2016静电场习题课
第6章 静电场习题课(1)
x dx
P
O
a
x
l
细杆的电荷线密度l＝q / (l),在x处取电荷元dq = ldx＝qdx /l， 它在P点产生的电势为
dq
dx
dU P 4 0 l a x 4 0 l a x
整个杆上电荷在P点产生的电势
q lnl a x l
8 0l
l
q ln1 l
4 0l a
（2）U P
在半径为r的球面内包含的总电荷为：
qin
dV
V
r 4Ar 3 d r Ar 4
0
(r≤R)
Q
E1 4r 2
qin
0
Ar 4 / 0
E
得到： E1 Ar 2 /4 0 ， (r≤R)
方向沿径向，A>0时向外，A<0时向里．
在球体外作一半径为r的同心高斯球面，按高斯定理有
E2 4r 2 qin / 0 qin ?
在半径为r的球面内包含的总电荷为：
qin
dV
V
r 4Ar 3 d r Ar 4
0
(r≤R)
qin AR4
Q
得到：E2 AR 4 / 4 0r 2 ， (r >R)
方向沿径向，A>0时向外，A<0时向里．
E
6．如图所示，在电荷体密度为的均匀带电球体中，存
在一个球形空腔，若将带电球心O指向空腔球心O’的矢
R2
R1<r<R2时,
E 2rl 1 l E l
0
2r 0
R1
R1>r 或 r>R2时, E 2rl 0 E 0 L
r
10.三个互相平行的均匀无限大带电平面，面电荷密度为
静电场习题课
静电场习题课1．如图示真空中有两个半径分别为R 1和R 2的同心导体球壳，设内、外导体球壳上分别带有净电荷Q 1和Q 2，外球壳的厚度忽略不计，并以无穷远处为电位参考点，试求： (1）导体球壳内、外电场强度E 的表达式； (2）内导体球壳()r R =1的电位ϕ。
2.真空中有一个半径为3cm 的无限长圆柱形区域内，有体密度ρ=10 mC m 3均匀分布的电荷。
求：r r r ===234cm, cm, cm 处的电场强度E 。
3.内导体半径为2cm 和外导体的内半径为4cm 的球形电容器，其间充满介电常数ε=2rF m的电介质。
设外导体接地，而内导体带电，试求电容器介质内某点电位为内导体电位的一半时，该处的ε值。
4.一同轴线内圆柱导体半径为a ，外圆柱导体半径为b ，其间填充相对介电常数ερr =a的介质，当外加电压为U (外导体接地）时，试求：(1)介质中的电通密度（电位移）D 和电场强度E 的分布； (2)介质中电位ϕ的分布；5. 图示空气中一输电线距地面的高度3h m =，输电线的半径为5a mm =，输电线的轴线与地面平行，旦对地的电压为3000U V =，试求地面上感应电荷分布的规律。
(.)ε01288510=⨯-F m6. 已知半径为R 的无限长中空半圆柱面，均匀带电，电荷面密度为σ0，则在其轴线上产生的电场强度为00y yE e σπε=-。
一个带有均匀分布的电荷体密度为ρ0的半圆柱，半径也为R ，问它在轴线上产生的电场强度是多少？7. 下图所示空气中一根长直细导线(截面可忽略不计），单位长度所带电荷量为τ，平行放置于一块无限大导体平板上方，并与一块半无限大瓷介质()εε204=相邻，且已知长直细导线到导体平板与瓷介质的距离均为d ，画出求解空气中电场时，所需镜像电荷的个数、大小和位置(不要求解出电场）。
8. 长直圆柱形电容器内外导体的半径分别为R 1、R 3，其间充满介电常数分别为ε1、ε2的两种介质,其分界面是半径为R 2的圆柱面，若内导体单位长度带电荷量+Q ，外导体内表面单位长度所带电荷量-Q ，且外导体接地，如图所示，请写出两种介质区域内电位函数所满足的微分方程和边界条件。
第一章(5)习题课
∴
E
0，
( r R)
E的方向垂直轴线沿径向， > 0则背离轴线；
R ˆ， ( r R ) r 0r
< 0则指向轴线。
11、无限大的均匀带电平面，电荷面密度为，P点与 平面的垂直距离为d，若取平面的电势为零，则P点的 电势 V p d / 2 0 ，若在P点由静止释放一个电子(其 质量为m，电量绝对值为e)则电子到达平面的速率为：
3、一均匀静电场，场强 E (400i 600 j )V m 1 , 则点a（3、2）和点b（1、0）之间的电势差为 Vab 2000V
解 : E 400i 600 j
b b a a
dl dxi dyj
Vab E dl (400i 600 j ) (dxi dyj )
侧 面 EdS E 侧 面 dS 2πrhE
(1) r < R时,
qi 0 ,
qi 由高斯定理 Φ ε0
即 2πrhE 0, 得 E 0 (2) r > R时, q i 2πRhσ ,
qi 由高斯定理 Φ ε0
σR 即 2πrhE 2πRhσ / ε0 , 得 E ε0 r
2
10.( 第一章习题二 .9) 无限长均匀带电圆柱面，电荷 面密度为，半径为R，求圆柱面内外的场强分布。
解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面
R r
E
为高斯面, 根据对称性分析，圆柱面 侧面上任一点的场强大小相等， 方向
h E
S
ˆ r
沿矢径方向。 Φ S E dS 上底 E dS 下底 E dS 侧面 E dS
静电场习题课.
