专题2-6以新定义数列为背景的解答题2019年高考数学备考优生百日闯关系列江苏专版
(优辅资源)专题1.6以数列为背景的填空题-高考数学备考优生百日闯关系列Word版含解析
专题一压轴填空题第六关以数列为背景的填空题【名师综述】数列是高中数学的重要知识，是高中数学中等价转化思想的典型体现．近年来，高考对数列的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显利用数列考查数学能力的价值．类型一以数列为载体考查数学思想与方法典例 1________.【名师指点】本题考查了利用基本不等式求最值．本题属于难题．【举一反三】已知等差数通项公式和若不等式__________．【解析】由题可知：恒成立，设t=n+1，则，因为函数在，，所以259M类型二 综合考查数列性质典例2如图（12）所示；3）所示.如此继续下去，__________．【答案】【名师指点】本题考查了错位相减法．本题属于中等题．的取值范围是__________．【解析】要使数列为单调递增数列，则⋅⋅.当n<4时，2t－3>0，即t①.当n≥4时，须单调递增，∴t>13(2t－3)－8t＋2t>5；2t>5；2t>52t>5类型三以生成数列为研究对象考查数学能力典例3 若数列{a n}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得a m＜n成立，记这样的m的个数为b n，则得到一个新数列{b n}．例如，若数列{a n}是1，2，3，…，n，…，则数列{b n}是0，1，2，…，n－1，….现已知数列{a n}是等比数列，且a2＝2，a5＝16，则数列{b n}中满足b i＝2 016的正整数i的个数为__________．【答案】22 015【名师指点】本题主要考查等比数列通项公式，以及新定义的运用. 本题属于难题．，则上述四个命题中真命题的序号为____.【答案】②④又，故数列为等差数列，且公差故故①错误；故②正确；由题意知成立，故③错误；，故④成立.即答案为②④【精选名校模拟】1.26__________个．2.．【解析】依题意，与已知条件相加可得)34n a ++4⋅3.在等差数列{a n }中，已知首项a 1＞0，公差d ＞0.若a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100，则5a 1＋a 5的最大值为________． 【答案】200【解析】由a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100得2a 1＋d ≤60，2a 1＋3d ≤100，a 1＞0, d ＞0. 由线性规划的知识得5a 1＋a 5＝6a 1＋4d ，过点(20，20)时，取最大值为200.4.已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项的和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n∈N *)，则满足1 0011 000＜S 2n S n ＜1110的n 的最大值为__________． 【答案】9【解析】2a n ＋1＋S n ＝2，2a n ＋S n －1＝2(n ≥2)，相减得2a n ＋1＝a n (n ≥2)，a 1＝1，a 2＝12，则{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，1 0011 000＜1＋⎝⎛⎭⎫12n ＜1110，11 000＜⎝⎛⎭⎫12n ＜110，则n 的最大值为9.5.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝⎛⎭⎫－12n －1，若对任意n ∈N *，都有1≤p(S n －4n)≤3，则实数p 的取值范围是________． 【答案】[2，3]【解析】S n ＝4n ＋23[1－(－12)n ]，可得1≤23[1－(－12)n ]p ≤3，即1≤2p 3[1－(－12)n ]min 且2p3[1－(－12)n]max≤3，前者n ＝2，后者n ＝1，得2≤p ≤3. 6.设等比数列{a n }的公比为q(0＜q ＜1)，前n 项和为S n ，若a 1＝4a 3a 4，且a 6与34a 4的等差中项为a 5，则S 6＝________. 【答案】634【解析】由a 1＝4a 3a 4，a 6＋34a 4＝2a 5，解得a 1＝8，q ＝12，则S 6＝634.7.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝________． 【答案】9【解析】设S k －S k －1＝a k ＝－8，S k ＋1－S k ＝a k ＋1＝－10，则d ＝－2，S k ＝(a 1＋a k )k/2＝0，a 1＝8，a k ＝a 1＋(k －1)d ＝－8，即8－2(k －1)＝－8，则k ＝9.8.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若数列{a n }满足a n ＋S n ＝An 2＋Bn ＋C 且A ＞0，则1A ＋B－C 的最小值为________． 【答案】2 39.设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为____________．【答案】2011【解析】a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝（n ＋1）n 2，则1a n ＝2n （n －1）＝2(1n－1n ＋1)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111]＝2011. 10.已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n ≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________． 【答案】5972【解析】由等比数列S n 公式S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－13n ，∴ T n ＝S n －1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－13n －11－⎝⎛⎭⎫－13n .当n 为奇数时，T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫13n－11＋⎝⎛⎭⎫13n 递减，则0<T n <T 1＝712；当n 为偶数时，T n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n －11－⎝⎛⎭⎫13n 递增，则－1772<T 2<0.故－1772≤T n ≤712，∴ A max ＝－1772，B min ＝712，故 (B －A)min ＝B min －A max ＝5972.11.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n ＋1)2.设b n ＝a 2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)，则当T n >2 013时，n 的最小值为________． 【答案】10【解析】∵ 4S n ＝(a n ＋1)2，∴ n ≥2时有4S n －1＝(a n －1＋1)2，两式相减，得4(S n －S n －1)＝(a n ＋a n －1＋2)(a n －a n －1)，n ≥2，进一步整理可知(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.又a n >0，从而a n －a n －1＝2(n ≥2)，从而a n ＝2n －1，b n ＝a 2n －1＝2n －1，∴ T n ＝2n ＋1－(n ＋2)>2 013，n ≥10时，T n >2 013，且T 9<2 013，T n 关于n 单调递增，从而n 的最小值为10.12.已知θ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6，等比数列{a n }中，a 1＝1，a 4＝39tan 33θ.若数列{a n }的前2 014项的和为0，则θ的值为________． 【答案】－π913.已知在等差数列{a n }中，若m ＋2n ＋p ＝s ＋2t ＋r ，m 、n 、p 、s 、t 、r ∈N *，则a m ＋2a n ＋a p ＝a s ＋2a t ＋a r .仿此类比，可得到等比数列{b n }中的一个正确命题：若m ＋2n ＋p ＝s ＋2t ＋r ，m 、n 、p 、s 、t 、r ∈N *，则______________． 【答案】b m (b n )2b p ＝b s (b t )2b r【解析】由类比推理将加法换成乘法、乘法换成乘方即得结论．14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2a 4a 6a 8＝120，且1a 4a 6a 8＋1a 2a 6a 8＋1a 2a 4a 8＋1a 2a 4a 6＝760，则S 9的值为________． 【答案】632【解析】等式两边同时乘以a 2a 4a 6a 8得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝14，即2(a 2＋a 8)＝14，a 2＋a 8＝7，从而S 9＝（a 1＋a 9）×92＝7×92＝632.15. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4、a 3、a 5成等差数列，且S k ＝33，S k ＋1＝－63，其中k ∈N *，则S k ＋2的值为________． 【答案】129【解析】由等比数列性质知2＝q ＋q 2 ，∵ q ＝1或－2.当q ＝1时，显然不成立．∴ q ＝－2，又 a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝－96.(解法1)S k ＋2＝S k ＋1＋a k ＋2＝S k ＋1＋a k ＋1(－2)＝－63＋96×2＝129.(解法2)a 1（1－q k ）1－q＝a 1－a 1q k 3＝a 1－a k ＋13＝33，得a 1＝3，S k ＋2＝a 1（1－q k ＋2）1－q＝a 11q k ＋23＝a 1－a k ＋33＝a 1－a k ＋1q 23＝3＋96×43＝129.16.设x 、y 、z 是实数，若9x 、12y 、15z 成等比数列，且1x 、1y 、1z 成等差数列，则x z ＋zx 的值为______________． 【答案】341517.已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n .若S 13＝1，则a 1的值为____________． 【答案】1【解析】定义函数a n ＝f(n)，则f(n)＝f(n －1)－f(n －2)，即可得f(n)＝[f(n －2)－f(n －3)]－f(n －2)＝－f(n －3)＝－(f(n －4)－f(n －5))＝f(n －6)，所以函数a n ＝f(n)是一个周期为6的数列，由递推公式可得S n ＝a n －1＋a 2，所以S 13＝a 12＋a 2＝a 6＋a 2＝－a 3＋a 2＝－(a 2－a 1)＋a 2＝a 1，所以a 1＝1.18.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，则k 的值为________． 【答案】k ＝0或k ＝1【解析】∵ S n ＝kn 2＋n ，∴ 数列{a n }是首项为k ＋1公差为2k 的等差数列，a n ＝2kn ＋1－k.又对于任意的m ∈N *都有a 22m ＝a m a 4m ，∴ a 22＝a 1a 4，(3k ＋1)2＝(k ＋1)(7k ＋1)，解得k ＝0或1.又k ＝0时a n ＝1，显然对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列；k ＝1时a n ＝2n ，a m ＝2m ，a 2m ＝4m ，a 4m ＝8m ，显然对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 也成等比数列．综上所述，k ＝0或k ＝1.19.记数列{a n }的前n 项和为S n ，{a n }及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为____________． 【答案】15。
江苏省2019年高考数学小专题复习6--函数单调性在数列中的应用(有答案)
四、 【练习】
1. 已知等差数列 {an } 的首项 a1 20 ，公差 d 2 ，则前 n 项和 S n 的最大值为
*
.110
2. 在数列 {an } 中， a1 18 ， a n 1 a n 3 ( n N ) ，则数列 {an } 的前 n 项和 S n 的最小 值为 .-63 3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，且 a2 an S 2 S n 对一切正整数 n 都成立. （1）求 a1 ， a2 的值； （2）设 a1 0 ，数列 {lg 大值. 解： （1）取 n=1,得 a2 a1 S 2 S1 2a1 a2 , 取 n=2,得 a 2 2a1 2a 2 , 又②-①，得 a 2 ( a 2 a1 ) a 2 若 a2=0, 由①知 a1=0, 若 a2 0，由③知a 2 a 1 1 , 由①④解得， a1 ④
2 1, a 2 2 2.
