欧式空间习题
欧氏空间习题
第八章 欧氏空间练习题一、填空题1．设V 是一个欧氏空间， V ξ∈，若对任意V η∈都有(,)0ξη=，则ξ＝_________．2．在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝____ _____， α＝_________．3．在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη 下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝_________，ξ＝_________．4．已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________． 5.σ为欧氏空间V 的线性变换，则σ为正交变换当且仅当 ；σ为对称变换当且仅当 ． 二、判断题1．在实线性空间2R 中，对于向量1212(,),(,)x x y y αβ==，定义1122(,)(1)x y x y αβ=++，那么2R 构成欧氏空间。
( )2．在n 维实线性空间nR 中，对于向量1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ== ，定义11(,)a b αβ=，则n R 构成欧氏空间。
( )3．12,,,n εεε 是n 维欧氏空间V 的一组基，1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y 与分别是V 中的向量,αβ在这组基下的坐标，则1122(,)n n x y x y x y αβ=+++ 。
( )4．设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
( )5．设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。
( )6．若,στ都是欧氏空间V 的对称变换，则στ也是对称变换。
( )7．正交向量组必线性无关．8．实数与对称变换之积必是对称变换．三、证明题1．设A ，B 为同级正交矩阵，且A B =-，证明：0A B +=．2．奇数维欧式空间中的旋转变换必有特征值13.第二类正交变换一定有特征值-1四.计算题1、对于齐次线性方程组12341234123412340205033250x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ （1） 求该齐次线性方程组解空间W 的一个标准正交基。
第九章 欧氏空间习题
第九章欧氏空间习题一、填空题1．设V 是一个欧氏空间，V ξ∈，若对任意V η∈，都有(,)0ξη=，则______ξ=。
2．在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)____i ξη=，||____ξ=。
3．若33()ij A a ⨯=是一个正交矩阵，则方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解为 。
4.已知三维欧式空间V 中有一组基123(,,)a a a ，其度量矩阵为110120003A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则向量12323βααα=+-的长度为 。
5.设2中的内积为(,)'A αβαβ=，2112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在此内积之下的度量矩阵为 。
6．设1(0,1,1)α=-，2(2,1,2)α=-，12k βαα=+，若β与2α正交，则k = 。
7．若欧氏空间V 在某组基下的度量矩阵为200031011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，某向量在此组基下的坐标为(1,1,1),则它的长度为 ，在此基下向量(1,1,1)与向量(1,1,1)-的夹角为 。
8．在欧氏空间中，若,αβ线性相关，且2,3αβ==，则(,)αβ 。
9．11010002A k k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是度量阵，则k 必须满足条件______________。
10．线性空间在不同基下的过渡阵、线性变换在某组基下的矩阵、欧氏空间的度量阵这三类矩阵中，可以为退化阵的是 。
11. 在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ=___________， α=___________。
12. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________。
13. 已知A 是一个正交矩阵，那么1A -=__________，2A ＝__________。
欧几里得空间
第九章-欧几里得空间复习题一、判断题1、欧氏空间中两两正交的向量组是线性无关的.2、欧氏空间中保持向量夹角不变的线性变换一定是正交变换.3、两个正交矩阵的乘积一定是正交矩阵.4、n 维欧氏空间n R 的恒等变换，既是正交变换，也是对称变换.5、有限维欧氏空间不同的基的度量矩阵是合同的.6、欧氏空间中保持向量长度不变的变换必是正交变换.7、任意一个(1)n n ≥维欧氏空间都存在标准正交基.8、n 维欧氏空间V 的正交变换在V 的任一组基下的矩阵必是正交矩阵.9、设V 为欧氏空间，βαβα⊥∈,,V ，则222βαβα+=+.10、设V 为有限维欧氏空间，是V 上对称线性变换，1V 为的不变子空间，则⊥1V 也为的不变子空间.11、设1V ，2V 是欧氏空间V 的两个正交子空间，则{}021=V V .12、实对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交.13.欧氏空间是定义了内积的线性空间.14.若实对称矩阵A 的特征值全不等于零，则A 必正定.15.若A 是实对称矩阵，则必存在正交矩阵P ，使B =P -1AP =P T AP 为以A 的特征值为对角元的对角矩阵.16.n 阶矩阵A 是正交矩阵的充要条件是||=1A .17.欧氏空间中的正交变换是保持向量内积不变的线性变换.18.与任意向量都正交的向量不一定是零向量.19.同构的两个欧氏空间具有相同的维数.20.对n 维欧氏空间V 中任意两个向量α，β，必有|(α,β)|≤|α|⋅|β|.21.任一n 维欧氏空间V 与R n 同构.22.n 维欧氏空间V 中一定存在某组基的度量矩阵是非正定的.23.设n 维欧氏空间V 的一组基的度量矩阵为A,则在这组基下向量的内积由A 完全确定.24.同一个线性空间对于不同内积构成不同欧氏空间.25.n 维欧氏空间V 中向量α与β正交当且仅当α与β的夹角为π/2.26.设V 为有限维欧氏空间,则V 中任意两个向量在标准正交基下的内积等于它们的对应分量的乘积之和.27.欧氏空间V 的正交变换是V 到自身的同构映射.28.对称变换在标准正交基下的矩阵一定是实对称矩阵.29.实对称矩阵A 的正、负惯性指数分别为正、负特征值的个数.30.任意n 元实二次型都可经过正交线性替换化为标准形.二、选择题1、设21,V V 是欧氏空间V 的两个子空间，则下列推断正确的是.A 、11)(V V =⊥⊥；B 、⊥⊥⊥=)(2121V V V V ；C 、121)(V V V =+⊥⊥⊥+2V ；D 、若21V V ⊂，则⊥⊥⊂21V V .2、设A 是一个n 级实对称矩阵，则下列结论正确的有.A 、A 的特征根都大于零；B 、A 的特征向量都正交；C 、A 一定有n 个不同的特征值；D 、一定存在正交矩阵T ，使AT T '为对角矩阵.3、设A 是n 级实对称矩阵，则下列结论正确是.A 、A 的特征值都是实数；B 、A 的特征向量都正交；C 、A 必有n 个不同的特征值；D 、A 的特征值必不为0.4、设{}R b a b a V ∈=,),(，V b b a a ∈==),(),,(2121βα，则下列定义的内积中使V 为欧氏空间.A 、1221),(b a b a +=βα；B 、1),(2211++=b a b a βα；C 、2211),(b a b a -=βα；D 、221153),(b a b a +=βα.5、设是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则是正交变换的充分必要条件是.A 、在任一组基下的矩阵是正交矩阵；B 、保持V 中元素的正交关系，即⇒⊥∈∀βαβα,,V ⊥αβ；C 、保持V 中的非零元素的夹角不变，即>=<<∈∀βαβα,,,V ,α>β；D 、如果n εεε,,,21 是标准正交基，那么,1ε,,2 εn ε也是标准正交基.6、)1(≥n n 维欧氏空间的标准正交基.A 、不存在；B 、存在不唯一；C 、存在且唯一；D 、不一定存在.7.设V 是n 维欧氏空间，则对V 的同一内积而言，不同基的度量矩阵之间的关系是.A 、等价；B 、相似；C 、合同；D 、以上说法都不对.8.以下关于正交变换说法错误的是.A 、正交变换保持n 维欧氏空间中的标准正交基不变；B 、正交变换保持向量间的距离不变；C 、正交变换在标准正交基下的矩阵为正交矩阵；D 、正交变换的逆变换不一定是正交变换.9.下列关于欧氏空间同构的说法正确的是.A 、设V ，V′都是n 维欧氏空间，则V 与V′同构；B 、数乘变换是欧氏空间V 到自身的同构映射；C 、若是线性空间V 到V′的同构映射，则也是欧氏空间V 到V′的同构映射；D 、若是欧氏空间V 到V′的一个映射，且保持线性运算，则是V 到V′的同构映射.10.设V 是n 维欧氏空间，则下列关于V 的标准正交基的说法错误的是.A 、标准正交基的度量矩阵是单位矩阵；B 、任意两组标准正交基之间的过渡矩阵是单位矩阵；C 、若ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，A 是正交矩阵，若(η1，η2，…，ηn)=(ε1，ε2，…εn)A ，则η1，η2，…，ηn 也是V 的一组标准正交基；D 、V 的标准正交基与它的任意一组基等价.11.设V 是n 维欧氏空间，α1，α2，…，αm 是V 中的正交向量组，则m 和n 满足.A 、m<n ；B 、m=n ；C 、m ≥n ；D 、m ≤n.12.若A,B 是正交矩阵，下列说法中错误的是.A.T A A =-1； B.11或－=A ；C.AB 不是正交阵； D.A 的列向量都是单位向量，且两两正交．13．设A 是n 阶正交阵，①1-A 也是正交阵；②1-=A ；③A 的列向量都是单位向量且两两正交；④A 的行向量组都是单位向量且两两正交.则以上说法正确的有.A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．三、综合题1.在R 4中求一单位向量与()()()3,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1---正交。
欧式空间练习题
欧式空间练习题欧式空间（Euclidean space）是指以欧几里德几何学为基础的一种空间，其中包含了平面和三维空间。
在欧式空间中，我们可以进行各种几何运算和推理，探索数学中的各种定理和性质。
为了加深对欧式空间的理解和应用，以下将给出一些欧式空间的练习题，并解答相关问题。
题目一：平面上两点坐标求距离已知平面上两点坐标分别为A（2，3）和B（-1，5），求AB两点之间的距离。
解答一：根据两点之间的距离公式，我们可以得出AB两点之间的距离为：d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)其中，(x₁, y₁)表示A点坐标，(x₂, y₂)表示B点坐标。
代入A（2，3）和B（-1，5）的坐标，计算得：d = √((-1-2)² + (5-3)²)= √((-3)² + 2²)= √(9 + 4)= √13所以，AB两点之间的距离为√13。
题目二：三维空间两点坐标求距离已知三维空间中，点A坐标为（1，2，3），点B坐标为（4，5，6），求AB两点之间的距离。
解答二：同样利用两点之间的距离公式，在三维空间中计算AB两点之间的距离：d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)代入A（1，2，3）和B（4，5，6）的坐标，得：d = √((4-1)² + (5-2)² + (6-3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27= 3√3所以，AB两点之间的距离为3√3。
题目三：欧式空间的垂直关系判断已知平面上的三个点A（1，2），B（-2，4），C（3，6），判断AB和AC两条线段是否垂直。
解答三：两条线段AB和AC垂直的条件是它们的斜率互为负倒数，即斜率乘积为-1。
我们可以分别计算AB和AC的斜率，然后判断其乘积是否为-1。
欧氏空间习题
2 cos , 2 18 36
( , ) 1 1 2 2 2 2 3 3 18 ( , ) 3 3 1 1 5 5 3 3 36
18
所以 ,
4
3. d ( , ) 通常为 , 的距离,证明:
的度量矩阵; 3)具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基 不等式.
