函数t=要有最小正值，且为减函数，则外层函数y=log a t为减函数，可知0＜a＜1．要使内层函数t=要有最小正值，则，解得．取交集可得：a的取值范围为（）．故选：B．10．设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A．y=在R上为减函数B．y=|f（x）|在R上为增函数C．y=2﹣f（x）在R上为减函数D．y=﹣[f（x）]3在R上为增函数【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、B、D，举出反例分析可得其错误，对于C，结合复合函数的单调性判定方法，分析可得C正确，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数f（x）=x，y==，在R上不是减函数，A错误；对于B，对于函数f（x）=x，y=|f（x）|=|x|，在R上不是减函数，B错误；对于C，令t=f（x），则y=2﹣f（x）=（）f（x）=（）t，t=f（x）在R上为增函数，y=（）t在R上为减函数，则y=2﹣f（x）在R上为减函数，C正确；对于D，对于函数f（x）=x，y=﹣[f（x）]3=﹣x3，在R上是减函数，D错误；故选：C．11．函数f（x）=log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）【分析】先求出函数的定义域，结合复合函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则得，即﹣2＜x＜2，即函数的定义域为（﹣2，2），f（x）=log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）=log0.5（2﹣x）（2+x）=log0.5（4﹣x2），设t=4﹣x2，则y=log0.5t是减函数，要求函数f（x）的单调递增区间，等价为求函数t=4﹣x2，的单调递减区间，∵函数t=4﹣x2，的单调递减区间为[0，2），∴f（x）的单调递增区间为（0，2），故选：C．12．函数y=|log2|x﹣2||的单调递增区间（）A．（2，3）B．（3，+∞）C．（1，2）和（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（2，3）【分析】先求得函数的定义域，然后分情况去掉绝对值符号，根据根据复合函数单调性的判断方法及基本函数的单调性可得函数的单调区间．【解答】解：由x﹣2≠0得函数的定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞），当2＜x≤3时，y=﹣log2（x﹣2），单调递减；当x＞3时，y=log2（x﹣2），单调递增；当1≤x＜2时，y=﹣log2（2﹣x），单调递增；当x＜1时，y=log2（2﹣x），单调递减；综上，函数y=|log2|x﹣2||的单调递增区间为：（3，+∞）和（1，2），故选：C．二．填空题（共8小题）13．已知f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【分析】利用指数函数的性质，列出不等式求解即可．【解答】解：f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，可得a2﹣2a﹣2＞1，解得a∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．14．函数y=（）|x|﹣1的单调增区间为（﹣∞，0）（亦可写成（﹣∞，0]）．【分析】利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：设t=|x|﹣1，则y═（）t为减函数，要求函数y=（）|x|﹣1的单调增区间，根据复合函数单调性之间的关系，等价求函数t=|x|﹣1的减区间，∵当x≤0时，函数t=|x|﹣1是减函数，∴函数t=|x|﹣1的单调递减区间为（﹣∞，0），则函数y=（）|x|﹣1的单调增区间为（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．15．函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．【分析】先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．【解答】解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．16．函数f（x）=（x2﹣6x+5）的单调递减区间是（5，+∞）．【分析】先求出fx）的定义域，在利用复合函数的单调性得出答案．【解答】解：有函数f（x）有意义得x2﹣6x+5＞0，解得x＜1或x＞5．令g（x）=x2﹣6x+5，则g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（5，+∞）上单调递增，∴f（x）=log（x2﹣6x+5）在（﹣∞，1）上单调递增，在（5，+∞）上单调递减．故答案为（5，+∞）17．已知函数y=log a（ax2﹣x）在区间[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）=ax2﹣x的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．【解答】解：令g（x）=ax2﹣x（a＞0，且a≠1），当a＞1时，g（x）在[2，4]上单调递增，∴∴a＞1当0＜a＜1时，g（x）在[2，4]上单调递减，∴∴a∈∅综上所述：a＞1故答案为：（1，+∞）18．函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数且在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为2．【分析】根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案．【解答】解：∵函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数∴可得m2﹣m﹣1=1 解得m=﹣1或2当m=﹣1时，函数为y=x5在区间（0，+∞）上单调递增，不满足题意当m=2时，函数为y=x﹣13在（0，+∞）上单调递减满足条件故答案为：2．19．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥f3（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【分析】由当x＞0时，f（x）=2x．函数是奇函数，可得当x=0时，f（x）=0，当x＜0时，f（x）=﹣2﹣x，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足f3（x）=f（3x），再根据不等式f（x+t）≥f3（x）=f（3x）在[t，t+1]恒成立，可得x+t≥3x在[t，t+1]恒成立，即可得出答案．【解答】解：当x＞0时，f（x）=2x．∵函数是奇函数∴当x＜0时，f（x）=﹣2﹣x∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足f3（x）=f（3x），∵不不等式f（x+t）≥f3（x）=f（3x）在[t，t+1]恒成立，∴x+t≥3x在[t，t+1]恒成立，即：x≤t在[t，t+1]恒成立，∴t+1≤t解得：t≤﹣2，故答案为：（﹣∞，﹣2]．20．已知函数f（x）与函数的图象关于直线y=x对称，则函数f（x2+2x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1] ．【分析】先求出函数f（x）的解析式，确定内外函数的单调性，即可求得函数f（x2+2x）的单调递增区间．【解答】解：∵函数f（x）与函数的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=∴函数f（x）在R上单调递减∵t=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴t=x2+2x在（﹣∞，﹣1]上单调递减∴函数f（x2+2x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1]故答案为：（﹣∞，﹣1]．。
复合函数的单调性(人教A版)(含答案)
复合函数的单调性（人教A版）一、单选题(共8道，每道12分)1.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性2.函数的单调递减区间为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性3.函数的单调递增区间为( )A.(-∞，-2]B.[4，+∞)C.(-∞，-3]D.[-3，+∞)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性4.函数的单调递增区间为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性5.函数的单调递减区间为( )．A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性6.若函数在R上是减函数，则函数的单调递增区间为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性7.若函数的单调递减区间为，则函数( )A.在区间内是减函数B.在区间内是增函数C.在区间内是减函数D.在区间内是减函数答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性8.若函数的单调递减区间为，则函数( )A.在区间（0，1）内是减函数B.在区间内是减函数C.在区间（3，4）内是增函数D.在区间（4，5）内是增函数答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性。
§13.复合函数的单调性问题
记得一定要先考 虑“定义域” 哦！
2x2 x 1 (3) y x 1 ；
(4) y
x 1 2x2 x 1 .