当 n 2时，有（ 2 2）a n S 2 S n , (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1，
（ 1 2 ）a n （ 2 2）a n 1, 即 an= 2a n 1 (n 2) , 所以
所以 a n a1 ( 2 ) 令 b n lg
n
（3）令 en n (Tn 3) n (2n 3)2
n
n
[来源:学|科|网]
由 en en 1 ，得 n(2n 3)2 (n 1)(2n 1)2
n 1
，即 n(2n 3) 2(n 1)(2n 1)
解得对任意 n N 成立，即数列 {en } 为单调递增数列， 所以 {en } 的最小项为 e1 2 因为 en 对任意 n N 恒成立，所以 2 ，
2019届理科数学高考中的数列问题(2021年整理)
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2019届理科数学高考中的数列问题一、选择题(每小题5分，共20分）1.已知等差数列{a n}的公差不为0,前n项和S n满足=9S2,S4=4S2,则a2=(）A。
B。
C。
D。
2。
［数学文化题]《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马。
”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟。
羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半。
”打算按此比例偿还,问牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿(）A。
斗粟 B。
斗粟 C。
斗粟 D。
斗粟3.已知S n是等比数列｛a n｝的前n项和，S4=5S2,则的值为(）A。
—2或-1 B。
1或2C.±2或—1 D。
±1或±24.已知数列｛a n｝是公比为2的等比数列，满足a6=a2·a10,设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b 9=2a7，则S17=（)A。
34 B.39 C。
51 D.68二、填空题(每小题5分,共10分）5.已知数列｛a n}满足2a n·a n+1+a n+1—a n=0，且a1=1，则数列｛a n}的通项公式为. 6。
高考数学备考优生百日闯关系列专题1.4以数列与函数、不等式相结合为背景的选择题解析版Word版含解
专题一 压轴选择题第四关 以数列与函数、不等式以及其他知识相结合为背景的选择题【名师综述】以数列与函数、不等式相结合为背景的选择题,主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、比较大小、参数取值范围的探求，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．类型一 数列与函数的结合典例 1 已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，''()()()()f x g x f x g x >，且()()x f x a g x =（0,a >且1a ≠），(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，若数列(){}()f ng n 的前n 项和大于62，则n 的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】A【名师指点】由已知条件构造函数()()f x g x ，则'()()0()f xg x >，故函数()()f x g x 递增，即函数xy a =递增，从而确定1a >，结合已知条件可确定a 的值，数列(){}()f ng n 的前n 项和即等比数列{}n a 的前n 项和，通过计算可得关于n 的不等式，进而确定n 的最小值．【举一反三】函数()2f x x bx =+的图象在点()()1,1A f 处的切线与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2015S =（ ）A ．1B ．20132014C ．20142015D ．20152016【答案】D类型二 数列与不等式的结合典例2 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别是a a n n 2014)1(+-=，nb n n 2015)1(2+-+=，且nn b a <对任意*∈N n 恒成立，则则实数a 的取值范围是A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-211，B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-212，C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-232，D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-231， 【答案】C【名师指点】数列是特殊的函数这个思想是解数列问题的利器，求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）参变分离法，将已知不等式变形为()f n M ≥恒成立()min f n M ⇔≥；()f n M ≤恒成立()max f n M ⇔≤；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得．求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值．【举一反三】已知数列{}n a 满足：*111,()2nn n a a a n N a +==∈+．若*111(2)(1)(),n nb n n N b a λλ+=-+∈=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 【答案】C类型三数列与其他知识的结合典例 3 在数列{a n }中，a n+1=a n +a （n ∈N *，a 为常数），若平面上的三个不共线的非零向量满足，三点A ，B ，C 共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ）A ．1005B ．1006C ．2010D ．2012【答案】A【解析】由向量式可得a 1+a 2010=1，由可得数列为等差数列，代入求和公式可得答案． 解：∵，且三点A ，B ，C 共线，∴必有120101a a +=，又a n+1=a n +a ，所以a n+1﹣a n =a 为常数，故数列{a n }为等差数列，故S 2010==1005，故选A【名师指点】本题考查数列与平面向量的结合，又向量知识得其系数满足的关系120101a a +=，进而利用等差数列求和公式求解，本题要求学生熟悉向量三点共线公式(1)OA OB OC λλ=+- ⇔A B C 、、三点共线，【举一反三】已知数列}{n a 的前n 项和为n n S n -=2，令2cos πn a b n n =，记数列}{n b 的前n 项为n T ，则(2015=T ）A ．2011-B ．2012-C ．2013-D ．2014- 【答案】D【解析】根据题意有22n a n =-，所以有(22)cos2n n b n π=-，所以2015020608010040260T =-+++-++++-+201240262014=-=-，故选D ．【精选名校模拟】1. 已知数列{}n c 的前n 项和为n T ，若数列{}n c 满足各项均为正项，并且以(,)n n c T （n ∈N *）为坐标的点都在曲线2,022a aay x x b a =++（为非常数）上运动，则称数列{}n c 为“抛物数列”．已知数列{}n b 为“抛物数列”，则（ ） A ．{}n b 一定为等比数列 B ．{}n b 一定为等差数列 C ．{}n b 只从第二项起为等比数列 D ．{}n b 只从第二项起为等差数列【答案】B2. 已知数列{}n a 满足：*111,()2nn n a a a n N a +==∈+．若*111(2)(1)(),n nb n n N b a λλ+=-+∈=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 【答案】C【解析】由12n n n a a a +=+得1121n na a +=+，则11112(1)n n a a ++=+，所以数列1{1}n a +是等比数列，公比为2，于是有111222n n na -+=⨯=，所以1(12)2n nb n λ-=--⋅（2n ≥）．由21b b >得2(12)λλ->-，23λ<，当2n ≥时，由1n n b b +>得1(2)2(12)2n n n n λλ--⋅>--⋅，12n λ+<，综上23λ<．故选C ． 3. 数列{}n a 中，112a =，111n n na a a ++=-（其中*n ∈N ），则使得12372n a a a a ++++≥成立的n 的最小值为 （ ）A ．236B ．238C ．240D ．242【答案】B4．函数6(3)3,7,(),7.x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足()()n a f n n N *=∈，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,3D ．()1,3 【答案】C【解析】因为()()n a f n n N *=∈，{}n a 是递增数列，所以函数6(3)3,7(),7.x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩为增函数，需满足三个条件 ()()30178a a f f ⎧->⎪>⎨⎪<⎩，解不等式组得实数a 的取值范围是()2,3，选C ．5．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项之积为n T ，若22n nn T +=，则122n n a +的最小值为（ ）．A ．7B ．8 C．．【答案】A【解析】由题意知()()2211122n n nnn T -+---==，所以2221222n nn n n n n n T a T +--===，所以212212122222n nn n n na ++==+，构造对勾函数()12f x x x=+，该函数在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增，在整数点4x =时取到最小值7，所以当24n =时，122n n a +的最小值为7．6．已知定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=2f （x+2），当x ∈[0，2）时，f （x ）=﹣2x 2+4x ．设f （x ）在[2n ﹣2，2n ）上的最大值为a n （n ∈N *），且{a n }的前n 项和为S n ，则S n =（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10150,25S S ==，则n nS 的最小值为（ ） A ．47- B ．48- C ．49- D ．50-【答案】C.【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则①13a =-∴n S =)n nS =， 令'(f '()0f n >，03n <<时，'()0f n <，∴当3n =时，()f n 取最小值，而n ∈N ＋ ，则(6)48f =-，(7)49f =-，∴当7n =时，()f n 取最小值49-.8．已知数列}{n a 满足*134(1,)n n a a n n ++=≥∈N ，且19a =， 其前n 项之和为n S ，则满足不等式1|6|40n S n --<成立的n 的最小值是（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 【答案】C.9．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，则*216()3n n S n N a +∈+的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．92【答案】A.10．已知函数()()22812f x x a x a a =++++-，且()()2428f a f a -=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*n N ∈若()n S f n =，则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】D【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式，代入由基本不等式可得． 由题意可得2428a a -=-或2842822a a a +-+-=⨯-（）， 解得a=1或a=-4，当a=-1时，2712f x x x =+-（），数列{a n }不是等差数列； 当a=-4时，24f x x x =+（），24nS f n n n ==+（）， ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，，()22121134416122)11(2n n n n S a n n a n n ++++-++∴==-++⨯11311221212n n =⨯+++≥⎡⎤⎢⎥=+⎣⎦（）（），当且仅当1311n n+=+，即1n =-时取等号， ∵n 为正数，故当n=3时原式取最小值378，故选D ． 11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足150S >，160S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的A.66S a B.77S a C.99S a D.88S a 【答案】D.12．已知数列{}n a 满足：1263,3,9138n n n n n n a a a a a ++=-≤-≥⋅，则2015a =（ ）A ．20153322+B ．201538C ．20153382+D ．201532 【答案】B【解析】()()()24242646339133n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-=----+-≥--+⋅=，220152015201320132011313,n n n a a a a a a a a a +∴-=∴=-+-++-015201320113333322=+++=-，故选B ．13．若b a ,是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点，且2,,-b a 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】 D【解析】由题意可得：00a bp ab q p q +==，，＞，＞，可得00a b ＞，＞， 又2,,-b a 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得222244b a a b ab ab =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或解得4114a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或．51449p a b q p q ∴=+==⨯=∴+=，，．故选D ． 14．设函数()2cos 4f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，128()()()11f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2215[()]f a a a -=（ ）A.0B.218π C.238π D.21316π【解析】∵x y 4c o s =的周期为2π，∴128c o s 4c o s 4c o s 40a a a +++=，∴1282()11a a a π+++=，而8d π=，∴14a π=，238a π=，534a π=，因此23()4f a π=，222153()8f a a a π-=，选C.15．已知函数)(x f y =的定义域为R ，当0<x 时，1)(>x f ，且对任意的实数x y ∈R ，，等式)()()(y x f y f x f +=⋅成立，若数列{}n a 满足)11(1)(1nn a f a f +=+，*()n ∈N ，且)0(1f a =，则下列结论成立的是（ ）A ．20132016()()f a f a >B ．20142015()()f a f a >C ．20162015()()f a f a <D ．20142016()()f a f a < 【答案】D16．已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，其导函数记作()'f x ，()02f =- ,且()()12f x f x π+=，当,[)0x π∈时，()()()'cos2sin 2'f x x f x x f x ⋅>⋅-，若方程s (0)ec n f x k x +=在[0,)+∞上有n 个解，则数列2{}nnk 的前n 项和为（ ）A ．()121n n -⋅+B ．()1122n n +-⋅+C ．12n n -⋅D ．(21)314n n -⋅+ 【答案】A.。
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变式训练 2 已知数列{an}和{bn}满足 a1＝m，an＋ 1＝λan＋n，bn＝an－23n＋49. (1)当 m＝1 时，求证：对于任意的实数 λ，数列{an} 一定不是等差数列；
(2)当 λ＝－12时，试判断数列{bn}是否为等比数列．
解：(1)证明：当m＝1时，a1＝1，a2＝λ＋1， a3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2. 假设数列{an}是等差数列， 由a1＋a3＝2a2，得λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)， 即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－3<0，∴方程无实根．
(2)证明：对任意 n∈N*， a2n－1＋a2n＋2a2n＋1＝0，① 2a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＝0，② a2n＋1＋a2n＋2＋2a2n＋3＝0.③ ②－③，得 a2n＝a2n＋3.④ 将④代入①，可得 a2n＋1＋a2n＋3＝－(a2n－1＋a2n＋1)， 即 cn＋1＝－cn(n∈N*)． 又 c1＝a1＋a3＝－1，故 cn≠0，
(5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n， p，q∈N*)．
注意：为了方便，有时差数列的通项公式也 可写成an＝pn＋q的形式，前n项和的公式可写 成Sn＝An2＋Bn的形式(p，q，A，B为常数)．
2．等比数列 (1)定义式：aan＋n 1＝q(n∈N*，q 为非零常数)． (2)通项公式：an＝a1qn－1.