及分布所决定的。
(2)若闭合曲面S上各点的场强为零时，则S面内必未 包围电荷。
答：不对，
E 0,
E dS 0
S
如：
qi 0
S
q q
但不能说S面内未包围电荷。
(3)通过闭合曲面S的总电通量，仅由S面所包围的电 荷提供。
答：正确。
(4)闭合曲面S上各点的场强，仅由S面所包围的电荷 提供。
•
•
q
q
如：中心o点处E 0 ，仅由该点的且是不能求出V的， 必须知道场的分布才能求出。按点电荷电场分布及
电势叠加原理可以求出该点：
V 4 1 q 1 q
40 a 0 a
为正方形对角线的一半
(2)已知某点的V就可以确定该点的 E。
答：不对。 E V ，某点的 E应由该点附近电
势V分布求得。
40 r 2
1 qi 0 inside,i
E ( i j k )V gradV V x y z
典型静电场：
点电荷：
E
1
4 0
qr r3
均匀带电圆环轴线上：
1
4 0
E
1
4
q r2
0(erR2ຫໍສະໝຸດ qxi x2)
3 2
无限长均匀带电直线： E 2 0 r
( 带电直线）
均匀带电球面： E(rR)
例如，电偶极子的电场中，在偶极子连线的中垂面是
一等势面，求出在这一等势面上各点场强是不相等的。
(参见P45 例2)
E p 1
场点到偶极子连线中点的距离
40 y3
而由上例(4)知在均匀带电球面的电场中，等势面上
各点的场强大小相等。
静电场习题课
静电场习题课
e ES cos
闭合曲面外法线方向(自内向外)为正
s
穿进闭合面的电场线对该闭合面提供负通量； 穿出闭合面的电场线对该闭合面提供正通量 C.有时利用高斯定理求电通量非常方便
利用高斯定理求电通量 例1: 点电荷ｑ位于正立方体中 q 心,则通过侧面ａｂｃｄ的电通量 e 6
4 0
(A)
0
(B)
(C)
(D)
8 0
2. 如图所示，两个“无限长”的共轴圆柱面， 半径分别为R1和R2，其上均匀带电，沿轴线 方向单位长度上所带电荷分别为1和2 ，则 在两圆柱面之间、距离轴线为r的P点处的场 ［ A ］ 强大小E为： 1 1 1 2 2 (A) 2 π r (B) (C) 2 R r (D) 2 0 r R1 0 2 2 0 r 0
UP
i
E
3、 先求 V,再求 E 。 E gradV
V V V gradV x i y j z k
4 0 r 带电体
dq
2
r
0
4 0 ri
dq 4 0 r
qi
U
带电体
先求 E 再求 U 。
pe q
q2 F q 2 0 2 0 s
Sd S
•电偶极子在均匀外电场中所受到的力和力矩 ＝ｐ ｅ ｅ Ｅ Ｆ＝０ Ｍ •力偶矩 力图使电偶极子的偶极矩 转到与外电场
一致方向上来
八、电势、电势差与电势能 零电势点 1. 电势： U E dl （ ＝ E dl ） ａ
底
2 E DS d DS / 0
静电场习题课一
(1)若将放在电场中某点的电荷q改为－q，则该点的电场强度 大小不变，方向与原来相反。 (2)若取走放在电场中某点的电荷，则该点的电场强度变为零。 (3)沿电场线方向，场强一定越来越小。 (4)若电荷q在A处受到的电场力比B点时大，则A点电场强度比 B点的大。 (5)电场中某点电场线的方向，就是放在该点的电荷所受电场 力的方向。 (6)在电场中，电场强度越大的地方电势越高。 (7)原静止的点电荷在只受电场力时，一定从电势高处向电势 低处运动。 (8)电荷沿电场线方向移动时，其电势能一定减小。 (9)检验电荷在电场中某点所受的电场力很大时，它在该点具 有的电势能也一定大。 (10)把两个异号电荷靠近时，电荷电势能增电场中相邻的四个 等势面，一个电子垂直经过等势面D时动能为 20eV，经过等势面C时的电势能为-10eV，到达等 势面B时速度恰好为零，已知相邻等势面间距离为 5cm，则下列说法正确的是( )
A.A等势面的电势为-10V
B.匀强电场的场强为200V/m
选ABD
C.电子再次经过D等势面时， 动能为l0eV
D.电子的运动是匀变速直线 运动
• 练习：A、B是一条电场线上的两个点，一带 负电的微粒仅在电场力作用下以一定初速度 从A点沿电场线运动到B点，其速度—时间图 象如图1－15所示.则这一电场可能是
A
例1：如图，倾角 的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强 场中，电场强度 ，有一个质量为 的带电小球，以速度 沿斜面匀速下滑，求： （1）小球带何种电荷？电荷量为多少？ （2）在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面，此后经 内小球的位移是多大？（ 取 ）
小球必带正电，
重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力场 等效重力 等效重力加速度
重力、电场力的合力
大学物理-静电场习题课PPT课件
★场强E是高斯面上任一点的电场强度。当高斯面内无电荷时，高斯面上的场
强并不一定处处为零;当高斯面上的场强处处为零时,高斯面内一定无电荷或代 数和为零。
★高斯面可任意选取，但解题中应充分利用对称性。
★适用于任何静电场，也适用于变化的电场，是电磁场的基本定理之一。
4
第10章 恒定磁场
常见应用高斯定理求解的问题
补偿法：均匀带点球+小面元（视为点电荷）
点 电 荷u q 4πε0r
带 电 球 面u(R) Q 4πε0 R
Q 4πR 2
q S Q S
4πR2
1
Q
S
E 4πε0R (Q q) 4πε0R (1 4R2 )
13
第10章 恒定磁场
个人观点供参考，欢迎讨论
