专题2-6以新定义数列为背景的解答题2019年高考数学备考优生百日闯关系列江苏专版

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+ 1 ，所以专题二压轴解答题

第六关以新定义数列为背景的解答题

【名师综述】解决新定义问题，首先考察对定义的理解•其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质•第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.

类型一以数列和项与通项关系定义新数列

典例1 .【2019江苏苏州上学期期末】定义：对于任意n ENT , G十耳+汀斗r 1仍为数列｛叫〕中的项，则称

数列为回归数列

(1)己知馮二『("EK')，判断数列他J是否为回归数列”，并说明理由；

(2)若数列｛虬］为回归数列”，対=3,州=。，且对于任意n GN，均有久€如+ ［成立.①求数列｛KJ的

V+31*1-!

■—— ------- =b t

通项公式；②求所有的正整数s, t,使得等式成立.

【答案】(1) S订不是回归数列”，说明见解析(2)①，②使得等式成立的所有的正整数s, 的值是s= 1, t= 3

【解析】(1)假设“时是回归数列”，则对任意応补，总存在，使讣+件八Y「严心成立，即2n+4-2N-2-2" = 2i，即J-2lt = 2t，此时等式左边为奇数.右边为偶数，不成立，所以假设不成立,

所以不是回归数列”.

(2)①因为I®严虬十-所以叽+严町「_, 所以陶亠叽&见且％+虬7-此十严％ +广他—一亠)弋叽+ 2 ,

又因为代为回归数列”，所以％ f +上-乩严叽+1，即％“ +厂呱+1，所以数列如|为等差数列. 又因为阿・3・b宀所以叽氓心■).

②因为

综合所述，使得等式成立的所有的正整数 s ，的值是s = 1，t = 3.

n [[ 的连乘积U l-a 2'-a n 记为;=1

，求r-il+x d 的值;

- 1} + 1)

因为 3s + s 2 -1 ，所以t<3，又因为tEW 亠，所以y 1, 2, 3

:式整理为护=0,不成立,

, …, 的和

.(広旷)

(2 )用闪表示不超过忙的最大整数，例如［2］ = 2 , ［M 4］二了，［ - L *〕=-?.若数列 阳 满足% =

+叫+ ••■ + %记为匸i

当，-i 时,

当；-2时,

式整理为

，设

，因为

敬1-同+3

3"+ 1

所以卜:」二时， ，所以s 无解

当 时，Bl 式整理

，因为即厂哼乩所以

s = 1.

典例2 .【2019上海静安区上学期期末】 将个数I, ，将个数，

(3)

设定义在正整数集 上

的函数•满足：当

否存在正整数，使得

!

?若存在，

(m.€/V )时，代”5，问是

求出•的值；若不存在，说明理由(已知

"n(n + 1)(2+ 1) X j = ---- ------- ---------- (-1 6 ).

【答案】(1) ; ( 2)

; (3)存在，且

（2）由^i=^；卞出二玮+心、匚因为三-二? - a 」所儿

-T*］： 叼1 孟尽・1

201^ 口

f 1 \ r i r 20a9 r- 1

所儿看羔二伽'—（】 —融）=2°吩药？因为融2⑰加鹿韵二姒艮

因此所求和的最后一项If 住fe 、定出现在1+2+3+- + 17=153项之后，且|遨;;」吃，共有—1口个，

Yr z + （n- 1S3） X1S = 17U5+

-2754 = 10n-9OT

所以，〜

,

所以，加-xmi ：!彩，解得齐财£

n

i AO = zon

所以存在正整数 n=166，使得 |

^

【名师指点】（1）准确转化，紧扣定义，区别已有概念；（2）恰当选取特例法、演绎法，结合性质求解；（3） 耐心读题，挖出隐含条件，分析与综合相结合.

【举一反三】若数列a n 同时满足：①对于任意的正整数

孔7十应族t 二‘口无对于任意的正整数n （n k ）恒成立，则称数列 a n 是R k 数列”

加-2/为奇数

（1）已知

—：叭阿风 判断数列a n 是否为R2数列”并说明理由；

（2 ）已知数列 b n 是“R 3数列”且存在整数p （p 1），使得b 3p 3 , b 3p

1 , b 3p 1 ,

b 3p 3成等差数列,

证明： b n 是等差数列. 【答案】（1）是（2）见解析 【解析】

【解析］（1）由竝4二=時+畑

所以5召又话-二产，所汉，^s = f 1； ^4 心

1T X T » /H ・1

^£

从而见十冃=（計立）+沪-

（3）若存在正整数n ,则由已知

£,m (3W 価

fin

，且 17«f< 2019 <2109 ,

n , a a 1 a n 恒成立；②对于给定的正整数

込士湮也=伽

f z _ n (n + 1)(鮎 + 1) 乙

卡 6_

i«i

(1) 当H 为奇数B 寸』% -£T n = 2(n+l)-(2f7-l) = 3 >0 ,所以口嗣乏口常 口“ + 口小—2(秤一 21-卜 2(旳+ 2) -1 = 2(2 丹一 1)=加亍

肖卅为偶数时，务吐「比珂如7-3

所以％G 务・

口小 + ^ = 2(tt *2

) +

2W + 2)=4w =纽.

所以，数列 a n 是R 2数列”. (2) 由题意可得••八：

"、」“匕 则数列D , b 4, b 7, 是等差数列，设其公差为 d i , 数列b 2, b 3, b 8, 是等差数列，设其公差为 d 2, 数列b 3, b 6, b 9, 是等差数列，设其公差为

d 3.

因为b n

b n 1，所以「八:_ '：

所以 血-^冋-為①，就2-如 分弋+岔②. 若d 2 d 1 0，则当n

一b ^时，①不成立；

d 2 d 1

靳一区+& V] >

------ : --- ------

若d 2 d i 0，则当

；

时，②不成立；

若d 2 d i 0，则①和②都成立，所以 d i d 2.

同理得：d i d 3，所以d i d 2 d 3，记，- 设 •.- -

'■-

-.• • ... . •.…

则「

「

1

--'-- 同理可得:产江八％""，所以■ I

所以b n 是等差数列.

所以

外+科％茧鸟-起比M 為+衍+1)町

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