全国版高考数学必刷题：第七单元三角函数

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2020年全国版高考数学必刷题：第七单元三角函数

2020高考数学第七单元三角函数考点一三角函数求值1.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)=.【解析】∵α与β关于y轴对称,∴α+β=π+2kπ(k∈Z),则sinα=sinβ=,∴=,cosα=-cosβ,∴cos(α-β)=-cos2α+sin2α=-.【答案】-2.(2016年全国Ⅲ卷)若tanα=,则cos2α+2sin2α=().A.B.C.1D.【解析】cos2α+2sin2α====.【答案】A3.(2016年上海卷)方程3sin x=1+cos2x在区间[0,2π]上的解为.【解析】由3sin x=1+cos2x,得3sin x=2-2sin2x,所以2sin2x+3sin x-2=0,解得sin x=或sin x=-2(舍去),所以原方程在区间[0,2π]上的解为或.【答案】或考点二三角函数的图象与性质4.(2017年全国Ⅰ卷)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是().A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【解析】因为C2:y=sin=sin=cos,所以只需把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向左平移个单位长度,即得到曲线C2.【答案】D5.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是().A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在上单调递减【解析】函数f(x)的周期为2kπ(k∈Z),故A正确;由x+=kπ(k∈Z),得x=kπ-(k∈Z),当k=3时,x=,故B正确;f(x+π)=-cos,则当x=时,f(x+π)=0,故C正确;函数f(x)的图象是由函数y=cos x的图象向左平移个单位长度得到的,故函数f(x)在-上单调递减,在上单调递增,故D错.【答案】D6.(2017年全国Ⅱ卷)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是.【解析】f(x)=sin2x+cos x-=1-cos2x+cos x-=--+1,∵x∈,∴cos x∈[0,1],∴f(x)的最大值为1.【答案】17.(2017年天津卷)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则().A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=【解析】由题意知,函数f(x)的最小正周期为T=4-=3π,∴ω=,即f(x)=2sin.∵|φ|<π,f=2,∴φ=.【答案】A8.(2016年全国Ⅱ卷)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为().A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)【解析】平移后的图象对应的解析式为y=2sin2,令2=kπ+(k∈Z),得对称轴方程为x=+(k∈Z).【答案】B9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为().A.11B.9C.7D.5【解析】由已知可得-ω+φ=kπ,k∈Z,①ω+φ=mπ+,m∈Z,②由①+②,得2φ=(k+m)π+.因为|φ|≤,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±.由①-②,得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间上单调,所以只要该区间位于函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间即可,且-≤×,即ω≤12.①当φ=时,f(x)=sin,则kπ-≤ω+且ω+≤kπ+,k∈Z,解得-≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,故ω的最大值为9.②当φ=-时,f(x)=sin-,则kπ-≤ω-且ω-≤kπ+,k∈Z,解得-≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤,故ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.【答案】B高频考点:三角函数的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式.命题特点:1.三角函数的图象和性质是高考考查的重点内容,而同角三角函数的基本关系式和诱导公式一般与性质和恒等变换相结合考查;2.关于函数图象的平移考查得比较多,而函数图象的性质考查得比较全面;3.以容易题和中档题为主,但考查的内容比较灵活.§7.1三角函数的概念、同角三角函数关系及诱导公式一角的概念1.任意角:(1)定义:角可以看成平面内的绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的.(2)分类:角按旋转方向分为、和.2.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.3.象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.二弧度制1.角度制和弧度制的互化:180°=πrad,1°=rad,1rad=°.2.扇形的弧长公式:l=|α|r,扇形的面积公式:S=lr=|α|r2.三任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,sinα=,cosα=,tanα=(x≠0).四同角三角函数的基本关系1.平方关系:.2.商数关系:.五诱导公式已知点P(sinα,cosα)在第二象限,则角α的终边在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限cos+tan225°=().A.B.-C.D.-已知α∈(-π,-),且sinα=-,则cosα等于().A.-B.C.-D.已知tan(2017π+α)=,则-等于().A.-2B.C.-D.-在平面直角坐标系中,角α的终边过点P(2,1),则cos2α+sin2α的值为.已知一扇形的圆心角为α(0<α<2π),所在圆的半径为R.(1)若α=,R=10cm,求扇形的弧长及面积;(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大?知识清单一、1.(1)一条射线图形(2)正角负角零角三、y x四、1.sin2α+cos2α=12.=tanα五、cosαcosαsinα-sinα基础训练1.【解析】由题意得所以角α的终边在第四象限,故选D.【答案】D2.【解析】cos+tan225°=-+1=.【答案】A3.【解析】==-=,∵α∈--,∴cosα<0,∴cosα=-,故选C.【答案】C4.【解析】tan(2017π+α)=tanα=,所以-==-,故选D.【答案】D5.【解析】∵平面直角坐标系中,角α终边过点P(2,1),∴x=2,y=1,r=|OP|=,∴cosα===,sinα===,则cos2α+sin2α=+2sinαcosα=+=.【答案】6.【解析】(1)设弧长为l,扇形面积为S,则α=,R=10,l=×10=cm,S=××10=cm2.(2)(法一)扇形周长C=2R+l=2R+αR,α=-2,S扇=α·R2=-R2=CR-R2=--=--+,∴当R=时,扇形面积取最大值,此时α=-2=2.(法二)扇形周长C=2R+l=2R+αR,∴R=.∴S扇=α·R2=α·=α·=·≤.当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积取最大值.题型一任意角的三角函数【例1】已知角α的终边经过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x,则sinα+=.【解析】∵P(x,-)(x≠0),∴点P到原点的距离r=.又cosα=x,∴cosα==x.∵x≠0,∴x=±,∴r=.当x=时,sinα+=-;当x=-时,sinα+=--.【答案】-【变式训练1】已知角2α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边过点(-1,),2α∈[2π,4π),则sinα等于().A.-B.C.-D.【解析】由题意得,角2α的终边在第二象限且tan2α=-,∴2α=2π+,即α=π+,∴sinα=-.【答案】C题型二扇形的弧长、面积公式的应用【例2】已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.(1)若α=60°,R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积.(2)若扇形的周长为4,求当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?【解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则α=60°=,l=×10=,S弓=S扇-S△=××10-×102×sin=-=50-.(2)扇形周长2R+l=2R+αR=4,∴R=,∴S扇=αR2=α·==≤1.当且仅当α=,即α=2时,扇形面积有最大值1.理清扇形的弧长与半径、弧度角的关系,熟记扇形面积和周长的公式.【变式训练2】一扇形的周长为20,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?【解析】设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=20,即l=20-2r(0<r<10).∴扇形的面积S=lr=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25.∴当r=5时,S有最大值25,此时l=10,α==2rad.∴当α=2rad时,扇形的面积取最大值.题型三同角三角函数基本关系式的应用【例3】在△ABC中,sin A+cos A=.(1)求sin A cos A的值;(2)求tan A的值.【解析】(1)∵sin A+cos A=,①∴两边平方得1+2sin A cos A=,∴sin A cos A=-.(2)由(1)得sin A cos A=-<0,又0<A<π,∴cos A<0.∵(sin A-cos A)2=1-2sin A cos A=1+=,又sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=.②由①②可得sin A=,cos A=-,=-.∴tan A==-【变式训练3】(1)已知tanα=2,则sin2α+sinαcosα-2cos2α=.(2)已知sin2α=3sin2β,tanα=2tanβ,则cos2α=.【解析】(1)sin2α+sinαcosα-2cos2α=-=-=.(2)∵sin2α=3sin2β,①tan2α=4tan2β,②由①÷②得,4cos2α=3cos2β,③由①+③得,sin2α+4cos2α=3,∴cos2α=.【答案】(1)(2)题型四三角函数诱导公式的应用【例4】已知sinα,分别是方程5x2-12x-9=0的两根.(1)求cos-和sin的值;(2)若3π<α<,的值.求------【解析】∵sinα,分别是方程5x2-12x-9=(5x+3)(x-3)=0的两根,∴sinα=-,=3,∴cos=.(1)cos-=cos-=-cos=-,sin=sin=cos=.(2)∵3π<α<,∴α是第三象限角.∵sinα=-,∴cosα=-.=--=-1-cosα=-.【变式训练4】已知f=---.-(1)求f-的值.(2)若f(x)=,求sin+cos的值.【解析】f=-=-cos x·tan x=-sin x.(1)令+x=-,则x=--=-,∴f-=-sin-=sin=.(2)∵f(x)=-sin-=,∴sin-=-,∴sin+cos=sin-+cos=sin--cos=sin--cos-=2sin-=-.方法一数形结合思想在三角函数线中的应用当给出一个象限角时,欲判断该角的半角或倍角的符号或比较它们三个三角函数值的大小时,由于没有给出具体的角度,所以用图形可以更直观地表示,可先画出三角函数线,借助三角函数线比较大小.【突破训练1】设θ是第二象限角,试比较sin,cos,tan的大小.【解析】∵θ是第二象限角,∴+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,∴+kπ<<+kπ,k∈Z,∴是第一象限角或第三象限角.如图,结合单位圆上的三角函数线可得,①当是第一象限角时,sin=AB,cos=OA,tan=CT,故cos<sin<tan.②当是第三象限角时,sin=EF,cos=OE,tan=CT,故sin<cos<tan.综上可得,当在第一象限时,cos<sin<tan;当在第三象限时,sin<cos<tan.方法二分类讨论思想在三角函数化简中的应用角中含有变量n,因而需对n的奇偶进行分类讨论.利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分看作一个整体.【突破训练2】求sin--+cos-(n∈Z)的值.【解析】当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则原式=sin--+cos-=sin--+cos-=sin--+cos-=-sin+cos-=-sin+sin=0;当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则原式=sin-+cos-=sin-+cos-=sin-+cos-=sin-+cos-=sin-cos-=sin-cos-=sin-sin=0.故sin--+cos-=0.1.(2017日照市三模)若sin(π-α)=,且≤α≤π,则cosα的值为().A.B.-C. D.-【解析】因为sin(π-α)=sinα=,≤α≤π,所以cosα=-=-.【答案】B2.(2017江西师大附中三模)已知sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,则-=().A.3B.-3C.D.-【解析】因为sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,所以-sinθ-2cosθ=0,可得tanθ=-2,所以-=-=---=,故选C.【答案】C3.(2017江西八校联考)已知cosα-sinα=,则sin2α的值为().A. B.- C. D.-【解析】∵cosα-sinα=,∴1-sin2α=,∴sin2α=.【答案】C4.(2017临城质检)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=().A.-8B.-4C.2D.4【解析】因为sinθ==-,所以y<0,且y2=64,所以y=-8.【答案】A5.(2017宁德三模)已知sin=,则cos-的值为().A. B. C.- D.-【解析】cos-=cos-=sin=,故选B.【答案】B6.(2017南昌二模)已知sinθ+2cosθ=0,则=.【解析】由sinθ+2cosθ=0,得sinθ=-2cosθ,则==1.【答案】1则f-+f=.7.(2016湖北二模)设f(x)=-【解析】f-+f=sin-+f-=+sin=.【答案】8.(2017郴州市四检)已知3cos2θ=tanθ+3,且θ≠kπ(k∈Z),则sin[2(π-θ)]=.【解析】由题意可得3cos2θ-3=tanθ,即-3sin2θ=,因为θ≠kπ(k∈Z),所以sinθcosθ=-,即sin2θ=-,所以sin[2(π-θ)]=-sin2θ=.【答案】9.(2016许昌二模)已知点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,则α的一个变化区间是().A.--B.-C.--D.【解析】因为点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,所以-根据三角函数的性质可知选项C 正确.【答案】C10.(2016柳州二模)若角α满足α=+(k∈Z),则α的终边一定在().A.第一象限或第二象限或第三象限B.第一象限或第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【解析】当k=0时,α=,终边位于第一象限,当k=1时,α=,终边位于第二象限,当k=2时,α=,终边位于y轴的非正半轴上,当k=3时,α=2π+,终边位于第一象限.综上可知,α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.故选D.【答案】D11.(2016上饶月考)当0<x<时,函数f(x)=-的最小值是().A. B. C.2 D.4【解析】当0<x<时,0<tan x<1,f(x)=-=-,设t=tan x,则0<t<1,y=-=-≥4.当且仅当t=1-t,即t=时等号成立.【答案】D12.(2017金华质检)若2tanα=3tan,则--=.【解析】--=-=-=-=5.【答案】513.(2016西宁联考)已知A,B,C是三角形的内角,sin A,-cos A分别是方程x2-x+2a=0的两根.(1)求角A.(2)若-=-3,求tan B.【解析】(1)由已知可得,sin A-cos A=1,①又sin2A+cos2A=1,∴sin2A+(sin A-1)2=1,即4sin2A-2sin A=0,得sin A=0(舍去)或sin A=,∴A=或A=,将A=或A=代入①知A=时等式不成立,∴A=.(2)由-=-3,得sin2B-sin B cos B-2cos2B=0.∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0,∴tan B=2或tan B=-1.当tan B=-1时,cos2B-sin2B=0,不合题意,舍去,∴tan B=2.§7.2三角函数的图象与性质一用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点分别是、-、-、.二三角函数的图象和性质(表中k∈Z)[-1,1][-1,1]R设点P是函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则ω=.函数y=2-3cos的最大值为,此时x=.函数f(x)=sin-的图象的一条对称轴是().A.x=B.x=C.x=-D.x=-知识清单一、(0,0)(π,0)(2π,0)二、x=kπ+x=kπ---基础训练1.【解析】由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的,故f(x)的最小正周期为T=4×=,∴ω==.【答案】2.【解析】当cos=-1时,函数y=2-3cos取得最大值5,此时x+=π+2kπ(k∈Z),从而x=π+2kπ,k∈Z.【答案】5π+2kπ,k∈Z3.【解析】∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故令x-=kπ+,k∈Z,∴x=kπ+,k∈Z.取k=-1,则x=-.【答案】C题型一三角函数的定义域【例1】函数f(x)=lg(3+2x-x2)+的定义域为.【解析】由题意得-即-解得0≤x<3,所以函数f(x)的定义域为[0,3).【答案】[0,3)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.【变式训练1】函数y=-的定义域为.【解析】由题意得sin2x-cos2x≥0,即sin-≥0,则2kπ≤2x-≤2kπ+π,解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数的定义域为.【答案】题型二三角函数的值域【例2】求函数f(x)=cos2x+sin x+在区间-上的最大值与最小值.【解析】f(x)=cos2x+sin x+=1-sin2x+sin x+=--+.∵x∈-,∴sin x∈-,∴当sin x=-时,函数f(x)取最小值,当sin x=时,函数f(x)取最大值.【变式训练2】已知函数f(x)=cos-+2sin-·sin,求函数f(x)在区间-上的最大值与最小值.【解析】由题意得f(x)=cos2x+sin2x+(sin x-cos x)·(sin x+cos x)=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x=cos2x+sin2x-cos2x=sin-.又x∈-,∴2x-∈-,∴sin-∈-.故当x=时,f(x)取最大值1;当x=-时,f(x)取最小值-.题型三三角函数的单调性与周期性【例3】(2017北京海淀区高三适应性考试)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.【解析】(1)f(x)=4cosωx·sin=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=(sin2ωx+cos2ωx)+=2sin+.因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以=π,故ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sin+,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,所以-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为-,k∈Z.先将y=f(x)化成y=A sin(ωx+φ)或y=A cos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)形式,再结合求周期公式和求单调区【变式训练3】已知函数f(x)=sinωx-+(ω>0)的最小正周期为.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)的单调递减区间.【解析】f(x)=sinωx-+=sinωx·cosωx-sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=sin.(1)∵函数f(x)的最小正周期为,∴=,解得ω=2.(2)由(1)知f(x)=sin,令2kπ+≤4x+≤2kπ+,k∈Z,得2kπ+≤4x≤2kπ+,k∈Z,∴+≤x≤+,k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间是,k∈Z.题型四三角函数的对称性与奇偶性【例4】设函数f(x)=sin2x+cos2x(x∈R).(1)若函数y=f(x+φ)的图象关于直线x=0对称,求φ的值;(2)若函数y=f的图象关于点中心对称,求|φ|的最小值.【解析】f(x)=sin2x+cos2x=2sin.(1)∵y=f(x+φ)=2sin的图象关于直线x=0对称,∴f(x+φ)为偶函数,∴+2φ=+kπ,k∈Z,则φ=+,k∈Z.∵|φ|≤,∴φ=-或φ=.(2)∵y=f=2sin=2cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,∴2cos=2cos=2cos=0,∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.【变式训练4】设函数f(x)=2sin(2x+φ)(-π<φ<0).(1)若f-=f(x),求φ;(2)若函数y=f(x)是奇函数,求函数g(x)=cos的单调递减区间.【解析】(1)∵f-=f(x),∴函数f(x)的图象关于直线x=对称,令2×+φ=kπ+,k∈Z,则φ=kπ+,k∈Z,又-π<φ<0,则-<k<-,k∈Z.∴k=-1,则φ=-.(2)∵函数y=f(x)是奇函数,-π<φ<0,∴φ=-,∴g(x)=cos-.令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z,可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴y=g(x)的单调递减区间为,k∈Z.方法方程思想在三角函数中的应用此类题目主要解决方程中的参量问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=A sin(ωx+φ)或y=A cos(ωx+φ)的最值,但要注意对参量的符号进行讨论,以便确定函数的单调性,其次由已知列方程求解.【突破训练】已知函数f(x)=sin2x+2sin x cos x+3cos2x-2.(1)当x∈时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数g(x)=-(1+λ)f2(x)-2f(x)+1在-上单调递减,求实数λ的取值范围.【解析】f(x)=sin2x+2sin x cos x+3cos2x-2=sin2x+cos2x=2sin.(1)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z.解得2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∵x∈,∴f(x)的单调递增区间为.(2)由(1)知函数f(x)在-上单调递增,设f(x)=t,则-1≤t≤1,∴k(t)=-(1+λ)t2-2t+1(-1≤t≤1),①当λ=-1时,k(t)=-2t+1在[-1,1]上单调递减,即λ=-1符合题意;②当λ<-1时,-(1+λ)>0,则-≥1,得-2≤λ<-1;③当λ>-1时,-(1+λ)<0,则-≤-1,得-1<λ≤0.综上,λ∈[-2,0].1.(2017江西二模)函数y=2sin2-1是().A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数【解析】∵y=2sin2-1=-cos(2x+3π)=cos2x,∴y=2sin2-1是最小正周期为π的偶函数.【答案】A2.(2017广东联考)函数f(x)=2sin-cos-的图象的一个对称中心可以是().A.(-π,0)B.-C.D.【解析】由题意知f(x)=sin-,令x-=kπ(k∈Z),则x=kπ+(k∈Z).由k=-1,得x=-,即f(x)=sin-的一个对称中心是-.【答案】B3.(2017西宁二模)同时具有性质“①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在-上是增函数.”的一个函数为().A.y=sinB.y=cos-C.y=cosD.y=sin-【解析】根据性质①最小正周期是π,排除选项A和B;对于选项C,当x=时,y=cos=cos=-,不是最值,所以排除选项C,故选D.【答案】D4.(2017沈阳三模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象在y轴左侧的第一个最高点为-,第一个最低点为-,则函数f(x)的解析式为().A.f(x)=3sin-B.f(x)=3sin-C.f(x)=3sin-D.f(x)=3sin-【解析】由题意得A=3,T=2-=π,∴ω=±=±2,当ω=-2时,f(x)=3sin(φ-2x),且过点-,则+φ=2kπ+,得φ=.当ω=2时,不合题意.故选A.【答案】A5.(2017佳木斯市三模)若函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,<,两相邻的对称轴的距离为,f为最大值,则函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为().A. B.C.和D.和【解析】∵两相邻的对称轴的距离为,∴=,解得T=π,∴ω=2.又f为最大值,令2×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,令k=0得φ=,∴函数f(x)=sin.令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,当k=0时,x∈-,当k=1时,x∈,∴f(x)在区间上的单调增区间为和.【答案】D6.(2017中卫市二模)函数f(x)=cos2x+sin的最小值是.【解析】f(x)=cos2x+sin=2cos2x+cos x-1=2-,故f(x)min=-.【答案】-7.(2017菏泽联考)已知函数f(x)=A tan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图所示,则f=.【解析】由图象知,T=2-=,∴ω=2.由2×+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z.又∵|φ|<,∴φ=.由A tan=1,知A=1,∴f(x)=tan,∴f=tan=tan=.【答案】8.(2017百校联盟)已知函数f(x)=-sin2x,则当f(x)取最小值时cos2x的值为.【解析】f(x)=+-=+-,∵cos2x+2>0,∴f(x)≥2×-=0,当且仅当=,即cos2x=-时等号成立.【答案】-9.(2017辽宁四模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象过点,若f(x)≤f对x∈R 恒成立,则ω的最小值为().A.2B.4C.10D.16【解析】函数图象过点,则sinφ=.结合|φ|<可得,φ=,由f(x)≤f对x∈R恒成立,可得×ω+=2kπ+(k∈Z),解得ω=24k+4(k∈Z),令k=0可得ωmin=4.【答案】B10.(2017宁夏四模)已知函数f(x)=sin-cos-(ω>0),满足f-=,则满足题意的ω最小值为().A. B. C.1 D.2【解析】由题意可得,f(x)=sin-cos=sin+sin=sin,则f-=sin-=,∴-ω+=2kπ+或-ω+=2kπ+(k∈Z),则ω=1-12k或ω=-12k-3(k∈Z).结合ω>0可得,令k=0,ωmin=1.【答案】C11.(2017娄底二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,f(α)=-1,f(β)=1,若-的最小值为,且f(x)的图象关于点对称,则函数f(x)的单调递增区间是().A.-,k∈ZB.-,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】由题设知f(x)的周期T=4|α-β|min=3π,所以ω==,又f(x)的图象关于点对称,从而f=1,即sin=0,因为|φ|<,所以φ=-,故f(x)=2sin-+1.由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得-+3kπ≤x≤π+3kπ,k∈Z,故选B.【答案】B12.(2017马鞍山三模)已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则φ=.【解析】由图象知sinφ=-⇒φ=2kπ-(k∈Z),又<<T⇒<T<⇒<ω<.再由sin=0⇒ω+φ=2kπ+π(k∈Z)⇒φ∈--,解得φ=-.【答案】-13.(2017盐城二模)已知a>0,函数f(x)=-2a sin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值;(2)设g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.【解析】(1)∵x∈,∴2x+∈.∴sin∈-,∴-2a sin∈[-2a,a],∴f(x)∈[b,3a+b].又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得,f(x)=-4sin-1,g(x)=f=-4sin-1=4sin-1.又由lg g(x)>0,得g(x)>1,∴4sin-1>1,∴sin>,∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z,∴g(x)的单调递增区间为,k∈Z.又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.∴g(x)的单调递减区间为,k∈Z.§7.3函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用一y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质1.定义域:R;2.值域:[-A,A];3.周期:T=;4.对称轴方程:;5.对称中心坐标:-(k∈Z);6.单调递增区间:,单调递减区间:.二图象的变换函数y=sin x的图象经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图象的步骤如下:把函数y=sin的图象向右平移个单位长度,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的,所得的函数解析式为.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为.求函数f(x)=cos的单调递减区间.知识清单一、4.x=-(k∈Z)6.---(k∈Z)--(k∈Z)二、|φ|基础训练1.【解析】将原函数的图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin-的图象,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的,得到函数y=sin-的图象.【答案】y=sin-2.【解析】由图象易知A=2,T=6,∴ω=,又图象过点(1,2),∴sin=1,∴φ+=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,∴φ=.【答案】6和3.【解析】由不等式2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递减区间为-(k∈Z).题型一函数y=A sin(ωx+φ)的图象及变换【例1】已知函数y=2sin,(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(2)写出该函数的振幅、周期、初相,说明y=2sin的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.【解析】(1)令X=2x+,则y=2sin=2sin X.列表,并描点画出图象:(2)振幅A=2,周期T==π,初相φ=.(法一)把y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin的图象;再把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=sin的图象;最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.(法二)把y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=sin2x的图象;再把y=sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin2=sin的图象;最后把y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.【变式训练1】(2017厦门第二次质检)将函数f(x)=cos-(ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得的图象经过点,则ω的最小值是().A. B.1 C. D.2【解析】f(x)=sinωx的图象向右平移个单位长度后得g(x)=sin-ω的图象,故g=sinω=0,所以ω=kπ,k∈Z,即ω=2k,当k=1时,ω取最小值2.【答案】D题型二求函数y=A sin(ωx+φ)的解析式【例2】(2017河北石家庄二模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f(0)的值为.【解析】由图知T=2π,∴ω=1,则f(x)=sin(x+φ),且f=0,∴+φ=kπ,∴φ=kπ-,∴φ=,∴f(x)=sin,∴f(0)=sin=.【答案】【变式训练2】已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象的一部分如图所示,则该函数的解析式为.【解析】观察图象可知,A=2且点(0,1)在图象上,∴1=2sin(ω·0+φ),即sinφ=.∵|φ|<,∴φ=.又∵是函数的一个零点,且是函数图象递增穿过x轴形成的零点,∴ω+=2π,∴ω=2,∴f(x)=2sin.【答案】f(x)=2sin题型三三角函数模型的应用【例3】如图,一个水轮的半径为4m,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟按逆时针转动5圈,若当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?【解析】(1)如图所示,建立平面直角坐标系,设角φ-是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为=,所以OP在时间t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sin+2.当t=0时,z=0,得sinφ=-,即φ=-.故所求的函数关系式为z=4sin-+2.(2)令z=4sin-+2=6,得sin-=1.令t-=,得t=4,故点P第一次到达最高点大约需要4s.【变式训练3】如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数y=A sin(ωx+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.【解析】(1)由图可知这段时间的最大温差是30-10=20(℃).(2)由图可知从6时到14时的图象是函数y=A sin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,所以×=14-6,解得ω=.由图可知A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20,故y=10sin+20.将x=6,y=10代入上式,可取φ=.综上所述,所求解析式为y=10sin+20,x∈[6,14].方法数形结合思想1.掌握“五点法”作图,确定定义域,基本思想是把ωx+φ看作一个整体,抓住函数y=A sin(ωx+φ)的图象的特征;2.从整体思想和数形结合思想确定函数y=A sin(ωx+φ)的性质.【突破训练1】已知向量a=(sin x,-1),b=(cos x,m),m∈R,设函数f(x)=2(a+b)b-2m2-1,将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在上有两个零点,求m的取值范围.【解析】∵f(x)=2(a+b)b-2m2-1=2sin x cos x+2cos2x-2m-1=sin2x+cos2x-2m=2sin-2m,∴g(x)=2sin--2m=2sin--2m.∵x∈,∴2x-∈-,则2sin-∈[-1,2].设y1=2sin-,y2=2m,由数形结合知,若函数g(x)在上有两个零点,则2m∈[1,2),∴m的取值范围是.【突破训练2】已知函数f(x)=2sin2x,记函数f(x)在区间上的最大值为M t,最小值为m t,设函数h(t)=M t-m t.若t∈,则函数h(t)的值域为.【解析】由已知得函数f(x)的周期T=π,区间的长度为,作出函数f(x)在上的图象(图略),又t∈,则由图(图略)可得,当t∈时,h(t)=f-f=2-2cos2t∈;当t∈时,函数f(x)为减函数,则h(t)=f(t)-f=2sin-∈[2,2],∴h(t)的值域为[1,2].【答案】[1,2]1.(2017阜阳二模)将函数f(x)=sin-的图象向右平移个单位长度后得到的图象的一条对称轴是().A.x=B.x=C.x=D.x=【解析】由题意得平移后函数为y=sin--=sin-,对称轴为2x-=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),因此直线x=为平移后函数的一条对称轴,故选C.【答案】C2.(2017淮北二模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为().A.f(x)=2sinB.f(x)=2sinC.f(x)=2sinD.f(x)=2sin【解析】由图可得A=2,=π⇒ω=,由f-=2得-+φ=(0<φ<π),则φ=,∴f(x)=2sin.【答案】B3.(2017鹰潭市一模)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=A sin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为().A.f(x)=2sin-+7(1≤x≤12,x∈N*)B.f(x)=9sin-(1≤x≤12,x∈N*)C.f(x)=2sin x+7(1≤x≤12,x∈N*)D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)【解析】由题意得b=7,则A=9-7=2,T=2(7-3)=8,∴ω==,又x=3时,×3+φ=2kπ+(k∈Z),得φ=-,故选A.【答案】A4.(2017河北联考)将函数y=sin(x+φ)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F',若F'的一个对称中心为,则φ的一个可能取值是().A. B. C. D.【解析】图象F'对应的函数为y=sin,则++φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z.令k=1,得φ=.【答案】D5.(2017唐山二模)已知函数f(x)=cos(2x-φ)-sin(2x-φ)的图象向右平移个单位长度后关于y 轴对称,则f(x)在区间-上的最小值为().A.-1B.C.-D.-2【解析】由题意可知f(x)=2cos-,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,得f(x)=2cos-的图象.又该函数图象关于y轴对称,可得-φ=kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,即f(x)=2cos.在区间-上,2x+∈-,则2cos∈[,2],故f(x)的最小值为-.【答案】C6.(2017长沙二模)函数y=2sin的最小正周期在内,则正整数m的值是.【解析】∵T=,又<<,∴8π<m<9π,且m∈Z,∴m的值为26,27,28.【答案】26,27,287.(2017咸阳二模)函数y=sin x+cos x的图象可由函数y=sin x-cos x的图象至少向左平移个单位长度得到.【解析】y=sin x+cos x=2sin,y=sin x-cos x=2sin-,将y=2sin-向左平移个单位长度得到y=2sin的图象.【答案】8.(2017昆明二模)若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f=f-,且f=-3,则实数m的值等于.【解析】依题意得,函数f(x)的图象关于直线x=对称,于是当x=时,函数f(x)取得最值,因此有±2+m=-3,解得m=-5或m=-1.【答案】-1或-59.(2017贵阳一模)设ω>0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是().A. B. C. D.3【解析】由函数向右平移个单位后与原图象重合,得是此函数周期的整数倍.又ω>0,∴·k=,∴ω=k(k∈Z),∴ωmin=.【答案】C10.(2017广西联考)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则下列说法错误的是().A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)的值域为[-4,4]C.函数f(x)的图象关于对称D.函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y=A sinωx的图象【解析】由图可得T=2-=2,∴ω=π,∵f=0,∴+φ=kπ.∵-π<φ<0,∴φ=-.又f(0)=-2,∴A sin-=-2,得A=4,∴f(x)=4sin-,故选项D错误.【答案】D11.(2017锦州质检)已知f(x)=sin x cos x-sin2x,把f(x)的图象向右平移个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到y=g(x)的图象,若对任意实数x,都有g(a-x)=g(a+x)成立,则g+g=().A.3B.4C.2D.【解析】f(x)=sin2x-=sin-,所以g(x)=sin-+2-=sin2x+.因为2a=+kπ(k∈Z),所以g+g=sin++sin+=sin(π+kπ)+4=4,故选B.【答案】B12.(2017山西二模)已知f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=.【解析】依题意,当x==时,f(x)有最小值,∴sin=-1,∴ω+=2kπ+(k∈Z),∴ω=8k+(k∈Z).∵f(x)在区间上有最小值,无最大值,∴-<,即ω<12,令k=0,得ω=.【答案】13.(2017北京一模)已知函数f(x)=A sinωx,ω>0的图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)cos,求g(x)在上的单调递减区间.【解析】(1)由图象可知A=2,设函数f(x)的周期为T,则--=T,求得T=π,从而ω=2,所以f(x)=2sin2x.(2)因为g(x)=2sin2x cos=sin2x cos2x-sin22x=sin4x+cos4x-=sin-,所以+2kπ≤4x+≤+2kπ,即+≤x≤+,k∈Z,令k=0,得≤x≤,所以g(x)在上的单调递减区间为.。