n ( , ) 解 1)易见 是 R 上的一个二元实函数,且
(1) ( , ) ( ) ( , ) (2) (k , ) (k ) k ( ) k ( , ) (3) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) aij xi y j
0 V1 V2
于是 ，所以 V1 , V1 . 同理可证 V2 从而 V1 V2，故
V1 V2 V1 V2
其次，任取 V1 V2，那么 V1 .且 V2 , 即 V1 , V2 , 任取 V1 V2，则
( ,) (k1 k 2 2 k n n ,) k1
所以, 2(, ) k1 k 2 2 k n n 。即证.
9.设 是欧氏空间V的一个变换 , 证明: 如果保持内积不变 ,
即对于 , V , 有
, ,
1 (4 4 1) 1 9
, 2 3 , 3
同理可得 2 , 2 3 , 3 1
即证
1 , 2 , 3
也是三维欧氏空间中的一组标准正交基.
高等代数欧式空间单元测验
() （） (）
() ()
6、如果 是对称变换，那么 的不变子空间W 的正交补W 也是 的不变子空间
()
7、两个 n 阶实对称矩阵相似的充分必要条件是它们的特征值相同.
()
8、在 R3 中, 对于 (x1, y1, z1) , (x2, y2, z2 ) , (, ) x1x2 2 y1y2 是一个内积.
a
3、设
A
b
3 7
c
d
2
7
是正交阵，则
a
=___________,
e
=______________.
3
2
e
7 7
1 1 0
4、已知三维欧氏空间中有一组基
1
,
2
，
3
，其度量矩阵为
A
1
2
0 ，向量 21 32 3 ，
3. 设 1, 2, 3
是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：
1
1 3
21
2 2
3
,
2
1 3
21
2
23 ,
3
1 3
1
2 2
2 3
也是一组标准正交基.
4 设 n 阶实对称矩阵的秩为 2，1 2 6 是 A 的二重特征值，若1 (1,1,0)T ,2 (2,1,1)T ,3 (1,2,3)T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量，
山东理工大学<<高等代数>>欧式空间单元试卷纸
高等代数习题-欧式空间
i = 1,2,L , n − 1 ．证明： β1 , β2 线性相关．
证：由 < α i , β j >= 0, i = 1,2,L , n − 1, j = 1,2 可知 β1 , β2 ∈ ( L(α1 ,α 2 ,L ,α n −1 )) ⊥ ． 因为 dim( L(α1 ,α 2 ,L ,α n −1 )) ⊥ = 1 ，所以 β1 , β2 线性相关． 例 ７． 设V1 ， V2 是 n 维欧式空间 V 的两个子空间，且 dim V1 < dimV2 ． 证明： 在 V2 中存在非零向量与 V1 中每个向量都正交．
⊥ 证明： 因为 V = V 所以 dim V1 + dim V1⊥ = dimV = n ， 已知 dim V1 < dimV2 ， 1⊕V 1 ，
故 dim V2 + dim V1⊥ > n ． 由维数公式，有
⊥ dim(V2 ∩ V1⊥ ) = dim V2 + dim V1⊥ − dim(V2 + V1⊥ ) ≥ dim V2 + dim V 1 − dim V > 0 ，
1 1 −1 1 A = 1 −1 −1 1 2 1 1 3
则 R4 中向量 ξ = ( x1 , x2 , x3 , x4 )T 与 (1,1, −1,1)T , (1, −1, −1,1)T , (2,1,1,3) T 都正交的充分 必要条件是 Aξ = 0 ． 解 得 ξ = k (4,0,1, −3) T ， k ∈ R ，单位化后的所求向量为 ± 1 (4,0,1, −3)T ． 26 例 ３ ．设α1 , α 2 , L , α n 是欧式空间 V 的一个基，证明： （１）若对于 V 中任意向 量 γ ，都有 < γ , α i >= 0 ， i = 1,2,L , n ，那么 γ = 0 ； （２）若对于 V 中任一向量 α ， < γ 1, α >=< γ 2 ,α > ， γ1 , γ 2 ∈ V ，那么 γ1 = γ 2 ． 证明： （１）因为 α1 , α 2 , L , α n 是欧式空间 V 的一个基，任一 α ∈V ，都可由
欧几里得空间习题
2)因为 A 正定，所以存在可逆矩阵 C 使 A CEC CC, 由1）知 C QT , 故 A T QQT T T
9.证明：正交矩阵旳实特征值为±1. 证：设 A为正交矩阵， 为 A 旳实特征值，
即 A , 取共轭转置得 A , 再右乘 A 有 AA 2 , 利用 AA E 得 2 , 因为 0, 所以 2 1,
i1 j1
nn
nn
aij xi x j ,
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
故柯西—布涅科夫斯基不等式为
nn
nn
nn
aij xi yj
aij xi x j
aij yi y j
i1 j1
i1 j1
i1 j1
2. 设 1,2, ,n 是欧式空间旳一组基，证明： 1）假如 V 使 ( ,i ) 0(i 1, 2, , n), 那么 0 2）假如 1, 2 V 使对任一 V 有 (1, ) ( 2, )
A (1,2, ,n ) QT 若还有Q1,T1,使 A Q1T1 是 A 旳另一种分解，则 Q1T1 QT , 于是 Q11Q T1T 1 因为Q1,Q 为正交阵, 所以 Q11Q 也是正交阵, 从而 T1T 1 也是正交阵, 另一方面, T1T 1是上三角阵, 由7题知 T1T 1 是主对角线上元素为1或-1旳对角阵, 而 T1,T 旳主对角线元素为正，故 T1T 1 E 即 T1 T , 从而 Q1 Q.
3) 详细写出这个空间中旳柯西—布涅科夫斯基 不等式.
解：1)
(a).(, ) A A ( , )
(b).(k, ) (k ) A k( A ) k(, )
(c).( , ) ( ) A A A (, ) ( , )
习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)
当且仅当 与 线性相关时，等号成立. 2. 标准正交基
定义 6 称欧氏空间 V 中一组两两正交的非零向量组1,2 , ,m 为一个正交向量组. 定义 7 设1,2,L ,n 是 n 维欧氏空间 V 中的一组基，若它们两两正交，则称 1,2,L ,n 为 V 的一组正交基；若正交基中的向量1,2,L ,n 都为单位向量，则称为标
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
故○1 成立，且
V =S (S )
故S和(S)是同一子空间S的正交补，由正交补的唯一性，即证 ○2 .
