2014年安徽省高考理科数学试卷及参考答案(word版)
2014年高考真题——理科数学(安徽卷)精校版 Word版含答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz +i·z = （A ）-2 （B ）-2i（C ）2 （D ）2i（2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34（B ）55（C ）78（D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214（C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5（C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足=2( a + b ).曲线C={ P | =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r < R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R（C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。
2014年安徽省高考理科数学试卷及参考答案(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔安徽卷〕数 学〔理科〕 第Ⅰ卷〔选择题 共50分〕一.选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.〔1〕设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．假设i z +=1，则=⋅+z iz1〔 〕A ．－2 Ｂ．－2i Ｃ．２ Ｄ．2i〔2〕“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的〔 〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 〔3〕如下图，程序框图〔算法流程图〕的输出结果是〔 〕 A ．34 B ．55 C ．78 D ．89〔4〕以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x 〔t 为参数〕，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为〔 〕A ．14B ．142C ．2D ．22〔5〕x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，假设ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为〔 〕A ．21或-1 B ．2或21C ．2或1D ．2或-1 〔6〕设函数)(x f 〔R x ∈〕满足x x f x f sin )()(+=+π．当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf 〔 〕 A ．21 B ．23 C ．0 D ．21-〔7〕一个多面体的三视图如下图，则该多面体的外表积为〔 〕． A ．21+3 B ．18+3 C ．21 D ．18〔8〕从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有〔 〕对．A ．24B ．30C ．48D ．60〔9〕假设函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为〔 〕 A ．5或8 B ．-1或5 C ．-1或-4 D ．-4或8〔10〕在平面直角坐标系xoy 中，已知向量a ,b ，1==b a ,0=⋅b a ，点Q 满足)(2b a OQ +=．曲线πθθθ20,sin cos ≤≤+==b a OP P C丨，区域R r R PQ r P <≤≤<=Ω，丨0．假设Ω⋂C 为两段别离的曲线，则〔 〕A ．31<<<R rB ．R r ≤<<31C ．31<<≤R rD ．R r <<<31第（13）题图第II 卷〔非选择题 共100分〕二．填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分． 〔11〕假设将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ．〔12〕数列{}n a 是等差数列，假设11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列，则q = ． 〔13〕设0≠a ，n 是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a ++++ 22210．设点),(i i a i A 〔2,1,0=i 〕的位置如下图，则a = ．〔14〕设21,F F 分别是椭圆E ：1222=+by x 〔10<<b 〕的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 与A,B 两点，假设x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为 ．(15)已知两个不相等的非零向量a ,b ，两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则以下正确的命题的是〔写出所有正确命题的编号〕．①S 有5个不同的值； ②假设a ⊥b ，则min S 与a无关； ③假设a ∥b ，则min S 与b 无关；④假设b >a 4，则min S >0； ⑤假设b =a 4,min S =28a ，则a 与b 的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． 〔16〕〔本小题总分值12分〕 设△ABC 的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,B A 2=． 〔I 〕求a 的值： 〔II 〕求)4sin(π+A 的值．〔17〕〔本小题总分值12分〕甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，假设赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31，各局比赛结果互相独立． 〔I 〕求甲在4局以内〔含4局〕赢得比赛的概率；〔II 〕记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值〔数学期望〕．第（20）题图D A D 1〔18〕〔本小题总分值12分〕设函数32)1(1)(x x x a x f --++=，其中0>a ． 〔I 〕讨论)(x f 在其定义域上的单调性；〔II 〕当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值．〔19〕〔本小题总分值13分〕如图，已知两条抛物线1E ：x p y 122=〔01>p 〕和2E ：x p y 222=1l 与1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点，2l 与1E ,2E 分别交于1B ,2B 两点．〔I 〕证明：2211B A B A ∥；〔II 〕过O 作直线l 〔异于1l ,2l 〕与1E ,2E 分别交于1C ,2C 两点，记111C B A △,与222C B A △的面积分别为1S 与2S ，求21S S 的值．〔20〕〔本小题总分值13分〕如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥A A 1底面ABCD ．四边形为梯形，∥，且．过D C A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ．〔I 〕证明：Q 为1BB 的中点；〔II 〕求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；〔III 〕假设41=AA ,2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．〔21〕〔本小题总分值13分〕 设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈．〔I 〕证明：当1->x 且0≠x 时，()px x p+>+11；〔II 〕数列{}n a 满足p n n n pa pc a p p a c a -++-=>11111,，证明：p n n c a a 11>>+．数学〔理科〕试题参考答案一．选择题：此题考查基本知识和基本运算．每题5分，总分值50分．〔1〕C 〔2〕B 〔3〕B 〔4〕D 〔5〕D 〔6〕A 〔7〕A 〔8〕C 〔9〕D 〔10〕A二．填空题：此题考查基本知识和基本运算．每题5分，总分值25分． 〔11〕83π 〔12〕1 〔13〕3 〔14〕12322=+y x 〔15〕②④三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． 〔16〕〔本小题总分值12分〕 解：〔I 〕∵B A 2=，∴B B B A cos sin 22sin sin ==．由正、余弦定理得：acb c a b a 22222-+⋅=．∵1,3==c b ，∴32,122==a a ． 〔II 〕 由余弦定理得：31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A ．∵π<<A 0，∴322911cos 1sin 2=-=-=A A ． ∴62422)31(223224sincos 4cossin )4sin(-=⨯-+⨯=+=+πππA A A ．〔17〕〔本小题总分值12分〕解：用A 表示“甲在4局以内〔含4局〕赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， 则32)(=k A P ，31)(=kB P ，5,4,3,2,1=k ． 〔I 〕)()()()(432132121A A B A P A A B P A A P A P ++==)()()()()()()()()(432132121A P A P B P A p A P A P B P A P A P ++=8156323132323132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛ 〔II 〕X 的可能取值为2,3,4,5．95)()()()()()()2(21212121=+=+==B P B P A P A P B B P A A P X P ， 92)()()()()()()()()3(321321321321=+=+==B P B P A P A P A P B P B B A P A A B P X P ，8110)()()()()()()()()()()4(4321432143214321=+=+==B P B P A P B P A P A P B P A P B B A B P A A B A P X P 818)4()3()2(1)5(==-=-=-==X P X P X P X P ∴X 的分布列为8181581493952=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．〔18〕〔本小题总分值12分〕解：〔I 〕)(x f 的定义域为()+∞∞-,，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x ax a x <++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x <<时，0)(>'x f ． ∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增． 〔II 〕∵0>a ，∴0,021><x x ．① 当4≥a 时，12≥x ．由〔I 〕知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x ．由〔I 〕知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412ax x ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值；当1=a 时，)(x f 在0=x 处和1=x 处同时取得最小值； 当41<<a 时，)(x f 在0=x 处取得最小值．〔19〕〔本小题总分值13分〕〔I 〕证：设直线21,l l 的方程分别为x k y x k y 21,==〔0,21≠k k 〕，则 由⎩⎨⎧==x p y xk y 1212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121112,2k p k p A ，由⎩⎨⎧==x p y xk y 2212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221222,2k p k p A ．同理可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛2122112,2k p k p B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222,2kp k p B ． ∴⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122111212112211111,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ， ⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122212222122222211,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ． 故222111B A p p B A =，∴2211B A B A ∥． 〔II 〕解：由〔I 〕知2211B A B A ∥，同理可得2211C B C B ∥，2211A C A C ∥． ∴222111C B A C B A ∽△△．∴221=S S ．又由〔I 〕中的222111B A p p B A =21P P =． ∴222121P PS S =．〔20〕〔本小题总分值13分〕〔I 〕证：∵1AA BQ ∥，AD BC ∥，B BQ BC =⋂，A AA AD =⋂1． ∴平面QBC ∥平面AD A 1．从而平面CD A 1与这两个平面的交线互相平行，即D A QC 1∥． ∴△QBC 与△AD A 1的对应边相互平行，于是△∽QBC △AD A 1．∴2111===AD BC AA BQ BB BQ ，即Q 为1BB 的中点．第（20）题图1αEQ D AB A 1D 1C 1B 1C第（20）题图2〔II 〕解：如第〔20〕题图1，连接QA ,QD ．设h AA =1，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为上V 和下V ，a BC =，则a AD 2=．ahd d h a V AD A Q 31221311=⋅⋅⋅⋅=-， ahd h d a a V ABCD Q 41)21(2231=⋅⋅+⋅=-，∴ahd V V V ABCD Q AD A Q 1271=+=--下．又ahd V ABCD D C B A 231111=-，∴ahd ahd ahd V V V ABCD D C B A 121112723-1111=-==-下上，故711=下上V V ． 〔III 〕解法1如第〔20〕题图1，在ADC △中，作DC AE ⊥，垂足为E ，连接E A 1． 又1AA DE ⊥，且A AA DE =⋂1． ∴1AEA DE 平面⊥，于是E A DE 1⊥．∴∠1AEA 为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角． ∵AD BC ∥，BC AD 2=，∴BCA ADC S S △△2=．又∵梯形ABCD 的面积为6，2=DC ，∴4=ADC S △，4=AE ． ∴1tan 11==∠AE AA AEA ，41π=∠AEA ． 故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π． 解法2如第〔20〕题图2，以D 为原点，1,DD DA 分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系． 设θ=∠CDA∵6sin 222=⋅+=θaa S ABCD ，∴θsin 2=a ．从而)(0,sin 2,cos 2θθC ，⎪⎭⎫⎝⎛4,0,sin 41θA ， ∴()0,sin 2,cos 2θθ=DC ，⎪⎭⎫⎝⎛=4,0,sin 41θDA ． 设平面DC A 1的法向量)1,,(y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0sin 2cos 204sin 41θθθy x n DC n DA ，得θsin -=x ，θcos =y ，∴)1,cos ,sin (θθ-=n ．又∵平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m ，∴22,cos =>=<m n m n ， ∴平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π．