欧式空间习题

第九章 欧式空间习题

1．(填空)设n εεε,,,21 为n 维欧氏空间V 中的基,在此基下向量βα,坐标分别为

),,,(21n a a a 与 ),,,(21n b b b ,则内积∑==n

i i i b a 1),(βα的充分必要条件是 。

（n εεε,,,21 是V 的标准正交基）

2．(填空)21,V V 是有限维欧氏空间的子空间，存在0,2≠∈ααV ，使得1V ⊥α的

充分条件是子空间的维数之间满足 。（）维（）维（21V V <

3．对角矩阵为正交矩阵的充分必要条件是 （对角线上的元素为±1）。

4．（证明）设A 与B 是欧氏空间V 的两个线性变换，并且对任意V ∈α有))(),(())(),((ααααB B A A =，证明A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。

证明：A V 与BV 均是欧氏空间V 的子空间，因而对于V 的内积来说作成欧氏空间。令V B A f ∈∀→ααα),()(:，则f 是一个映射；

因为任取V ∈βα,， 若),()(βαA A = 得 ,0)(=-βαA ))(),((0))(),((βαβαβαβα--==--∴B B A A ，从而有,0)(=-βαB 即),()(βαB B =可证f 是单射，又是满射，现证f 是线性的； R k V A A A ∈∀∈∀),()(),(βα，有)()(())()((βαβαβα+=+=+B A f A A f ))(())(()()(βαβαA f A f B B +=+=

)()()()(())((αααααkf kB k B k A f kA f ====，再证f 保持内积不变；

V ∈∀βα,，有))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαA A a A A A A A ++=++ ))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαB B B B B B B B ++=++= 所以))(),(())(),((βαβαB B A A =

即))(),(())((),(((βαβαB B A f A f =))(),((βαA A =，从而f 是同构映射，A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。

5．（证明）设V 是实数域R 上的n 维欧氏空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，

n C C C ,,,21 是R 中的n 个数。证明：存在唯一向量,V ∈α使得内积

n i C i i ,,2,1),( ==εα。

证明：设内积关于基n εεε,,,21 下的度量矩阵为A ，且设

=α （n εεε,,,21 ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n k k k 21; 则n i i A k k n i ,,2,1,010),,(),(1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=εα，

所以 ),,(),,,(100001010),,,()),(,),,(),,((1212121n n n n C C A k k k A k k k ==⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=εαεαεα 从而),,(1n k k =121),,,(-A C C C n ，所以满足条件的α是存在的。 再证唯一性;设存在V ∈β，也有n i C i

i ,,2,1),( ==εβ， 则n i C i i i ,,2,1)

,(),( ===εβεα，从而有n i i ,,2,10),( ==-εβα，可推出0),(=--βαβα即βα=。

6．（证明）设m ααα,,,21 ，m βββ,,,21 ，是欧氏空间中的两组向量，如果

m j i j i j i ,,2,1,),,(),( ==ββαα，则),,,(211m L V ααα =与),,,(212m L V βββ =同构。

证明：先证21dim dim V V ≤；设r V =1dim 且r ααα,,,21 为V 1的基，设

02211=+++r r k k k βββ ，因为m j i j i j i ,,2,1,),,(),( ==ββαα，

所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==r r r r r r r r

i i i r i i i k k k k k k

111,1111),(),(),(),(),(),(ββββββββββ =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r r r r r r r k k k k

11

1,11),(),(),(),(),(αααααααα=),(11∑∑==r i i i r i i i k k αα，01=∑=r i i i k α。 由r ααα,,,21 线性无关，得212dim dim ,dim V V r V ≤≥即 同理可证12dim dim V V ≤，所以21dim dim V V =，即1V 与2V 同构。

7．若对于n 个非零数0,,0,021≠≠≠n k k k 二次形AX X x x x f n '=),,,(21 都

有0),,,(21>n k k k f 则二次形AX X x x x f n '=),,,(21 是正定二次形。

8．求证：在欧氏空间中，两个向量βα,的模相等当且仅当0),(=-+βαβα。

9．若A 为n 阶实对称矩阵，且)(12N k E A k ∈=+,证明：存在A 为n 阶正交矩阵U ，使得.E AU U ='

10．证明：欧氏空间V 的每一个子空间W ，都有唯一的正交补。

证明：如果W={0}，那么W 的正交补就是空间V ，唯一性显然成立；

设W ≠{0}；欧氏空间的子空间在所定义的内积之下也是一个欧氏空间，在W 中取一组正交基