因
此
{Sn
＋
5 4
}
是
以
5 2
为
首
项
，
2
为公比的等比数
列．…12 分
【得分技巧】 (1)b3，b4，b5 用公差 d 表示出来， 利用 b24＝b3b5，求出 d 这是一个得分点，再进一步 计算 bn＝5×2n－3 这又是一个得分点．
2018高考数学备考百日闯关江苏专版专题2.6以新定义数列为背景的解答题附解析
2018高考数学备考百日闯关江苏专版专题2.6以新定义数列为背景的解答题附解析专题二 压轴解答题第六关 以新定义数列为背景的解答题【名师综述】解决新定义问题，首先考察对定义的理解。
其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.类型一 以数列和项与通项关系定义新数列典例1 设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列{}n a 为“()2P 数列”， 22a =，设312232222n n na a a a T =++++ ，证明： 3n T <． 【答案】（1）12,*n n a n N -=∈．（2）见解析；（3）见解析．（2）假设存在这样的数列{}n a ，则有n n k S a k +=-，故有11n n k S a k +++=- 两式相减得： 11n n k n k a a a ++++=-，故有332n n k n k a a a +++++=- 同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得： 132n n k n k a a a +++++=-，所以13n n a a ++=对任意*n N ∈恒成立所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=，即2n n S S +=，又2222n n k n S a k S +++=--=-，即22n n S S +-=，两者矛盾，故不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”． （3）因为数列{}n a 为“()2P 数列”，所以22n n S a +=- 所以132n n S a ++=-故有， 132n n n a a a +++=-，又n =1时， 132a a =-，故33a =，满足： 321a a a =+ 所以21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，数列的前几项为：1,2,3,5,8,故312232345123582222222222n n n n na a a a a T =++++=++++++ 所以， 123451112352222222n n n nn a a T -+=+++++ 两式相减得： 12234123411111211122222222222222n n nn n n n n n n a a a a a T --++-=+++++-=+++++- =2131442n n n a T -++-，显然21,02nn n n a T T -+，故131244n n T T <+，即3n T <． 【名师指点】（1）准确转化，紧扣定义，区别已有概念；（2）恰当选取特例法、演绎法，结合性质求解；（3）耐心读题，挖出隐含条件，分析与综合相结合.【举一反三】若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ， 1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”.（1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -， 31p b -， 31p b +， 33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列. 【答案】（1）是（2）见解析 【解析】22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.所以，数列{}n a 是“()2R 数列”. （2）由题意可得： 332n n n b b b -++=，则数列1b ， 4b ， 7b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ， 数列2b ， 3b ， 8b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ， 数列3b ， 6b ， 9b ， ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d . 因为1n n b b +≤，所以313234n n n b b b +++≤≤， 所以()1122111b nd b nd b n d +≤+≤++，所以()2112n d d b b -≥-①，()21121n d d b b d -≤-+②. 若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立；若210d d ->，则当12121b b d n d d -+>-时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =.同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=， 则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-，所以1n n b b d λ+-=-.所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+，3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+，3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-，以上三式相加可得： 32d λ=，所以23d λ=， 所以()3211n b b n d -=+- ()13213db n =+-+，()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113d b n =+--， ()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313d b n =+-，所以()113n d b b n =+-，所以13n n d b b +-=， 所以，数列{}n b 是等差数列.类型二 以分段形式定义新数列典例2 已知数列{}n a 满足1133,1,{1,n n n a n n a a a n n ++==---为奇数，为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为2,n n n S b a =，*.n N ∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存在正整数n ，使得212n n n S b S +>>成立？说明理由.【答案】（1）()23nn b =-- （2）()222234nn n S =--- （3）当n 为偶数时， 12n n n S b S +>> 都成立，（3）详见解析 【解析】（2）21221n n a a n +=--- ，所以21221n n a a n ++=-- ， 当n 为奇数时，可令*21,n k k N =-∈则()()211232221......n k k k S S a a a a a ---==+++++()()()()()223211113 (211222)4k k n k k +--+=+-++-+=-=-=-，当n 为偶数时，可令*2,n k k N =∈则()()21232221221......n k k k k k k S S a a a a a a S b ---==++++++=+()222234nn =---； （3）假设存在正整数n ，使得212n n n S b S +>> 成立，因为()22121n S n +=-+ ， ()22223nn S n =--- ， 所以只要()()()222123223nnn n -+>-->---即只要满足 ①：22n > ，和②：()()22321n n -+>+ ，对于①只要2n ≥ 就可以； 对于②，当n 为奇数时，满足()22321nn -⋅+>+ ，不成立，当n 为偶数时，满足()22321nn ⋅+>+，即22123nn n +-> 令2213n nn n c +-= ，因为()22222222321812160333n nn n n n n n n n n c c +++++++---+-=-=<即2n n c c +< ，且当2n = 时， 22123nn n +-> ， 所以当n 为偶数时，②式成立，即当n 为偶数时， 212n n n S b S +>>成立 . 【名师指点】分段函数在数列中应用，既考察各段数列特性，又考查两者综合性质.【举一反三】已知两个无穷数列分别满足，其中，设数列的前项和分别为.（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式； （2）若数列满足：存在唯一的正整数，使得，称数列为“坠点数列”.①若数列“坠点数列”，求 ②若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）.（2）①，② 6.(2)①∵数列满足：存在唯一的正整数k=5,使得,且，∴数列必为1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列， 故；②∵，即，∴，而数列为“坠点数列”且，数列中有且只有两个负项.假设存在正整数，使得，显然，且为奇数，而中各项均为奇数，∴必为偶数..ⅰ.当时，，当时，，故不存在，使得成立.ⅱ.当时，，显然不存在，使得成立.ⅲ.当时，，当时，才存在，使得成立.所以.当时，，构造为1,3,1,3,5,7,9，…，为-1,2,4,8，-16,32，…，此时，所以的最大值为6.类型三 以分拆定义新数列典例3 记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T S =;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C D D S S S +≥ . 【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析 【解析】试题解析：（1）由已知得1*13,n n a a n N -=∙∈.于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{1,2,,}T k ⊆ ，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32k kk r k S a a a -≤+++=+++=-< . 因此，1r k S a +<.（3）下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+= . ②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥ . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令U E C C D = ，U F D C C = 则E φ≠，F φ≠，E F φ= . 于是C E C D S S S =+ ，D F C D S S S =+ ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠. 由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-，从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++==≤ ，故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+ ， 即21C C D D S S S +≥+ .综合①②③得，2C C D D S S S +≥ .【名师指点】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.【举一反三】设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则)(A G 的元素个数不小于N a -1a . 【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】（2）因为存在n a 使得1a a n >，所以{}∅≠>≤≤∈*1,2a a N i N i i . 记{}1,2min a a N i N i m i >≤≤∈=*， 则2≥m ，且对任意正整数m k a a a m k <≤<1,. 因此)(A G m ∈，从而∅≠)(A G .（3）当1a a N ≤时，结论成立. 以下设1a a N >. 由（Ⅱ）知∅≠)(A G .设{}p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(，记10=n . 则p n n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<210.对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记{}i n k i i a a N k n N k G >≤<∈=*,.如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1. 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G . 从而对任意n k n p ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤. 对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0.因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a . 所以p a aa a a a i ip n pi n n N ≤-=-≤--∑=)(1111.【精选名校模拟】1．对于给定的正整数k ，如果各项均为正数的数列{}n a 满足：对任意正整数()n n k >，21111k n k n k n n n k n k n a a a a a a a --+-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=总成立，那么称{}n a 是“()Q k 数列”．（1）若{}n a 是各项均为正数的等比数列，判断{}n a 是否为“()2Q 数列”，并说明理由； （2）若{}n a 既是“()2Q 数列”，又是“()3Q 数列”，求证： {}n a 是等比数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析。