【解析】
【例 2】已知函数
f x
x
2
,1 3 上是增函数， 在区间 ax a
1
则实数 a 的取值范围是____________.
A4 ( x, y ) x 0, y 0 ， M ( x, y ) y f ( x) .若对任意的 (1,3) 恒
(1)当 a 4, 1 时，判断 f ( x) 在 (3, 4) 上的单调性；
有 M Ai i 1, 2,3, 4 ，求
）
复合函数的 单调性如何 判断？
【解析、结论】
函数
u g ( x)
单调性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增
y f (u )
y f g ( x)
同增异减
【例 1】求下列函数的单调区间：
(1) y x 2 x 3
2
；
(2) y
2x 1 x 1 ；
【解析】
再次提醒：注意考 虑“定义域”哦！
【例3】 设函数求函数 f ( x)
1 ，其中 a, R . xa x2
(2) 记 A1 ( x, y ) x 0, y 0 ， A2 ( x, y ) x 0, y 0 ， A3 ( x, y ) x 0, y 0 ，
a 的取 ( x)
1 ,其中a, R. xa x2 (1)当a 4, 1时，判断f ( x)在（3,4）上的单调性，并说明理由；
【解（1）】
1 【例3】设函数f ( x ) ,其中a, R. xa x2 （2）记A1 ( x, y ) x 0, y 0 , A 2 ( x, y ) x 0, y 0 , A 3 ( x, y ) x 0, y 0 , A 4 ( x, y ) x 0, y 0 , M ( x, y ) y f ( x ) .若对任意的 （1,3）恒有M Ai （i=1,2,3,4）,求a的取值范围.
复合函数的单调性与赋值法证明函数的单调性
一、复合函数 y f 的单调性 g x 将复合函数分解成 y f u , u g x
u g x
增 增 减 减
y f u 增 减 增 减
y f g x
增 减 减 增
复合函数单调性归纳为“同增异减”
（1）求 f
1
（2）证明： f x 在定义域内是增函数
练习2.函数f x 对任意实数a，b都 有 f a b f a f b 明： f x 是R上的增函数
例.求函数 y x 2 x 1 的单调 区间
2
练习：求 y x 2 x 8 的 单调区间
2
二、抽象函数单调性
例1.已知 y f x 在定义域 1,1 2 上是减函数，且f 1 a f a 1 求a的取值范围
练习：已知 y f x 在定义 域 0, 是增函数，且 2 f a f 2a 3 ，求a的取值 范围
例2: 已知定义在R上的函数 f ( x) 满足：对任 意 a, b R，都有 f (a b) f (a) f (b)，且当 x 0 时，f ( x) 0 ，试确定函数的单调性.
练习1：已知函数 f x 的定义域是 0, ， 当x>1时， f x 0，且 f xy f x f y
专题3复合函数的单调性
二、复合函数y=f[g(x)]单调性
对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与 u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性.
y f (u)
u g(x)
y f [g(x)] 法
增函数
增函数
增函数
则
增函数
减函数
减函数
同
减函数
增函数
减函数
增
减函数
减函数
例3.求函数y
1 2
x2 4x3
的单调递减
小结
判断函数的单调性有哪些方法 1、定义法
2、图象法
3、利用已知函数的单调性，通过 一些简单结论、性质作出判断.
4、利用复合函数单调性的规则进行 判断.
一、复合函数y=f(x)+g(x) 与y=f(x)-g(x)单调性:
结论1：若f(x)与g(x)在R上是增函数， 则 函数y=f(x)+g(x)也是增函数.
结论2：若f(x)与g(x)在R上是减函数，则 函数y=f(x)+g(x)也是减函数.
结论3：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减 函数，则函数y=f(x) －g(x)也是增函数.
增函数
异
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 减
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数.
题型1.求单调区间
例2.求函数y x2 2x 3的单调区间.
小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定 义域，在定义域范围内求函数的单调性.