三角函数部分高考题.doc

22．设 △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边长分别为 a ，b ，c3 c ．，且 a cos B b cosA5（Ⅰ）求 tan A cot B 的值；（Ⅱ）求 tan(A B) 的最大值．解析：（Ⅰ）在 △ ABC 中，由正弦定理及 a cos B b cos A3 c5可得 sin Acos B sin B cos A3sin C3sin( A B)3sin A cos B3cos Asin B555 5即 sin A cosB4cos A sin B ，则 tan Acot B 4 ；（Ⅱ）由 tan Acot B4 得 tan A 4tan B 0tan(A B)tan A tan B3tan B331tan A tan B 1 4tan 2 B cot B4tan B≤4当且仅当 4 tan B cot B,tan B 1, tan A 2 时，等号成立，1 2 3 . 故当tan A 2,tan B 时， tan(A B) 的最大值为2 5 4 423. 在 △ ABC 中， cosB ， cosC．13 5（Ⅰ）求 sin A 的值；（Ⅱ）设 △ ABC的面积 △33 ，求 BC的长．SABC2解：（Ⅰ）由 cos B 5 ，得 sin B 1213，4313由 cosC，得 sin C．5 533所以sin A sin( B C ) sin B cosCcos B sin C． ···········5 分65（Ⅱ）由 S △ ABC33得1 AB ACsin A 33 ，2 22 由（Ⅰ）知 sin A33 ，65故 AB AC 65 ， ···························· 8 分又 ACAB sin B 20AB ，sin C13故20AB 2 65 ， AB 13 ． 13 2AB sin A 11． ························10 分所以 BCsin C224. 已知函数 f (x)sin 2 x 3 sin x sinx π （0 ）的最小正周期为 π．2（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f ( x) 在区间2π上的取值范围．0，3解：（Ⅰ） f (x)1 cos2 x3sin 2 x3sin 2 x 1cos2 x12 222 2sin 2 x π1 ．62因为函数 f ( x) 的最小正周期为 π，且 0 ，所以2ππ，解得1．2（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f (x)sin 2x π1 ．62因为 0 ≤ x ≤ 2π，3 7ππ π所以≤ 2x≤，666 所以1≤ sin 2x π ≤ 1，2 6因此 0 ≤ sin2xπ1≤3 ，即 f ( x) 的取值范围为 362 2 0，．225. 求函数 y7 4sin x cos x 4cos 2 x 4cos 4x 的最大值与最小值。

2023年新高考数学临考题号押题第7题三角函数(新高考)(解析版)

押新高考卷7题三角函数考点3年考题考情分析三角函数2022年新高考Ⅰ卷第6题2022年新高考Ⅱ卷第6题2021年新高考Ⅰ卷第4、6题三角函数会以单选题、多选题、填空题、解答题4类题型进行考查，单选题难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查三角函数的图象与性质，三角恒等变换，也是高考冲刺的重点复习内容。

可以预测2023年新高考命题方向将继续以三角函数的图象与性质，三角恒等变换等问题展开命题．1.特殊角的三角函数值2.同角三角函数的基本关系平方关系：1cos sin 22=+αα商数关系：αααcos sin tan =3.正弦的和差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+，()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-4.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+，()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+，()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-6.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =7.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=8.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=9.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα10.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.解：令2t x ϕ=+，因为1x ，2x ，33π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1t ，2t ，()3,3πt ϕϕ∈+，π2ϕ<，因为()()()1230f x f x f x ==>，结合sin y t =的图象（如图所示），得到12πt t +=，233πt t +=或123πt t +=，23t t +=因为()3221124x x x x x -=-=，所以213x x =，317x x =，则1182π2023πx x ϕϕ+=⎧⎨+=⎩解得π6ϕ=-，此时1π6x =，2x 或11823π2025πx x ϕϕ+=⎧⎨+=⎩解得5π6ϕ=，不符合题意舍去.A ．49.25m C ．56.74m 【答案】B【分析】根据三角函数可得3AB R =【详解】如图，。

2019年全国版高考数学(文)一轮复习必刷题：第七单元三角恒等变换与解三角形

第七单元三角恒等变换与解三角形考点一三角恒等变换1.(2017年江苏卷)若tan α-π4=16,则tanα=.【解析】tanα=tan α-π4+π4=tanα-π4+tanπ41−tanα-π4tanπ4=16+11−16×1=75.【答案】752.(2016年全国Ⅱ卷)若cosπ4-α=35,则sin2α=().A.7B.1C.-1D.-7【解析】因为cosπ4-α=35,所以sin2α=cosπ2-2α=cos2π4-α=2cos2π4-α-1=2³925-1=-725.【答案】D3.(2015年全国Ⅰ卷)sin20°cos10°-cos160°sin10°=().A.-32B.32C.-12D.12【解析】sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.【答案】D4.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1,则cos (α-β)= .【解析】由题意知α+β=π+2k π(k ∈Z ),∴β=π+2k π-α(k ∈Z ),sin β=sin α,cos β=-cos α. 又sin α=13,∴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β =-cos 2α+sin 2α=2sin 2α-1 =2³19-1=-79.【答案】-7考点二解三角形5.(2016年全国Ⅲ卷)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC ,则cos A=( ).A.3 1010B.1010C.-1010D.-3 1010【解析】设△ABC 中角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , 则由题意得S △ABC =12³a ³13a=12ac sin B ,∴c= 23a.由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=a 2+29a 2-2³a ³ 23a ³ 22=59a 2,∴b= 53a.∴cos A=b 2+c 2-a 22bc =59a 2+29a 2-a 22× 53a× 23a=- 1010.【答案】C6.(2016年全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= .【解析】因为A ,C 为△ABC 的内角,且cos A=4,cos C=5,所以sin A=35,sin C=1213,所以sin B=sin (π-A-C )=sin (A+C )=sin A cos C+cos A sin C=35³513+45³1213=6365.又a=1,所以由正弦定理得b=a sin B sin A =sin B sin A =6365³53=2113. 【答案】217.(2017年山东卷)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B (1+2cos C )=2sin A cos C+cos A sin C ,则下列等式成立的是( ).A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解析】∵等式右边=sin A cos C+(sin A cos C+cos A sin C )=sin A cos C+sin (A+C )=sin A cos C+sin B , 等式左边=sin B+2sin B cos C ,∴sin B+2sin B cos C=sin A cos C+sin B.由cos C>0,得sin A=2sin B. 由正弦定理得a=2b.故选A . 【答案】A8.(2017年浙江卷)已知△ABC ,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD ,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= .【解析】依题意作出图形,如图所示, sin ∠DBC=sin ∠ABC. 由题意知AB=AC=4,BC=BD=2, 则sin ∠ABC=154,cos ∠ABC=14.所以S △BDC =12BC ²BD ²sin ∠DBC=1³2³2³15=15.因为cos ∠DBC=-cos ∠ABC=-14=BD 2+B C 2-C D 22BD ·BC=8−CD 28,所以CD= 10.由余弦定理,得cos ∠BDC=2×2× 10= 104.【答案】1521049.(2016年江苏卷)在锐角三角形ABC 中,若sin A=2sin B sin C ,则tan A tan B tan C 的最小值是 .【解析】在锐角三角形ABC 中,∵sin A=2sin B sin C ,∴sin (B+C )=2sin B sin C ,∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C ,等号两边同时除以cos B cos C ,得tan B+tan C=2tan B tan C. ∴tan A=tan [π-(B+C )]=-tan (B+C )=tan B +tan C tan B tan C -1=2tan B tan Ctan B tan C -1.①∵A ,B ,C 均为锐角,∴tan B tan C-1>0,∴tan B tan C>1.由①得tan B tan C=tan Atan A -2. 又由tan B tan C>1,得tan Atan A -2>1,∴tan A>2. ∴tan A tan B tan C=tan 2A tan A -2=(tan A -2)2+4(tan A -2)+4tan A -2=(tan A-2)+4tan A -2+4≥2 4+4=8,当且仅当tan A-2=4tan A -2,即tan A=4时取等号.故tan A tan B tan C 的最小值为8. 【答案】810.(2017年全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin (A+C )=8sin 2B2.(1)求cos B ;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin 2B2,故sin B=4(1-cos B ).上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=1517.故cos B=15.(2)由cos B=15得sin B=8,故S △ABC =12ac sin B=417ac ,又S △ABC =2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B=(a+c )2-2ac (1+cos B )=36-2³17³ 1+15=4. 所以b=2.11.(2017年全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin A+ 3cos A=0,a=2 7,b=2. (1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求△ABD 的面积.【解析】(1)由已知可得tan A=- 3,所以A=2π3.在△ABC 中,由余弦定理得28=4+c 2-4c cos 2π3,即c 2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4. (2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6. 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD =1.又△ABC 的面积为S=12³4³2sin ∠BAC=2 所以△ABD 的面积为 3.12.(2017年全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知△ABC 的面积为a 2. (1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC 的周长.【解析】(1)由题设得12ac sin B=a 23sin A ,即12c sin B=a3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B=sin A3sin A, 故sin B sin C=23.(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-12,即cos (B+C )=-1,所以B+C=2π,故A=π.由题意得1bc sin A=a 2,a=3,所以bc=8.由余弦定理得b 2+c 2-bc=9,即(b+c )2-3bc=9.由bc=8,得b+c= 33. 故△ABC 的周长为3+ 33.高频考点:两角和与差的正弦、余弦公式,正弦和余弦的倍角公式,解三角形.命题特点:1.两角和与差的正弦、余弦公式的考查是高考热点,要么单独命题,要么与三角函数的性质或解三角形相结合考查;倍角公式也是如此.2.对于三角恒等变换内容的考查通常以容易题和中档题为主.3.解三角形是高考的必考内容,一般出现在解答题的第17题.作为解答题考查难度不是很大,但作为选择题或填空题考查,有难有易.§7.1三角恒等变换一两角和与差的余弦、正弦、正切公式Cα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;Cα+β:cos(α+β)=;Sα-β:sin(α-β)=;Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;;Tα-β:tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβTα+β:tan(α+β)=.二二倍角公式sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α-sin2α==;.tan2α=2tanα1−tan2α三辅助角公式函数f (α)=a cos α+b sin α(a ,b 为常数),可以化为f (α)= a 2+b 2sin (α+φ) 其中tan φ=b a或f (α)= a 2+b 2cos (α-φ) 其中tan φ=a b.☞ 左学右考°cos15°-cos105°sin75°的值为 .函数f (x )=2sin x (sin x+ cos x )的最小值为 .若sin α+cos αsin α-cos α=12,则tan α-π4=( ).A .-2B .2C .-43D .43若α+β=3π4,求(1-tan α)(1-tan β)的值.知识清单一、cos αcos β-sin αsin β sin αcos β-cos αsin βtan α+tan β1−tan αtan β二、2cos 2α-1 1-2sin 2α基础训练1.【解析】cos75°cos15°-cos105°sin75°=cos75°cos15°+sin15°sin 75°=cos60°=12.【答案】12。

2022年高考数学真题分类汇编专题：三角函数

2022年高考数学真题分类汇编专题08：三角函数一、单选题(共11题；共55分)1．（5分）（2022·浙江）为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin(3x+π5)图象上所有的点（）A．向左平移π5个单位长度B．向右平移π5个单位长度C．向左平移π15个单位长度D．向右平移π15个单位长度【答案】D【解析】【解答】函数图象平移满足左加右减，y=2sin(3x+π5)=2sin[3(x−π15)+π5]=2sin3x，因此需要将函数图象向右平移π15个单位长度，可以得到y=2sin3x的图象.故答案为：D【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．2．（5分）（2022·浙江）设x∈R，则“ sinx=1”是“ cosx=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【解答】sinx=1，则x=π2+2kπ，k∈Z；cosx=0，则x=π2+kπ，k∈Z，若sinx=1可推出cosx=0，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故充分部必要条件.故答案为：A【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．3．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则（）A．tan(α+β)=−1B．tan(α+β)=1C．tan(α−β)=−1D．tan(α−β)=1【答案】C【解析】【解答】根据两角和的正弦、余弦公式化简已知式子得：sinαcosβ+cosαsinβ+ cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ，即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，即：sin(α−β)+cos(α−β)=0，所以tan(α−β)=−1，故答案为：C【分析】由两角和差的正、余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.4．（5分）（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB⌢是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB⌢上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB⌢的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+CD 2OA．当OA= 2，∠AOB=60°时，s=（）A．11−3√32B．11−4√32C．9−3√32D．9−4√32【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线，即OD=OA=OB=2 ，又⊥AOB=60° ，所以AB=OA=OB=2，则OC =√3 ，故CD =2−√3 ，所以s =AB +CD 2OA =2+(2−√3)22=11−4√32. 故选：B.【分析】连接OC ，分别求出AB ，OC ，CD ，再根据题意的新定义即可得出答案.5．（5分）（2022·全国甲卷）设函数 f(x)=sin(ωx +π3) 在区间 (0，π) 恰有三个极值点、两个零点，则 ω 的取值范围是（） A ．[53，136)B ．[53，196)C ．(136，83]D ．(136，196]【答案】C【解析】【解答】解：依题意可得ω>0 ，因为x⊥（0，π），所以ωx +π3∈(π3，ωπ+π3) ，要使函数在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，又y=sinx ，(π3，3π) 的图象如下所示：则5π2<ωπ+π3≤3π，解得136<ω≤83，即ω⊥ (136，83] ．故选：C【分析】由x 的取值范围得到ωx +π3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式，解得即可．6．（5分）（2022·全国甲卷）已知 a =3132，b =cos 14，c =4sin 14，则（） A ．c >b >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．a >c >b【答案】A【解析】【解答】解：因为c b =4tan 14，因为当x ∈(0，π2)，sinx<x<tanx ，所以tan 14>14 ，即c b >1，所以c>b ；设f (x )=cosx +12x 2−1，x ∈(0，+∞)，f'(x)=-sinx+x>0 ，所以f(x)在（0，+∞）单调递增，则f (14)>f (0)=0，所以cos 14−3132>0 ，所以b>a ，所以c>b>a ，故选：A【分析】由c b =4tan 14结合三角函数的性质可得c>b ；构造函数f (x )=cosx +12x 2−1，x ∈(0，+∞)，利用导数可得b>a ，即可得解.7．（5分）（2022·全国甲卷）将函数 f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0) 的图像向左平移 π2 个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则 ω 的最小值是（） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C【解析】【解答】解：由题意知：曲线C 为 y =sin [ω(x +π2)π3]=sin (ωx +ωπ2+π3) ，又曲线C 关于y 轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω=13+2k ，k ∈Z ，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为 13 .故选：C.【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ，k ∈Z ，即可求出ω的最小值.8．（5分）（2022·北京）已知函数 f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（）A ．f(x) 在 (−π2，−π6) 上单调递增 B ．f(x) 在 (−π4，π12) 上单调递增C ．f(x) 在 (0，π3) 上单调递减D ．f(x) 在 (π4，7π12) 上单调递增【答案】C【解析】【解答】 f(x)=cos 2x −sin 2x =cos2x ，选项A 中： 2x ∈(−π，−π3) ，此时 f(x) 单调递增；选项B 中： 2x ∈(−π2，π6) ，此时 f(x) 先递增后递减；选项C 中： 2x ∈(0，2π3) ，此时 f(x) 单调递减；选项D 中： 2x ∈(π2，7π6) ，此时 f(x) 先递减后递增.故答案为：C【分析】先根据余弦的二倍角公式化简 f(x)=cos2x ，再逐项分析选项即可.9．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）记函数 f(x)=sin(ωx +π4)+b(ω>0) 的最小正周期为T ，若 2π3<T <π，则 y =f(x) 的图像关于点 (3π2，2) 中心对称，则 f(π2)= （）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，ω=2πT∈(2，3)，又 y =f(x) 的图像关于点 (3π2，2) 中心对称，则b=2，且f (3π2)=2，所以sin (3π2ω+π4)+2=2，则3π2ω+π4=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k−16，又ω∈(2，3)，则k=2，ω=52，故f (π2)=sin (52·π2+π4)+2=1，故选：A【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b ，ω，再求得f (π2)即可.10．（5分）（2022·浙江学考）已知α⊥R ，则cos （π-α）=（）A ．sinαB ．-sinαC ．cosαD ．-cosα【答案】D【解析】【解答】因为 cos(π−α)=−cosα 。

2023年高考数学真题分训练三角函数定义与三角函数恒等变换(含答案含解析)