4.设 是欧式空间V的线性变换，设 是V的一个变换，且, V ,都有(( ), )=(,( )). 证明：
(1) 是V的线性变换 (2)的值域 Im 等于的核ker的正交补。
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有
欧氏空间练习题与测试题
欧⽒空间练习题与测试题第九章欧⽒空间练习题与测试题⼀、填空题1．设V 是⼀个欧⽒空间， V ξ∈，若对任意V η∈都有(,)0ξη=，则ξ＝_________．2．在欧⽒空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝____ _____，α＝_________．3．在n 维欧⽒空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝_________，ξ＝_________．4．两个有限维欧⽒空间同构的充要条件是__________________．5．已知A 是⼀个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________．⼆、判断题1．在实线性空间2R 中，对于向量1212(,),(,)x x y y αβ==，定义1122(,)(1)x y x y αβ=++，那么2R 构成欧⽒空间。
( )2．在n 维实线性空间n R 中，对于向量1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==，定义11(,)a b αβ=，则n R 构成欧⽒空间。
( ) 3．12,,,n εεε是n 维欧⽒空间V 的⼀组基，1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y 与分别是V 中的向量,αβ在这组基下的坐标，则1122(,)n n x y x y x y αβ=+++。
( ) 4．对于欧⽒空间V 中任意向量η，1η是V 中⼀个单位向量。
( )5．12,,,n εεε是n 维欧⽒空间的⼀组基，矩阵()ij n n A a ?=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。
( )6．设V 是⼀个欧⽒空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
( )7．设V 是⼀个欧⽒空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性⽆关。
( )8．若,στ都是欧⽒空间V 的对称变换，则στ也是对称变换。
欧几里得空间
第九章 欧几里得空间习题解答1、 设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=.在n R 中定义内积(,)αβ为'(,)αβαβ=A . 1）证明：在这个定义之下，n R 成一欧氏空间； 2）求单位向量1(1,0,,0)ε=，2(0,1,,0)ε=，，(0,0,,1)n ε=的度量矩阵；3）具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。
解 1）只要证明按定义'(,)αβαβ=A （是数，等于其转置）的一个二元实函数是一个内积就可以了。
1 ''''(,)()(,)αβαβαββαβα====A A A ；2 ''(,)()()(,)k k k k αβαβαβαβ===A A ；3 '''(,)()(,)(,)αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+A A A4 ',(,)ij i j i ja x x αααα==∑A .由于A 是正定矩阵，所以,ij i j i ja x x ∑是正定二次型，从而(,)0αα≥，并且仅当0α=时，(,)0αα=。
由此可见，n R 在这一定义之下成一欧式空间。
2）设单位向量的度量矩阵为()ij b =B .那么111()10(,)(010)(,1,2,,)10n ij i j ij i n nn a a b a i j n a a εε⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，此即 =B A .3）,(,)ij i j i ja x x αβ=∑，α==β==，故柯西-布涅柯夫斯基不等式为,,ij i jiji i ji ja x yay y ≤∑∑2、 在4R 中，求,αβ之间的夹角,αβ<>（内积按通常定义），设 1）(2,1,3,2)α=，(1,2,2,1)β=-； 2）(1,2,2,3)α=，(3,1,5,1)β=； 3）(1,1,1,2)α=，(3,1,1,0)β=-；解 1）(,)21123(2)210αβ=⨯+⨯+-+⨯=，所以 .2αβπ<>=. 2）(,)18αβ=，(,)18αα=，(,)36ββ=，cos ,αβ<>==，所以.4αβπ<>=.3）(,)3αβ=，(,)7αα=，(,)11ββ=，cos ,αβ<>=，所以1.arccos αβ-<>=3、(,)d αβαβ=-通常称为α与β的距离，证明：(,)(,)(,)d d d αγαββγ≤+. 证 由文献[1]P.362的三角形不等式，有(,)()()(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ=-=-+-≤-+-=+. 4、在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1)-，(1,1,1,1)--，(2,1,1,3)正交。
欧式空间
高等代数 第八章检测题一、填空题：（1）在欧氏空间4R 中，()()1,5,1,3,,3,2,2,1==βα 则βα,的夹角为 。
（2）在线性空间R 3中 ，()()321321,,,,,y y y x x x ==βα定义()33221132,y x y x y x ++=βα，在这种内积下向量()3,2,1=α的长度为|α|= 。
（3）按通常向积定义的R 2中，基(),1,11=α()1,12-=α的度量矩阵为 。
（4）[]{}R a a x a a x R ∈+=10102,中定义内积为()()()()()⎰-=dx x g x f x g x f 11,，该欧氏空间的一组标准正交基为 。
（5）若A 为正交阵，E 为单位矩阵，且|A |=-1，则|A+E |= 。
二、判断题（1）正交变换关于任意基的矩阵为正交矩阵。
（ ）（2）设欧氏空间中某基n αα,,1 的度量矩阵为A ，那么A 的特征值必大于0。
（ ）（3）正交变换的属于不同特征值的特征向量必正交。
（ ）（4）在3R 中，()()321321,,,,,y y y x x x ==βα 定义由积为()33221132,y x y x y x ++=βα，那么(),0,0,11=ε()()1,0,0,0,1,032==εε必为3R 的标准正交基。
（ ）（5）设W 1，W 2是欧氏空间V 的子空间，如果,21w w ⊥那么{}021=⋂w w 。
（ ）三、求齐次线性方程组⎩⎨⎧=---=+++0043214321x x x x x x x x 的解空间W 的一组标准正交基。
四、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100001与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10000001y B 相似。
（1）求y x ,的值。
（2）求正交阵T ，使1-T AT =B五 已知()21232221321422,,x x x x x x x x f ---=323184x x x x ++用正交线性替换化f 为标准形，并判别该二次型是否正定。
高等代数_李海龙_习题第8章欧氏空间
第八章 欧氏空间8.1 向量的内积1． 证明，在一个欧氏空间里，对于任意向量,ξη，以下不等式成立： （1） | ξ +η |2+|ξ -η |2=2| ξ |2+2| η |2；（2）2211,44ξηξηξη=+--．在解析几何里，等式（１）的几何意义是什么？证：（１） | ξ +η |2+| ξ -η |2=<ξ +η,ξ +η>+<ξ -η,ξ -η> =< ξ,ξ > + 2<ξ,η> + <η,η> + < ξ,ξ >-2<ξ,η>+ <η,η> =2| ξ |2+2| η |2；几何意义：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．（２）221144ξηξη+--11,,4411(,2,,)(,2,,)44,ξηξηξηξηξξξηηηξξξηηηξη=++---=++--+=1． 在欧氏空间R n里，求向量(1,1,,1)α= 与每一向量()(0,,0,1,0,,0)i i ε= ，1,2,,i n = 的夹角．解：,cos i iαεθαε==2． 在欧氏空间4R 里找出两个单位向量，使它们同时与向量(2,1,4,0),(1,1,2,αβγ=-=--=中每一个正交．解：只需求下面线性方程组的两个单位解向量1231234123424022032540x x x x x x x x x x x +-=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩，其解向量为：±．3． 利用内积的性质证明，一个三角形如果有一边是它的直径，那么这个三角形一定是直角三角形．证：设圆的内接三角形为ABC ，AB 为直径，O 为圆心．则向量OA ＝－OB ，AC=OC －OA ，CB=OB －OC ，且OA ，OB 和OC 的长度相等,,,0AC C B O C O A O B O C O C O A O A O CO A O A O C O C =--=---=---=所以AC 与CB 正交，三角形为直角三角形． 4． 设,ξη是一个欧氏空间里彼此正交的向量，证明：|ξ +η|2=|ξ|2+|η|2 （勾股定理）证：| ξ +η |2=<ξ +η,ξ +η>=< ξ,ξ > + 2<ξ,η> + <η,η> （ξ与η正交）=|ξ|2+|η|2；5． 设α1, α2, ⋯ , αn , β都是一个欧氏空间的向量，且β是α1, α2, ⋯, αn 的线性组合．证明，如果β与每一个αi 正交，1,2,,i n = ，那么0β=．证：令1122n n a a a βααα=+++ 则,ββ＝1122,n n a a a βααα+++ ＝1,niii aβα=∑＝０．所以0β=．6． 设12,,,n ααα 是欧氏空间的n 个向量．行列式11121212221212,,,,,,(,,,),,,n nn n n n nG ααααααααααααααααααα=叫做12,,,n ααα 的格兰姆（Gram ）行列式．证明，12(,,,)0n G ααα= 必要且只要12,,,nααα 线性相关．证：必要性 由12(,,,)0n G ααα= 知齐次线性方程组11112122122212,,,0,,,0,,,0n nn n n n nx x xαααααααααααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭必有非零解，设()12,,,n a a a 为其一组非零解，则有1,0,1,2,,ni j jj a i nαα===∑令1njjj a βα==∑，则β与12,,,n ααα 中每一个都正交，知β与12,,,n ααα 每一个线性组合都正交，所以与β也正交，即,0ββ=，得0β=．又12,,,n a a a 不全为零，所以12,,,n ααα 线性相关．充分性 由12,,,n ααα 线性相关知存在不全为零的数12,,,n a a a ，使1niii a α==∑．因而1,0nj i i i a αα==∑，即1,0nij i i aαα==∑, 1,2,,j n = .从而可知()12,,,n a a a 是上面方程组的一个解向量且不全为零．所以12(,,,)0n G ααα=7． 设,αβ是欧氏空间的两个线性无关的向量，满足以下条件：2,,αβαα和2,,αβββ都是≤的整数．证明，α与β的夹角只可能是23,,234πππ或56π．证明概要：由与线性无关，证明24,04,,αβααββ≤<，从而,αβαβ只可能取０，1,222---．得证．8． 证明，对于任意实数12,,,n a a a ，1ni i a =≤∑证明概要：取12(,,,)n a a a α= ，(1,1,,1)β= ．利用柯西－施瓦兹不等式即可证明．8.2 正交基1． 已知α1=(0,2,1,0); α2=(1,-1,0,0); α3=(1,2,0,-1); α4=(1,0,0,1)是4R 的一个基．对这个基施行正交化方法，求出4R 的一个规范正交基． 解：结果为10)γ=；20)γ=；3γ=；4γ=-．2． 在欧氏空间[1,1]C -里，对于线性无关的向量组23{1,,,}x x x 施行正交化方法，求出一个规范正交组．解：结果为1γ=22γ=；2344x γ=-；3444γ=-．3． 令{}12,,,n ααα 是欧氏空间的一组线性无关的向量，{}12,,,n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组．证明，这两个向量组的格莱姆行列式相等，即12121122(,,,)(,,,),,,n n n n G G αααβββββββββ==证：由施密特正交化方法可知，存在可逆矩阵1**01*01P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭使1212(,,,)(,,,)n n P αααβββ= ，显然1P =．