二次函数概念和图像

二次函数概念与性质

【知识概要】

1.二次函数的概念

一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次

函数．二次函数的定义域为一切实数．

2.二次函数图像特征

二次函数的图像是一条曲线，类似于抛出物体在空中所经过的路线，所以称为抛物线．二次函数的图像，叫做抛物线．

开口方向：抛物线的开口向上或者向下．

对称轴：二次函数的图像是轴对称图形．抛物线左侧部分沿着对称轴翻转能得到右侧部分的图像．

顶点：抛物线与对称轴的交点，为抛物线的最低点或最高点．

3.特殊二次函数的性质与图像

◆一般地，二次函数（其中是常数，且）的图像是抛物线，称为

抛物线．这时，是这条抛物线的表达式．

抛物线（其中a是常数，且）的图像性质如下：

（1）开口方向：由a所取值的符号决定，当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．

（2）对称轴：轴，即直线．

（3）顶点：原点．

◆一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可

以通过将抛物线向上（时）或向下（时）平移个单位得到．由此可知抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：

（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．

（2）对称轴：轴，即直线．

（3）顶点：．

一般地，抛物线（其中a、m是常数，且）可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．

由此可知：抛物线（其中a、m是常数，且）的图像性质如下：

（1）开口方向：当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．（2）对称轴：过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．

（3）顶点：．

4.一般二次函数的性质与图像

抛物线（其中a、m、k是常数，且）的图像性质如下：

（1）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；

当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点．

（2）对称轴：是过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线．

（3）顶点：．

对二次整式配方，得

所以．

将上式与作比较，得

由此可知，抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：

（1）开口方向：当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低

点；

当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高

点．

（2）对称轴：直线．

（3）顶点：．

一般地，对于抛物线，沿着轴正方向看，可见它的变化情况如下：

当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；

当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的．

5.二次函数解析式

二次函数的解析式有三种常见形式：

（1）一般式：（a、b、c是常数，）；

（2）顶点式：（a、m、k是常数，），其中为顶点坐标；

（3）交点式：（a、、是常数，），其中、为抛物线与x轴的两个交点的横坐标．

6.求解析式的题型

（1）根据实际问题列函数关系式

根据实际问题列函数关系式要弄清各个变量、常量之间的内在联系，将实际问题抽象成数学问题，弄清楚哪些是自变量，哪些是函数，它们之间的关系可采用列表、画图等方式来寻找．

（2）根据几何图形中的数量关系列函数关系式

在几何图形中，要认真分析图形，先找出哪些是函数，哪些是自变量，其关键是正确找出图形之间的关系或等量关系

（3）用待定系数法求二次函数的解析式．

确定二次函数解析式常用的方法是待定系数法．

【典例精讲】

1. 已知A、B两点在二次函数的图像上．

（1）如果两点的坐标分别是，，求的值；

（2）如果不重合的两点的坐标分别是、，求的值．

【分析】根据函数图像的性质，用代入法将A、B两点的纵、横坐标分别代替函数中的y、x，再计算求值．

【解】（1）由题意，得，．

∴，．当时，；当时，．所以，的值为或．

（2）因为A、B两点的纵坐标相等且不重合，所以由图像的对称性，可知A、B关于y轴对称．∴．

2.一个函数的图像是一条以y轴为对称轴、以原点为顶点的抛物线，且经过．

（1）求这个函数的解析式；

（2）写出抛物线上点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算△OAB的面积．

（3）【解】（1）设所求函数的解析式为．

因为抛物线过点，所以，解得．

所以，这个函数的解析式为．

（2）由抛物线的对称性，可知关于y轴的对称点B的坐标为．

∴．设△OAB中AB边上的高为OC，易知．∴

．

3.已知：两个二次函数的图像经过点、、．

（1）求这个函数的解析式；

（2）求这个函数图像的对称轴和顶点坐标，并指出其开口方向；

（3）这个函数的值能否为负数？为什么？

【解】（1）设所求二次函数的解析式为．

因为函数图像过、、三点，所以

，解这个方程组，得．

因此，所求二次函数的解析式．

（2）

．

所以，这个二次函数图像的对称轴为直线，顶点坐标为．

（3）由，知这个函数图像的开口方向向上，顶点是最低点，所以，这个函数的图像在x轴的上方．

因此，，由此得出这个函数的值不可能为负数．

【课堂练习】

二次函数概念

1. 下列函数是二次函数的是_____________．

A 、

B 、

C 、

D 、

解：A 、分母中含自变量，不是二次函数，错误；

B 、表达式中含有两个自变量，不是二次函数，错误；

C 、式子变形为，是二次函数，正确；

D 、式子变形为，不是二次函数，错误．故选C ．

【说明】判断函数是否是二次函数，首先要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后根据二次函数的定义作出判断．