高斯定理：
1
s
E
• ds
0
qi
静电场是有源场
3
第10章 恒定磁场
高斯定理：通过任意闭合曲面的电通量等于这个闭合曲面(高斯面）所包围的电
荷的代数和除以 0 ,而与闭合曲面外的电荷无关。
真空中
1
e s E • ds 0
qi
q1 S
注意:
q3
q2
★过曲面的通量由曲面内的电荷决定
★高斯面上的场强 E 是由全部电荷（面内外电荷）共同产生
5 如图所示，在边长为的正方形平面的中垂线上， 距中心O点a/2处，
有一电量为q的正电荷，则通过 该平面的电场强度通量为______________
a
a/2 q
a/2q
a
由高斯定理 q 0
a
q 60
9
第10章 恒定磁场
P30 计算题1.一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =A r (r≤R) ， ρ =0 (r＞R) A为一常量．试求球体内外的场强分布．
高中物理 第1章 静电场习题课(3、4节)练习 教科版选修31
第1章静电场习题课（3、4节）基础练1．下列4个图中，a、b两点电势相等、电场强度矢量也相等的是( )答案 D解析匀强电场的等势面是一系列的平行平面，A中a、b两点不在同一等势面上，所以，这两点的电势是不相等的，但这两点的场强相等；B中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的场强矢量大小相等、方向不同；C中a、b两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上场强矢量的方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的场强矢量的方向不同；在D中，a、b两点的电势相等，场强矢量的方向是沿连线的，而且方向相同，故本题选D.2.如图1所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹．M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右点．不计重力，下列表述正确的是( )图1A．粒子在M点的速率最大B．粒子所受电场力沿电场方向C．粒子在电场中的加速度不变D．粒子在电场中的电势能始终在增加答案 C解析粒子带负电，所受电场力沿电场反方向，在接近M点的过程中电场力做负功，离开M点的过程中电场力做正功，所以在M点粒子的速率应该最小，A、B错误，粒子在匀强电场中运动，所受电场力不变，加速度不变，C正确，因为动能先减小后增加，所以电势能先增加后减小，D错误．3．关于电势差与电场力做功的说法中，正确的是( )A．电势差的大小由在两点间移动电荷时电场力做的功和电荷的电荷量决定B．电场力在两点间移动电荷做功的多少由两点间的电势差和该电荷的电荷量决定C．电势差是矢量，电场力做的功是标量D．电场中两点间的电势差等于电场力做的功，电荷的电势能减小答案 B解析本题主要考查电势差的概念及电场力做功与电势差的关系．电势差的大小由电场本身的因素决定，与移动电荷的电荷量及移动电荷所做的功无关，A项错．由W AB＝qU AB知，B项对．电势差、电场力做的功都是标量，C项错．电场中两点间的电势差等于将单位正电荷从一点移到另一点电场力所做的功，D项错，因此正确选项为B.4．一电子飞经电场中A、B两点，电子在A点电势能为4.8×10－17J，动能为3.2×10－17J，电子经过B点时电势能为3.2×10－17J，如果电子只受静电力作用，则( )A ．电子在B 点时动能为4.8×10－17J B ．由A 点到B 点静电力做功为100eVC ．电子在B 点时动能为1.6×10－17J D ．A 、B 两点间的电势差为100V 答案 AB5．如图2所示，虚线a 、b 、c 为三个同心圆面，圆心处为一个点电荷．现从c 外面一点P 以相同的速率发射两个电荷量、质量都相等的带电粒子，分别沿PM 、PN 运动到M 、N ，M 、N 两点都位于圆周c 上，以下判断正确的是( )图2A ．两粒子带同种电荷B ．两粒子带异种电荷C ．到达M 、N 时两粒子速率仍相等D ．到达M 、N 时两粒子速率不相等 答案 BD解析 由两个粒子轨迹的弯曲情况可看出，到达M 的粒子受的是库仑斥力，到达N 的粒子受的是库仑引力，所以两个粒子电性一定不同，A 错误，B 正确；因为P 和M 、N 不在同一个等势面上，所以由P 到M 和由P 到N 时电场力都要做功，但因P 到M 的过程中是在斥力作用下靠近，电场力做负功，所以动能减少，故v M <v P ；由P 到N 的过程中是在引力作用下靠近，电场力做正功，所以动能增加，故v N >v P ，因此到达M 、N 两点时速率v M <v N ，C 错误，D 正确．6．如图3所示，在x 轴上关于原点O 对称的两点固定放置等量异种点电荷＋Q 和－Q ，x 轴上的P 点位于－Q 的右侧．下列判断正确的是( )图3A ．在x 轴上还有一点与P 点电场强度相同B ．在x 轴上还有两点与P 点电场强度相同C ．若将一试探电荷＋Q 从P 点移至O 点，电势能增大D ．若将一试探电荷＋Q 从P 点移至O 点，电势能减小 答案 AC解析 在＋Q 、－Q 连线上及延长线上三个区间内场强方向如图所示，由对称关系可知，在Q 左侧与P (－Q )间等距的P ′点应与P 点场强相同，故选项A 正确．(－Q )做正功W 1，由(－Q )→(－Q )做正功W 1，由(－Q )→0电场力做负功W 2，由上面分析知，|W 2|>W 1，故电势能增大．C 正确．7．