〔21〕〔本小题总分值13分〕 〔I 〕证：用数学归纳法证明① 当2=p 时，x x x x 2121)1(22+>++=+，原不等式成立． ② 假设),2(*N k k k p ∈≥=时，不等式kx x k+>+1)1( 成立． 当1+=k p 时，x k kx x k kx x x x x k k )1(1)1(1)1)(1()1)(1()1(21++>+++=++>++=++．∴1+=k p 时，原不等式也成立．综合①②可知，当0,1≠->x x 时，对一切整数1>p ，不等式px x p+>+1)1(均成立．〔II 〕证法1：先用数学归纳法证明pn c a 1>．① 当1=n 时，由题设p c a 11>知，pn c a 1>成立． ② 假设）（*,1N k k k n ∈≥=时，不等式pk c a 1>成立． 由pn n n a pc a p p a -++-=111易知*,0N n a n ∈>． 当1+=k n 时，)1(1111-+=+-=-+p kp k k k a cp a p c p p a a ． 由01>>pk ca 得0)1(111<-<-<-p ka cp p ． 由〔I 〕中的结论得p k p k pp k pk k a c a c p p a c p a a =-⋅+>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+)1(11)1(111． 因此c a pk >+1，即pk c a 11>+．③ ∴1+=k n 时，不等式pk c a 1>也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk c a 1>均成立． 再由)1(111-+=+p nn n a cp a a 可得11<+n n a a ，即n n a a <+1．综上所述，*11,N n c a a pn n ∈>>+．证法2：设p p c x x p cx p p x f 111)(≥+-=-，，则c x p ≥，并且p p p c x xcp p x p p c p p x f 10)1(1)1(1)(>>--=-+-='-，．由此可得，)(x f 在),[1+∞pc 上单调递增．因而，当pc x 1>时，pp c c f x f 11)()(=>．① 当1=n 时，由011>>p ca ，即c a p>1可知1111112)1(111a a c p a a p c a p p a p p <⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-=-，并且pc a f a 112)(>=，从而p c a a 121>>．故当1=n 时，不等式pn n ca a 11>>+成立．②假设），（*1N k k k n ∈≥=时，不等式pk k c a a 11>>+成立，则 当1+=k n 时，)()()(11pk k c f a f a f >>+，即有pk k c a a 121>>++．∴1+=k n 时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk k ca a 11>>+均成立．。
2014年高考理科数学安徽卷-答案
数学（理科）答案解析
第I卷
一、选择题
1.【答案】C
【解析】 z i z 1 i i (1 i) (i 1) (i 1) 2 ，故选：C.
i
i
【提示】把
z
及
z
代入
z i
i
z
，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值.
13.【答案】 a 3
【解析】由图易知 a0 1， a1 3 ， a2 4 .
Cn1
1 a
3 ， Cn2
1
2
a
4
，∴
n 3 a n(n 1) 2a2
4
，解得
a
3
.
【提示】求出 1
x a
n
的展开式的通项为 Tk1
z y ax 取得最大值表示直线 z y x 向上平移移动最大，a 表示直线斜率，有两种情况：a 1或 a 2 ，
故选：D. 【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线 y ax z 斜率的变化，从而
求出 a 的取值.
6.【答案】A
【解析】
8 ，故选：D.
【提示】分类讨论，利用 f (x) | x 1| | 2x a | 的最小值为 3，建立方程，即可求出实数 a 的值. 【考点】带绝对值的函数，函数最值的应用 10.【答案】A 【解析】设 a (1,0) ，b (0,1) .则 OP (cos,sin ) ，OQ ( 2, 2) ，所以曲线 C 是单位圆，区域 为圆
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2014年全国高考安徽理科数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则zi z i+⋅= （A ）-2 （B ）-2i （C ）2 （D ）2i（2）“x ＜0”是ln(1)0x +<的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34 （B ）55 （C ）78（D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为 （A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1（6）设函数f(x)（x ∈R ）满足()()sin f x f x x π+=+，当0≤x ≤π时，()0f x =，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21（D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5（C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足=2( a + b ).曲线C={ P |OP =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| PQ | ≤ R , r < R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R （C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz +i ·z = （A ）-2 （B ）-2i（C ）2 （D ）2i（2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34（B ）55（C ）78（D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214（C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21- （7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5（C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足OQ =2( a + b ).曲线C={ P | =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r < R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R（C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。
2014年高考真题理科数学试题(安徽卷) Word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz+i ·z = （A ）-2 （B ）-2i （C ）2 （D ）2i （2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 （A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为 （A ）5或8 （B ）-1或5 （C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足=2( a + b ).曲线C={ P | =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r <R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R （C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。
2014年高考理科数学安徽卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答．．．．．．．．．．案无效．．．,在答题卷．．．．、草稿纸上．．．．答题无效. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交. 参考公式：如果事件A 与B 互斥,那么 ()()()P A B P A B +=+如果事件A 与B 相互独立,那么()()()P AB P A B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位,z 表示复数z 的共轭复数.若1i z =+,则i =izz +( ) A .2- B .2i - C .2D .2i2.“0x ＜”是“ln(1)0x +＜”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 3.如图所示,程序框图（算法流程图）的输出结果是 ( )A .34B .55C .78D .894.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是1,3x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=,则直线l 被圆C 截得的弦长为( )AB. CD.5.x ,y 满足约束条件20220,220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤，≤≥.若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )A .12或1- B .2或12C .2或1D .2或1-6.设函数()()f x x ∈R 满足(π)()sin f x f x x +=+.当0πx ≤＜时,()0f x =,则23π()6f = ( ) A .12 BC .0D .12- 7.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面 积为 ( ) A.21+B.18+ C .21 D .18 8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有 ( )A .24对B .30对C .48对D .60对9.若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3,则实数a 的值为( )A .5或8B .1-或5C .1-或4-D .4-或810.在平面直角坐标系xOy 中,已知向量a ,b ,||||1==a b ,0=a b ,点Q 满足2()OQ =+a b .曲线{|cos sin ,02π}C P OP θθθ==+a b ≤＜,区域{|0,}P r PQ R r R Ω=＜≤||≤＜,若C Ω为两段分离的曲线,则( )A .3r R 1＜＜＜B .3r R 1＜＜≤C .3r R ≤1＜＜D .3r R 1＜＜＜姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(理科)第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在．答题卡上．．．．作答,在试．．题．卷上答题无效．．．．．．. 二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡的相应位置. 11.若将函数π()sin(2)4f x x =+的图象向右平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是 .12.数列{}n a 是等差数列,若11a +,33a +,55a +构成公比为q 的等比数列,则q = .13.设0a ≠,n 是大于1的自然数,(1)n xa+的展开式为2012n n a a x a x a x ++++.若点(,)(0,1,2)i i A i a i =的位置如图所示,则a = .14.设1F ,2F 分别是椭圆E ：2221(01)y x b b+=＜＜的左、右焦点,过点1F 的直线交椭圆E 于A ,B 两点.若11||3||AF F B =,2AF x ⊥轴,则椭圆E 的方程为 .15.已知两个不相等的非零向量a ,b ,两组向量1x ,2x ,3x ,4x ,5x 和1y ,2y ,3y ,4y ,5y 均由2个a 和3个b 排列而成.记1122334455S =++++x y x y x y x y x y ,min S 表示S 所有可能取值中的最小值,则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值；②若a b ⊥,则min S 与||a 无关； ③若a b ∥,则min S 与||b 无关； ④若||||b a ＞4,则min 0S ＞；⑤若||=2||b a ,2min =8||S a ,则a 与b 的夹角为π4.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16.（本小题满分12分）设ABC △的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且3b =,1c =,2A B =. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求πsin()4A +的值.17.（本小题满分12分）甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X 为比赛决出胜负时的总局数,求X 的分布列和均值（数学期望）. 18.（本小题满分12分）设函数23()1(1)f x a x x x =++--,其中0a ＞.（Ⅰ）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当[0,1]x ∈时,求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. 19.（本小题满分13分）如图,已知两条抛物线1E ：2112(0)y p x p =＞和2E ：2222(0)y p x p =＞,过原点O 的两条直线1l 和2l ,1l 与1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点,2l 与1E ,2E 分别交于1B ,2B 两点.（Ⅰ）证明：1122A B A B ∥；（Ⅱ）过O 作直线l （异于1l ,2l ）与1E ,2E 分别交于1C ,2C 两点.记111A B C △与222A B C △的面积分别为1S 与2S ,求12S S 的值. 20.（本小题满分13分）如图,四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AA ⊥底面ABCD .四边形ABCD 为梯形,AD BC ∥,且2AD BC =.过1A ,C ,D 三点的平面记为α,1BB 与α的交点为Q . （Ⅰ）证明：Q 为1BB 的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比； （Ⅲ）若14AA =,2CD =,梯形ABCD 的面积为6,求平面α与底面ABCD 所成二面角大小.21.（本小题满分13分）设实数0c ＞,整数p ＞1,*n ∈N .（Ⅰ）证明：当1x -＞且0x ≠时,(1+)+px px ＞1；（Ⅱ）数列{}n a 满足11pa c ＞,111p n n n p ca a a p p-+-=+.证明：11p n n a a c +＞＞.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）1i i i (1i)(i 1)iz +=+-=--及z 代入i izz +，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解析】画出约束条件表示的平面区域如图，17πsin 6数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）222所以共有3618⨯=对不满足题意，故满足题意的共有66-18=48对.故选：C.【答案】A【解析】设(1,0)a =，(0,1)b =.则(cos ,sin OP θθ=，(2,OQ =Ω为圆环（如图）.