练习1.求函数y x2 4x 3的单调递减区间。
专题3.复合函数单调性
一、复习： 1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自 变量x1,x2的值,
(完整版)复合函数单调性(讲解+练习)
课题：函数的单调性（二)复合函数单调性北京二十二中 刘青教学目标1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理。
2.会求复合函数的单调区间。
3。
必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点与难点1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间。
2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.教学过程设计师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.生：设y=f （u)的定义域为A ，u=g （x)的值域为B ，若A ÍB,则y 关于x 函数的y=f[g(x ）］叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量。
师：很好。
下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间。
(教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.)（教师板书，可适当略写。
）例 求下列函数的单调区间.1。
一次函数y=kx+b （k ≠0）。
解 当k ＞0时,（－∞，+∞）是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，（－∞，+∞）是这个函数的单调减区间。
2。
反比例函数y=x k （k ≠0）。
解 当k ＞0时，（－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3。
二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)。
解 当a ＞1时(－∞，－a b 2）是这个函数的单调减区间,（－a b2，+∞）是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2）是这个函数的单调增区间，(－a b2,+∞）是它的单调减区间;4.指数函数y=ax （a ＞0，a ≠1）。
解 当a ＞1时，（－∞,+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x （a ＞0，a ≠1）。
解 当a ＞1时，（0，+∞）是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，（0，+∞）是它的单调减区间。
求解复合函数单调性
求解复合函数单调性【引理证明】已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =,)(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. 【方法技巧】1．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 2．复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域；ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。
【例题演练】例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则)32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数. ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。
复合函数的单调性及简单的恒成立问题
u=g(x)
y=单调递减） ↓
↑ ↓ ↓ ↑
↑ ↓ ↑ ↓
1 2 x 2 x 3的单调区间. 例1：求函数y 2
y 1 2 x 2 x 3 的定义域为 (,3] [1,). 2 1 u , u x 2 2 x 3, 设 y 2
变式：已知函数 f ( x) 8 2x x , g ( x) f (2 x ), 试求 g ( x) 的单调区间.
2 2
↓
恒成立问题：
例2：已知x ax 2 0 在 x [2,3] 恒 成立，求实数a的取值范围。
2
变式1：已知x ax 2 0 在 a [2,3] 恒 成立，求实数x的取值范围。
拓展题： 已知f ( x)是定义在区间 [-1,1]上的函数，且f (1) 1, 若 f ( m) f ( n ) m、n [1,1], m n 0时，有 0, 对任意 mn x [1,1], f ( x) f ( x)都成立. 1 （ 1）解不等式f ( x ) f (1 x); 2 2 （2）若f ( x) t 2ax 1对所有x [1,1]恒成立，求实 数t的取值范围 .
复合函数的单调性及简单的 恒成立问题
复合函数的单调性判断：
1.求复合函数y=f[g(x)]单调区间的步骤（定义域优先原则）： （1）确定定义域（公共定义域）； （2）将复合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x)； （3）分别确定这两个函数的单调区间； （4）若这两个函数同增或同减，则y=f[g(x)]为增函数，若 这两个函数一增一减，则y=f[g(x)]为减函数。 2.复合函数单调性的判断方法可以从下表中得到（同增异减）：
当 x 1 时，u是x的增函数，y是u的减函数， 故y是x的减函数。
复合函数的单调性典型习题
复合函数的单调性练习题山东 王宪华._____________,)21(.1322减区间为的增区间为-+-=x x y._____________,2.2822减区间为的增区间为++-=x x y._______________,)32(log .322减区间为的增区间为--=x x y.______________,)82-(log 4.22减区间为的增区间为++=x x y的取值范围上是减函数，求在且a a a ax y a ]1,0[)1,0)(2(log 5.≠>+-=.3-13-)(,)(log )(6.25.0的取值范围求）上是增函数，，在（且的值域为a x f R a ax x x f --=参考答案]1,(:),,1[:.1-∞+∞减区间为增区间为]4,1[:]1,2[.2，减区间为增区间为：- )1,(:),,3(:.3--∞+∞减区间为增区间为)4,1[:],1,2(:.4减区间为增区间为- 21:)2)(1()2......(..................................................1),0(log .]2,0[)2(log ,0,]2,0[2]2,0[,2s log ]1,0[),1(log )1........(..........2021,]1,0[2,0.]1,0[)2(log ,02],1,0[]1,0[)1,0)(2(log 5min <<>∴+∞=∴+-=>+-=∈+-==∈+-=<⇒>+•-=∴+-=∴>+-=>+-=∈∀∴≠>+-=a a a t y ax y s ax s x ax s y x ax y a a s ax s a ax y ax s x a a ax y a a a a a a 的取值范围为式可知由上是增函数在知由复合函数的单调性可上是减函数在且上是减函数在而的复合函数，与是上是减函数在上且递减在且上是减函数在且解)1...(..................................................04,)(log )(6.2225.0≥+=∆∴--=∴--=a a a ax x s R a ax x x f 可以取到所有正实数的值域为解上是增函数在且上是增函数，，在)31,3()(log )()2.