又设基{}12,,,n ααα 的度量矩阵为：()()11,,,ijn nnA αααααα⎛⎫ ⎪==<> ⎪ ⎪⎝⎭基{}12,,,n βββ 的度量矩阵为：()()11,,,i jn nnB ββββββ⎛⎫ ⎪==<> ⎪ ⎪⎝⎭，则 ()()1111,,',,n n n n A P P αβααββαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=<>=<> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11',,'n nP P P BP ββββ⎛⎫⎪=<>= ⎪ ⎪⎝⎭又,0,()i j i jββ=≠12121122(,,,)'(,,,),,,n n n nG A P BP P B P BG αααβββββββββ======4． 令12,,,n γγγ 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基，又令1{,01,1,2,,}niii i K V x x i n ξξγ==∈=≤≤=∑K叫做一个n -方体．如果每一i x 都等于0或1，ξ就叫做K 的一个顶点．K 的顶点间一切可能的距离是多少？1,2,,i n =5． 设12{,,,}m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组．证明，对于任意V ξ∈，以下不等式成立：221,nii ξαξ=≤∑．证明概要：令12(,,,)m W L ααα= ，则V W W ⊥=⊕．此不等式左边是ξ在W 上的正射影的长度，右边是ξ的长度，因此不等式成立．6． 设V 是一个n 维欧氏空间．证明：(i) 如果W 是V 的子空间，那么()W W ⊥⊥=．(ii) 如果12,W W 都是V 的子空间，且12W W ⊆，那么21W W ⊥⊥⊆(iii) 如果12,W W 都是V 的子空间，那么1212()W W W W ⊥⊥⊥+= ．证明：(i) 对于任意W ξ∈，有,0Wξ⊥=，所以()W ξ⊥⊥∈，即()W W ⊥⊥⊆，同样可以证明()W W ⊥⊥⊆，即得()W W ⊥⊥=．(ii)因为12,W V W V ⊆⊆，且12W W ⊆．所以取112(,,,)r W L ααα= ，1121(,,,,,)r r s W L ααααα+= ．这里121{,,,,,}r r s ααααα+ 是的一个规范正交组．对每一个2W ξ⊥∈，有2,0W ξ=，于是,0i ξα=，1,2,,i s = ，故有1,0W =．即1W ξ⊥∈，从而21W W ⊥⊥⊆(iii) 设12W W ξ⊥⊥∈ ，则12,,0W W ξ==，于是，1212,,,0W W W W ξξξ+=+=，即12()W W ξ⊥∈+，所以，1212()W W W W ⊥⊥⊥⊆+ ．反之，因为112W W W ⊆+，212W W W ⊆+．由(ii)知 121122(),()W W W W W W ⊥⊥⊥⊥+⊆+⊆所以 1212()W W W W ⊥⊥⊥+⊆ 所以 1212()W W W W ⊥⊥⊥+= ．7． 证明,3R 中向量000(,,)x y z 到平面3{(,,)0}W x y z Rax by cz =∈++=的最短距离等于证明概要：000(,,)x y z α=到W 的最短距离等于它到W ⊥的正射影，容易看出W ⊥的规范正交基是γ=，所以，此最短距离等于,αγ=8． 证明，实系数线性方程组1,1,2,,njij i j ax b i n===∑有解的充要条件是向量12(,,,)nn b b b R β=∈ 与齐次线性方程组10,1,2,,njij j ax i n===∑的解空间正交． 证明：设()ij A a =，令i α是A 的第i 行，1,2,,i n = ．12(,,,)n W L ααα= 是nR 的一个子空间．设0AX =的解空间的基是12,,,r ηηη ，则,0i j αη=，1,2,,i n = ，1,2,,j r= ．因而1212(,,,)(,,,)r n L L Wηηηααα⊥⊥==于是n R W W ⊥=⊕．故AX β=有解的充要条件是W β∈，而W β∈的充要条件是,0Wβ⊥=．9． 令α是ｎ维欧氏空间的一个非零向量．令{,0}P Vαξξα=∈=P α称为垂直于α的超平面，它是Ｖ的一个ｎ－１维子空间．V 中两个向量ξ，η说是位于P α的同侧，如果,ξα与,ηα同时为正或同时为负．证明，Ｖ中一组位于超平面P α同侧，且两两夹角都大于2π的非零向量一定线性无关．证明：设12{,,,}r βββ 是满足题设的一组向量，则,0i j ββ≤，()i j ≠，且可以设,0i βα>，(1)i r ≤≤，下证12{,,,}r βββ 线性无关．如果1riii c β==∑，则可设11nriij ji j s c c ββ==+=-∑∑，其中12,,0s c c c ≥ ，1,,0s r c s +≤ ．令1siii c γβ==∑．考虑1111,,,srsriij ji j i ji j s i j s c c c c γγββββ==+==+=-=-∑∑∑∑可以推出,0γγ≤，又,0γγ≥．故,0γγ=，即0γ=．所以11,,,0srii j j i j s cc γαβαβα==+==-=∑∑由,0i βα>知若i c ，()1i s ≤≤，j c ，(1)s j r +≤≤不全为零，则必有1,0si i i c βα=>∑，1,0rj j j s c βα=+->∑，因而i c ，1i s ≤≤，j c，1s j r +≤≤全为零，因而12{,,,}r βββ 线性无关．10．设U 是一个正交矩阵．证明： （i ）Ｕ的行列式等于１或－１； （ii ）U 的特征根的模等于１；（iii ）如果λ是U 的一个特征根，那么1λ也是U 的一个特征根； （iv ）U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵． 证明：（i ）给等式'U U I =两边取行列式得证．（ii ）因为,UX X UX X λ==，所以X X λ=，所以，1λ=．（iii ）因为U X X λ=，11U X X λ--=，1'U X X λ-=，又U 和U’有相同的特征根，得证．（iv ）因为*1*'U U UUU-===±，所以**''U U U U I ==，故 V β∈是正交矩阵．11．设cos2θ≠，且100cos sin 0sin cos U θθθθ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，证明，I U +可逆，并且100()()tan012010I U I U θ-⎛⎫ ⎪-+= ⎪ ⎪-⎝⎭．证明：U 是正交矩阵，2001cos sin 0sin 1cos I U θθθθ⎛⎫⎪+=+- ⎪ ⎪+⎝⎭2210020cos sin cos2220sincoscos 222θθθθθθ⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎝⎭所以计算得22cos2I U θ+=≠，则I U +可逆．又求得()12cos 00210cossin 222cos 20sincos22IUθθθθθθ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭所以1()()I U I U --+cos 00000212sin 0sin cos 0cos sin 222222cos20cossin0sincos2222θθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭000tan0012010θ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭12．证明：如果一个上三角形矩阵11121312223233300000n nn nn a a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交矩阵，那么A 一定是对角形矩阵，且主对角线上元素a ii 是１或－１．证明：由A 是正交矩阵，得'AA I =．于是2111a =，1110i a a =，1,2,,i n = ，因此111a =±，10i a =，1,2,,i n= ．同样可证1ii a =±，0ij a =，,1,2,,i j n = ()i j ≠．8.3 正交变换1． 证明：n 欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换；一个正交变换的逆变换还是正交变换．证明概要：首先正交变换的乘积还是线性变换，其次保持向量的长度不变的变换的乘积还保持长度不变；逆变换可用类似的方法证明．2． 设σ是n 为欧氏空间V 的一个正交变换．证明：如果V 的一个子空间W 在σ之下不变，那么W 的正交补W ⊥也在σ之下不变．证明：取W 和W ⊥规范正交基{}12,,,s ααα 和{}1,,s n αα+ ，则{}11,,,,s s n αααα+ 是V的一个规范正交基．且{}11(),,(),(),,()s s n σασασασα+也是V 的规范正交基．由W 在σ之下不变知，{}1(),,()s σασα 是W 的规范正交基．再由(),()0i j σασα=，1,,i s n=+ ，1,,j s = 知，对一切的W ξ∈，设1()siii a ξσα==∑，有(),(),()0,1,,j ij i aj s nσαξσασα===+∑所以()j Wσα⊥∈．从而证明了，对一切的W α⊥∈，有()W σα⊥∈．3． 设V 是一个欧氏空间，V α∈是一个非零向量．对于V ξ∈规定2,(),ξατξξααα=-证明：τ是V 的一个正交变换，且2τι=，ι是单位变换．线性变换τ叫做由向量α所决定的一个镜面反射．当V 是一个n 为欧氏空间时，证明，存在V 的一个规范正交基，使τ关于这个基的矩阵有形状100001000010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义． 证明：设,V ξη∈，则()()2,2,,,,,,ξηηατξτηξαηαξηαααα=--=所以τ是正交变换，且对于V β∈有()()()22,,βατβττβτβααα⎛⎫==-⎪⎪⎝⎭2,2,,2,,,βαβααααβαβααβαααα-=--=故2τι=，ι是V 的单位变换．设V 是n 为欧氏空间，则V 一定存在规范正交基．又α是V 的非零向量，则可以得到V的一个规范正交基：2,,,n αααα⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 由定义，()2,,,1,2,,,i i i nαααααατατααααααα⎛⎫=-=-==⎪⎪⎝⎭于是τ关于这个基的矩阵是100001000010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在三维几何空间中，τ是关于XOY 平面的镜面反射．4． 设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射，对,ξη有()(),,σξσηη=．证明：σ是V的一个线性变换，因而是一个正交变换． 证明概要：先证()()()()()(),0σαβσασβσαβσασβ+--+--=得()()()σαβσασβ+=+． 再证()()()()()(),0k k k k σασασασα--=,得()()k k σασα= 即可证明．5． 设U 是一个三阶正交矩阵，且det 1U =，证明： （i ）U 有一个特征根等于1；（ii ）U 的特征多项式具有形状()321f x x tx tx =-+-，这里13t -≤≤．证明：（i ）由U 的特征根的模都是1，且三个特征根的乘积等于1，得U 必有一个特征根是1．（ii ）设三个特征根为,,1αα，由根与系数的关系，()1tαα-++=-为x 2的系数．111a a a a a t ααααα+⋅+⋅=++=++=为x 的系数．常数项为11a α-⋅=-，而22αα≥+≥-，即311αα≥++≥-，31t ≥≥-．6． 设{}12,,,n ααα 和{}12,,,n βββ 是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基． （i ）证明：存在V 的一个正交变换σ，使()i i σαβ=，1,2,,i n = ；（ii ）如果V 的一个正交变换τ使得()11ταβ=，那么2(),,()n τατα 所生成的子空间与由2,,n ββ 所生成的子空间重合．证明：（i ）显然成立；（ii ）设2((),())n L ξτατα∈ ，则22()()nniii i i i a a ξτατα====∑∑有由V ξ∈知，ξ可以由12{,,,}n βββ 线性表出．令1,,,1,2,,niii i i b b i nξβξβ====∑ 且，又τ是正交变换，而11()ταβ=，所以111122,(),(),0n ni i iii i b a a ξβτατααα======∑∑所以 22(,,)niini b L ξβββ==∈∑ ．因而22((),.())(,,)n n L L ταταββ⊆另一方面，若2(,,)n L ηββ∈ ，则2niii c ηβ==∑．因为τ是正交变换，所以1{(),,()}n τατα 是V 的一个规范正交基，不妨令11()(),,(),1,2,,n n i i d d d i n ηταταητα=++==由于11()ταβ=，所以1112,(),0niii d c ηταββ====∑，得 222()()((),,())n n nd d L ητατατατα=++∈ ．