专题2-5 以数列求和或者通项公式为背景的填空题-2018
专题二 压轴填空题第五关 以数列求和或者通项公式为背景的填空题 【名师综述】1.数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根据an 与Sn 的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式也是常考的热点.2.数列的求和问题多以考查等差、等比数列的前n 项和公式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点. 1．求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法． (2)已知Sn 与an 的关系，利用an ＝⎩⎨⎧S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2求an.(3)累加法：数列递推关系形如an ＋1＝an ＋f(n)，其中数列{f(n)}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．(4)累乘法：数列递推关系形如an ＋1＝g(n)an ，其中数列{g(n)}前n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)． 2．活用数列求和的四种方法 (1)公式法：适合求等差数列或等比数列的前n 项和．对等比数列利用公式法求和时，注意q ＝1或q≠1两种情况．(2)错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时常用的方法，主要用于求数列{anbn}的前n 项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． (3)裂项相消法：把数列的各项分别裂开后，前后抵消从而计算和的方法，适用于求通项为1anan ＋1的数列的前n 项和，其中{an}为等差数列，则1anan ＋1＝1d)11(1+-n n a a . (4)分组求和法：一个数列如果既不是等差数列又不是等比数列，但它可以拆成两个数列，而这两个数列是等差或等比数列，那么就可分组求和，这种方法叫分组求和法．类型一 将递推式转换为项间的关系式处理的问题典例1 【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，16】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()413n n S a =-，则()216411n n a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为 ．【答案】4【名师指点】本题主要考查数列前n 项和、等比数列；3、基本不等式，属于较难题型.使用基本不等式公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.【举一反三】【安徽省马鞍山市2018届高三第一次（期末）教学质量检测】数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22n n S a =-，则数列{}2n na +的前n 项和为____________.【答案】()11222n n n +-⋅++【解析】当1n =时， 11122,2a a a =-∴=， 由题意可得： 1122,22n n n n S a S a --=-=-， 两式作差可得： 1122,2n n n n n a a a a a --=-∴=据此可得，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 则2n n na n =⨯，错位相减可得其前n 项和()1122n n T n +=-⋅+，分组求和可得数列{}2n na +的前n 项和为()11222n n n +-⋅++.类型二 可转化为前n 项和间的递推式的问题典例2 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =．当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2015S =（ ）【答案】1008【名师指点】由已知条件，将已知递推式利用1n n n a S S -=-转化为1,n n S S -间的递推式，通过对递推式的处理知数列{}21n S -是等差数列，进而利用等差数列通项公式求2015S ．【举一反三】【安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，()211n n n n a S S S ---=，且11a =，设12log 3n n a b +=，则12341n b b b n ++⋯+++的最小值是________. 【答案】9【解析】当2n ≥ 时， 211n n n n a S S S ---=（） ，即()2112n n n n S S S S ---= ，展开化为：1140n n n n S S S S ----=（）（）， ∵正项数列{}n a 的前n 项和为n S 114n n n n S S S S --∴≠∴=．， ∴数列{}n S 是等比数列，首项为1，公比为4．11221424434n n n n n n n n S n a S S -----∴=∴≥=-=-=⨯．，．211{ 342n n n a n -∴=⨯≥，＝．， 221222223n n n a b log log n -+∴===-， 则()2120222n n n b b b n n +-++⋯+==-．则()()2212131363434111n n n b b b n n n n n +-++++⋯++-+==+++ 361312391n n =++-≥-=+当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立. 故答案为9类型三 通过若干项观察归纳总结的问题 典例3 数列{}n a 的通项为(1)(21)sin 12n n n a n π=-+⋅+，前n 项和为n S ，则100S = ． 【答案】200【名师指点】通过计算数列前几项,得出该数列所具有的特殊性质，然后利用该性质作为一般规律去解题，是数学中常用的方法，体现了从特殊到一般的数学思想方法．【举一反三】．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，其前n 项积为n T ，则2015T = ．【答案】3 【解析】由1111n n n a a a ++-=+可得111nn na a a ++=-，因为12a =，所以2345113,,,223a a a a =-=-==，，所以数列{}n a 是周期为4的周期数列，且12341a a a a =，又因为201545033=⨯+，所以201512(3)()32T =⨯-⨯-=．【精选名校模拟】1．【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测,6】设数列{}n a 满足1a a =，2121n n n a a a +-=+（*n N ∈），若数列{}n a 是常数列，则a =（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．(1)n-【答案】A【解析】因为数列{}n a 是常数列，所以221212211a a a a a a --===++，即2(1)2a a a +=-，解得2a =-，故选A. 2．数列{}n a 的前n 项和n S ，满足11a =， ()121nn n a a +=+-，则21n S -=__________．【答案】413n -【解析】因为()121nn n a a +=+-，所以()()()()()111111111122223333333n n n nn n n n n n n a a a a a +-+⎛⎫⎡⎤----- ⎪+=+∴+=+⋅=∴=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 因此21n S -= ()21221212131233n n ---+=-= 413n - 3．【皖江名校2018届高三12月份大联考】已知数列{}n a ， n S 是其前n 项的和且满足()*32n n a S n n N =+∈，则n S =__________． 【答案】()3132344n n S n =⋅-+ 【解析】当1n =时， 11321a S =+， ∴11a =， 当2n ≥时， 32n n a S n =+①， ()11321n n a S n --=+-②∴①-②得： 13321n n n a a a --=+，即131n n a a -=+∴1113122n n a a -+=++， 112312n n a a -+=+，又113022a +=≠ ∴数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32为首项， 3为公比的等比数列， 得113322n n a -+=⋅，∴131322n n a -=⋅-， ∴代入得： ()3132344n n S n =⋅-+。
专题2-6以新定义数列为背景的解答题2019年高考数学备考优生百日闯关系列江苏专版
专题二压轴解答题第六关以新定义数列为背景的解答题【名师综述】解决新定义问题，首先考察对定义的理解．其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质．第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质．类型一以数列和项与通项关系定义新数列典例1．【2019江苏苏州上学期期末】定义：对于任意，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”．（1）己知()，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；（2）若数列为“回归数列”，，，且对于任意，均有成立．①求数列的通项公式；②求所有的正整数s，t，使得等式成立．【答案】（1）不是“回归数列”，说明见解析（2）①，②使得等式成立的所有的正整数s，的值是s＝1，t＝3【解析】（1）假设是“回归数列”，则对任意，总存在，使成立，即，即，此时等式左边为奇数．右边为偶数，不成立，所以假设不成立，所以不是“回归数列”．（2）①因为，所以，所以且，又因为为“回归数列”，所以，即，所以数列为等差数列．又因为所以．②因为，所以因为，所以，又因为，所以，当时，式整理为，不成立，当时，式整理为，设，因为，所以时，时，，所以，所以s无解当时，式整理，因为，所以s＝1．综合所述，使得等式成立的所有的正整数s，的值是s＝1，t＝3．典例2．【2019上海静安区上学期期末】将个数，，…，的连乘积记为，将个数，，…，的和记为．（）（1）若数列满足，，，设，，求；（2）用表示不超过的最大整数，例如，，．若数列满足，，，求的值；（3）设定义在正整数集上的函数满足：当（）时，，问是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（已知）．【答案】（1）；（2）；（3）存在，且．（3）若存在正整数n ，则由已知得，，且，因此所求和的最后一项必定出现在1+2+3+…+17=153项之后，且，共有个，所以，，所以，，解得．所以存在正整数n=166，使得．【名师指点】（1）准确转化，紧扣定义，区别已有概念；（2）恰当选取特例法、演绎法，结合性质求解；（3）耐心读题，挖出隐含条件，分析与综合相结合．【举一反三】若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n ，1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k ，对于任意的正整数()n n k >恒成立，则称数列{}n a 是“()R k 数列”．（1）已知判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”，并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”，且存在整数(1)p p >，使得33p b -，31p b -，31p b +，33p b +成等差数列，证明： {}n b 是等差数列． 【答案】（1）是（2）见解析 【解析】．所以，数列{}n a 是“()2R 数列”． （2）由题意可得：，则数列1b ，4b ，7b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为1d ， 数列2b ，3b ，8b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为2d ， 数列3b ，6b ，9b ，⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为3d ． 因为1n n b b +≤，所以， 所以，所以①，②．若210d d -<，则当1221b b n d d ->-时，①不成立；若210d d ->，则当时，②不成立；若210d d -=，则①和②都成立，所以12d d =． 同理得： 13d d =，所以123d d d ==，记．设，则．同理可得：，所以．所以{}n b 是等差数列．【另解】，，，以上三式相加可得： 32d λ=，所以23d λ=， 所以，，，所以，所以，所以，数列{}n b 是等差数列．类型二 以分段形式定义新数列典例3．【2019广东茂名一模】已知为数列的前项和，．（1）求数列的通项公式．（2）若，，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）由……①得……② ①-②得由得，是以2为首项，公比为2的等比数列，．（2）典例4．已知数列{}n a 满足记数列{}n a 的前n 项和为2,n n n S b a =，*.n N ∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存在正整数n ，使得成立？说明理由．【答案】（1）（2）（3）当n 为偶数时，都成立，（3）详见解析 【解析】（3）假设存在正整数n ，使得成立， 因为，，所以只要即只要满足 ①：22n >，和②：，对于①只要2n ≥ 就可以； 对于②，当n 为奇数时，满足，不成立，当n 为偶数时，满足，即，令，因为，即2n n c c +<，且当2n = 时，，所以当n 为偶数时，②式成立，即当n 为偶数时，成立．【名师指点】分段函数在数列中应用，既考察各段数列特性，又考查两者综合性质． 【举一反三】已知两个无穷数列分别满足，其中，设数列的前项和分别为．（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式； （2）若数列满足：存在唯一的正整数，使得，称数列为“坠点数列”．