专题 11 三角函数定义与三角函数恒等变换十年大数据x 全景展示年份题号考点考查内容理 5 三角函数定义文 7 三角恒等变换2011课标三角函数定义与二倍角正弦公式同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系式、三角函数在各象限的符号及两角和的正切公式卷 2理 15三角恒等变换 2023同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换卷 2文 6理 8二倍角公式及诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换此题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、三角函数性质等根底知识卷 12023卷 1文 2 三角函数定义同角三角函数根本关系与诱导公式三角函数在各象限的符号 2023卷 1理 2 诱导公式及两角和与差的三角公式三角恒等变换三角恒等变换两角差的正切公式、同角三角函数根本关系、卷 2 理 9二倍角公式二倍角正弦公式、同角三角函数根本关系、三卷 3理 5 同角三角函数根本关系与诱导公式角函数式求值．2023诱导公式、同角三角函数根本关系、三角函数卷 1文 14 同角三角函数根本关系与诱导公式求值利用二倍角公式及同角三角函数根本关系求卷 3 文 6 同角三角函数根本关系与诱导公式值三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归与转化思想卷 1文 14同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换2023卷 3文 4二倍角的正弦公式与同角三角函数根本关系．同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归与转化思想卷 2 理 15 同角三角函数根本关系与诱导公式理 4 三角恒等变换2023 卷 3 二倍角余弦公式，运算求解能力文 4卷三角函数定义三角函数定义、同角三角函数根本关系，转化与化归思想与运算求解能力文 111同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化归思想与运算求解能力卷 2文 15二倍角公式及同角三角函数根本关系，运算求解能力卷 2 理 10 三角恒等变换三角恒等变换卷 3卷 1文 5文 7二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．诱导公式，两角和的正切公式函数零点2023同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系、二倍角公式、已知函数值求角，运算求解能力二倍角公式，平方关系二倍角公式，三角函数的符号二倍角公式卷 2 文 11 卷 1 卷 2理 9 三角恒等变换理 2三角恒等变换2023文 13 三角恒等变换理 9 三角恒等变换文 5三角恒等变换卷 3 卷 3两角和的正切公式两角和的正弦公式大数据分析x 预测高考考点出现频率2023 年预测三角函数定义4/232023 年高考仍将重点考查同角三角函数根本关系及三角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍为选择题或填空题，难度为根底题或中档题．同角三角函数根本关系与诱导公式 16/23 三角恒等变换13/23十年真题分类x 探求规律考点 36 三角函数定义1．(2023•新课标Ⅰ，文 11)已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，2B (2,b )，且cos 2 ，则| a b | ()3 1 55 2 5 5A ．B ．C ．D ．15（答案）B2（解析）角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，B (2,b ) ，且cos 2 ， 3 2 3 5630 630 36 6 cos 2 2 c os 2 1，解得 cos 2， | cos | ， | sin | 1，66b a 2 1 | s in | | cos | 56 30 6 | tan | | | | a b | ，应选 B ．52．(2023 新课标 I ，文 2)假设 tan 0，则 A. sin 2 0 B ． cos 0C ． sin 0D ． cos 2 0（答案）A（解析）由tan 0知，在第—、第三象限，即k k 即2 在第—、第二象限，故只有sin 2 0，应选 A ．(k Z )，∴2k 2 2k，23．(2011 全国课标理 5 文 7)已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x 上，则cos 2 =4 53 53 5 45(A)(B)(C)(D) （答案）By 2 5（解析）在直线 y 2x 取一点 P(1，2)，则r = 5 ，则sin ==， r 53∴cos2=1 2 s in 2 = ，应选 B ． 53 4 4．(2023 浙江)已知角的顶点与原点O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P ( , ) ．5 5(1)求sin( )的值； 5(2)假设角满足sin( )，求cos 的值． 133 4 （解析）(1)由角的终边过点P ( , ) 得sin ，5 545 45 所以sin() sin ． 3 4 3 (2)由角的终边过点P ( , ) 得cos ，5 555 得cos( ) 12 由sin( ) ． 13 13由 ( ) 得cos cos( ) c os sin( ) s in ，56 或cos 16 所以cos．65 65考点 37 同角三角函数根本关系与诱导公式1．(2023•新课标Ⅱ，文 11)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 5 5A ．B ．C ．D ．53（答案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1 ，可得： 4sin cos 2 c os2， (0, ) ， sin 0 ， cos 0 ，25cos 2sin ， sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21，解得：sin ，应选 B ． 53 4 tan，则cos 2sin 222．(2023 新课标卷 3，理 5)假设 6448 25 16 25(A)(B)(C) 1(D)25（答案）A 3 4 3 4 5 3 45 （解析）由tan，得 sin , c os 或 sin , c os ，所以 5 5 16 2512 64cos22sin 2 4 ，应选 A ．25 25 1 3．(2023 全国课标卷 3，文 6)假设tan ，则cos2 ( )3451 5 15 4 5(A) (B)(C) (D) （答案）D104．(2023 浙江)已知R ,sin 2costan 2 ，则( )2 43 34 3 4 A ． B ．C ．D ．43（答案）C10 2sin 2 4c os 2 4 s in cos 10 （解析）由 (sin 2 c os )( ) 可得，进一步整理可得 22 sin cos 4 2 212 t an 33 t an 2 8 t an 3 0，解得 tan 3或tan ，于是 tan 2，应选 C ．31 tan2 4sin cos 1sin cos 25．(2023 江西)假设，则 tan2α=( )3 34 4 3A ．−B ．C ．−D ．4 43（答案）B（解析）分子分母同除cos 得： sin cos tan 1 1,∴ tan 3，sin cos tan 1 22 t an 3∴tan 24 1 tan25 1 5 6．(2023 广东)已知sin( ) ，那么 cos22 5B ． 151 25A ．C ．D ．5（答案）C 5 215 （解析）sin( ) sin(2 + ) sin cos ，选 C ．2 2 37．(2023•新课标Ⅰ，文 14)已知是第四象限角，且sin( ) ，则 tan( )．4 5 4 43（答案）（解析）是第四象限角， 2k 2k ，则 2k2k ,k Z ， 2 4 4 43533 45 又 sin( ) ， cos( ) 1 sin2( ) 1 ( ) 2 ， ∴ cos() = sin( ) =， 4 5 44 5 4 44sin( )4 44 5 3 sin( ) cos( ) ，则tan( ) = tan( ) = = = ．4 45 4 43 cos( )4 51 28．(2023 新课标Ⅱ，理 15)假设为第二象限角，tan( ，则sin cos．) 4 （答案）1 2 tan 1，即cos 3sin ，∵sin （解析）(法 1)由 tan() 得，= 2cos 2 1，为第二4 310 3 10 10105象限角，∴sin =，cos = ，∴sin cos ． 1059．(2023 江苏)已知 ( , ) ，sin． 25(1)求sin( ) 的值；45(2)求cos( 2 ) 的值．65 52 55 （解析）(1)∵，，sin ，∴cos 1 sin 2 24 4 2 2 10 10sin sin cos cos sin(cos sin ) ； 4 4 5 35(2)∵sin 2 2sin cos ，cos 2 cos sin 2 26 63 3 1 43 34 ∴cos 2 cos cos 2 sin sin 2 ． 6 25 2 5 10 考点 38 三角恒等变换1．(2023 全国Ⅰ理 9)已知 0,π ，且3cos2 8cos 5，则sin ()52 31 35 A ．B ．C ．D ．39（答案）A（思路导引）用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论．（解析）3cos 28cos 5，得6cos 2 8cos 8 0，即3cos 4 c os4 0，解得225cos 或cos 2(舍去)，又 1 cos 20,, sin ，应选 A ． 332．(2023 全国Ⅱ理 2)假设为第四象限角，则 ()A ．cos 2 0 （答案）DB ．cos 2 0C ．sin 2 0D ．sin 2 0（思路导引）由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．0，选项 B 错误；当2时，cos2 cos 3（解析）当时，cos2 cos 0，6 3sin 0, c os 3 0 ，则sin2 2sin cos 0 选项 A 错误；由在第四象限可得：，选项 C 错误，选项 D 正确，应选 D ．363．(2023 全国Ⅲ文 5)已知sin sin 1，则sin( )1 23 2 3 2 A ．B ．C ．D ．32（答案）B（思路导引）将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值． 1 23 3 3 3 13 （解析）由题意可得：sinsin cos 1，则： sin cos 1， sin cos，2 2 2 2 2 3从而有：sin coscos sin3 ，即6 3 ．应选 B ．sin6 63 34．(2023 全国Ⅲ理 9)已知2 t an tan 7 ，则 tan4()A ． 2B ． 1C ．1D ．2（答案）D（思路导引）利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．4tan 1 1 t 2 t an tan7， 2tan 1 tan 7，令t tan ,t 1，则2t 1 t 7，整（解析）理得t 24t 4 0 ，解得t 2，即 tan 2．应选 D ．5．(2023•新课标Ⅱ，理 10)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 55A ．B ．C ．D ．53（答案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1， 4sin cos 2 c os2， (0, ) ，sin 0，cos 0 ， cos 2sin ，25sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， sin ，应选 B ． 56．(2023•新课标Ⅲ，文 5)函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5（答案）B（解析）函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数，即：2sin x sin 2x 0在区间0 ，2 ]的根个数，即2sin x sin 2x ，即sin x (1 cos x ) 0，即sin x 0或cos x 1，∵ x 0 ，2 ]，∴ x 0, ,2 ，应选B ．7．(2023•新课标Ⅰ，文 7) tan 255 ( )A ． 2 3 （答案）DB ． 2 3C ．2 3D ．2 3（解析）∵tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 )31tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 3 3 (3 3) 2 12 6 3 3 2 3 ，应选 D ． 3 3 36 6 1 1318．(2023•新课标Ⅲ，理 4 文 4)假设sin ，则cos 2 ()3 8 97 97 98 A ．B ．C ．D ．9（答案）B11 71 2 ，应选 B ．9 9（解析） sin ， cos 2 1 2sin2349．(2023 新课标卷 3，文 4)已知sin cos ，则sin 2 = 37 92 92 97 9A ．B ．C ．D ．（答案）Acos 21 sin 79（解析）因为sin 2 2sin cos，应选 A ．1 310．(2023•新课标Ⅱ，理 9)假设cos( ) ，则sin 2 ()4 5 715C ． 17 A ．B ．D ．25 525（答案）D3（解析）法1 : cos( ) ，4 59 7sin 2 cos( 2 ) cos 2( ) 2 c os 2 ( ) 1 2 125 25 ， 2 4 4 法2 : cos( ) 2(sin cos ) ， (1 sin 2 ) 3 1 9 ， sin 2 2 1259 7， 4 2 5 2 25 25 应选 D ．11．(2023 新课标Ⅰ，理 2)sin20°cos10°-con160°sin10°=3 3 1 2 1 2A ．B ．C ．D ．22（答案）D1 （解析）原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ，应选 D ． 21 sincos 12．(2023 新课标Ⅰ，理 8)设 (0, )， (0, ) ，且 tan，则2 2 A ．3（答案）BB ．2C ．3D ．22222sin 1 sin（解析）∵tan，∴sin cos cos cos sin cos cos2sin cos ,0 sin ， 2 2 2 2 ∴，即2 ，选 B 2 22 313．(2023 新课标Ⅱ，文 6)已知sin 2 ，则cos 2( ) ()4 161 3 1 22 3(A)(B)(C)(D)（答案）A2 1 1 1 （解析）因为sin 2，所以cos 2( ) 1 cos 2( )]= (1 sin 2 ) = ，应选 A ．， 3 4 2 4 2 63cos()10 14．(2023 重庆)假设tan 2 t an ，则＝( ) 5 sin( ) 5A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）C3 3 3 3 3 cos() cos cos sin sin cos tan sin 10 10 10 10 10（解析）sin( ) sin cos cos sin tan cos sin5 5 5 5 53 3 3 3cos 2 t an sin cos cos 2s in sin 10 5 10 5 10 5 102 t an cos sin sin cos5 5 5 5 51 2(cos 5cos 5 cos ) (cos ) 3cos cos 10 10 1 10 10 10 ＝ 3，选 C ． 22sin5 104 23 7 8 15．(2023 山东)假设, ，sin 2 ，则sin ( ) 34 57 43 A ．B ．C ．D ．5 4（答案）D 4 2 2 1，（解析）由2 , cos 2 1 sin ， 2，可得 2 81 cos2 34sin，应选 D ． 21 316．(2011 浙江)假设0＜＜，- ＜＜0，cos( ) ，cos( )，则cos( ) 22434 2 3 233 5 3 96 A ． B ．C ．D ．339（答案）C) cos(（解析）cos() ( )] ) cos( ) c os( )2 4 4 2 4 4 23sin( ) s in( ) ( , ( , )，，而， 4 4 2 4 4 4 4 2 4 2 2 2 3 ，sin( ) 4 26因此sin( )， 4 31 32 26 5 3 则cos( )3 3． 2 3 3 9 217．(2023 全国Ⅱ文 13)设sin x ，则cos 2x．3 1 9（答案）（思路导引）直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可． 2 8 1 1 （解析）cos2x 1 2sin 2x 1 2 ( ) 1 2．故答案为：．3 9 992 18．(2023 江苏 8)已知sin 2 ( ) ，则sin 2 的值是________．4 31（答案）32 1 1 21 3（解析）∵sin2( ) ，由sin 2 ( ) (1 cos( 2 )) (1 sin 2 ) ，解得sin 2 ． 4 3 4 2 2 2 3π419．(2023 浙江 13)已知tan 2，则cos2 ； tan ．3 1（答案）； 5 3（思路导引）利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2 ，依据两角差正切公式得 tan( )4cos cos 2 2 sin sin 2 2 1 tan 1 tan 2 2 3tan 1 14 1 tan 3 （解析） cos 2 cos 2sin 2， tan ，故 5 3 1答案为：；．5 320．(2023 北京 14)假设函数 f (x ) sin(x ) cos x 的最大值为2，则常数的一个取值为．（答案）2（解析）∵ f (x ) sin(x ) cos x sin x cos cos x sin cos x sin x cos cos x (sin 1)cos (sin 1) sin(x )，(sin 1) 4，cos sin 2 2则cos 2 2 22 2sin 1 1 2sin 1 4，∴sin 1，∴． 221．(2023•新课标Ⅱ，理 15)已知sin cos 1，cos sin 0 ，则sin( ) ．1 （答案）2（解析）sin cos 1，两边平方可得：sin 22sin cos cos 2 1，①，cos sin 0 ，两边平方可得： cos22cos sin sin 2 0 ， ② ，由 ① ② 得：1 2 2(sin cos cos sin ) 1 ，即2 2sin( ) 1， 2sin( ) 1， sin( ) ． 25 122．(2023•新课标Ⅱ，文 15)已知 tan( ) ，则 tan ．4 53 2 （答案） 5 1 515（解析）tan() ，tan( )，则4 4 15 tan( ) tan1 1 5 6 3 ．4 4 tan tan( ) 15 1 4 2 4 4 1 tan( ) t an 1 14 45 ππcos ( ) 23．(2023 新课标卷，文 14)已知a (0，) ，tan α=2，则=__________．243 10 10（答案）1（解析）由tan 2得sin 2cos ，又sin2cos 2 1，所以cos 2 ，因为 (0, )，所5 2 5 2 55以cos,sin ，因为． cos( ) cos cos sin sin，所以5 4 4 45 2 2 5 2 3 10cos( )4 5 2 5 2 10f (x ) sin2x 的最小正周期是 ________． 2 24．(2023 北京 9)函数（答案）21 cos 4x 1 12π πf x 〕 sin 〔22x 〕cos 4x ，所以 f x 的最小正周期T 2 2 （解析）因为． 2 4 2tan 23π4 π 4 sin 2 ，则25．(2023 江苏 13)已知的值是_________． tan2（答案）10tan 2 tan 2 3 （解析）由，得，3 tan( ) tan tan 1 tan tan4 44tan (1 tan ) 2 1所以，解得 tan 2或 tan ．1 tan 3 32tan 4 1 tan 2 3 5当tan 2时，sin2 5 ，cos2 ， 1 tan 2 1 tan 2 4 2 3 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 101 tan2 4 1时，sin2 2tan，cos2 3 当tan ， 3 1 tan 2 51 tan 5 23 24 22 所以sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 102 综上，sin(2 )的值是． 4 1026．(2023 北京)在平面直角坐标系中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于轴对称．假设yxOy1 3 sin cos( ) =___________．，则 7 （答案）9y 2k，所以（解析） ∵ 角与角的终边关于轴对称，所以；1sin sin(2k ) sin ，cos cos31 2 379cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 2sin 2 1 2 ( ) 1 ．127．(2023 江苏)假设tan( ) ，则tan =． 4 67 5（答案）tan( ) tan7 4 4 （解析） tan tan( )． 4451 tan( ) tan4 428．(2023 四川)sin15sin75．6（答案）26（解析）sin15 sin 75 sin15 cos15 2 s in(15 45 )． 2129．(2023 江苏)已知 tan 2， tan（答案）3，则 tan 的值为_______． 71 2tan( ) tan 1 tan( ) t an 7 （解析） tan tan( )3． 21 730．(2023 四川)设sin 2 sin ， ( , )，则 tan 2 的值是_____． 2（答案） 31（解析） sin 2 2sin cos sin ，则cos，又 ( , ) ，2 22 t an 2 31 3 则tan 3，tan 23．1 tan 24 6 531．(2023 江苏)设为锐角，假设cossin 2 ，则．的值为1217 2 50（答案）4 324 7（解析）因为为锐角，cos( )= ，∴sin( )= ，∴sin2( ) cos2( )， 6 5 6 5 625,6 25 2 17 17 2 所以 sin(2) sin2( ) ] ．12 6 4 2 25 5045 32．(2023 江苏)已知 , 为锐角， tan，cos( ) ． 3 5(1)求cos 2 的值； (2)求 tan( )的值． 4sin cos 4（解析）(1)因为 tan ，tan，所以， sin cos ． 33 9因为sin 2 cos 2 1 ，所以cos 2257因此，cos 2 2c os 1 2． 25(2)因为 , 为锐角，所以 (0, π) ． 5 2 55又因为cos( ) ，所以sin( ) 1 cos 2 ( )， 5 因此 tan( ) 2 ．4 2 t an 247 因为 tan ，所以 tan 2 ，3 1 tan 2 tan 2 tan( ) 1+ t an 2 tan( ) 2因此，tan( ) tan2 ( )．11f x a 2cos 2 x cos 2x 为奇函数，且 f 0 33．(2023江西)已知函数 (1)求a ，的值；，其中a R ， 0，． 44 2 23(2)假设 f ，，，求sin 的值． 5 （解析）(1)因为 f x a 2 c os2x cos 2x 是奇函数，而 y a 2c os x 为偶函数，所以 21y 2 cos(2x )为奇函数，又 0， ,得． 2f 0，得 (a 1) 0 ，即a 1. f x = sin 2x a 2 c os x由 2 所以〔 44 1 25 1 4(2)由(1)得： f x f sinsin , ，得 sin 4x , 因为 2 2 5 235 又，，所以cos ,3 4 3 3 sin sin cos sin cos 因此. 3 3 1012f (x ) 2 cos x,x R 34．(2023 广东)已知函数． 3 f (1) 求的值； 33 2cos , ,2 f ，求 (2) 假设． 65（解析）(1) f () 2 cos 1. 3 12 43 3 94 (2)由于cos ,<θ<2π，所以sin 1 cos 21 ， 5 225 5 66 12因此 f 2 cos43 24 2 21 2 cos 2 cos cos 2 sin sin 2 .4 45 2 5 2 5。

2023-2024学年高考数学专项复习——三角函数与解三角形(含答案)

决胜3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.ABC A B C a b c 23a c b +=3A C π-=(1)求；cos B (2)若，求的面积.5b =ABC 4．设()()()()πsin 2πcos 2cos sin πf ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=---(1)将化为最简形式；()f α(2)已知，求的值．()3f θ=-()sin 1sin2sin cos θθθθ++5．已知函数．()π1sin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；()f x ()0f x ≥(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取x 11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x m 值范围及的值．()12f x x +6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.αα1,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin α(2)求的值.()πtan sin 2sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点xOy αOx ．(),P x y (1)若，求及的值；255y =tan α7sin 2cos sin 4cos αααα+-(2)若，求点P 的坐标．sin 11cos 2αα=-(1)若，求；3BC =ADCD (2)若，求线段的长11cos 14A =AD(1)求函数在区间上的最大值和最小值；()f x ππ[,]64-(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．5()()4g x f x =-π(0,)212,x x 12cos()x x -11．在中，，点D 在AB 边上，且为锐角，，的面积为ABC 25BC =BCD ∠2CD =BCD △4.(1)求的值；cos BCD ∠(2)若，求边AC 的长.30A =︒12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，ABC ,,A B C ,,a b c B ．sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=(1)求；()sin A C -(2)求的最小值．sin sin A B 13．已知函数且的最小正周期为．()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)若，求x 的取值范围．()22f x ≤14．已知函数在上单调递增．()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)求的取值范围：ω(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来ω()f x π9的3倍，得到的图象，求在内的值域．()g x ()g x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．在中，角所对的边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c sin cos cos cos cos sin sin A B C B C A B +=--(1)求；C (2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．ABC 233ABC 16．已知函数.()()πe e sin ,32x xf x xg x --==(1)若，求；321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且()()ln h x x f x =+()h x ()0,∞+0x .()()034g f x >-17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终xOy αO x 边与单位圆交于第三象限点.525,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin cos αα-(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.αO π2Q Q 18．设函数，且．2()2cos 23sin cos (0)f x x x x m ωωωω=++>(0)1f =(1)求的值；m (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求()f x 的值及的零点．ω()f x 条件①：是奇函数；()f x 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；()f x π条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，0按第一个解答计分．答案：1．(1)1-(2)12-【分析】（1）根据点坐标求得.P tan α（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.P sin ,cos αα【详解】（1）即，3π,cos π3sin 44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以.22tan 122α-==-（2）由（1）得，所以，22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22222sin 22222α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos 22222α==⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1617πsin πsin πsin sin 808π22αααα⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin sin cos 2αααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.221222⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2．(1)，1tan 7α=1tan 3β=(2)π4【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式cos α化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据sin 2,cos 2ββ()cos 2αβ+范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，,αβ2sin 10α=272cos 1sin 10αα=-=所以，2sin 110tan cos 77210ααα===又因为，所以，tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-1tan 3β=（2）因为为锐角，，所以，解得，,αβ1tan 3β=22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩10sin 10310cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，sin 22sin cos 103103101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=所以，()724232cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=又因为为锐角，所以，,αβ3π022αβ<+<所以.π24αβ+=3．(1)78(2)111512【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合23a c b +=sin sin 23sin A C B +=已知条件，有，，代入解三角形即可.3A C π-=32B C π=-232B A π=-sin sin 23sin A C B +=（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面5b =23a c b +=443ac =积公式即可求得面积为.11115sin 212ABC S ac B ==△【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，23a c b +=sin sin 23sin A C B +=因为，且，所以，，3A C π-=A B C π++=32B C π=-232B A π=-所以2sin sin 23sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，22sin cos cos sin sin cos cos sin 23sin 32323232B B B B B ππππ-+-=所以，所以，3cos 23sin 2B B =cos 4sin cos 222B B B =因为，所以，所以；022B π<<1sin 24B =27cos 12sin 28B B =-=（2）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-即，得，得，()27524a c ac ac =+--()2155234b ac =-443ac =因为，所以，所以7cos 8B =15sin 8B =11115sin 212ABC S ac B ==△4．(1)tan α-(2)65【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.()()()()πsin 2πcos sin sin 2tan cos sin πcos sin f αααααααααα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭===----（2）由，则，()tan 3f θθ=-=-tan 3θ=，()()()()()22222sin 1sin2sin (sin cos )tan (tan 1)sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1θθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++++.()()2223(31)34641053131⨯+⨯===⨯+⨯+5．(1)答案见解析(2)(()1212,3,2f x x ⎤--+=-⎦【分析】（1）由题意分别令，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解不等式即可得解.ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.m ()12f x x +【详解】（1）由题意令，解得，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为，()f x ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，所以，()π1sin 2032f x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得，ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集为.()0f x ≥()π7ππ,π,Z 412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意即，11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 032m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 当时，，而在上单调递减，在上单[]0,πx ∈ππ2π,333t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦调递增，所以当即时，，ππ32t x =-=5π6x =()min 2g x =-当即时，，ππ33t x =-=-0x =()max 3g x =又即时，，π2π33t x =-=πx =()3g x =-所以若在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 则实数的取值范围为，m (2,3⎤--⎦因为，所以是的对称轴，()min 5π26g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π6x =()g x所以.()125π5ππ112sin 263322f x x f ⎛⎫⎛⎫+=⨯=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(1)223-(2)3-【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，22113y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223y =±因为第四象限角，所以α223y =-22sin 3α∴=-（2）第四象限角22sin ,3αα=-1cos 3α∴=.()πtan sin 123sin cos πcos ααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=-=-+7．(1)，；2-2(2).34(,)55-【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.P tan α（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，α(),P x y 当时，，则，255y =22551()55x =--=-tan 2y x α==-所以．7tan 27(2)227ta 4sin 2cos sin 42c 4os n αααααα+⨯-++==---=-（2）依题意，，sin 0,cos 0αα><由，得，代入，sin 11cos 2αα=-cos 12sin αα=-22sin cos 1αα+=于是，解得，22sin (12sin )1αα+-=2sin ,cos 1sin 5543ααα==--=-即，所以点P 的坐标为．34,55x y =-=34(,)55-8．(1)；π3A =(2)．2AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得AD x =πADB ADC ∠+∠=cos ADB ∠（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．AC x x 【详解】（1）由正弦定理及已知得2cos cos cos 2c a A B b A =-，sin 2sin cos cos sin cos 2sin 2cos sin cos 2sin(2)C A A B B A A B B A A B =-=-=-或，C 2A B =-2πC A B +-=又，所以，A B ≤22πC A B C B B C B +-≤+-=+<所以，从而，所以；C 2A B =-2πB C A A +==-π3A =（2）由余弦定理得，，2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC CD AD AD CD ADC =+-⋅∠又是角平分线，所以，又，则，记，因为AD 2AC CD AB BD ==3a =2,1CD BD ==AD x =，πADB ADC ∠+∠=所以，所以，2244cos 412cos x x ADC x x ADC +-∠=++∠cos 4x ADC ∠=-，则，0πADC <∠<2sin 116x ADC ∠=-由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠所以，222116π16sin 6x AC x =⋅-=-所以，解得，即．221644()4x x x x -=+-⋅-2x =2AD =9．(1)263(2)677【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，AD BAC ∠3AB BC ==2C BAC θ∠=∠=在中，由正弦定理知：，ADC △sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠由余弦定理有，2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯又因为，所以,21cos 22cos 13θθ==-6cos 3θ=即；262cos 3AD CDθ==（2）由，得，则，11cos 14A =11cos 214θ=cos 2157cos 214θθ+==又由，()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△得.()sin 21267cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+10．(1)最大值和最小值分别为；2,1-(2).58【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.()f x （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.12cos()x x -【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，()f x π2ππω=π2,()2cos(2)3x f x ω==-当时，，则当，即时，，ππ[,]64x ∈-π2ππ2[,]336x -∈-π2π233x -=-π6x =-min ()1f x =-当，即时，，π203x -=π6x =max ()2f x =所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.()f x ππ[,]64-2,1-（2）()2222252cos 25222525BD BC CD BC CD BCD =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯，故，204816=+-=4BD =有，故，22216420BD CD BC +=+==CD AB ⊥则，即.21sin sin 302CD A AC AC ==︒==4AC =12．(1)；()sin 1A C -=(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所sin cos A C =B π2A C =+以；()sin 1A C -=（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在3sin sin 2sin sin A B A A =-()32f t t t =-上单调递增，可得无最小值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin A B 【详解】（1）因为，sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=由正弦定理得，2222sin a b c ab A +-=由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=所以可得，解得或；sin cos A C =π2A C =-π2A C =+又为锐角，所以（舍），即，B π2A C =-π2A C =+因此；()πsin sin12A C -==（2）结合（1）中，又可得：π2A C =+πA B C ++=；33πsin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 2A B A A A A A A ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令，则，sin t A =()3sin sin 2A B f t t t ==-又为锐角，，所以，B 3ππ20,22A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π3π24A <<可得，212t <<所以，当时，恒成立，()261f t t '=-212t <<()2610f t t '=->即可得为单调递增，()32f t t t =-所以时，，所以无最值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()()0,1f t ∈()f t 因此无最小值；sin sin A B 13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；π=1ω±（2）根据写出x 的取值范围．()22f x ≤【详解】（1）因为的周期为，()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π故，所以.2ππ2ω==1ω±当时，，=1ω()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得到，ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+π7πππ1212k x k +≤≤+故的递减区间为.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，，1ω=-()ππsin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得到πππ2π22π232k x k -+≤-≤+π5πππ1212k x k -+≤≤+故的递减区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，=1ω()π2sin 232f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以，5πππ2π22π434k x k -+≤+≤+解得.19ππππ,Z 2424k x k k -+≤≤-+∈当时，，1ω=-()ππ2sin 2sin 2332f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，π2sin 232x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以，ππ5π2π22π434k x k -+≤-≤+解得.π19πππ2424k x k +≤≤+综上：当时，；=1ω19ππππ2424k x k -+≤≤-+当时，.1ω=-π19πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈14．(1)302ω<≤(2)260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.,32πππ4π2ωω-≥-≤（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求1π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出值域.【详解】（1）由，得，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得,32πππ4π2ωω-≥-≤32ω≤因为，所以．0ω>302ω<≤（2）由（1）知的最大值为，此时，ω323()sin 2f x x =根据题意，，31π1π()sin sin 23926g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，．ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ02664x ≤+≤+所以，故值域为．ππ260()sin 644g x +⎛⎫≤≤+= ⎪⎝⎭260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦15．(1)π3C =(2)3【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，222sin sin sin cos cos A A B B C -=-∴，()222sin sin sin 1sin 1sin A A B B C -=---∴，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理可知：，222a b c ab +-=∴．2221cos 22a b c C ab +-==又．π(0,π),3C C ∈∴=（2）∵外接圆的半径为，ABC 233r =∴，解得．432sin 3c r C==2c =又由（1）得，222a b c ab +-=故，∴，当且仅当时等号成立22424a b ab ab +-=≥-4ab ≤2a b ==∴，13sin 324ABC S ab C ab ==≤△∴的面积最大值为．ABC 316．(1)23(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在()h x x ()h x 上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等()0,∞+0x()()0g f x 式成立.()()034g f x >-【详解】（1）由，则，321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以32π2sin π3f αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.ππ2sin πsin 333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）证明：由题意得.()πln sin 3h x x x =+①当时，，所以单调递增.30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ0,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 又，由于，而，1πsin ln226h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π1sin 62=1ln2ln e 2>=所以.又，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3102h =>所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.()h x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0x ()00h x =当时，，所以，则在上无零点；3,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πln 0,sin 03x x >≥()0h x >()h x 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，，所以，则在上无零点.()3,x ∈+∞πln 1,1sin 13x x >-≤≤()0h x >()h x ()3,+∞综上，在上有且仅有一个零点.()h x ()0,∞+0x ②由①得，且，0112x <<()00ln 0x f x +=则.()()()()00000011ln ,ln 2f x x g f x g x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭由函数的单调性得函数在上单调递增，()000112x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()01324x ϕϕ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故.()()034g f x >-求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)55-(2)255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，5sin c 5o 255s αα-=-=，所以；5s 5in 5c 2os 555αα⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭-=-（2）角的终边绕原点O 按逆时针方向旋转，得到角，απ2π2α+则，，π5sin cos 25αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭π25cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以点Q 的坐标为.255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18．(1)1m =-(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，12ω=ππ,Z 6k k -+∈1ω=ππ,Z 122k k -+∈【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；(0)1f =（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【详解】（1）2()2cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++，πcos 23sin212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭又，所以.1(0)2112f m =⨯++=1m =-（2）由（1）知，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①：因为是奇函数，()f x 所以与已知矛盾，所以不存在.()00f =()f x 选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，()f x π所以，，，π2T =2πT =2π21T ω==12ω=则，()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得.ππ,Z 6k x k -+∈=即零点为.()f x ππ,Z 6k k -+∈选择③：对于，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈解得，，ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈即增区间为，()f x ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦减区间为，()f x ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以时符合，0k =即在上单调递增，在上单调递减，()f x ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以且，π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得，则，1ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以令，()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得，ππ,Z 122k x k =-+∈即零点为.()f x ππ,Z 122k k -+∈。