||2OQ =，13r R ∴<<<令(1,0)a =，(0,1)b =，则||,PQ R r ≤CΩ为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答【解析】{113n a =，214nCa⎛⎫=⎪⎝⎭，【提示】求出1n x⎛⎫+的展开式的通项为3⎪⎩51c⎛⎫【解析】S有下列三种情况：22222a ab b b=++++，222S a a b a b b b=++++，2S a b a b a b a b b=++++，222212232()||0S S S S a b a b a b a b-=-=+-=-=-≥，∴若a b⊥，则2min3S S b==，与||a无关，②正确；若a b∥，则2min34S S a b b==+，与||b有关，③错误；||4||b a>，则222234||||cos||4||||||||||0 S S a b b a b b b bθ=+≥-+>-+=，④正确；||2||b a=，2||S a=，则222248||cos4||8||S S a b b a a aθ==+=+=，cos2θ=，3θ∴=，⑤错误.】依题意，可求得S种结果22222a ab b b=++++，2222S a a b a b b b=++++，2a b a b a b a b b=++++可判断①错误.进一步分析有222212232()||0S S S S a b a b a b a b-=-=+-=-=-≥，即再对②③④⑤逐一分析即可得答案【考点】向量的基本运算，向量的新定义数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）数学试卷 第12页（共16页）2A B =222a c b bac +-3b =，1c =，∴（Ⅱ）222a c b b ac+-π⎫10)81=（Ⅱ）0a >，∴（ⅰ）当4a ≥时，在0x =和3 2数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）⎝所以2p A B ⎛= 22p A B ⎛=- 1p A B A B =，所11A B ∥，同理可得112B C B C ∥211||||A B A B ⎫⎪⎪⎭.又1p A B A B =知111||||A B p p A B =【提示】（Ⅰ）由题意设出直线得到A B ，A B 的坐标，然后由向量共线得答（Ⅰ）证明：1 //BQ AA =BC BQ B ，1AD AA A =.AD ，从而平面与这两个平面的交线相互平行，即QC 的对应边相互平行，于是1A AD ∽△1112323a h d ahd =12113224a a d h +⎛⎫= ⎪⎝⎭1712A AD Q ABCD V -+=221212下1AEAA A =.平面1AEA 1为平面α BC AD ∥又梯形于是tan ∠数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）1112323a h d ahd =12113224a a d h +⎛⎫= ⎪⎝⎭32ahd =棱柱，即可求出此四棱柱被平面分成上、下两部分的体积之比11p k cp p a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，不等式1p n a c >也成立。
2014年安徽高考理科数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz +i ·z = （A ）-2 （B ）-2i（C ）2 （D ）2i（2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34（B ）55（C ）78（D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214（C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21- （7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5（C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足OQ =2( a + b ).曲线C={ P | =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r < R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R（C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。
2014年 安徽省 高考数学 试卷及解析(理科)
2014年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设i 是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．894．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（）1A ． B．2C ．D．25．（5分）x，y 满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A ．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或16．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f （x）=0，则f （）=（）A ．B ．C．0 D ．﹣7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21 D．188．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）2A．24对B．30对C．48对D．60对9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或810．（5分）在平面直角坐标系xOy 中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q 满足=（+），曲线C={P |=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）若将函数f（x）=sin（2x +）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．12．（5分）数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=．13．（5分）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若点A i（i，a i）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a=．314．（5分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为．15．（5分）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．16．（12分）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．417．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．18．（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．19．（13分）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．520．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD 为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．21．（13分）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；6（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1=a n +a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．72014年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设i 是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i【分析】把z 及代入+i•，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解答】解：∵z=1+i，∴，∴+i•==．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）8A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．89【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的9值．【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选：B．【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．4．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（）A ． B．2C ．D．2【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．10【解答】解：直线l 的参数方程是（t为参数），化为普通方程为x﹣y﹣4=0；圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆．弦心距d==＜r，∴弦长为2=2=2，故选：D．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．5．（5分）x，y 满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A ．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或1【分析】由题意作出已知条件的平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出约束条件，平面区域，11将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2﹣x平行，故a=2或﹣1；故选：C．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题．6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f （x）=0，则f （）=（）A ．B ．C．0 D ．﹣【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，12f（x）=0，∴f （）=f （）=f （）+sin=f （）+sin+sin=f （）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选：A．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）1314A ．21+B ．18+C ．21D ．18【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积． 【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1， 几何体的表面积为：S 正方体﹣2S 棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A ．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．8．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）A．24对B．30对C．48对D．60对【分析】利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3×6=18．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．故选：C．【点评】本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键．9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8【分析】分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．【解答】解：＜﹣1时，x ＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；15﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，∴﹣1=3或a﹣2=3，∴a=8或a=5，a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；﹣1≤x ≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；x ＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，∴2﹣a=3或﹣+1=3，∴a=﹣1或a=﹣4，a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；综上，a=﹣4或8．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．1610．（5分）在平面直角坐标系xOy 中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q 满足=（+），曲线C={P |=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R【分析】不妨令=（1，0），=（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r ≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．【解答】解：∵平面直角坐标系xOy 中．已知向量、，||=||=1，•=0，不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，），=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，∵|OQ|=2，17故1＜r＜R＜3，故选：A．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出P的轨迹及Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域，是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）若将函数f（x）=sin（2x +）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y 轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．【解答】解：将函数f （x）=sin（2x +）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x +﹣2φ）关于y 轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象18的对称性，属于中档题．12．（5分）数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=1．【分析】设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，得：，整理得：，即+5a1+a1+4d．化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．∴q==．故答案为：1．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．1913．（5分）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若a=3．点A i（i，a i）（i=0，1，2）的位置如图所示，则【解答】解：（1+）n的展开式的通项为，由图知，a0=1，a1=3，a2=4，∴，，，，a2﹣3a=0，解得a=3，故答案为：3．【点评】本题考查解决二项式的特定项问题，关键是求出展开式的通项，属于一道中档题．2014．（5分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．【分析】求出B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），则∵|AF1|=3|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）∴B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程可得，∵1=b2+c2，∴b2=，c 2=，∴x2+=1．故答案为：x2+=1．21【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．15．