201x版八年级数学下册第5章分式与分式方程复习教案新版北师大版
新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案
新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案教学目标学习分式及分式的概念、性质和运算法则，并掌握简单分式的变形和分式方程的解法。
教学重难点重点•分式的概念、性质和运算法则•分式的变形•分式方程的解法难点•分式方程的解法教学过程导入（10分钟）1.调查课前练习，询问学生对分式的了解和学习情况。
2.引入分式的概念，让学生举例说明分式的实际应用。
提高课堂参与度（10分钟）1.通过多项式的例子，引入分式。
2.分小组讨论分式与多项式的联系和区别，并展示讨论成果。
理论课（30分钟）1.分式的定义和性质。
2.分式的约分、通分和加减法。
3.分式与整式的加减法。
实践课（50分钟）1.分式的变形：分解、合并及简化。
2.分式方程的概念及解法。
3.通过实例让学生掌握分式方程的解法。
课堂总结（10分钟）1.小结本节课的重点内容。
2.引导学生对本节课的学习成果进行分享。
作业布置1.抄写本节课的重点内容以及实例。
2.完成课后练习。
教学方法1.演示法2.分组讨论3.实践操作4.个别指导教学资源1.教材：新北师大版八年级数学下册2.PPT：分式与分式方程参考文献1.《初中数学》2.《分式与分式方程教育同行》教学反思本节课通过实例和讨论等方式，激发了学生的学习兴趣，真正意义上实现了知识与实践相结合。
在教学过程中，我进一步提高了自己的教学能力，尤其是关注学生的理解进程，帮助学生掌握分式方程的解法，提高其数学素养。
最新北师大版八年级数学下册-第五章单元综合复习-《分式与分式方程》复习教案
第五章《分式与分式方程》●教学目标（一）教学知识点1.用分式表示生活中的一些量.2.分式的基本性质及分式的有关运算法则.3.分式方程的概念及其解法.4.列分式方程，建立现实情境中的数学模型.（二）能力训练要求1.使学生有目的的梳理知识，形成这一章完整的知识体系.2.进一步体验“类比”与“转化”在学习分式的基本性质、分式的运算法则及其分式方程解法过程中的重要作用.3.提高学生的归纳和概括能力，形成反思自己学习过程的意识.（三）情感与价值观要求使学生在总结学习经验和活动经验的过程中，体验因学习方法的大力改进而带来的快乐，成为一个乐于学习的人.●教学重点1.分式的概念及其基本性质.2.分式的运算法则.3.分式方程的概念及其解法.4.分式方程的应用.●教学难点1.分式的运算及分式方程的解法.2.分式方程的应用.●教学方法讨论——交流法讨论交流本章学习过程中的经验和收获，在反思过程中建立知识体系.●教具准备投影片两张，实物投影仪第一张：问题串，（记作§5.5 A）第二张：例题分析，（记作§5.5 B）●教学过程Ⅰ.提出问题，回顾本章的知识.出示投影片（§5.5 A ） 问题串：1.实际生活中的一些量可以用分式表示，一些问题可以通过列分式方程解决，请举一例.2.分式的性质及有关运算法则与分数有什么异同？3.如何解分式方程？它与解一元一次方程有何联系与区别？［师］同学们可针对以上问题，以小组为单位讨论、交流，然后在全班进行交流. （教师可参与于学生的讨论中，注意扫除他们学习中常犯的错误）［生］实际生活中的一些量可以用分式表示，例如（用实物投影）某人在外面晨练，有m 分钟，他每分钟走a 米；有n 分钟，他每分钟跑b 米.求此人晨练平均每分钟行多少米？［生］我们组来回答此问题，此人晨练时平均每分钟行n m bn am ++米. 我们组也举出一个例子：长方形的面积为8 m 2,长为p m,宽为____________ m.［生］应为p8 m. ［师］同学们举的例子都很有特色，谁还能举.［生］如果某商品降价x %后的售价为a 元，那么该商品的原价为多少元？［生］原价为%1x a -元.…… ［师］n m bn am ++,p 8,%1x a -都是分式.分式有什么特点？和整式有何区别？ ［生］整式A 除以整式B ，可表示成B A 的形式，如果除式B 中含有字母，则称B A 是分式.而整式分母中不含字母.［生］实际生活中的一些问题可用分式方程来解决.例如（用实物投影仪） 某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10 h ，采用新工艺前、后每时分别加工多少个零件？解：设采用新工艺前、后每时分别加工x 个，1.5x 个，根据题意，得x 1200=x5.11200+10 解，得x =40,1.5x =40×1.5=60.经检验x =40是原方程的根，也符合题意.答：采用新工艺前后每时分别加工40个、60个.［师］下面我们来看第二个问题.［生］分式的性质及其有关运算与分数的异同，我们组列表如下： 式子分数 分式 B A A 、B 是两个整数，B ≠0 A 、B 是两个整式，B 含有字母，字母的取值应保证B ≠0B A =MB M A ⋅⋅ M 是不等于零的数，分数基本性质，分数通分 M 是不等于零的整式，分式基本性质 B A =M B M A ÷÷ M 是不等于零的数，分数基本性质，分数约分 M 是不等于零的整式，分式基本性质，分式约分b a ·dc =bdac 分数乘法法则 分式的乘法法则 b a ÷d c =bcad 分数除法法则 分式除法法则 b a ±d c =b c a ± 同分母分数加减法法则 同分母分式加减法法则b a ±cd =bc ac ±bc bd =bcbd ac ± 异分母分数加减法法则 异分母分式加减法法则 ［师］用列表格的方式，使分数与分式的性质及其运算法则的异同清晰可见.你们的想法老师很欣赏.［生］我们组来回答第三个问题吧.先看第一问.解分式方程分三步：第一步，去分母，把分式方程转化为整式方程；第二步，解这个整式方程；第三步，将整式方程的根代入最简公分母，如果使最简公分母为零，则此根为原方程的增根，若最简公分母不为零，则此根是原方程的解.［生］我认为从解分式方程的步骤就可以看出分式方程是通过去分母转化为一元一次方程后完成的.但解分式方程必须检验，这就是和一元一次方程的区别.因为在把分式方程转化为整式方程时，方程两边同乘以含未知数的最简公分母，若解出的整式方程（这里通常是一元一次方程）的根使最简公分母为零，则原分式方程无意义，所以分式方程必须验根.［师］同学们三个问题都回答得很好.下面我们来看一组例题（出示投影片§3.5B ） ［例1］当x 为何值时，下列分式的值为零.（1）9)3)(2(2---x x x ；（2）11+-x x . 解：（1）由分子（x －2）（x －3）=0，得x =2或x =3.当x =2时，x 2－9≠0；当x =3时，x 2－9=0.所以当x =2时，分式的值为零.（2）由分子x －1=0，得x =1,而当x =1时，分母x +1=1+1=2≠0.所以当x =1时，分式的值为零.［例2］约分（1）2122---a a a ;（2）xy x 20162-. 解：（1）2122---a a a =)1)(2()1)(1(+--+a a a a =21--a a （2）xy x 20162-=－x y x x 4544⋅⋅=－yx 54 ［例3］计算：（1）22a ab a -÷（b a －ab ） （2）11222-++a a a －11-a （2003年南京市中考题） 解：（1） 22a ab a -÷（b a －ab ） =2)(a b a a -÷ab b a b a ))((-+ =2)(a b a a -×))((b a b a ab -+ =ba b +（2）11222-++a a a －11-a =)1)(1()1(2-++a a a －11-a =11-+a a －11-a =1-a a ［例4］下列解法对吗？若不对，请改正.（1）解方程21-x =xx --21－3 方程两边同乘以x －2,得1=－（1－x ）－3x =5［错因分析与解题指导］在方程两边同乘（x －2）时，右边－3项漏乘了.去分母时，特别要当心原方程中原来“没有分母”（其实是分母为1）的项，不要漏乘.正确解法：方程两边同乘以（x －2），得1=－（1－x ）－3（x －2）解，得x =2检验：将x =2代入x －2=0.所以x =2是原方程的增根，原方程无解.Ⅱ.建立知识结构图.（在学生回忆、反思的过程中，建立知识结构图）［师生共析］Ⅲ.课时小结这节课我们通过回顾与思考，更进一步体会到了分式和分式方程这样的数学模型如何去解决生活中的实际问题，并且提高了运算的能力和对算理的进一步理解.Ⅳ.课后作业1.课本复习题A 组、B 组，学有余力的同学可完成C 组.2.独立完成一份小结，谈一谈学习本章后的收获及遇到的困难等.Ⅴ.活动与探究甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？［过程］平均价格是为两次买的总糖量除总价钱.由于两次买糖的价格不一样，可设两次的价格分别为x 、y （单位：元/斤），只要列出代数式表示甲、乙两人买糖的平均价格，用作差的方法即可.［结果］设两次买糖的进价分别为x 、y （单位：元/斤），A 、B 分别是甲、乙两人买糖的平均进价.则：A =yx 1000100010002+⨯=y x xy +2 B =1000210001000⨯+y x =2y x + B －A =2y x +－y x xy +2=)(22)(2y x xy y x +-+ =)(222y x y x ++＞0 所以乙的平均价格高.按甲的进货策略进货更合理.●板书设计 §5.5 回顾与思考。
新北师大版八年级数学下册《五章 分式与分式方程 回顾与思考》教案_15
分式方程及其应用----回顾与思考教学设计
一、教材分析：
本节课选自北师大版八年级下册第五章的内容，是学生在学完分式方程及其应用的基础上进行的复习与回顾。
分式方程及其应用是中考中常考的一个考点。
近八年中考中，省卷三考，分值为6分；昆明卷五考，分值为4~7分；曲靖卷五考，分值3~9分。
二、学情分析：
九年级学生对分式方程部分的内容已比较熟悉，但是对于分析题意并准确找出等量关系正确列出分式方程这一方面不太熟练，因此设计本节课帮助学生更好地解分式方程应用题。
三、教法、学法分析：
采用“先学后教，当堂训练”的五步自主教学法进行教学。
在教师的指导下通过学生自学、互学、当堂训练等环节，让学生自主探索和交流从而快速正确的解分式方程应用题。
四、学习目标：
● 1.能熟练解分式方程；
● 2.熟知列分式方程解应用题的基本步骤；
● 2.熟练解决分式方程的实际应用题。
五、教学重点与难点：
教学重点：列分式方程解决实际应用题。
教学难点：准确找出等量关系列分式方程。
六、教学过程设计：。
八年级数学下册第五章分式与分式方程分式方程教案新版北师大版
4 分式方程第1课时一、教学目标1.知识与技能（1）理解分式方程的概念；（2）能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．2.过程与方法体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义．3.情感态度及价值观在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义． 难点：能根据实际问题中的等量关系列出分式方程．三、教具准备课件.四、教学过程（一）创设情境，引入新课［师］在这一章的第一节《认识分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题．当时，我们设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要x 2400个月，实际完成一期工程用了302400+x 个月．根据题意，可得方程x 2400－302400+x =4．（1） 我们说x 2400，302400+x 分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式．可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型．接下来，我们再来看几个这样的例子．（二）讲授新课列出刻画现实世界的数学模型——方程．（多媒体出示）1.［小麦实验田问题］有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦 9 000 kg 和15000 kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg ，分别求这两块试验田每公顷的产量．你能找出这一问题中所有的等量关系吗？如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，那么，第二块试验田每公顷的产量是____________kg ．根据题意，可得方程_________ ___．［师］在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？［生1］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积．其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积．［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？［生2］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积．