二次函数概念和图像
二次函数关系式
二次函数关系式一、二次函数的定义二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
二、二次函数关系式1. 顶点式二次函数的顶点式为f(x) = a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。
2. 标准式二次函数的标准式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c分别表示抛物线的形状和位置。
3. 一般式二次函数的一般式为y = ax² + bx + c，其中x和y表示平面直角坐标系中某个点的横纵坐标。
三、二次函数图像特征1. 对称轴二次函数的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴方程为x = h。
2. 开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 最值当a>0时，最小值等于k；当a<0时，最大值等于k。
4. 零点二次函数在x轴上与x轴交点称为零点。
零点可以通过求解ax²+bx+c=0得到。
四、二次函数的应用1. 求解问题二次函数可以用来求解各种实际问题，如求解最大值、最小值、零点等。
2. 经济学应用在经济学中，二次函数可以用来表示成本、收益、利润等与产量相关的关系。
3. 物理学应用在物理学中，二次函数可以用来表示自由落体运动的高度和时间之间的关系。
五、二次函数的图像绘制1. 找出顶点坐标通过顶点式或标准式可以找到抛物线的顶点坐标。
2. 找出对称轴方程对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。
3. 找出零点通过一般式可以求得零点，也可以通过图像上与x轴交点得到。
4. 确定开口方向和最值根据a的正负性可以确定抛物线开口方向和最值。
5. 绘制图像根据以上步骤确定抛物线的各个特征后，就可以绘制出完整的二次函数图像了。
六、总结本文介绍了二次函数的定义、关系式、图像特征以及应用，并详细说明了如何绘制一个完整的二次函数图像。
二次函数的图象课件
二次函数的标准式和一般式
二次函数可以表示为标准式 y = a(x - h)^2 + k 或一般式 y = ax^2 + bx + c，其中 (h, k) 表示顶点 坐标。
二次函数图像的相关属性
1
开口方向和范围
2
开口向上的二次函数的最小值是负无穷大，
开口向下的二次函数的最大值是正无穷大。
范围是 y 值的取值范围。
3
最值和最值点
4
最值是函数的最高或最低点的 y 值，最值
点是函数的最高或最低点的坐标。
5
对称轴和顶点
二次函数的对称轴是通过顶点并垂直于 x 轴的直线，顶点是抛物线的最高或最低点。
零点和交点
零点是函数与 x 轴相交的点，交点是函数 与其他曲线相交的点。
总结与回顾
本次课程的主要内容 和要点
我们学习了二次函数的概念、 图像的属性、平移和伸缩的影 响，以及绘制和分析二次函数 图像的方法。
二次函数图像的应用 和拓展
二次函数图像的形态和属性在 物理、经济和工程等领域有广 泛的应用，可以用于建模和解 决实际问题。
课后习题和练习建议
通过练习，并结合实际应用进 行深入思考和拓展，加深对二 次函数图像的理解和掌握。
渐近线和渐近值
渐近线是抛物线的非实际部分趋近于的直 线，渐近值是渐近线的 y 值。
二次函数的平移和伸缩
1
伸缩变换对二次函数图像的影响
ห้องสมุดไป่ตู้
2
伸缩改变了抛物线的形状和大小，可以 使抛物线变得更宽或更窄，更高或更低。
平移变换对二次函数图像的影响
平移改变了抛物线的位置，会使得抛物 线在 x、y 轴上的相应坐标发生变化。
二次函数二次函数及其图象二次函数
二次函数及其图象xx年xx月xx日CATALOGUE目录•定义与性质•开口方向与顶点坐标•一般式与顶点式•极值的概念与性质•最大利润问题•与一次函数的联系与区别01定义与性质二次函数形如$f(x) = ax^{2} + bx + c$的函数，其中$a \neq 0$。
顶点二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$。
对称轴二次函数的图像关于对称轴$x = -\frac{b}{2a}$对称。
开口方向根据$a$的正负性，决定函数的开口方向，$a > 0$时，函数开口向上；$a < 0$时，函数开口向下。
当$a > 0$时，函数在顶点处达到最小值；当$a < 0$时，函数在顶点处达到最大值。
当$b^{2} - 4ac < 0$时，函数有两个不同的实数根；当$b^{2} - 4ac = 0$时，函数有一个实数根；当$b^{2} -4ac > 0$时，函数没有实数根。
当$a > 0$时，函数在区间$(-\infty,-\frac{b}{2a})$上单调递增，在区间$(-\frac{b}{2a}, +\infty)$上单调递减极值点零点区间单调性02开口方向与顶点坐标当二次项系数a大于0时，函数图像开口向上，顶点为最低点。
开口向上当二次项系数a小于0时，函数图像开口向下，顶点为最高点。
开口向下开口方向顶点式如果一个二次函数的形式为y=a(x-h)^2+k，则其顶点坐标为(h,k)。
一般式如果一个二次函数的形式为y=ax^2+bx+c，则其顶点坐标可以通过配方得到，具体为y=a[(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a^2]。
顶点坐标03一般式与顶点式1一般式23表达式：$y = ax^{2} + bx + c$描述了二次函数的基本形式，其中a、b、c为系数，a不为0。
代表了二次函数的普遍形式，可以用于描述各种不同的二次函数。
二次函数的图像与性质
二次函数的图象与性质知识要点概述1、二次函数的定义：如果y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)，那么y叫x的二次函数．2、二次函数的图象：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．3、二次函数的解析式有下列三种形式：(1)一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0)；)(x－x2) (a≠0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．(3)交点式：y=a(x－x1确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．4、抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向．a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．5、抛物线顶点式y=a(x－h)2＋k(a≠0)的特点(1)a>0，开口向上；a<0，开口向下；(2)x=h为抛物线对称轴；(3)顶点坐标为（h，k）．依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．