（5分）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．【分析】依题意，可求得S有3种结果：S 1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，可判断①错误；进一步分析有S1﹣S 2=S 2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，即S中最小为S3；再对②③④⑤逐一分析即可得答案．【解答】解：∵x i ，y i（i=1，2，3，4，5）均由2个和3个排列而成，∴S=x i y i 可能情况有三种：①S=2+3；②S=+2•+2；③S=4•+．S有3种结果：S1=++++，22S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，故①错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，∴S中最小为S3；若⊥，则S min=S3=，与||无关，故②正确；③若∥，则S min=S3=4•+，与||有关，故③错误；④若||＞4||，则S min=S3=4||•||cosθ+＞﹣4||•||+＞﹣+=0，故④正确；⑤若||=2||，S min=S3=8||2cosθ+4=8，∴2cosθ=1，∴θ=，即与的夹角为．综上所述，命题正确的是②④，故答案为：②④．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演23算步骤．解答早答题卡上的指定区域．16．（12分）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A +）的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；（Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A +）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵A=2B ，，b=3，∴a=6cosB，∴a=6，∴a=2；（Ⅱ）∵a=6cosB，∴cosB=，∴sinB=，∴sinA=sin2B=，cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，24∴sin（A +）=（sinA+cosA）=．【点评】本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k 局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）=，P（B k）=，k=1，2，3，4，5（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+××（）2=．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，25P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，故分布列为：X2345PE（X）=2×+3×+4×+5×=．【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．26【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x ＜，x ＞；由f′（x）＞0得＜x ＜；故f（x ）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，在（，）上单调递增；（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈[0，1]，当时，即a≥4①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．27【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．19．（13分）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．【分析】（Ⅰ）由题意设出直线l1和l2的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的坐标，然后由向量共线得答案；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0，28设l1：y=k1x，l2：y=k2x．联立，解得．联立，解得．联立，解得．联立，解得．∴，．，∴A1B1∥A2B2；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B1∥A2B2，同（Ⅰ）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．∴△A1B1C1∽△A2B2C2，因此，29又，∴．故．【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题．20．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD 为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．30【分析】（Ⅰ）证明平面QBC∥平面A1D1DA，可得△QBC∽△A1AD，即可证明Q 为BB1的中点；（Ⅱ）设BC=a，则AD=2a，则==，V Q﹣ABCD ==ahd，利用V棱柱=ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ）△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，DE⊥A1E，可得∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4，AE=4，可得tan ∠AEA1==1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∴平面QBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD与面QBC、平面A1D1DA的交线平行，∴QC∥A1D∴△QBC∽△A1AD，∴=，∴Q为BB1的中点；（Ⅱ）解：连接QA，QD，设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1，V2，设BC=a，则AD=2a，∴==，V Q﹣ABCD ==ahd，31∴V2=，∵V棱柱=ahd，∴V1=ahd，∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，∴DE⊥A1E，∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，∵BC∥AD，AD=2BC，∴S△ADC =2S△ABC，∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，∴S△ADC=4，AE=4，∴tan∠AEA1==1，∴∠AEA1=，∴平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为．3233【点评】本题考查面面平行的性质，考查体积的计算，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（13分）设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *． （Ⅰ）证明：当x ＞﹣1且x ≠0时，（1+x ）p ＞1+px ；（Ⅱ）数列{a n }满足a 1＞，a n +1=a n +a n 1﹣p ．证明：a n ＞a n +1＞．【分析】第（Ⅰ）问中，可构造函数f （x ）=（1+x ）p ﹣（1+px ），求导数后利用函数的单调性求解；对第（Ⅱ）问，从a n +1着手，由a n +1=a n +a n 1﹣p ，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a n ＞a n +1进行转换，设法利用已证结论证明．【解答】证明：（Ⅰ）令f （x ）=（1+x ）p ﹣（1+px ），则f′（x ）=p （1+x ）p ﹣1﹣p=p [（1+x ）p ﹣1﹣1]．①当﹣1＜x ＜0时，0＜1+x ＜1，由p ＞1知p ﹣1＞0，∴（1+x ）p ﹣1＜（1+x ）0=1， ∴（1+x ）p ﹣1﹣1＜0，即f′（x ）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f（0）=（1+0）p﹣（1+p×0）=0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，∴（1+x）p＞1+px．②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0=1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=0，∴（1+x）p＞1+px．综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．＞．（Ⅱ）先证a n+1=a n +a n1﹣p ，∴只需证a n +a n1﹣p ＞，∵a n+1将写成p﹣1个相加，上式左边=，当且仅当，即时，上式取“=”号，当n=1时，由题设知，∴上式“=”号不成立，34∴a n +a n1﹣p ＞，即a n+1＞．再证a n＞a n+1．只需证a n ＞a n +a n1﹣p，化简、整理得a n p＞c，只需证a n＞c．＞成立，即从数列{a n}的第2项开始成立，由前知a n+1又n=1时，由题设知成立，∴对n∈N*成立，∴a n＞a n+1．综上知，a n＞a n+1＞，原不等式得证．【点评】本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式，利用的方法有分析法与综合法等，综合性很强，难度较大．35。
2014年高考真题理科数学(安徽卷)解析版 Word版含解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）解析卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
2（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则z i iz.+（ ） A. 2- B. i 2- C. 2 D. i 2析：此题考察复数的的代数形式下的共轭概念和四则运算。
考查运算能力。
答案：C （2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件析：此题对数意义和充分必要条件的判断。
考察分析问题解决问题能力。
答案：B （3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A. 34 B. 55 C. 78 D. 89析：此题考察算法流程，考查运算能力。
图片中第三框中为“z=x+y ”。
答案：B4.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长( )A.14B.142C.2D.22析：此题考察极坐标与参数方程的简单知识，交汇点在直线方程与圆的方程及其位置关系上，考查等价转化思想的运用。
答案：D5.y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或 析：此题在考察线性规划知识同时考察对“直线知识“的灵活运用，考查学生的数形结合思想运用。
答案：D⎩ ⎨⎧ - = + = 3 1 t y t x6.设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21- 析：此题在考察函数知识、三角函数知识同时，考查转化化归思想的运用。
2014年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案和试题分析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2014•安徽）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）A．﹣2 B．﹣2i C．2D．2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把z及代入+i•，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：∵z=1+i，∴，∴+i•==．故选：C．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）（2014•安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题；简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）（2014•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．34 B．55 C．78 D．89考点：程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的使用．专题：算法和程序框图．分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．解答：解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B点评：本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．4．（5分）（2014•安徽）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（）A．B．2C．D．2考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线和圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．解答：解：直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程为x﹣y﹣4=0；圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆．弦心距d==＜r，∴弦长为2=2=2，故选：D．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的使用，属于中档题．5．（5分）（2014•安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及使用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z和直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z和直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D点评：本题主要考查线性规划的使用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义．6．（5分）（2014•安徽）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f （x）=0，则f（）=（）A．B．C．0D．﹣考点：抽象函数及其使用；函数的值．专题：函数的性质及使用．分析：利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．解答：解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，∴f（）=f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选：A．点评：本题考查抽象函数的使用，函数值的求法，考查计算能力．7．（5分）（2014•安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21 D．18 考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系和距离．分析：判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．解答：解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+．故选：A．点评：本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状．8．（5分）（2014•安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（）A．24对B．30对C．48对D．60对考点：排列、组合及简单计数问题；异面直线及其所成的角．专题：排列组合．分析：利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．解答：解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3×6=18．