一个电子在电场中的A 点具有80eV 的电势能，当它由A 点运动到B 点时克服静电力做功30eV ，则( )A ．电子在B 点时的电势能是50eV B ．电子的电势能增加30eVC ．B 点电势比A 点高110VD ．B 点电势比A 点低110V 答案 B解析 电子从A 到B 克服静电力做功30eV ，说明从A 到B 电势能增加了30eV ，因此电子在B 点时的电势能应是110eV ，故A 错，B 对．从A 到B 移动电子克服静电力做功，说明φA >φB ，两点间的电势差U AB ＝φA －φB ＝W ABq＝30V ，故B 点电势比A 点低30V ，所以C 、D 均错．提升练8．某电场的电场线分布如图4所示，以下说法正确的是( )图4A．c点场强大于b点场强B．a点电势高于b点电势C．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点D．若在d点再固定一点电荷－Q，将一试探电荷＋q由a移至b的过程中，电势能减小答案BD解析电场线的疏密表示电场的强弱，A项错误；沿着电场线方向电势逐渐降低，B项正确；＋q在a点所受电场力方向沿电场线的切线方向，由于电场线为曲线，所以＋q不沿电场线运动，C项错误；在d点固定一点电荷－Q后，a点电势仍高于b点，＋q由a移至b 的过程中，电场力做正功，电势能减小，D项正确．9.如图5中，a、b、c、d、e五点在一直线上，b、c两点间的距离等于d、e两点间的距离．在a点固定放置一个点电荷，带电荷量为＋Q，已知在＋Q的电场中b、c两点间的电势差为U.将另一个点电荷＋q从d点移动到e点的过程中( )图5A．电场力做功qUB．克服电场力做功qUC．电场力做功大于qUD．电场力做功小于qU答案 D解析该电场为正点电荷产生的电场，从a→e场强减小，电势变化量不均匀，电场线密集的地方电势降落较快，所以Ubc>Ude，故点电荷＋q从d点移到e点电场力做功小于qU.故D项正确．10.如图6所示，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心的某同心圆弧上，将一检验电荷从A点分别移到B、C、D各点时，电场力做功大小比较( )图6A．W AB>W AC B．W AD>W ABC．W AC＝W AD D．W AB＝W AC答案CD解析点电荷的等势面为同心球面，故B、C、D三点位于同一等势面上，故U AB＝U AC＝U AD，将同一检验电荷从A点分别移到B、C、D各点，由电功的计算公式W＝qU可得电场力做功相同．11．如图7所示，O是一固定的点电荷，另一点电荷P从很远以初速度v0射入点电荷O 的电场，在电场力作用下的运动轨迹是曲线MN.a、b、c是以O为中心、R a、R b、R c为半径画出的三个圆，R c－R b＝R b－R a.1、2、3、4为轨迹MN与三个圆的一些交点．以|W12|表示点电荷P由1到2的过程中电场力做功的大小，|W34|表示由3到4的过程中电场力做功的大小，则( )图7A ．|W 12|＝2|W 34|B ．|W 12|＞2|W 34|C ．P 、O 两电荷可能同号，也可能异号D ．P 的初速度方向的延长线与O 之间的距离可能为零 答案 B解析 因为R b －R a ＝R c －R b ，且E c <E b <E a .由电场线密集的地方电势降落较快可知|U 12|>2|U 34|.则|W 12|>2|W 34|，故B 项正确．从电荷P 的弯曲运动轨道可知，P 、O 两电荷一定异号，故C 项错．如果P 的初速度方向的延长线与O 之间的距离为零，则P 电荷的轨迹为一直线，故D 错．12．在电场中把一个电荷量为－6×10－8C 的点电荷从A 点移到B 点，电场力做功为－3×10－5J ，将此电荷从B 点移到C 点，电场力做功为4.5×10－5J ，求：A 与C 两点间的电势差．答案 －250V解析 把电荷从A 移到C 电场力做功W AC ＝W AB ＋W BC ＝－3×10－5J ＋4.5×10－5J ＝1.5×10－5J.则A 、C 间的电势差U AC ＝W AC q ＝1.5×10－5－6×10－8V ＝－250V.13．如果把q ＝1.0×10－8C 的电荷从无穷远移到电场中的A 点，需要克服静电力做功W＝1.2×10－4J ，那么，(1)q 在A 点的电势能和A 点的电势各是什么？ (2)q 未移入电场前A 点的电势是多少？答案 (1)1.2×10－4J 1.2×104V(2)1.2×104V解析 (1)静电力做负功，电势能增加，无穷远处的电势为零，电荷在无穷远处的电势能也为零，即φ∞＝0，E p∞＝0.由W ∞A ＝E p∞－E p A 得E p A ＝E p∞－W ∞A ＝0－(－1.2×10－4J)＝1.2×10－4J再由φA ＝E P A q得φA ＝1.2×104V (2)A 点的电势是由电场本身决定的，跟A 点是否有电荷存在无关，所以q 移入电场前，A 点的电势仍为1.2×104V.14.如图8所示的匀强电场中，有a 、b 、c 三点，ab ＝5cm ，bc ＝12cm ，其中ab 沿电场线方向，bc 和电场线方向成60°角，一个电荷量为q ＝4×10－8C 的正电荷从a 点移到b 点时静电力做功为W 1＝1.2×10－7J ，求：图8(1)匀强电场的场强E ；(2)电荷从b 移到c ，静电力做功W 2； (3)a 、c 两点间的电势差U ac .答案 (1)60V/m (2)1.44×10－7J (3)6.6V解析 (1)设a 、b 间距离为d ，由题设条件有W 1＝qEd .E ＝W 1qd ＝ 1.2×10－74×10－8×5×10－2V/m ＝60V/m. (2)设b 、c 间距离为d ′，b 、c 两点沿场强方向距离为d 1.W 2＝qEd 1＝qEd ′cos60°＝4×10－8×60×12×10－2×0.5J＝1.44×10－7J. (3)正电荷从a 移到c 静电力做功W ＝W 1＋W 2，又W ＝qU ac ，则U ac ＝W 1＋W 2q ＝1.2×10－7＋1.44×10－74×10－8V ＝6.6V.。