6、抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的联系与区别抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．7、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A(x1，0)，B(x2，0)．典型剖析例1、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；③abc>0；④b=2a．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：选A．令x=1及由图象知a＋b＋c<0，①正确；令x=－1及由图象a－b＋c>0，②正确；由对称轴知，④正确；由④知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c>0，故③正确．所以选A．例2、二次函数y=x2＋(a－b)x＋b的图象如图所示．那么化简的结果是____________．解：原式=－1．∵图象与y轴交点在x轴上方，∴b＞0．又∵图象的对称轴在y轴右边且二次项系数为1，一次项系数为a－b，例3、已知抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．(1)用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若AB的长为，求抛物线的解析式．解：(1)∵y=x2－(2m＋4)x＋m2－10=[x－(m＋2)] 2－4m－14，∴顶点C的坐标为(m＋2，－4m－14)．(2)∵A、B是抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴的交点且|AB|=，化简整理得：16m=－48，∴m=－3．当m=－3时，抛物线y=x2＋2x－1与x轴有交点且AB=，符合题意．故所求抛物线的解析式为y=x2＋2x－1．例4、如果抛物线y=－x2＋2(m－1)x＋m＋1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．(1)求m的取值范围；(2)若a︰b=3︰1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式．解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．∵A、B分处原点两侧，∴xx2<0，1即－(m＋1)<0，得m>－1．又∵△=[2(m－1)]2－4×(－1)(m＋1)=4m2－4m＋8=4(m－)2＋7>0，∴m>－1为m的取值范围．(2)∵a︰b=3︰1．设a=3k，b=k(k>0)，=3k，x2=－k．则x1例5、已知某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式．解：∵二次函数当x=1时有最大值－6，∴抛物线的顶点为（1，－6），故设所求的二次函数解析式为y=a(x－1)2－6．由题意将点（2，－8）的坐标代入上式得：a(2－1)2－6=－8，∴a=－2，∴二次函数的解析式为y=－2(x－1)2－6，即y=－2x2＋4x－8．例6、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由；(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C．当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．解：（1）由图象可知：a<0，图象过点（0，1），∴c=1．图象过点（1，0），∴a＋b＋c=0，∴b=－(a＋c)=－(a＋1)．由题意知，当x=－1时，应有y>0，∴a－b＋c>0，∴a＋(a＋1)＋1>0，∴a>－1，∴实数a的取值范围是－1<a<0．(2)此时函数为y=ax2－(a＋1)x＋1,与x轴两交点A、C之间的距离为例7、根据下列条件，求抛物线的解析式．(1)经过点（0，－1），（1，），（－2，－5）；(2)经过点（－3，2），顶点是（－2，3）；(3)与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，－6）．分析：求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷．但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2＋bx＋c．解：（1）设y=ax2＋bx＋c，把（0，－1），（1，），（－2，－5）代入得方程组∴解析式为y=＋x－1．（2）设y=a(x＋2)2＋3，把（－3，2）代入得2=a(－3＋2)2＋3，解得a=－1．解析式为y＝－x2－4x－1.（3）设y=a(x＋1)(x－2)，把（3，－6）代入得－6=a(3＋1)(3－2)，解得．∴解析式为y=(x＋1)(x－2)，即．。
二次函数及其图象
函数的图像以y轴为对称轴。
与x轴的交点
当c=0时，函数与x轴无交点；当c>0时，函数与x轴有两 个交点；当c<0时，函数与x轴有一个交点。
CHAPTER 03
二次函数图象特征
开口方向
开口向上
当二次项系数a大于0时，函数图 像开口向上，顶点为最低点。
开口向下
当二次项系数a小于0时，函数图 像开口向下，顶点为最高点。
科技领域
图像处理
01
在计算机视觉和图像处理中，二次函数常被用于图像的缩放、
旋转和变形等操作中。
声音处理
02
在音频处理中，二次函数被用于声音的频谱分析和合成，以及
音频信号的滤波等。
航天技术
03
在航天学中，二次函数被用于描述火箭和卫星的运动轨迹，以
及太空探测器的路径规划等。
CHAPTER 06
二次函数与数学文化
CHAPTER 04
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
01
二次函数是一元二次方程的图形 表示，一元二次方程是二次函数 的解析形式。
02
二次函数描述了一个抛物线的形 状，而一元二次方程则描述了该 抛物线与x轴的交点位置。
一元二次方程解法
公式法
使用求根公式计算一元二次方程 的解。
因式分解法
期货与期权定价
二次函数常被用于金融衍生品如 期货、期权等的定价模型中，通 过调整参数来估算未来资产价格
的不确定性。
物理领域
弹性力学
在研究材料的弹性和塑性问题时，经常使用二次函数来描述应变 和应力之间的关系。
波动方程
在物理学中，二次函数经常被用来描述波动现象，如弦的振动、电 磁波等。
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
二次函数的图象课件
这份课件将带您深入了解二次函数的概念、表达形式和图像特征。还将介绍 二次函数在不同领域的应用，以及常见错误和避免方法。让我们开始探索二 次函数的奥秘吧！
什么是二次函数
二次函数是一个以二次项为最高次的代数函数，它的图像呈现出抛物线的形状，并且具有特定的顶点和对称轴。
二次函数的标准式
二次函数的一般式是 y = ax^2 + bx + c，通过一般式可以求出二次函数的零点 和判别式，进一步分析函数的特性。
ห้องสมุดไป่ตู้次函数在坐标系中的图像