(完整版)高考三角函数经典解答题及答案

(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。

解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。

由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。

2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。

(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。

解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。

又sinA≠0，因此 cosB=1/3。

3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。

(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。

解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。

2019年全国版高考数学(文)一轮复习必刷题：第七单元三角恒等变换与解三角形

第七单元三角恒等变换与解三角形考点一三角恒等变换1.(2017年江苏卷)若tan-=,则tan α=.【解析】tan α=tan-=--==.【答案】2.(2016年全国Ⅱ卷)若cos-α=,则sin 2α=().A.B.C.- D.-【解析】因为cos-α=,所以sin 2α=cos-2α=cos 2-α=2cos2-α-1=2×-1=-.【答案】D3.(2015年全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=().A.-B.C.-D.【解析】sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故选D.【答案】D4.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)=.【解析】由题意知α+β=π+2kπ(k∈Z),∴β=π+2kπ-α(k∈Z),sin β=sin α,cos β=-cos α.又sin α=,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=2×-1=-.【答案】-考点二解三角形5.(2016年全国Ⅲ卷)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=().A. B. C.- D.-【解析】设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由题意得S△ABC=×a×a=ac sin B,∴c= a.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=a2+a2-2×a×a×=a2,∴b= a.∴cos A=-=-=-.【答案】C6.(2016年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.【解析】因为A,C为△ABC的内角,且cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,所以sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=×+×=.又a=1,所以由正弦定理得b===×=.【答案】7.(2017年山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cosC)=2sin A cos C+cos A sin C,则下列等式成立的是().A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解析】∵等式右边=sin A cos C+(sin A cos C+cos A sin C)=sin A cos C+sin(A+C)=sin A cos C+sin B,等式左边=sin B+2sin B cos C,∴sin B+2sin B cos C=sin A cos C+sin B.由cos C>0,得sin A=2sin B.由正弦定理得a=2b.故选A.【答案】A8.(2017年浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.【解析】依题意作出图形,如图所示,sin∠DBC=sin∠ABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则sin∠ABC=,cos∠ABC=.所以S△BDC=BC·BD·sin∠DBC=×2×2×=.因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-=-=,所以CD=.由余弦定理,得cos∠BDC==.【答案】9.(2016年江苏卷)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.【解析】在锐角三角形ABC中,∵sin A=2sin B sin C,∴sin(B+C)=2sin B sin C,∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C,等号两边同时除以cos B cos C,得tan B+tan C=2tan B tan C.∴tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-=-.①∵A,B,C均为锐角,∴tan B tan C-1>0,∴tan B tan C>1.由①得tan B tan C=-.又由tan B tan C>1,得->1,∴tan A>2.∴tan A tan B tan C=-=---=(tan A-2)+-+4≥2+4=8,当且仅当tan A-2=-,即tan A=4时取等号.故tan A tan B tan C的最小值为8.【答案】810.(2017年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去)或cos B=.故cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac,又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6,得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.所以b=2.11.(2017年全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.【解析】(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4c cos ,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为S=×4×2sin∠BAC=2所以△ABD的面积为.12.(2017年全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.【解析】(1)由题设得ac sin B=,即c sin B=.由正弦定理得sin C sin B=,故sin B sin C=.(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-,所以B+C=,故A=.由题意得bc sin A=,a=3,所以bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9.由bc=8,得b+c=.故△ABC的周长为3+.高频考点:两角和与差的正弦、余弦公式,正弦和余弦的倍角公式,解三角形.命题特点:1.两角和与差的正弦、余弦公式的考查是高考热点,要么单独命题,要么与三角函数的性质或解三角形相结合考查;倍角公式也是如此.2.对于三角恒等变换内容的考查通常以容易题和中档题为主.3.解三角形是高考的必考内容,一般出现在解答题的第17题.作为解答题考查难度不是很大,但作为选择题或填空题考查,有难有易.§7.1三角恒等变换一两角和与差的余弦、正弦、正切公式Cα-β:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;Cα+β:cos(α+β)=;Sα-β:sin(α-β)=;Sα+β:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;Tα-β:tan(α-β)=-;Tα+β:tan(α+β)=.二二倍角公式sin 2α=2sin αcos α;cos 2α=cos2α-sin2α==;tan 2α=.三辅助角公式函数f(α)=a cos α+b sin α(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)其中或f(α)=cos(α-φ)其中.☞左学右考°cos 15°-cos 105°sin 75°的值为.函数f(x)=2sin x(sin x+x)的最小值为.=,则tan-=().若-A.-2B.2C.-D.若α+β=,求(1-tan α)(1-tan β)的值.知识清单一、cos αcos β-sin αsin βsin αcos β-cos αsin β二、2cos2α-11-2sin2α基础训练1.【解析】cos 75°cos 15°-cos 105°sin 75°=cos 75°cos 15°+sin 15°sin 75°=cos 60°=.【答案】2.【解析】f(x)=2sin2x+2sin x cos x=2×+sin 2x=sin 2x-cos 2x+1 =2sin-+1≥-1.【答案】-13.【解析】由-=,等式左边分子、分母同时除以cos α得-=,解得tan α=-3,则tan-=-=2.【答案】B4.【解析】∵-1=tan=tan(α+β)=,∴tan αtan β-1=tan α+tan β.∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2,即(1-tan α)(1-tan β)=2.题型一三角函数式的化简、求值问题【例1】若tan cos=sin-m sin,则实数m的值为().A.2B.C.2D.3【解析】由tan cos=sin-m sin,得sin cos=cos sin-m sin cos,则m sin=sin-,解得m=2.【答案】A【变式训练1】=.【解析】原式=-===-=-=-4.【答案】-4题型二角的变换【例2】已知tan(α-β)=,tan β=-,则tan 2α=.【解析】∵tan α=tan[(α-β)+β]=--=-=,∴tan 2α===.【答案】【变式训练2】已知α,β为锐角,cos α=,sin(α-β)=,则β的大小为.【解析】∵α,β为锐角,又sin(α-β)=,∴0<β<α<,∴cos(α-β)=.∵cos α=,∴sin α=,∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=,则β=.【答案】题型三三角变换的简单应用【例3】已知函数f(x)=2sin2+(sin2x-cos2x),x∈.(1)求f的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,求实数m的取值范围.【解析】因为f(x)=2sin2+(sin2x-cos2x),所以化简得f(x)=1-cos-cos 2x=2sin-+1,x∈.(1)f=2sin-+1=2sin+1=3.(2)当2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)时,即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).因为x∈,所以f(x)的单调递增区间为,同理f(x)的单调递减区间为.(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,即m>f(x)-2或m<f(x)+2恒成立,则m>2sin--1或m<2sin-+3恒成立.因为x∈,所以2sin-∈[1,2].当m>2sin--1时,只需满足m大于2sin--1的最大值1,即m>1;当m<2sin-+3时,只需满足m小于2sin-+3的最小值4,即m<4.综上所述,实数m的取值范围是1<m<4.【变式训练3】已知函数f(x)=cos x-sin2x,x∈R.(1)求f(x)在上的最大值和最小值;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,且g=,g-=-,求的值.【解析】f(x)=cos x-sin2x=2sin x cos x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=2sin.(1)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,∴≤sin≤1,则1≤f(x)≤2,∴f(x)max=2,f(x)min=1.(2)由(1)得g(x)=2sin 2x,∴g=2sin(α+β)=,g-=2sin(α-β)=-,即解得-两式相除得=-.方法利用三角函数的“三变”进行化简求值“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.【突破训练】2sin 50°cos 10°+sin 20°(1+tan 10°)=().A.1B.C.D.2【解析】原式=2sin 50°cos 10°+sin 10°cos 10°·=2sin 50°cos 10°+2sin 10°=2sin 50°cos 10°+2sin 10°cos(60°-10°)=2sin 50°cos 10°+2sin 10°cos 50°=2sin 60°=.【答案】C1.(2017江西师大附中三模)已知cos α-sin α=,则sin 2α的值为().A.B.- C.D.-【解析】∵cos α-sin α=,∴1-sin 2α=,∴sin 2α=.【答案】C2.(2017衡水中学三模)已知sin=,则cos(π-2α)的值为().A.B.- C.D.-【解析】因为sin=-cos α,所以cos α=-.所以cos(π-2α)=-cos 2α=-2cos2α+1=.【答案】A3.(2017泸州四诊)已知sin-=,则cos+2α=().A.-B.C.-D.【解析】sin-=sin-=cos=,则cos=cos 2=2cos2-1=-.【答案】C4.(2017德阳二模)若α∈,且sin2α+cos 2α=,则tan的值为().A.-3B.C.-2D.-3【解析】∵α∈,且sin2α+cos 2α=,∴sin2α+cos2α-sin2α=,∴cos2α=,∴cos α=,tan α=,∴tan=-3.【答案】D5.(2017湖南考前演练)若tan αtan β=3,且sin αsin β=,则cos(α-β)的值为().A.-B.C.D.1【解析】由题意可知sin αsin β=3cos αcos β,因为sin α·sin β=,所以cos αcos β=,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,故选C.【答案】C6.(2017九江一模)cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°的值为.【解析】cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin 30°=.【答案】7.(2017广西二模)若θ∈,sin 2θ=,则cos θ=.【解析】∵θ∈,∴2θ∈.∴cos 2θ=-=-,则2cos2θ-1=-,∴cos θ=.【答案】8.(2017山东二模)已知cos-=,α∈,则=.【解析】∵cos-=,α∈,∴sin-=,即cos α-sin α=,∴=-=cos α-sin α=.【答案】9.(2017佛山二模)已知α,β为锐角,且tan α=,cos(α+β)=,则cos 2β=().A.B.C.D.【解析】∵α,β∈,∴α+β∈(0,π).∵cos(α+β)=,∴sin(α+β)=.∵tan α=,∴sin α=,α=.∴cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α==.∴cos 2β=2cos2β-1=2×-1=,故选C.【答案】C10.(2017湖南师大附中月考)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,且tan A,tan B,tan C,2tan B依次成等差数列,则sin 2B=().A.1B.-C.D.±【解析】由题意得tan C=tan B,tan A=tan B,所以△ABC为锐角三角形.又tanA=-tan(C+B)=-=-=tan B,得tan B=2,所以sin 2B=2sin B cos B===.【答案】C11.(2017淮北一中押题)已知α,β∈,cos(α+β)=,cos-=-,则sin=().A.B.-C.-D.【解析】因为α,β∈,所以α+β∈,β-∈,所以sin(α+β)=-,sin-=,所以sin=sin--=sin(α+β)cos--cos(α+β)sin-=-×--×=-.【答案】B12.(2017长沙模拟)在锐角△ABC中,B>,sin=,cos-=,则sin(A+B)=.【解析】∵sin=,∴cos=±,∵cos=-<cos 120°,∴A+>⇒A>(舍去),∴cos=.由cos-=得sin-=,∴sin(A+B)=sin-=sin cos-+cos sin-=×+×=.【答案】13.(2016株洲三模)已知tan α=,m sin αcos α=.(1)若cos-=,求cos的值;(2)设函数f(x)=cos+sin 2x,求函数f(x)的单调递减区间.【解析】∵m sin αcos α===,tan α=,∴=,得m=2.(1)∵cos-=,∴cos=cos-=-cos-=-.(2)∵f(x)=cos+sin 2x=cos 2x+sin 2x=sin,由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).§7.2解三角形一正弦定理和余弦定理1.正弦定理:===2R,其中R是三角形外接圆的半径.正弦定理可以变形为(1)a∶b∶c=;(2)a=,b=,c=;(3)sin A=,sin B=,sin C=.2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为cos A=-,cos B=-,cos C=-.二面积公式S△ABC=ab sin C=bc sin A=ac sin B==(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.☞左学右考在△ABC中,∠A=,AB=2,且△ABC的面积为,则边AC的长为().A.1B.C.2D.在△ABC中,a2+b2-c2=3ab sin C,则tan C等于().A.B.C.D.在△ABC中,sin A=,a=8,b=6,则角B等于().A.60°B.150°C.60°或120°D.60°或150°知识清单一、1.(1)sin A∶sin B∶sin C(2)2R sin A2R sin B2R sin C2.b2+c2-2bc cos A a2+c2-2ac cos B a2+b2-2ab cos C基础训练1.【解析】∵S△ABC=AB·AC sin A,∴AC=,则AC=1.【答案】A2.【解析】a2+b2-c2=3ab sin C⇒-=cos C=sin C⇒tan C=.【答案】C3.【解析】由正弦定理得=,则sin B=.∵a<b,∴B=60°或B=120°.【答案】C题型一利用正弦定理求解三角形【例1】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2sin A=a cos B,b=,c=2,求sin C.【解析】∵2sin A=a cos B,=,b=,∴2sin B=cos B,即tan B=,∴sin B=.∵c=2,∴sin C==.【变式训练1】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2b-c)cos A=a cos C,求sin A.【解析】由(2b-c)cos A=a cos C,得2b cos A=c cos A+a cos C,即2sin B cos A=sin C cos A+sin A cos C,则2sin B cos A=sin(A+C)=sin B,所以cos A=,则sin A=.题型二利用余弦定理求解三角形【例2】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.(1)求角B的大小;(2)若b=,a+c=4,求ac的值.【解析】(1)由=-及正弦定理,得=-,∴ac+a2=b2-c2,∴a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=-=-=-.又B为△ABC的内角,∴B=.(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2ac cos B,得b2=(a+c)2-2ac-2ac cos B,∴13=16-2ac,∴ac=3.根据所给等式的结构特点,灵活利用余弦定理对角与边进行相互转化是解答问题的关键.【变式训练2】在△ABC中,D是边AC的中点,且AB=AD=1,BD=.(1)求cos A的值;(2)求BC的长.【解析】(1)在△ABC中,AB=AD=1,BD=,∴cos A=-==.(2)由(1)知,cos A=,且0<A<π,∴sin A==.∵D是边AC的中点,∴AC=2AD=2.在△ABC中,cos A=-=-=,解得BC=.题型三正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】(2017孝义考前训练)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2ac sin B=a2+b2-c2.(1)求角C的大小;(2)若b sin(π-A)=a cos B,且b=,求△ABC的面积.【解析】(1)由2ac sin B=a2+b2-c2,得=-,∴=cos C,∴tan C=,∴C=.(2)由b sin(π-A)=a cos B,∴sin B sin A=sin A cos B,∴sin B=cos B,∴B=.由正弦定理=,可得=,解得c=1,∴S△ABC=bc sin A=××1×sin A=sin(π-B-C)=sin=.【变式训练3】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(1)若c=2,C=,且△ABC的面积为,求a,b的值;(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC的形状.【解析】(1)∵c=2,C=,∴由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C得a2+b2-ab=4.∵△ABC的面积为,∴ab sin C=,∴ab=4.联立方程组-解得(2)由sin C+sin(B-A)=sin 2A,得sin(A+B)+sin(B-A)=2sin A cos A,即2sin B cos A=2sin A cos A,∴cos A·(sin A-sin B)=0,∴cos A=0或sin A-sin B=0.当cos A=0时,∵0<A<π,∴A=,∴△ABC为直角三角形;当sin A-sin B=0时,得sin B=sin A,由正弦定理得a=b,即△ABC为等腰三角形.综上所述,△ABC为等腰三角形或直角三角形.方法数学建模——实际应用能力实际问题经抽象概括后,如果已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;如果已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.【突破训练】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30°,求塔高.【解析】如图所示,AB为塔高,CD=40,此时∠DBF=45°,过点B作BE⊥CD于点E,则∠AEB=30°.在△BCD中,CD=40(米),∠BCD=30°,∠DBC=135°,由正弦定理,得=,所以BD==20(米),∠BDE=180°-135°-30°=15°.在Rt△BED中,BE=BD sin 15°=20×-=10(-1)(米).在Rt△ABE中,∠AEB=30°,所以AB=BE tan 30°=(3-)(米).故所求的塔高为(3-)米.1.(2017衡水中学押题卷)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=16,则△ABC的面积为().A.2B.4C.6D.8【解析】由题意有b2+c2-a2=bc,∴cos A=-=,sin A==,则△ABC的面积为S=bc sin A=4.【答案】B2.(2017广丰二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a cos A=2b sin B,则sin A cos A+2cos2B等于().A.-1B.-C.D.2【解析】∵a cos A=2b sin B,∴sin A cos A=2sin B sin B,即sin A cos A-2sin2B=0,∴sin A cosA-2(1-cos2B)=0,∴sin A cos A+2cos2B=2.【答案】D3.(2016郑州一测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则cos B=().A.-B.C.-D.【解析】由正弦定理及=,得=,∴tan B=,又0<B<π,∴B=,∴cos B=.【答案】B4.(2017龙泉二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=,且a2-c2=2b,则b等于().A.1B.2C.3D.4【解析】由=得a cos C=3c cos A,则a·-=3c·-,整理得2(a2-c2)=b2.又a2-c2=2b,∴4b=b2,解得b=4或b=0(舍去).【答案】D5.(2017甘肃二诊)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件中,能使得△ABC的形状唯一确定的是().①a=1,b=2,c∈Z;②A=150°,a sin A+c sin C+a sin C=b sin B;③a=,b=2,A=30°;④C=60°,cos A sin B cos C+cos(B+C)cos B cos C=0.A.①③B.①②③C.①②D.②③④【解析】②中,由正弦定理可知a2+c2+ac=b2,∴cos B=-=-,此时A=150°,B=135°,三角形无解.④中,-cos(B+C)sin B cos C+cos(B+C)cos B cos C=0,∴cos(B+C)cos C(cos B-sin B)=0,则B=45°或B+C=90°,B=30°,三角形的解不唯一.排除②④两种说法,只有选项A符合题意.【答案】A6.(2017徐州质检)江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则这两条船相距m.【解析】如图,OA为炮台,M,N为两条船的位置,∠AMO=45°,∠ANO=60°,OM==30 m,ON===10 m.∴MN==10 m.【答案】107.(2017重庆二诊)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C=.【解析】由余弦定理得,c2=a2+b2-2ab cos C,又ab sin C=-,,ab sin C=,tan C=,即C=30°.【答案】30°8.(2017娄底二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b=4,c=5,且B=2C,点D为边BC上的一点,且CD=3,则△ADC的面积为.【解析】由正弦定理得==,可得cos C=,△ADC=CD·AC sin C=×3×4×=6.【答案】69.(2017山西二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=().A.B.C.D.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=2b2(1-cos A),∴2b2(1-sin A)=2b2(1-cos A),∴sin A=cos A,即tan A=1,又0<A<π,∴A=.【答案】C10.(2017广安二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=,则cos B的值为().A.B.C.- D.-【解析】由正弦定理可得==,结合已知=,故有sin B=2sin cos=sin,解得cos=.因为0<B<π,可得0<<,所以=,解得B=,所以cos B=cos=-,故选C.【答案】C11.(2017重庆月考)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1,AC=2,BD=2∠ACD=60°,则AD=().A.2B.C.D.13-6【解析】由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 60°,解得BC=,则AC2=AB2+BC2,故BC⊥AB,又AB∥CD,所以BC⊥CD.在Rt△BCD中,CD=-==3.在△ACD中,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD cos 60°=7,所以AD=.【答案】B12.(2017马鞍山三模)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(c+b)(sin C-sin B)=a(sin A-sin B).若c=2,则a2+b2的取值范围是.【解析】由正弦定理得(c+b)(c-b)=a(a-b)⇒c2-b2=a2-ab,所以cos C=-=,解得C=,则===4,-所以a=4sin A,b=4sin-,所以a2+b2=16sin2A+16sin2--=16×+16×=16-8-=16-8cos.因为△ABC是锐角三角形,所以A∈,所以2A+∈,所以cos∈--,所以a2+b2=16-8cos∈(20,24].【答案】(20,24]13.(2017漳州质检)如图所示,已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b≠c,且b cos B=c cos C,延长线段BC到点D,使得BC=4CD=4,∠CAD=30°.(1)求证:∠BAC是直角.(2)求tan∠ADC的值.【解析】(1)因为b cos B=c cos C,由正弦定理,得sin B cos B=sin C cos C,所以sin 2B=sin 2C,又b≠c,所以2B=π-2C,所以B+C=,所以A=90°,即∠BAC是直角.(2)设∠ADC=α,CD=1,BC=4,在△ABC中,因为∠BAC=90°,∠ACB=30°+α,所以cos(30°+α)=,所以AC=4cos(30°+α).在△ADC中,=,即==2,所以AC=2sin α,所以2cos(30°+α)=sin α,即2-=sin α,整理得cos α=2sin α,所以tan α=,即tan∠ADC=.。

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：三角函数(附答案解析)

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：三角函数一．选择题（共10小题）1．已知tan()1αβ+=-，1tan()2αβ-=，则sin 2sin 2αβ的值为( )A ．13B ．13-C ．3D ．3-2．已知tan 2θ=，则sin()cos()2(cos sin()πθπθθπθ+--=-- ) A ．2B ．2-C ．0D ．233．若tan 24tan()04πθθ++=，则sin 2θ的值为( )A ．35B ．45 C ．35-D ．45-4．计算：sin11002sin100(cos160︒-︒=︒)A ．1BC ．2 D．5．cos30cos105sin30sin75(︒︒-︒︒= )A．B． CD6．已知1sin()sin()25ππαα++-=，且(0,)απ∈，则tan()(4πα+= )A ．17-B ．17C ．7D ．7-7．已知1tan()62πα+=，则2sin(2)(3πα-= )A ．45B ．45-C ．34 D ．34-8．已知4tan 3α=-，则sin 2(α= )A ．45-B ．45C ．2425D ．2425-9．已知tan 121tan αα-=+，则sin(2)6πα+的值为( )A． B． CD．10．已知函数()sin(2)6f x x π=+，若将()f x 的图象向右平移6π个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则( )A ．()sin(4)6g x x π=-B ．()sin 4g x x =C ．()sin g x x =D ．()sin()6g x x π=-二．多选题（共1小题）11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||)ϕπ<的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于点(,0)12π-对称B ．函数()f x 的图象关于2x π=直线对称C ．函数()f x 在区间[,]36ππ-上单调递增D ．1y =与图象23()()1212y f x xππ=-的所有交点的横坐标之和为83π 三．填空题（共7小题）12．若5sin()6πα-=，则2cos(2)3πα+= ．13．已知2παπ<<，若tan 2sin2αα=，则tan α= ．14．若4sin()65πα-=-，则cos()3πα+= ．15．若tan 1α=，则sin cos αα= ．16．已知sin cos 3cos 3sin αβαβ-=-，且sin()1αβ+≠，则sin()αβ-= ． 17．已知α为第四象限角，且5cos α=222)4cos sin πααα-=- ． 18．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()f x 的图像在[0，2]3π上与x 轴恰有两个交点，则ω的取值范围是．四．解答题（共4小题）19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且223sin sin 312A BC +=+．（1）求角C 的大小；（2）若a =2c =，求b ．20．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a B =．（1）若ABC ∆，2c =，求a 的值；（2）若21()()2b a b ac -+=，求tan C 的值．21．某同学用“五点法”作函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）根据上表数据，直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求()f x 在区间2[3π-，0]上的最大值和最小值． 22．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．（Ⅰ）确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()()2cos(2)6g x f x x π=++，求函数()g x 的单调减区间．条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5(,0)12π；条件③：()f x 的图像经过点5(,1)6π-．2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：三角函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知tan()1αβ+=-，1tan()2αβ-=，则sin 2sin 2αβ的值为( )A ．13B ．13-C ．3D ．3-【考点】两角和与差的三角函数【分析】sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()ααβαβαβαβαβαβαβαββαβαβαβαβαβαβαβαβ++-+-+-+++-===+--+---++--，代入即可求解．【解答】解：因为tan()1αβ+=-，1tan()2αβ-=，则11sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()121sin 2sin[()()]sin()cos()sin()cos()tan()tan()312ααβαβαβαβαβαβαβαββαβαβαβαβαβαβαβαβ-+++-+-+-+++-=====+--+---++----．故选：A ．【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在求解三角函数值中的应用，属于基础题．2．已知tan 2θ=，则sin()cos()2(cos sin()πθπθθπθ+--=-- ) A ．2B ．2-C ．0D ．23【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的恒等变换及化简求值【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】解：因为tan 2θ=，所以sin()cos()cos cos 2222cos sin()cos sin 1tan 12πθπθθθθπθθθθ+--+====------．故选：B ．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3．若tan 24tan()04πθθ++=，则sin 2θ的值为( )A ．35B ．45 C ．35-D ．45-【考点】二倍角的三角函数【分析】由题意利用二倍角公式、两角和的正切公式，先求出tan θ的值，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，计算求得sin 2θ的值．【解答】解：tan 24tan()04πθθ++=，∴22tan 1tan 41tan 1tan θθθθ+=-⨯--， ∴tan 2(1tan )1tan θθθ=-⨯++，22tan 5tan 20θθ∴++=，求得tan 2θ=- 或1tan 2θ=-，当tan 2θ=-时，2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===-++；当1tan 2θ=-时，22tan 4sin 2tan 15θθθ==-+，故选：D ．【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系式，属于中档题． 4．计算：sin11002sin100(cos160︒-︒=︒)A ．1B C ．2 D ．【考点】二倍角的三角函数；运用诱导公式化简求值【分析】由已知结合诱导公式，两角差的余弦公式进行化简，由此即可求解．【解答】解：sin11002sin100sin(108020)2sin(9010)2cos10sin 202cos(3020)sin 20cos160cos(18020)cos 20cos 20︒-︒︒+︒-︒+︒︒-︒︒-︒-︒===︒︒-︒︒︒．故选：B ．【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．cos30cos105sin30sin75(︒︒-︒︒= )A ．B ．2C ．2D【考点】两角和与差的三角函数【分析】利用公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，结合诱导公式，可得答案．【解答】解：cos30cos105sin30sin75︒︒-︒︒ cos30sin15sin30cos15=-︒︒-︒︒sin(1530)sin 45=-︒+︒=-︒2=，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，属于基础题．6．已知1sin()sin()25ππαα++-=，且(0,)απ∈，则tan()(4πα+= )A ．17-B ．17C ．7D ．7-【考点】两角和与差的三角函数【分析】先利用诱导公式化简条件，再结合同角三角函数基本关系，推出3tan 4α=，然后由两角和的正切公式，得解．【解答】解：因为1sin()sin()25ππαα++-=，所以1sin cos 5αα-+=，又22sin cos 1αα+=，且(0,)απ∈，所以3sin 5α=，4cos 5α=，所以sin 3tan cos 4ααα==，所以31tan 14tan()7341tan 14πααα+++===--．故选：C ．【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和的正切公式，同角三角函数基本关系，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7．已知1tan()62πα+=，则2sin(2)(3πα-= )A ．45B ．45-C ．34 D ．34-【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数【分析】直接利用诱导公式的应用求出三角函数的值．【解答】解：由于1tan()62πα+=，所以22tan()2146sin(2)cos(2)sin(2)sin(2)13626351tan ()164παπππππααααπα+-=-=+-=+===+++．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．已知4tan 3α=-，则sin 2(α= )A ．45-B ．45C ．2425D ．2425-【考点】二倍角的三角函数【分析】结合二倍角公式与“同除余弦可化切”的思想，即可得解．【解答】解：222242()2sin cos 2tan 243sin 22sin cos 4125()13sin cos tan ααααααααα⨯-=====-++-+．故选：D ．【点评】本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，理解同除余弦可化切的思想是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 9．已知tan 121tan αα-=+，则sin(2)6πα+的值为( )A． B． CD．【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：由于tan 121tan αα-=+，整理得tan 3α=-，所以22tan 63sin 21tan 105ααα==-=-+；221tan 84cos21tan 105ααα-==-=-+；所以341sin(2)()()6552πα+=-+-⨯=．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10．已知函数()sin(2)6f x x π=+，若将()f x 的图象向右平移6π个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则( ) A ．()sin(4)6g x x π=-B ．()sin 4g x x =C ．()sin g x x =D ．()sin()6g x x π=-【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换【分析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律解决即可．【解答】解：()sin(2)6f x x π=+，∴将()f x 的图象向右平移6π个单位后，得()sin[2()]sin(2)6666f x x x ππππ-=-+=-，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()sin()6g x x π=-，故选：D ．【点评】本题考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，熟练掌握其图象变化规律是解决问题的关键，考查逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题．二．多选题（共1小题）11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||)ϕπ<的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于点(,0)12π-对称B ．函数()f x 的图象关于2x π=直线对称C ．函数()f x 在区间[,]36ππ-上单调递增D ．1y =与图象23()()1212y f x xππ=-的所有交点的横坐标之和为83π【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式【分析】由顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点作图求出ϕ，正弦函数的图象和性质，可得函数的解析式．再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：根据函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||)ϕπ<的部分图象，可得2A =，12254312πππω⨯=-，2ω∴=．结合五点法作图，可得5212πϕπ⨯+=，6πϕ∴=，故()2sin(2)6f x x π=+．令12x π=-，求得()0f x =，可得函数()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，故A 正确；令2x π=，求得()1f x =-，不是最值，故函数()f x 的图象关不于2x π=直线对称，故B 错误；在区间[,]36ππ-上，2[62x ππ+∈-，]2π，函数()f x 单调递增，故C 正确；当[12x π∈-，23]12π，2[06x π+∈，4]π，直线1y =与图象23()()1212y f x xππ=-的4个交点关于直线3262x ππ+=对称．设这4个交点的横坐标分别为a 、b 、c 、d ，a b c d <<<，则3(2)(2)2662a d πππ+++=⨯，3(2)(2)2662b c πππ+++=⨯，故所有交点的横坐标之和为83a b c d π+++=，故D 正确，故选：ACD ．【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点作图求出ϕ，正弦函数的图象和性质，属于中档题．三．填空题（共7小题）12．若sin()6πα-=，则2cos(2)3πα+= 35- ．【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数【分析】直接利用三角函数的诱导公式的应用求出三角函数的值．【解答】解：由于sin()cos()cos()6263ππππααα-=-+=+=所以2213cos(2)2cos ()1213355ππαα+=+-=⨯-=-．故答案为：35-．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13．已知2παπ<<，若tan 2sin 2αα=，则tan α【考点】二倍角的三角函数【分析】根据同角三角函数基本关系式以及二倍角公式，即可得到结论．【解答】解：2παπ<<，∴22παπ<<，又tan 2sin 2αα=⇒sin 2sin sin 2sin cos cos 22αααααα=⇒=⋅，即2sin cos2sincos 222αααα⋅=⋅， 2coscos 2cos 122ααα∴==-，解得：1cos 22α=-，(cos 12α=舍）sin2α∴=，∴tan 2sin2αα=．【点评】本题主要考查函数值的计算，熟练掌握同角三角函数基本关系式以及二倍角公式是解决本题的关键．14．若4sin()65πα-=-，则cos()3πα+= 45．【考点】两角和与差的三角函数【分析】把所求式子中的角度变为()362πππαα+=-+，利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将已知的等式值代入即可求出值．【解答】解：4sin()65πα-=-，∴4cos()cos[()]sin()36265ππππααα+=-+=--=．故答案为：45．【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，灵活变换所求式子的角度，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．15．若tan 1α=，则sin cos αα=12．【考点】同角三角函数间的基本关系【分析】根据已知条件，结合弦化切公式，即可求解．【解答】解：tan 1α=， 222sin cos tan 11sin cos 1112sin cos tan αααααααα∴====+++．故答案为：12．【点评】本题主要考查弦化切公式，属于基础题．16．已知sin cos 3cos 3sin αβαβ-=-，且sin()1αβ+≠，则sin()αβ-= 45- ．【考点】两角和与差的三角函数【分析】令cosθ=，sin θ=，根据两角和差的正余弦公式化简已知等式可得sin()cos()αθβθ-=+，再利用诱导公式化成同名函数，推出22k παθβθπ-=+++或()()22k παθβθππ-+++=+，k Z ∈，然后分类讨论，即可得解．【解答】解：因为sin cos 3cos 3sin αβαβ-=-，所以sin 3cos 3sin cos ααββ-=-+，即))ααββ，ααββ=，cosθ=sin θ=，则sin cos cos sin cos cos sin sin αθαθβθβθ-=-，即sin()cos()sin()2παθβθβθ-=+=++，所以22k παθβθπ-=+++或()()22k παθβθππ-+++=+，k Z ∈，所以222k παβθπ-=++或22k παβπ+=+，k Z ∈，若222k παβθπ-=++，k Z ∈，则224sin()sin(22)cos22cos 12125k παβθπθθ-=++==-=⨯-=-，若22k παβπ+=+，k Z ∈，则sin()sin(2)12k παβπ+=+=，与sin()1αβ+≠相矛盾，不满足条件，综上，4sin()5αβ-=-．故答案为：45-．【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和差的正余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17．已知α为第四象限角，且cos α=22)4cos sin πααα--【考点】二倍角的三角函数【分析】利用同角三角函数关系式及三角恒等变换公式直接计算即可．【解答】解：因为α为第四象限角，且cos α= 所以sin α==，又22cos sin (cos sin )(cos sin )αααααα-=-+， )sin cos 4πααα-=-，所以22)14cos sin sin cos πααααα-=-=-+．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()f x 的图像在[0，2]3π上与x 轴恰有两个交点，则ω的取值范围是 5[2，4) ．【考点】正弦函数的图象【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．【解答】解：若函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的图像在[0，2]3π上与x 轴恰有两个交点，[33x ππω+∈，2]3πωπ+， 2233πωπππ+∴<，求得542ω<，可得ω的取值范围为5[2，4)，故答案为：5[2，4)．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．四．解答题（共4小题）19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且2sin 12A BC +=+．（1）求角C 的大小；（2）若a =2c =，求b ．【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由已知式子和三角函数公式化简可得1cos()62C π+=，结合C 的范围可得答案；（2）由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，代入数据即可解得．【解答】解：（1）223sin (sin 1)02A B C +-=，2(sin 1)02CC ∴-=．即1cos (sin 1)02C C +-=sin 1C C -=，1cos()62C π+=． C 为ABC ∆的内角，0C π∴<<，∴7666C πππ<+<．从而63C ππ+=，6C π∴=．（2）23a =2c =，∴由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，代入数据化简可得2680b b -+=，解得2b =或4b =．【点评】本题考查解三角形，设计正余弦定理得应用即三角函数公式，属中档题．20．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a B =．（1）若ABC ∆，2c =，求a 的值；（2）若21()()2b a b ac -+=，求tan C 的值．【考点】正弦定理；余弦定理【分析】由2sin a B =可得60A =︒或120︒，（1）由面积可求b ，再由余弦定理可求得a ；（2）由21()()2b a b a c -+=，可得32b c =，进而可求tan C 的值．【解答】解：2sin a B ，∴2sin sin sin A B B A ⇒，60A =︒或120︒，（1）12sin 2ABC S b A ∆=⨯，3b ⇒=，22223223cos60a =+-⨯⨯︒，a ⇒=，（2）21()()2b a b a c -+=，22222132cos 2cos 22a b c b c bc A b A c ⇒=-=+-⇒=，3cos 04c A b ⇒=>，60A ∴=︒，∴32b c =，3sin sin(120)sin 2B C C =︒-=，sin C C ⇒=，tan C =【点评】本题考查解三角形，以及正余弦定理的应用和三角恒等变换，属中档题． 21．某同学用“五点法”作函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）根据上表数据，直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求()f x 在区间2[3π-，0]上的最大值和最小值．【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式；五点法作函数sin()y A x ωϕ=+的图象【分析】（Ⅰ）直接利用五点法的应用求出函数的关系式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据五点法的表格，所以()2sin(2)3f x x π=+．（Ⅱ）由于203x π-，所以233x πππ-+，当512x π=-时，函数()f x 的最小值为2-；当0x =【点评】本题考查的知识要点：五点法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．22．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．（Ⅰ）确定()f x 的解析式；（Ⅱ）若()()2cos(2)6g x f x x π=++，求函数()g x 的单调减区间．条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5(,0)12π；条件③：()f x 的图像经过点5(,1)6π-．【考点】由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式【分析】（Ⅰ）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ，根据函数()f x 的图象过点5(6π，1)-，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5(6π，1)-，可求A 的值，即可得解函数解析式．（Ⅱ）先求()g x 的最简式，再根据正弦型函数的减区间的求法求解．【解答】解：（Ⅰ）由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为2π，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ=⨯=，所以22Tπω==，此时()sin(2)f x A x ϕ=+；选条件①②，因为()f x 的最小值为A -，所以2A =，因为函数()f x 的一个对称中心为5(,0)12π，所以52()12k k Z πϕπ⨯+=∈，解得5?,()6k k Z πϕπ=∈，因为||2πϕ<，所以6πϕ=，6选条件①③，因为()f x 的最小值为A -，所以2A =，因为函数()f x 的图像过5(,?1)6π，则5()?16f π=，即52sin()?13πϕ+=，51sin()?32πϕ+=，因为||2πϕ<，所以7513636πππϕ<+<，所以511,366πππϕϕ+==，所以()2sin(2)6f x x π=+；选择条件②③，因为函数()f x 的一个对称中心为5(,0)12π，所以52()12k k Z πϕπ⨯+=∈，解得5?,()6k k Z πϕπ=∈，因为||2πϕ<，所以6πϕ=，此时()sin(2)6f x A x π=+，因为函数()f x 的图像过5(,?1)6π，则5()?16f π=，即5sin()?13A πϕ+=，所以11sin16A π=-，所以2A =，6综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2sin(2)6f x x π=+，所以5()()2cos(2)2sin(2)2cos(2))66612g x f x x x x x ππππ=++=+++=+，由532222122k x k πππππ+++，k Z ∈，得132424k xk ππππ++，k Z ∈，所以()g x 的单调递减区间为[24k ππ+，13]24k ππ+，k Z ∈．【点评】本题考查了三角函数的图像与性质，属于基础题．。