(....................0),31,3()3-13-()(log )(25.0225.0----=>--=--∈∀∴--=a ax x x f a ax x s x a ax x x f0)31()31()2()3........(. (312):)31,3(:)31,3()(log ),0(log )31,3(,log )31,3(),(log )(2225.05.025.02≥--•--⇔-≥--∴----=∴----=+∞=--∈--==--∈--=a a a a ax x s a ax x y s y x a ax x s s y x a ax x x f a 且由二次函数的图象可知上是减函数在知由复合函数的单调性可上是增函数在是减函数，在而的复合函数与是 200)31()31(31204)3)(2)(1(22≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--•---≥--≥+∴a a a a a a a 解得：同时满足综上可知（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
高一数学：函数的单调性知识点+例题讲解+课堂练习
第3讲 函数的单调性教学内容一、知识梳理单调性定义设函数y ＝)(x f 的定义域为A ，区间A M ⊆.如果取区间M 上的任意两个值x 1 , x 2，改变量12x x x -=∆＞0，则 当)()(12x f x f y -=∆＞0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数； 当)()(12x f x f y -=∆＜0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数． 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性（区间M 称为单调区间）．二、方法归纳在同一单调区间上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，但单调性相同的两个函数的积未必是增函数．设[]b a x x ,,21∈，若有 （1）2121)()(x x x f x f --＞0，则有[]b a x f ,)(在上是增函数．（2）2121)()(x x x f x f --＜0，则有[]b a x f ,)(在上是减函数．在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数． 函数的单调性常应用于如下三类问题： （1）利用函数的单调性比较函数值的大小．（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两 个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化．（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值． 若函数)(x f y =在定义域()b a ,上递增，则函数值域为()(a f ，)(b f )；若函数)(x f y =在定义域()b a ,上递减,则函数值域为()(b f ，)(a f )； 若函数)(x f y =在定义域[]b a , 上递增，则函数值域为 [)(a f ，)(b f ] ； 若函数)(x f y =在定义域 []b a , 上递减，则函数值域为 [)(b f ，)(a f ]； 若函数)(x f y =在定义域[]b a ,上递增，则函数的最大值为)(b f ，最小值为)(a f ；若函数)(x f y =在定义域[]b a ,上递减，则函数的最大值为)(a f ，最小值为)(b f ；三、典型例题精讲［例1］若ax y =与xb y -=在()+∞,0上都是减函数，对函数bx ax y +=3的单调性描述正确的是( )A. 在()+∞∞-,上是增函数B. 在()+∞,0上是增函数C. 在()+∞∞-,上是减函数D. 在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数 解析: 由函数 ax y =在()+∞,0上是减函数，得 a ＜0，又函数xby -=在()+∞,0上是减函数，得 b ＜0， 于是，函数3ax ，bx 在()+∞∞-,上都是减函数， ∴ 函数bx ax y +=3在()+∞∞-,上是减函数，故选C ．【技巧提示】 熟悉函数ax y =，3ax y =，bx y =，xby =的单调性与a 、b 的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性．［例2］求函数31)(--+=x x x f 的最大值．解析：由31431)(-++=--+=x x x x x f ，知函数31)(--+=x x x f 在其定义域 [3，+∞ )上是减函数． 所以31)(--+=x x x f 的最大值是2)3(=f ．【技巧提示】 显然由31431-++=--+x x x x 使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的．又例 已知[]1,0∈x ，则函数x x y --+=12的值域是 .解析：∵ x x y --+=12在[]1,0∈x 上单调递增，∴ 函数x x y --+=12的值域是[])1(),0(f f ．即[]3,12-．再例 求函数x x y 21++=的值域．解析：∵ x x y 21++= 在定义域⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21上是增函数，∴ 函数x x y 21++=的值域为 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21．［例3］函数)(x f 在R 上为增函数，求函数)1(+=x f y 单调递减区间． 解析：令1+=x u ，则u 在(－∞,－1]上递减， 又函数)(x f 在R 上为增函数，∴ 函数)1(+=x f y 单调递减区间为(－∞,－1].【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数．只要知道函数1+x 的单调性，)1(+=x f y 与1+x 的单调性和单调区间相同．如果变函数)(x f 在R 上为减函数，那么函数)1(+=x f y 的单调性与函数1+x 的单调性相反，即函数)1(+=x f y 单调递增区间为(－∞,－1].又例 设函数)(x f 在R 上为减函数，求函数)1(xf y =单调区间． 再例 设函数)(x f 在R 上为增函数，且)(x f ＞0，求证函数)(1x f y =在R 上单调递减．［例4］试判断函数xbax x f +=)()0,0(>>b a 在()0,+∞上的单调性并给出证明.解析：设120x x >> ，()()()12121212ax x bf x f x x x x x --=- 由于120x x ->故当12,x x ⎫∈∞⎪⎪⎭ 时()()120f x f x ->，此时函数()f x在⎫∞⎪⎪⎭上增函数，同理可证函数()f x在⎛⎝上为减函数.【技巧提示】 xbax x f +=)()0,0(>>b a 是一种重要的函数模型，要引起足够的重视．事实上，函数()()0,0b f x ax a b x =+>>的增函数区间为,⎛-∞ ⎝和⎫∞⎪⎪⎭，减函数区间为⎛ ⎝和⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．但注意本题中不能说()f x在,⎛-∞ ⎝⎫∞⎪⎪⎭上为增函数，在⎛ ⎝⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数, 在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”．又例：求函数4522++=x x y 的最小值．