二次函数在坐标系中的图像呈现出抛物线的形状，具有对称性和特定的轨迹。 图像的形状和位置可以通过函数的系数来推测。
二次函数的对称轴
二次函数的对称轴是图像的对称线，它垂直于 x 轴并过顶点。通过对称轴可 以进一步确定图像的形状和特征。
二次函数的标准式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数。通过标准式，可以得到二次函数的图像特征和解 析式。
二次函数的顶点式
二次函数的顶点式是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点的坐标。顶点式可以直接得到二次函数的顶点和对称轴。
二次函数的一般式
二次函数的判别式
二次函数的判别式是 b^2 - 4ac，通过判别式可以判断二次函数的解的情况， 进一步分析函数的开口方向和交点情况。
二次函数的零点和解析式
二次函数的零点是函数与 x 轴交点的横坐标，解析式是零点的一种简化表达 方式。通过求解零点和解析式，可以进一步分析函数的特性。
二次函数的概念及y=ax2的图像与性质
二次函数的概念及的图像与性质要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax 2+c ； 若c=0，则y=ax 2+bx ； 若b=c=0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①（a ≠0）；②（a ≠0）；③（a ≠0）；④（a ≠0），其中；⑤（a ≠0）.要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.1．下列函数中，是关于x 的二次函数的是________(填序号)． (1)y ＝-3x 2；(2)21y x x=+； (3)y ＝3x 2-4-x 3；(4)2123y x =--； (5)y ＝ax 2+3x+6； (6)y = 【答案】(1)、(4)；【解析】紧扣二次函数的定义去判断，(1)、(4)符合二次函数的条件；(2)中不是关于x 的整式，而是分式；(3)中x 的最高次数不是2，而是3； (5)中二次项系数a 可能为0；(6)不是整式而是根式，所以(2)、(3)、(5)、(6)均不符合二次函数的条件．【总结升华】判断一个函数是否是二次函数，应抓住三个特征：(1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式； (2)自变量的最高次数为2；(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意含字母的二次项系数是否为0．举一反三：【变式】如果函数232(3)1mm y m x mx -+=-++是二次函数，求m 的值．要点二、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象及性质 1.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x 2关于y 轴对称，所以y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x 2的顶点是图象的最低点。
二次函数的图像与性质
06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个 实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线；当a<0时， 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式
二次函数基本概念和图像
二次函数基本概念和图像1、 二次函数的定义：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。
称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项。
【1】下列函数中，哪些是二次函数？(1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y（6）02=-x y （7）xx y 12+= （8）322-+=x x y 是二次函数的是： 。
【2】、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -=【3】、若函数m mx m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 。
例1．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k kx k y 为二次函数？1已知函数72)3(--mx m 是二次函数，求m 的值．说明：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与系数a 、b 、c 、ac b 42-的关系 ：例1、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则：a 0;b 0;c 0;ac b 42- 0。
1.探索填空:根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，即x_____0时,y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0.2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>03、图像平移的问题：2axy=（0≠a）的图像个单位时向右平移当个单位向左平移时当mmmm<−−−−−→−>2)2(21-=xy的图像个单位时向下平移当个单位向上平移时当mkmk<−−−−−→−>kmxay++=2)(的图像。
二次函数的性质及其图象
象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个 左 单 位 加 向右 右 (h 减 0)、 左 （h 0） y=a(x-h)2
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜
第1节 二次函数的概念及函数y=ax2的图像与性质