（a ）［生3］还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000 kg=第二块试验田每公顷的产量（b ）［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg ，那么第二块试验田每公倾的产量是多少千克呢？［生］根据等量关系（b ），可知第二块试验田每公顷的产量是（x +3000）kg ．［生］根据题意，利用等量关系（a ），可得方程：x 9000=300015000+x ．（2） ［师］x 9000，300015000+x 的实际意义是什么呢？ ［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积．［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流，我们看哪一个组思维最敏捷．［生］根据等量关系（a ），我们可以设两块试验田的面积都为x 公顷，那么x9000表示第一块试验田每公顷的产量，x15000表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b ）可列出方程：x 9000+3000=x15000.（3） ［师］接下来，我们再来看一个问题.（多媒体出示）2.［电脑网络培训问题］王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元．后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元．原定的人数是多少？这一问题中有哪些等量关系？如果设原定是x 人，那么每人平均分摊____________元；人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊____________元．根据题意，可得方程____________．［师］我们先来审题，找到题中的等量关系．［生］由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数×2倍．（c ）［生］还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元．（d ）［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型．［师］很好！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？ 讨论后，各小组可选代表回答上面的问题．［生］我代表第一小组回答．我们设未知数的方法采用中方法：设原定是x 人，那么每人平均分摊x 300元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊x2480元，根据题意，利用等量关系（d ），得方程x 300－4=x 2480.（4） ［生］我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊y 元，那么原定人数为y 300；实际参加活动的每个同学平摊（y －4）元，那么实际参加活动的人数为4480-y ，根据题意，利用等量关系（c ），得方程2×y 300=4480-y ．（5） ［师］上面两个组的回答都很精彩，鼓励一下他们．（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好． 观察方程：x 2400－302400+x =4 （1） x 9000=300015000+x （2） x 9000+3000=x15000 （3） x 300－4=x2480 （4） 2×y 300=4480-y （5） 上面所得到的方程有什么共同特点？［生］方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程．［师］是的．这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程．（三）随堂练习1．已知鱼塘中有x 千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是x +102000元．现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x 满足的方程．分析：题中的等量关系是：101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元．解：x 满足的方程是101×x+102000=200． 2．某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x 满足怎样的方程？解：抽调管理人员x 人后，管理人员有（40－x ）人，销售人员有（80+x ）人，根据题意得 x x +-8040=41． （四）课堂小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程．（五）教学反思第2课时教学目标1.知识与技能（1）掌握解分式方程的一般步骤；（2）理解检验分式方程的根的必要性．2.过程与方法（1）通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤；（2）使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径．3.情感态度及价值观（1）培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度；（2）运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信．二、教学重点、难点重点：（1）解分式方程的一般步骤；（2）检验分式方程的根的必要性．难点：明确解分式方程验根的必要性．三、教具准备课件.四、教学过程（一）提出问题，引入新课［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程．但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程．这节课，我们就来学习分式方程的解法．我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法． 解方程：213-x +325+x =2－624-x ［师生共解］解：去分母，方程两边同乘分母的最小公倍数6，得3（3x －1）+2（5x +2）=6×2－（4x －2），去括号，得9x －3+10x +4=12－4x +2，移项，得9x +10x +4x =12+2+3－4，合并同类项，得23x =13，系数化为1，得x =2313． （二）讲解新课，探索分式方程的解法［师］刚才我们一同回忆了解一元一次方程的步骤．下面我们来看一个分式方程． ［例1］解方程：21-x =x3． （1） ［师］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？［生］可以．［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？ ［生］乘分式方程中所有分母的公分母．［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘分母的最小公倍数，比较简单．解分式方程时，我认为方程两边同乘分母的最简公分母，去分母也比较简单．［师］我觉得这两位同学的想法都非常好．那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？ ［生］x （x －2）．［师生共析］方程两边同乘x （x －2），得x （x －2）·21-x =x （x －2）·x3， 整理，得x =3（x －2）． （2）［师］我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为了整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程．再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x ．即去括号，得x =3x －6.移项、合并同类项，得2x =6.系数化为1，得x =3．［师］x =3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论． （教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）［师］x =3是由一元一次方程x =3（x －2）（2）解出来的，x =3一定是方程（2）的解．但是不是原分式方程（1）的解，需要检验．把x =3代入方程（1）的左边=231-=1，右边=33=1，左边=右边，所以x =3是方程（1）的解．［师］请同学们用同样的方法完成例2的解答．［例2］解方程：x 300－x2480=4. （由学生在练习本上试着完成，然后师生共同解答）.解：方程两边同乘2x ，得600－480=8x.解这个方程，得x =15.检验：将x =15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边，所以x =15是原方程的根．［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯．我这里还有一个题，我们再来一起解决一下.（多媒体出示，先隐藏小亮的解法）议一议： 解方程：32--x x =x-31－2． （可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并共同分析） ［师］我们来看小亮同学的解法：32--x x =x-31－2. 解：方程两边同乘（x －3），得2－x =－1－2（x －3）解这个方程，得x =3．［生］小亮解完没检验x =3是不是原方程的解．［师］检验的结果如何呢？［生］把x =3代入原方程中，使方程的分母x －3和3－x 都为零，即x =3时，方程中的分式无意义，因此x =3不是原方程的根．［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？［生］x =3是去分母后的整式方程的根．［师］为什么x =3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论．（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘最简公分母才得到整式方程．如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了．［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根． 在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根，那么是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解．解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解．［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？ 学生先思考，教师再讲解.［师］产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的．因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母．若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根．是增根，必舍去．在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根．但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验．小亮就犯了没有检验的错误．（三）应用，升华1．解方程：（1）13-x =x 4；（2）1210-x +x 215-=2． 2．回顾，总结想一想：解分式方程一般需要经过哪几个步骤？［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结．［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去．使最简公分母不为零的根才是原方程的根．3．解分式方程：（1）x 9000=300015000+x ； （2）x h 2=x a a -（a ，h 常数）.（四）课堂小结［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小．［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可．［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根．［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程．（五）教学反思第3课时一、教学目标1.知识与技能会利用分式方程的数学模型反映、解决现实情境中的实际问题．2.过程与方法经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力；3.