2020年全国版高考数学必刷题：第七单元三角函数

第七单元三角函数考点一三角函数求值1.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则cos (α-β)= .【解析】∵α与β关于y 轴对称,∴α+β=π+2k π(k ∈Z ),则sin α=sin β=13,∴|cosα|=2√23,cos α=-cos β,∴cos (α-β)=-cos 2α+sin 2α=-79. 【答案】-792.(2016年全国Ⅲ卷) 若tan α=34,则cos 2α+2sin2α=( ).A .6425B .4825C .1D .1625【解析】cos2α+2sin2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=1+4×341+(34)2=6425.【答案】A3.(2016年上海卷)方程3sin x=1+cos2x 在区间[0,2π]上的解为 .【解析】由3sin x=1+cos2x ,得3sin x=2-2sin 2x ,所以2sin 2x+3sin x-2=0,解得sin x=12或sin x=-2(舍去),所以原方程在区间[0,2π]上的解为π6或5π6.【答案】π6或5π6考点二三角函数的图象与性质4.(2017年全国Ⅰ卷)已知曲线C 1:y=cos x ,C 2:y=sin (2x +2π3),则下面结论正确的是( ).A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2【解析】因为C 2:y=sin (2x +2π3)=sin (2x +π2+π6)=cos (2x +π6),所以只需把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再向左平移π12个单位长度,即得到曲线C 2.【答案】D5.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f (x )=cos (x +π3),则下列结论错误的是( ).A .f (x )的一个周期为-2πB .y=f (x )的图象关于直线x=8π3对称C .f (x+π)的一个零点为x=π6D .f (x )在(π2,π)上单调递减【解析】函数f (x )的周期为2k π(k ∈Z ),故A 正确;由x+π3=k π(k ∈Z ),得x=k π-π3(k ∈Z ),当k=3时,x=8π3,故B 正确;f (x+π)=-cos (x +π3),则当x=π6时,f (x+π)=0,故C 正确;函数f (x )的图象是由函数y=cos x 的图象向左平移π3个单位长度得到的,故函数f (x )在(-π3,2π3)上单调递减,在(2π3,5π3)上单调递增,故D 错.【答案】D6.(2017年全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin 2x+√3cos x-34(x ∈[0,π2])的最大值是 .【解析】f (x )=sin 2x+√3cos x-34=1-cos 2x+√3cos x-34=-(cosx -√32)2+1,∵x ∈[0,π2],∴cos x ∈[0,1],∴f (x )的最大值为1.【答案】17.(2017年天津卷)设函数f (x )=2sin (ωx+φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f (5π8)=2,f (11π8)=0,且f (x )的最小正周期大于2π,则( ).A.ω=23,φ=π12B .ω=23,φ=-11π12C .ω=13,φ=-11π24D .ω=13,φ=7π24【解析】由题意知,函数f (x )的最小正周期为T=4(11π8-5π8)=3π,∴ω=23,即f (x )=2sin (23x +φ).∵|φ|<π,f (5π8)=2,∴φ=π12.【答案】A8.(2016年全国Ⅱ卷)若将函数y=2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ).A .x=kπ2-π6(k ∈Z )B .x=kπ2+π6(k ∈Z )C .x=kπ2-π12(k ∈Z )D.x=kπ2+π12(k∈Z)【解析】平移后的图象对应的解析式为y=2sin2(x+π12),令2(x+π12)=kπ+π2(k∈Z),得对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z).【答案】B9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(π18,5π36)上单调,则ω的最大值为().A.11B.9C.7D.5【解析】由已知可得-π4ω+φ=kπ,k∈Z,①π4ω+φ=mπ+π2,m∈Z,②由①+②,得2φ=(k+m)π+π2.因为|φ|≤π2,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±π4.由①-②,得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间(π18,5π36)上单调,所以只要该区间位于函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间即可,且5π36-π18≤12×2πω,即ω≤12.①当φ=π4时,f(x)=sin(ωx+π4),则kπ-π2≤π18ω+π4且5π36ω+π4≤kπ+π2,k∈Z,解得36k-272≤ω≤36k+95.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,故ω的最大值为9.②当φ=-π4时,f(x)=sin(ωx-π4),则kπ-π2≤π18ω-π4且5π36ω-π4≤kπ+π2,k∈Z,解得36k-92≤ω≤36k+275.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤275,故ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.【答案】B高频考点:三角函数的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式.命题特点:1.三角函数的图象和性质是高考考查的重点内容,而同角三角函数的基本关系式和诱导公式一般与性质和恒等变换相结合考查;2.关于函数图象的平移考查得比较多,而函数图象的性质考查得比较全面;3.以容易题和中档题为主,但考查的内容比较灵活.§7.1三角函数的概念、同角三角函数关系及诱导公式一角的概念1.任意角:(1)定义:角可以看成平面内的绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的.(2)分类:角按旋转方向分为、和.2.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.3.象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.二弧度制1.角度制和弧度制的互化:180°=πrad,1°=π180rad,1rad=(180π)°.2.扇形的弧长公式:l=|α|r ,扇形的面积公式:S=12lr=12|α|r 2.三任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ,y )时,sin α= ,cos α= ,tan α=y x(x ≠0).四同角三角函数的基本关系1.平方关系: .2.商数关系: .五诱导公式组数一二三四五六角 2k π+α(k ∈Z ) π+α -απ-απ2-α π2+α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α 正切tan αtan α -tan α -tan α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限已知点P (sin α,cos α)在第二象限,则角α的终边在( ).A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限cos 2π3+tan225°=( ).A.12 B .-12C .32D .-32已知α∈(-π,-π2),且sin α=-12,则cos α等于( ).A .-12B .12C .-√32D .√32已知tan (2017π+α)=12,则cosα-3sinα2sinα+cosα等于( ).A .-2B .12C .-23D .-14在平面直角坐标系中,角α的终边过点P (2,1),则cos 2α+sin2α的值为 .已知一扇形的圆心角为α(0<α<2π),所在圆的半径为R.(1)若α=π3,R=10cm ,求扇形的弧长及面积;(2)若扇形的周长是一定值C (C>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大?知识清单一、1.(1)一条射线图形 (2)正角负角零角三、y x四、1.sin 2α+cos 2α=1 2.sinαcosα=tan α 五、cos α cos α sin α -sin α 基础训练1.【解析】由题意得{sinα<0,cosα>0,所以角α的终边在第四象限,故选D .【答案】D2.【解析】cos 2π3+tan225°=-12+1=12.【答案】A3.【解析】|cosα|=√1−sin 2α=√1−(-12)2=√32,∵α∈(-π,-π2),∴cos α<0,∴cos α=-√32,故选C .【答案】C4.【解析】tan (2017π+α)=tan α=12,所以cosα-3sinα2sinα+cosα=1−3tanα2tanα+1=-14,故选D .【答案】D5.【解析】∵平面直角坐标系中,角α终边过点P (2,1),∴x=2,y=1,r=|OP|=√5,∴cos α=x r =2√5=2√55,sin α=y r =1√5=√55,则cos 2α+sin2α=45+2sin αcos α=45+45=85.【答案】856.【解析】(1)设弧长为l ,扇形面积为S ,则α=π3,R=10,l=π3×10=10π3cm , S=12×10π3×10=50π3cm 2. (2)(法一)扇形周长C=2R+l=2R+αR ,α=CR-2,S 扇=12α·R 2=12(C R -2)R 2=12CR-R 2=-(R 2-C2R)=-(R -C 4)2+C 216,∴当R=C4时,扇形面积取最大值C 216,此时α=CR -2=2.(法二)扇形周长C=2R+l=2R+αR ,∴R=C 2+α. ∴S 扇=12α·R 2=12α·(C2+α)2=C 22α·14+4α+α2=C 22·1α+4α+4≤C 216.当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积取最大值C 216.题型一任意角的三角函数【例1】已知角α的终边经过点P (x ,-√2)(x ≠0),且cos α=√55x ,则√5sin α+1tanα= .【解析】∵P (x ,-√2)(x ≠0),∴点P 到原点的距离r=√x 2+2.又cos α=√55x ,∴cos α=x2=√55x.∵x ≠0,∴x=±√3,∴r=√5.当x=√3时,√5sin α+1tanα=-2√2+√62;当x=-√3时,√5sin α+1tanα=-2√2-√62.【答案】-2√2±√62【变式训练1】已知角2α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边过点(-1,√3),2α∈[2π,4π),则sin α等于( ).A.-12B .12C .-√32D .23【解析】由题意得,角2α的终边在第二象限且tan2α=-√3,∴2α=2π+2π3,即α=π+π3,∴sin α=-√32.【答案】C题型二扇形的弧长、面积公式的应用【例2】已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.(1)若α=60°,R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积. (2)若扇形的周长为4,求当α为多少弧度时,该扇形有最大面积? 【解析】(1)设弧长为l ,弓形面积为S 弓,则α=60°=π3,l=π3×10=10π3, S 弓=S 扇-S △=12×10π3×10-12×102×sin π3 =50π3-50√32=50(π3-√32). (2)扇形周长2R+l=2R+αR=4,∴R=4α+2,∴S 扇=12αR 2=12α·(4α+2)2=8α4+4α+α2=84+α+4α≤1.当且仅当α=4α,即α=2时,扇形面积有最大值1.理清扇形的弧长与半径、弧度角的关系,熟记扇形面积和周长的公式.【变式训练2】一扇形的周长为20,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?【解析】设扇形的半径为r ,弧长为l ,则l+2r=20,即l=20-2r (0<r<10).∴扇形的面积S=12lr=12(20-2r )r=-r 2+10r=-(r-5)2+25. ∴当r=5时,S 有最大值25,此时l=10,α=l r=2rad.∴当α=2rad 时,扇形的面积取最大值.题型三同角三角函数基本关系式的应用【例3】在△ABC 中,sin A+cos A=15.(1)求sin A cos A 的值; (2)求tan A 的值.【解析】(1)∵sin A+cos A=15, ①∴两边平方得1+2sin A cos A=125,∴sin A cos A=-1225.(2)由(1)得sin A cos A=-1225<0, 又0<A<π,∴cos A<0.∵(sin A-cos A )2=1-2sin A cos A=1+2425=4925,又sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=75. ②由①②可得sin A=45,cos A=-35,∴tan A=sinA cosA =45-35=-43.【变式训练3】(1)已知tan α=2,则sin 2α+sin αcos α-2cos 2α= .(2)已知sin 2α=3sin 2β,tan α=2tan β,则cos 2α= .【解析】(1)sin 2α+sin αcos α-2cos 2α=sin 2α+sinαcosα-2cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanα-2tan 2α+1=45.(2)∵sin 2α=3sin 2β, ①tan 2α=4tan 2β, ②由①÷②得,4cos 2α=3cos 2β, ③由①+③得,sin 2α+4cos 2α=3,∴cos 2α=23.【答案】(1)45 (2)23题型四三角函数诱导公式的应用【例4】已知sin α,1cos (θ+π6)分别是方程5x 2-12x-9=0的两根.(1)求cos (5π6-θ)和sin (θ+2π3)的值; (2)若3π<α<7π2,求sin(5π-α)cos(2π-α)cos (3π2-α)-sin 2αcos (π2-α)sin(−π-α)的值.【解析】∵sin α,1cos (θ+π6)分别是方程5x 2-12x-9=(5x+3)(x-3)=0的两根,∴sin α=-35,1cos (θ+π6)=3,∴cos (θ+π6)=13.(1)cos (5π6-θ)=cos [π-(π6+θ)]=-cos (π6+θ)=-13, sin (θ+2π3)=sin [π2+(θ+π6)]=cos (θ+π6)=13.(2)∵3π<α<7π2,∴α是第三象限角.∵sin α=-35,∴cos α=-45.sin(5π-α)cos(2π-α)cos (3π2-α)-sin 2αcos (π2-α)sin(−π-α)=-sin 2αcosα-sin 2αsin 2α=-1-cos α =-15.【变式训练4】已知f (π12+x)= sin(π-x)cos(2π-x)tan(π-x)cos (-π2+x ).(1)求f (-9π4)的值. (2)若f (x )=14,求sin (x +23π12)+cos (x +17π12)的值. 【解析】f (π12+x)=sinx ·cosx ·(-tanx)sinx=-cos x ·tan x=-sin x. (1)令π12+x=-9π4,则x=-9π4-π12=-7π3,∴f (-9π4)=-sin (-7π3)=sin π3=√32. (2)∵f (x )=-sin (x -π12)=14, ∴sin (x -π12)=-14,∴sin (x +23π12)+cos (x +17π12) =sin [2π+(x -π12)]+cos [π+(x +5π12)]=sin (x -π12)-cos (x +5π12)=sin (x -π12)-cos [π2+(x -π12)]=2sin (x -π12)=-12.方法一数形结合思想在三角函数线中的应用当给出一个象限角时,欲判断该角的半角或倍角的符号或比较它们三个三角函数值的大小时,由于没有给出具体的角度,所以用图形可以更直观地表示,可先画出三角函数线,借助三角函数线比较大小.【突破训练1】设θ是第二象限角,试比较sin θ2,cos θ2,tan θ2的大小.【解析】∵θ是第二象限角,∴π2+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,∴π4+kπ<θ2<π2+kπ,k∈Z,∴θ2是第一象限角或第三象限角.如图,结合单位圆上的三角函数线可得,①当θ2是第一象限角时,sinθ2=AB,cosθ2=OA,tanθ2=CT,故cosθ2<sinθ2<tanθ2.②当θ2是第三象限角时,sinθ2=EF,cosθ2=OE,tanθ2=CT,故sinθ2<cosθ2<tanθ2.综上可得,当θ2在第一象限时,cosθ2<sinθ2<tanθ2;当θ2在第三象限时,sinθ2<cosθ2<tanθ2.方法二分类讨论思想在三角函数化简中的应用角中含有变量n,因而需对n的奇偶进行分类讨论.利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分看作一个整体.【突破训练2】求sin(4n-14π-α)+cos(4n+14π-α)(n∈Z)的值.【解析】当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则原式=sin(8k-14π-α)+cos(8k+14π-α)=sin[2kπ+(-π4-α)]+cos[2kπ+(π4-α)]=sin(-π4-α)+cos(π4-α)=-sin(π4+α)+cos[π2-(π4+α)]=-sin(π4+α)+sin(π4+α)=0;当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则原式=sin(8k+34π-α)+cos(8k+54π-α)=sin[2kπ+(3π4-α)]+cos[2kπ+(5π4-α)]=sin(3π4-α)+cos(5π4-α)=sin[π-(π4+α)]+cos[π+(π4-α)]=sin(π4+α)-cos(π4-α)=sin(π4+α)-cos[π2-(π4+α)]=sin(π4+α)-sin(π4+α)=0.故sin(4n-14π-α)+cos(4n+14π-α)=0.1.(2017日照市三模)若sin (π-α)=13,且π2≤α≤π,则cos α的值为( ).A.2√23B .-2√23C .4√29D.-4√29【解析】因为sin (π-α)=sin α=13,π2≤α≤π,所以cos α=-√1−sin 2α=-2√23. 【答案】B2.(2017江西师大附中三模)已知sin (-π+θ)+2cos (3π-θ)=0,则sinθ+cosθsinθ-cosθ=( ).A.3B.-3C.13 D.-13【解析】因为sin (-π+θ)+2cos (3π-θ)=0,所以-sin θ-2cos θ=0,可得tan θ=-2,所以sinθ+cosθsinθ-cosθ=tanθ+1tanθ-1=-2+1-2-1=13,故选C .【答案】C3.(2017江西八校联考)已知cos α-sin α=√24,则sin2α的值为( ).A.18B.-18C.78D.-78【解析】∵cos α-sin α=√24,∴1-sin2α=18,∴sin2α=78.【答案】C4.(2017临城质检)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,若P (4,y )是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y=( ).A.-8B.-4C.2D.4 【解析】因为sin θ=y4+y =-2√55,所以y<0,且y 2=64,所以y=-8.【答案】A5.(2017宁德三模)已知sin (α+π6)=45,则cos (α-π3)的值为( ).A.35B.45C.-45D.-35【解析】cos (α-π3)=cos (α+π6-π2)=sin (α+π6)=45,故选B.【答案】B6.(2017南昌二模)已知sin θ+2cos θ=0,则1+sin2θcos 2θ= .【解析】由sin θ+2cos θ=0,得sin θ=-2cos θ, 则1+sin2θcos 2θ=sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθcos 2θ=1. 【答案】17.(2016湖北二模)设f (x )={sinπx,x <1,√2f(x -2),x ≥1,则f (-236)+f (94)= .【解析】f (-236)+f (94)=sin (-23π6)+√2f (94-2)=12+√2sin π4=32. 【答案】328.(2017郴州市四检)已知3cos 2θ=tan θ+3,且θ≠k π(k ∈Z ),则sin [2(π-θ)]= .【解析】由题意可得3cos 2θ-3=tan θ,即-3sin 2θ=sinθcosθ,因为θ≠k π(k ∈Z ),所以sin θcos θ=-13,即sin2θ=-23,所以sin [2(π-θ)]=-sin2θ=23.【答案】239.(2016许昌二模)已知点P (sin α-cos α,tan α)在第二象限,则α的一个变化区间是( ).A.(-π,-π2) B.(-π4,π4)C.(-3π4,-π2) D.(π2,π)【解析】因为点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,所以{sinα-cosα<0,tanα>0,根据三角函数的性质可知选项C 正确.【答案】C10.(2016柳州二模)若角α满足α=2kπ3+π6(k∈Z),则α的终边一定在().A.第一象限或第二象限或第三象限B.第一象限或第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【解析】当k=0时,α=π6,终边位于第一象限,当k=1时,α=5π6,终边位于第二象限,当k=2时,α=3π2,终边位于y轴的非正半轴上,当k=3时,α=2π+π6,终边位于第一象限.综上可知,α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.故选D.【答案】D11.(2016上饶月考)当0<x<π4时,函数f(x)=cos2xcosxsinx-sin2x的最小值是().A.14B.12C.2D.4【解析】当0<x<π4时,0<tan x<1,f(x)=cos2xcosxsinx-sin2x=1tanx-tan2x,设t=tan x,则0<t<1,y=1t-t2=1t(1-t)≥4.当且仅当t=1-t,即t=12时等号成立.【答案】D12.(2017金华质检)若2tanα=3tan2π5,则cos(α-π10)sin(α-2π5)=.【解析】cos(α-π10)sin(α-2π5)=sin(α+2π5) sin(α-2π5)=sinαcos2π5+cosαsin2π5sinαcos2π5-cosαsin2π5=tanα+tan2π5tanα-tan2π5=5.【答案】513.(2016西宁联考)已知A,B,C是三角形的内角,√3sin A,-cos A分别是方程x2-x+2a=0的两根.(1)求角A.(2)若1+2sinBcosBcos2B-sin2B=-3,求tan B.【解析】(1)由已知可得,√3sin A-cos A=1,①又sin2A+cos2A=1,∴sin2A+(√3sin A-1)2=1,即4sin2A-2√3sin A=0,得sin A=0(舍去)或sin A=√32,∴A=π3或A=2π3,将A=π3或A=2π3代入①知A=2π3时等式不成立,∴A=π3.(2)由1+2sinBcosBcos2B-sin2B=-3,得sin2B-sin B cos B-2cos2B=0.∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0,∴tan B=2或tan B=-1.当tan B=-1时,cos2B-sin2B=0,不合题意,舍去,∴tan B=2.§7.2三角函数的图象与性质一用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点分别是、(π2,-1)、(3π2,-1)、.二三角函数的图象和性质(表中k∈Z)函数性质y=sin x y=cos x y=tan x定义域R R图象值域[-1,1][-1,1]R对称轴对称中心(kπ,0)周期2π2ππ单调性增区间为减区间为增区间为减区间为增区间为无减区间奇偶性奇函数偶函数奇函数设点P是函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是π3,则ω=.函数y=2-3cos(x+π4)的最大值为,此时x=.函数f(x)=sin(x-π4)的图象的一条对称轴是().A.x=π4B.x=π2C.x=-π4D.x=-π2知识清单一、(0,0)(π,0)(2π,0)二、{x|x≠kπ+π2}x=kπ+π2x=kπ(kπ+π2,0)(kπ2,0)[2kπ-π2,2kπ+π2][2kπ+π2,2kπ+3π2][2kπ-π,2kπ][2kπ,2kπ+π](kπ-π2,kπ+π2)基础训练1.【解析】由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14,故f(x)的最小正周期为T=4×π3=4π3,∴ω=2πT=32.【答案】322.【解析】当cos(x+π4)=-1时,函数y=2-3cos(x+π4)取得最大值5,此时x+π4=π+2kπ(k∈Z),从而x=34π+2kπ,k∈Z.【答案】534π+2kπ,k∈Z3.【解析】∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故令x-π4=kπ+π2,k∈Z,∴x=kπ+3π4,k∈Z.取k=-1,则x=-π4.【答案】C题型一三角函数的定义域【例1】函数f(x)=lg(3+2x-x2)+√sinx的定义域为.【解析】由题意得{3+2x-x2>0,sinx≥0,即{-1<x<3,2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),解得0≤x<3,所以函数f(x)的定义域为[0,3).【答案】[0,3)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.【变式训练1】函数y=√sin2x -cos2x 的定义域为 .【解析】由题意得sin2x-cos2x ≥0,即√2sin (2x -π4)≥0,则2k π≤2x-π4≤2k π+π,解得k π+π8≤x ≤k π+5π8(k ∈Z ),所以函数的定义域为{x|kπ+π8≤x ≤kπ+5π8,k ∈Z}. 【答案】{x|kπ+π8≤x ≤kπ+5π8,k ∈Z}题型二三角函数的值域【例2】求函数f (x )=cos 2x+sin x+14在区间[-π6,π4]上的最大值与最小值.【解析】f (x )=cos 2x+sin x+14=1-sin 2x+sin x+14=-(sinx -12)2+32.∵x ∈[-π6,π4],∴sin x ∈[-12,√22], ∴当sin x=-12时,函数f (x )取最小值12,当sin x=12时,函数f (x )取最大值32.形如y=a sin 【变式训练2】已知函数f (x )=cos (2x -π3)+2sin (x -π4)·sin (x +π4),求函数f (x )在区间[-π12,π2]上的最大值与最小值.【解析】由题意得f (x )=12cos2x+√32sin2x+(sin x-cos x )·(sin x+cos x )=12cos2x+√32sin2x+sin 2x-cos 2x=12cos2x+√32sin2x-cos2x=sin (2x -π6).又x ∈[-π12,π2],∴2x-π6∈[-π3,5π6], ∴sin (2x -π6)∈[-√32,1].故当x=π3时,f (x )取最大值1;当x=-π12时,f (x )取最小值-√32.题型三三角函数的单调性与周期性【例3】(2017北京海淀区高三适应性考试)已知函数f (x )=4cos ωx ·sin (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f (x )的单调递增区间. 【解析】(1)f (x )=4cos ωx ·sin (ωx +π4)=2√2sin ωx ·cos ωx+2√2cos 2ωx=√2(sin2ωx+cos2ωx )+√2=2sin (2ωx +π4)+√2.因为f (x )的最小正周期为π,且ω>0, 所以2π2ω=π,故ω=1.(2)由(1)知f (x )=2sin (2x +π4)+√2,令-π2+2k π≤2x+π4≤π2+2k π,k ∈Z ,所以-3π4+2k π≤2x ≤π4+2k π,k ∈Z ,所以-3π8+k π≤x ≤π8+k π,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[-3π8+kπ,π8+kπ],k ∈Z .先将y=f (x )化成y=A sin (ωx+φ)或y=A cos (ωx+φ)(其中A ≠0,ω>0)形式,再结合求周期公式和求单调区【变式训练3】已知函数f (x )=sin ωx (cosωx -√3sinωx)+√32(ω>0)的最小正周期为π2.(1)求ω的值;(2)求函数f (x )的单调递减区间.【解析】f (x )=sin ωx (cosωx -√3sinωx)+√32=sin ωx ·cos ωx -√3sin 2ωx+√32=12sin2ωx+√32cos2ωx=sin (2ωx +π3).(1)∵函数f (x )的最小正周期为π2,∴2π2ω=π2,解得ω=2.(2)由(1)知f (x )=sin (4x +π3),令2k π+π2≤4x+π3≤2k π+3π2,k ∈Z ,得2k π+π6≤4x ≤2k π+7π6,k ∈Z ,∴kπ2+π24≤x ≤kπ2+7π24,k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间是[kπ2+π24,kπ2+7π24],k ∈Z .题型四三角函数的对称性与奇偶性【例4】设函数f(x)=sin2x+√3cos2x(x∈R).(1)若函数y=f(x+φ)(|φ|≤π2)的图象关于直线x=0对称,求φ的值;(2)若函数y=f(x+π+6φ12)的图象关于点(4π3,0)中心对称,求|φ|的最小值.【解析】f(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3).(1)∵y=f(x+φ)=2sin(2x+π3+2φ)的图象关于直线x=0对称,∴f(x+φ)为偶函数,∴π3+2φ=π2+kπ,k∈Z,则φ=kπ2+π12,k∈Z.∵|φ|≤π2,∴φ=-5π12或φ=π12.(2)∵y=f(x+π+6φ12)=2sin(2x+φ+π2)=2cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称,∴2cos(2×4π3+φ)=2cos(2π3+φ+2π)=2cos(2π3+φ)=0,∴2π3+φ=kπ+π2,k∈Z,∴φ=kπ-π6,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为π6.【变式训练4】设函数f(x)=2sin(2x+φ)(-π<φ<0).(1)若f (π4-x)=f (x ),求φ;(2)若函数y=f (x )是奇函数,求函数g (x )=cos (2x +32φ)的单调递减区间.【解析】(1)∵f (π4-x)=f (x ),∴函数f (x )的图象关于直线x=π8对称,令2×π8+φ=k π+π2,k ∈Z ,则φ=k π+π4,k ∈Z ,又-π<φ<0,则-54<k<-14,k ∈Z .∴k=-1,则φ=-3π4.(2)∵函数y=f (x )是奇函数,-π<φ<0,∴φ=-π2,∴g (x )=cos (2x -3π4). 令2k π≤2x-3π4≤π+2k π,k ∈Z ,可解得3π8+k π≤x ≤7π8+k π,k ∈Z ,∴y=g (x )的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ],k ∈Z .方法方程思想在三角函数中的应用此类题目主要解决方程中的参量问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=A sin (ωx+φ)或y=A cos (ωx+φ)的最值,但要注意对参量的符号进行讨论,以便确定函数的单调性,其次由已知列方程求解.【突破训练】已知函数f (x )=sin 2x+2√3sin x cos x+3cos 2x-2.(1)当x∈[0,π2]时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数g(x)=-(1+λ)f2(x)-2f(x)+1在[-π3,π6]上单调递减,求实数λ的取值范围.【解析】f(x)=sin2x+2√3sin x cos x+3cos2x-2=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6).(1)令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z.解得2kπ-2π3≤2x≤2kπ+π3,k∈Z,即kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z.∵x∈[0,π2],∴f(x)的单调递增区间为[0,π6].(2)由(1)知函数f(x)在[-π3,π6]上单调递增,设f(x)=t,则-1≤t≤1,∴k(t)=-(1+λ)t2-2t+1(-1≤t≤1),①当λ=-1时,k(t)=-2t+1在[-1,1]上单调递减,即λ=-1符合题意;②当λ<-1时,-(1+λ)>0,则-11+λ≥1,得-2≤λ<-1;③当λ>-1时,-(1+λ)<0,则-11+λ≤-1,得-1<λ≤0.综上,λ∈[-2,0].1.(2017江西二模)函数y=2sin2(x+3π2)-1是().A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π2的奇函数【解析】∵y=2sin2(x+3π2)-1=-cos(2x+3π)=cos2x,∴y=2sin2(x+3π2)-1是最小正周期为π的偶函数.【答案】A2.(2017广东联考)函数f(x)=2sin(x2-π8)cos(x2-π8)的图象的一个对称中心可以是().A.(-π,0)B.(-3π4,0) C.(3π2,0) D.(π2,0)【解析】由题意知f(x)=sin(x-π4),令x-π4=kπ(k∈Z),则x=kπ+π4(k∈Z).由k=-1,得x=-3π4,即f(x)=sin(x-π4)的一个对称中心是(-3π4,0).【答案】B3.(2017西宁二模)同时具有性质“①最小正周期是π;②图象关于直线x=π3对称;③在[-π6,π3]上是增函数.”的一个函数为().A.y=sin(x2+π6) B.y=cos(x2-π6)C.y=cos(2x+π6)D.y=sin(2x-π6)【解析】根据性质①最小正周期是π,排除选项A和B;对于选项C,当x=π3时,y=cos(2×π3+π6)=cos5π6=-√32,不是最值,所以排除选项C,故选D.【答案】D4.(2017沈阳三模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2)的图象在y轴左侧的第一个最高点为(-π6,3),第一个最低点为(-2π3,m),则函数f(x)的解析式为().A.f(x)=3sin(π6-2x) B.f(x)=3sin(2x-π6)C.f(x)=3sin(π3-2x) D.f(x)=3sin(2x-π3)【解析】由题意得A=3,T=2(-π6+2π3)=π,∴ω=±2πT=±2,当ω=-2时,f(x)=3sin(φ-2x),且过点(-π6,3),则π3+φ=2kπ+π2,得φ=π6.当ω=2时,不合题意.故选A.【答案】A5.(2017佳木斯市三模)若函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<π2,两相邻的对称轴的距离为π2,f(π6)为最大值,则函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为().A.[0,π6] B.[2π3,π]C.[0,π6]和[π3,π] D.[0,π6]和[2π3,π]【解析】∵两相邻的对称轴的距离为π2,∴T2=π2,解得T=π,∴ω=2.又f(π6)为最大值,令2×π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,解得φ=π6+2kπ,k∈Z,令k=0得φ=π6,∴函数f(x)=sin(2x+π6).令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,当k=0时,x∈[-π3,π6],当k=1时,x∈[2π3,7π6],∴f(x)在区间[0,π]上的单调增区间为[0,π6]和[2π3,π].【答案】D6.(2017中卫市二模)函数f(x)=cos2x+sin(π2+x)的最小值是.【解析】f(x)=cos2x+sin(π2+x)=2cos2x+cos x-1=2(cosx+14)2-98,故f(x)min=-98.【答案】-987.(2017菏泽联考)已知函数f (x )=A tan (ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),y=f (x )的部分图象如图所示,则f (π24)= .【解析】由图象知,T=2(3π8-π8)=π2,∴ω=2.由2×3π8+φ=k π,k ∈Z ,得φ=k π-3π4,k ∈Z .又∵|φ|<π2,∴φ=π4.由A tan (2×0+π4)=1,知A=1,∴f (x )=tan (2x +π4),∴f (π24)=tan (2×π24+π4)=tan π3=√3.【答案】√38.(2017百校联盟)已知函数f (x )=98cos2x+16-sin 2x ,则当f (x )取最小值时cos2x 的值为 .【解析】f (x )=98cos2x+16+cos2x -12=98cos2x+2+cos2x+22-32,∵cos2x+2>0,∴f (x )≥2×34-32=0,当且仅当98cos2x+2=cos2x+22,即cos2x=-12时等号成立.【答案】-129.(2017辽宁四模)已知函数f (x )=sin (ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象过点(0,12),若f (x )≤f (π12)对x ∈R 恒成立,则ω的最小值为( ).A.2B.4C.10D.16【解析】函数图象过点(0,12),则sin φ=12.结合|φ|<π2可得,φ=π6,由f (x )≤f (π12)对x ∈R 恒成立,可得π12×ω+π6=2k π+π2(k ∈Z ),解得ω=24k+4(k ∈Z ),令k=0可得ωmin =4.【答案】B10.(2017宁夏四模)已知函数f (x )=sin (ωx +π3)-12cos (ωx -7π6)(ω>0),满足f (-π6)=34,则满足题意的ω最小值为( ).A.13B.12C.1D.2【解析】由题意可得,f (x )=sin (ωx +π3)-12cos (π2+ωx +π3)=sin (ωx +π3)+12sin (ωx +π3)=32sin (ωx +π3),则f (-π6)=32sin (-π6ω+π3)=34,∴-π6ω+π3=2k π+π6或-π6ω+π3=2k π+5π6(k ∈Z ),则ω=1-12k 或ω=-12k-3(k ∈Z ).结合ω>0可得,令k=0,ωmin =1. 【答案】C11.(2017娄底二模)已知函数f (x )=2sin (ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2),f (α)=-1,f (β)=1,若|α-β|的最小值为3π4,且f (x )的图象关于点(π4,1)对称,则函数f (x )的单调递增区间是( ).A.[-π2+2kπ,π+2kπ],k ∈ZB.[-π2+3kπ,π+3kπ],k ∈ZC.[π+2kπ,5π2+2kπ],k ∈Z D.[π+3kπ,5π2+3kπ],k ∈Z 【解析】由题设知f (x )的周期T=4|α-β|min =3π,所以ω=2πT =23,又f (x )的图象关于点(π4,1)对称,从而f (π4)=1,即sin (23×π4+φ)=0,因为|φ|<π2,所以φ=-π6,故f (x )=2sin (23x -π6)+1.由-π2+2k π≤23x-π6≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π2+3k π≤x ≤π+3k π,k ∈Z ,故选B.【答案】B12.(2017马鞍山三模)已知函数y=A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则φ= .【解析】由图象知sin φ=-12⇒φ=2k π-5π6(k ∈Z ),又3T 4<5π6<T ⇒5π6<T<10π9⇒95<ω<125. 再由sin (5π6ω+φ)=0⇒5π6ω+φ=2k π+π(k ∈Z )⇒φ∈(2kπ-π,2kπ-π2),解得φ=-5π6.【答案】-5π613.(2017盐城二模)已知a>0,函数f(x)=-2a sin(2x+π6)+2a+b,当x∈[0,π2]时,-5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值;(2)设g(x)=f(x+π2)且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.【解析】(1)∵x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6].∴sin(2x+π6)∈[-12,1],∴-2a sin(2x+π6)∈[-2a,a],∴f(x)∈[b,3a+b].又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得,f(x)=-4sin(2x+π6)-1,g(x)=f(x+π2)=-4sin(2x+7π6)-1=4sin(2x+π6)-1.又由lg g(x)>0,得g(x)>1,∴4sin(2x+π6)-1>1,∴sin(2x+π6)>12,∴2kπ+π6<2x+π6<2kπ+5π6,k∈Z,其中当2kπ+π6<2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ<x≤kπ+π6,k∈Z,∴g(x)的单调递增区间为(kπ,kπ+π6],k∈Z.又∵当2kπ+π2<2x+π6<2kπ+5π6,k∈Z时,g(x)单调递减,即kπ+π6<x<kπ+π3,k∈Z.∴g(x)的单调递减区间为(kπ+π6,kπ+π3),k∈Z.§7.3函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用一y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质1.定义域:R;2.值域:[-A,A];;3.周期:T=2πω4.对称轴方程:;5.对称中心坐标:(kπ-φ,0)(k∈Z);ω6.单调递增区间:,单调递减区间:.二图象的变换函数y=sin x的图象经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图象的步骤如下:把函数y=sin (3x +π3)的图象向右平移π4个单位长度,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得的函数解析式为 .已知简谐运动f (x )=A sin (ωx+φ)(|φ|<π2)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为 .求函数f (x )=cos (2x +π6)的单调递减区间.知识清单一、4.x=kπ+π2-φω(k ∈Z )6.[2kπ-π2-φω,2kπ+π2-φω](k ∈Z )[2kπ+π2-φω,2kπ+3π2-φω](k ∈Z )二、|φ| |φω|基础训练1.【解析】将原函数的图象向右平移π4个单位长度,得到函数y=sin (3x -5π12)的图象,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12,得到函数y=sin (6x -5π12)的图象.【答案】y=sin (6x -5π12) 2.【解析】由图象易知A=2,T=6,∴ω=π3,又图象过点(1,2),∴sin (π3×1+φ)=1,∴φ+π3=2k π+π2,k ∈Z ,又|φ|<π2,∴φ=π6.【答案】6和π63.【解析】由不等式2k π≤2x+π6≤2k π+π(k ∈Z )得k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z ),所以函数f (x )的单调递减区间为[kπ-π12,kπ+5π12](k ∈Z ).题型一函数y=A sin (ωx+φ)的图象及变换【例1】已知函数y=2sin (2x +π3),(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(2) 写出该函数的振幅、周期、初相,说明y=2sin (2x +π3)的图象可由y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到.【解析】(1)令X=2x+π3,则y=2sin (2x +π3)=2sin X.列表,并描点画出图象:x-π6π12 π3 7π12 5π6X 0 π2π 3π22πy=sin X0 1 0 -1 0y=2sin (2x +π3)0 2 0 -2 0(2)振幅A=2,周期T=2π2=π,初相φ=π3.(法一)把y=sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度,得到y=sin (x +π3)的图象;再把y=sin (x +π3)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin (2x +π3)的图象;最后把y=sin (2x +π3)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin (2x +π3)的图象.(法二)把y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin2x 的图象;再把y=sin2x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度,得到y=sin2(x +π6)=sin (2x +π3)的图象;最后把y=sin (2x +π3)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin (2x +π3)的图象.【变式训练1】(2017厦门第二次质检)将函数f (x )=cos (ωx -π2)(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度,所得的图象经过点(3π4,0),则ω的最小值是( ).A.13B.1C.53D.2【解析】f (x )=sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度后得g (x )=sin (x -π4)ω的图象,故g (3π4)=sin π2ω=0,所以π2ω=k π,k ∈Z ,即ω=2k ,当k=1时,ω取最小值2.【答案】D题型二求函数y=A sin (ωx+φ)的解析式【例2】(2017河北石家庄二模)已知函数f (x )=sin (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f (0)的值为 .【解析】由图知T=2π,∴ω=1,则f (x )=sin (x+φ),且f (π4)=0,∴π4+φ=k π,∴φ=k π-π4,∴φ=3π4,∴f (x )=sin (x +3π4),∴f (0)=sin 3π4=√22. 【答案】√22【变式训练2】已知函数f (x )=A sin (ωx+φ)(A >0,|φ|<π2,ω>0)的图象的一部分如图所示,则该函数的解析式为 .【解析】观察图象可知,A=2且点(0,1)在图象上,∴1=2sin (ω·0+φ),即sin φ=12.∵|φ|<π2,∴φ=π6.又∵11π12是函数的一个零点,且是函数图象递增穿过x 轴形成的零点,∴11π12ω+π6=2π,∴ω=2,∴f (x )=2sin (2x +π6).【答案】f(x)=2sin(2x+π6)题型三三角函数模型的应用【例3】如图,一个水轮的半径为4m,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟按逆时针转动5圈,若当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?【解析】(1)如图所示,建立平面直角坐标系,设角φ(-π2<φ<0)是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为5×2π60=π6 ,所以OP在时间t(s)内所转过的角为π6t.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sin(π6t+φ)+2.当t=0时,z=0,得sin φ=-12,即φ=-π6.故所求的函数关系式为z=4sin (π6t -π6)+2.(2)令z=4sin (π6t -π6)+2=6,得sin (π6t -π6)=1.令π6t-π6=π2,得t=4,故点P 第一次到达最高点大约需要4s .【变式训练3】如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数y=A sin (ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.【解析】(1)由图可知这段时间的最大温差是30-10=20(℃).(2)由图可知从6时到14时的图象是函数y=A sin (ωx+φ)+b 的半个周期的图象, 所以12×2πω=14-6,解得ω=π8.由图可知A=12×(30-10)=10,b=12×(30+10)=20,故y=10sin (π8x +φ)+20.。