第1节 二次函数的概念及函数y ＝ax 2的图像与性质※知识要点1．二次函数的概念：一般地，表达式形如 (a ，b ，c 是常数， )的函数，则称y 是x 的二次函数，该表达式叫二次函数的 . 注意：(1) 称为二次项， 称为一次项， 叫做常数项； (2)判断二次函数的依据是： ①函数式必须是 ； ②自变量的最高次数是 ； ③二次项系数 . (3)当 时，该表达式表示一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的性质函数 y ＝ax 2(a >0)y ＝ax 2(a <0)大致 图象开口 对称轴顶点最 点 最 点 函数增减性x >0时，y 随x 增大而 ；x <0时，y 随x 增大而 x >0时，y 随x 增大而；x <0时，y 随x 增大而最值 x ＝ 时，y 最小值＝ x ＝ 时，y 最大值＝ 注意：(1)二次函数图像的形状称为 ；(2)函数y ＝ax 2与函数y ＝－ax 2的图像关于 对称； (3) |a |决定抛物线的形状和开口大小：|a |相同，抛物线的形状和开口大小 ，|a |越大，抛物线开口反而 ，图象越靠近y 轴．※题型讲练考点一 二次函数的概念【例1】1．下列函数是二次函数的是( ) A ．y ＝－3x 2＋π B ．y ＝2x －3C ．y ＝3x 2＋1x2 D ．y ＝ax 2＋bx ＋c2．把y ＝(2－3x )(6＋x )变成一般式，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 . 3．已知函数y ＝(m 2＋m )x 2＋mx ＋4.(1)若该函数是二次函数，求m 的取值范围； (2)若该函数是一次函数，求m 的值.变式训练1：1．函数y ＝(m －5)x 2＋x 是二次函数的条件为( ) A ．m 为常数，且m ≠0 B ．m 为常数，且m ≠5 C ．m ＝5 D ．m 可以为任何数2．二次函数y =12(x －2)2－3的一次项是 .3．若函数y ＝(1＋m )是二次函数，则m = .考点二 建立简单的二次函数模型【例2】1．某广告公司设计一个周长为12 m 的矩形广告牌，广告牌设计费为每平方米1 000元．设矩形广告牌一边长为x m ，设计费为y 元，则y 与x 之间的函数表达式为( ) A ．y ＝x (12－x ) B ．y ＝x (6－x )C ．y ＝1 000x (12－x )D ．y ＝－1 000x 2＋6 000x2．正方形的边长为3，若边长增加x ，则面积增加y ，则y 与x 之间的函数关系式是 .3．如图1，用一段长为40 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD ，墙长为18 m ，若设AD 的长为x m ，菜园ABCD 的面积为y m 2，则函数y 关于自变量x 的 函数关系式是 ， x 的取值范围是 .图1变式训练2：1．某工厂2020年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x (x <0)，设2022年该产品的产量为y 吨，则y 关于x 的函数式为( )A ．y ＝100(1－x )2B ．y ＝100(1＋x )2C ．y ＝100(1＋x )2D ．y ＝100＋100(1＋x )＋100(1＋x )22．某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y (x (元/件) 35 40 45 50 55 y (件) 550 500 450 400 350(1)之间的函数表达式为 ； (2)设公司试销该产品每天获得的毛利润为S (元)，求S 与x 之间的函数表达式并写出自变量的取值范围．考点三 函数y ＝ax 2的图像与性质【例3】1．关于函数y ＝－4x 2，下列叙述不正确的是( ) A ．其图象开口向下 B ．图象有最低点(0,0) C ．它的图象关于y 轴对称 D ．x >0时，y 随x 增大而减小2．已知点A (－3，y 1)，B (－1，y 2)，C (2，y 3)在抛物线y ＝23x 2上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 2＜y 3＜y 13．二次函数y ＝13x 2，y ＝－3x 2，y ＝－x 2，y ＝2x 2的图象中开口最大的是 ，开口最小的是 .4．已知抛物线y ＝(m ＋2)x m 2＋m －4有最高点． (1)求m 的值； (2)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？变式训练3：1．下列对抛物线y ＝2x 2性质叙述错误的是( ) A ．图象的对称轴是y 轴 B ．图象的顶点是原点 C ．x ＞0时，y 随x 增大而增大 D ．y 有最大值为02．若关于x 的二次函数y ＝(2＋m )x m 2－9的图象是开口向下的抛物线，则m 的值是( ) A ．3 B ．－3 C ．11 D ．－113．若抛物线y ＝ax 2和y ＝－3x 2关于x 轴对称，则a = ． 4．已知抛物线y ＝ax 2过点A (－2，y 1)，B (1，y 2)，若当x ＜0时，y 随x 增大而增大，则y 1，y 2，0的大小关系是 .考点四 函数y ＝ax 2的性质综合应用【例4】1．已知物体下落的高度h 关于下落时间t 的函数表达式为h ＝0.5gt 2(g 是正常数)，则此函数的大致图象为( )2．当ab>0时，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象大致是()3．已知抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3相交于点A(1，b)，求：(1)a，b的值；(2)函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；(3)△AMB的面积．※课后练习1．关于二次函数y＝x2，下列说法中正确的是()A．它图象的开口方向向下B．x<0时，y随x增大而减小C．它的对称轴是直线x＝2 D．当x＝0时，y有最大值是02．抛物线y＝12x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．其中正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个3．用一根长为800 cm的木条做一个矩形的窗框，若宽为x cm，则它的面积y(cm2)与宽x(cm)之间的函数关系式是()A．y＝800x B．y＝400xC．y＝x(800－x) D．y＝－x2＋400x(0<x<400)4．已知二次函数y1＝－3x2，y2＝－32x2，y3＝－13x2，它们图象的开口由小到大的顺序是()A．y1，y2，y3B．y3，y2，y1C．y2，y1，y3D．y3，y1，y2 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝6 cm，动点P 以1 cm/s的速度从点C沿CA向点A运动，同时动点Q以2 cm/s 的速度从点C沿CB向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．运动过程中所构成的△CPQ的面积y( cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是()6．二次函数y=(2x－3)(1－x)化为一般式为，其中a=，b=，c=.7．当m＝时，抛物线y＝(m＋1)x m2＋m由最高点，此时当x时，y随x的增大而增大．8．已知点(－3，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在函数y＝5x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是.9．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价售卖.若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商店所赚的钱y(元)与售价x(元)之间的函数关系式.10．