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．故选：C．点评：本题考查排列组合的综合使用，逆向思维是解题本题的关键．9．（5分）（2014•安徽）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8考带绝对值的函数；函数最值的使用．点：选作题；不等式．专题：分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．分析：解解：＜﹣1时，x＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；答：﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，∴﹣1=3或a﹣2=3，∴a=8或a=5，a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，∴2﹣a=3或﹣+1=3，∴a=﹣1或a=﹣4，a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；综上，a=﹣4或8．故选：D．本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．点评：10．（5分）（2014•安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R向量在几何中的使用．考点：平面向量及使用；直线和圆．专题：分不妨令=（1，0），=（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜析：R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆和圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．解答：解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，），=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆和圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，∵|OQ|=2，故1＜r＜R＜3，故选：A点评：本题考查的知识点是向量在几何中的使用，其中根据已知分析出P的轨迹及Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域，是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像和性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数分析式为y=sin （2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数分析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．12．（5分）（2014•安徽）数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=1．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列和等比数列．分析：设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，得：，整理得：，即+5a1+a1+4d．化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．∴q==．故答案为：1．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．13．（5分）（2014•安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若点A i（i，a i）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a=3．考点：二项式定理的使用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：求出（1+）n的展开式的通项为，由图知，a0=1，a1=3，a2=4，列出方程组，求出a的值．解答：解：（1+）n的展开式的通项为，由图知，a0=1，a1=3，a2=4，∴，，，，a2﹣3a=0，解得a=3，故答案为：3．点评：本题考查解决二项式的特定项问题，关键是求出展开式的通项，属于一道中档题．14．（5分）（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质和方程．分析：求出B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．解答：解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），则∵|AF1|=3|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）∴B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程可得，∵1=b2+c2，∴b2=，c2=，∴x2+=1．故答案为：x2+=1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查学生的计算能力，属于中档题．15．（5分）（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min和||无关；③若∥，则S min和||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则和的夹角为．考点：命题的真假判断和使用；平行向量和共线向量．专题：平面向量及使用；简易逻辑．分析：依题意，可求得S有3种结果：S1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，可判断①错误；进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，即S中最小为S3；再对②③④⑤逐一分析即可得答案．解答：解：∵x i，y i（i=1，2，3，4，5）均由2个和3个排列而成，∴S=x i y i可能情况有三种：①S=2+3；②S=+2•+2；③S=4•+．S有3种结果：S1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，故①错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，∴S中最小为S3；若⊥，则S min=S3=，和||无关，故②正确；③若∥，则S min=S3=4•+，和||有关，故③错误；④若||＞4||，则S min=S3=4||•||cosθ+＞﹣4||•||+＞﹣+=0，故④正确；⑤若||=2||，S min=S3=8||2cosθ+4=8，∴2cosθ=1，∴θ=，即和的夹角为．综上所述，命题正确的是②④，故答案为：②④．点评：本题考查命题的真假判断和使用，着重考查平面向量的数量积的综合使用，考查推理、分析和运算的综合使用，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．16．（12分）（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．考点：正弦定理；两角和和差的正弦函数．专题：综合题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；（Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A+）的值．解答：解：（Ⅰ）∵A=2B，，b=3，∴a=6cosB，∴a=6，∴a=2；（Ⅱ）∵a=6cosB，∴cosB=，∴sinB=，∴sinA=sin2B=，cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，∴sin（A+）=（sinA+cosA）=．点评：本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（12分）（2014•安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望和方差．专题：概率和统计．分析：（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．解答：解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）=，P（B k）=，k=1，2，3，4，5（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+××（）2=．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，故分布列为：X 2 3 4 5PE（X）=2×+3×+4×+5×=．点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）（2014•安徽）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合使用．分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根和1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；由f′（x）＞0得＜x＜；故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，在（，）上单调递增；（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．19．（13分）（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1和E1，E2分别交于A1、A2两点，l2和E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）和E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1和△A2B2C2的面积分别为S1和S2，求的值．考点：直线和圆锥曲线的综合问题．专题：向量和圆锥曲线．分析：（Ⅰ）由题意设出直线l1和l2的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的坐标，然后由向量共线得答案；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△A1B1C1和△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．解答：（Ⅰ）证明：由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0，设l1：y=k1x，l2：y=k2x．联立，解得．联立，解得．联立，解得．联立，解得．∴，．，∴A1B1∥A2B2；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B1∥A2B2，同（Ⅰ）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．∴△A1B1C1∽△A2B2C2，因此，又，∴．故．点评：本题是直线和圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比和面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题．20．（13分）（2014•安徽）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1和α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α和底面ABCD所成二面角的大小．考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求平面间的夹角．专题：综合题；空间位置关系和距离．分析：（Ⅰ）证明平面QBC∥平面A1D1DA，可得△QBC∽△A1AD，即可证明Q为BB1的中点；（Ⅱ）设BC=a，则AD=2a，则==，V Q﹣ABCD==ahd，利用V棱柱=ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ）△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，DE⊥A1E，可得∠AEA1为平面α和底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4，AE=4，可得tan∠AEA1==1，即可求平面α和底面ABCD所成二面角的大小．解答：（Ⅰ）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∴平面QBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD和面QBC、平面A1D1DA的交线平行，∴QC∥A1D∴△QBC∽△A1AD，∴=，∴Q为BB1的中点；（Ⅱ）解：连接QA，QD，设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1，V2，设BC=a，则AD=2a，∴==，V Q﹣ABCD==ahd，∴V2=，∵V棱柱=ahd，∴V1=ahd，∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，∴DE⊥A1E，∴∠AEA1为平面α和底面ABCD所成二面角的平面角，∵BC∥AD，AD=2BC，∴S△ADC=2S△ABC，∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，∴S△ADC=4，AE=4，∴tan∠AEA1==1，∴∠AEA1=，∴平面α和底面ABCD所成二面角的大小为．点评：本题考查面面平行的性质，考查体积的计算，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（13分）（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1=a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．考点：不等式的证明；数列和不等式的综合；分析法和综合法．专题：函数思想；点列、递归数列和数学归纳法．分析：第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）=（1+x）p﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；对第（Ⅱ）问，从a n+1着手，由a n+1=a n+a n1﹣p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a n＞a n+1进行转换，设法利用已证结论证明．解答：证明：（Ⅰ）令f（x）=（1+x）p﹣（1+px），则f′（x）=p（1+x）p﹣1﹣p=p[（1+x）p ﹣1﹣1]．①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0=1，∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f（0）=（1+0）p﹣（1+p×0）=0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，∴（1+x）p＞1+px．②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0=1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=0，∴（1+x）p＞1+px．综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．（Ⅱ）先证a n+1＞．∵a n+1=a n+a n1﹣p，∴只需证a n+a n1﹣p＞，将写成p﹣1个相加，上式左边=，当且仅当，即时，上式取“=”号，当n=1时，由题设知，∴上式“=”号不成立，∴a n+a n1﹣p＞，即a n+1＞．再证a n＞a n+1．只需证a n＞a n+a n1﹣p，化简、整理得a n p＞c，只需证a n＞c．由前知a n+1＞成立，即从数列{a n}的第2项开始成立，又n=1时，由题设知成立，∴对n∈N*成立，∴a n＞a n+1．综上知，a n＞a n+1＞，原不等式得证．点评：本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式，利用的方法有分析法和综合法等，综合性很强，难度较大．。
2014年全国高考理科数学试题-安徽卷(含答案)