全国版高考数学(理)一轮复习必刷题：第七单元三角函数

畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643第七单元三角函数考点一三角函数求值1.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则cos(α-β)= .【解析】∵α与β关于y 轴对称,∴α+β=π+2k π(k ∈Z),则sin α=sin β=13,∴|cosα|=2√23,cos α=-cos β,∴cos(α-β)=-cos 2α+sin 2α=-79.【答案】-792.(2016年全国Ⅲ卷) 若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ).A .6425B .4825C .1D .1625【解析】cos 2α+2sin 2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=1+4×341+(34)2=6425.【答案】A3.(2016年上海卷)方程3sin x=1+cos 2x 在区间[0,2π]上的解为 .【解析】由3sin x=1+cos 2x ,得3sin x=2-2sin 2x ,所以2sin 2x+3sin x-2=0,解得sin x=12或sin x=-2(舍去),所以原方程在区间[0,2π]上的解为π6或5π6.【答案】π或5π考点二三角函数的图象与性质4.(2017年全国Ⅰ卷)已知曲线C 1:y=cos x ,C 2:y=sin (2x +2π3),则下面结论正确的是( ).A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2【解析】因为C 2:y=sin (2x +2π3)=sin (2x +π2+π6)=cos (2x +π6),所以只需把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再向左平移π12个单位长度,即得到曲线C 2.【答案】D5.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f (x )=cos (x +π3),则下列结论错误的是( ).A .f (x )的一个周期为-2πB .y=f (x )的图象关于直线x=8π3对称畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643C .f (x+π)的一个零点为x=π6 D .f (x )在(π2,π)上单调递减【解析】函数f (x )的周期为2k π(k ∈Z),故A 正确;由x+π3=k π(k ∈Z),得x=k π-π3(k ∈Z),当k=3时,x=8π3,故B 正确; f (x+π)=-cos (x +π3),则当x=π6时,f (x+π)=0,故C 正确;函数f (x )的图象是由函数y=cos x 的图象向左平移π3个单位长度得到的,故函数f (x )在(-π3,2π3)上单调递减,在(2π3,5π3)上单调递增,故D 错.【答案】D6.(2017年全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin 2x+√3cos x-34(x ∈[0,π2])的最大值是 .【解析】f (x )=sin 2x+√3cos x-34=1-cos 2x+√3cos x-34=-(cosx -√32)2+1,∵x ∈[0,π2],∴cos x ∈[0,1],∴f (x )的最大值为1.【答案】17.(2017年天津卷)设函数f (x )=2sin(ωx+φ),x ∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f (5π8)=2,f (11π8)=0,且f (x )的最小正周期大于2π,则( ).A.ω=23,φ=π12 B .ω=23,φ=-11π12 C .ω=13,φ=-11π24 D .ω=13,φ=7π24【解析】由题意知,函数f (x )的最小正周期为T=4(11π8-5π8)=3π,∴ω=23,即f (x )=2sin (23x +φ).∵|φ|<π,f (5π8)=2,∴φ=π12. 【答案】A8.(2016年全国Ⅱ卷)若将函数y=2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ).A .x=kπ2-π6(k ∈Z) B .x=kπ2+π6(k ∈Z) C .x=kπ2-π12(k ∈Z) D .x=kπ2+π12(k ∈Z)【解析】平移后的图象对应的解析式为y=2sin 2(x +π12),令2(x +π12)=k π+π2(k ∈Z),得对称轴方程为x=kπ2+π6(k ∈Z).【答案】B9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π4为f (x )的零点,x=π4为y=f (x )图象的对称轴,且f (x )在(π18,5π36)上单调,则ω的最大值为( ).A.11 B .9 C .7 D .5【解析】由已知可得-π4ω+φ=k π,k ∈Z, ①π4ω+φ=m π+π2,m ∈Z, ②畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643由①+②,得2φ=(k+m )π+π2.因为|φ|≤π2,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±π4. 由①-②,得ω=2(m-k )+1,即ω为正奇数.因为函数f (x )在区间(π18,5π36)上单调,所以只要该区间位于函数f (x )图象的两条相邻对称轴之间即可,且5π36-π18≤12×2πω,即ω≤12.①当φ=π4时,f (x )=sin (ωx +π4),则k π-π2≤π18ω+π4且5π36ω+π4≤k π+π2,k ∈Z,解得36k -272≤ω≤36k+95.由于ω≤12,故k 最大取1,此时4.5≤ω≤9,故ω的最大值为9.②当φ=-π4时,f (x )=sin (ωx -π4),则k π-π2≤π18ω-π4且5π36ω-π4≤k π+π2,k ∈Z,解得36k -92≤ω≤36k+275.由于ω≤12,故k 最大取0,此时ω≤275,故ω的最大值为5. 综上可知,ω的最大值为9. 【答案】B高频考点:三角函数的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式. 命题特点:1.三角函数的图象和性质是高考考查的重点内容,而同角三角函数的基本关系式和诱导公式一般与性质和恒等变换相结合考查;2.关于函数图象的平移考查得比较多,而函数图象的性质考查得比较全面;3.以容易题和中档题为主,但考查的内容比较灵活.§7.1 三角函数的概念、同角三角函数关系及诱导公式一角的概念1.任意角:(1)定义:角可以看成平面内的绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 .(2)分类:角按旋转方向分为、和 .2.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k ·360° +α,k ∈Z}.3.象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.二弧度制1.角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1° =π180 rad,1 rad =(180π)° .2.扇形的弧长公式:l=|α|r ,扇形的面积公式:S=12lr=12|α|r 2.三任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ,y )时,sin α= ,cos α= ,tan α=yx (x ≠0).四同角三角函数的基本关系1.平方关系: .畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP邀请码NJBHKZO，高佣联盟官方正版APP邀请码25486432.商数关系:.五诱导公式组数一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α-sinα-sinαsin α余弦cos α-cosαcosα-cosα正切tan αtanα-tanα-tanα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限☞左学右考已知点P(sin α,cos α)在第二象限,则角α的终边在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2π3+tan 225°=().A.12B.-12C.32D.-32已知α∈(-π,-π2),且sin α=-12,则cos α等于().A.-12B.12C.-√32D.√32已知tan(2017π+α)=12,则cosα-3sinα2sinα+cosα等于().A.-2B.12C.-23D.-14在平面直角坐标系中,角α的终边过点P(2,1),则cos2α+sin 2α的值为.已知一扇形的圆心角为α(0<α<2π),所在圆的半径为R.(1)若α=π3,R=10 cm,求扇形的弧长及面积;(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大?知识清单畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643一、1.(1)一条射线图形 (2)正角负角零角三、y x四、1.sin 2α+cos 2α=1 2.sinαcosα=tan α 五、cos α cos α sin α -sin α 基础训练1.【解析】由题意得{sinα<0,cosα>0,所以角α的终边在第四象限,故选D .【答案】D 2.【解析】cos 2π3+tan 225° =-12+1=12. 【答案】A3.【解析】|cosα|=2α=√1−(-12)2=√32,∵α∈(-π,-π2),∴cos α<0,∴cosα=-√32,故选C . 【答案】C4.【解析】tan(2017π+α)=tan α=12,所以cosα-3sin α2sinα+cosα=1−3tanα2tanα+1=-14,故选D . 【答案】D5.【解析】∵平面直角坐标系中,角α终边过点P (2,1),∴x=2,y=1,r=|OP|=√5,∴cosα=x r =√5=2√55,sin α=y r =√5=√55,则cos 2α+sin 2α=45+2sin αcos α=45+45=85.【答案】856.【解析】(1)设弧长为l ,扇形面积为S , 则α=π3,R=10,l=π3×10=10π3cm,S=12×10π3×10=50π3cm 2.(2)(法一)扇形周长C=2R+l=2R+αR ,α=CR -2,S 扇=12α·R 2=12(C R-2)R 2=12CR-R 2=-(R 2-C 2R)=-(R -C4)2+C 216,∴当R=C 4时,扇形面积取最大值C 216,此时α=CR -2=2. (法二)扇形周长C=2R+l=2R+αR ,∴R=C2+α.∴S 扇=12α·R 2=12α·(C2+α)2=C 22α·14+4α+α2=C 22·1α+4α+4≤C 216.当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积取最大值C216.题型一任意角的三角函数【例1】已知角α的终边经过点P (x ,-√2)(x ≠0),且cos α=√55x ,则√5sin α+1tanα= .【解析】∵P (x ,-√2)(x ≠0),∴点P 到原点的距离r=√x 2+2. 又cos α=√55x ,∴cos α=√=√55x.∵x ≠0,∴x=±√∴r=√5. 当x=√3时,√5sin α+1tanα=-2√2+√62;畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643当x=-√时,√α+1tanα=-2√2-√62.【答案】-2√2±√62【变式训练1】已知角2α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边过点(-1,√3),2α∈[2π,4π),则sin α等于( ).A.-12 B .12 C .-√32 D .23【解析】由题意得,角2α的终边在第二象限且tan 2α=-√3,∴2α=2π+2π3,即α=π+π3,∴sin α=-√32.【答案】C题型二扇形的弧长、面积公式的应用【例2】已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.(1)若α=60°,R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积. (2)若扇形的周长为4,求当α为多少弧度时,该扇形有最大面积? 【解析】(1)设弧长为l ,弓形面积为S 弓,则α=60° =π3,l=π3×10=10π3,S 弓=S 扇-S △=12×10π3×10-12×102×sin π3=50π3-50√32=50(π3-√32).(2)扇形周长2R+l=2R+αR=4,∴R=4α+2,∴S 扇=12αR 2=12α·(4α+2)2=8α4+4α+α=84+α+4α≤1.当且仅当α=4α,即α=2时,扇形面积有最大值1.【变式训练2】一扇形的周长为20,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?【解析】设扇形的半径为r ,弧长为l ,则l+2r=20,即l=20-2r (0<r<10).∴扇形的面积S=12lr=12(20-2r )r=-r 2+10r=-(r-5)2+25. ∴当r=5时,S 有最大值25, 此时l=10,α=lr =2 rad.∴当α=2 rad 时,扇形的面积取最大值.题型三同角三角函数基本关系式的应用【例3】在△ABC 中,sin A+cos A=15.(1)求sin A cos A 的值; (2)求tan A 的值.【解析】(1)∵sin A+cos A=15, ①∴两边平方得1+2sin A cos A=125, ∴sin A cos A=-1225.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643(2)由(1)得sin A cos A=-1225<0, 又0<A<π,∴cos A<0.∵(sin A-cos A )2=1-2sin A cos A=1+2425=4925, 又sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=75. ② 由①②可得sin A=45,cos A=-35,∴tan A=sinA cosA =45-35=-43.【变式训练3】(1)已知tan α=2,则sin 2α+sin αcos α-2cos 2α= . (2)已知sin 2α=3sin 2β,tan α=2tan β,则cos 2α= . 【解析】(1)sin 2α+sin αcos α-2cos 2α =sin 2α+sinαcosα-2co s 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanα-2tan 2α+1=45.(2)∵sin 2α=3sin 2β, ① tan 2α=4tan 2β, ②由①÷②得,4cos 2α=3cos 2β, ③ 由①+③得,sin 2α+4cos 2α=3,∴cos 2α=23. 【答案】(1)45 (2)23题型四三角函数诱导公式的应用【例4】已知sin α,1cos(θ+π6)分别是方程5x 2-12x-9=0的两根.(1)求cos (5π6-θ)和sin (θ+2π3)的值;(2)若3π<α<7π2,求sin(5π−α)cos(2π-α)cos (3π2-α)-si n 2αcos(π2-α)sin(−π−α)的值.【解析】∵sin α,1cos(θ+π6)分别是方程5x 2-12x-9=(5x+3)(x-3)=0的两根,∴sin α=-35,1cos(θ+π6)=3,∴cos (θ+π6)=13.(1)cos (5π6-θ)=cos [π−(π6+θ)]=-cos (π6+θ)=-13, sin (θ+2π3)=sin [π2+(θ+π6)]=cos (θ+π6)=13. (2)∵3π<α<7π2,∴α是第三象限角.∵sin α=-35,∴cos α=-45.sin(5π−α)cos(2π-α)cos (3π2-α)-si n 2αcos (π2-α)sin(−π−α)=-si n 2αcosα-si n 2αsin 2α=-1-cos α =-15.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【变式训练4】已知f (π12+x)=sin(π−x )cos(2π-x )tan(π-x )cos(-π2+x).(1)求f (-9π4)的值.(2)若f (x )=14,求sin (x +23π12)+cos (x +17π12)的值.【解析】f (π12+x)=sinx ·cos x ·(-tan x )sinx=-cos x ·tan x=-sin x.(1)令π12+x=-9π4,则x=-9π4-π12=-7π3, ∴f (-9π4)=-sin (-7π3)=sin π3=√32. (2)∵f (x )=-sin (x -π12)=14,∴sin (x -π12)=-14, ∴sin (x +23π12)+cos (x +17π12)=sin [2π+(x -π12)]+cos [π+(x +5π12)] =sin (x -π12)-cos (x +5π12) =sin (x -π12)-cos [π2+(x -π12)] =2sin (x -π12)=-12.方法一数形结合思想在三角函数线中的应用当给出一个象限角时,欲判断该角的半角或倍角的符号或比较它们三个三角函数值的大小时,由于没有给出具体的角度,所以用图形可以更直观地表示,可先画出三角函数线,借助三角函数线比较大小.【突破训练1】设θ是第二象限角,试比较sin θ2,cos θ2,tan θ2的大小. 【解析】∵θ是第二象限角,∴π2+2k π<θ<π+2k π,k ∈Z, ∴π4+k π<θ2<π2+k π,k ∈Z, ∴θ2是第一象限角或第三象限角. 如图,结合单位圆上的三角函数线可得,①当θ2是第一象限角时, sin θ2=AB ,cos θ2=OA ,tan θ2=CT , 故cos θ2<sin θ2<tan θ2.②当θ2是第三象限角时, sin θ2=EF ,cos θ2=OE ,tan θ2=CT , 故sin θ2<cos θ2<tan θ2.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643综上可得,当θ2在第一象限时,cos θ2<sin θ2<tan θ2; 当θ2在第三象限时,sin θ2<cos θ2<tan θ2.方法二分类讨论思想在三角函数化简中的应用角中含有变量n ,因而需对n 的奇偶进行分类讨论.利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分看作一个整体.【突破训练2】求sin (4n -14π−α)+cos (4n+14π−α)(n ∈Z)的值.【解析】当n 为偶数时,设n=2k (k ∈Z),则原式=sin (8k -14π−α)+cos (8k+14π−α)=sin [2kπ+(-π4-α)]+cos [2kπ+(π4-α)] =sin (-π4-α)+cos (π4-α) =-sin (π4+α)+cos [π2-(π4+α)] =-sin (π4+α)+sin (π4+α)=0; 当n 为奇数时,设n=2k+1(k ∈Z),则原式=sin (8k+34π−α)+cos (8k+54π−α)=sin [2kπ+(3π4-α)]+cos [2kπ+(5π4-α)] =sin (3π4-α)+cos (5π4-α)=sin [π−(π4+α)]+cos [π+(π4-α)]=sin (π4+α)-cos (π4-α) =sin (π4+α)-cos [π2-(π4+α)] =sin (π4+α)-sin (π4+α)=0. 故sin (4n -14π−α)+cos (4n+14π−α)=0.1.(2017日照市三模)若sin(π-α)=13,且π2≤α≤π,则cos α的值为( ).A.2√23B .-2√23C .4√29D.-4√29【解析】因为sin(π-α)=sin α=13,π2≤α≤π,所以cos α=-√1−sin 2α=-2√23.【答案】B2.(2017江西师大附中三模)已知sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,则sinθ+cosθsinθ-cos θ=( ).A.3 B .-3C.13D.-13【解析】因为sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,所以-sin θ-2cos θ=0,可得tan θ=-2,所以sinθ+cosθsinθ-cos θ=tanθ+1tanθ-1=-2+1-2-1=13,故选C .【答案】C3.(2017江西八校联考)已知cos α-sin α=√24,则sin 2α的值为( ).A.18B.-18C.78D.-78畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】∵cos α-sin α=√24,∴1-sin 2α=18,∴sin 2α=78. 【答案】C4.(2017临城质检)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,若P (4,y )是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y=( ).A.-8B.-4C.2D.4【解析】因为sin θ=22=-2√55,所以y<0,且y 2=64,所以y=-8.【答案】A5.(2017宁德三模)已知sin (α+π6)=45,则cos (α-π3)的值为( ).A.35B.45C.-45D.-35【解析】cos (α-π3)=cos (α+π6-π2)=sin (α+π6)=45,故选B. 【答案】B6.(2017南昌二模)已知sin θ+2cos θ=0,则1+sin2θcos 2θ= .【解析】由sin θ+2cos θ=0,得sin θ=-2cos θ, 则1+sin2θcos 2θ=sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθcos 2θ=1.【答案】17. (2016湖北二模)设f (x )={sinπx ,x <1,√2f(x −2),x ≥1,则f (-236)+f (94)= .【解析】f (-236)+f (94)=sin (-23π6)+√2f (94-2)=12+√2sin π4=32.【答案】328.(2017郴州市四检)已知3cos 2θ=tan θ+3,且θ≠k π(k ∈Z),则sin[2(π-θ)]= .【解析】由题意可得3cos 2θ-3=tan θ,即-3sin 2θ=sinθcosθ,因为θ≠k π(k ∈Z),所以sin θcos θ=-13,即sin 2θ=-23,所以sin[2(π-θ)]=-sin 2θ=23.【答案】239.(2016许昌二模)已知点P (sin α-cos α,tan α)在第二象限,则α的一个变化区间是( ).A.(-π,-π2) B.(-π4,π4) C.(-3π4,-π2)D.(π2,π)【解析】因为点P (sin α-cos α,tan α)在第二象限,所以{sinα-cos α<0,tanα>0,根据三角函数的性质可知选项C 正确.【答案】C10.(2016柳州二模)若角α满足α=2kπ3+π6(k ∈Z),则α的终边一定在( ).A.第一象限或第二象限或第三象限B.第一象限或第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D.第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上【解析】当k=0时,α=π6,终边位于第一象限, 当k=1时,α=5π6,终边位于第二象限, 当k=2时,α=3π2,终边位于y 轴的非正半轴上, 当k=3时,α=2π+π6,终边位于第一象限.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643综上可知,α的终边一定在第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上.故选D . 【答案】D11.(2016上饶月考)当0<x<π4时,函数f (x )=cos 2xcosxsinx -si n 2x 的最小值是( ).A.14 B.12 C.2 D.4【解析】当0<x<π4时,0<tan x<1,f (x )=cos 2xcosxsinx -si n x =1tanx -ta n x , 设t=tan x ,则0<t<1,y=1t -t 2=1t (1-t )≥4.当且仅当t=1-t ,即t=12时等号成立. 【答案】D12.(2017金华质检)若2tan α=3tan2π5,则cos(α-π10)sin(α-2π5)= .【解析】cos(α-π10)sin(α-2π5)=sin(α+2π5)sin(α-2π5)=sinαcos2π5+cosαsin 2π5sinαcos 2π5-cos αsin2π5=tanα+tan2π5tanα-tan2π5=5.【答案】513.(2016西宁联考)已知A ,B ,C 是三角形的内角,√3sin A ,-cos A 分别是方程x 2-x+2a=0的两根. (1)求角A.(2)若1+2sinBcosBcos 2B−sin 2B =-3,求tan B.