静电习题课
xdq dE 2 2 3/ 2 4 0 ( r x )
哈尔滨工程大学理学院
静电场习题课
y
dl R r O x R x R x
y
r
O dE
r R sin ,
x R cos ,
dl Rd
E
/2
0
2R 3 sin cos d 3 4 0 40 R
哈尔滨工程大学理学院
静电场习题课 2. 一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为R1和R2 ， 在它的侧面上均匀带电，电荷面密度σ，求：顶角O的 电势。（以无穷远处电势为零点）
R1
R2
哈尔滨工程大学理学院
静电场习题课 1、判断带电体类型（均匀的连续面分布） 2、选坐标 3、找微元
dq ds
4 r q U 4 r
i 1 0
i
连续分布的带电体 场无对称性
U
dq 4 r
0
场有对称性
哈尔滨工程大学理学院
U P E dl
P
静电场习题课
F
定理
D ds q
0
qq ˆ r 4 r 1
1 2 2
i
有源场
s
静 电 学
方向沿x正方向
电荷元在球面电荷电场中具有电势能： dW = (qdx) / (40 x) 整个线电荷在电场中具有电势能：
q W 4 0
哈尔滨工程大学理学院
r0 l r0
r0 l dx q ln x 4 0 r0
静电场习题课 8.一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半 径分别为R1 = 2 cm，R2 = 5 cm，其间充满相对介电常量 为r 的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压U = 32 V 的电源上，(如图所示)，试求距离轴线R = 3.5 cm处的A点 的电场强度和A点与外筒间的电势差．
静电场习题课
Q2 Q2 C2 , W2 , W1：W2 2： 1 ； 串：W1 2C1 2C 2 C1
1 1 C1 2 2 1： 2； 并：W1 C1U , W2 C 2U , W1：W2 2 2 C2
12. 若把电子想象为一个相 对介电常数 r 1 的球体， 它的电荷 e 在球体内部均匀分布， 假设电子的静电能 量 m0 c 2 时，求电子的半径R。
②电势
UP
P（零点） 0
P
W PP0 E dl ＝ q0
是从带电体在电场力作用下移动时，电场力对 它做功而引入的描述电场本身性质的又一物理量。
q 1 点电荷 U ， 点电荷系 U＝ 4 0 r 4 0 1 dq 电荷连续分布 U 4 0 r 1 qi i ri
q q 定义：C , C , U U1 U 2 孤立导体球C 4 0 R, 平行板电容器 C
0S
d
,
4 0 R1 R2 2 0 L 球形电容器C , 圆柱形电容器 C R2 R1 ln R2 / R1
⑤电极化强度矢量
P
pe
V
⑥电位移矢量 D o E P, 对各向同性介质 D 0 r E E
q v0
x
O
2 rdr
4 0 r 2 x 2
b
R rdr 2 2 U ( x R x) 2 2 0 2 0 2 0 r x
R 当 x 0, U 0 。 当 x b, U b ( b 2 R 2 b) 2 0 2 0
静电场习题课
一、小结 1.基本概念：①电场强度矢量
F E q0
静电场 习题课
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应用电场强度的定义式和决定式时要注意条件，灵活
选取公式。
求解方法 F 任何电场 定义式 E＝ q 适用于任何电场 Q E＝k 2，其中 Q 是场源电荷量，r 是所 r 真空中点电荷 求点距离 Q 的距离，k 为静电力常量
电场情况
返回 静电场
一、电场的叠加
叠加原理：多个点电荷在电场中某点的电场强度为各个点电 荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，这种关系叫电场强 度的叠加，电场强度的叠加遵守平行四边形定则．
受合外力不为零，利用牛顿第二定律解题。
总之，处理这类问题，就像处理力学问题一样，只是分析 受力时注意别忘了电场力。 3．解题步骤 (1)选择研究对象(以带电体为研究对象)。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)分析带电体受的静电力及其他力的情况。
(3)利用牛顿运动定律列方程(有时与动能定理结合)求解。
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因为 N＝qE＝2mg，所以 N＝2mg，由于细环匀速下滑， 所以有： mg 1 f＝μN＝mg，μ＝ N ＝ ＝0.5 2 1 如果要使细环能以 a＝ g 匀加速下滑，由牛顿第二定律有 2 1 mg 2 1 mg－μN′＝ mg⇒N′＝ ＝mg。 2 0.5 N′ mg 1 而 N′＝qE′，所以：E′＝ q ＝ ＝ E。 2mg 2 E 1 [答案] 0.5 E 2
返回 静电场