解析：由()u g uu x x x x y =+=+++=++=1414452222,[)+∞∈,2u ,用单调性的定义法易证()u u u g 1+= 在[)+∞,2上是增函数，易求函数4522++=x x y 的最小值为25为所求． 再例：已知函数()[)+∞∈++=,1,22x xax x x f . 若对于x [)+∞∈,1,)(x f ＞0恒成立，试求a 的取值范围.解析：由)(x f ＝ [)+∞∈++=++,1,222x xax x a x x .当a ＞0时， ()2++=xa x x f 显然有)(x f ＞0 在[)∞+.1恒成立； a ≤0时，由()[)+∞∈++=++=,x ,xax x a x x x f 1222知其为增函数，只需)(x f 的最小值)1(f ＝3＋a ＞0,解之，a ＞－3.∴当a ＞－3时，)(x f ＞0在[)+∞,1上恒成立.［例5］已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)10(f ＝1，设)(x F =)(1)(x f x f +，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论． 解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(2x f ＞)(1x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)10(f ＝1，∴当x ＜10时0＜)(x f ＜1，而当x ＞10时)(x f ＞1； ① 若1x ＜2x ＜10，则0＜)(1x f ＜ )(2x f ＜1， ∴0＜ )(1x f )(2x f ＜1， ∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；② 2x ＞1x ＞10，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ， ∴)(1x f )(2x f ＞1， ∴)()(1121x f x f -＞0， ∴ )(2x F ＞)(1x F ；综上，)(x F 在（－∞，10）为减函数，在（10，＋∞）为增函数.【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题，用单调性定义解决是关键．［例6］已知113a ≤≤，若2()21f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-．（1）求函数()g a 的表达式； （2）判断函数()g a 在区间[31，1]上的单调性，并求()g a 的最小值． 解析：（1）∵131≤≤a ∴ 函数()f x 的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为].3,1[1∈=ax ∴()f x 有最小值aa N 11)(-= .当2≤a 1≤3时，a ∈[)(],21,31x f 有最大值()()11M a f a ==-； 当1≤a 1＜2时，a ∈()(],1,21x f 有最大值M （a ）＝f (3)＝9a －5；∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=).121(169),2131(12)(a a a a a a a g（2）设1211,32a a ≤<≤则 121212121()()()(1)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=-->∴> ∴ ]21,31[)(在a g 上是减函数．设1211,2a a <<≤ 则121212121()()()(9)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=--<∴< ∴ ]1,21()(在a g 上是增函数． ∴当12a =时，()g a 有最小值21． 【技巧提示】 当知道对称轴为]3,1[1∈=ax 后，要求2()21f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，就必须分类讨论．本题对培养学生分类讨论的思想有很好的作用．第（2）问讨论一个分段函数的单调性并求最值，也具有一定的典型性．四、课后训练1、函数1()(0)f x x x x=+≠的单调性描述，正确的是（ ） A 、在(－∞，＋∞)上是增函数； B 、在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是增函数； C 、在(－∞，－1)∪(1，＋∞)上是增函数； D 、在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数 2、证明函数()x f ＝2x 在[0，＋∞）上是增函数．3、证明函数x x y 14+= 在),21[+∞上是增函数． 4、对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f 的最小值是_____________.5、已知函数)(x f 、)(x g 在R 上是增函数，求证：))((x g f 在R 上也是增函数.6、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数7、函数()f x 是定义在[0,)+∞上的单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =递减区间是9、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为10、求函数12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最值．11、若函数22)(2+-=x x x f 当]1,[+∈t t x 时的最小值为()g t ，求函数()g t 当]2,3[--∈t 时的最值．12、讨论函数()f x ＝)0(12≠-a x ax，在－1＜x ＜1上的单调性． 五、参考答案1．D 2．略 3．解析：设1x ＞2x ≥21， 则 )(2x f －)(1x f ＝2214x x +－（1114x x +） ＝212112)(4x x x x x x -+-＝21211214)(x x x x x x -⋅-， ∵ 012<-x x ，4121>x x ， ∴ )(2x f －)(1x f ＜0∴ 函数x x y 14+= 在),21[+∞上是增函数． 4．25．证明：设1x ＞2x ，则)(1x f －)(2x f ＞0，)(1x g －)(2x g ＞0， 即 )(1x g ＞)(2x g于是 ))((1x g f －))((2x g f ＞0 ∴ ))((x g f 在R 上也是增函数.6．C 7．]1,0[ 8．)2,(--∞和),2(+∞- ]2,2(- 9．),3[+∞10．解析：函数12)(2--=ax x x f )1()(22+--=a a x ，当 0<a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)0(f ＝－1 )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 10<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 21<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1； 当 2≥a 时，)(x f 在区间上的最小值为)(min x f ＝)2(f ＝a 43- )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1； 11．解析：因为函数22)(2+-=x x x f ＝1)1(2+-x 当t ≤0时，最小值)(t g ＝)1(+t f ＝12+t ； 当0＜t ≤1时，最小值)(t g ＝)1(f ＝1； 当t ＞1时，最小值)(t g ＝)(t f ＝222+-t t ；∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<≤+=1,2210,10,1)(22t t t t t t t g ，)(t g 当]2,3[--∈t 时的最大值为)3(-g ＝10；最小值为)2(-g ＝5．12．解析：函数)(x f ＝12-x ax ＝xx a 1- 作函数xx x g 1)(-=， )(x g 为奇函数且在)0,1(-和)1,0(上都是增函数， ∴ 当a ＜0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是增函数； 当a ＞0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是减函数．。