①若数列“坠点数列”，求 ②若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）．（2）①，② 6．(2)①∵数列满足：存在唯一的正整数k=5，使得，且，∴数列必为1，3，5，7，5，7，9，11，…，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列， 故；②∵，即，∴，而数列为“坠点数列”且，数列中有且只有两个负项．假设存在正整数，使得，显然，且为奇数，而中各项均为奇数，∴必为偶数．．ⅰ．当时，，当时，，故不存在，使得成立．ⅱ．当时，，显然不存在，使得成立．ⅲ．当时，，当时，才存在，使得成立．所以．当时，，构造为1，3，1，3，5，7，9，…，为-1，2，4，8，-16，32，…，此时，所以的最大值为6．类型三 以分拆定义新数列典例5．记．对数列和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若，定义．例如：{}=1,3,66T 时，．现设是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）对任意正整数，若，求证：1T k S a +<；（3）设，求证：．【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析 【解析】试题解析：（1）由已知得．于是当{2,4}T =时，．又30r S =，故13030a =，即11a =． 所以数列{}n a 的通项公式为．（2）因为，， 所以．因此，1r k S a +<．（3）下面分三种情况证明． ①若D 是C 的子集，则． ②若C 是D 的子集，则．③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集． 令，则E φ≠，F φ≠，E F φ=I ．于是，，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥．设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则．由（2）知，1E k S a +<，于是，所以1l k -<，即l k ≤．又k l ≠，故1l k ≤-，从而，故，所以，即．综合①②③得，．【名师指点】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用．【举一反三】设数列A ：1a ，2a ，…N a (N ≥)．如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合． （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2，3，…，N ），则)(A G 的元素个数不小于N a -1a ．【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解析；（3）详见解析． 【解析】（2）因为存在n a 使得1a a n >，所以．记，则2≥m ，且对任意正整数．因此)(A G m ∈，从而∅≠)(A G ．（3）当1a a N ≤时，结论成立． 以下设1a a N >． 由（Ⅱ）知∅≠)(A G ． 设，记10=n ．则．对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记．如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何．从而)(A G m i ∈且1+=i i n m ．又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G ． 从而对任意n k n p ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤． 对．因此．所以．【精选名校模拟】1．【2019江苏镇江上学期期末】设数列是各项均为正数的等比数列，，．数列满足：对任意的正整数，都有．（1）分别求数列与的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足，试确定1b 的值，使得数列{}n b 为等差数列；（3）将数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的部分项按原来顺序构成新数列{}n c ，且15c =，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n c ．【答案】（1）（*n N ∈）（2）见解析（3）见解析【解析】（1）因为，所以，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为4的等差数列．所以，，又由题意，0n a >，所以（*n N ∈）．（2）由，得，故，即数列43n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1b ，公差为1的等差数列， 所以，，令2n =，3，得2145b b =+，．若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+，解得11b =． 当11b =时，，87n b n =-，{}n b 为等差数列．所以，当11b =时，数列{}n b 为等差数列． （3）2143nn a =-，*n N ∈，先证数列155n n c -=⨯满足题意，即证此数列中的任何一项都是数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的项． 令，则只需证*m N ∈即可．此时，，故*m N ∈．所以，此数列{}n c 中的第n 项是数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的第项．（也可以用数学归纳法证明53n+能被4整除，证明如下）① 当1n =时，538n+=，能被4整除；② 假设当n k =（*k N ∈）时结论成立，即53k +能被4整除，那么当1n k =+时，，因为53k +与12都能被4整除，所以153k ++也能被4整除， 即1n k =+时，结论也成立．由①、②知，当*n N ∈时，53n +能被4整除．因此，以5为首项，5，25，…，5k ，…为公比的无穷等比数列均满足题意，命题得证． 8．设数列的前n 项和为，数列满足：，且数列的前n 项和为．(1) 求的值；(2) 求证：数列是等比数列；(3) 抽去数列中的第1项，第4项，第7项，……，第3n -2项，……余下的项顺序不变，组成一个新数列，若的前n 项和为，求证：．【解析】(1)由题意得：；………………1分当n=1时，则有：解得：；当n=2时，则有：，即，解得：；………………2分(2)由①得：② ………………3分② - ①得：， 即：即：； ……………5分，由知：数列是以4为首项，2为公比的等比数列．…………………………………8分(3)由(2)知：，即……………………9分 当n≥2时，对n=1也成立，即(n…………………………………………………………．…10分数列为，它的奇数项组成以4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；…………………11分当n="2k-1"时，…………………14分当n=2k时，，，，．9．【2018上海黄浦区二模】定义：若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”．已知数列是数列的伴随数列，试解答下列问题：(1)若，，求数列的通项公式；(2)若，为常数，求证：数列是等差数列；(3)若，数列是等比数列，求的数值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】(1)根据题意，有．由，，得，，所以，．(2) ，，∴，，．∴，，∴数列是首项为、公差为的等差数列．(3) ，由，得．是等比数列，且，设公比为，则．∴当，即，与矛盾．因此，不成立．当，即，与矛盾．因此，不成立．，即数列是常数列，于是，()．．，数列也是等比数列，设公比为，有．可化为，．，关于的一元二次方程有且仅有两个非负实数根． 一方面，()是方程的根；另一方面，若，则无穷多个互不相等的都是该二次方程的根．这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！，即数列也是常数列，于是，，．由，得．把，代入解得． 10．【2018北京六区一模】数列n A ：满足：．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合，|k n ≤ k j S S >，．（Ⅰ）对数列5A ： 0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合，，证明：；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值． 【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1C +．【解析】（Ⅰ）因为00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =， 所以．（Ⅱ）由集合n E 的定义知1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ， 所以11i i k k S S +-≤． 又因为 11i k a +<，所以所以．（Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合，不妨设，则由（Ⅱ）可知，同理101k S S -<，且m n k S S ≤． 所以．因为n S C >，所以n E 的元素个数1m C ≥+．取常数数列n A ：，并令1n C =+，则，适合题意，且，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．11．【2019北京四中上学期期中考试】对于数列A ：a 1，a 2，a 3，…，定义A 的“差数列” A ：，…（I ）若数列A ：a 1，a 2，a 3，…的通项公式，写出A 的前3项；（II ）试给出一个数列A ：a 1，a 2，a 3，…，使得A 是等差数列；（III ）若数列A ：a 1，a 2，a 3，…的差数列的差数列 （A ）的所有项都等于1，且==0，求的值．【答案】（I ）1，2，4；（II ）数列A ：2，2，2，2，…；（III ）819 【解析】（I ）数列A ：2，3，5，9，数列A ：1，2，4 （II ）数列A ：2，2，2，2，… （III ）数列（A ）：1，1，1，1，…， 设数列A ：k ，k+1，k+2，k+3，… 则数列A ：a 2－a 1=k a 3－a 2=k+1 …以上叠加得，即则，则．12．【2019福建福州八县一中上学期期中考】定义为n 个正数的“均倒数”．已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）设数列的前n 项和为，若4<对一切恒成立试求实数m 的取值范围．（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列{}n a 为“()2P 数列”，22a =，设，证明： 3n T <．【答案】（1）．（2）见解析；（3）见解析．（3）因为数列{}n a 为“()2P 数列”，所以所以故有，，又n =1时，132a a =-，故33a =，满足： 321a a a =+ 所以对任意正整数n 恒成立，数列的前几项为：1，2，3，5，8，故所以，两式相减得：=，显然，故，即3n T <．。
2019年高考数学冲刺精品课-数列
数列的综合----数列与解析几何
数列的综合----整除分析
数列的综合----整除分析
数列的综合----整除分析
数列的综合----取值范围分析
数列的综合----取值范围分析
数列的综合----取值范围分析
数列的综合----奇偶分析
数列的综合----奇偶分析
数列的综合----新定义
数列的综合----新定义
常见题题型
考查数列的极 考查数列的性 考查数列的单
限
质
调性
考查数列的恒 考查数列的新 考查数列的取
成立
定义
整
考查数列与解 考查数列的应 考查数列与函
析几何的综合
用题
数的综合
重视对数列的极限（无穷等比 数列求和的极限、分式的极 限）、性质（求通项，求和， 证明，中项，）、单调性、恒 成立、新定义以及与函数、解 析几何等结合的考查。
通过对题目的分析我们发现： 1、无穷等比数列各项和和数列的极限几乎是填空的必考题 2、填选数列的综合相对比较难，需要从多角度进行分析求解 3、解答题第一小问常考数列求通项，包括求和和证明等差、等比数列 整体上看，都是在考纲的基础上进行的综合，所以了解考纲是基础，在考纲的基础上 深入剖析，会让自己更上一层楼，一模和春考也是如此，只要熟练掌握考纲要求的知 识点，相信大家会考到自己满意的分数
数列的综合----新定义
数列的综合----新定义
数列的综合----新定义
数列的综合----新定义
四、高三学生复习建议
• 等差等比的性质要熟记 • 数列常见求和求通项的方法 • 数列综合要遵循“剥洋葱”的法则，找到突破口进行求解 • 常见题型需要多做多复习多总结
数列的极限
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2019年高考专题：数列试题及答案
2019年高考专题：数列1.(2019年高考全国III 卷文数】己知各项均为正数的等比数列伉｝的前4项和为15,且％ =3%+4%,则为 = ( ) A. 16 B. 8 C・ 4 D. 2【解析】设正数的等比数列｛或的公比为q,则，2 3a \ +a l e / + a l (l +阳q/ = +4</)解得一：=4,故选c.0 = 22. [2019年高考全国I 卷文数】记&为等比数列0｝的前〃项和.若《=1，53=|,则玷・【解析】设等比数列的公比为0,由已知£ =%+"/ + “* =l + q + q ‘=：,即,广+q + ； = O.44解得g=-：,所以§=竺也=兰车2 — T583.【2019年高考全国III 卷文数】记乩为等差数列｛为｝的前〃项和，若明=5皿=13,则扁=«i =1 - e 10x9 , 5 . l°x9 - ec d 2，・・Sio = 10〃]+ —-—d = 10x1 + —-—x2 = 100.【解析】设等差数列｛外｝的公差为/根据题意可得=苗 + 2。