如图所示，A、B两个带电小球可以看成点电荷，用两等长绝 缘细线悬挂起来，在水平方向的匀强电场中，A、B静止，且 悬线都保持竖直，已知A、B相距3cm，A的带电量为 qA=+2.0×10-9 C．求： （1）匀强电场的场强大小和方向； （2）小球B的电量和电性； （3）A、B连线中点处的场强大小和方向．
静电场习题课
O
原电荷
P点E 1
2 0
R
圆孔
P点
E220(1
x) x2R2
x EE1E22 x2R2
E
PX
三.“无限”带电体零电势点的选取
1.求无限长均匀带电直线的电势分布
场强分布 E
2 0r
由定义
uPEdr r 20rdr
PQ
r
发散
R
选有限远为电势零点( Q )
uPR rEd 2 r0rd r20ln R r
2
二.补偿法求场强
d
1.带电圆弧 已知: R50 cm
Eo
d2cm q3.12109C
求: Eo
o
R
解:圆弧
q 2 R
带电园环
园弧上电荷
空隙
o处的 E1 0
o 点电荷
处的 E24q0 R240 d R2
d Eo E2 40R2
2. 球体内挖一空腔
已知: R r d
求: Eo
Eo
❖证明空腔内为均匀电场
解:
0处
原电荷
E1 0
R Eo r
0
0
d
空腔
0 处
dq 4r3
sE2dsE24d2s0
3
0
E2
4r3
3
40d2
r3 30d2
r3 Eo E2 30d2
O 点场强的计算
0 处
空腔
原电荷
dq 4d3
sE1dsE14d2s0
3
0
0 处
E2 0
E1
4d3
3
4 0d2
d 30
R
0
Eo
dy
静电场习题课2
例：平行板电容器极板间距为 d , 极板面积为 S，面电
荷密度为 0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 r 的电介 质。求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电容。
解： D1 D2 0
E1
0 0
E2
0 0 r
0
电容可视为两电容串联
d' 0
后，该点外侧附近场强是否变化？该点附近电荷面
密度是否变化？E / 0 是否还成立？
答：在Q产生的外电场作用下，导体上的电荷将 重新分布；电荷面密度发生变化，则E也发生变
化，但 E / 0 的形式依然成立。
2. B为不带电的绝缘导体，将带正电的导体A置于B 的附近，问AB导体哪个电势高？
2、高斯定理： D dS s
q0int
i
3、电容器： 4、电场能量
C Q
U
we
1 2
ED
W wed v （电场空间）
1. 半径为R，介电常数为 的均匀介质球中心放有
点电荷Q，球外是空气。求：
（1）球内外的电场强度；
（2）球内外的电势.
解（1）
D dS
3 2 0
4 2 0
0
1 2 3 4
Sa d
S
b
1 2 3 4 0
2 0 2 0 2 0 2 0
AB
解出：
1
4
q1 q2 2S
2
3
q1 q2 2S
两板间的合场强 E 1 2 3 4 q1 q2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 S
第六章 静电场 习题课
第六章静电场习题课Ⅰ教学基本要求1．会求解描述静电场的两个重要物理量：电场强度E 和电势V 。
2．掌握描述静电场的重要定理：高斯定理和安培环路定理（公式内容及物理意义）。
3．掌握电容、电势差的计算。
Ⅱ内容提要一、电场强度1．点电荷场强：r e r q E v v 204πε=2．点电荷系场强：n E E E E v v v v +⋅⋅⋅++=21（矢量和）3．连续带电体场强：r e r dq E d E v v v ∫∫==204πε（五步走积分法）(建立坐标系、取电荷元、写E d v 、分解、积分)4．对称性带电体场强：（用高斯定理求解）0εφ∑∫=⋅=q S d E s e v v 二、电势1．点电荷电势：rqV 04πε=2．点电荷系电势：n V V V V +⋅⋅⋅++=21（代数和）3．连续带电体电势：∫∫==rdq dV V 04πε（四步走积分法）(建立坐标系、取电荷元、写dV 、积分)4．已知场强分布求电势：∫∫⋅=⋅=l v pdr E l d E V 0v v 三、电势差：∫⋅=∆BA AB ld E U v v 四、电场力做功：∫⋅=∆=2100l l l d E q U q A v v 五、基本定理(1)静电场高斯定理：表达式：0εφ∑∫=⋅=q S d E s e v v 物理意义：表明静电场中，通过任意闭合曲面的电通量（电场强度沿任意闭合曲面的面积分），等于该曲面内包围的电荷代数和除以0ε。
(3)静电场安培环路定理：表达式：0=⋅∫l l d E vv 物理意义：表明静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分为0。
Ⅲ课堂例题例1、已知氢原子中，电子和原子核的距离r0、电子质量m ，氢原子核M 的质量，万有引力常数G ，电子电量和原子核的电量相等，试计算电子和氢原子核的静电作用和万有引力作用，并比较。