有关函数单调性问题的思维导图讲解及测试题
有关函数单调性问题的思维导图讲解及测试题函数的单调性是函数的重要性质， 用定义证明函数的单调性是函数问题中的一类 重要题型，本文阐述一下用定义证明函数的单调性的基本步骤及注意事项。
一、定义法根据增（减）函数的定义判断函数的单调性是常用的基本方法，一般按照“取值--- 作差变形---判断符号---下结论”这四个步骤进行判断，关键是变形，常用的手段有： 通分提取公因式、配方法、有理化、因式分解。
例1：利用单调性的定义证明函数+2()+1x f x x =在(-1,)+¥上是减函数。
上是减函数。
思维导图：第一步：在(-1,)+¥上任取12x x <，®第二步：作差、通分®第三步： 判断差与零的关系判断差与零的关系®第四步：下结论。
第四步：下结论。
解析：在(-1,)+¥上任取12x x <，则则121212+2+2()()+1+1x x f x f x x x -=-2121(+1)(+1)x x x x -=因为211x x >>-，所以21210,+1>0,+10x x x x ->>。
2121>0(+1)(+1)x x x x -\，所以21()()0f x f x ->；即21()>()f x f x ，故故+2()+1x f x x =在区间(-1,+)¥上为减函数。
上为减函数。
例2：证明函数3()2f x x =-在R 上的单调递增。
上的单调递增。
思维导图：第一步：在R 上任取12x x <，®第二步：作差、配方®第三步：第三步： 判断差与零的关系判断差与零的关系®第四步：下结论。
第四步：下结论。
二、图象法：就是画出函数的图象，自左向右观察函数图象的上升和下降趋势，从而判断 函数的单调性。
例2：函数()(1)f x x x =-在区间A 上是增函数，则区间A 是 （（ ））(A)[0,)+¥ (B) (,0]-¥ (C) 1[0,]2 (D) 1(,)2+¥思维导图：第一步：作出函数()f x 的图像®第二步：自左向右观察函数图象的变化第二步：自左向右观察函数图象的变化 趋势趋势®第三步：下结论。
复合函数单调性的判定方法
复合函数单调性的判定方法定理设y＝f(u)，u∈(m，n)，u＝g(x)，x∈(a，b)．(1)若y＝f(u)是(m，n)上的减函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反；(2)若y＝f(u)是(m，n)上的增函数，则y＝f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同．证明：(1)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是减函数得f[g(x1)]＞f[g(x2)]，故f[g(x)]在(a，b)上是减函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是增函数．(2)若g(x)在(a，b)上是增函数，任取a＜x1＜x2＜b，则有m＜g(x1)＜g(x2)＜n，由f(u)在(m，n)上是增函数，得f[g(x1)]＜f[g(x2)]，所以f[g(x)]在(a，b)上是增函数．若g(x)在(a，b)上是减函数，同理可证f[g(x)]在(a，b)上是减函数．由此定理可知，复合函数单调性的判定是以简单函数的单调性为基础，而中学数学中的简单函数均是初等函数，因此熟悉各种初等函数的单调性是判定复合函数单调性的基础．若能对各种初等函数的图象了如指掌，则对复合函数的单调性的判定将大有裨益．我们就可借助初等函数的图象确定它的单调性，判定它的单调区间和函数值域，再利用上述定理就很容易判定复合函数的单调性．例1讨论函数f(x)＝log0.5(x2＋4x＋4)的单调性．解f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f(x)可视为y＝log0.5u与u＝x2＋4x＋4复合而成．u的图象是以x＝－2为对称轴，开口向上的抛物线，在(－∞，－2)上为减函数，在(－2，＋∞)上为增函数．又y＝log0.5u在其定义域上是减函数，故f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．例2试求函数f(x)＝2x2的单调区间．解函数f(x)＝2x2可视为f(u)＝2u与u＝x2复合而成．函数u＝x2在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且u≥0．函数f(u)＝2u在u≥0时为增函数．所以，f(x)在(－∞，0]上为减函数．在[0，＋∞)上为增函数．推论由有限个简单函数复合而成的多重复合函数，若在所讨论的区间内每个简单函数均有意义，且均为严格单调函数．当其中减函数的个数是偶数时，则复合函数是增函数；当减函数的个数是奇数时，则复合函数是减函数．(1)若0＜a＜1．当x＜－1时，在构成复合函数的三个函数中，y＝log a u和v＝x2－x－2是减函数，则f(x)是增函数．当x＞2时，在构成复合函数的三个函数中，只有y＝log a u是减函数，则f(x)是减函数．(2)若a＞1，当x＜－1时，构成复合函数的三个函数中只有一个函数y＝log a u是减函数，则f(x)是减函数．当x＞2时，构成复合函数的三个函数都是增函数，则f(x)是增函数．。
复合函数的单调性
复合函数的单调性可以证明，复合函数[]()f g x 的单调性规律为同增异减。
即若令()u g x =，当()f u 与()g x 具有相同的单调性时，[]()f g x 为增函数；当当()f u 与()g x 具有不同的单调性时，[]()f g x 为减函数。
求复合函数的单调区间可以按照以下的“四步骤”解决：即一求、二定、三讨、论四复合。
一求：求复合函数的定义域。
二定：确定内层函数与外层函数的表达式。
三讨论：分别讨论内层函数与外层函数的单调性。
此步骤关键是求出各层函数的单调区间及相应的在复合函数定义域内x 的取值区间。
四复合：由各层函数的单调区间的端点值把复合函数的定义域分成若干部分，并在数轴上标出，利用复合函数的单调性规律进行复合。
例1.求函数y =的单调区间。
解析：一求：函数y =的定义域为2230x x --≥，即1x ≤或3x ≥二定：内层函数223u x x =--，外层函数y =三讨论：当0u ≥时，即230x x --≥，1x ≤-或3x ≥时，y =单调递减当1x <时，223u x x =--单调递减；当1x ≥时，223u x x =--单调递增四复合：将−1、1、3按照区间顺序排列故y =在(],1-∞-单调递增，在[)3,+∞单调递减。