因而 22(,,)((),.())n n L L ββτατα⊆ ．得证．7． 令V 是一个n 维欧氏空间．证明：（i ） 对V 中任意两个不同的单位向量,αβ，存在一个镜面反射τ，使得()ταβ=． （ii ）V 中每一个正交变换σ都可以表示成若干个镜面反射的乘积．证明：（i ）因为,αβ是两个不同的单位向量，所以,,1,0ααββαβ==-≠，从而||αβηαβ-=-是一个单位向量．令()2,τξξξηη=-，则τ是一个镜面反射，且()2,2,||||αβαβταααηαααβαβ--=-=---22,()||αααβαβαβ=----2[,,),2,,ααααβαβαααβββ=----+1[1,]()1,αβαβαβ=----β=（ii ）设τ是V 的任意一个正交变换，取V 的规范正交基12{,,,}n ααα ，则1122(),(),,()n n βταβταβτα=== 也是V 的一个规范正交基．如果11,,n n βαβα== ，则τ是单位变换，作镜面反射： 111()2,τξξξαα=-则有1111(),(),2,,j j j nτααταα=-== ，这时显然有11τττ=．如果12,,,n ααα 与12,,,n βββ 不全相同，设11αβ≠，则由于11,αβ是两个不同的单位向量，由（i ）知，存在镜面反射1τ，使11()ταβ=．令1(),2,,jj j nταγ== ．如果,2,,j j j nγβ== ，则1ττ=，结论成立．否则可设22γβ≠,再作镜面反射2τ：2()2,τξξξββ=-，2222||γββγβ-=-，于是222()τγβ=，且可验算有211()τββ=．如此下去，设123121212312,,,,,,,,,,,,,rn n nnτττταααβγγββγγβββ−−→−−→−−→−−→则有121r r τττττ-= ．其中i τ都是镜面反射，即τ可以表示为镜面反射的乘积．8． 证明：每一个n 阶非奇异实矩阵A 都可以唯一的表示成A U T = 的形式，这里U 是一个正交矩阵，T 是一个上三角形实矩阵，且主对角线上的元素都是正数．证明：存在性 由于A 为n 阶非奇异实矩阵，因此12(,,,)n A ααα= 的列向量12,,,n ααα 线性无关，从而为nR 的一个基．施行正交化单位化，令1111t βα=2121222t t βαα=+………………………1122n n n nn n t t t βααα=+++其中0,1,2,,ii t i n >= ．即有11212(,,,)(,,,)n n a a a T βββ-= ．其中12,,,n βββ 是nR 的规范正交基，而11121222100n nnn t t t t t Tt -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭从而T 也是对角线上全为正实数的上三角矩阵．由12,,,n βββ 是规范正交基，所以以它为列所得的n 阶矩阵12(,,,)n U βββ= 是一正交矩阵，于是可知A U T =．唯一性 设另有11A U T =，其中U 1为正交矩阵，T １为对角线上全为正实数的上三角矩阵，则111111UT U T TT U U --==或，所以上式既是上三角矩阵（对角线上元素全为正），又是正交矩阵．可以证明11TT I -=，即11,T T U U ==．8.4 对称变换和对称矩阵1． 设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换．证明，如果σ满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（i ）σ是正交变换；（ii ）σ是对称变换；（ii ）2σι=是单位变换．证明：σ是正交变换的充要条件是A 是正交矩阵；σ是对称变换的充要条件是A 是对称矩阵；2σι=的充要条件是2A I =．(i),(ii)⇒(iii)：因为A 是正交矩阵又是对称矩阵，所以2'A A A I ==，因而2σι=；(i),(iii)⇒(ii)：因为A 是正交矩阵，且2A I =，则可逆，所以1121''A A AAIAA AA---====，因而σ是对称变换；(ii),(iii)⇒(i)：因为A 是对称矩阵，且2A I =，所以2'A A A I ==，因而σ是正交变换．2． 设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换，且2σσ=．证明，存在V 的一个规范正交基，使得σ关于这个基的矩阵有形状10100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．证明：设A 为σ关于V 的一个规范正交基12{,,,}n ααα 的矩阵，则A 是n 阶实对称矩阵，且2A A =．设ξ是属于特征根λ的特征向量，则22,()A A A ξλξξλξλξ===．因为2A A =，所以2()0λλξ-=，又因为0ξ≠，所以20λλ-=，即01λ=或．因此存在正交矩阵U ，使1101'000U AU U AU -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．3． 证明：两个对称变换的和还是一个对称变换．两个对称变换的乘积还是不是对称变换？找出两个对称变换的乘积还是对称变换的一个充要条件．证明：设,στ是两个对称变换，它们关于同一个规范正交基的矩阵分别为A 和B ，则A ，B 是对称矩阵．因为()'A B +''A B A B =+=+，所以A B +是对称矩阵，因此στ+是对称变换．因为()'''AB B A BA ==，所以()'AB AB BA AB =⇔=．所以两个对称变换的乘积不一定是对称变换．两个对称变换的乘积是对称变换的充要条件是这两个对称变换相乘是可以交换的．4． n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是反对称的，如果对于任意向量,V αβ∈，(),,()σαβασβ=-．证明：(i) 反对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是反对称的（满足条件'A A =-的矩阵叫反对称矩阵）； (ii) 反之，如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是反对称的，那么σ一定是反对称线性变换；(iii) 反对称矩阵的特征根或者是零，或者是纯虚数．证明：(i) 设σ是反对称的，12{,,,}n εεε 是一个规范正交基．令 11(),1,2,,i i in n k k i n σεεε=++= (1)则(),,(),i j ij j i jik k σεεσεε==．由反对称性知，ij jik k =-．从而ij jii j k k i j=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩ ,1,2,,i j n = ．那么12((),(),,())n σεσεσε121122121200(,,,)0n nn nnk k k k k k εεε⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪--⎝⎭(2)(ii) 设σ在规范正交基12{,,,}n εεε 下的矩阵(2)给出，即(),(),i j i jσεεσεε=-对于,V αβ∈，可以证明(),,()σαβασβ=-．因而σ是反对称的．(iii) 设λ是反对称矩阵A 的一个非零特征根．ξ是属于λ的特征向量，即A ξλξ=．那么''(')''()'()'A A A A A ξξξξξξξξξξ=-=-=-=-所以''λξξλξξ=-，故λλ=-．令a bi λ=+，a a =-即0a =，所以bi λ=．5． 令A 是一个反对称实矩阵．证明，I+A 可逆，并且1()()U I A I A -=-+是一个正交矩阵．证明：由上一题知，A 的特征根只能是零或纯虚数，1±不是A 的特征根，因此0I A ±≠，所以I A +，I A -都可逆．11111111'[()()][()()]'()()()()()[()()]()()[()()]()()()()()U U I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I--------=-+-+=-+-+=--++=-+-+=--++=又因为U 是实矩阵，所以是正交矩阵．6． 对于下列实对称矩阵A ，各求出一个正交矩阵U ，使得'U AU 是对角形式：(i) 112822108105A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭； (ii) 178481744411A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭．解：(i) 特征多项式为 (9)(9)(18)I A λλλλ-=+--；解三个齐次线性方程组，得属于特征根－9，9，18的特征向量分别为123(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)ξξξ=-==-；单位化得（此题不需要正交化）123111(1,2,2),(2,2,1),(2,1,2)333ηηη=-==-；则所求矩阵为12212213212U ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭；(ii) 所求矩阵为313104U ⎛⎫=--⎪-⎝⎭。
第九章欧氏空间习题答案
第九章欧氏空间习题答案一、填空题1. 0；2. i x；3. 123'b A b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4. 5. A ；6. (2,2,1)-；7. 2π；8. 6±；9. 2k >；10. 线性变换在某基下的矩阵；11. 012. 它们的维数相同；13. A ，1；14. 1-；15. 正交；16. 3π；17. 正定的。
二、判断题1-5 ××√√√ 6-10 √×√√√ 11-15 √√√×√ 16-20 √√×√× 三、选择题1-5 CDBCC 6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB 四、计算题1. 由220212(2)(1)(4)002E A λλλλλλλ---=--=+--=，故特征值为2,1,4-。
当2λ=-时，有12123234202320230x x x x x x x --=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩，则基础解系为11(,1,1)'2ξ=-，单位化为1122(,,)'333η=-；当1λ=时，有1213232022020x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，则基础解系为21(1,,1)'2ξ=-，单位化为2212(,,)'333η=-；当4λ=时，有12123232202320240x x x x x x x -=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩，则基础解系为31(1,1,)'2ξ=-，单位化为3221(,,)'333η=-。
则令122333212333221333T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，为正交阵，有1214T AT --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
2. （1）111111t A t t ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由于二次型正定，则2300320t t t t >⎧⎪>⎨⎪-->⎩，即2t >。
高等代数(下)课外习题第九章欧氏空间]
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第九章 欧氏空间一、判断题1、12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij n n A a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。
( )2、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
( )3、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。
( )4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ）5、若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变 （ ）6、度量矩阵是正定的 （ ）7、正交矩阵的行列式等于1 （ ）8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（ ）9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。
10、在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0=α.( )11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )12、若矩阵A 为正交矩阵，则1-='A A .( )13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵.( )14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间，且21V V V +=，则21V V V ⊕=。