= 5 <«7 = % + 6J = 13 412019年高考江苏卷】已知数列吭｝(〃 e ND 是等差数列，&是其前刀项和.若，％ + % = 0, S, = 27 ,则g 的值是__________+纯=("i +〃)(《+44) + (% +7d) = O【解析】由题意可得:9x8d = 215M = 9q +2解得：:二;，则$8=阿+亍-"=-40+28x2=16.8x75.【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列｛《.｝中，％,印是方程F+24x+12=0的两根，则数列｛%｝的前11项和等于（）A.66B.132C.-66D.一32【解析】因为""4；是方程/+24x+12=0的两根，所以％+%=-24,又％+%=-24=2%,所以%=-12,Sn=l^^=¥=T32,故选D.6.【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学试题】在数列｛外｝中,=""+奇土？"隹则"顼9 的值为______.【解析】因为所以*一％=时=厂淼%23・..，5一％产顽一昴，各式相加'可得吼M=1一而'5一而=】一郝,所凶“2019=1，故答案为1.7.[2019北京市通州区三模数学试题】设｛《｝是等比数列,且“2%=的，％=27,则｛%｝的通项公式为【解析】设等比数列｛q｝的公比为。
【江苏专版】2019年高考数学备考优生百日闯关系列 新题原创强化训练02含解析
填空题1. 若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b )⊥(a －2b )，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是 . 【答案】217． 【解析】由(a ＋b )⊥(a －2b )，得(a ＋2b )·(a －2b )＝0，⇒|a |2－4|b |2＝0，则|a |＝2|b |， cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(a ＋b )·(a －b ) |a ＋b || a －b |＝a 2－b 2a 2+2a ·b +b 2 a 2－2a ·b +b 2＝3b 221b 2＝217．2. 已知函数f (x )＝e x -1－tx ，∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，则实数t 的取值范围 ． 【答案】(－∞，0)∪1，+∞)．3. 已知数列{a n }是一个等差数列，首项a 1＞0，公差d ≠0，且a 2、a 5、a 9依次成比数列，则使a 1＋a 2＋…＋a n ＞100a 1的最小正整数k 的值是 . 【答案】34．【解析】设数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1+d ，a 5＝a 1+4d ，a 9＝a 1+8d ．由a 2、a 5、a 9依次成比数列得 a 2 a 9＝a 52，即(a 1+d )(a 1+8d )＝(a 1+4d )2，化简上式得 a 1d ＝8d 2，又d ＞0，所以a 1＝8d ．a 1+a 2+…+a ka 1＝a 1k +k (k +1)2a 1＝k ＋k (k －1)16＞100，解得k min ＝34．4. 抛物线y 2＝2px (p ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有一个相同的焦点F 2(2，0)，而双曲线的另一个焦点F 1，抛物线和双曲线交于点B 、C ，若△BCF 1是直角三角形，则双曲线的离心率是 ． 【答案】2＋1．【解析】抛物线方程为y 2＝8x ，且a 2+b 2＝4，设B (x 0，y 0)、C (x 0，－y 0) (x 0＞0，y 0＞0)．则可知∠BF 1C 为直角，△BCF 1是等腰直角三角形，故y 0＝x 0+2，y 02＝8x 0，解得x 0＝2，y 0＝4，将其代入双曲线得 4a 2－16b2＝1．再由a 2+b 2＝4解得a ＝2 2－2，所以e ＝222－2＝2＋1．5. △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c6cos C，则cos A cos B cos C＝ ．【答案】110．【解析】由题意可设 tan A ＝2k ，tan B ＝3k ，tan C ＝6k ，k ＞0，而在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C＝tan A tan B tan C ，于是k ＝116，从而cos A cos B cos C ＝3 20×2 15×1 12＝110． 6. 已知函数f (x )＝2x 3+7x 2+6xx 2+4x ＋3，x ∈0,4］，则f (x )最大值是 ．【答案】12.二、解答题1. 椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，在椭圆C 上任取异于A 、B 的点P ，直线PA 、PB 分别与直线x =3交于点M ，N ，直线MB 与椭圆C 交于点Q ．(1)求FM →·FN →的值； (2)证明：A 、Q 、N 三点共线．【解析】（1）记点P (x 0，y 0)．则3x 02+4y 02＝12．由l PA ：y ＝(x ＋2)y 0x 0+2，得M (3，5y 0x 0+2)； 由l PA ：y ＝(x －2)×y 0x 0－2，得N (3，y 0x 0－2)，而F (1，0)得FM →·FN →＝(2，5y 0x 0+2)·(2，y 0x 0－2)＝4＋5y 02x 02－4＝4－154＝14．2. 已知数列{}n a 满足123n n a a n ++=-，n *∈N ．（1）若数列{}n a 为等差数列，求1a ；（2）设1(0)a a a =>，2n n *∀∈N ≥，，不等式22113n n n n a a a a ++++≥成立，求实数a 的最小值． 【解析】（1）设数列{}n a 公差为d ，则111123(1)2(2)n n n a a a n d a nd dn a d +-=+=+-++=+-对n *∀∈N 成立， 所以12223d a d =⎧⎨-=-⎩，，故1d =，11a =-．（2）由123n n a a n ++=-，知{(2)}n a n --为等比数列，公比1q =-，所以1(2)(1)(1)n n a n a ---=+-，故1(2)(1)(1)n n a n a -=-++-．① 当n 为不小于3的奇数时，由22113n n n n a a a a ++++≥，得22(1)(2)323n a n a n -++---≥，化简得22(3)2a a n +--+≥恒成立，所以22a a +≥，解得a ≥1． ② n 为不小于2的偶数时，同理有223(3)a a n +--≥恒成立， 因为0a >，显然恒成立．所以0a >．由①②得1a ≥，故a 的最小值为1． 3. 已知二次函数f (x )=ax2bx ，g (x )=a 2x2bx ．(1)若f (x )≥g (x )对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )有两个不同零点x 1，x 2；函数g (x )有两个不同零点x 3，x 4． (i)若x 3＜x 1＜x 4，试比较x 2，x 3，x 4的大小关系； (ii)若x 1=x 3＜x 2，m 、n 、p ∈1(,)x -∞，()()()()()()f m f n f pg n g p g m '''==，求证m =n =p ．。
第四关 以数列与函数、不等式以及其他知识相结合为背景的选择题-高考数学备考优生百日闯关系列(解析版)
压轴选择题第四关 以数列与函数、不等式以及其他知识相结合为背景的选择题【名师综述】数列与函数的交汇问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的交汇问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．类型一 数列与函数的结合典例1．已知数列{}n a ，()1n a f n =，其中()f n n 若{}n a 的前m 项和为10，则m =（ ）A ．15B ．20C ．30D ．40【来源】广东省汕头市金山中学2022届高三上学期期末数学试题 【答案】C 【解析】由题意，()f n n ()f n 中有2个1，4个2，6个3，8个4，，进而得到1236712111,...,,23a a a a a a ======== ，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意知，函数()f n n ()()121f f ==，()()()()34562f f f f ====，()()()()()()7891011123f f f f f f ======，，由此，()f n n 2个1，4个2，6个3，8个4，， 又{}n a 满足1()n a f n =，得：1236712111,...,,23a a a a a a ========，则12367122,...2,2,a a a a a a +=++=++= ，因为{}n a 的前m 项和为10，即5210m S =⨯=，所以m 是首项为2，公差为2的等差数列的前5项和，则54522302m ⨯=⨯+⨯=. 故选：C.【举一反三】已知数列{}n a 满足：101a <<，()1e 3e n n a a n a +=-，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 为递减数列B ．存在*N n ∈，便得0n a <C ．存在*N n ∈，便得2n a >D ．存在*N n ∈，便得43n a >【来源】浙江省绍兴市上虞区2021-2022学年高三上学期期末数学试题 【答案】D 【解析】由已知等式变形可得()1ln 3n n n a a a +=+-，构造函数()()ln 3f x x x =+-，其中03x <<，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出02n a <<，可判断BC 选项；利用数列的单调性可判断A 选项；计算出2a 、3a 的范围，可判断D 选项. 【详解】 因为()1e 3e n n a a n a +=-，则30n a ->，可得3n a <，由()1e3e n n a a n a +=-可得1e 3n n a a n a +-=-，则()1ln 3n n n a a a +--=，则()1ln 3n n n a a a +=+-，设函数()()ln 3f x x x =+-，其中03x <<，则()12133x f x x x -'=-=--. 当02x <<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，当23x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，所以，()()22f x f ≤=， 因为101a <<，则()()210,2a f a =∈，()()320,2a f a =∈，，以此类推可知，对任意的N n *∈，02n a <<，所以，()()1ln 3n n n n n a f a a a a +==+->， 故数列{}n a 为递增数列，A 错，B 错，C 错； 因为101a <<，则()211ln 3ln31a a a =+->>， ()32234ln 31ln 223a a a =+->+>>， 因此，存在*N n ∈，便得43n a >，D 对. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查与数列相关的单调性与范围问题的判断，根据数列的递推公式构造函数()()ln 3f x x x =+-，并利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性求得n a 的范围是解题的关键.类型二 数列与不等式的结合典例2．已知数列{}n a 的首项是11a =，前n 项和为n S ，且()1231n n S S n n N *+=++∈，设()2log 3n n c a =+，若存在常数k ，使不等式()()116n nc k n N n c *-≥∈+恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,36⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【来源】吉林省五校联考2021-2022学年高三上学期联合模拟考试数学（理科）试题 【答案】C 【解析】首先由数列通项与前n 项和的关系得到数列{}n a 的递推关系123n n a a +=+，再构造等比数列{}3n a +，求数列{}3n a +的通项公式，进一步求出数列{}n a 的通项公式，从而可求数列{}n c 通项公式，代入所求式子1(16)n n c n c -+，分子、分母同除以n 构造基本不等式即可求出1(16)n nc n c -+的最大值，从而求出k 的范围.【详解】由1231n n S S n +=++，则当2n ≥时，得123(1)1n n S S n -=+-+， 两式相减得123n n a a +=+，变形可得：132(3)n n a a ++=+，又134a +=，122123116a a S S +==+⨯+=，所以25a =，2132(3)a a +=+，∴数列{}3n a +是以4为首项、2为公比的等比数列，故113422n n n a -++=⨯=，所以2log (3)1n n c a n =+=+，所以2111116(16)(16)(1)17168172517n n c n n n c n n n n n n-===≤=++++++++，当且仅当4n =时等号成立，故125k ≥. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：构造等比数列{}3n a +求{}n a 的通项公式，即可得{}n c 通项公式，再由不等式恒成立，结合基本不等式求1(16)n nc n c -+的最值，即可求参数范围.【举一反三】已知数列{}n a 的前n 项和323nn S =⨯-，等比数列{}n b 满足()*1n n n b a b n +=-∈N ，若对于任意的实数[1,1]a ∈-，不等式21122n n b m am b ⎛⎫<⋅-- ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞【来源】河南省县级示范性高中2021-2022学年高三上学期9月尖子生对抗赛数学（文科）试题 【答案】D 【解析】先利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出132n n a -=⨯，进而求出12n n b -=，故题干条件转化为2230m am -->对于任意的实数[1,1]a ∈-恒成立，设2()23f a m am =--，利用一次函数的单调性得到(1)0f >且(1)0f ->，求出m 的取值范围. 【详解】因为323nn S =⨯-.当2n 时，132n n n n a S S -=-=⨯-()11332332n n ---⨯-=⨯，又当1n =时，113a S ==，所以132n n a -=⨯.设11n n b b q -=，则111132n n n b q b q --+=⨯，可得11b =，2q ，所以数列{}n b .