已知二次函数y甲＝mx2和y乙＝nx2，m≠n，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，则m，n的关系正确的是(填序号)．①m＜n＜0；②m＞0，n＜0；③m＜0，n＞0；④m＞n＞0.11．如图所示，直线l经过点A(4，0)，B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内相交于点P，且△AOP的面积为4.(1)求直线l对应的函数表达式和点P的坐标；(2)求a的值．12．已知点A(1，a)在抛物线y＝－x2上．(1)求点A的坐标；(2)点O为坐标原点，在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．13．(1)在如图所示的坐标系中，画出二次函数y＝x2与一次函数y＝2x＋3的图象；(2)若二次函数y＝x2与一次函数y＝2x＋3的图象交于A，B两点(点A在点B的左边)．①求出A，B两点的坐标；②求S△AOB.。
小学数学二次函数的基本概念与图像课件
二次函数的图像
二次函数图像的形状：抛物线 二次函数图像的顶点：最低点或最高点 二次函数图像的对称性：关于x轴对称 二次函数图像与x轴的交点：求根公式或因式分解法
二次函数的性质
二次函数的一般
形
式
为
y=ax^2+bx+c，
其中a、b、c为
常数且a≠0
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的极值问题
二次函数的极值条件 极值点的计算方法 极值与函数图像的关系 极值在实际问题中的应用
二次函数的实际应用价 值
在数学竞赛中的应用
二次函数在数学竞赛中常作为压轴题出现，考察学生的综合解题能力。 通过解决二次函数问题，学生可以锻炼数学思维能力，提高数学素养。 二次函数在数学竞赛中具有较高的区分度，能够选拔出优秀的学生。 掌握二次函数的基本概念和图像是解决数学竞赛中相关问题的关键。
二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)
二次函数的开口方向由系数a决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线 开口向下
二次函数的对称轴为x=-b/2a
二次函数的表达式
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c a、b、c为常数，且a≠0 a的符号决定了抛物线的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下 b和c决定了抛物线的位置
图像的对称性
二次函数图像的对称轴是直线x=-b/2a 二次函数图像的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 二次函数图像的对称性可以根据对称轴和顶点进行判断 二次函数图像的对称性对于理解函数的性质和解决实际问题具有重要意义
二次函数的图像与性质课件
一阶导数等于零的点是函数的拐点，也是单调性的分界点。通过分析这
些点的左右两侧的导数符号变化，可以判断出函数的单调性。
二次函数的极值问题
极值的概念
01
02
03
极值
函数在某点的值大于或小 于其邻近点的值，称为该 函数在该点有极值。
极大值
函数在某点的左侧递减， 右侧递增，则该点为极大 值点。
极小值
函数在某点的左侧递增， 右侧递减，则该点为极小 值点。
顶点坐标
总结词
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出，顶点的x坐标为-b/2a，y坐标为cb^2/4a。这个顶点是抛物线的最低点或最高点，取决于抛物线的开口方向。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是抛物线的对称轴，也是顶点的x 坐标。
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于x轴对称当且仅当$a > 0$，关于y轴对称当且仅当 $a < 0$。
点对称
总结词
二次函数的图像关于某点对称。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于点$(h, k)$对称当且仅当 $f(h+x) = f(h-x)$且$f(k+y) = f(k-y)$。
解方程问题
总结词
通过二次函数的图像与x轴的交点，可以求 解一元二次方程的根。
详细描述
一元二次方程的根即为二次函数图像与x轴 的交点横坐标。通过观察二次函数的开口方 向和与x轴的交点数，可以判断一元二次方 程实数根的个数。
第一讲 二次函数的概念就特殊的二次函数的图像
九年级上册数学教案二次函数的概念及特殊二次函数的图像第一讲二次函数的概念及特殊二次函数的图像知识框架知识点1、二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0a≠）的函数叫做二次函数．2.二次函数2y ax bx c=++的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．2=的图像y x在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数2=的图像．y x（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示．二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =．3.二次函数2y ax =的图像抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．【例1】 判断下列函数是否是二次函数．（1）23y x =； （2）2112y x =-+； （3）21y x =； （4）()2y x x =-； （5）()212y x =+-； （6）()222y x x =+-．【例2】 ()()222231y m m x m x m =--+-+是关于x 的二次函数需要满足的条件是_____________．【例3】 二次函数()22y x =-+的二次项系数为a ，一次项系数为b ，常数项为c ，则24b ac -=_____． 【例4】 已知二次函数2253y x x =-+．（1）当12x =-时，求函数值； （2）当x 取何值时，函数值为0？九年级上册数学教案 二次函数的概念及特殊二次函数的图像【例5】 下列函数中（x ，t 为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项．（1）2132y x =-+； （2）()()23422y x x x =--+；（3）23s t =++； （4）26y x =-．【例6】 已知函数()()22932y m x m x =---+． （1）当m 为何值时，这个函数是二次函数？（2）当m 为何值时，这个函数是一次函数？【例7】 某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x (0x >)，6月份的营收为y 万元，写出y 关于x 的函数解析．