( )15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。
( )二、填空题1、在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________， α＝_________．2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．3、已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________． 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则向量12323βααα=+-的长度为 。
5、已知A 为n 阶正交阵，且|A|<0，则|A|= .6、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为 。
第九章 欧几里得空间 习题答案
第九章 欧几里得空间部分习题答案习 题（P393-P397）1．设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x = α，12(,,,)n y y y = β．在nR 中定义内积(,)αβ为(,)'=A αβαβ．1）证明在这个定义之下，nR 成一欧氏空间；2）求单位向量1(1,0,,0)= ε，2(0,1,,0)= ε， ，(0,0,,1)n = ε的度量矩阵； 3）具体写出这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式． 解 1）显然(,)'=A αβαβ是n R 上的一个二元实函数，且 ①(,)()(,)''''''=====A A A A αβαβαββαβαβα； ②(,)()()(,)k k k k ''===A A αβαβαβαβ；③(,)()(,)(,)'''+=+=+=+A A A αβγαβγαγβγαγβγ；④由于A 是正定矩阵，故(,)0'=≥A αααα，并且，当且仅当=0α时，(,)0=αα． 因此，根据欧氏空间的定义，在这个定义之下，nR 成为欧氏空间．2）由于(,)i j i j ij a '==A εεεε，,1,2,,i j n = ，故12,,,n εεε的度量矩阵就是A ．3）根据11(,)n nij i j i j a x y =='==∑∑A αβαβ，其中12(,,,)n x x x = α，12(,,,)n y y y = β，所以这个空间中的柯西－布涅柯夫斯基不等式为11n nij iji j a x y==≤∑∑2．在4R 中，求,αβ之间的夹角,<>αβ（内积按通常定义）．设 1）(2,1,3,2)=α，(1,2,2,1)=-β； 2）(1,2,2,3)=α，(3,1,5,1)=β；3）(1,1,1,2)=α，(3,1,1,0)=-β．解 1）由于(,)21123(2)210=⨯+⨯+⨯-+⨯=αβ，故,2π<>=αβ．2）由于(,)1321253118=⨯+⨯+⨯+⨯=αβ，且(,)1122223318=⨯+⨯+⨯+⨯=αα，(,)3311551136=⨯+⨯+⨯+⨯=ββ，故,arccos 24παβ<>===．3）同样，直接计算得(,)3=αβ，(,)7=αα，(,)11=ββ，故,αβ<>==． 『方法技巧』首先判断(,)αβ是否为零，如果为零，那么α与β正交，即,2π<>=αβ；否则，计算(,)αα和(,)ββ，由定义(,),arccos||||αβ<>=αβαβ求α与β的夹角．4．在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1),(1,1,1,1),(2,1,1,3)---正交． 解 设所求向量为1234(,,,)x x x x =α．由α与已知向量都正交，得方程组1234123412340,0,230.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩ 直接解得它的一个基础解系为(4,0,1,3)=-η．又因为α是单位向量，所以14,0,1,3)||=±=-αηη． 『特别提醒』要注意与η同向和反向的单位向量都满足要求． 5．设12,,,n ααα是欧氏空间V 的一组基，证明：1）如果V ∈γ使(,)0i =γα，1,2,,i n = ，那么=0γ；2）如果12,V ∈γγ使对任一V ∈α有12(,)(,)=γαγα，那么12=γγ．『解题提示』只需要说明(,)0=γγ和12(,)0i -=γγα，1,2,,i n = ． 证明 1）由于12,,,n ααα为欧氏空间V 的一组基，故存在12,,,n k k k ，使得1122n n k k k =++ γααα．于是，根据(,)0i =γα，1,2,,i n = ，得到11221122(,)(,)(,)(,)(,)0n n n n k k k k k k =++=++= γγγαααγαγαγα．因此=0γ．2）由于对任意的V ∈α有12(,)(,)=γαγα，故对任意的i α也有12(,)(,)i i =γαγα，即12(,)0i -=γγα，1,2,,i n = ．根据1）可知12-=0γγ，即12=γγ．6．设123,,εεε是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：()()()11232123312311122,22,22333=+-=-+=--αεεεαεεεαεεε 也是一组标准正交基．证法1 由于123,,εεε是标准正交基，故12222112(,)()()0333333=⨯+⨯-+-⨯=αα， 13212212(,)()()()0333333=⨯+⨯-+-⨯-=αα，23211222(,)()()()0333333=⨯+-⨯-+⨯-=αα， 11222211(,)()()1333333=⨯+⨯+-⨯-=αα，22221122(,)()()1333333=⨯+-⨯-+⨯=αα， 33112222(,)()()()()1333333=⨯+-⨯-+-⨯-=αα，即1,,(,)0.i j i j i j =⎧=⎨≠⎩αα 所以123,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基．证法2 设从123,,εεε到123,,ααα的过渡矩阵为A ，即22112123122⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ．直接计算可知22122112122129122122-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'=---= ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭A A E ，即A 是正交矩阵．从而123,,ααα也是三维欧氏空间中的一组标准正交基．『解题提示』方法1利用定义直接进行了证明；方法2则根据：如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基也是标准正交基．7．设12345,,,,εεεεε是五维欧氏空间V 的一组标准正交基，()1223,,V L =ααα，其中115=+αεε，2124=-+αεεε，31232=++αεεε，求1V 的一组标准正交基．解 首先说明123,,ααα线性无关．事实上，设112233k k k ++=0ααα，即1231232332415(2)()k k k k k k k k +++-++++=0εεεεε，根据12345,,,,εεεεε是线性无关的，得1230k k k ===，即123,,ααα线性无关．于是123,,ααα是1V 的一组基．下面，根据施密特正交化方法对它们标准正交化：正交化：1115==+βαεε，22221124511(,)11(,)22=-=-+-αββαβεεεεββ，3132331212351122(,)(,)(,)(,)=--=++-αβαββαββεεεεββββ；单位化：115()2=+ηεε，2124522)=-+-ηεεεε， 312351()2=++-ηεεεε．则123,,ηηη即为1V 的标准正交基．『方法技巧』这类求一个欧氏空间或其子空间的标准正交基的题目，首先确定该欧氏空间或子空间的一组基，然后再将这组基标准正交化即可求得．12．设12,,,m ααα是n 维欧氏空间V 中一组向量，而111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭αααααααααααααααααα∆． 证明：当且仅当0≠∆时12,,,m ααα线性无关．证明 设有线性关系1122m m k k k +++=0 ααα，将其分别与i α取内积，可得方程组111212112122221122(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)0.m m m mm m m m m k k k k k k k k k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ αααααααααααααααααα 由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式0≠∆，故当且仅当0≠∆时12,,,m ααα线性无关．『方法技巧』将∆构造成一个线性方程组的系数矩阵．题目中的矩阵∆称为向量组的格拉姆矩阵，当12,,,m ααα为一组基时，其格拉姆矩阵∆即为度量矩阵．16．证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数．证明 设A 是反对称矩阵，ξ是属于特征值λ的特征向量，即λ=ξξA ，则用'ξ左乘两边得()()()()()λλ'''''''''==-=-=-=-=-ξξξξξξξξξξξξξξA A A A A ，由于≠0ξ，故λλ=-，从而λ为纯虚数或零．事实上，令a bi λ=+，可得0=a ，即bi =λ，因此或者0λ=或bi =λ（0b ≠）．『方法技巧』与证明实对称矩阵的特征值均为实数的方法类似． 17．求正交矩阵T 使'T AT 成对角形，其中A 为：1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022； 2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----542452222； 3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0041001441001400； 解 1）矩阵A 的特征多项式为()()()22021214202λλλλλλλ--=-=--+E A ， 则A 的特征值为2,4,1321-===λλλ，分别求解齐次方程组()i λ-0E A X =得对应的特征向量为123(2,1,2),(2,2,1),(1,2,2)'''=--=-=ααα．将其单位化得123111(2,1,2),(2,2,1),(1,2,2)333'''=--=-=ηηη．令1232211(,,)1223212-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭ηηηT ，则T 即为所求，且142⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ．2）矩阵A 的特征多项式为()()2222254110245λλλλλλ---=--=---E A ，则A 的特征值为1210,1λλ==（二重）．分别求解齐次方程组()i λ-0E A X =得：110λ=的特征向量为1(1,2,1)'=--α，21λ=的特征向量为2(2,1,0)'=-α，3(2,1,1)'=α．将其正交单位化得1231(1,2,2),2,1,0),2,4,5)3'''=--=-=ηηη， 令123132(,,)3203⎛- ==-⎝ηηηT ， 则T 即为所求，且1011⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭T AT ．3）矩阵A 的特征多项式为()()()()0410145533410140λλλλλλλλλ-----==-+-+----E A ，则A 的特征值为12345,5,3,3λλλλ==-==-．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)''''==--=--=--αααα，将其单位化得12341111(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)2222''''==--=--=--ηηηη，令1234111111111(,,,)111121111-⎛⎫ ⎪- ⎪==⎪--- ⎪-⎝⎭ηηηηT ， 则T 即为所求，且5533⎛⎫ ⎪- ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ． 『方法技巧』实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的，如果属于某个特征值λ的特征向量只有一个时，则只需对它单位化即可，此时，它必与其它向量正交．18．