例2.讨论函数25434x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性解析：一求：函数的定义域为R二定：内层函数为254u x x =++，外层函数为34uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭三讨论：当9,4u ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭即x R ∈时，34uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减 当52x <-时，254u x x =++单调递减；当52x ≥-时，254u x x =++ 单调递增四复合：将5-标在数轴上：故25434x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在5,2⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，在5,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增 例3.求函数22(3)y x x =-的单调区间 解析：一求：函数的定义域为R二定：内层函数为2u x =，外层函数为(3)y u u =-三讨论：当32u <，即x <<(3)y u u =-单调递增；当32u ≥，即x ≥x ≤时，(3)y u u =-单调递减 当0x <时，2u x =单调递减；当0x ≥时，2u x =单调递增四复合：将、0按照区间顺序排列故22(3)y x x =-在,2⎛-∞-⎝⎦上单调递增，在2⎛⎤- ⎥ ⎝⎦上单调递减，在⎛ ⎝⎦上单调递增，在⎤∞⎥⎝⎦在单调递减。
复合函数的单调性
复合函数的单调性
例1.（1）判断y=单调性。
解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R 设u=,y= (将原函数分解为内函数和外函数) 由u==知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数， y=为减函数 （分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞）
（2）判断32x y -=单调性
小结：求指数型复合函数单调性步骤：
第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x 的限制，然后解不等式，求交集。
第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，
第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间
第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。
练习1.
（1）函数y=的单调递增区间为（ ）
A,(-∞,0] B[0,+∞) C(-∞,-1] D[1,+∞)（2 ) 函数y=2(x 3)2+的单调递增区间为____________________
（3）求函数y=232x
x a -++的单调区间
例2.求y=的单调区间
2412x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +12u ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +2
(x 2)4+-12u
⎛⎫ ⎪⎝⎭
2112x -⎛⎫ ⎪⎝
⎭
练习2.
求12y ⎛=
⎪⎝⎭
例3.求函数y=的单调区间与值域
练习3.求函数y=的单调区间与值域
21223x x +-+x 11242x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
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课题：函数的单调性(二)复合函数单调性北京二十二中 刘青教学目标1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.2.会求复合函数的单调区间.3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点与难点1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间.2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.教学过程设计师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.生：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间.(教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.)(教师板书，可适当略写.)例 求下列函数的单调区间.1.一次函数y=kx+b(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k ＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=x k(k ≠0).解 当k ＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k ＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0).解 当a ＞1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调减区间，(－a b2，+∞)是它的单调增区间；当a ＜1时(－∞，－a b 2)是这个函数的单调增区间，(－a b2，+∞)是它的单调减区间；4.指数函数y=ax(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1).解 当a ＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a ＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.师：我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数)，由于n 的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析.师：我们看看这个函数y=2x 2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何?生：它在(－∞，+∞)上是增函数.师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+∞)，所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x 2+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理.(板书)引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)证明在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢?生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数.师：你回答得很好.因此，还需增加一些引理，使得求复合函数的单调区间更容易些.(教师可以根据学生情况和时间决定引理2是否在引理1的基础上做些改动即可.建议引理2的证明也是改动引理1的部分证明过程就行了.)引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.师：我们明白了上边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出了.为了记忆方便，咱们把它们总结成一个图表.(板书)师：你准备怎样记这些引理?有规律吗?(由学生自己总结出规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数.)师：由于中学的教学要求，我们这里只研究y=f(u)为u的单调函数这一类的复合函数.做例题前，全班先讨论一道题目.(板书).例1 求下列函数的单调区间：y=log4(x2－4x+3)师：咱们第一次接触到求解这种类型问题，由于对它的解题步骤、书写格式都不太清楚，我们先把它写在草稿纸上，待讨论出正确的结论后再往笔记本上写.