数学（理科）2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则=⋅+z iz 1（ ） A. 2- B. i 2- C. 2 D. i 2（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 34B. 55C. 78D. 894.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立学科网极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A.14 B.142 C.2 D.225.y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或 6.设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21- 7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A.21+3B.18+3C.21D.188.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ）A.24对B.30对C.48对D.60对9.若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A.5或8B.1-或5C.1-或4-D.4-或810.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线cos sin ,02C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域0,P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则( )A.13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<< 第I I 卷（非选择题 共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.12.数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成学科网公比为q 的等比数列，则q =________.（13）设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++ 2210.若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a（14）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b b y x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________ （15）已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个和3个排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=， min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值.②若,⊥则min S .③若,∥则min S 无关.>，则0min >S .学科网,min S ==则与的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文子说明、证明学科网过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B ===（1）求a 的值；（2）求sin()4A π+的值.17（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.(1) 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；(2) 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）18（本小题满分12分） 设函数其中. （1） 讨论在其定义域上的单调性； （2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.(19)(本小题满分13分)如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点.(1)证明：;//2211B A B A (2)过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点。
2014年安徽高考理科数学试题附答案(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz +i·z = （A ）-2 （B ）-2i（C ）2 （D ）2i（2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34（B ）55（C ）78（D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214（C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21- （7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5（C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足=2( a + b ).曲线C={ P | =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r < R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R（C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。
2014年安徽高考数学(理科)试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz +i ·z = （A ）-2 （B ）-2i（C ）2 （D ）2i（2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34（B ）55（C ）78（D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214（C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5（C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足=2( a + b ).曲线C={ P | =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r < R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R（C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。
2014年安徽省高考理科数学试卷及参考标准答案(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若i z +=1，则=⋅+z iz1（ ）A ．－2 Ｂ．－2i Ｃ．２ Ｄ．2i（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 （3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．34 B ．55 C ．78 D ．89（4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x （t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．22（5）x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．21或-1 B ．2或21C ．2或1D ．2或-1 （6）设函数)(x f （R x ∈）满足x x f x f sin )()(+=+π．当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A ．21 B ．23 C ．0 D ．21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）． A ．21+3 B ．18+3 C ．21 D ．18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）对．A ．24B ．30C ．48D ．60（9）若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．5或8 B ．-1或5 C ．-1或-4 D ．-4或8（10）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量,，1==,0=⋅，点Q 满足)(2+=．曲线πθθθ20,sin cos ≤≤+==b a P C丨，区域R r R r P <≤≤<=Ω，丨0．若Ω⋂C 为两段分离的曲第（13）题图第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． （11）若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ． （12）数列{}n a 是等差数列，若11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列，则q = ． （13）设0≠a ，n 是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a ++++ 22210．点),(i i a i A （2,1,0=i ）的位置如图所示，则a = ．（14）设21,F F 分别是椭圆E ：1222=+by x （10<<b ）的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 与A,B 两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为 ．(15)已知两个不相等的非零向量a ,b ，两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列正确的命题的是（写出所有正确命题的编号）．①S 有5个不同的值； ②若⊥，则min S 与a无关； ③若∥，则min S 与b 无关； ④若b >a 4，则min S >0； ⑤若b =a 4,min S =28a ，则与的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 设△ABC 的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,B A 2=． （I ）求a 的值： （II ）求)4sin(π+A 的值．（17）（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31，各局比赛结果互相独立． （I ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（II ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）．第（20）题图D A D 1（18）（本小题满分12分）设函数32)1(1)(x x x a x f --++=，其中0>a ． （I ）讨论)(x f 在其定义域上的单调性；（II ）当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值．（19）（本小题满分13分）如图，已知两条抛物线1E ：x p y 122=（01>p ）和2E ：x p y 222=1l 与1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点，2l 与1E ,2E 分别交于1B ,2B 两点．（I ）证明：2211B A B A ∥；（II ）过O 作直线l （异于1l ,2l ）与1E ,2E 分别交于1C ,2C 两点，记111C B A △,与222C B A △的面积分别为1S 与2S ，求21S S的值．（20）（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥A A 1底面ABCD ．四边形为梯形，∥，且．过D C A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ．（I ）证明：Q 为1BB 的中点；（II ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（III ）若41=AA ,2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．（21）（本小题满分13分）设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈．（I ）证明：当1->x 且0≠x 时，()px x p+>+11；（II ）数列{}n a 满足p n n n pa pc a p p a c a -++-=>11111,，证明：p n n c a a 11>>+．数学（理科）试题参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）D （6）A （7）A （8）C （9）D （10）A二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分25分． （11）83π （12）1 （13）3 （14）12322=+y x （15）②④三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 解：（I ）∵B A 2=，∴B B B A cos sin 22sin sin ==．由正、余弦定理得：acb c a b a 22222-+⋅=．∵1,3==c b ，∴32,122==a a ．（II ） 由余弦定理得：31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A ．∵π<<A 0，∴322911cos 1sin 2=-=-=A A ． ∴62422)31(223224sincos 4cossin )4sin(-=⨯-+⨯=+=+πππA A A ．（17）（本小题满分12分）解：用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， 则32)(=k A P ，31)(=k B P ，5,4,3,2,1=k ． （I ）)()()()(432132121A A B A P A A B P A A P A P ++==)()()()()()()()()(432132121A P A P B P A p A P A P B P A P A P ++=8156323132323132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛ （ ）X 的可能取值为2,3,4,5．95)()()()()()()2(21212121=+=+==B P B P A P A P B B P A A P X P ， 92)()()()()()()()()3(321321321321=+=+==B P B P A P A P A P B P B B A P A A B P X P ，8110)()()()()()()()()()()4(4321432143214321=+=+==B P B P A P B P A P A P B P A P B B A B P A A B A P X P 818)4()3()2(1)5(==-=-=-==X P X P X P X P ∴X 的分布列为8181581493952=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．（18）（本小题满分12分）解：（I ）)(x f 的定义域为()+∞∞-,，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x ax a x <++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x <<时，0)(>'x f ． ∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增． （II ）∵0>a ，∴0,021><x x ．① 当4≥a 时，12≥x ．由（I ）知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x ．由（I ）知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412ax x ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值；当1=a 时，)(x f 在0=x 处和1=x 处同时取得最小值；（19）（本小题满分13分）（I ）证：设直线21,l l 的方程分别为x k y x k y 21,==（0,21≠k k ），则 由⎩⎨⎧==x p y xk y 1212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121112,2k p k p A ，由⎩⎨⎧==x p y xk y 2212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221222,2k p k p A ．