用正交线性替换化下列二次型为标准形：1）32212322214432x x x x x x x --++； 2）22212312132322448x x x x x x x x x ---++；3）432122x x x x +；『解题提示』按照上一题的方法求出能够使得二次型的矩阵A 可对角化的T ，则=X TY 即为所求的正交线性替换．解 1）原二次型的矩阵120222023-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且A 的特征多项式为(5)(2)(1)λλλλ-=--+E A ，则其特征值为1235,2,1λλλ===-．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为123(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)'''=-=--=ααα，单位化得123111(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)333'''=-=--=ηηη， 令1231221(,,)2123221⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭ηηηT ，则T 是正交矩阵，且521⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪-⎝⎭T AT ．那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为22212352y y y +-． 2）原二次型的矩阵122224242-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，且A 的特征多项式为2(7)(2)λλλ-=+-E A ，则其特征值为127,2λλ=-=（二重）．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为123(1,2,2),(2,1,0),(2,0,1)'''=-=-=ααα，正交单位化得1231(1,2,2),(2,1,0),(2,4,5)3515'''=-=-=ηηη， 令12351(,,)1015100⎛-== -⎝ηηηT ，则T 是正交矩阵，且722-⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭T AT ．那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为222123722y y y -++． 3）原二次型的矩阵100100000010010⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 且A 的特征多项式为22(1)(1)λλλ-=+-E A ，则其特征值为11λ=（二重），21λ=-（二重）．分别求齐次方程组()i λ-0E A X =得相应的特征向量为1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,1,0,0),(0,0,1,1)''''===-=-αααα，正交单位化得1234(1,1,0,0),0,1,1),1,0,0),0,1,1)2222''''===-=-ηηηη， 令123410101010(,,,)010120101⎛⎫⎪-⎪==⎪⎪-⎝⎭T ηηηη，则T 是正交矩阵，且1111⎛⎫ ⎪⎪'= ⎪- ⎪-⎝⎭T AT ． 那么正交线性替换=X TY ，使得原二次型化为22221234y y y y +--． 19．设A 是n 级实对称矩阵，证明：A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零． 证明 由于A 是实对称矩阵，根据教材中的定理7知，存在一个n 级正交矩阵T ，使得121n λλλ-⎛⎫⎪⎪'=== ⎪ ⎪⎝⎭ T AT T AT Λ． 又因为相似矩阵有相同的特征值，且对角形矩阵的特征值即为其对角线上的元素，所以12,,,n λλλ 为A 的全部的特征根，即A 的特征多项式的全部根．再根据合同的矩阵具有相同的正定性，故A 正定的充分必要条件是对角形矩阵Λ是正定的，而Λ正定当且仅当12,,,n λλλ 全大于零．因此A 正定的充分必要条件是A 的特征多项式的根全大于零． 『方法技巧』利用相似矩阵具有相同的特征值，合同的矩阵具有相同的正定性．。
第八章 欧氏空间
第八章欧式空间基础训练题1、证明,在一个欧氏空间里,对任意得向量α,β,以下等式成立:(1) ;(2) 〈α,β〉＝、[提示:根据向量内积得定义及向量模得定义易证、]2、在欧氏空间R4中,求一个单位向量与α1＝(1, 1, 0, 0),α2＝(1, 1, －1, －1),α3＝(1, －1, 1, －1)都正交、解:=、3、设a1, a2, …, a n就是n个实数,证明:、证明: 令α=(1,1, …,1),β=(|a1|,|a2|,…, |a n|)α,β=|α|·|β |=、4、试证,欧氏空间中两个向量α, β正交得充分必要条件就是:对任意得实数t,都有|α＋tβ| ≥ |α|、证明: α+tβ,α+tβ=α,α+2tα,β+t2β,β必要性: 设α与β正交, 对任意得实数t ,则α+tβ,α+tβ=α,α+t2β,β≥α,α所以|α＋tβ| ≥ |α|、充分性: 当β=0时,结论成立、当β≠0时,取t0=,则α+t0β,α+t0β=α,α、由已知α+t0β,α+t0β≥α,α故=0, 所以α,β= 0、即α,β正交、5、在欧氏空间R4中,求基{α1, α2, α3, α4}得度量矩阵,其中α1＝(1, 1, 1, 1), α2＝(1, 1, 1, 0), α3＝(1, 1, 0, 0), α4＝(1, 0, 0, 0) 、解: 度量矩阵为、6、在欧氏空间R3中,已知基α1＝(1, 1, 1), α2＝(1, 1, 0), α3＝(1, 0, 0)得度量矩阵为B＝求基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1)得度量矩阵、解: 度量矩阵为、7、证明α1＝, α2＝α3＝,α4＝就是欧氏空间R4得一个规范正交基、[提示:令u=(α1, α2, α3, α4),计算uu T即可、]8、设{ε1, ε2, ε3}就是欧氏空间V得一个基, α1＝ε1＋ε2, 且基{ε1, ε2, ε3}得度量矩阵就是A＝、(1)证明α1就是一个单位向量;(2)求k,使α1与β1＝ε1＋ε2＋kε3正交、证明: (1) ε1 ,ε1=1, ε1 ,ε2=, ε2 ,ε2=2α1 ,α1=ε1 ,ε1+2ε1 ,ε2+ε2 ,ε2=1所以α1一个单位向量、(2)k=、9、证明,如果{ε1, ε2,…,εn}就是欧氏空间V得一个规范正交基,n阶实方阵A ＝(a ij)就是正交矩阵,令(η1, η2,…,ηn)＝(ε1, ε2,…,εn)A,那么{η1, η2,…,ηn}就是V得规范正交基、证明:ηi,ηj== 、10、设A就是n阶正交矩阵,证明:(1)若det A＝1,则－1就是得一个特征根;(2)若n就是奇数,且det A＝1,则1就是A得一个特征根、证明:(1)det(－I－A) = det(－A A T－A)= det A·det(－A T－A)= det A·det(－I－A)=－det(－I－A)所以det(－I－A)=0,即－1就是得一个特征根、(2)= det(A A T－A)= det A·det(A T－A)= det A·(1)n·det(I－A)=－det(I－A)所以det(I－A)=0, 即1就是A得一个特征根、10、证明,n维欧氏空间V得两个正交变换得乘积就是一个正交变换;一个正交变换得逆变换还就是一个正交变换、[提示: 根据正交矩阵得乘积就是正交矩阵, 正交矩阵得逆矩阵就是正交矩阵,结论易证、]11、证明,两个对称变换得与还就是对称变换、两个对称变换得乘积就是不就是对称变换？找出两个对称变换得乘积就是对称变换得一个充要条件、证明: 两个对称变换得与还就是对称变换易证、两个对称变换得乘积不一定就是、例如:令ε1 ,ε2就是R2得一个规范正交基,分别取R2得两个对称线性变换,使得＝(ε1 ,ε2) ,＝(ε1 ,ε2) ,可以验证不就是对称变换、两个对称变换得乘积就是对称变换得一个充要条件就是它们可换、12、设就是n维欧氏空间V得一个线性变换,证明,如果σ满足下列三个条件中得任意两个,那么它必然满足第三个:(1)σ就是正交变换;(2)σ就是变换;(3)σ2＝ι(ι就是恒等变换)、[提示:根据σ就是正交变换当且仅当σ在一个规范正交基下得矩阵就是正交矩阵,σ就是对称变换当且仅当σ在一个规范正交基下得矩阵就是对称矩阵, 结论易证、]13、设σ就是n维欧氏空间V得线性变换,若对于任意α,β∈V, 有〈σ(α),β〉＝－〈α,σ(β)〉,则说σ就是斜对称得、证明(1) 斜对称变换关于V得任意规范正交基得矩阵都就是斜对称实矩阵;(2) 若线性变换σ关于V得某一规范正交基得矩阵就是斜对称得,则σ就是斜对称线性变换、[提示:证明过程与第八章第三节定理8、3、2(p、349)得证明过程完全类似、]14、设σ就是欧氏空间V到V '得一个同构映射,证明,如果{ε1, ε2, …, εn}就是V得一个规范正交基,则{σ(ε1), σ(ε2), …, σ(εn)}就是V '得一个规范正交基、证明:由(p、253) 定理5、5、3可知, {σ(ε1), σ(ε2), …, σ(εn)}就是V '得一个基、由欧氏空间同构映射得定义可知,σ(εi), σ(εj)=εi, εj= ,所以结论成立、15、设σ就是n维欧氏空间V得一个正交变换、证明,如果V得一个子空间W在σ之下不变,那么W得正交补也在σ之下不变、证明:因为正交变换就是可逆线性变换,由(p、331)习题七得第13题得结论得: V= 、因为,且σ就是正交变换,所以、由已知条件知,,且σ可逆,因而从而,即、16、设{ε1,ε2,ε3,ε4}就是欧氏空间V得一个规范正交基,W＝L(α1, α2),其中α1＝ε1＋ε3,α2＝2ε1－ε2＋ε4、(1)求W得一个规范正交基;(2)求W⊥得一个规范正交基、解:取α3=ε2,α4=ε3,将α1, α2,α3,α4先正交化,然后规范化后得V得一个规范正交基:β1＝β2＝β3＝β4＝则{β1,β2}与{β3,β4}分别就是W与W⊥得一个规范正交基、17、求齐次线性方程组、得解空间W得一个规范正交基,并求W⊥、解: 经计算,得空间W得一个基础解系为α1=,α2=将α1, α2扩充为R4得一个基α1, α2, α3=,α4=将α1,α2,、α3,α4规范正交化后得W得一个规范正交基β1 =, β2 =, β3=, β4 =那么{β1,β2}与{β3,β4}分别就是W与W⊥得一个规范正交基且W⊥=￡(β3,β4)、18、已知R4得子空间W得一个基α1＝(1, －1, 1, －1),α2＝(0, 1, 1, 0)求向量α＝(1, －3, 1, －3)在W上得内射影、解:易求得W⊥得一个基α3=(1,0,0,1),α4=(－2, －1,1,0)则α1,α2,α3,α4就是R4得一个基、α＝(2α1－α2) +(－3α3+0α4)所以α在W上得内射映为2α1－α2、19、对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得U T AU就是对角形式:(1) A＝,(2) A＝、解:(1)(2)。
第九章 欧氏空间
第八章 欧氏空间练习题1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立:(1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||41||41,22ηξηξηξ--+=在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1( =α与每一向量)0,,0,1,0,,0()( i i =ε,n i ,,2,1 =的夹角.3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量)4,5,2,3()2,2,1,1()0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交.4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:222||||||ηξηξ+=+(勾股定理)6．设βααα,,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21 的线性组合.证明：如果β与i α正交,n i ,,2,1 =,那么0=β. 7．设n ααα,,,21 是欧氏空间的n 个向量. 行列式><><><><><><><><><=n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121叫做n ααα,,,21 的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G ααα =0,必要且只要n ααα,,,21 线性相关.8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:><><ααβα,,2和><><βββα,,2都是0≤的整数.证明: βα,的夹角只可能是6543,32,2ππππ或. 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21 ,23322211(||nni ia a a a n a++++≤∑= ). 10．