二次函数概念和图像

二次函数概念与性质

【知识概要】

1.二次函数的概念

一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次

函数．二次函数的定义域为一切实数．

2.二次函数图像特征

二次函数的图像是一条曲线，类似于抛出物体在空中所经过的路线，所以称为抛物线．二次函数的图像，叫做抛物线．

开口方向：抛物线的开口向上或者向下．

对称轴：二次函数的图像是轴对称图形．抛物线左侧部分沿着对称轴翻转能得到右侧部分的图像．

顶点：抛物线与对称轴的交点，为抛物线的最低点或最高点．

3.特殊二次函数的性质与图像

◆一般地，二次函数（其中是常数，且）的图像是抛物线，称为

抛物线．这时，是这条抛物线的表达式．

抛物线（其中a是常数，且）的图像性质如下：

（1）开口方向：由a所取值的符号决定，当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．

（2）对称轴：轴，即直线．

（3）顶点：原点．

◆一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可

以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．由此可知抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：

（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．

（2）对称轴：轴，即直线．

（3）顶点：．

一般地，抛物线（其中a、m是常数，且）可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．

由此可知：抛物线（其中a、m是常数，且）的图像性质如下：

（1）开口方向：当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．

（3）顶点：．

4.一般二次函数的性质与图像

抛物线（其中a、m、k是常数，且）的图像性质如下：

（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．

（2）对称轴：是过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．

（3）顶点：．

对二次整式配方，得

所以．

将上式与作比较，得

由此可知，抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：

（1）开口方向：当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低

点；

当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高

点．

（2）对称轴：直线．

（3）顶点：．

一般地，对于抛物线，沿着轴正方向看，可见它的变化情况如下：

当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；

当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．

5.二次函数解析式

二次函数的解析式有三种常见形式：

（1）一般式：（a、b、c是常数，）；

（2）顶点式：（a、m、k是常数，），其中为顶点坐标；

（3）交点式：（a、、是常数，），其中、为抛物线与x轴的两个交点的横坐标．

6.求解析式的题型

（1）根据实际问题列函数关系式

根据实际问题列函数关系式要弄清各个变量、常量之间的内在联系，将实际问题抽象成数学问题，弄清楚哪些是自变量，哪些是函数，它们之间的关系可采用列表、画图等方式来寻找．

（2）根据几何图形中的数量关系列函数关系式

在几何图形中，要认真分析图形，先找出哪些是函数，哪些是自变量，其关键是正确找出图形之间的关系或等量关系

（3）用待定系数法求二次函数的解析式．

确定二次函数解析式常用的方法是待定系数法．

【典例精讲】

1. 已知A、B两点在二次函数的图像上．

（1）如果两点的坐标分别是，，求的值；

（2）如果不重合的两点的坐标分别是、，求的值．

【分析】根据函数图像的性质，用代入法将A、B两点的纵、横坐标分别代替函数中的y、x，再计算求值．

【解】（1）由题意，得，．

∴，．当时，；当时，．所以，的值为或．

（2）因为A、B两点的纵坐标相等且不重合，所以由图像的对称性，可知A、B关于y轴对称．∴．

2.一个函数的图像是一条以y轴为对称轴、以原点为顶点的抛物线，且经过．

（1）求这个函数的解析式；

（2）写出抛物线上点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算△OAB的面积．

（3）【解】（1）设所求函数的解析式为．

因为抛物线过点，所以，解得．

所以，这个函数的解析式为．

（2）由抛物线的对称性，可知关于y轴的对称点B的坐标为．

∴．设△OAB中AB边上的高为OC，易知．∴

．

3.已知：两个二次函数的图像经过点、、．

（1）求这个函数的解析式；

（2）求这个函数图像的对称轴和顶点坐标，并指出其开口方向；

（3）这个函数的值能否为负数？为什么？

【解】（1）设所求二次函数的解析式为．

因为函数图像过、、三点，所以

，解这个方程组，得．

因此，所求二次函数的解析式．

（2）

．

所以，这个二次函数图像的对称轴为直线，顶点坐标为．

（3）由，知这个函数图像的开口方向向上，顶点是最低点，所以，这个函数的图像在x轴的上方．

因此，，由此得出这个函数的值不可能为负数．

【课堂练习】

二次函数概念