【例8】 用长为15米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过15米），围成一个矩形花圃．设花圃的宽为x 米，面积为y 平方米，求y 与x 的函数解析式及函数的定义域．【例9】 三角形的两边长的和为10厘米，它们的夹角为30°，设其中一条边长为x 厘米，三角形的面积为y 平方厘米，试写出y 与x 之间的函数解析式及定义域．【例10】 设12y y y =-，1y 与1x成反比例，2y 与2x 成正比例，则y 与x 的函数关系是（ ）A ．正比例函数B ．反比例函数C ．二次函数D ．一次函数 【例11】 已知正方形的周长是C 厘米，面积是S 平方厘米．（1）求S 关于C 的函数关系式；（2）当S =1平方厘米，求正方形的边长．【例12】 某商店将每件进价为8元的某种商品以每件10元出售，一天可售出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.10元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降低x 元时，设销售利润为y 元，求y 关于x 的函数关系式．【例13】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数212y x =、22y x =的图像； （2）函数212y x =、22y x =的图像与函数2y x =的图像，有何异同？九年级上册数学教案 二次函数的概念及特殊二次函数的图像【例14】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图 像；（3）函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像与函数2y x =、212y x =、22y x =的图像有何异同？【例15】 二次函数223y x =-的图像是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______．【例16】 抛物线22y x =除了点______以外，都位于______上方．【例17】 抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，则a 的值为______．【例18】 已知点P （32，6）在抛物线2y ax =上，那么a 的值为______．【例19】 抛物线23y x =经过点A （3，n ），则n = ______，且点A 关于抛物线对称轴的对称点A 1的坐标是______．【例20】 已知关于x 的二次函数()21y k x =+，当k 为何值时，它的图像开口向上？当k为何值时，它的图像开口向下？【例21】 已知直线423y x =+上有两个点A 、B ，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线2y ax =也经过点A ，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B 吗？请说出你的理由．【例22】 抛物线212y x =上一点到x 轴的距离为8，求该点的坐标．九年级上册数学教案 二次函数的概念及特殊二次函数的图像【例23】 抛物线2y ax =与直线23y x =-交于点（1，b ）．（1）求a 和b 的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x 取何值时，二次函数的y 值随x 的增大而增大．【例24】 若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是__________；若把抛物线2y ax =（0a ≠）沿着x 轴翻折，所得的抛物线的表达式是__________；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线______重合的（选填“是”或“不是”）．【例25】 已知二次函数()24125m y m x +=-的图像开口向下，求m 的值．课堂练习【习题1】 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，请指出a 、b 、c ．（1）21y x =-； （2）21y x x =--；（3）20.3y x =； （4）()()212y x x x =+--；（5）221x x y π--=； （6）y =【习题2】 已知二次函数2y ax =的图像经过点Q （-1，-2），求a 的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，画出它的图像．【习题3】 函数226m m y mx --=是y 关于x 的二次函数．当m = ______ 时，其图像开口向上；当m = ______ 时，其图像开口向下．【习题4】 求直线y x =与抛物线22y x =-的交点坐标．【习题5】 在同一坐标系中，作出①23y x =；②212y x =；③2y x =的图像，则图像从里到外的三条抛物线对应的函数依次是____________（填序号）．九年级上册数学教案 二次函数的概念及特殊二次函数的图像【习题6】 自由下落的物体的高度h （米）与下落的时间t （秒）的关系为24.9h t =．现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要的时间是______秒．【习题7】 已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线()2221mm y m m x +-=-的开口方向相反，而抛物线形状与它相同，求这个二次函数的解析式．课后作业【作业1】 下列函数，不属于二次函数的是（ ）A ．()()12y x x =-+B ．()2112y x =+C ．21y =-D ．()22232y x x =+-【作业2】 在同一平面直角坐标系中，作2y x =，212y x =-，213y x =的图像，它们的共同特点是（ ）A ．抛物线的开口方向向上B ．抛物线的开口方向向下C ．都是关于x 轴对称的抛物线D ．都是关于y 轴对称的抛物线【作业3】 二次函数23y x bx =++中，当x = 3时，y = 0，则b 的值为______．【作业4】 如果抛物线2y ax =过点（cos60°，sin30°），那么a = ______，它的函数表达式是______．【作业5】 如图，四个二次函数图像，分别对应的是12y ax =；22y bx =；32y cx =；42y dx =，则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A ．a b c d >>>B ．a b d c >>>C ．b a c d >>>D ．b a d c >>>【作业6】 若函数()2221m m y m m x --=+是二次函数，则m = ______，它的图像开口______，顶点是它的最______点，它的对称轴是______．【作业7】 求直线21y x =+与抛物线23y x =的交点坐标．【作业8】 一个正方形的面积为16平方厘米，当把边长增加x 厘米时，正方形的面积为y 平方厘米，则y 关于x 的函数关系式为____________．【作业9】 抛物线的顶点为原点，以y 轴为对称轴，且经过点A （-2，8）．（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算OAB ∆的面积．。