【解析】(1)由已知可得,√3sin A-cos A=1, ① 又sin 2A+cos 2A=1,∴sin 2A+(√3sin A-1)2=1, 即4sin 2A-2√3sin A=0,得sin A=0(舍去)或sin A=√32,∴A=π3或A=2π3, 将A=π3或A=2π3代入①知A=2π3时等式不成立,∴A=π3.(2)由1+2sinBcosBcos 2B−sin 2B =-3,得sin 2B-sin B cos B-2cos 2B=0.∵cos B ≠0,∴tan 2B-tan B-2=0, ∴tan B=2或tan B=-1.当tan B=-1时,cos 2B-sin 2B=0,不合题意,舍去,∴tan B=2.§7.2 三角函数的图象与性质一用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sin x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点分别是、(π2,-1)、 (3π2,-1)、 .畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643二三角函数的图象和性质(表中k ∈Z)函数性质 y=sin x y=cos x y=tan x定义域RR图象值域[-1,1][-1,1]R 对称轴对称中心 (k π,0) 周期2π 2π π 单调性增区间为减区间为增区间为减区间为增区间为无减区间奇偶性奇函数偶函数奇函数☞ 左学右考设点P 是函数f (x )=sin ωx (ω>0)的图象C的一个对称中心,若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π,则ω= .函数y=2-3cos (x +π4)的最大值为 ,此时x= .函数f (x )=sin (x -π4)的图象的一条对称轴是( ).A.x=π4 B.x=π2 C.x=-π4 D.x=-π2知识清单一、(0,0) (π,0) (2π,0)二、{x|x ≠kπ+π2} x=k π+π2 x=k π (kπ+π2,0) (kπ2,0) [2kπ−π2,2k π+π2] [2kπ+π2,2k π+3π2] [2kπ−π,2kπ] [2kπ,2kπ+π] (kπ−π2,k π+π2) 基础训练1.【解析】由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14,故f (x )的最小正周期为T=4×π3=4π3,∴ω=2πT =32. 【答案】322.【解析】当cos (x +π4)=-1时,函数y=2-3cos (x +π4)取得最大值5,此时x+π4=π+2k π(k ∈Z),从而x=34π+2k π,k ∈Z . 【答案】534π+2k π,k ∈Z畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码25486433.【解析】∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故令x-π4=k π+π2,k ∈Z,∴x=k π+3π4,k ∈Z .取k=-1,则x=-π4. 【答案】C题型一三角函数的定义域【例1】函数f (x )=lg(3+2x-x 2)+√sinx 的定义域为 .【解析】由题意得{3+2x -x 2>0,sinx ≥0,即{-1<x <3,2kπ≤x ≤2kπ+π(k ∈Z), 解得0≤x<3,所以函数f (x )的定义域为[0,3). 【答案】[0,3)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三【变式训练1】函数y=√sin2x -cos2x 的定义域为 .【解析】由题意得sin 2x-cos 2x ≥0,即√2sin (2x -π4)≥0,则2k π≤2x-π4≤2k π+π,解得k π+π8≤x ≤k π+5π8(k ∈Z),所以函数的定义域为{x|kπ+π8≤x ≤kπ+5π8,k ∈Z }.【答案】{x|kπ+π8≤x ≤kπ+5π8,k ∈Z }题型二三角函数的值域【例2】求函数f (x )=cos 2x+sin x+14在区间[-π6,π4]上的最大值与最小值.【解析】f (x )=cos 2x+sin x+14=1-sin 2x+sin x+14=-(sinx -12)2+32.∵x ∈[-π6,π4],∴sin x ∈[-12,√22],∴当sin x=-12时,函数f (x )取最小值12, 当sin x=12时,函数f (x )取最大值32.【变式训练2】已知函数f (x )=cos (2x -π3)+2sin (x -π4)·sin (x +π4),求函数f (x )在区间[-π12,π2]上的最大值与最小值.【解析】由题意得f (x )=12cos 2x+√32sin 2x+(sin x-cos x )·(sin x+cos x ) =12cos 2x+√32sin 2x+sin 2x-cos 2x =12cos 2x+√32sin 2x-cos 2x=sin (2x -π6). 又x ∈[-π12,π2],∴2x-π6∈[-π3,5π6],畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643∴sin (2x -π6)∈[-√32,1]. 故当x=π3时,f (x )取最大值1; 当x=-π12时,f (x )取最小值-√32.题型三三角函数的单调性与周期性【例3】(2017北京海淀区高三适应性考试)已知函数f (x )=4cos ωx ·sin (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f (x )的单调递增区间.【解析】(1)f (x )=4cos ωx ·sin (ωx +π4) =2√2sin ωx ·cos ωx+2√2cos 2ωx=√2(sin 2ωx+cos 2ωx )+√2=2sin (2ωx +π4)+√2. 因为f (x )的最小正周期为π,且ω>0, 所以2π2ω=π,故ω=1.(2)由(1)知f (x )=2sin (2x +π4)+√2,令-π2+2k π≤2x+π4≤π2+2k π,k ∈Z, 所以-3π4+2k π≤2x ≤π4+2k π,k ∈Z, 所以-3π8+k π≤x ≤π8+k π,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[-3π8+kπ,π8+kπ],k ∈Z .先将y=f (x )化成y=A sin(ωx+φ)或y=A cos(ωx+φ)(其中A ≠0,ω>0)形式,再【变式训练3】已知函数f (x )=sin ωx (cosωx -√+√32(ω>0)的最小正周期为π2.(1)求ω的值;(2)求函数f (x )的单调递减区间.【解析】f (x )=sin ωx (cosωx -√3sinωx)+√32 =sin ωx ·cos ωx-√3sin 2ωx+√32 =12sin 2ωx+√32cos 2ωx =sin (2ωx +π3).(1)∵函数f (x )的最小正周期为π2,∴2π2ω=π2,解得ω=2.(2)由(1)知f (x )=sin (4x +π3), 令2k π+π2≤4x+π3≤2k π+3π2,k ∈Z, 得2k π+π6≤4x ≤2k π+7π6,k ∈Z, ∴kπ2+π24≤x ≤kπ2+7π24,k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间是[kπ2+π24,kπ2+7π24],k ∈Z .畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643题型四三角函数的对称性与奇偶性【例4】设函数 f (x )=sin 2x+√3cos 2x (x ∈R).(1)若函数y=f (x+φ)(|φ|≤π2)的图象关于直线x=0对称,求φ的值; (2)若函数y=f (x +π+6φ12)的图象关于点(4π3,0)中心对称,求|φ|的最小值.【解析】f (x )=sin 2x+√3cos 2x=2sin (2x +π3).(1)∵y=f (x+φ)=2sin (2x +π3+2φ)的图象关于直线x=0对称,∴f (x+φ)为偶函数,∴π3+2φ=π2+k π,k ∈Z,则φ=kπ2+π12,k ∈Z . ∵|φ|≤π2,∴φ=-5π12或φ=π12. (2)∵y=f (x +π+6φ12)=2sin (2x +φ+π2)=2cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称,∴2cos (2×4π3+φ)=2cos (2π3+φ+2π)=2cos (2π3+φ)=0,∴2π3+φ=k π+π2,k ∈Z,∴φ=k π-π6,k ∈Z, 取k=0,得|φ|的最小值为π6.【变式训练4】设函数f (x )=2sin(2x+φ)(-π<φ<0). (1)若f (π4-x )=f (x ),求φ;(2)若函数y=f (x )是奇函数,求函数g (x )=cos (2x +32φ)的单调递减区间. 【解析】(1)∵f (π4-x )=f (x ),∴函数f (x )的图象关于直线x=π8对称, 令2×π8+φ=k π+π2,k ∈Z,则φ=k π+π4,k ∈Z, 又-π<φ<0,则-54<k<-14,k ∈Z .∴k=-1,则φ=-3π4.(2)∵函数y=f (x )是奇函数,-π<φ<0,∴φ=-π2,∴g (x )=cos (2x -3π4).令2k π≤2x-3π4≤π+2k π,k ∈Z, 可解得3π8+k π≤x ≤7π8+k π,k ∈Z,∴y=g (x )的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ],k ∈Z .畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643方法方程思想在三角函数中的应用此类题目主要解决方程中的参量问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=A sin(ωx+φ)或y=A cos(ωx+φ)的最值,但要注意对参量的符号进行讨论,以便确定函数的单调性,其次由已知列方程求解.【突破训练】已知函数f (x )=sin 2x+2√3sin x cos x+3cos 2x-2. (1)当x ∈[0,π2]时,求函数f (x )的单调递增区间;(2)若函数g (x )=-(1+λ)f 2(x )-2f (x )+1在[-π3,π6]上单调递减,求实数λ的取值范围.【解析】f (x )=sin 2x+2√3sin x cos x+3cos 2x-2 =√3sin 2x+cos 2x=2sin (2x +π6). (1)令-π2+2k π≤2x+π6≤π2+2k π,k ∈Z . 解得2k π-2π3≤2x ≤2k π+π3,k ∈Z, 即k π-π3≤x ≤k π+π6,k ∈Z .∵x ∈[0,π2],∴f (x )的单调递增区间为[0,π6]. (2)由(1)知函数f (x )在[-π3,π6]上单调递增,设f (x )=t ,则-1≤t ≤1,∴k (t )=-(1+λ)t 2-2t+1(-1≤t ≤1),①当λ=-1时,k (t )=-2t+1在[-1,1]上单调递减,即λ=-1符合题意; ②当λ<-1时,-(1+λ)>0,则-11+λ≥1,得-2≤λ<-1;③当λ>-1时,-(1+λ)<0,则-11+λ≤-1,得-1<λ≤0.综上,λ∈[-2,0].1.(2017江西二模)函数y=2sin2(x+3π2)-1是().A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π2的奇函数【解析】∵y=2sin2(x+3π2)-1=-cos(2x+3π)=cos 2x,∴y=2sin2(x+3π2)-1是最小正周期为π的偶函数.【答案】A2.(2017广东联考)函数f(x)=2sin(x2-π8)cos(x2-π8)的图象的一个对称中心可以是().A.(-π,0)B.(-3π4,0) C.(3π2,0) D.(π2,0)【解析】由题意知f(x)=sin(x-π4),令x-π4=kπ(k∈Z),则x=kπ+π4(k∈Z).由k=-1,得x=-3π4,即f(x)=sin(x-π4)的一个对称中心是(-3π4,0).【答案】B3.(2017西宁二模)同时具有性质“①最小正周期是π;②图象关于直线x=π3对称;③在[-π6,π3]上是增函数.”的一个函数为().畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643A.y=sin (x 2+π6) B .y=cos (x 2-π6) C.y=cos (2x +π6) D.y=sin (2x -π6)【解析】根据性质①最小正周期是π,排除选项A 和B;对于选项C,当x=π3时,y=cos (2×π3+π6)=cos5π6=-√32,不是最值,所以排除选项C,故选D. 【答案】D4.(2017沈阳三模)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,|φ|<π2)的图象在y 轴左侧的第一个最高点为(-π6,3),第一个最低点为(-2π3,m ),则函数f (x )的解析式为( ).A.f (x )=3sin (π6-2x ) B.f (x )=3sin (2x -π6) C.f (x )=3sin (π3-2x ) D.f (x )=3sin (2x -π3) 【解析】由题意得A=3,T=2(-π6+2π3)=π,∴ω=±2πT =±2,当ω=-2时,f (x )=3sin(φ-2x ),且过点(-π6,3),则π3+φ=2k π+π2,得φ=π6.当ω=2时,不合题意.故选A .【答案】A5.(2017佳木斯市三模)若函数f (x )=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<π2,两相邻的对称轴的距离为π2,f (π6)为最大值,则函数f (x )在区间[0,π]上的单调递增区间为( ).A.[0,π6]B.[2π3,π]C.[0,π6]和[π3,π] D .[0,π6]和[2π3,π]【解析】∵两相邻的对称轴的距离为π2,∴T 2=π2,解得T=π,∴ω=2.又f (π6)为最大值,令2×π6+φ=π2+2k π,k ∈Z,解得φ=π6+2k π,k ∈Z,令k=0得φ=π6,∴函数f(x)=sin(2x+π6).令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,当k=0时,x∈[-π3,π6],当k=1时,x∈[2π3,7π6],∴f(x)在区间[0,π]上的单调增区间为[0,π6]和[2π3,π].【答案】D6.(2017中卫市二模)函数f(x)=cos 2x+sin(π2+x)的最小值是.【解析】f(x)=cos 2x+sin(π2+x)=2cos2x+cos x-1=2(cosx+14)2-98,故f(x)min=-98.【答案】-987.(2017菏泽联考)已知函数f(x)=A tan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),y=f(x)的部分图象如图所示,则f(π24)=.【解析】由图象知,T=2(3π8-π8)=π2,∴ω=2.由2×3π8+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-3π4,k∈Z.又∵|φ|<π2,∴φ=π4.由A tan(2×0+π4)=1,知A=1,∴f(x)=tan(2x+π4),∴f(π24)=tan(2×π24+π4)=tan π3=√3.【答案】√38.(2017百校联盟)已知函数f(x)=98cos2x+16-sin2x,则当f(x)取最小值时cos 2x的值为.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【解析】f (x )=98cos2x+16+cos2x -12=98cos2x+2+cos2x+22-32,∵cos 2x+2>0,∴f (x )≥2×34-32=0,当且仅当98cos2x+2=cos2x+22,即cos 2x=-12时等号成立.【答案】-129.(2017辽宁四模)已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象过点(0,12),若f (x )≤f (π12)对x ∈R 恒成立,则ω的最小值为( ).A.2B.4C.10D.16【解析】函数图象过点(0,12),则sin φ=12.结合|φ|<π2可得,φ=π6,由f (x )≤f (π12)对x ∈R 恒成立,可得π12×ω+π6=2k π+π2(k ∈Z),解得ω=24k+4(k ∈Z),令k=0可得ωmin =4.【答案】B10.(2017宁夏四模)已知函数f (x )=sin (ωx +π3)-12cos (ωx -7π6)(ω>0),满足f (-π6)=34,则满足题意的ω最小值为( ).A.13B.12C.1D.2【解析】由题意可得,f (x )=sin (ωx +π3)-12cos (π2+ωx +π3)=sin (ωx +π3)+12sin (ωx +π3)=32sin (ωx +π3),则f (-π6)=32sin (-π6ω+π3)=34,∴-π6ω+π3=2k π+π6或-π6ω+π3=2k π+5π6(k ∈Z ),则ω=1-12k 或ω=-12k-3(k ∈Z ).结合ω>0可得,令k=0,ωmin =1. 【答案】C11.(2017娄底二模)已知函数f (x )=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2),f (α)=-1,f (β)=1,若|α-β|的最小值为3π4,且f (x )的图象关于点(π4,1)对称,则函数f (x )的单调递增区间是( ).A.[-π2+2kπ,π+2kπ],k ∈Z B.[-π2+3kπ,π+3kπ],k ∈Z C.[π+2kπ,5π2+2kπ],k ∈Z D.[π+3kπ,5π2+3kπ],k ∈Z【解析】由题设知f (x )的周期T=4|α-β|min =3π,所以ω=2πT =23,又f (x )的图象关于点(π4,1)对称,从而f (π4)=1,即sin (23×π4+φ)=0,因为|φ|<π2,所以φ=-π6,故f (x )=2sin (23x −π6)+1.由-π2+2k π≤23x-π6≤π2+2k π,k ∈Z,得-π2+3k π≤x ≤π+3k π,k ∈Z,故选B.【答案】B12.(2017马鞍山三模)已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则φ= .【解析】由图象知sin φ=-12⇒φ=2k π-5π6(k ∈Z ),又3T 4<5π6<T ⇒5π6<T<10π9⇒95<ω<125.再由sin (5π6ω+φ)=0⇒5π6ω+φ=2k π+π(k ∈Z)⇒φ∈(2kπ−π,2kπ−π2),解得φ=-5π6.畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【答案】-5π613.(2017盐城二模)已知a>0,函数f (x )=-2a sin (2x +π6)+2a+b ,当x ∈[0,π2]时,-5≤f (x )≤1.(1)求常数a ,b 的值;(2)设g (x )=f (x +π2)且lg g (x )>0,求g (x )的单调区间.【解析】(1)∵x ∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6].∴sin (2x +π6)∈[-12,1],∴-2a sin (2x +π6)∈[-2a ,a ],∴f (x )∈[b ,3a+b ]. 又∵-5≤f (x )≤1,∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5. (2)由(1)得,f (x )=-4sin (2x +π6)-1,g (x )=f (x +π2)=-4sin (2x +7π6)-1=4sin (2x +π6)-1. 又由lg g (x )>0,得g (x )>1,∴4sin (2x +π6)-1>1,∴sin (2x +π6)>12, ∴2k π+π6<2x+π6<2k π+5π6,k ∈Z,其中当2k π+π6<2x+π6≤2k π+π2,k ∈Z 时,g (x )单调递增,即k π<x ≤k π+π6,k ∈Z,∴g (x )的单调递增区间为(kπ,kπ+π6],k ∈Z .又∵当2k π+π2<2x+π6<2k π+5π6,k ∈Z 时,g (x )单调递减,即k π+π6<x<k π+π3,k ∈Z .∴g (x )的单调递减区间为(kπ+π6,k π+π3),k ∈Z .§7.3 函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用一 y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质1.定义域:R;2.值域:[-A ,A ];3.周期:T=2πω;4.对称轴方程: ;5.对称中心坐标:(kπ−φω,0)(k ∈Z);6.单调递增区间: , 单调递减区间: .二图象的变换函数y=sin x 的图象经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图象的步骤如下:畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643☞ 左学右考把函数y=sin (3x +π3)的图象向右平移π4个单位长度,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得的函数解析式为 .已知简谐运动f (x )=A sin(ωx+φ)(|φ|<π2)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为 .求函数f (x )=cos (2x +π6)的单调递减区间.知识清单一、4.x=kπ+π2-φω(k ∈Z)6.[2kπ−π2-φω,2kπ+π2-φω](k ∈Z)[2kπ+π2-φω,2kπ+3π2-φω](k ∈Z)二、|φ| |φω| 基础训练1.【解析】将原函数的图象向右平移π4个单位长度,得到函数y=sin (3x -5π12)的图象,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12,得到函数y=sin (6x -5π12)的图象.【答案】y=sin (6x -5π12)2.【解析】由图象易知A=2,T=6,∴ω=π3,又图象过点(1,2),∴sin (π3×1+φ)=1,∴φ+π3=2k π+π2,k ∈Z,又|φ|<π2,∴φ=π6. 【答案】6和π63.【解析】由不等式2k π≤2x+π6≤2k π+π(k ∈Z)得k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z),所以函数f (x )的单调递减区间为[kπ−π12,k π+5π12](k ∈Z).题型一函数y=A sin(ωx+φ)的图象及变换畅享淘宝天猫京东拼多多百万张大额内部优惠券，先领券后购物！手机应用市场/应用宝下载花生日记APP 邀请码NJBHKZO ，高佣联盟官方正版APP 邀请码2548643【例1】已知函数y=2sin (2x +π3),(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(2) 写出该函数的振幅、周期、初相,说明y=2sin (2x +π3)的图象可由y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到.【解析】(1)令X=2x+π3,则y=2sin (2x +π3)=2sin X. 列表,并描点画出图象:x -π6 π12 π3 7π 5π X 0 π π 3π2 2π y=sin X 01-1y=2sin (2x +π3)2 0 -2 0(2)振幅A=2,周期T=2π2=π,初相φ=π3.(法一)把y=sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度,得到y=sin (x +π3)的图象;再把y=sin (x +π3)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin (2x +π3)的图象;最后把y=sin (2x +π3)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin (2x +π3)的图象.(法二)把y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin 2x 的图象;再把y=sin 2x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度,得到y=sin 2(x +π6)=sin (2x +π3)的图象;最后把y=sin (2x +π3)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin (2x +π3)的图象.【变式训练1】(2017厦门第二次质检)将函数f (x )=cos (ωx -π2)(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度,所得的图象经过点(3π4,0),则ω的最小值是( ).A.13 B.1 C.53 D.2【解析】f (x )=sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度后得g (x )=sin (x -π4)ω的图象,故g (3π4)=sin π2ω=0,所以π2ω=k π,k ∈Z,即ω=2k ,当k=1时,ω取最小值2.【答案】D题型二求函数y=A sin(ωx+φ)的解析式【例2】(2017河北石家庄二模)已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f (0)的值为 .。