同理可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛2122112,2k p k p B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222,2kp k p B ． ∴⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122111212112211111,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ， ⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122212222122222211,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ． 故222111B A p p B A =，∴2211B A B A ∥． （II ）解：由（I ）知2211B A B A ∥，同理可得2211C B C B ∥，2211A C A C ∥． ∴222111C B A C B A ∽△△．∴221=S S ．又由（I ）中的222111B A p p B A =21P P =． ∴222121P PS S =．（20）（本小题满分13分）（I ）证：∵1AA BQ ∥，AD BC ∥，B BQ BC =⋂，A AA AD =⋂1． ∴平面QBC ∥平面AD A 1．从而平面CD A 1与这两个平面的交线互相平行，即D A QC 1∥． ∴△QBC 与△AD A 1的对应边相互平行，于是△∽QBC △AD A 1．第（20）题图1αEQ D AB A 1D 1C 1B 1C（II ）解：如第（20）题图1，连接QA ,QD ．设h AA =1，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为上V 和下V ，a BC =，则a AD 2=．ahd d h a V AD A Q 31221311=⋅⋅⋅⋅=-， a h dh d a a V A B C D Q 41)21(2231=⋅⋅+⋅=-， ∴ahd V V V ABCD Q AD A Q 1271=+=--下．又ahd V ABCD D C B A 231111=-，∴ahd ahd ahd V V V ABCD D C B A 121112723-1111=-==-下上，故711=下上V V ． （III ）解法1如第（20）题图1，在ADC △中，作DC AE ⊥，垂足为E ，连接E A 1． 又1AA DE ⊥，且A AA DE =⋂1． ∴1AEA DE 平面⊥，于是E A DE 1⊥．∴∠1AEA 为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角． ∵AD BC ∥，BC AD 2=，∴BCA ADC S S △△2=．又∵梯形ABCD 的面积为6，2=DC ，∴4=ADC S △，4=AE ． ∴1tan 11==∠AE AA AEA ，41π=∠AEA ． 故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π． 解法2如第（20）题图2，以D 为原点，1,DD DA 分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系． 设θ=∠CDA∵6sin 222=⋅+=θaa S ABCD ，∴θsin 2=a ．从而)(0,sin 2,cos 2θθC ，⎪⎭⎫⎝⎛4,0,sin 41θA ， ∴()0,sin 2,cos 2θθ=DC ，⎪⎭⎫⎝⎛=4,0,sin 41θDA ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0sin 2cos 204sin 41θθθy x n DA ，得θsin -=x ，θcos =y ，∴)1,cos ,sin (θθ-=n ．又∵平面ABCD 的法向量)1,0,0(=，∴22,cos =>=<m n ， ∴平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π．（21）（本小题满分13分） （I ）证：用数学归纳法证明① 当2=p 时，x x x x 2121)1(22+>++=+，原不等式成立． ② 假设),2(*N k k k p ∈≥=时，不等式kx x k+>+1)1( 成立． 当1+=k p 时，x k kx x k kx x x x x k k )1(1)1(1)1)(1()1)(1()1(21++>+++=++>++=++．∴1+=k p 时，原不等式也成立．综合①②可知，当0,1≠->x x 时，对一切整数1>p ，不等式px x p+>+1)1(均成立．（II ）证法1：先用数学归纳法证明pn c a 1>．① 当1=n 时，由题设p c a 11>知，pn c a 1>成立． ② 假设）（*,1N k k k n ∈≥=时，不等式pk c a 1>成立． 由pn n n a pc a p p a -++-=111易知*,0N n a n ∈>． 当1+=k n 时，)1(1111-+=+-=-+p kp k k k a cp a p c p p a a ． 由01>>pk ca 得0)1(111<-<-<-p ka cp p ． 由（I ）中的结论得p k p k pp k pk k a c a c p p a c p a a =-⋅+>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+)1(11)1(111． 因此c a pk >+1，即pk c a 11>+．1综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk c a 1>均成立． 再由)1(111-+=+p nn n a cp a a 可得11<+n n a a ，即n n a a <+1．综上所述，*11,N n c a a pn n ∈>>+．证法2：设p p c x x p cx p p x f 111)(≥+-=-，，则c x p ≥，并且p p p c x xcp p x p p c p p x f 10)1(1)1(1)(>>--=-+-='-，．由此可得，)(x f 在),[1+∞pc 上单调递增．因而，当p c x 1>时，pp c c f x f 11)()(=>．① 当1=n 时，由011>>p ca ，即c a p>1可知1111112)1(111a a c p a a p c a p p a p p <⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-=-，并且pc a f a 112)(>=，从而p c a a 121>>．故当1=n 时，不等式pn n ca a 11>>+成立．②假设），（*1N k k k n ∈≥=时，不等式pk k c a a 11>>+成立，则 当1+=k n 时，)()()(11pk k c f a f a f >>+，即有pk k c a a 121>>++．∴1+=k n 时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk k c a a 11>>+均成立．。
2014年安徽高考理科数学试题及参考答案
2014年安徽高考理科数学试题第I 卷 （选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【2014年安徽卷（理01）】设i 是虚数单位，_z 表示复数z 的共轭复数，若i z +=1，则=⋅+z i iz（A ）2- （B ）i 2- （C ）2（D ）i 2【答案】C 【解析】2)2()(=-=-=⋅+⋅-=⋅+i i z z i z i z i z i iz【2014年安徽卷（理02）】“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】}01|{0)1ln(<<-⇒<+x x x 是}0|{<x x 的真子集【2014年安徽卷（理03）】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34 （B ）55（C ）78（D ）89【答案】B【解析】本程序涉及“斐波拉切数列”即：2、3、5、8、13、21、34、55、89…，并输出第一个大于50的数 第（3）题图【2014年安徽卷（理04）】以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31t y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）142 （C ） 2 （D ）22【答案】D【解析】直线与圆都化成普通方程，直线04:=--y x l ，圆4)2(:22=+-y x C 。
圆心C 到直线l 的距离为2=d ，弦长为22222=-d r【2014年安徽卷（理05）】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≤-+202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（A ）21或1-（B ）2或21（C ）2或1（D ）2或1-【答案】D【解析】可行域如右图所示，ax y z -=可化为z ax y +=，由题意知2=a 或1-【2014年安徽卷（理06）】设函数))((R x x f ∈满足x x f x f sin )()(+=+π，当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （A ）21（B ）23（C ）0 （D ）21-2=02=-【解析】法一：2165sin )65(21611sin )611(617sin )617()623(=+=++=+=πππππππf f f f 法二：x x f x x x f x x f x f sin )()2sin()sin()()2sin()2()3(+=+++++=+++=+ππππππ2165sin )65()623(=+=πππf f【2014年安徽卷（理07）】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+（C ）21（D ）18【答案】A【解析】此多面体的直观图如下图所示表面积为61121622⨯⨯⨯-⨯⨯ 3212)2(432+=⨯⨯+第（7）题图【2014年安徽卷（理08）】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为︒60的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对【答案】A【解析】正方体每一条面对角线都与其它8条面对角线成︒60角，故共有482812=⨯对【2014年安徽卷（理09）】若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）1-或5 （C ）1-或4- （D ）4-或8正（主）视图侧（左）视图【解析】若2≥a ，则当12-≤≤-x a时，由312121)(=-≥-+=+++=a a x a x x x f 可得8=a 符合要求；若2<a ，则当21ax -≤≤-时，由321121)(=-≥--=+++=a x a a x x x f 可得4-=a 符合要求；综上所述，4-=a 或8。
2014年安徽高考理科数学真题及答案
2014年安徽高考理科数学真题及答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则=⋅+z iz 1（ ） A. 2- B. i 2- C. 2 D. i 2（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A. 34B. 55C. 78D. 894.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的学科网正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x ，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A.14 B.142 C.2 D.225.y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A,121-或 B.212或 C.2或1 D.12-或 6.设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21- 7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）A.21+3B.18+3C.21D.188.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，学科网其中所成的角为60︒的共有（ ）A.24对B.30对C.48对D.60对9.若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ）A.5或8B.1-或5C.1-或4-D.4-或810.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线cos sin ,02C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域0,P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则( )A.13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<第I I 卷（非选择题 共100分）二.选择题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.12.数列{}a n 是等差数列，若1a 1+，3a 3+，5a 5+构成学科网公比为q 的等比数列，则q =________. （13）设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++ 2210.若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a（14）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b b y x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________ （15）已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，学科网min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值.②若,b a ⊥则min S 与a 无关.③若,b a ∥则min S 与b 无关.④若a b 4>，则0min >S .学科网⑤若,8,42min a S a b ==则a 与b 的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文子说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B ===（1）求a 的值；（2）求sin()4A π+的值.17（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.(1) 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；(2) 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）18（本小题满分12分） 设函数其中.（1） 讨论在其定义域上的单调性；（2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.(19)(本小题满分13分)如图，已知两条抛物线()02:1121>=p x p y E 和()02:2222>=p x p y E ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与21,E E 分别交于21,A A 两点，2l 与21,E E 分别交于21,B B 两点.(1)证明：;//2211B A B A(2)过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与21,E E 分别交于21,C C 两点。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若i z +=1，则=⋅+z iz1（ ）A ．－2 Ｂ．－2i Ｃ．２ Ｄ．2i（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 （3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．34 B ．55 C ．78 D ．89（4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x （t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142C ．