【最新】余弦定理一
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=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82
∴a≈41(cm) 故故由由余正弦弦定定理理可可得得
c o s s in C C a c 2 s in b A 2c 3 2 4 s in 0 . 4 8 1 3 8 4 . 3 40 .6 5 60 .5 4 4 0 .
a 2 a b4 1
∴B≈32°53′
C 1 8 0 ( A B ) 1 8 0 ( 5 6 2 0 ' 3 2 5 3 ') 9 0 4 7 '
2021/2/2
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二、新课讲解
cos A b2 c2 a2
余弦定理及其推论：
2bc
a 2 b 2 c 2 2 b c c o sA cos B c2 a2 b2
c 2 a 2 2 a b c o s C b 2
C
a
B
即 c 2 a 2 b 2 2 a b c o sC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2 b c c o s A ,b 2 a 2 c 2 2 a c c o s B
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二、新课讲解
余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去
4 1
∴∵利c<用a，计算∴ C器<A可,故求C得是C锐≈角33°
∴∴B利=1用80计o-算(A器+C可) 求≈ 1得80Co-≈(3431°o+33o)=106° 202角1∴/2/B2时=，1一8应0般o-先地(A求，+最C在)小“≈ 1的知80边三o-所边(4对1及o+的一3角3角o).=”1要06求°剩下的两个6
第一章 解三角形
1.1.2 余弦定理（一）
2021/2/2
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一、复习回顾
1.正弦定理及其推论：
a b c =2R (R为△ABC外接圆半径）
sin A sin B sin C
C
a 2 R s i n A , b 2 R s i n B ,c 2 R s i n C
sin A a,sin B b,sin C c 2 R 2 R 2 R
二、新课讲解
余弦定理的推论：
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a2 b2 c2
Biblioteka Baidu2ab
注: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求出相应的三个角
2021/2/2
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三、例题讲解
例4 在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a 2 b 2 c 2 2 b c c o sA
b 2 a 2 c 2 2 a cc o sB
c 2 a 2 b 2 2 a b c o sC
注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求 出三角形的第三条边
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三、例题讲解
例3 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a²=b²+c²-2bccosA
余弦定理
由余弦定理求出第三边c，再 由正弦定理求出剩下的角
由正弦定理求出角B,再求角C, 正弦定理 最后求出 c边.可有两解,一解
或无解.
先由余弦定理求出其中两个
余弦定理 角,再利用内角和为180°求出
第三个角.
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a
b
s i n A : s i n B : s i n C a : b : c
B
cA
三 思角 考形 ：面 在积 △公 AB式 C： 中,已知AB=2,BC=5,△ABC的面积为4， ∠ABC=θS ， A 则B C s in1 2 θ=b c s 54in A . 1 2 c a s in B 1 2 a b s in C
b 2 a 2 c 2 2 a cc o sB c 2 a 2 b 2 2 a b c o sC
2ca cos C a2 b2 c2
2ab
利用余弦定理及其推论，可以解决以下两类解三角形的
问题：（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角；
（2）已知三边，求三个角. 练习：在△ABC中
（1）已知a= 3 3 ，c=2，B=150o，求b； 7
练习：在△ABC中， a 3 3 ,c 3 3 ,C 1 5 ，求此
三角形的面积． 2021/2/2
3或 3 3
2
2
一、复习回顾
2.利用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角 步骤：利用三角形内角和先求第三角，再用正弦定理求 另外两边. 题型二:已知两边及其中一边对角，求出其他一边和两角 若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤如下：
如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的夹角为 C，试求AB边的长c.
依条件可知，|C B | a , |C A | b , A B C B C A
A
|A B |2 |C B C A |2
2
2
C B 2 C B C A C A
b
c
| C B | 2 2 | C B | | C A | c o s C | C A | 2
（2）已知a=2，b= 2 ，c= 3 1 ，求A. 45o
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解三角形的四种基本类型：
已知条件 定理选用
一般解法
一边和二角 (如a,B,C)
两边和夹角 (如a,b,C)
两边和其中 一边的对角
(如a,b,A)
三边(a,b,c)
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正弦定理
由A+B+C=180°求角A,由正 弦定理求出b与c
c=161.7cm，解三角形（角度精确到1′）。 解：
b 2 c 2 a 2 8 7 .8 2 1 6 1 .7 2 1 3 4 .6 2
c o s A
0 .5 5 4 3
2 b c
2 8 7 .8 1 6 1 .7
∴A≈56°20′
c o s B c 2 a 2 b 2 1 3 4 .6 2 1 6 1 .7 2 8 7 .8 2 0 .8 3 9 8 2 c a 2 1 3 4 .6 1 6 1 .7
（1）先利用 a b 求出sinB，从而求出角B； sin A sin B
注意：求角B时应注意检验！
（2）利用A、B求出角C=180o-(A+B)；
（2032）1/2/2再利用 a c 求出边c.