情感态度及价值观（1）经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣；（2）培养学生的创新精神，从中获得成功的体验．二、教学重点、难点重点：（1）审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型．（2）根据实际意义检验解的合理性．难点：寻求实际问题中的等量关系．三、教具准备课件.四、教学过程（一）提出问题，引入新课［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程．接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题．（二）讲授新课做一做（多媒体出示）某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9．6万元，第二年为10．2万元．（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？［师］现在我们一起来寻求这一情境中的等量关系．［生］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元．（1）［生］还有一个等量关系：第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数．［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要．同学们尽管提出符合情境的问题．［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？［师］很好，下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？［师生共析］解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为x 96000元，第二年每间房屋的租金为x 102000元.根据题意，得x 102000=x96000+500. 解这个方程，得x =12.经检验x =12是原方程的解，也符合题意．所以每年各有12间房屋出租．［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？［生］根据第一问的答案可计算，得 第一年每间房屋的租金为1296000=8 000（元）， 第二年每间房屋的租金为12102000=8 500（元）． ［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？［生］解：设第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为（x +500）元．第一年租出的房间为x 96000间，第二年租出的房间为500102000+x 间，根据题意，得 x 96000= 500102000+x . 解得x = 8000.x +500=8 500（元）.经检验，x =8 000是原分式方程的解，也符合题意．所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元．［师］我们利用分式方程解决了实际问题．现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情．［例］某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5 m 3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5 m 3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用．1月份，张家用水量是李家用水量的32，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元．超出5 m 3的部分每立方米收费多少元？［师］解决实际情境问题，最关键的是什么呢？［生］审清题意，找出题中的等量关系．［师］很好．某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）.［生］此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的32． ［师］怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？［生］根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5 m 3的水费与超出5 m 3部分的水费．［师］下面我们就来用等量关系列出方程．［师生共析］设超出5 m 3部分的水每立方米收费为x 元，则1月份张家超出5 m 3的部分水费为（17．5－1．5×5）元，超出 5 m 3的用水量为x55.15.17⨯- m 3，总用水量为5+x55.15.17⨯- m 3； 李家超出5 m 3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5 m 3的用水量为x55.15.27⨯- m 3，总用水量为（5+x55.15.27⨯-）m 3. 根据等量关系，得x 55.15.17⨯-+5=（x 55.15.27⨯-+5）×32. 解这个方程，得x =2．经检验x =2是所列方程的根．所以超出5 m 3部分的水每立方米收费2元．（三）随堂练习小芳带了15元钱去商店买笔记本．如果买一种软皮本，正好需付15元钱．但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本．这种软皮本和硬皮本每本的价格各是多少？［师］我们先来找到题中的等量关系．［生］题中的等量关系有两个：15元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本；硬皮本的价格=软皮本的价格×（1+21）. ［师］我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第1题．［生］解：设软皮本每本的价格为x 元，则硬皮本每本的价格为（1+21）x 元，那么15元钱可买软皮本x 15本，硬皮本x )211(15+本．根据题意，得，x 15=x )211(15++1 解得x =5.经检验x =5是原方程的根，也符合题意.所以（1+21）x =23×5=7.5（元）. 答：软皮本每本的价格为5元，硬皮本每本的价格为7.5元.（四）课堂小结列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向．（五）教学反思。
最新北师大版八年级数学初二下册第五章《分式与分式方程》复习教案
第五章《分式与分式方程》●教学目标（一）教学知识点1.用分式表示生活中的一些量.2.分式的基本性质及分式的有关运算法则.3.分式方程的概念及其解法.4.列分式方程，建立现实情境中的数学模型.（二）能力训练要求1.使学生有目的的梳理知识，形成这一章完整的知识体系.2.进一步体验“类比”与“转化”在学习分式的基本性质、分式的运算法则及其分式方程解法过程中的重要作用.3.提高学生的归纳和概括能力，形成反思自己学习过程的意识.（三）情感与价值观要求使学生在总结学习经验和活动经验的过程中，体验因学习方法的大力改进而带来的快乐，成为一个乐于学习的人.●教学重点1.分式的概念及其基本性质.2.分式的运算法则.3.分式方程的概念及其解法.4.分式方程的应用.●教学难点1.分式的运算及分式方程的解法.2.分式方程的应用.●教学方法讨论——交流法讨论交流本章学习过程中的经验和收获，在反思过程中建立知识体系.●教具准备投影片两张，实物投影仪第一张：问题串，（记作§5.5 A）第二张：例题分析，（记作§5.5 B）●教学过程Ⅰ.提出问题，回顾本章的知识. 出示投影片（§5.5 A ）行交流.（教师可参与于学生的讨论中，注意扫除他们学习中常犯的错误） ［生］实际生活中的一些量可以用分式表示，例如（用实物投影）［生］我们组来回答此问题，此人晨练时平均每分钟行nm +米. 我们组也举出一个例子：长方形的面积为8 m 2,长为p m,宽为____________ m.［生］应为p8 m. ［师］同学们举的例子都很有特色，谁还能举.［生］如果某商品降价x %后的售价为a 元，那么该商品的原价为多少元？ ［生］原价为%1x a-元.…… ［师］n m bn am ++,p 8,%1x a-都是分式.分式有什么特点？和整式有何区别？ ［生］整式A 除以整式B ，可表示成BA的形式，如果除式B 中含有字母，则称BA是分式.而整式分母中不含字母. ［生］实际生活中的一些问题可用分式方程来解决.例如（用实物投影仪）［生］分式的性质及其有关运算与分数的异同，我们组列表如下：见.你们的想法老师很欣赏.［生］我们组来回答第三个问题吧.先看第一问.解分式方程分三步：第一步，去分母，把分式方程转化为整式方程；第二步，解这个整式方程；第三步，将整式方程的根代入最简公分母，如果使最简公分母为零，则此根为原方程的增根，若最简公分母不为零，则此根是原方程的解.［生］我认为从解分式方程的步骤就可以看出分式方程是通过去分母转化为一元一次方程后完成的.但解分式方程必须检验，这就是和一元一次方程的区别.因为在把分式方程转化为整式方程时，方程两边同乘以含未知数的最简公分母，若解出的整式方程（这里通常是一元一次方程）的根使最简公分母为零，则原分式方程无意义，所以分式方程必须验根.［师］同学们三个问题都回答得很好.下面我们来看一组例题（出示投影片§3.5 B）（在学生回忆、反思的过程中，建立知识结构图）［师生共析］Ⅲ.课时小结这节课我们通过回顾与思考，更进一步体会到了分式和分式方程这样的数学模型如何去解决生活中的实际问题，并且提高了运算的能力和对算理的进一步理解.Ⅳ.课后作业1.课本复习题A 组、B 组，学有余力的同学可完成C 组.2.独立完成一份小结，谈一谈学习本章后的收获及遇到的困难等. Ⅴ.活动与探究甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？［过程］平均价格是为两次买的总糖量除总价钱.由于两次买糖的价格不一样，可设两次的价格分别为x 、y （单位：元/斤），只要列出代数式表示甲、乙两人买糖的平均价格，用作差的方法即可.［结果］设两次买糖的进价分别为x 、y （单位：元/斤），A 、B 分别是甲、乙两人买糖的平均进价.则：A =y x 1000100010002+⨯=yx xy+2B =1000210001000⨯+y x =2yx +B －A =2y x +－y x xy +2=)(22)(2y x xy y x +-+=)(222y x y x ++＞0 所以乙的平均价格高.按甲的进货策略进货更合理. ●板书设计。
八年级数学下册 第五章 分式与分式方程 1 认识分式教案 (新版)北师大版
1 认识分式第1课时一、教学目标 1.知识与技能了解分式的概念，明确分式与整式的区别． 2.过程与方法（1）让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的有效数学模型；（2）理解分式有无意义、分式的值为零的条件，并能熟练求出. 3.情感态度及价值观培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索、合作交流. 二、教学重点、难点 重点：了解分式的概念．难点：分式有无意义、分式的值为零的条件． 三、教具准备 课件. 四、教学过程 （一）创设情景面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2 400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务，原计划每月固沙造林多少公顷？ （1）这一问题中有哪些等量关系？（2）如果设原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要__________个月，实际完成一期工程用了__________个月；根据题意，可得方程___________________． 分析：（1）等量关系包括：实际每月固沙造林的面积=原计划每月固沙造林的面积+30公顷；原计划完成一期工程的时间-实际完成一期工程的时间=4个月.月）完成一期工程的时间（积实际每月固沙造林的面公顷=2400.（2），，3024002400+x x 4302400-2400=+x x .通过土地沙化问题，让学生探索问题中的数量关系，并用分式表示，进而认识分式，体会分式的意义，发展符号感． （二）做一做一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为m kg ，箱子的质量为n kg ，则每千克苹果售价是多少元？进一步丰富分式的实际背景，使学生体会分式的意义． （三）议一议上面问题中出现了的这些代数式2400x ，240030x +，am n-，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式．如果除式B 中含有字母，那么称BA为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零． 这里是对前面出现的分式的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，总结出整式与分式的异同，从而获得分式的概念．