2. 若2

65

(1)m

m y m x --=+是二次函数，则_____________

由题意得：；且；

解得或

；

，∴

．

3. （1）形如

的函数只有在______________的条件下才是二次函数．

（2）取哪些值时，函数

是以为自变量的二次函

数？

（3）若函数是以为自变量的一次函数，则

取哪些

值？

解：（1）,,a b c 都是常数，且．

（2）由，得

且

．当m 取不等于0，也不等于1的任意实数时，

函数

是以为自变量的二次函数．

（3）若函数是以为自变量的一次函数，则，

得

．

4.下列各式中，一定是二次函数的有

①；②；③；

④；⑤（a，b，c为常数）；

⑥（m为常数）；⑦（m为常数）．

解：①，含有两个自变量，不是二次函数；

②，是二次函数；

③，是一次函数；

④，分母中含有自变量，不是二次函数；

⑤（a，b，c为常数），不一定是二次函数；

⑥（m为常数），一定是二次函数；

⑦（m为常数）不一定是二次函数．

∴只有②⑥一定是二次函数．

5.已知函数，当_____________时，图象是一条直线；当

m_____________时，图象是抛物线；当m_____________时，抛物线过坐标原点．解：根据一次函数的定义可知：，；

根据二次函数的定义可知：，时，图象是抛物线；

当，且时，抛物线过坐标原点．

故答案为：1，，．

二次函数图像

6. 分别通过怎样的平移可由抛物线的图像得到抛物线

和

的图像？

解：抛物线由抛物线向左平移1个单位得到；

抛物线由抛物线向右平移1个单位得到．

7. 在同一直角坐标系中

与（）的图像的大致位置是

（ ）

答案：D ．

8. 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号为 ，

第8题图 第9题图

9.已知：函数c bx ax y ++=2的图象如上图：那么函数解析式为（ ） （A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y

10. 已知一次函数y ax c =+二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠,它们在同一坐标系中的大

-1 O X=1

Y X

3

o

-1

3 y x

致图象是( ).

11. 通过配方，确定抛物线

的开口方向、对称轴和顶点坐标，并作出该抛

物线的大致图像．

解：，所以该抛物线开口向下，对称轴

是直线

，顶点坐标为

． 在对称轴两侧找出四点、

、

、以及顶点，描点，连线，如图所

示．

【说明】描点画图时，要根据抛物线的特点，一般先找到顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次联结各点，注意顶点处不要画成“尖角”．

【说明】（1）对的顶点坐标可直角用顶点坐标公式，这里

是直接配方得．

（2）作二次函数的图像主要抓住抛物线开口方向，顶点坐标，对称轴及两轴的交点等主要环节．

12.二次函数2y ax bx c =++的图象过点（1，0）（0，3），对称轴1x =-。

① 求函数解析式；

② 若图象与x 轴交于A 、B （A 在B 左）与y 轴交于C,顶点D ，求四边形ABCD 的面

积。

13. 在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2

y x bx c =++的图象与x 轴的负半轴相交于点C （如图），点C 的坐标为（0，－3），且BO ＝CO （1） 求这个二次函数的解析式；

（2） 设这个二次函数的图象的顶点为M ，求AM 的长.

14.在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(1

4)A -，，且过点(30)B ，． （1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．

二次函数解析式

x

y

C

B A -6

-4-2

8642

-6-4

-264

2

O

15. 根据下列条件，求二次函数的解析式：

（1）函数图像经过点，，；

（2）函数图像经过点、、；

（3）函数图像的顶点坐标是，且经过点．

（4）已知抛物线的顶点为，且与轴的两交点间的距离为4．

解：（1）运用“一般式”求得解析式为：；

（2）运用“交点式”求得解析式为：；

（3）运用“顶点式”求得解析式为：．

（4）设，因为抛物线与x轴两交点间的距离为4，所以这两个交点分别是和．把点代入，求得．所以该二次函数解析式为．16.已知二次函数的图像与一次函数的图像有两个公共点、，如果抛物线的对称轴是，求该二次函数的解析式．

解：由题意可先通过一次函数解析式求出m、n，得到P，Q两点坐标为，，又由于该抛物线的对称轴为，此时可设该二次函数解析式为，将P，Q两点坐标代入即得，化为一般式．

17.已知关于x的方程有两个不相等的实数根和，并且抛物线

与x轴的两个交点分别位于点的两旁．

（1）求m的取值范围；

（2）当时，求抛物线的解析式．

解：（1）已知方程有两个不相等的实数根，则，解得且．

又抛物线与轴的两个交点分别位于点的两旁，

则，解得．

综上所述，m的取值范围是．

（2）因为，所以，．

则、为异号两根，且负根的绝对值较大，不妨设，，且．由得，，，，

∴，整理得，（舍去），．所以，抛物线的解析式为．

【课后作业】《新思路》26.1 ，26.2（1），26.2（2）