3
sin A sinC
二、新课讲解
题问型题：三在:已△知AB三C中角，形a的=8两，b条=3边，及C=其60夹o，角求,c求. 出另一边。
∴a≈41(cm) 故故由由余正弦弦定定理理可可得得
c o s s in C C a c 2 s in b A 2c 3 2 4 s in 0 . 4 8 1 3 8 4 . 3 40 .6 5 60 .5 4 4 0 .
a 2 a b4 1
∴B≈32°53′
C 1 8 0 ( A B ) 1 8 0 ( 5 6 2 0 ' 3 2 5 3 ') 9 0 4 7 '
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二、新课讲解
cos A b2 c2 a2
余弦定理及其推论：
2bc
a 2 b 2 c 2 2 b c c o sA cos B c2 a2 b2
c 2 a 2 2 a b c o s C b 2
C
a
B
即 c 2 a 2 b 2 2 a b c o sC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2 b c c o s A ,b 2 a 2 c 2 2 a c c o s B
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二、新课讲解
余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去
4 1
∴∵利c<用a，计算∴ C器<A可,故求C得是C锐≈角33°
∴∴B利=1用80计o-算(A器+C可) 求≈ 1得80Co-≈(3431°o+33o)=106° 202角1∴/2/B2时=，1一8应0般o-先地(A求，+最C在)小“≈ 1的知80边三o-所边(4对1及o+的一3角3角o).=”1要06求°剩下的两个6
第一章 解三角形
1.1.2 余弦定理（一）
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一、复习回顾
1.正弦定理及其推论：
a b c =2R (R为△ABC外接圆半径）
sin A sin B sin C
C
a 2 R s i n A , b 2 R s i n B ,c 2 R s i n C
sin A a,sin B b,sin C c 2 R 2 R 2 R
二、新课讲解
余弦定理的推论：
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cos C a2 b2 c2
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注: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求出相应的三个角
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三、例题讲解
例4 在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm，
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a 2 b 2 c 2 2 b c c o sA
b 2 a 2 c 2 2 a cc o sB
c 2 a 2 b 2 2 a b c o sC
注：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹角求 出三角形的第三条边
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三、例题讲解
例3 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a²=b²+c²-2bccosA
余弦定理
由余弦定理求出第三边c，再 由正弦定理求出剩下的角
由正弦定理求出角B,再求角C, 正弦定理 最后求出 c边.可有两解,一解
或无解.
先由余弦定理求出其中两个
余弦定理 角,再利用内角和为180°求出
第三个角.
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a
b
s i n A : s i n B : s i n C a : b : c
B
cA
三 思角 考形 ：面 在积 △公 AB式 C： 中,已知AB=2,BC=5,△ABC的面积为4， ∠ABC=θS ， A 则B C s in1 2 θ=b c s 54in A . 1 2 c a s in B 1 2 a b s in C
b 2 a 2 c 2 2 a cc o sB c 2 a 2 b 2 2 a b c o sC
2ca cos C a2 b2 c2
2ab
利用余弦定理及其推论，可以解决以下两类解三角形的
问题：（1）已知两边及其夹角，求其它的边和角；
（2）已知三边，求三个角. 练习：在△ABC中
（1）已知a= 3 3 ，c=2，B=150o，求b； 7
练习：在△ABC中， a 3 3 ,c 3 3 ,C 1 5 ，求此
三角形的面积． 2021/2/2
3或 3 3
2
2
一、复习回顾
2.利用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边，求出其他两边和一角 步骤：利用三角形内角和先求第三角，再用正弦定理求 另外两边. 题型二:已知两边及其中一边对角，求出其他一边和两角 若已知a、b、A的值，则解该三角形的步骤如下：
如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的夹角为 C，试求AB边的长c.
依条件可知，|C B | a , |C A | b , A B C B C A
A
|A B |2 |C B C A |2
2
2
C B 2 C B C A C A
b
c
| C B | 2 2 | C B | | C A | c o s C | C A | 2
（2）已知a=2，b= 2 ，c= 3 1 ，求A. 45o
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解三角形的四种基本类型：
已知条件 定理选用
一般解法
一边和二角 (如a,B,C)
两边和夹角 (如a,b,C)
两边和其中 一边的对角
(如a,b,A)
三边(a,b,c)
2021/2/2
正弦定理
由A+B+C=180°求角A,由正 弦定理求出b与c
c=161.7cm，解三角形（角度精确到1′）。 解：
b 2 c 2 a 2 8 7 .8 2 1 6 1 .7 2 1 3 4 .6 2
c o s A
0 .5 5 4 3
2 b c
2 8 7 .8 1 6 1 .7
∴A≈56°20′
c o s B c 2 a 2 b 2 1 3 4 .6 2 1 6 1 .7 2 8 7 .8 2 0 .8 3 9 8 2 c a 2 1 3 4 .6 1 6 1 .7
（1）先利用 a b 求出sinB，从而求出角B； sin A sin B
注意：求角B时应注意检验！
（2）利用A、B求出角C=180o-(A+B)；
（2032）1/2/2再利用 a c 求出边c.
3
sin A sinC
二、新课讲解
题问型题：三在:已△知AB三C中角，形a的=8两，b条=3边，及C=其60夹o，角求,c求. 出另一边。