教学时不宜直接给出定义让学生死记硬背． （四）巩固应用 例 对于分式aa 21+： （1）当a =1，2时，求分式aa 21+的值； （2）当a 取何值时，分式aa 21+有意义？ 解：（1）当a =1时，；1121121=⨯+=+a a当a =2时，；43221221=⨯+=+a a （2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义． 由分母2a =0，得a =0，所以，当a 取零以外的任何实数时，分式aa 21+有意义． 对于例题（2），可以引导学生从两方面理解：其一，与分数类比（由特殊到一般）；其二，字母a 本身是可以表示任何数的，但这里a 作为分母，要求它不能等于零（由一般到特殊）． （五）课堂小结想一想：什么是分式？分式中的分母应注意些什么？通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解． （六）教学反思第2课时一、教学目标 1.知识与技能 （1）分式的基本性质；（2）利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形； （3）了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法； （4）使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式. 2.过程与方法（1）能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质； （2）培养学生加强事物之间的联系，提高数学运算能力. 3.情感态度及价值观通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣. 二、教学重点、难点重点：（1）分式的基本性质； （2）利用分式的基本性质约分； （3）将一个分式化简为最简分式. 难点：分子、分母是多项式的约分. 三、教具准备 课件. 四、教学过程（一）复习分数的基本性质，推想分式的基本性质. ［师］我们来看如何做不同分母的分数的加法：21+ 31. ［生］21+31=3231⨯⨯+2321⨯⨯=63+62=65. ［师］这里将异分母化为同分母，21=3231⨯⨯=63, 31=2321⨯⨯=62.这是根据什么呢？ ［生］根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.［师］很好！分式是一般化了的分数，我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质呢？（二）新课讲解 1.分式的基本性质 多媒体出示.［生］（1）将6的分子、分母同时除以它们的最大公约数3得到.即6=36÷=2. 依据是分数的基本性质：分数的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变. （2）分式a a 2与21相等，在分式a a 2中，a ≠0，所以a a 2=a a a a ÷÷2=21; 分式mn n 2与m n也是相等的.在分式mn n 2中，n ≠0，所以mn n 2=n mn n n ÷÷2=mn .［师］由此，你能推想出分式的基本性质吗？［生］分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变. ［师］在运用此性质时，应特别注意什么？［生］应特别强调分式的分子、分母都乘（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”.［师］我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形.同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形.下面我们就来看一个例题.（多媒体出示）［生］在（1）中，因为y ≠0，利用分式的基本性质，在x2的分子、分母中同乘y ，即可得到右边，即x b 2=y x yb ⋅⋅2=xyby 2； ［师］很好！在（1）中，题目告诉你y ≠0，因此我们可用分式的基本性质直接求得.可（2）中右边又是如何从左边得到的呢？ ［生］在（2）中，bx ax 可以分子、分母同除以x 得到，即bx ax =x bx x ax ÷÷=ba . ［生］“x ”如果等于“0”，就不行. 在bx ax 中，x 不会为“0”，如果是“0”，bx ax 中分母就为“0”，分式bxax将无意义，所以（2）中虽然没有直接告诉我们x ≠0，但要由bxax 得到b a ，bx ax必须有意义，即bx ≠0由此可得b ≠0且x ≠0.［师］这位同学分析得很精辟！ 2.分式的约分［师］利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式化简. 我们不妨先来回忆如何对分数化简.［生］化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简.例如123，3和12的最大公约数是3，所以123=31233÷÷=41. ［师］我们不妨仿照分数的化简，来推想对分式化简.（多媒体出示）做？［生］约去分子、分母中的公因式.（1）中a 2bc 可分解为ac ·（ab ）.分母中也含有因式ab,因此利用分式的基本性质：ab bc a 2=)()(2ab ab ab bc a ÷÷=)()()(ab ab ab ab ac ÷÷⋅=ac. ［师］我们可以注意到（1）中的分式，分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可.这样的公因式如何分离出来呢？同学们可小组讨论.［生］如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公约数，相同的字母取它们中最低次幂.［师］回答得很好.可（2）中的分式，分子、分母都是多项式，又如何化简呢？ ［生］通过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式.［师］这个主意很好.现在同学们自己动手把第（2）题试着完成一下.［生］解：（2）12122+--x x x =2)1()1)(1(-+-x x x =11-+x x . ［生］老师，我明白了，遇到分子、分母是多项式的分式，应先将它们分解因式，然后约去公有的因式.［师］在例3中，ab bc a 2=ac ，即分子、分母同时约去了整式ab ； 12122+--x x x =11-+x x ，即分子、分母同时约去了整式（x －1）.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分.下面我们亲自动手，再来化简几个分式.（多媒体出示）［生］解：（1）y x 220=)5()4(xy x ⋅=x4;（2）)()(b a b b a a ++=ba.［师］在刚才化简第（1）题中的分式时，一位同学这样做的（多媒体出示）.［生］我认为小颖的做法中，220x 中还有公因式5x ，没有化简完，也就是说没有化成最简结果. ［师］很好！y x xy 2205如果化简成x41，说明化简的结果中已没有公因式，这种分式称为最简分式.因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式. （三）巩固、提高 1.填空： （1）y x x -2=))(()(y x y x +-; （2）)(1422=-+y y .1. 解：（1）因为y x x -2=))(()(2y x y x y x x +-+=))((222y x y x xy x +-+，所以括号里应填2x 2+2xy; （2）因为422-+y y =)2)(2(2-++y y y =21-y ， 所以括号里应填y －2. 2.化简下列分式：（1）2332912y x y x ;（2）3)(y x yx --.2. 解：（1）2332912y x y x =)3()3()3()4(2222y x x y x y ⋅⋅=xy34;（2）3)(y x y x --=)()()(2y x y x y x -⋅--=2)(1y x -. （四）课堂小结［师］通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）［生］数学知识之间是有内在联系的.利用分数的基本性质就可推想出分式的基本性质. ［生］分式的约分和化简可联系分数的约分和化简. ［生］化简分式时，结果一定要求最简. （五）教学反思。
201x版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.4分式方程5.4.2分式方程学案新版北师大版
2019版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.4分式方程5.4.2分式方程学案新版北师大版2.解方程2019版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.4分式方程5.4.2分式方程学案新版北师大版 课题内容 5.4分式方程(3)学习目标 1.通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性；2．经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．学习重点通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性.学习难点 经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生学数学、用数学的意识．学法指导 在30分钟内独立完成预习学案，相信自己，锻炼自己！通过预习，把自己的疑惑记录下来，向小组同学请教，如果还是存在疑惑，课堂上认真听同学或老师讲解，把不懂的问题及时解决。
1.解分式方程的一般步骤：2.解方程214111x x x +-=--3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？（二）自主学习做一做：某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？（3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？例2. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格， 每立方米水费上涨13．小丽家去年12月份的水费是 15 元，而今7月份的水费则是30 元．已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多53m ，求该市今年居民用水的价格．二、探究案三、能力提升1.小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少1 本．这种科普书和这种文学书的价格各是多少？2.某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%。
2024年春八年级数学下册第5章分式与分式方程1认识分式教案新版北师大版
1 相识分式第1课时 分式的有关概念教学目标 一、基本目标1．了解分式的概念，明确分式与整式的区分．2．经验用字母表示现实情境中数量关系的过程，体会分式的模型思想，进一步发展符号感．3．通过教材土地沙化问题的情境，体会爱护人类生存环境的重要性． 二、重难点目标 【教学重点】 分式的概念． 【教学难点】分式有(无)意义的条件，分式值为0的条件． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P 108～P109的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成AB的形式．假如B 中含有字母，那么称A B为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．对于随意一个分式，分母都不能为零．2．分式有意义的条件是分母不为0.分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0.3．下列各式中，哪些是分式？①2b －s ；②3000300－a ；③27；④v s ；⑤s 32；⑥2x 2＋15；⑦45b ＋c ；⑧－5；⑨3x 2－1；⑩x 2－xy ＋y 22x －1；⑪5x －7.解：分式有①②④⑦⑩.4．当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式的值等于0? (1)3－x x ＋2；(2)x ＋53－2x. 解：(1)当x ＋2＝0时，即x ＝－2时，分式3－x x ＋2无意义．当x ＝3时，分式3－x x ＋2的值等于0.(2)当3－2x ＝0时，即x ＝32时，分式x ＋53－2x 无意义．当x ＝－5时，分式x ＋53－2x 的值等于0.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组探讨(师生互学)【例1】当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式值为零？(1)x ＋1x －1 ； (2)x －2x 2－1； (3)x 2－1x 2－x. 【互动探究】(引发学生思索)依据分式有、无意义所满意的条件进行推断．分式的值为0，则分母不为0，且分子等于0.