《二次函数》ppt课件
判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等 的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程 关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，从 而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转 化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后， 根据二次函数的性质，对称轴 为x = h，顶点坐标为(h, k)。最 后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x， 求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单 调性，在区间[-1, 1]上单调递减， 在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可 以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个 交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质 分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可 沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应 用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量 之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来 实现利润最大化。
(完整)二次函数的定义、图像及性质
二次函数的定义、图像及性质一、基本概念:1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠）的函数,叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、基本形式1。
二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c =+的性质：（上加下减)3。
()2y a x h =-的性质：（左加右减） 4。
()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1。
平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，;⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2。
平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移,负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左(右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成cm x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。
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二次函数概念与性质【知识概要】1.二次函数的概念一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数．二次函数的定义域为一切实数．2.二次函数图像特征二次函数的图像是一条曲线，类似于抛出物体在空中所经过的路线，所以称为抛物线．二次函数的图像，叫做抛物线．开口方向：抛物线的开口向上或者向下．对称轴：二次函数的图像是轴对称图形．抛物线左侧部分沿着对称轴翻转能得到右侧部分的图像．顶点：抛物线与对称轴的交点，为抛物线的最低点或最高点．3.特殊二次函数的性质与图像◆一般地，二次函数（其中是常数，且）的图像是抛物线，称为抛物线．这时，是这条抛物线的表达式．抛物线（其中a是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：由a所取值的符号决定，当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：轴，即直线．（3）顶点：原点．◆一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．由此可知抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：轴，即直线．（3）顶点：．一般地，抛物线（其中a、m是常数，且）可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．由此可知：抛物线（其中a、m是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．（3）顶点：．4.一般二次函数的性质与图像抛物线（其中a、m、k是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：是过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．（3）顶点：．对二次整式配方，得所以．将上式与作比较，得由此可知，抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：（1）开口方向：当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：直线．（3）顶点：．一般地，对于抛物线，沿着轴正方向看，可见它的变化情况如下：当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．5.二次函数解析式二次函数的解析式有三种常见形式：（1）一般式：（a、b、c是常数，）；（2）顶点式：（a、m、k是常数，），其中为顶点坐标；（3）交点式：（a、、是常数，），其中、为抛物线与x轴的两个交点的横坐标．6.求解析式的题型（1）根据实际问题列函数关系式根据实际问题列函数关系式要弄清各个变量、常量之间的内在联系，将实际问题抽象成数学问题，弄清楚哪些是自变量，哪些是函数，它们之间的关系可采用列表、画图等方式来寻找．（2）根据几何图形中的数量关系列函数关系式在几何图形中，要认真分析图形，先找出哪些是函数，哪些是自变量，其关键是正确找出图形之间的关系或等量关系（3）用待定系数法求二次函数的解析式．