2D ．22（5）x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．21或-1 B ．2或21C ．2或1D ．2或-1 （6）设函数)(x f （R x ∈）满足x x f x f sin )()(+=+π．当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A ．21 B ．23 C ．0 D ．21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）． A ．21+3 B ．18+3 C ．21 D ．18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）对．A ．24B ．30C ．48D ．60（9）若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．5或8 B ．-1或5 C ．-1或-4 D ．-4或8（10）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量a ,b ，1==b a ,0=⋅b a ，点Q 满足)(2b a OQ +=．曲线πθθθ20,sin cos ≤≤+==b a OP P C丨，区域R r R PQ r P <≤≤<=Ω，丨0．若Ω⋂C 为两段分离的曲第（13）题图第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． （11）若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ． （12）数列{}n a 是等差数列，若11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列，则q = ． （13）设0≠a ，n 是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a ++++ 22210．点),(i i a i A （2,1,0=i ）的位置如图所示，则a = ．（14）设21,F F 分别是椭圆E ：1222=+by x （10<<b ）的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 与A,B 两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为 ．(15)已知两个不相等的非零向量a ,b ，两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列正确的命题的是（写出所有正确命题的编号）．①S 有5个不同的值； ②若a ⊥b ，则min S 与a无关； ③若a ∥b ，则min S 与b 无关； ④若b >a 4，则min S >0； ⑤若b =a 4,min S =28a ，则a 与b 的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 设△ABC 的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,B A 2=． （I ）求a 的值： （II ）求)4sin(π+A 的值．（17）（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31，各局比赛结果互相独立． （I ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（II ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）．第（20）题图D A D 1（18）（本小题满分12分）设函数32)1(1)(x x x a x f --++=，其中0>a ． （I ）讨论)(x f 在其定义域上的单调性；（II ）当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值．（19）（本小题满分13分）如图，已知两条抛物线1E ：x p y 122=（01>p ）和2E ：x p y 222=1l 与1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点，2l 与1E ,2E 分别交于1B ,2B 两点．（I ）证明：2211B A B A ∥；（II ）过O 作直线l （异于1l ,2l ）与1E ,2E 分别交于1C ,2C 两点，记111C B A △,与222C B A △的面积分别为1S 与2S ，求21S S的值．（20）（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥A A 1底面ABCD ．四边形为梯形，∥，且．过D C A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ．（I ）证明：Q 为1BB 的中点；（II ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（III ）若41=AA ,2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．（21）（本小题满分13分）设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈．（I ）证明：当1->x 且0≠x 时，()px x p+>+11；（II ）数列{}n a 满足p n n n pa pc a p p a c a -++-=>11111,，证明：p n n c a a 11>>+．数学（理科）试题参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）D （6）A （7）A （8）C （9）D （10）A二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分25分． （11）83π （12）1 （13）3 （14）12322=+y x （15）②④三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 解：（I ）∵B A 2=，∴B B B A cos sin 22sin sin ==．由正、余弦定理得：acb c a b a 22222-+⋅=．∵1,3==c b ，∴32,122==a a ．（II ） 由余弦定理得：31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A ．∵π<<A 0，∴322911cos 1sin 2=-=-=A A ． ∴62422)31(223224sincos 4cossin )4sin(-=⨯-+⨯=+=+πππA A A ．（17）（本小题满分12分）解：用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， 则32)(=k A P ，31)(=k B P ，5,4,3,2,1=k ． （I ）)()()()(432132121A A B A P A A B P A A P A P ++==)()()()()()()()()(432132121A P A P B P A p A P A P B P A P A P ++=8156323132323132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛ （II ）X 的可能取值为2,3,4,5．95)()()()()()()2(21212121=+=+==B P B P A P A P B B P A A P X P ， 92)()()()()()()()()3(321321321321=+=+==B P B P A P A P A P B P B B A P A A B P X P ，8110)()()()()()()()()()()4(4321432143214321=+=+==B P B P A P B P A P A P B P A P B B A B P A A B A P X P 818)4()3()2(1)5(==-=-=-==X P X P X P X P ∴X 的分布列为8181581493952=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．（18）（本小题满分12分）解：（I ）)(x f 的定义域为()+∞∞-,，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x ax a x <++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x <<时，0)(>'x f ． ∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增． （II ）∵0>a ，∴0,021><x x ．① 当4≥a 时，12≥x ．由（I ）知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x ．由（I ）知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412ax x ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值；当1=a 时，)(x f 在0=x 处和1=x 处同时取得最小值；（19）（本小题满分13分）（I ）证：设直线21,l l 的方程分别为x k y x k y 21,==（0,21≠k k ），则 由⎩⎨⎧==x p y xk y 1212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121112,2k p k p A ，由⎩⎨⎧==x p y xk y 2212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221222,2k p k p A ．同理可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛2122112,2k p k p B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222,2kp k p B ． ∴⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122111212112211111,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ， ⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122212222122222211,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ． 故222111B A p p B A =，∴2211B A B A ∥． （II ）解：由（I ）知2211B A B A ∥，同理可得2211C B C B ∥，2211A C A C ∥． ∴222111C B A C B A ∽△△．∴221=S S ．又由（I ）中的222111B A p p B A =21P P =． ∴222121P PS S =．（20）（本小题满分13分）（I ）证：∵1AA BQ ∥，AD BC ∥，B BQ BC =⋂，A AA AD =⋂1． ∴平面QBC ∥平面AD A 1．从而平面CD A 1与这两个平面的交线互相平行，即D A QC 1∥． ∴△QBC 与△AD A 1的对应边相互平行，于是△∽QBC △AD A 1．第（20）题图1αEQ D AB A 1D 1C 1B 1C（II ）解：如第（20）题图1，连接QA ,QD ．设h AA =1，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为上V 和下V ，a BC =，则a AD 2=．ahd d h a V AD A Q 31221311=⋅⋅⋅⋅=-， ahd h d a a V ABCD Q 41)21(2231=⋅⋅+⋅=-，∴ahd V V V ABCD Q AD A Q 1271=+=--下．又ahd V ABCD D C B A 231111=-，∴ahd ahd ahd V V V ABCD D C B A 121112723-1111=-==-下上，故711=下上V V ． （III ）解法1如第（20）题图1，在ADC △中，作DC AE ⊥，垂足为E ，连接E A 1． 又1AA DE ⊥，且A AA DE =⋂1． ∴1AEA DE 平面⊥，于是E A DE 1⊥．∴∠1AEA 为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角． ∵AD BC ∥，BC AD 2=，∴BCA ADC S S △△2=．又∵梯形ABCD 的面积为6，2=DC ，∴4=ADC S △，4=AE ． ∴1tan 11==∠AE AA AEA ，41π=∠AEA ． 故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π． 解法2如第（20）题图2，以D 为原点，1,DD DA 分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系． 设θ=∠CDA∵6sin 222=⋅+=θaa S ABCD ，∴θsin 2=a ．从而)(0,sin 2,cos 2θθC ，⎪⎭⎫⎝⎛4,0,sin 41θA ， ∴()0,sin 2,cos 2θθ=DC ，⎪⎭⎫⎝⎛=4,0,sin 41θDA ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0sin 2cos 204sin 41θθθy x n DC n DA ，得θsin -=x ，θcos =y ，∴)1,cos ,sin (θθ-=n ．又∵平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m ，∴22,cos =>=<m n m n ， ∴平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π．（21）（本小题满分13分） （I ）证：用数学归纳法证明① 当2=p 时，x x x x 2121)1(22+>++=+，原不等式成立． ② 假设),2(*N k k k p ∈≥=时，不等式kx x k+>+1)1( 成立． 当1+=k p 时，x k kx x k kx x x x x k k )1(1)1(1)1)(1()1)(1()1(21++>+++=++>++=++．∴1+=k p 时，原不等式也成立．综合①②可知，当0,1≠->x x 时，对一切整数1>p ，不等式px x p+>+1)1(均成立．（II ）证法1：先用数学归纳法证明pn c a 1>．① 当1=n 时，由题设p c a 11>知，pn c a 1>成立． ② 假设）（*,1N k k k n ∈≥=时，不等式pk c a 1>成立． 由pn n n a pc a p p a -++-=111易知*,0N n a n ∈>． 当1+=k n 时，)1(1111-+=+-=-+p kp k k k a cp a p c p p a a ． 由01>>pk ca 得0)1(111<-<-<-p ka cp p ． 由（I ）中的结论得p k p k pp k pk k a c a c p p a c p a a =-⋅+>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+)1(11)1(111． 因此c a pk >+1，即pk c a 11>+．1综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk c a 1>均成立． 再由)1(111-+=+p nn n a cp a a 可得11<+n n a a ，即n n a a <+1．综上所述，*11,N n c a a pn n ∈>>+．证法2：设p p c x x p cx p p x f 111)(≥+-=-，，则c x p ≥，并且p p p c x xcp p x p p c p p x f 10)1(1)1(1)(>>--=-+-='-，．由此可得，)(x f 在),[1+∞pc 上单调递增．因而，当pc x 1>时，pp c c f x f 11)()(=>．① 当1=n 时，由011>>p ca ，即c a p>1可知1111112)1(111a a c p a a p c a p p a p p <⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-=-，并且pc a f a 112)(>=，从而p c a a 121>>．故当1=n 时，不等式pn n ca a 11>>+成立．②假设），（*1N k k k n ∈≥=时，不等式pk k c a a 11>>+成立，则 当1+=k n 时，)()()(11pk k c f a f a f >>+，即有pk k c a a 121>>++．∴1+=k n 时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk k ca a 11>>+均成立．。