【解答】(1)有意义：x －1≠0，即x ≠1. 无意义：x －1＝0，即x ＝1.值为0：x ＋1＝0且x －1≠0，∴x ＝－1. (2)有意义：x 2－1≠0，即x ≠±1. 无意义：x 2－1＝0，即x ＝±1. 值为0：x －2＝0且x 2－1≠0，∴x ＝2. (3)有意义：x 2－x ≠0，即x ≠0且x ≠1. 无意义：x 2－x ＝0，即x ＝0或x ＝1. 值为0：x 2－1＝0且x 2－x ≠0，即x ＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式有意义的条件：分式的分母不能为0.分式无意义的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为0肯定是在有意义的条件下成立的．活动2 巩固练习(学生独学) 1．若代数式1x －1＋x 有意义，则实数x 的取值范围是( D ) A ．x ≠1 B ．x≥0 C ．x ≠0D ．x≥0且x≠12．若分式2x －13x ＋5有意义，则x 的取值范围是x≠－53.3．若分式x 2－1x ＋1的值为0，则x 的值是1.4．对于分式x －m －nm －2n ＋3x ，已知当x ＝－3时，分式的值为0；当x ＝2时，分式无意义．试求m 、n 的值．解：∵当x ＝－3时，分式的值为0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－m －n ＝0，m －2n －9≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－3，m －2n≠9.又∵当x ＝2时，分式无意义， ∴m －2n ＋3×2＝0，即m －2n ＝－6.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－3，m －2n ＝－6，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝1.活动3 拓展延长(学生对学)【例2】视察下面一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x9y 4，….(其中x≠0)(1)依据上述分式的规律写出第6个分式；(2)依据你发觉的规律，试写出第n(n 为正整数)个分式，并简洁说明理由．【互动探究】(1)依据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变更规律得出答案．【解答】(1)视察各分式的规律可得，第6个分式为－x13y 6.(2)由已知可得：第n(n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn.理由：∵分母的底数为y ，次数是连续的正整数，分子底数是x ，次数是连续的奇数，且第偶数个分式为负，∴第n(n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了分式的定义以及数字变更规律，得出分子与分母的变更规律是解题关键．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．分式的概念：一般地，假如A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式．2．分式AB 有无意义的条件：当B≠0时，分式有意义；当B ＝0时，分式无意义．3．分式AB 值为0的条件：当A ＝0，B≠0时，分式的值为0.练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 分式的基本性质教学目标 一、基本目标1．能正确理解和运用分式的基本性质．2．通过与分数的基本性质相比较，归纳得出分式的基本性质，体验类比的思想方法． 二、重难点目标 【教学重点】理解分式的基本性质，会进行分式的化简． 【教学难点】敏捷应用分式的基本性质将分式变形． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P 110～P112的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．这一性质可以用式子表示为：b a ＝b ·m a ·m ，b a ＝b ÷ma ÷m(m ≠0)．2．把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式．3．分式的分子、分母及分式本身的三个符号中，随意变更其中两个的符号，分式的值不变；若只变更其中一个或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．4．下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)a 2b ＝ac 2bc (c ≠0)； (2)x 3xy ＝x 2y . 解：(1)由c ≠0，知a 2b ＝a ·c 2b ·c ＝ac 2bc .(2)由x ≠0，知x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y.5．约分：(1)a 2bc ab ； (2)－32a 3b 2c 24a 2b 3d. 解：(1)公因式为ab ，所以a 2bc ab＝ac .(2)公因式为8a 2b 2，所以－32a 3b 2c 24a 2b 3d ＝－4ac3bd.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组探讨(师生互学)【例1】不变更分式0.2x ＋12＋0.5x 的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )A ．.2x ＋12＋5xB ．.x ＋54＋xC ．2x ＋1020＋5xD ．2x ＋12＋x【互动探究】(引发学生思索)利用分式的基本性质，把0.2x ＋12＋0.5x 的分子、分母都乘10，得2x ＋1020＋5x . 【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)视察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需依据分式的基本性质让分子和分母同乘某一个数即可．【例2】约分：(1)－5a 5bc 325a 3bc 4； (2)x 2－2xyx 3－4x 2y ＋4xy2.【互动探究】(引发学生思索)要约分须要先找分子、分母的公因式，如何确定公因式呢？ 【解答】(1)－5a 5bc 325a 3bc 4＝5a 3bc 3－a 25a 3bc 3·5c ＝－a25c . (2)x 2－2xy x 3－4x 2y ＋4xy 2＝x x －2yx x －2y2＝1x －2y. 【互动总结】(学生总结，老师点评)约分的步骤；(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分子、分母的公因式．活动2 巩固练习(学生独学)1．把分式2x2x －3y 中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么分式的值( B )A ．扩大为原来的5倍B ．不变C ．缩小为原来的15D ．扩大为原来的52倍2．将分式x2－y x 5＋y 3的分子与分母中各项系数化为整数，结果是15x －30y6x ＋10y .3．约分：(1)－15a ＋b 2－25a ＋b ； (2)m 2－3m9－m2.解：(1)3a ＋b5.(2)－mm ＋3.4．先约分，再求值：(1)3m ＋n9m 2－n2，其中m ＝1，n ＝2； (2)x 2－4y 2x 2－4xy ＋4y 2，其中x ＝2，y ＝4. 解：(1)3m ＋n 9m 2－n 2＝13m －n ＝13×1－2＝1.(2)x 2－4y 2x 2－4xy ＋4y 2＝x ＋2y x －2y x －2y 2＝x ＋2y x －2y ＝2＋2×42－2×4＝－53. 活动3 拓展延长(学生对学)【例3】若x 2＝y 3＝z 4≠0，求x －y －z 3x ＋2y －z的值．【互动探究】因为条件是以比相等的形式出现，所以考虑设比值为k ，把待求式转化为关于k 的式子求值．【解答】设x 2＝y 3＝z 4＝k (k ≠0)，x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，∴x －y －z 3x ＋2y －z ＝2k －3k －4k 6k ＋6k －4k ＝－5k8k＝－58.【互动总结】(学生总结，老师点评)当数学问题中出现或隐含比值相等的条件时，设比值为一个新字母，把问题转化为新字母的问题求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．2．符号法则：分式的分子、分母及分式本身，随意变更其中两个符号，分式的值不变；若只变更其中一个符号或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．练习设计请完成本课时对应练习！。
8年级下册数学 北师大版第5单元复习教案
第5单元分式与分式方程复习教案一、复习目标1．复习分式的基本性质及分式的有关运算法则，理解分式方程的概念及其解法，掌握分式方程的列法，建立现实情境中的数学模型。
2. 进一步体验“类比”和“转化”数学中的价值，提高归纳和概括能力，形成反思自己学习过程的意识。
二、课时安排1课时三、复习重难点（1）分式的四则运算（2）分式方程的解法（3）分式方程的应用四、教学过程（一）知识梳理A1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子B 叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B≠0且A=0 即子零母不零】2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
,（0C）3.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd±±±=±=±= 4. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程的步骤：1.方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
2.解这个整式方程。
3.把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
4.写出原方程的根。
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
北师大版八年级数学下册教学设计：第五章《分式与分式方程》复习
第五章分式与分式方程小结与复习教案一、《标准》要求1、了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加减乘除运算.2、能根据具体问题中的数量关系列出分式方程，体会分式方程是刻画现实世界数量关系的有关模型.3、能解可化为一元一次方程的分式方程.4、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.二、学生知识状况分析学生的技能基础：学生已经学习了分式及分式的运算等有关概念，对分式及其运算有了初步的认识，但对技巧性较高的运算题还不熟悉.学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.三、教学任务分析在本章的学习中，学生已经掌握了分式的概念与分式加减乘除法的运算，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用.四、学习目标1、回顾本章各个知识点，进一步认识分式的有关知识的内在联系.2、进一步巩固分式的运算，分式方程的应用，体会转化思想.五、重点和难点教学重点:分式的基本性质及有关运算教学难点：分式方程的实际应用六、教学过程第一环节：回顾知识要点观察本章知识框架，复习本章知识点，并完成下面各个要点活动内容：（设计意图）通过对本章知识框架的复习，查找平时学习中的可能存在的问题，思考分式与整式、代数式、分数的知识之间的联系.第二环节：鼓励学生独立填写各个知识点知识点1、认识分式1.分式的概念：一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.2.分式有意义的条件：对于分式当_______时分式有意义；当_______时无意义.3.分式值为零的条件：当___________时，分式的值为零.4.分式的基本性质：分式的符号法则:5.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.最简分式的定义：分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式.6.分式的通分：根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.7.分式的乘除法则：分式的乘方法则：8.分式的加减法则：(1)同分母分式的加减法则： .a b a b c c c ±±= (2)异分母分式的加减法则：.a c ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±= 9.