的通项公式为12n n b -=，122n n b =，因此原不等式转化为211122m am -->，即2230m am -->对于任意的实数[1,1]a ∈-恒成立，设2()23f a m am =--，[1,1]a ∈-，可得(1)0f >且(1)0f ->，即有22230,230,m m m m ⎧-->⎨+->⎩，解得：实数m 的取值范围为(3)(3,)-∞-⋃+∞. 故选：D类型三 数列与其他知识的结合典例3．对正整数n ，设抛物线22(21)y n x =+，过点(2,0)n P n 任作直线n l 交抛物线于n A ，n B 两点，则数列2(1)n n OA OB n ⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和公式是（ ） A ．(1)n n -+ B ．(1)n n + C ．(1)2n n +-D ．(1)2n n + 【答案】A 【解析】设直线n l 的方程为2x ty n =+，11,()n n n A x y ，22,()n n B x y ，联立直线与抛物线的方程得22(21)4(21)0y n ty n n -+-+=，利用向量的数量积结合韦达定理求得22(1)n nOA OB n n ⋅=-+，利用等差数列求和公式即可得解.【详解】设过点(2,0)n P n 任作直线n l 的方程为2x ty n =+，设11,()n n n A x y ，22,()n n B x y ，联立222(21)x ty n y n x=+⎧⎨=+⎩，整理得22(21)4(21)0y n ty n n -+-+=，由韦达定理得：122(21)n n y y n t +=+，124(21)n n y y n n ⋅=-+ 则2212121212(1)2()4n n n n n n n n n n OA OB x x y y t y y nt y y n ⋅=+=++++22224(21)(1)4(21)444n n t n n t n n n =-+++++=--， 故24422(1)2(1)n n OA OB n nn n n ⋅--==-++， 故数列2(1)n n OA OB n ⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和(22)(1)2n n n n --=-+， 故选：A ． 【点睛】思路点睛：解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件；（2）强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【举一反三】已知数列{}n a 满足1i a =，1i i n n a a +=+，若513i 810k a =+，则正整数k 的值是（ ） A ．8B ．12C ．16D ．20【来源】浙江省宁波市镇海中学2021-2022学年高三上学期8月摸底测试数学试题 【答案】B 【解析】利用递推关系式计算数列各项的值，确定满足题意的k 值即可. 【详解】解：由题意结合递推关系式可得： 12341336i,1i,i,i 2255a a a a ==+=+=+， 567824313265353111i,i,i,i 3351041418585a a a a =+=+=+=+， 9101112111231771604801000513i i i i 1781781231237697680,91,,a a a a ++++====， 13141516208043293336931001208345918843i i i i 3329332953353316021602734868,1,,0a a a a ====++++，171819204195938918640686494094846372714473i i i i 67147221298335279150593727596511131,,,a a a a ===++++=. 故选：B.【精选名校模拟】1．设()f n ()*n n ∈N 的整数，如()()()()()11,21,324252f f f f f =====，，，若正整数m满足()()()()11114034123f f f f m ++++=，则m =（ ） A ．20162017⨯ B ．20172018⨯ C ．20182019⨯ D ．20192020⨯【答案】B【解析】设()f x j =，,*x j N ∈，n 是整数，则221124n n n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭不是整数，因此任意正整数的正的平方根不可能是1()2n n Z +∈形式， ∴1122j x j -<<+，221144j j x j j -+<<++，∵,*x j N ∈，∴221j j x j j -+≤≤+，故()f x j =时，2221,2,,x j j j j j j =-+-++共2j 个，设222111(1)(2)()p a f j j f j j f j j =+++-+-++，则22p ja j==，*p N ∈， 由题意()()()()11114034123f f f f m ++++=，403422017=⨯， ∴()()()()1111111111123(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f m f f f f f f ⎡⎤⎡⎤++++=+++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1114034(220171)(220172)()f m f m f m ⎡⎤+++=⎢⎥-⨯+-⨯+⎣⎦， 故()2017f m =，m 为方程()2017f x =的最大整数解， ∴22017201720172018m =+=⨯． 故选：B ．2．设*N k ∈，若数列{}n a 是无穷数列，且满足对任意实数k 不等式()()20n n ka a k --<恒成立，则下列选项正确的是（ ）A ．存在数列{}n a 为单调递增的等差数列B ．存在数列{}n a 为单调递增的等比数列C ．2122n a a na n n +++>-恒成立 D ．2122n a a na n n +++<+【来源】浙江省嘉兴市第五高级中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题 【答案】D【解析】因为()()20n n ka a k --<，*N k ∈，当1k =时，()()210n n a a --<，解得12n a <<。
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-- ----------- =b.+ 1 ，所以专题二压轴解答题第六关以新定义数列为背景的解答题【名师综述】解决新定义问题，首先考察对定义的理解•其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质•第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.类型一以数列和项与通项关系定义新数列典例1 .【2019江苏苏州上学期期末】定义：对于任意n ENT , G十耳+汀斗r 1仍为数列｛叫〕中的项，则称数列为回归数列(1)己知馮二『("EK')，判断数列他J是否为回归数列”，并说明理由；(2)若数列｛虬］为回归数列”，対=3,州=。
，且对于任意n GN，均有久€如+ ［成立.①求数列｛KJ的V+31*1-!■—— ------- =b t通项公式；②求所有的正整数s, t,使得等式成立.【答案】(1) S订不是回归数列”，说明见解析(2)①，②使得等式成立的所有的正整数s, 的值是s= 1, t= 3【解析】(1)假设“时是回归数列”，则对任意応补，总存在，使讣+件八Y「严心成立，即2n+4-2N-2-2" = 2i，即J-2lt = 2t，此时等式左边为奇数.右边为偶数，不成立，所以假设不成立,所以不是回归数列”.(2)①因为I®严虬十-所以叽+严町「_, 所以陶亠叽&见且％+虬7-此十严％ +广他—一亠)弋叽+ 2 ,又因为代为回归数列”，所以％ f +上-乩严叽+1，即％“ +厂呱+1，所以数列如|为等差数列. 又因为阿・3・b宀所以叽氓心■).②因为综合所述，使得等式成立的所有的正整数 s ，的值是s = 1，t = 3.n [[ 的连乘积U l-a 2'-a n 记为;=1，求r-il+x d 的值;- 1} + 1)因为 3s + s 2 -1 ，所以t<3，又因为tEW 亠，所以y 1, 2, 3:式整理为护=0,不成立,, …, 的和.(広旷)(2 )用闪表示不超过忙的最大整数，例如［2］ = 2 , ［M 4］二了，［ - L *〕=-?.若数列 阳 满足% =+叫+ ••■ + %记为匸i当，-i 时,当；-2时,式整理为，设，因为敬1-同+33"+ 1所以卜:」二时， ，所以s 无解当 时，Bl 式整理，因为即厂哼乩所以s = 1.典例2 .【2019上海静安区上学期期末】 将个数I, ，将个数，(3)设定义在正整数集 上的函数•满足：当否存在正整数，使得!?若存在，(m.€/V )时，代”5，问是求出•的值；若不存在，说明理由(已知"n(n + 1)(2+ 1) X j = ---- ------- ---------- (-1 6 ).【答案】(1) ; ( 2); (3)存在，且（2）由^i=^；卞出二玮+心、匚因为三-二? - a 」所儿-T*］： 叼1 孟尽・1201^ 口f 1 \ r i r 20a9 r- 1所儿看羔二伽'—（】 —融）=2°吩药？因为融2⑰加鹿韵二姒艮因此所求和的最后一项If 住fe 、定出现在1+2+3+- + 17=153项之后，且|遨;;」吃，共有—1口个，Yr z + （n- 1S3） X1S = 17U5+-2754 = 10n-9OT所以，〜,所以，加-xmi ：!彩，解得齐财£ni AO = zon所以存在正整数 n=166，使得 |^【名师指点】（1）准确转化，紧扣定义，区别已有概念；（2）恰当选取特例法、演绎法，结合性质求解；（3） 耐心读题，挖出隐含条件，分析与综合相结合.【举一反三】若数列a n 同时满足：①对于任意的正整数孔7十应族t 二‘口无对于任意的正整数n （n k ）恒成立，则称数列 a n 是R k 数列”加-2/为奇数（1）已知—：叭阿风 判断数列a n 是否为R2数列”并说明理由；（2 ）已知数列 b n 是“R 3数列”且存在整数p （p 1），使得b 3p 3 , b 3p1 , b 3p 1 ,b 3p 3成等差数列,证明： b n 是等差数列. 【答案】（1）是（2）见解析 【解析】【解析］（1）由竝4二=時+畑所以5召又话-二产，所汉，^s = f 1； ^4 心1T X T » /H ・1^£从而见十冃=（計立）+沪-（3）若存在正整数n ,则由已知£,m (3W 価fin，且 17«f< 2019 <2109 ,n , a a 1 a n 恒成立；②对于给定的正整数込士湮也=伽f z _ n (n + 1)(鮎 + 1) 乙卡 6_i«i(1) 当H 为奇数B 寸』% -£T n = 2(n+l)-(2f7-l) = 3 >0 ,所以口嗣乏口常 口“ + 口小—2(秤一 21-卜 2(旳+ 2) -1 = 2(2 丹一 1)=加亍肖卅为偶数时，务吐「比珂如7-3所以％G 务・口小 + ^ = 2(tt *2) +2W + 2)=4w =纽.所以，数列 a n 是R 2数列”. (2) 由题意可得••八："、」“匕 则数列D , b 4, b 7, 是等差数列，设其公差为 d i , 数列b 2, b 3, b 8, 是等差数列，设其公差为 d 2, 数列b 3, b 6, b 9, 是等差数列，设其公差为d 3.因为b nb n 1，所以「八:_ '：所以 血-^冋-為①，就2-如 分弋+岔②. 若d 2 d 1 0，则当n一b ^时，①不成立；d 2 d 1靳一区+& V] >------ : --- ------若d 2 d i 0，则当；时，②不成立；若d 2 d i 0，则①和②都成立，所以 d i d 2.同理得：d i d 3，所以d i d 2 d 3，记，- 设 •.- -'■--.• • ... . •.…则「「1--'-- 同理可得:产江八％""，所以■ I所以b n 是等差数列.所以外+科％茧鸟-起比M 為+衍+1)町?N =為尸1一爲严去=巧+（戸一1）核一|鸟+（并一2疋）二①一鸟+d 【另解】......... ■- : - ■' • -'-'-a二妇心一鸟护=鬲+讯一（玄+阳）=為一列^ ^ ?2以上三式相加可得： 3 2d，所以2d ,3所以：—「一■- - 一 ___為脏=虽+（甘-卜=屍+丸+（n-l）d =厉+1如_1）亍所以一一'］所以—I 所以，数列b n是等差数列.类型二以分段形式定义新数列典例3.【2019广东茂名一模】已知臥为数列〔％；的前灯项和，臥"碍眾（1）求数列IWJ的通项公式.b j%・，*込1（2）若“山即川n=2ti, k^M ,求数列也讣的前囱项和％2 2>j 7"=■ —+ ■ x 4儿十HE?+ n【答案】（1）叫='（2）1弓【解析】（1）由卜汗亠％；'斗① 得F—胡……②①-②得心"边一见j 7严"*由二*八2得阳1 ,*'■何J是以2为首项，公比为2的等比数列，z” = 2Tn =『鮎=〔久+垢4■尿+ •• + &饷_ J +（妇+力+垢+•••+妇J= (2-b23 + 25+-+22rt^) +(2+4 + 6+- + 2n)2x(—护)(2-1-2 町—2 2. t---- ---- 十' ————.=_ _4_x4N + n? + fl1-1 2 3 3 1码=匕口~】={ ［计便埶典例4 •已知数列a n满足•一记数列 @ 的前n项和为(1 )求证：数列b n为等比数列，并求其通项b n ；(2)求S n ；(3)问是否存在正整数n，使得-：-成立？说明理由.h =-2(-3V 專二2-丁一2卜巧：5 >b >3.【答案】(1) _(2) - (3)当n为偶数时，…- 详见解析【解析】因为脣1二旳“匸址沁+别2J?+1I =3a;w+ 6^i+ 3=31 s、一2冲一1)十石就十3 = 一3□蕊,即入］=一込i又%二还仝r所臥®匸一」I 一巧餐-? - 口:I ~ —口茁—— 1 r所从口U 十口Lt 二—2 打—1 ?当脱为奇數时，可nsr则凡=S2._}=4■(还+ 6叶一「…十［应計V十住却)=1 + (-3)+...... + (-2斤+1) n —-z-ir-2-W〕,2当池为偶数时，可令哙3衣，Q '占，亍(3 )假设存在正整数n，使得- '成立,因为所以只要2-(川+1)‘ >-2(-3/>2-w:-2(-3)H& , b n a2n ,都成立，(3)则乂=§挂-丐+1还+耳I +1对于②，当n 为奇数时，满足 -' -' '，不成立,w 3 亠2» — 1当n 为偶数时，满足1即+ 丄 r ■加+ 3 川亠一2 川一1一8/ — 12 科+ 16 _因为__： -_:-:- 即Cn 2 Cn ，且当n 2时,所以当n 为偶数时，②式成立，即当 n 为偶数时，-•''-成立.【名师指点】分段函数在数列中应用，既考察各段数列特性，又考查两者综合性质.的前项和分别为 .(1) 若数列都为递增数列，求数列｛応险｝的通项公式； (2)若数列卜卅满足：存在唯一的正整数 ，使得：『=-』，称数列为“坠点数列” ①若数列为“坠点数列”求片② 若数列S 订为“坠点数列”数列也I ：为“坠点数列”是否存在正整数 最大值；若不存在，说明理由.【解析】⑴［数列仇鄰为递増数列, 二由谨推式可得口 ::4 -T.%忙=E 1 N* *则数列血沛等差数列.数列血M 第二项起构成等比数列。