解：由库仑定律得静电力N r q q f N e e 821021992001023.8)1053.0()106.1(1094−−−×≈×××==πε万有引力为故N r mM G f m 4721027311120103.64)10(0.53101.67109.11106.67−−−−−×≈×××××==391027.2×≈me f f 在处理原子问题时，万有引力可以忽略不计例2：求均匀带电圆环中心轴上任意点的场强解：已知圆环半径R ，带电量q建立坐标系，取电荷元电荷元在P 点场强r E 304r dq d πε=θπεcos 420rdq dE x =θπεsin 420rdq dE yz =整个带电圆环在P 的场强0=∫yz dE 电荷分布关于x轴对称22202044cos R x x r q dq r dE E x +⋅===∫∫πεπεθll 方向为X 轴方向讨论：x=0E=0;x ＞＞R 204x q E πε≈相当于点电荷例2：求均匀带电圆盘的中心轴线上的场强解：把圆盘分成若干细圆环：取电荷元rdrdq πσ2=利用上例结果可得2322023220)(2)(4x r xrdr x r xdq dE +=+=εσπε整个圆盘在中心轴线上的场强为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=+==∫∫∫21220221220023220)(12)(12)(2R x x R q R x x r x rdr x dE E R επεσεσσ方向为沿x 轴例4：求均匀带电球面的电场分布.已知球面半径为R,所带电量为q以O 为球心，OP 为半径作一球面S球面电荷关于OP 对称，任意对称电荷元dq 在P 点的场强大小相等，合电场方向指向OP 所以S 可以作为高斯面024επq r E dS E dS E S S e ===⋅=Φ∫∫类似分析可求球面内一点的场强42===⋅=Φ∫∫r E dS E dS E SS eπ例5求均匀带电圆环中心轴上点的电势，圆环电量为q ，半径为R解：取电荷元dqld dq λ=电荷元可以看着点电荷，令无穷远处为零电势，则电荷元的在中心轴上的电势为rdq dV 04πε=整个带电圆环在中心轴上的电势由电势叠加得：220202202200484x R q x R R qd r dq dV V R R+=+===∫∫∫πεεππεππl l讨论：x=0Rq U o 04πε=X ＞＞R xqU x 04πε=例6两根平行的“无限长”均匀带电直线，相距为d,导线半径为R (R<<d)，设导线上单位长度上带电为+l 和-l ,求该导体组单位长度上的电容.解：)(2200r d r E −+=πελπελRR d Edr U Rd R −==∫−ln 220πελRRd U C −==ln 0πελ例7真空中均匀带电的球体，半径为R ，体电荷密度为ρ0。
物理课件静电场习题课
电场力所做的功
A
DB
r
r
r
q1
C a
q2
10、均匀带电球面，半径为R，电荷面密度 为σ，求距离球心r处的P点的电势，
（1）P点在球面内；（2）P点在球面上； （3）P点在球面外
11、有一无限长的均匀带正电的细棒L，电 荷的线密度为λ，在它旁边放一均匀带正 电的细棒AB，长为L，线密度也为λ，且AB 与L垂直，并且A端距L为a，求AB所受的电 场力为多少？
C
2、点电荷Q被曲面S所包围，从无穷远处引入另一点 荷q至曲面外一点，如图所示，则引入前后：
（A）曲面S上的电通量不变，曲面上各点场强不变 。
（B）曲面S上的电通量变化，曲面上各点场强不变 。
（C）曲面S上的电通量变化，曲面上各点场强变化
。
[D]
（D）曲面S上的电通量不变，曲面上各点场强变化 。
[C]
6、在边长为a的正立方体中心有一个电量为q的点电
荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为
(A) q/0 ； (B) q/20 ； (C) q/40 ； (D) q/60。
[D]
7、 电荷分布在有限空间内，则任意两点P1 、P2之间的电势差取决于
(A) 从P1移到P2的试探电荷电量的大小； (B) P1和P2处电场强度的大小； (C) 试探电荷由P1移到P2的路径； (D) 由P1移到P2电场力对单位正电荷所作的功
。
[D]
8、下面说法正确的是
(A) 等势面上各点的场强大小都相等； (B) 在电势高处电势能也一定大； (C) 场强大处电势一定高； (D) 场强的方向总是从高电势指向低电势。
[D]
9、如图，已知 r8 cm ,a12cm ,q 1q21 3 10 8C ,
(三)静电场习题课
答：(1)第①式和第②式中的电荷q的意义不同。第① 式中q是置于静电场中并受到电场力F的点电荷;第② 式中电荷q是产生场E的场源电荷。
(2)它们适用的范围怎样?
①式普遍适用，它是电场的定义式；②式只适用于 点电荷；③式当A、B两点间距为l时适用于均匀场。
16.一个孤立导体球壳B带电量为Q,当另一个带电体A 移近球壳B时:
(1)B的引入不改变A表面附近的场强。
能够做到的。如B是和A同心的球壳，但B的半径较 大，就可不改变A表面附近的场。
(2)B的引入不改变A表面的电势。
这是不可能的。电势由整个空间总电场确定的，随 着另一带电体的引入，总电场的分布必将改变。
23.(1)电容器的电容与其带电量有关吗？与哪些物理量有
关？ 无关
(2) 若将球 A接地, A、B 上的电荷如何分布 ?
A球接地仅意味着电势为零!
Q
UA
q
4 0R1
q
4 0R2
Q q
4 0R3
0
解出q既可.
B
R1
A q
R2
R3
(3) 若在距球心O为r 处(r > R3)放一电荷q,则A、B 两导体的 电势是否改变? A、B 的电势差是否改变?
答：若在距球心O为r 处(r＞R3)放一电荷q , r ＜R3 空间的电场强度不变则 A、B 的电势差不改变。而
势升高。
(4)带电体A是否在球壳内产生电场?壳内场强是否还是零?
答：带电体A在球壳内产生电场，当静电平衡时 和B球壳上的感应电荷所产生的电场抵消，即B
壳内场强为零。
(5) 如果在球壳内放一个点电荷,它是否受到壳外带电体A
的静电力作用?静电屏蔽如何体现?