分式的混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 计算结果要化为最简分式或整式.10.分式方程的定义：分母中含未知数的方程叫做分式方程.分式方程的解法：(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.(2)解这个整式方程.(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.（设计意图）：学生独立完成每个知识点的，进一步巩固本章的所学内容.由于在前一阶段学生已经有了一些解决实际问题的基础，学生在解决比较简单的问题时较好，但也有少数学生很难把生活中的实际问题与数学结合到一起，思维上有一定的障碍.通过螺旋式上升的认识，进一步发展学生的符号感，提高解决实际问题的能力.第三个环节：针对训练例1、填空题：（1）如果某商品降价x%后售价为a 元，那么该商品的原价是 元.（2）某人打靶，有m 次均打中a 环，有n 次均打中b 环，则此人平均每次中靶的环数是 .（3）当x 时，分式 有意义.（4）当x 时，分式的值为0.例2、 如果把分式x x y +中的x 和y 的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A.扩大为原来的3倍 B.不变C.缩小为原来的D.缩小为原来的例3、下列变形正确的( ) 22.a a A b b= 22.a b a b B a a --= 22.11x x C x x--=-- y x xy y x D 9296.22=- 例4、已知x=12-, y= 12+，求22112()2x x y x y x xy y +÷+--+值. 例5、例6、某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x 米，则依题意列出正确的方程为（ ）A 、319090=--x x B 、390190=--x x C 、 319090=+-x x D 、390190=-+x x 例7、某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？（设计意图）：有了前面的学习，学生分式的概念，分式的运算，分式方程和对分式方程的解答，使学生明白解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程，学生能够理解解分式方程的步骤.通过解决生活中的实际问题，提高分析问题和解决问题的能力.七、教学反思通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求.学生能较好地掌握分式及其运算的基本知识与基本技能，使学生了解不同情况下分式的运算技巧.因学生在此之前并未接触过这种题型，从而不知从何下手，但在老师的引导和启发下，部分学生能解决提出的问题.八、教学反馈分式是表示具体情境中数量的模型，它是分数的“代数化”，它的性质、运算与分数的性质、运算完全相似，它是代数运算的基础之一.在教学过程中，注重对分式运算算理的理解是教学要注意的重点，没有必要一味地追求运算的复杂性与难度，否则会因为经常出现错误而导致学生对分式的运算失去信心，这是得不偿失的做法，也与《数学课程标准》所倡导的理念相违背.在运算过程中，要注意部分学生将分式的运算与解分式方程混为一谈，不加思索地将分式的运算中的分母去掉，造成运算的不合理，在教学中要注意到发展学生的合情推理能力.。
八年级数学下册 5 分式与分式方程教案 (新版)北师大版
第五章分式与分式方程1.经历用分式、分式方程表示现实情境中数量关系的过程,了解分式、最简分式、分式方程的概念,体会分式、分式方程的模型思想,进一步发展符号意识.2.熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算,会求分式的值,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验分式方程的解,发展运算能力.1.经历通过观察、归纳、类比、猜想,从而获得分式的基本性质、分式乘除法则、分式加减法则的过程,发展合情推理能力与代数式的恒等变形能力,积累类比的活动经验.2.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题,发展分析问题、解决问题的能力和应用意识.培养学生的观察能力和类比意识,培养学生勇于质疑、严谨求实的科学态度.本章主要学习分式的概念、基本性质与运算,分式方程及其应用.分式是代数式的重要组成部分.分式的基本性质与运算法则是代数式恒等变形的重要依据,是有关比例的学习基础.分式与分数、因式分解、一元一次方程、反比例函数等联系密切,在中学数学、物理、化学等学科和生产实践中有着广泛的应用.根据《标准》的要求,本章教科书特别关注了下列几个方面:(1)分式、分式方程是描述现实世界数量关系的模型.在学习分式、分式方程的概念时,教科书通过用字母表示现实情境中的数量关系,丰富了分式、分式方程的实际背景,以帮助学生领会分式、分式方程的模型作用,体会分式、分式方程与现实生活的密切联系.(2)在学习分式的基本性质及其运算法则时,十分注重观察、归纳、类比、猜想等思维方法的应用.(3)分式运算的教学重点是运算法则建立的过程和对算理的理解.在分式运算的设计中,教科书适当降低了分式纯运算的难度,只对较简单的分式进行化简、求值与运算.具体地,教科书设计了4节内容:第1节“认识分式”.通过土地沙化、上海世博会等实例中存在的数量关系引入分式的概念,体会分式的模型作用;通过类比分数的基本性质,理解分式的基本性质.第2节“分式的乘除法”.通过类比分数乘除法的法则,获得分式乘除法的法则,并会用法则进行分式运算.第3节“分式的加减法”.通过类比分数加减法的法则,获得分式加减法的法则,并会用法则进行分式运算.第4节“分式方程”.通过列出刻画行程、捐款等实例的方程,分析所列出方程的共同特征,理解分式方程的概念,进而学习怎样解分式方程,并会用分式方程解决简单的实际问题.【重点】1.分式的概念,正确理解分式的基本性质.2.运用分式乘除法的法则进行简单的分式乘除运算.3.会进行简单的分式加减运算.4.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来;会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验根的合理性.【难点】1.理解和掌握分式有意义的条件;推导分式的基本性质;运用分式的基本性质将分式进行变形.2.分式乘除法法则的推导.3.确定公分母,分式方程的正确变形,检验根的合理性.4.列分式方程解应用题.1.让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程,进一步发展符号感.让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程是发展学生符号感的重要环节,与以前用字母表示数量关系相比,本章表示量与量之间关系的代数式可以是分式.教学时应鼓励学生独立思考、自主探索问题情境中的数量关系,并运用符号进行表示.在此基础上可根据教学的实际情况组织学生对一些难点问题展开讨论、交流.2.让学生通过观察、类比、猜想、尝试等活动学习分式的运算法则,发展学生的合情推理能力.教科书为学生探索分式运算的法则提供了丰富的素材,教学时应将重点放在对法则的探索过程上,使学生充分活动起来,在观察、类比、猜想、尝试等一系列思维活动中,发现法则、理解法则、应用法则.同时,还要关注学生对算理的理解,以培养学生的代数表达能力、运算能力和有条理思考问题的能力.3.解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程.在引导学生探索分式方程的解法时,要注意体现这种“转化”的思想.另外,对分式方程的解法,只要求掌握可化为一元一次方程的分式方程,教学过程中要注意把握这一要求.4.列分式方程解决应用问题比列一元一次方程(组)要稍复杂一些.教学时要引导学生抓住寻找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示等量关系等关键环节.对于常用的数量关系,虽然学生以前大都接触过,但在本章的教学中仍要注意复习、总结,引导学生举一反三,进一步提高分析问题与解决问题的能力.此外,教学时要有意识地进一步提高学生的阅读理解能力,鼓励学生从多角度思考问题,注意检验、理解所获得结果的合理性.1认识分式1.了解分式的概念,明确分式和整式的区别,会用分式表示生活情境中的数量关系.2.掌握分式是否有意义、分式的值是否为零的判断方法.3.在分数性质的基础上掌握分式的基本性质,并能利用分式的基本性质对分式进行变形.让学生观察、分析分式的特点,提高学生分析问题、解决问题的能力.培养学生类比的思维习惯,培养学生严谨认真的科学态度.【重点】分式的概念与基本性质.【难点】分式有意义和分式值为零的条件及其应用.第课时1.能用分式表示现实情境中的数量关系,体会分式的模型思想,进一步发展符号感.2.了解分式的概念,明确分式与整式的区别.1.经历用字母表示现实情境中数量关系的过程,了解分式的概念,体会分式的模型思想,进一步发展符号感.2.使学生经历分析、类比、归纳等活动,培养学生的自学能力,获得学习代数知识的常用方法.1.通过教材土地沙化问题的情境,体会保护人类生存环境的重要性.2.培养学生类比联想的思维习惯.【重点】分式的概念.【难点】理解和掌握分式有意义的条件.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】回忆小学学过的分数的有关知识及七年级学过的整式的有关知识.导入一:【问题】下列式子中哪些是整式?哪些是单项式?哪些是多项式?a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,.解:a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,是整式;a,-3x2y3,是单项式;5x-1,x2+xy+y2是多项式.[设计意图]因为分式概念的学习是学生通过观察、比较分式与整式的区别而获得的,所以必须熟练掌握整式的概念.导入二:【问题】学生思考讨论,用式子表达题目中的数量关系:(1)面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前完成原计划的任务.如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成造林任务需要个月,实际完成造林任务用了个月.(2)文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?【师生活动】让学生充分思考,最好让学生积极投身于问题情境中,根据学生的情况教师可以给予适当的提示和引导.解:(1)(2)册.[设计意图]让学生经历探索实际问题中数量关系的过程.通过问题情境,让学生初步感受分式是解决问题的一种模型,体会分式的意义,发展符号感.一、认识分式思路一(针对导入一)(1)一箱苹果售价a元,箱子与苹果的总质量为m kg,箱子的质量为n kg,则每千克苹果的售价是多少元?(2)一块土地分为两块棉田,第一块x公顷,收棉花m千克,第二块y公顷,收棉花n千克,这块土地平均每公顷的棉产量是多少?(3)文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现每册降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?根据学生交流、讨论,可得出结果.解:(1). (2) kg. (3)册.2.认识分式问题1刚才这些代数式有什么共同特征?它们与整式有什么不同?学生分组交流讨论,展示讨论结果,教师及时补充.它们的共同特征:(1)它们是由分子、分母与分数线构成的;(2)分母中都含有字母.它们与整式的不同点:它们的分母中都含有字母,而整式的分母中不含有字母,例如,,它们都含有分母,但分母中都不含有字母,所以它们是整式.一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式.如果B中含有字母,那么称为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.问题2分式中,字母可以取任意实数吗?学生领会分式的概念并思考得出:不可以.因为分式中分母含有字母,而分母是除式,不能为零,因此字母的取值就受到制约,即字母的取值不能使分母为零,否则分式就会失去意义.问题3在什么情况下分式的值为0?学生通过类比分数的性质得出:分式的分子为0的时候,分式的值为0.思路二(针对导入二)的意义.讨论内容:(针对前面列出的三个代数式)这些代数式有什么共同特征?它们与整式有什么不同?老师提出思考问题:(1)整式中的分母有没有字母?(2)前面的三个代数式中,分母中有没有字母?(3)前面的三个代数式是不是分数呢?(4)前面的三个代数式中,字母能取任意值吗?(5)前面的三个代数式的值在什么情况下为零?问题预设:学生会比较容易发现这几个式子的分母中都含有字母,但容易与整式中有数字分母的情况混淆,把字母等同于数字看待,这就无法顺利总结出分式的概念.2.认识分式根据学生的观察、讨论,老师进行总结:这三个代数式的共同特征是分母中都含有字母,而整式中虽然也有分母,但分母中不含字母.这样的代数式我们称为分式.一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示为的形式,如果B中含有字母,那么称为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.