已知)0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α,)1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基．11．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组．12．令},,,{21n ααα 是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121 13．令n γγγ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令},2,1,10,|{1n i x x V K ni i i i =≤≤=∈=∑=γξξK 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少?14．设},,,{21m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:∑=≤mi i122||,ξα.15．设V 是一个n 维欧氏空间.证明)(i 如果W 是V 的一个子空间,那么W W =⊥⊥)(.)(ii 如果21,W W 都是V 的子空间,且21W W ⊆,那么⊥⊥⊆12W W )(iii 如果21,W W 都是V 的子空间,那么⊥⊥⊥+=+2121)(W W W W16．证明,3R 中向量),,(000z y x 到平面}0|),,{(3=++∈=cz by ax R z y x W的最短距离等于222000||cb a cz by ax ++++．17．证明,实系数线性方程组∑===nj i j ijn i b x a1,,2,1,有解的充分且必要条件是向量n n R b b b ∈=),,,(21 β与齐次线性方程组∑===nj j jin i x a1,,2,1,0的解空间正交.18．令α是n 维欧氏空间V 的一个非零向量．令}0,|{>=<∈=αξξαV P ． αP 称为垂直于α的超平面,它是V 的一个1-n 维子空间.V 中有两个向量ξ,η说是位于αP 的同侧,如果><><αηαξ,,与同时为正或同时为负.证明,V 中一组位于超平面αP 同侧,且两两夹角都2π≥的非零向量一定线性无关．[提示:设},,,{21r βββ 是满足题设条件的一组向量.则)(0,j i j i ≠>≤<ββ,并且不妨设)1(0,r i i ≤≤>><αβ.如果∑==ri i i c 10β,那么适当编号,可设0,,,0,,,121≤≥+r s s c c c c c ,)1(r s ≤≤,令∑∑+==-==rs j j j s i i i c c 11ββγ,证明0=γ.由此推出0=i c )1(r i ≤≤.] 19．设U 是一个正交矩阵.证明:)(i U 的行列式等于1或-1; )(ii U 的特征根的模等于1; )(iii 如果λ是U 的一个特征根,那么λ1也是U 的一个特征根;)(iv U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵.20.设02cos≠θ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin 0sin cos 0001U . 证明,U I +可逆,并且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+--010*******tan ))((1θU I U I21.证明:如果一个上三角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n a a a a a a a a a a A 000000333223221131211是正交矩阵,那么A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素ij a 是1或-1.22．证明:n 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.23．设σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换.证明:如果V 的一个子空间W 在σ之下不变,那么W 的正交补⊥W 也在σ下不变.24．设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射,对ηξ,有,)(),(ηησξσ=证明σ是V 的一个线性变换,因而是一个正交变换. 25．设U 是一个三阶正交矩阵,且1det =U .证明:)(i U 有一个特征根等于1; )(ii U 的特征多项式有形状1)(23-+-=tx tx x x f这里31≤≤-t .26．设},,,{21n ααα 和},,,{21n βββ 是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基.)(i 证明:存在V 的一个正交变换σ,使n i i i ,,2,1,)( ==βασ.)(ii 如果V 的一个正交变换τ使得11)(βατ=,那么)(,),(2n ατατ 所生成的子空间与由n ββ,,2 所生成的子空间重合.27．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换.证明,如果σ满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:)(i σ是正交变换;)(ii σ是对称变换;)(iii ισ=2是单位变换.28．设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换,且σσ=2.证明,存在V 的一个规范正交基,使得σ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00010129．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.30．n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是斜对称的,如果对于任意向量V ∈βα,,)(,),(βσβασ-=.证明:)(i 斜对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条件A A -='的矩阵叫做斜对称矩阵))(ii 反之,如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么σ一定是斜对称线性变换.)(iii 斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.31．令A 是一个斜对称实矩阵.证明,A I +可逆,并且1))((-+-=A I A I U 是一个正交矩阵.32．对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得AU U '是对角形式:)(i ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=510810228211A ; )(ii ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=114441784817A。
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第九章 欧式空间习题
1．(填空)设n εεε,,,21 为n 维欧氏空间V 中的基,在此基下向量βα,坐标分别为
),,,(21n a a a 与 ),,,(21n b b b ,则内积∑==n
i i i b a 1),(βα的充分必要条件是 。
（n εεε,,,21 是V 的标准正交基）
2．(填空)21,V V 是有限维欧氏空间的子空间，存在0,2≠∈ααV ，使得1V ⊥α的
充分条件是子空间的维数之间满足 。
（）维（）维（21V V <
3．对角矩阵为正交矩阵的充分必要条件是 （对角线上的元素为±1）。
4．（证明）设A 与B 是欧氏空间V 的两个线性变换，并且对任意V ∈α有))(),(())(),((ααααB B A A =，证明A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。
证明：A V 与BV 均是欧氏空间V 的子空间，因而对于V 的内积来说作成欧氏空间。
令V B A f ∈∀→ααα),()(:，则f 是一个映射；
因为任取V ∈βα,， 若),()(βαA A = 得 ,0)(=-βαA ))(),((0))(),((βαβαβαβα--==--∴B B A A ，从而有,0)(=-βαB 即),()(βαB B =可证f 是单射，又是满射，现证f 是线性的； R k V A A A ∈∀∈∀),()(),(βα，有)()(())()((βαβαβα+=+=+B A f A A f ))(())(()()(βαβαA f A f B B +=+=
)()()()(())((αααααkf kB k B k A f kA f ====，再证f 保持内积不变；
V ∈∀βα,，有))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαA A a A A A A A ++=++ ))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαB B B B B B B B ++=++= 所以))(),(())(),((βαβαB B A A =
即))(),(())((),(((βαβαB B A f A f =))(),((βαA A =，从而f 是同构映射，A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。
5．（证明）设V 是实数域R 上的n 维欧氏空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，
n C C C ,,,21 是R 中的n 个数。
证明：存在唯一向量,V ∈α使得内积
n i C i i ,,2,1),( ==εα。
证明：设内积关于基n εεε,,,21 下的度量矩阵为A ，且设
=α （n εεε,,,21 ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n k k k 21; 则n i i A k k n i ,,2,1,010),,(),(1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=εα，
所以 ),,(),,,(100001010),,,()),(,),,(),,((1212121n n n n C C A k k k A k k k ==⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=εαεαεα 从而),,(1n k k =121),,,(-A C C C n ，所以满足条件的α是存在的。
再证唯一性;设存在V ∈β，也有n i C i
i ,,2,1),( ==εβ， 则n i C i i i ,,2,1)
,(),( ===εβεα，从而有n i i ,,2,10),( ==-εβα，可推出0),(=--βαβα即βα=。
6．（证明）设m ααα,,,21 ，m βββ,,,21 ，是欧氏空间中的两组向量，如果
m j i j i j i ,,2,1,),,(),( ==ββαα，则),,,(211m L V ααα =与),,,(212m L V βββ =同构。
证明：先证21dim dim V V ≤；设r V =1dim 且r ααα,,,21 为V 1的基，设
02211=+++r r k k k βββ ，因为m j i j i j i ,,2,1,),,(),( ==ββαα，
所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==r r r r r r r r
i i i r i i i k k k k k k
111,1111),(),(),(),(),(),(ββββββββββ =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r r r r r r r k k k k
11
1,11),(),(),(),(),(αααααααα=),(11∑∑==r i i i r i i i k k αα，01=∑=r i i i k α。
由r ααα,,,21 线性无关，得212dim dim ,dim V V r V ≤≥即 同理可证12dim dim V V ≤，所以21dim dim V V =，即1V 与2V 同构。
7．若对于n 个非零数0,,0,021≠≠≠n k k k 二次形AX X x x x f n '=),,,(21 都
有0),,,(21>n k k k f 则二次形AX X x x x f n '=),,,(21 是正定二次形。
8．求证：在欧氏空间中，两个向量βα,的模相等当且仅当0),(=-+βαβα。
9．若A 为n 阶实对称矩阵，且)(12N k E A k ∈=+,证明：存在A 为n 阶正交矩阵U ，使得.E AU U ='
10．证明：欧氏空间V 的每一个子空间W ，都有唯一的正交补。
证明：如果W={0}，那么W 的正交补就是空间V ，唯一性显然成立；
设W ≠{0}；欧氏空间的子空间在所定义的内积之下也是一个欧氏空间，在W 中取一组正交基。