答：如果在球壳内放一个点电荷,它将受到壳外带电
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1
E
dr
12
2
RR12
q 40r
2
dr
R2
qQ 40r 2
dr
1 ( q q qQ) 1 ( q Q ) 40 R1 R2 R2 40 R1 R2
(2)接地，则U1=0，可知：
q Q 0 q R1 Q
R1 R2
R2
3.如图，一个带电量为-q的点电荷，位于一原来不带电的金属球外
A板在B板处的场强大小：E q
20 20S
则对其作用力为： F qE q2
2 0 S
计算极板之间的相互作用力是场 强只能是一个极板产生的场强
3.无限大均匀带电平面A附近平行放置有一定厚度的无限大平面导体
板B，如图，已知A上的电荷面密度为+，则在导体板B的两个表面
1和2上的感应电荷面密度为： (C) 1 12 ,
Q
1
Q
2F
m q
mg
初始时： mg F 即： qE mg
两电容器并联： 抽去电介质后：
Uab
ab E
dl
E Uab
C C1 C2
C1'
1
C1
C
Uab
Eab
F
不变 C Q
Uab
二、填空题：
1.一导体球外充满相对介电常数为r的均匀电介质，若测得导体表面
附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度为 0r E
E'
Eq
(Uq )
( 1 40
q) x
1 40
q x2
i
向左，因而电势表达式的x 与实际x轴的x方向相反
P点有：x d l
E'
1 40
(d
q
l
)2
i
此题也可以用场强叠加法进行求解。 即-q在P处产生的场强与感应电荷在P处产生的场强抵消后为零，所以感应电荷产生 的场强与-q产生的场强大小相等，方向相反。
40 R3
当R2≤r≤R3时球壳等势，有：
U
U3
r
E
dl
rR3
R3
qQ 1
40 R3
U1 U3
当r≥
R3时，有：
U4
r
E
dl
40r
o
R1
R2 R3
r
⑵ 导线连接球与球壳后，二者成为等势体，带电q+Q，且分布于外
.
真空时：此处有
E0 0
E E0 1 r r 0
0r E
2.如图，两同心金属球壳，它们离地球很远，内球壳用细导线穿过
外球壳上的绝缘小孔与地连接，外球壳上带有正电荷+Q，则内球壳
上带电为
R1 Q R2
。
R2
q Q
R1 q
q
设内球壳带电q，则外壳内、外表面感应出-q、+q
(1)不接地：U1
导体球壳带电后，其电势为U0，则球壳外离球心距离为r处的电场强
度的大小为： (D) R2U0 /r2
U0
1 40
Q R2
Q U040R2
Gauss
E
1 40
Q r2
U 0 R2 r2
5.面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量±q，忽略边缘
效应，则两极板间的作用力为： (B) q2 /20S
Gause面2：
EAS
0
1S 0
1
1 2
4.两个薄金属同心球壳，半径各为R1和R2(R2>R1)，分别带有电荷q1
和q2，两者电势分别为U1和U2（设无穷远处为电势零点），将二球
壳用导线连接起来，则它们的电势为： (A) U2
q2 q1q1 q1
未连接时,R1带q1,R2内表面有感应的-q1,外表面有感应的q1和原本的q2
的表示式，左图表示U~r关系曲线； ⑵ a) 用导线连接球和球壳后的
电势分布；b) 外壳接地后的电势分布
q
Q
R3
解：(1) 球壳内、外表面感应+q、-q，由Gause可得： q
q
r R1 , E 0
R1
r
R2
,
E
q
40r
2
r0
R1
R2
R2 r R3 , E 0
r
R3
,
E
40r 2
U1
R1
E
dl
RR12
R2
;
U2
R2
E
dl
未连接
连接后等势,电荷分布于外表面，只有R2外表面的q1+q2
U
R2
E dl
6. 如图，当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m带 电量为+q的质点，平衡在极板间的空气区域中。此后，若将平行板 电容器中的电介质抽去，则该质点： (C) 向上运动
，与球心的距离为d，则在金属球内，与球心相距为l的P点处，由感
应电荷产生的场强为
E'
1 40
(d
q l
)2
i
。
q
U Uq U感应
U感应
1 40
dQ R
0
U
Uq
Uq
1 40
q d
x
Po l
d
(1)静电平Hale Waihona Puke 时，球等势，则-q的场对球O的电势：
(2)静电平衡时，球：E内
0
E'
Eq
x是-q到o的距离。此处x轴
2
1 2
解1：⑴ 电荷守恒： +2 = - 1 ⑵ 感应带电： 1与异号 ⑶ P 点场强：
1 2
Gause1 P
EP
2 0
1 2 0
2 2 0
0
1 2(大小)
1
1 2
(大小)
解2：Gause面1： 2 和 1 对M、M’的作用抵消，故：
Gause2
M' M AB
EAS
EAS
S 0
EA
2 0
C2C3 C1
。
q1 C1 A q3 C3 B
C2q1
q3
C
A、B两点电势相等时：
U1 U3
q1 q3 C1 C3
q3 C3 q1 C1
U2 UC
q1 q3 C2 C
q3 C q1 C2
C C2C3 C1
三、计算题：
1. 半径为R1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着，其内外半
径分别为R2、 R3 ，使内球带电q，球壳带电Q，试求：⑴ 电势分布
r0
R1球等势，则当r≤ R1时，有：
R1球等势，则当r≤ R1时，有：
U1
r
E
dl
rR1
RR12
RR23 R3
0 q ( 1 1 )0qQ 1
40 R1 R2
40 R3
当R1≤r≤R2时，有：
U2
r
E
dl
rR2
RR23 R3
q (1 1 ) 0 q Q 1
40 r R2
4.两个电容器1和2，串联后用稳压电源充电，在不切断电源的情况
U' U
下，若把电介质充入电容器1中，则电容器2上的电势差 增大 ；电
容器2极板上的电量 增大 。
U U1 U2
U1'
U1
r
U1
U2' U2
C1 C2 U
5.如图，电容C1、C2、C3已知，电容C可调，当调节到A、B两点电
势相等时，电容C=
之五
一、选择题： 1.在一个带电量为+q的外表面为球形的空腔导体A内，放有一带电量
为+Q的带电导体B，则比较空腔导体A的电势UA和 q 导体B的电势UB时，可得以下结论 ： (B) UA <UB A
R2
UA
UB
AB
E
dl
R2
R1
Q 40r 2
dr
Q 40
(1 R1
1 R2
)
0
B
Q
R1
2.选无穷远处为电势零点，内半径为R1，外半径为R2的