对于任意一个分式,分母都不能为零.[设计意图]让学生通过观察、归纳总结出整式与分式的异同,从而得出分式的概念.学生通过观察、类比及小组讨论,基本能得出分式的定义,对于分式的分母不能为0,有的小组考虑到了,有的没有考虑到,就这一点可以让学生类比分数的分母不能为0加以理解.这样获得的知识,理解更加透彻,掌握更加牢固,运用起来会更灵活.[知识拓展]1.当整式相除不能整除时,就出现了分式,所以分式实际上是一个商式,其分子是被除式,分母是除式.2.整式和分式统称为有理式,即有理式包括整式和分式.3.分式的概念包括3个方面:(1)分式是两个整式相除的商式,其中分子为被除式,分母为除式,分数线起除号的作用;(2)分式的分母中必须含有字母,而分子中可以含有字母,也可以不含字母,这是区别整式的重要依据;(3)在任何情况下,分式的分母的值都不可以为0,否则分式无意义.这里,分母是指除式而言,而不是只就分母中某一个字母来说的.也就是说,分式的分母不为零是隐含在此分式中而无需注明的条件.二、例题讲解(教材例1)(1)当a=1,2,-1时,分别求分式的值;(2)当a取何值时,分式有意义?〔解析〕(1)分式的值是由字母的取值决定的,但要注意的是字母的取值一定不能让分母为0,即一定要让分式有意义.(2)只有当分式的分母不为0时,分式才有意义.解:(1)当a=1时,==2.当a=2时,==1.当a=-1时,==0.(2)当分母的值为零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.由分母2a-1=0,得a=.所以当a≠时,分式有意义.[设计意图]让学生体会分式的意义,理解如果字母的取值使得分母的值为零,那么分式没有意义,反之则有意义.通过例题讲解,让学生从两方面来理解分式:一是分式中的字母可以表示使分式有意义的任何数;二是分式可与分数类比,分式的分母也不能为零.学生基本能够计算出分式的值,但对于分式在什么条件下有意义,一下子掌握还有一定的难度, 需要通过与分数进行类比,多举例才能理解得更深刻.1.分式的概念.一般地,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式,如果B中含有字母,那么称为分式.其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.2.分式有意义的条件.分式有意义的条件是分母不为0.3.分式的值为0的条件是分子等于0,且分母不等于0.1.(2015·随州中考)若代数式+有意义,则实数x的取值范围是()A.x≠1B.x≥0C.x≠0D.x≥0且x≠1解析:若代数式+有意义,则有解得x≥0且x≠1.故选D.2.若分式有意义,则x的取值范围是.解析:依题意得3x+5≠0,解得x≠-,因此x的取值范围是x≠-.故填x≠-.3.若分式的值为0,则x的值是.解析:在这个分式中,x2-1是分子,x+1是分母,因此,分式的值为0的条件是x2-1=0且x+1≠0,所以x=1.故填1.4.对于分式,已知当x=-3时,分式的值为0;当x=2时,分式无意义.试求m,n的值.解:∵当x=-3时,分式的值为0,∴即又∵当x=2时,分式无意义,∴m-2n+3×2=0,即m-2n=-6.解方程组得第1课时一、认识分式1.分式初探2.认识分式二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第109页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第109页习题5.1的1,2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各式是分式的是()A. B. C.+y D.2.(2015·金华中考)要使分式有意义,则x的取值应满足()A.x=-2B.x≠2C.x>-2D.x≠-23.若分式的值为0,则()A.x=-2B.x=0C.x=1或-2D.x=14.若分式有意义,则x的取值范围是()A.x≠3B.x=3C.x>3D.x<3【能力提升】5.使分式无意义的a的值为()A.2B.-2C.±2D.36.若分式的值为1,则x的值为 ()A.1B.-2C.±1D.27.一项工作,甲单独做x小时完成,乙单独做比甲多用6小时完成,那么乙单独做t小时(t<6)能完成这项工作的()A. B. C. D.8.下列各式中,可能取值为0的是()A. B.C. D.9.若的值为正数,则x的取值范围是()A.x<-2B.x<1C.x>-2且x≠1D.x>110.要使分式的值为负,则x .11.当x 时,分式有意义.【拓展探究】12.把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中,水面高度为 cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为.13.已知当x=1时,分式无意义;当x=4时,此分式的值为零,求a+b的值.【答案与解析】1.B(解析:由分式的定义可知,分母中含有字母的是分式,注意π为实数,不是字母.故选B.)2.D(解析:分式有意义的条件是分母不为0,则由题意得x+2≠0,则x≠-2.故选D.)3.D(解析:分式值为0的条件是分子为0且分母不为0,所以有解之即可.故选D.)4.A(解析:分式有意义的条件是分母不为0,即3-x≠0,解之即可.故选A.)5.C(解析:分式无意义的条件是分母为0,即-2=0,解之即可.故选C.)6.D(解析:分式值为1的条件是分子等于分母,且分母不为0,即解之即可.故选D.)7.C(解析:乙单独做完这项工作需要(x+6)小时,则单独做t小时(t<6)能完成这项工作的.故选C.)8.B(解析:A中分子m2+1>0;B中当m=1时,分子为0,分母不为0,分式的值为0;C中当m=-1时,分子为0,分母为0,分式无意义;D中分子m2+1>0.故选B.)9.C(解析:因为分式的分母x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以若分式的值为正数,则有x+2>0且x-1≠0,即x>-2且x≠1.故选C.)10.>3(解析:要使分式的值为负,需使分母3-x<0,即x>3.故填>3.)11.≠±1(解析:若分式有意义,则x2-1≠0,解之即可.故填≠±1.)12.13.解:因为当x=1时,分式无意义,所以1-a=0,解得a=1;因为当x=4时,此分式的值为零,所以4+2b=0,解得b=-2,所以a+b=1+(-2)=-1.在学习分式的概念时,避免了传统教学中对于概念的直接给出,叫学生死记硬背,忽略学生学习的过程,也不考虑学生是否真正理解,本课时是让学生通过观察、归纳出整式与分式的异同,从而总结出分式的概念,学生对这样获得的知识,理解得更透彻.对学生学习效果的反馈不够及时,还不能够较全面地了解学生的学习情况,对不足之处未能及时补充.在学习中,要注意观察学生的情感变化,是否遇到困难,学生的积极性、热情是否发挥出来,投入的程度有多少,是否每个学生都参与其中等,作为教师应时刻关注这些,以便适时地引导他们,调动他们,鼓励他们.随堂练习(教材第109页)1.解:(1)当x取1以外的任何实数时,分式都有意义. (2)当x取±3以外的任何实数时,分式都有意义.2.解:当x=0时,=-.当x=-2时,=.当x=时,=0.3.提示: kg.习题5.1(教材第109页)1.解:(2)(4)是整式,(1)(3)是分式.2.提示:(1)x=. (2)x=-2.3.解:当a=-1,b=时,==.4.提示:这箱橘子的零售价至少应定为元/kg.5.提示:(1)平均每公顷的棉产量是 kg. (2)这种商品每件的成本是元.易错点考虑问题不全面导致错误已知分式的值为整数,求整数x的所有可能值.错解:若分式的值为整数,则x-1的值可为1,2,3,6.∴x=2,3,4,7.错因分析:忽略了分式的值为负整数时x的值,造成漏解.正解:若分式的值为整数,则x-1的值可为±6,±3,±2,±1,∴x=7,4,3,2,-5,-2,-1,0.第课时1.能正确理解和运用分式的基本性质.2.能解决一些与分式有关的简单的实际问题.3.会进行简单分式的乘除运算,具有一定的代数化归能力.4.增强学生的代数推理能力与应用意识.通过与分数的基本性质相比较,归纳得出分式的基本性质,体验类比的思想方法.通过运用分式的基本性质对分式进行变形,获得分式变形的基本方法,体验学习的乐趣.【重点】理解分式的基本性质,会进行分式的化简.【难点】灵活应用分式的基本性质将分式变形.【教师准备】预设学生学习过程中容易出错的地方.【学生准备】复习分数的基本性质.导入一:【问题】有位老爷爷把一块地分给三个儿子.老大分到了这块地的,老二分到了这块地的,老三分到了这块地的.老大、老二觉得自己很吃亏,于是他们就争吵起来.刚好阿凡提路过,问清争吵的原因后,哈哈大笑了起来,给他们讲了几句话后,三兄弟就停止了争吵.你知道阿凡提给他们讲的是什么吗?这里涉及了分数的基本性质,那么分式也有这样的性质吗?[设计意图]创设故事情境导入新课,激发了学生学习的好奇心,同时复习了分数的基本性质,为学习分式的基本性质做好铺垫.导入二:上节课我们类比整式和分数的概念学习了分式的概念,今天我们来继续学习分式的相关知识,请看下面的问题:问题1如图(1)所示,面积为1的长方形平均分成了4份,则阴影部分的面积是多少?问题2如图(2)所示,面积为1的长方形平均分成了2份,则阴影部分的面积是多少?问题3这两块阴影部分的面积相等吗?这个问题同学们会很快说出答案,依据就是分数的基本性质,那么分式是否具有和分数一样的性质呢?[设计意图]提示学生运用类比的思想进行本课时的学习,为学生提供本课时学习方法方面的指导.请看下面的问题.(1)填空:==;==.(2)你认为分式与相等吗?为什么?与呢?与同伴交流.学生独立思考第(1)题,根据分数的基本性质,的分子分母同乘4,可得,的分子分母同时除以2,可得,小组讨论类比第(1)题解决第(2)题.类比分数的基本性质,你能猜想出分式的基本性质吗?学生尝试归纳,相互补充,总结得出分式的基本性质.分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.这一性质可以用式子表示为:=,=(m≠0).问题1如图(1)所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形的宽怎么表示呢?问题2如图(2)所示,两个图(1)中的长方形拼接在一起,它的宽怎么表示呢?问题3两图中长方形的宽相等吗?问题4通过怎样的变形可以由得到?通过怎样的变形可以由得到?变形的依据是什么?问题5若n个这样的长方形拼接在一起,它的宽又该如何表示呢?学生分析得出答案为.教师进一步追问:和,相等吗?通过怎样的变形可以使它们相等呢?问题6若(m+1)个这样的长方形拼接在一起,宽又如何表示呢?追问:和,相等吗?通过怎样的变形可以使它们相等呢?问题7能类比分数的基本性质,归纳出分式的基本性质吗?学生根据上面的问题尝试归纳分式的基本性质,教师在学生回答的基础上补充完善.总结:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.这一性质可以用式子表示为:=,=(m≠0).教师强调:a,b,m均为整式,m≠0.引导学生分析分数的基本性质与分式的基本性质的区别:在分数的基本性质中,“数”是一个具体的、唯一的确定值,在分式的基本性质中,“整式”的值随整式中的字母的取值不同而变化.[设计意图]一方面提高学生对分式的基本性质的认识,另一方面通过师生归纳,进一步加深对分式基本性质的理解.(1)=(y≠0);(2)=.处理方式:引导学生观察等式的左边和右边各发生了什么变化,讨论解题思路.〔解析〕(1)的分母2x乘y才能化为2xy,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分子b也要乘y,才能得到.(2)的分子ax除以x得到a,所以分母bx也需要除以x得到b.在这里,由于已知,所以x≠0.解:(1)因为y≠0,所以==.(2)因为x≠0,所以==.(教材例3)化简下列分式:(1);(2).处理方式:引导学生观察分式的分子和分母是否有公因式,利用分式的基本性质,对分式进行化简.〔解析〕(1)的分子和分母均有因式ab,所以根据分式的基本性质,可以同时除以ab,则分式可化为ac.(2)对于分式,先对分子和分母进行因式分解,x2-1=(x+1)(x-1),x2-2x+1=(x-1)2,发现分子分母有公因式x-1,由分式的基本性质可化简.解:(1)==ac.(2)==.总结:像上面的例3,把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.[知识拓展]1.从已知的两个分子或分母的比较中,找到分式变形的依据,再运用分式的基本性质求未知,是解决这类题的方法.2.应用分式的基本性质对分式进行变形需要注意的问题:(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算;(2)所乘或除以的必须是同一个整式;(3)所乘或除以的整式的值应该不等于零.三、做一做化简下列分式:(1);(2).〔解析〕根据分式的基本性质进行化简.解:(1) ==.(2)==.四、议一议在化简时,小颖和小明出现了分歧,小颖认为=,而小明认为==,你对他们两人的做法有何看法?与同伴交流.解:在小明的化简结果中,分子和分母已没有公因式,这样的分式称为最简分式.小明的做法正确.[知识拓展]化简分式时,通常要使结果成为最简分式或整式.约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同时除以同一个整式,使分式的值不变,所以要找准分子和分母的公因式,约分的结果要是最简分式或整式.[设计意图]通过做一做和议一议,检查学生对分式的约分的掌握情况,对于错误及时指出并纠正.五、想一想(1)与有什么关系?(2),与-有什么关系?解:(1)的分子分母都乘-1与相等.(2)同样的道理,与-相等.与-相等.分式的符号法则:分式的分子、分母及分式本身的三个符号中,任意改变其中两个的符号,分式的值不变;若只改变其中一个或三个全变号,则分式的值变成原分式值的相反数.[设计意图]通过想一想的设计,让学生掌握分式的符号法则.1.分式的基本性质:=,=(m≠0).(1)分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据.(2)在运用分式的基本性质时,必须注意分式的分子分母同时乘或除以的是同一个整式,且不为0.(3)分式的基本性质的研究方法:从分数类比到分式,从特殊到一般.2.分子和分母已没有公因式的分式称为最简分式,化简分式时,通常要使结果成为最简分式或整式.3.分式的符号法则:分式的分子、分母及分式本身的三个符号中,任意改变其中两个的符号,分式的值不变;若只改变其中一个或三个全变号,则分式的值变成原分式值的相反数.。