师：下面谁说一下自己的答案?生：这是由y=log4u与u=x2－4x+3构成的一个复合函数，其中对数函数y=log4u在定义域(0，+∞)上是增函数，而二次函数u=x2－4x+3，当x∈(－∞，2)时，它是减函数，当x∈(2，+∞)时，它是增函数，.因此，根据今天所学的引理知，(－∞，2)为复合函数的单调减区间；(2，+∞)为复合函数的单调增区间.师：大家是否都同意他的结论?还有没有不同的结论?我可以告诉大家，他的结论不正确.大家再讨论一下，正确的结论应该是什么?生：……生：我发现，当x=1时，原复合函数中的对数函数的真数等于零，于是这个函数没意义.因此，单调区间中不应含原函数没有意义的x的值.师：你说得很好，怎样才能做到这点呢?生：先求复合函数的定义域，再在定义域内求单调区间.师：非常好.我们研究函数的任何性质，都应该首先保证这个函数有意义，否则，函数都不存在了，性质就更无从谈起了.刚才的第一个结论之所以错了，就是因为没考虑对数函数的定义域.注意，对数函数只有在有意义的情况下，才能讨论单调性.所以，当我们求复合函数的单调区间时，第一步应该怎么做?生：求定义域.师：好的.下面我们把这道题作为例1写在笔记本上，我在黑板上写.(板书)解设y=log4u,u=x2－4x+3.由u＞0,u=x2－4x+3，解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.师：这步咱们大家都很熟悉了，是求复合函数的定义域.下面该求它的单调区间了，怎样求解，才能保证单调区间落在定义域内呢?生：利用图象.师：这种方法完全可以.只是再说清楚一点，利用哪个函数的图象?可咱们并没学过画复合函数的图象啊?这个问题你想如何解决?生：……师：我来帮你一下.所有的同学都想想，求定义域也好，求单调区间也好，是求x的取值范围还是求复合函数的函数值的取值范围?或是求中间量u的取值范围?生：求x的取值范围.师：所以我们只需画x的范围就行了，并不要画复合函数的图象.(板书)师：当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.师：除了这种办法，我们还可以利用代数方法求解单调区间.下面先求复合函数单调减区间.(板书)u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域)x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.(板书)u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域)x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.师：下面咱们再看例2.(板书)例2 求下列复合函数的单调区间：y=log 31 (2x －x 2) 师：先在笔记本上准备一下，几分钟后咱们再一起看黑板，我再边讲边写.(板书)解 设 y=log 31u,u=2x －x 2.由 u ＞0u=2x －x 2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2.由于y=log31u 在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x 2的单调性正好相反.易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由0＜x ＜2 （复合函数定义域）x ≤1，(u 增)解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由x ＜2， (复合函数定义域)x ≥1， (u 减)解得0≤x ＜2,所以[0，1＝是原复合函数的单调增区间.师：以上解法中，让定义域与单调区间取公共部分，从而保证了单调区间落在定义域内. 师：下面我们再看一道题目，还是自己先准备一下，就按照黑板上第一题的格式写. (板书)例3 求y=267x x --的单调区间.(几分钟后，教师找一个做得对的或基本做对的学生，由他口述他的全部解题过程，教师在黑板上写，整个都写完后，教师边讲边肯定或修改学生的做法，以使所有同学再熟悉一遍解题思路以及格式要求.)解设y=u,u=7－6x－x2,由u≥0,u=7－6x－x2解得原复合函数的定义域为－7≤x≤1.因为y=u在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x≤-3时单调增加。
由-7≤x≤1,（复合函数定义域）x≤-3,（u增）解得-7≤x≤-3.所以[-7，3]是复合函数的单调增区间.易知u=－x2－6x+7=－(x+3)2+16在x≥－3时单调减，由－7≤x≤1 (复合函数定义域)x≥－3，(u减)解得－3≤x≤1，所以［－3，1］是复合函数的单调减区间.师：下面咱们看最后一道例题，这道题由大家独立地做在笔记本上，我叫一个同学到黑板上来做.(板书)例4 求y=122)21(--xx的单调区间.(学生板书)解设y=u)21(.由u∈R,u=x2－2x－1,解得原复合函数的定义域为x∈R.因为y=u)21(在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x－1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减，由x∈R, (复合函数定义域)x≤1，(u减)解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.师：黑板上这道题做得很好.请大家都与黑板上的整个解题过程对一下.师：下面我小结一下这节课.本节课讲的是复合函数的单调性.大家注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.(作业均为补充题)作业求下列复合函数的单调区间.1.y=log3(x2－2x);(答：(－∞，0)是单调减区间，(2，+∞)是单调增区间.)2.y=log 21(x 2－3x+2)；(答：(－∞，1)是单调增区间，(2，+∞)是单调减区间.)3.y=652-+-x x ,(答：［2，25是单调增区间，］［25，3］是单调减区间.)4.y=x17.0;(答：(－∞，0)，(0，+∞)均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.)5.y=232x -;(答(－∞，0)为单调增区间，(0，+∞)为单调减区间)6.y=3)31(+x ,(答(－∞，+∞)为单调减区间.) 7.y=x 2log 3；(答：(0，+∞)为单调减区间.) 8.y=)4(1log2x x -π；(答：(0，2)为单调减区间，(2，4)为单调增区间.) 9.y=426x x -；(答：(0，3)为单调减区间，(3，6)为单调增区间.) 10.y=227x x -；(答(－∞，1)为单调增区间，(1，+∞)为单调减区间.) 课堂教学设计说明1.复习提问简单函数的单调性.2.复习提问复合函数的定义.3.引出并证明一个引理，用表格的形式给出所有的引理.4.对于例1，教师要带着学生分析，着重突出单调区间必须是定义域的子集.例2中的第一题，还是以教师讲解为主.例2中的第二题，过渡到以学生讲述自己解法为主.例2中的第三题，以学生独立完成为主.5.小结，作业.我为什么要采取这几个环节呢?因为从以往的经验看，当要求学生求复合函数的单调区间时，他往往不考虑这个函数的定义域，而这种错误又很顽固，不好纠正.为此，本节课我在廛为什么要求复合函数的定义域，以及定义域与单调区间的关系上，投入了较大的精力.力求使学生做到，想法正确，步骤清晰.为了调动学生的积极性，突出课堂的主体是学生，我把四道例题分了层次，第一道由教师引导、逐步逐层导出解题思路，由教师写出解题的全过程；第二题，思路由学生提供，格式还是再由教师写一遍，这样，既让学生有了获得新知识的快乐，又不必因对解题格式的不熟悉而烦恼；后两道例题是以中上等的学生自己独立解答为主的.每做完一道题，由教师简单地小结、修改，以使好学生掌握得更完备，较差的学生能够跟得上.。