确定二次函数解析式常用的方法是待定系数法．【典例精讲】1. 已知A、B两点在二次函数的图像上．（1）如果两点的坐标分别是，，求的值；（2）如果不重合的两点的坐标分别是、，求的值．【分析】根据函数图像的性质，用代入法将A、B两点的纵、横坐标分别代替函数中的y、x，再计算求值．【解】（1）由题意，得，．∴，．当时，；当时，．所以，的值为或．（2）因为A、B两点的纵坐标相等且不重合，所以由图像的对称性，可知A、B关于y轴对称．∴．2.一个函数的图像是一条以y轴为对称轴、以原点为顶点的抛物线，且经过．（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算△OAB的面积．（3）【解】（1）设所求函数的解析式为．因为抛物线过点，所以，解得．所以，这个函数的解析式为．（2）由抛物线的对称性，可知关于y轴的对称点B的坐标为．∴．设△OAB中AB边上的高为OC，易知．∴．3.已知：两个二次函数的图像经过点、、．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图像的对称轴和顶点坐标，并指出其开口方向；（3）这个函数的值能否为负数？为什么？【解】（1）设所求二次函数的解析式为．因为函数图像过、、三点，所以，解这个方程组，得．因此，所求二次函数的解析式．（2）．所以，这个二次函数图像的对称轴为直线，顶点坐标为．（3）由，知这个函数图像的开口方向向上，顶点是最低点，所以，这个函数的图像在x轴的上方．因此，，由此得出这个函数的值不可能为负数．【课堂练习】二次函数概念1. 下列函数是二次函数的是_____________．A 、B 、C 、D 、解：A 、分母中含自变量，不是二次函数，错误；B 、表达式中含有两个自变量，不是二次函数，错误；C 、式子变形为，是二次函数，正确；D 、式子变形为，不是二次函数，错误．故选C ．【说明】判断函数是否是二次函数，首先要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后根据二次函数的定义作出判断．2. 若265(1)mm y m x --=+是二次函数，则_____________由题意得：；且；解得或；，∴．3. （1）形如的函数只有在______________的条件下才是二次函数．（2）取哪些值时，函数是以为自变量的二次函数？（3）若函数是以为自变量的一次函数，则取哪些值？解：（1）,,a b c 都是常数，且．（2）由，得且．当m 取不等于0，也不等于1的任意实数时，函数是以为自变量的二次函数．（3）若函数是以为自变量的一次函数，则，得．4.下列各式中，一定是二次函数的有①；②；③；④；⑤（a，b，c为常数）；⑥（m为常数）；⑦（m为常数）．解：①，含有两个自变量，不是二次函数；②，是二次函数；③，是一次函数；④，分母中含有自变量，不是二次函数；⑤（a，b，c为常数），不一定是二次函数；⑥（m为常数），一定是二次函数；⑦（m为常数）不一定是二次函数．∴只有②⑥一定是二次函数．5.已知函数，当_____________时，图象是一条直线；当m_____________时，图象是抛物线；当m_____________时，抛物线过坐标原点．解：根据一次函数的定义可知：，；根据二次函数的定义可知：，时，图象是抛物线；当，且时，抛物线过坐标原点．故答案为：1，，．二次函数图像6. 分别通过怎样的平移可由抛物线的图像得到抛物线和的图像？解：抛物线由抛物线向左平移1个单位得到；抛物线由抛物线向右平移1个单位得到．7. 在同一直角坐标系中与（）的图像的大致位置是（ ）答案：D ．8. 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则a 、b 、c ，∆，c b a ++，c b a +-的符号为 ，第8题图 第9题图9.已知：函数c bx ax y ++=2的图象如上图：那么函数解析式为（ ） （A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y10. 已知一次函数y ax c =+二次函数2(0)y ax bx c a =++≠,它们在同一坐标系中的大-1 O X=1Y X3o-13 y x致图象是( ).11. 通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并作出该抛物线的大致图像．解：，所以该抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为． 在对称轴两侧找出四点、、、以及顶点，描点，连线，如图所示．【说明】描点画图时，要根据抛物线的特点，一般先找到顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次联结各点，注意顶点处不要画成“尖角”．【说明】（1）对的顶点坐标可直角用顶点坐标公式，这里是直接配方得．（2）作二次函数的图像主要抓住抛物线开口方向，顶点坐标，对称轴及两轴的交点等主要环节．12.二次函数2y ax bx c =++的图象过点（1，0）（0，3），对称轴1x =-。
① 求函数解析式；② 若图象与x 轴交于A 、B （A 在B 左）与y 轴交于C,顶点D ，求四边形ABCD 的面积。
13. 在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴的负半轴相交于点C （如图），点C 的坐标为（0，－3），且BO ＝CO （1） 求这个二次函数的解析式；（2） 设这个二次函数的图象的顶点为M ，求AM 的长.14.在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，． （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．二次函数解析式xyCB A -6-4-28642-6-4-2642O15. 根据下列条件，求二次函数的解析式：（1）函数图像经过点，，；（2）函数图像经过点、、；（3）函数图像的顶点坐标是，且经过点．（4）已知抛物线的顶点为，且与轴的两交点间的距离为4．解：（1）运用“一般式”求得解析式为：；（2）运用“交点式”求得解析式为：；（3）运用“顶点式”求得解析式为：．（4）设，因为抛物线与x轴两交点间的距离为4，所以这两个交点分别是和．把点代入，求得．所以该二次函数解析式为．16.已知二次函数的图像与一次函数的图像有两个公共点、，如果抛物线的对称轴是，求该二次函数的解析式．解：由题意可先通过一次函数解析式求出m、n，得到P，Q两点坐标为，，又由于该抛物线的对称轴为，此时可设该二次函数解析式为，将P，Q两点坐标代入即得，化为一般式．17.已知关于x的方程有两个不相等的实数根和，并且抛物线与x轴的两个交点分别位于点的两旁．（1）求m的取值范围；（2）当时，求抛物线的解析式．解：（1）已知方程有两个不相等的实数根，则，解得且．又抛物线与轴的两个交点分别位于点的两旁，则，解得．综上所述，m的取值范围是．（2）因为，所以，．则、为异号两根，且负根的绝对值较大，不妨设，，且．由得，，，，∴，整理得，（舍去），．所以，抛物线的解析式为．【课后作业】《新思路》26.1 ，26.2（1），26.2（2）。