⑵①•••数列 满足：存在唯一的正整数 k=5，使得 ，且•••数列 必为1, 3, 5, 7, 5, 7, 9, 11,…，即前4项为首项为1,公差为2的等差数列，从第 5项开始为首项5，公差为2的等差数列,二｛ n n 埜4；\n z - 4rt + 1 fi ；②帖厂即叽门=±助，•••，而数列MJ 为“坠点数列”且■>! =- 1，数列九］中有且只有两个负项•假设存在正整数 ，使得矗"H ，显然莎□，且 为奇数，而|：；耳』中各项均为奇数，•网I必为偶数.| - . - -，- I |- I即只要满足①：n 2 2，和②：，对于①只要n 2就可以;4-2M —1n，令【举一反三】已知两个无穷数列|仙丄少爲分另U 满足,其中^6/Vt ,设数列若存在，求討的f _ 1F J? = 1 【答案】(1)厂严.(2)①=( 斗，②6.i. 当?>m时，+21+ f™ ・=当时，|轡7：：-：-池壬1词，故不存在厠，使得»•,.=「..成立.ii. 当环二国时，几产■ 2 21 +•卄严□严一' 二-H v 0，显然不存在|rn,使得几-严『“成立.iii. 当\q<m时，皆，当2" <3£(/n41)3时，才存在叫使得九+ i= ll成立•所以|m < 6 .当臥=心时，寸Vh,构造七也为1, 3, 1, 3, 5, 7, 9,…，側』为-1, 2, 4, 8, -16, 32,…，此时：：二认二行，所以岡的最大值为6.类型三以分拆定义新数列典例5.记；-….：.对数列:-：-'和U的子集T，若T ，定义Sr 0 ;若■■■ ^ :，定义-：-…--- .例如：T= 1,3,66时，片=码+ 4+口幺.现设阿｝(心产) 是公比为3的等比数列，且当T= 2,4时，S T =30 .(1)求数列an的通项公式；(2)对任意正整数i：l_ ：_工〔「，若-…，，求证：Sr 3k 1 ；(3 )设—■- . 1 -二，求证二二:n 1【答案】(1) a n 3 (2)详见解析(3)详见解析【解析】试题分析=ci ）根据以吋走儿 列出等量关系^=^+^=3^427^=3^,解出育顼坷=1,根据等 比数列通项公式頁出通项公式（2）数列不等式证明，一般是収算代伍而非特殊數列一般需穩优到特姝数 列，便于束和，本题根1S 子集关系,先进行放缩为一个等比数列耳£坷+%+…+色三1 + 34■…+扌4, 再利用等比数列求不临式得S r <l （3；;-l ）<3i（3）利用等比数列#山项的大小关系，确定所定义和的大 小关系：i£^ = C c （Cn^B=C D （CnD ）.贝扁CIB M旦因此也导S 严sab 因此A[JB 中最大项必 在A 中，由（2）斜SQ2斗n 斗-S 心2 2©匕一占于』=>头-S“盍空"<2）为 ⑶ 搭好台阶」只不 过比较隐晦，需明晰茸含艮试题解析：（1）由已知得•—_'.又 S r 30，故 30a i 30，即 &1 .所以数列｛a n ｝的通项公式为（2）因为『匚42L 闪，冷=3心》0/「入」，=1-3+1 +3i_1 =-(3A -1)<3所以- 因此，S r a k 1.（3 ）下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则- ---'----②若C 是D 的子集，则-- - -■ ' ■-③ 若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.是,：S:r ，进而由 S c S D ，得 S ES F .十 A 11 ? A 1 Jr st /设k 是E 中的最大数，丨为F 中的最大数，则 --；•——一{2,4}时,S r = 口； H ■□斗二 3口] + 2?斫=30(7]令 E = C\ C r D F = Dl C r C则E , F , El F由（2）知，s Eak 1 ,是' --，所以丨1 k ,即Ik .又k l ，故丨k 1 ,<a+^+L 十虚三1 + 3+L=二^三巴二乞亠匚从而---,故 S £ > 1S F +1，所以 ~^cm- - S □左｝ +1 ,即.-'--，「-^综合①②③得【名师指点】本题 三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式 求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性 质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.【举一反三】设数列A : a ,, a 2，…a N (N ) •如果对小于n(2 n N )的每个正整数k 都有a k < a n , 则称n 是数列A 的一个“ G 时刻” •记 G(A)是数列A 的所有“ G 时刻”组成的集合. (1) 对数列A : -2, 2, -1, 1, 3,写出G(A)的所有元素； (2) 证明：若数列A 中存在a n 使得a n > a 1，则G(A) ；(3) 证明：若数列 A 满足a n -a n1 <1( n=2, 3,…，N )，则G(A)的元素个数不小于 a N -a 1 • 【答案】(1) G(A)的元素为2和5 ; (2)详见解析；(3)详见解析. 【解析】试題分析；⑴ 关键是理解G 时刻的定儿 根据罡义即可写出GU)的所有元素, ⑵ 姜证印证GU)中含有一^素即可F⑶ *• 3］时.,结论成立•只要证明当乐、氐时仍然成立即可. 试题IK 析：(1) 0旳的元素为［和「(2)因为存在a n 使得a n a 1，所以… 口2，且对任意正整数因此m G(A)，从而G(A)m =min 记{? e>a,}(3)当a N a i时，结论成立.以下设a N a1 .由(n)知G(A)设「八•「，记n01对i 0,1, , p，记」如果G i ，取m i minG i，则对任何从而m i G( A)且m i m 1 .又因为n p是G(A)中的最大元素，所以G p从而对任意n p k n, a k a n，特别地，a N a np p对一(丄：—J —a、十—相+1因此…-S 一匈壬叭-^1 = 2(^ 一口％)- F 所以【精选名校模拟】1 .【2019江苏镇江上学期期末】设数列'是各项均为正数的等比数列, 严2,叭"4.数列如满足: 对任意的正整数，都有(1)分别求数列与的通项公式;(2)设数列与丄二冬一16/-8丹一孑b n的前n项和为S n ,且满足，试确定t h的值，使得数列b n为等差数列;(3)将数列2 中的部分项按原来顺序构成新数列c n，且c1 5 ,a n求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列c.（也可以用数学归纳法证明 5n 3能被4整除，证明如下）① 当n 1时，5n 3 8，能被4整除；② 假设当n k （ k N * ）时结论成立，即 5k 3能被4整除,【解析】（1）因为列.所以,(2) 号.三子十16/-8丹-3由％」 亘—亠=1故 •--,即数列所以, RET 令若b n当b 1 1 1 , --- 1，所以 -，所以数列-2是首项为1,公差为a n_ 1又由题意，a n 0，所以 ■- "：（ n N *）.得（伽-』）耳^ =（伽+1）几+（伽-巧（4亦1）Sr 是首项为b 1，公差为n 2 , 3，得 b 2 4b 1 5 ,为等差数列，则2b 2 d b 3，解得d 1 .1时, 耳=一liH■ * , b n 8n 7 , b n 为等差数列.4的等差数所以，当b 11时，数列b n 为等差数列.1的等差数列,b 3 = +13(3) 2a nn 14n 3, n N ,先证数列C n 5 5 满足题意,即证此数列中的任何一项都是数列的项.令［ ' …-，则只需证m N *即可.W =—=k2_ +]=ri +5+5:-L -s^j+l此时，^--，故mN *.所以，此数列 C n 中的第n 项是数列4中的第「一： 一项.a n【答案】（1）n N ） （2）见解析（3）见解析前‘「 . 5^+3 = 5|5;那么当n k 1时，，因为5k 3与12都能被4整除，所以5k 1 3也能被4整除,即n k 1时，结论也成立.由①、②知，当n N *时，5n 3能被4整除.因此，以5为首项，5，52，…，5k ,…为公比的无穷等比数列均满足题意，命题得证. 8 •设数列血」的前n 项和为%数列如满足：虬二叫.，且数列如的前n 项和为览皿5訴 （1） 求幻+旳的值；（2） 求证：数列 是等比数列；⑶ 抽去数列 中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，……余下的项顺序不变，组成一个新数12 *J 11,< <列d ,若心;的前n 项和为山，求证：" G 3 •［解析】（1）由题意得：叭+2畑斗g 旳+……+押比严（卩-】用严知； ............. i 分 当n=1时，则有：咕严.解得：旳"；当n =2时，则有：林+加卢（2- 1）菽十4,即p +処二（2 +巾「+1，解得：勺=4；⑵由 + 2仙』+ 2旳+ -“…■ +5 +丨）^+ 1 ■艸二十!十盘皑十1）② ② _ ①得：；I •' ： '!：即:几 + i + 2 =迟片 + 可，由 ^-1-2=^+ 2 = 4*0 知:数列 是以4为首项，2为公比的等比数列.①得:即:(3)由(2) 知: ，即S n =4^n '1 -2AH + 1当n 》2时,aH（"■zm 对n=1也成立,即山=n （用"） .............................................. .…10分数列 为-,它的奇数项组成以 4为首项、公比为8的等比数列；偶数项组成 以8为首项、公比为8的等比数列； ................................................ 11分 当 n=”2k -1” Q 用 J 时,当n=2k 时,平 . «JI R n vit > 6 d n > °・略■十 1 = i * 丁 并怎 N t9 .【2018上海黄浦区二模】定义：若数列〔°」和;％满足伍4■心贝y 称数列 是数列 的伴随数列” 已知数列 •是数列的伴随数列，试解答下列问题：（1）若叫=%（”风），打=比求数列丽的通项公式人；仏产14瓠WNJ 勺 tty⑵若即，旳为常数，求证：数列帆门是等差数列;虬 虬+产Q 匸0用W ）『⑶若 ”，数列是等比数列，求 叫"】的数值.L二农* 【答案】（1）; （2）证明见解析；（3）i 总尸..(为 + fgd- -b - +<2t- 1)+ (c 2 +«<+ ■" * 咯-j) =(2Z + 25 + — + 23t _4(1 -8^) 12一 1 — — * S ■- -^-sr )+(?+2e + -+23^= ------------- k — ------- 1-0 1-B 「〒 S 12 审丘12+ l = r rt 4 r n + ] = ^ pR = y 8^ ~ y~<m 12-^^ 12 12 S4 Ld “ “ 12 T n + t =—■―5——--=r4- , V5^-13>28 .-.— <—-<3•H 5用・12 55(5-8 ・ 12) 5 T n1舒1-fll-fi 7 7?r—T~ n + 1 ~ a +匚“ 12 *> =y 才- 芟+ 2埶+； 7,401几十1 40-8 *-I2_ 107 V 卅■"T~■ n12・8*-12 3 3(泸-1)F4(1 - 6^) 12 护 12!?"EmEAq ,数列|血I 也是等比数列，设公比为 他＞0）|,有J +% 十（+•叫产〒=r=k凹■严昭】可化为 艸⑷■：沪-餉上才+出州-0 = 0（1冏匸市-I)二0” 加曲 H (L af(aj- 1) >0f A= 4a{i>J(2-口令 訓【解析】（1）根据题意，有p=二忆叭二枷二渥灯丁捫，所以(2)、公差为的等差数列.rn⑶= ^\n€M -).^>0. ^>0. 口 叭+虬・ rr€N城+此，得 1fl Ji + 1 -，设公比为 ， + s，与矛盾.因此， 不成立.u T 〔］ 即矛盾.因此，不成立.齐 ||r = 1曰是an=a l J 1 <«1 < 肿,HEN ,•••数列 I 阪L11 +当 •••当 ，即，即数列卜％'：是常数列，于与15”周关于的一元二次方程 昨於-Jd-沁辱城■小皿有且仅有两个非负实数根. 一方面，q"EN J 是方程处同・lX-2哄声+时gf-n 的根；另一方面， 若川：.〉⑴，则无穷多个互不相等的 都是该二次方程的根.这与该二次方程有 且仅有两个非负实数根矛盾!1-^ = 1,即数列氏;也是常数列，于是，叽=打,，得10.【2018北京六区一模】数列A n :• ■ ■满足：…八•记A n 的前k 项 和为S k ，并规定S o 0 •定义集合. -,k n |S k S j ,「 …亠：■-1(I)对数列 A : 0.3, 0.7 , 0.1 , 0.9 , 0.1，求集合 E s ;（n ）若集合E^ = ｛饥赵丄 化｝ （^>1，朽 <片产L 叭），证明:【答案】（I ） - _• （n ）见解析；（川）C 1 •【解析】(I)因为 S 0 0 , S 10.3 , S 20.4, S 3 0.3,S 4 1.2 , S 5 1.3,所以==•（n ）由集合E n 的定义知S k i1 S k ,且k i 1是使得S k S k i 成立的最小的k ,所以 Sk ’ 1Sk i .又因为a k 11,所以J :爲:严（川）因为S n S 0，所以E n 非空.GN，代入£i… + b n比+时解得（川）给定正整数 C •对所有满足S nC 的数列A n ,求集合E n 的元素个数的最小值.Sg-Q <1 li=U ：L E-l ］；;设集合E ｛电出丄，不妨设也uL丈札，则由(n)可知' ' ' - …,同理S k i S o 1，且S n S k m .所以- -- -- - -.- --<04-1+1 -hL +1 +1 = w-；J因为S n C，所以E n的元素个数m C 1 •,C+1)取常数数列A n : - ，并令n C 1,£(c+l)‘U+2QT 厂S甲二---- = ------------ > C则1】-■- ，适合题意，且「d—L丄一匕，其元素个数恰为C 1 •综上，E n的元素个数的最小值为C 1 •11 •【2019北京四中上学期期中考试】对于数列 A : a1, a2 , a3，…，定义A的差数列”也A : 叫"叫.灯3一叫・°L旳…?斗n 1.(I)若数列A : a1, a2, a3,…的通项公式°,[=2* ,写出入A的前3项；(II)试给出一个数列A: a1, a2, a3,…，使得側A是等差数列；(III )若数列A : a1, a2, a3,…的差数列的差数列A(S )的所有项都等于1,且旳。