最新新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案名师优秀教案
新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案北师大版八年级数学下册教学案第五章分式与分式方程1(认识分式(一)知识技能基础目标学生在小学学过分数，其实分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的(在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数量关系，其中包括整式与分式等数量关系(过程与方法目标在整式的学习中，学生初步具备了用整式表示现实情境中的数量关系，建立数学模型的思想(在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力(情感与价值观目标从实际生活情景出发，让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程。
根据三维教学目标及新课程标准的要求，结合当前学生的心理特点以及现有的认知水平教学重点1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别;2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型(教学难点分式有意义、无意义、值为零三者的区别教学方法师生共同讨论法。
教师引导，主要由学生分组讨论得出结果教学过程本节课共设计了 6个教学环节:知识准备——情景引入——自主探索——练习提高——课堂反馈——自我小结第一环节知识准备活动内容:温故而知新问题:下列子中那些是整式,2xyamc2322,,,,a， -3xy， 5x-1， x+xy+y， m,ny9a,13ab第 1 页共 36 页北师大版八年级数学下册教学案活动目的:因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得分式的概念，所以必须熟练掌握整式的概念(注意事项:学生能够比较准确的找出哪些是整式，有些学生会简单的认为“分数”形式的代数式不是整式，其实这不是判别的关键，而是看分母中是不是含有字母。
第二环节情景引入活动内容:以一个“土地沙化”的问题情景引入，让学生思考讨论，用式分式表达题目中的数量关系:问题情景(1):面对目前严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前完成一原计划的任务。
八年级数学下册第五章分式与分式方程4分式方程分式与分式方程复习课说课稿(新版)北师大版
分式与分式方程一、说教材分析1.教材内容本节课是北师大版第五章《分式与分式方程》的回顾与思考，该课时主要回顾本章所学内容，分式的定义，分式乘除、加减运算法则，建立分式方程并求其解。
2.教材所处地位、作用分式是表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量之间相等关系的模型；分式、分式方程与分数、分解因式、一元一次方程等有密切联系，从而加强了知识之间的纵横联系。
3.教学重点与难点教学重点通过类比、引入分式、培养数学类比能力。
教学难点引出分式的基本性质，培养符号感以及数学推理能力。
二、说教学目标1.知识与技能经历用字母表示现实情景中数量关系(分式、分式方程)的过程，了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号感；分式的基本性质、分式乘除运算法则、分式加减运算法则，培养合情推理能力与代数恒等变形能力；掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算；分解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根；能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题。
2.过程与方法经历观察、归纳、类比的学习过程，提高分析问题，解决问题的能力和应用意识，获得解代数问题的常用方法，并感受到代数学习的价值。
3.情感态度与价值观在学习中，突出合情推理能力的培养，注重自主探索、合作交流等学习方法的形成，体会分式的运算在实际生活中的应用价值。
三、说教法学法本节课是复习课，在教法上1.以陈述导入进入主题，让学生归纳总结本章所学内容。
2.在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达。
3.采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性。
在学法上，突出合情推理能力的培养，注重自主探索、合作交流等学习方法的形成。
四、说教学过程Ⅰ.提出问题，回顾本章的知识.出示投影片问题串：1.实际生活中的一些量可以用分式表示，一些问题可以通过列分式方程解决，请举一例.2.分式的性质及有关运算法则与分数有什么异同？3.如何解分式方程？它与解一元一次方程有何联系与区别？［师］同学们可针对以上问题，以小组为单位讨论、交流，然后在全班进行交流.（教师可参与于学生的讨论中，注意扫除他们学习中常犯的错误）。
八年级数学下册第5章分式与分式方程复习教案新版北师大版
5分式与分式方程课题5分式与分式方程总复习课型教学目标（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算；（2）提高学生分式的基本运算技能；（3）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（4）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力。
重点建立知识框架难点教学用具教学环节本节课设计了七个教学环节：回顾想一想做一做试一试再想一想反馈练习课后练习．二次备课复习新课导入课程讲授第一环节回顾活动内容：1、分式的基本性质是什么？举例说明！2、分式的乘除法的法则是什么？举例说明！3、同分母的分式加减法的法则是什么？举例说明！4、异分母的分式加减法的法则是什么？举例说明！活动目的：通过学生的回顾与思考，使学生对分式的基本性质、乘除法、加减法等基本运算有一个更深层次的认识．教学效果：有了前几节课的学习，学生对分式的基本性质及分式的运算等知识有了较清楚的认识与理解．第二环节想一想活动内容：填空题：（1）如果某商品降价x %后售价为a 元，那么该商品的原价是 元．（2）某人打靶，有m 次均打中a 环，有n 次均打中b 环，则此人平均每次中靶的环数是 ．（3）当x 时，分式xx -+11有意义．（4）当x 时，分式)3x )(1x (92---x 的值为0．活动目的：加深学生对分式的一些基本概念的认识． 教学效果：部分学生对第（4）小题中认为分子x 2–9的值为0，从而得出x 应为±3，原因是没有注意分母不能为0这一事实，经指点后，均能理解． 第三环节 做一做 活动内容： 1、化简下列各式：（1）abcac 1222- （2）aa a 2422--（3）82162+-x x （4）2222444y x y xy x -+-2、计算：（1）xy xz yz xy 1693422• （2）3118222-÷-x x （3）32103243++++-x x x x （4）34121331222+-+-•-+--x x x x x x x 活动目的：加强学生对分式的运算等基本技能的训练。
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2019版八年级数学下册第5章分式与分式方程复习教案新版北师大版课题5分式与分式方程总复习课型
教学目标（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算；
（2）提高学生分式的基本运算技能；
（3）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（4）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力。
重点建立知识框架难点
教学
用具
教学环节本节课设计了七个教学环节：回顾——想一想——做一做——试一试—
—再想一想——反馈练习——课后练习．
二次备课
复习新课导入
课程
讲授第一环节回顾
活动内容：
1、分式的基本性质是什么？举例说明！
2、分式的乘除法的法则是什么？举例说明！
3、同分母的分式加减法的法则是什么？举例说明！
4、异分母的分式加减法的法则是什么？举例说明！
活动目的：
通过学生的回顾与思考，使学生对分式的基本性质、乘除法、加减法等基本运算有一个更深层次的认识．
教学效果：
有了前几节课的学习，学生对分式的基本性质及分式的运算等知识有了较清楚的认识与理解．
第二环节 想一想 活动内容： 填空题：
（1）如果某商品降价x %后售价为a 元，那么该商品的原价是 元． （2）某人打靶，有m 次均打中a 环，有n 次均打中b 环，则此人平均每次中靶的环数是 ．
（3）当x 时，分式x
x -+11有意义．
（4）当x 时，分式
)3x )(1x (9
2---x 的值为0．
活动目的：
加深学生对分式的一些基本概念的认识． 教学效果：
部分学生对第（4）小题中认为分子x 2
–9的值为0，从而得出x 应为±3，原因是没有注意分母不能为0这一事实，经指点后，均能理解． 第三环节 做一做 活动内容： 1、化简下列各式：
（1）
abc
ac 1222
- （2）
a
a a 2422
--
（3）
8
2162+-x x （4）
2
22
2444y x y xy x -+-
2、计算：
（1）xy xz yz xy 169342
2• （2）3
118222-÷-x x
（3）3
210
3243++++-x x x x （4）
3
4121331222+-+-•-+--x x x x x x x 活动目的：
加强学生对分式的运算等基本技能的训练。
教学效果：
学生在完成异分母的加减法时思维上有一定的障碍． 第四环节 试一试 活动内容：
先化简，后求值：
x
x x x x -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2422 ，其中x =–1．
活动目的：
逐步提高学生的运算能力，发展学生的应用能力，提高解决问题的能力． 教学效果：
有了前面的运算基础，学生对先化简后求值这一类题的运算较为清楚． 第五环节 想一想 活动内容：
1、已知：311=-y x ，求y
xy x y
xy x -+--22的值． 2、已知：0142
=+-x x ，求
2
2
1x x +的值．
3、已知：4:3:2::=z y x ，求
z
y x z
y x ++++23432的值．
4、已知：
)
3)(2(532-+=-++x x x x B x A ，求A 、B 的值． 活动目的：
使学生了解不同情况下分式的运算技巧． 教学效果：
因学生在此之前并未接触过这种题型，从而不知从何下手，但在老师的引导和启发下，部分学生能解决提出的问题．
第六环节 反馈练习 活动内容： 1、选择题： （
1
）
使
分
式
2
2
--x x 有意义的是
（ ）
A 、2≠x
B 、2-≠x
C 、2±≠x
D 、
2=x
（2）若4x =5y
，
则
2
2
2y y x -的
值
是
（ ） A 、51-
B 、41
C 、169
D 、25
9
-
2、填空：
（1）计算：y x a
xy
28512÷= ； （2）计算：
=+-11
1
x ； 3、已知：3
1
-
=x ，求x x x x x x --⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷-++11232)1)(2(1的值．
活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求． 教学效果：
学生能较好地掌握分式及其运算的基本知识与基本技能；
小结 今天都收获了什么？
作业课后复习题。
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