新教材高中数学第7章三角函数7

第7章三角函数7.3三角函数的图象与性质7.3.1三角函数的周期性课后篇巩固提升必备知识基础练1.函数f(x)=2sin的最小正周期是()B.6πC.D.6π.2.函数f(x)=2cos的最小正周期是()B. C. D.2π3.若函数f(x)=sin的最小正周期是2π,则ω等于()B.-1C.πD.±1T==2π,解得ω=±1.4.函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象的相邻两支截直线y=所得线段长为,则f的值是()B.1C.-1D.答案A解析因为周期T=,ω=4,f=tan π=0.5.定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当2<x≤6时,f(x)=3-x,则f(1)等于()B.-2C.-1D.1f(x+4)=f(x),∴f(1)=f(1+4)=f(5).又当2<x≤6时,f(x)=3-x,∴f(5)=3-5=-2,∴f(1)=-2.y=2tan 2x的最小正周期为.ω=2,∴最小正周期T=.7.求下列函数的周期:(1)y=tan 3x,x∈R;(2)y=cos,x∈R;sin,x∈R.y=tan 3x的周期为T=.(2)y=cos的周期为T==6π.(3)y=sin的周期为T==4π.关键能力提升练8.已知函数y=2cos-ωx(ω<0)的最小正周期是4π,则ω=()B.-C.-1D.-T==4π,所以|ω|=.因为ω<0,所以ω=-.9.函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(1)=2,则f(5)=()B.1C.-2D.-1f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,所以f(x+3)=f(x)且f(-x)=-f(x).又f(1)=2,所以f(5)=f(2+3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.10.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图象是()f(-x)=f(x),得f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,排除A、C.由f(x+2)=f(x),得f(x)的周期为2,故选B.11.设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)=则f=()B.-C.0D.1f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f=f=f.又因为0≤≤π, 所以f=f=sin.12.设函数f(x)=sin x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 020)=()B.-C.D.0答案A解析因为f(x)=sin x的周期T==6,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=336sin+sinπ+sin π+sinπ+sinπ+sin2π+f(336×6+1)+f(336×6+2)+f(336×6+3)+f(336×6+4)=336×0+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=sin+sin+si n+sin.13.(多选)(2021海南三亚调研)若存在常数p>0,使得函数f(x)满足f(px)=f(x∈R),则f(x)的一个正周期可以为()B. C.p D.2ppx-=u,则px=u+,依题意有f=f(u),此式对任意u∈R都成立,而>0且为常数,因此f(x)是一个周期函数,的正整数倍是一个正周期.14.(多选)设函数f(x)=3sin,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以为最小正周期.若f=,则cos α的可取值为()B.-C.D.-f(x)的最小正周期为,ω>0,所以ω==4.所以f(x)=3sin4x+.由f=-3sin α=,sin α=-.则cos α=±.15.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=,则f(x)的最小正周期为;且当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则f(8.5)=.f(x+1)=,∴f(x+2)=f(x),故f(x)的最小正周期为2.则f(8.5)=f(0.5).又x∈[0,1]时,f(x)=2x,则f(0.5)=20.5=,∴f(8.5)=.16.(2021山东青岛调研)设f(x)是定义在R上且最小正周期为的函数,在某一周期上f(x)=则f的,f=f=f.∵0<<π,∴f=sin=sin,即f.f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈时,f(x)=1-sin x,则当x∈时,求f(x)的解析式.x∈时,3π-x∈,因为当x∈时,f(x)=1-sin x,所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sin x.又f(x)是以π为周期的偶函数,所以f(3π-x)=f(-x)=f(x),所以f(x)的解析式为f(x)=1-sin x,x∈.18.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对任意的x≥0,都有f(x+2)=-,且当x∈[0,2π)时,f(x)=log2(x+1),试求f(-2 017)+f(2 019)的值.当x≥0时,f(x+2)=-,∴f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.∴f(2 019)=f(3)=log24=2.又f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,∴f(-2 017)+f(2 019)=1+2=3.学科素养拔高练19.(2021江苏太仓中学月考)已知函数f(x)=lo|sin x|.(1)求其定义域和值域;,若是周期函数,求其最小正周期.∵|sin x|>0,∴sin x≠0,∴x≠kπ,k∈Z.∴函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.∵0<|sin x|≤1,∴lo|sin x|≥0,∴函数的值域为{y|y≥0}.(2)∵f(x+π)=lo|sin(x+π)|=lo|sin x|=f(x),∴函数f(x)是周期函数,且最小正周期是π.。

2019年全国版高考数学必刷题：第七单元三角函数

第七单元三角函数考点一三角函数求值1.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)=.【解析】∵α与β关于y轴对称,∴α+β=π+2kπ(k∈Z),则sinα=sinβ=,∴=,cosα=-cosβ,∴cos(α-β)=-cos2α+sin2α=-.【答案】-2.(2016年全国Ⅲ卷)若tanα=,则cos2α+2sin2α=().A.B.C.1D.【解析】cos2α+2sin2α====.【答案】A3.(2016年上海卷)方程3sin x=1+cos2x在区间[0,2π]上的解为.【解析】由3sin x=1+cos2x,得3sin x=2-2sin2x,所以2sin2x+3sin x-2=0,解得sin x=或sin x=-2(舍去),所以原方程在区间[0,2π]上的解为或.【答案】或考点二三角函数的图象与性质4.(2017年全国Ⅰ卷)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是().A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【解析】因为C2:y=sin=sin=cos,所以只需把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向左平移个单位长度,即得到曲线C2.【答案】D5.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是().A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在上单调递减【解析】函数f(x)的周期为2kπ(k∈Z),故A正确;由x+=kπ(k∈Z),得x=kπ-(k∈Z),当k=3时,x=,故B正确;f(x+π)=-cos,则当x=时,f(x+π)=0,故C正确;函数f(x)的图象是由函数y=cos x的图象向左平移个单位长度得到的,故函数f(x)在-上单调递减,在上单调递增,故D错.【答案】D6.(2017年全国Ⅱ卷)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是.【解析】f(x)=sin2x+cos x-=1-cos2x+cos x-=--+1,∵x∈,∴cos x∈[0,1],∴f(x)的最大值为1.【答案】17.(2017年天津卷)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则().A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=【解析】由题意知,函数f(x)的最小正周期为T=4-=3π,∴ω=,即f(x)=2sin.∵|φ|<π,f=2,∴φ=.【答案】A8.(2016年全国Ⅱ卷)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为().A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)【解析】平移后的图象对应的解析式为y=2sin2,令2=kπ+(k∈Z),得对称轴方程为x=+(k∈Z).【答案】B9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则ω的最大值为().A.11B.9C.7D.5【解析】由已知可得-ω+φ=kπ,k∈Z,①ω+φ=mπ+,m∈Z,②由①+②,得2φ=(k+m)π+.因为|φ|≤,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±.由①-②,得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间上单调,所以只要该区间位于函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间即可,且-≤×,即ω≤12.①当φ=时,f(x)=sin,则kπ-≤ω+且ω+≤kπ+,k∈Z,解得-≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,故ω的最大值为9.②当φ=-时,f(x)=sin-,则kπ-≤ω-且ω-≤kπ+,k∈Z,解得-≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤,故ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.【答案】B高频考点:三角函数的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式.命题特点:1.三角函数的图象和性质是高考考查的重点内容,而同角三角函数的基本关系式和诱导公式一般与性质和恒等变换相结合考查;2.关于函数图象的平移考查得比较多,而函数图象的性质考查得比较全面;3.以容易题和中档题为主,但考查的内容比较灵活.§7.1三角函数的概念、同角三角函数关系及诱导公式一角的概念1.任意角:(1)定义:角可以看成平面内的绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的.(2)分类:角按旋转方向分为、和.2.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.3.象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.二弧度制1.角度制和弧度制的互化:180°=πrad,1°=rad,1rad=°.2.扇形的弧长公式:l=|α|r,扇形的面积公式:S=lr=|α|r2.三任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,sinα=,cosα=,tanα=(x≠0).四同角三角函数的基本关系1.平方关系:.2.商数关系:.五诱导公式已知点P(sinα,cosα)在第二象限,则角α的终边在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限cos+tan225°=().A.B.-C.D.-已知α∈(-π,-),且sinα=-,则cosα等于().A.-B.C.-D.已知tan(2017π+α)=,则-等于().A.-2B.C.-D.-在平面直角坐标系中,角α的终边过点P(2,1),则cos2α+sin2α的值为.已知一扇形的圆心角为α(0<α<2π),所在圆的半径为R.(1)若α=,R=10cm,求扇形的弧长及面积;(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大?知识清单一、1.(1)一条射线图形(2)正角负角零角三、y x四、1.sin2α+cos2α=12.=tanα五、cosαcosαsinα-sinα基础训练1.【解析】由题意得所以角α的终边在第四象限,故选D.【答案】D2.【解析】cos+tan225°=-+1=.【答案】A3.【解析】==-=,∵α∈--,∴cosα<0,∴cosα=-,故选C.【答案】C4.【解析】tan(2017π+α)=tanα=,所以-==-,故选D.【答案】D5.【解析】∵平面直角坐标系中,角α终边过点P(2,1),∴x=2,y=1,r=|OP|=,∴cosα===,sinα===,则cos2α+sin2α=+2sinαcosα=+=.【答案】6.【解析】(1)设弧长为l,扇形面积为S,则α=,R=10,l=×10=cm,S=××10=cm2.(2)(法一)扇形周长C=2R+l=2R+αR,α=-2,S扇=α·R2=-R2=CR-R2=--=--+,∴当R=时,扇形面积取最大值,此时α=-2=2.(法二)扇形周长C=2R+l=2R+αR,∴R=.∴S扇=α·R2=α·=α·=·≤.当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积取最大值.题型一任意角的三角函数【例1】已知角α的终边经过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x,则sinα+=.【解析】∵P(x,-)(x≠0),∴点P到原点的距离r=.又cosα=x,∴cosα==x.∵x≠0,∴x=±,∴r=.当x=时,sinα+=-;当x=-时,sinα+=--.【答案】-【变式训练1】已知角2α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边过点(-1,),2α∈[2π,4π),则sinα等于().A.-B.C.-D.【解析】由题意得,角2α的终边在第二象限且tan2α=-,∴2α=2π+,即α=π+,∴sinα=-.【答案】C题型二扇形的弧长、面积公式的应用【例2】已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.(1)若α=60°,R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积.(2)若扇形的周长为4,求当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?【解析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则α=60°=,l=×10=,S弓=S扇-S△=××10-×102×sin=-=50-.(2)扇形周长2R+l=2R+αR=4,∴R=,∴S扇=αR2=α·==≤1.当且仅当α=,即α=2时,扇形面积有最大值1.理清扇形的弧长与半径、弧度角的关系,熟记扇形面积和周长的公式.【变式训练2】一扇形的周长为20,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?【解析】设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=20,即l=20-2r(0<r<10).∴扇形的面积S=lr=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25.∴当r=5时,S有最大值25,此时l=10,α==2rad.∴当α=2rad时,扇形的面积取最大值.题型三同角三角函数基本关系式的应用【例3】在△ABC中,sin A+cos A=.(1)求sin A cos A的值;(2)求tan A的值.【解析】(1)∵sin A+cos A=,①∴两边平方得1+2sin A cos A=,∴sin A cos A=-.(2)由(1)得sin A cos A=-<0,又0<A<π,∴cos A<0.∵(sin A-cos A)2=1-2sin A cos A=1+=,又sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=.②由①②可得sin A=,cos A=-,=-.∴tan A==-【变式训练3】(1)已知tanα=2,则sin2α+sinαcosα-2cos2α=.(2)已知sin2α=3sin2β,tanα=2tanβ,则cos2α=.【解析】(1)sin2α+sinαcosα-2cos2α=-=-=.(2)∵sin2α=3sin2β,①tan2α=4tan2β,②由①÷②得,4cos2α=3cos2β,③由①+③得,sin2α+4cos2α=3,∴cos2α=.【答案】(1)(2)题型四三角函数诱导公式的应用【例4】已知sinα,分别是方程5x2-12x-9=0的两根.(1)求cos-和sin的值;(2)若3π<α<,的值.求------【解析】∵sinα,分别是方程5x2-12x-9=(5x+3)(x-3)=0的两根,∴sinα=-,=3,∴cos=.(1)cos-=cos-=-cos=-,sin=sin=cos=.(2)∵3π<α<,∴α是第三象限角.∵sinα=-,∴cosα=-.=--=-1-cosα=-.【变式训练4】已知f=---.-(1)求f-的值.(2)若f(x)=,求sin+cos的值.【解析】f=-=-cos x·tan x=-sin x.(1)令+x=-,则x=--=-,∴f-=-sin-=sin=.(2)∵f(x)=-sin-=,∴sin-=-,∴sin+cos=sin-+cos=sin--cos=sin--cos-=2sin-=-.方法一数形结合思想在三角函数线中的应用当给出一个象限角时,欲判断该角的半角或倍角的符号或比较它们三个三角函数值的大小时,由于没有给出具体的角度,所以用图形可以更直观地表示,可先画出三角函数线,借助三角函数线比较大小.【突破训练1】设θ是第二象限角,试比较sin,cos,tan的大小.【解析】∵θ是第二象限角,∴+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,∴+kπ<<+kπ,k∈Z,∴是第一象限角或第三象限角.如图,结合单位圆上的三角函数线可得,①当是第一象限角时,sin=AB,cos=OA,tan=CT,故cos<sin<tan.②当是第三象限角时,sin=EF,cos=OE,tan=CT,故sin<cos<tan.综上可得,当在第一象限时,cos<sin<tan;当在第三象限时,sin<cos<tan.方法二分类讨论思想在三角函数化简中的应用角中含有变量n,因而需对n的奇偶进行分类讨论.利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分看作一个整体.【突破训练2】求sin--+cos-(n∈Z)的值.【解析】当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则原式=sin--+cos-=sin--+cos-=sin--+cos-=-sin+cos-=-sin+sin=0;当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则原式=sin-+cos-=sin-+cos-=sin-+cos-=sin-+cos-=sin-cos-=sin-cos-=sin-sin=0.故sin--+cos-=0.1.(2017日照市三模)若sin(π-α)=,且≤α≤π,则cosα的值为().A.B.-C. D.-【解析】因为sin(π-α)=sinα=,≤α≤π,所以cosα=-=-.【答案】B2.(2017江西师大附中三模)已知sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,则-=().A.3B.-3C.D.-【解析】因为sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,所以-sinθ-2cosθ=0,可得tanθ=-2,所以-=-=---=,故选C.【答案】C3.(2017江西八校联考)已知cosα-sinα=,则sin2α的值为().A. B.- C. D.-【解析】∵cosα-sinα=,∴1-sin2α=,∴sin2α=.【答案】C4.(2017临城质检)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=().A.-8B.-4C.2D.4【解析】因为sinθ==-,所以y<0,且y2=64,所以y=-8.【答案】A5.(2017宁德三模)已知sin=,则cos-的值为().A. B. C.- D.-【解析】cos-=cos-=sin=,故选B.【答案】B6.(2017南昌二模)已知sinθ+2cosθ=0,则=.【解析】由sinθ+2cosθ=0,得sinθ=-2cosθ,则==1.【答案】1则f-+f=.7.(2016湖北二模)设f(x)=-【解析】f-+f=sin-+f-=+sin=.【答案】8.(2017郴州市四检)已知3cos2θ=tanθ+3,且θ≠kπ(k∈Z),则sin[2(π-θ)]=.【解析】由题意可得3cos2θ-3=tanθ,即-3sin2θ=,因为θ≠kπ(k∈Z),所以sinθcosθ=-,即sin2θ=-,所以sin[2(π-θ)]=-sin2θ=.【答案】9.(2016许昌二模)已知点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,则α的一个变化区间是().A.--B.-C.--D.【解析】因为点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,所以-根据三角函数的性质可知选项C 正确.【答案】C10.(2016柳州二模)若角α满足α=+(k∈Z),则α的终边一定在().A.第一象限或第二象限或第三象限B.第一象限或第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【解析】当k=0时,α=,终边位于第一象限,当k=1时,α=,终边位于第二象限,当k=2时,α=,终边位于y轴的非正半轴上,当k=3时,α=2π+,终边位于第一象限.综上可知,α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.故选D.【答案】D11.(2016上饶月考)当0<x<时,函数f(x)=-的最小值是().A. B. C.2 D.4【解析】当0<x<时,0<tan x<1,f(x)=-=-,设t=tan x,则0<t<1,y=-=-≥4.当且仅当t=1-t,即t=时等号成立.【答案】D12.(2017金华质检)若2tanα=3tan,则--=.【解析】--=-=-=-=5.【答案】513.(2016西宁联考)已知A,B,C是三角形的内角,sin A,-cos A分别是方程x2-x+2a=0的两根.(1)求角A.(2)若-=-3,求tan B.【解析】(1)由已知可得,sin A-cos A=1,①又sin2A+cos2A=1,∴sin2A+(sin A-1)2=1,即4sin2A-2A=0,得sin A=0(舍去)或sin A=,∴A=或A=,将A=或A=代入①知A=时等式不成立,∴A=.(2)由-=-3,得sin2B-sin B cos B-2cos2B=0.∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0,∴tan B=2或tan B=-1.当tan B=-1时,cos2B-sin2B=0,不合题意,舍去,∴tan B=2.§7.2三角函数的图象与性质一用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点分别是、-、-、.二三角函数的图象和性质(表中k∈Z)[-1,1][-1,1]R设点P是函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则ω=.函数y=2-3cos的最大值为,此时x=.函数f(x)=sin-的图象的一条对称轴是().A.x=B.x=C.x=-D.x=-知识清单一、(0,0)(π,0)(2π,0)二、x=kπ+x=kπ---基础训练1.【解析】由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的,故f(x)的最小正周期为T=4×=,∴ω==.【答案】2.【解析】当cos=-1时,函数y=2-3cos取得最大值5,此时x+=π+2kπ(k∈Z),从而x=π+2kπ,k∈Z.【答案】5π+2kπ,k∈Z3.【解析】∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故令x-=kπ+,k∈Z,∴x=kπ+,k∈Z.取k=-1,则x=-.【答案】C题型一三角函数的定义域【例1】函数f(x)=lg(3+2x-x2)+的定义域为.【解析】由题意得-即-解得0≤x<3,所以函数f(x)的定义域为[0,3).【答案】[0,3).【变式训练1】函数y=-的定义域为.【解析】由题意得sin2x-cos2x≥0,即sin-≥0,则2kπ≤2x-≤2kπ+π,解得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数的定义域为.【答案】题型二三角函数的值域【例2】求函数f(x)=cos2x+sin x+在区间-上的最大值与最小值.【解析】f(x)=cos2x+sin x+=1-sin2x+sin x+=--+.∵x∈-,∴sin x∈-,∴当sin x=-时,函数f(x)取最小值,当sin x=时,函数f(x)取最大值.【变式训练2】已知函数f(x)=cos-+2sin-·sin,求函数f(x)在区间-上的最大值与最小值.【解析】由题意得f(x)=cos2x+sin2x+(sin x-cos x)·(sin x+cos x)=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x=cos2x+sin2x-cos2x=sin-.又x∈-,∴2x-∈-,∴sin-∈-.故当x=时,f(x)取最大值1;当x=-时,f(x)取最小值-.题型三三角函数的单调性与周期性【例3】(2017北京海淀区高三适应性考试)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.【解析】(1)f(x)=4cosωx·sin=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=(sin2ωx+cos2ωx)+=2sin+.因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以=π,故ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sin+,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,所以-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为-,k∈Z.先将y=f(x)化成y=A sin(ωx+φ)或y=A cos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)形式,再结合求周期公式和求单调区【变式训练3】已知函数f(x)=sinωx-+(ω>0)的最小正周期为.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)的单调递减区间.【解析】f(x)=sinωx-+=sinωx·cosωx-sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=sin.(1)∵函数f(x)的最小正周期为,∴=,解得ω=2.(2)由(1)知f(x)=sin,令2kπ+≤4x+≤2kπ+,k∈Z,得2kπ+≤4x≤2kπ+,k∈Z,∴+≤x≤+,k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间是,k∈Z.题型四三角函数的对称性与奇偶性【例4】设函数f(x)=sin2x+cos2x(x∈R).(1)若函数y=f(x+φ)的图象关于直线x=0对称,求φ的值;(2)若函数y=f的图象关于点中心对称,求|φ|的最小值.【解析】f(x)=sin2x+cos2x=2sin.(1)∵y=f(x+φ)=2sin的图象关于直线x=0对称,∴f(x+φ)为偶函数,∴+2φ=+kπ,k∈Z,则φ=+,k∈Z.∵|φ|≤,∴φ=-或φ=.(2)∵y=f=2sin=2cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,∴2cos=2cos=2cos=0,∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.【变式训练4】设函数f(x)=2sin(2x+φ)(-π<φ<0).(1)若f-=f(x),求φ;(2)若函数y=f(x)是奇函数,求函数g(x)=cos的单调递减区间.【解析】(1)∵f-=f(x),∴函数f(x)的图象关于直线x=对称,令2×+φ=kπ+,k∈Z,则φ=kπ+,k∈Z,又-π<φ<0,则-<k<-,k∈Z.∴k=-1,则φ=-.(2)∵函数y=f(x)是奇函数,-π<φ<0,∴φ=-,∴g(x)=cos-.令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z,可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴y=g(x)的单调递减区间为,k∈Z.方法方程思想在三角函数中的应用此类题目主要解决方程中的参量问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=A sin(ωx+φ)或y=A cos(ωx+φ)的最值,但要注意对参量的符号进行讨论,以便确定函数的单调性,其次由已知列方程求解.【突破训练】已知函数f(x)=sin2x+2x cos x+3cos2x-2.(1)当x∈时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数g(x)=-(1+λ)f2(x)-2f(x)+1在-上单调递减,求实数λ的取值范围.【解析】f(x)=sin2x+2x cos x+3cos2x-2=sin2x+cos2x=2sin.(1)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z.解得2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∵x∈,∴f(x)的单调递增区间为.(2)由(1)知函数f(x)在-上单调递增,设f(x)=t,则-1≤t≤1,∴k(t)=-(1+λ)t2-2t+1(-1≤t≤1),①当λ=-1时,k(t)=-2t+1在[-1,1]上单调递减,即λ=-1符合题意;②当λ<-1时,-(1+λ)>0,则-≥1,得-2≤λ<-1;③当λ>-1时,-(1+λ)<0,则-≤-1,得-1<λ≤0.综上,λ∈[-2,0].1.(2017江西二模)函数y=2sin2-1是().A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数【解析】∵y=2sin2-1=-cos(2x+3π)=cos2x,∴y=2sin2-1是最小正周期为π的偶函数.【答案】A2.(2017广东联考)函数f(x)=2sin-cos-的图象的一个对称中心可以是().A.(-π,0)B.-C.D.【解析】由题意知f(x)=sin-,令x-=kπ(k∈Z),则x=kπ+(k∈Z).由k=-1,得x=-,即f(x)=sin-的一个对称中心是-.【答案】B3.(2017西宁二模)同时具有性质“①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在-上是增函数.”的一个函数为().A.y=sinB.y=cos-C.y=cosD.y=sin-【解析】根据性质①最小正周期是π,排除选项A和B;对于选项C,当x=时,y=cos=cos=-,不是最值,所以排除选项C,故选D.【答案】D4.(2017沈阳三模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象在y轴左侧的第一个最高点为-,第一个最低点为-,则函数f(x)的解析式为().A.f(x)=3sin-B.f(x)=3sin-C.f(x)=3sin-D.f(x)=3sin-【解析】由题意得A=3,T=2-=π,∴ω=±=±2,当ω=-2时,f(x)=3sin(φ-2x),且过点-,则+φ=2kπ+,得φ=.当ω=2时,不合题意.故选A.【答案】A5.(2017佳木斯市三模)若函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,<,两相邻的对称轴的距离为,f为最大值,则函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为().A. B.C.和D.和【解析】∵两相邻的对称轴的距离为,∴=,解得T=π,∴ω=2.又f为最大值,令2×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,令k=0得φ=,∴函数f(x)=sin.令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,当k=0时,x∈-,当k=1时,x∈,∴f(x)在区间上的单调增区间为和.【答案】D6.(2017中卫市二模)函数f(x)=cos2x+sin的最小值是.【解析】f(x)=cos2x+sin=2cos2x+cos x-1=2-,故f(x)min=-.【答案】-7.(2017菏泽联考)已知函数f(x)=A tan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图所示,则f=.【解析】由图象知,T=2-=,∴ω=2.由2×+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z.又∵|φ|<,∴φ=.由A tan=1,知A=1,∴f(x)=tan,∴f=tan=tan=.【答案】8.(2017百校联盟)已知函数f(x)=-sin2x,则当f(x)取最小值时cos2x的值为.【解析】f(x)=+-=+-,∵cos2x+2>0,∴f(x)≥2×-=0,当且仅当=,即cos2x=-时等号成立.【答案】-9.(2017辽宁四模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象过点,若f(x)≤f对x∈R 恒成立,则ω的最小值为().A.2B.4C.10D.16【解析】函数图象过点,则sinφ=.结合|φ|<可得,φ=,由f(x)≤f对x∈R恒成立,可得×ω+=2kπ+(k∈Z),解得ω=24k+4(k∈Z),令k=0可得ωmin=4.【答案】B10.(2017宁夏四模)已知函数f(x)=sin-cos-(ω>0),满足f-=,则满足题意的ω最小值为().A. B. C.1 D.2【解析】由题意可得,f(x)=sin-cos=sin+sin=sin,则f-=sin-=,∴-ω+=2kπ+或-ω+=2kπ+(k∈Z),则ω=1-12k或ω=-12k-3(k∈Z).结合ω>0可得,令k=0,ωmin=1.【答案】C11.(2017娄底二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,f(α)=-1,f(β)=1,若-的最小值为,且f(x)的图象关于点对称,则函数f(x)的单调递增区间是().A.-,k∈ZB.-,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】由题设知f(x)的周期T=4|α-β|min=3π,所以ω==,又f(x)的图象关于点对称,从而f=1,即sin=0,因为|φ|<,所以φ=-,故f(x)=2sin-+1.由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得-+3kπ≤x≤π+3kπ,k∈Z,故选B.【答案】B12.(2017马鞍山三模)已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则φ=.【解析】由图象知sinφ=-⇒φ=2kπ-(k∈Z),又<<T⇒<T<⇒<ω<.再由sin=0⇒ω+φ=2kπ+π(k∈Z)⇒φ∈--,解得φ=-.【答案】-13.(2017盐城二模)已知a>0,函数f(x)=-2a sin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值;(2)设g(x)=f且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.【解析】(1)∵x∈,∴2x+∈.∴sin∈-,∴-2a sin∈[-2a,a],∴f(x)∈[b,3a+b].又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得,f(x)=-4sin-1,g(x)=f=-4sin-1=4sin-1.又由lg g(x)>0,得g(x)>1,∴4sin-1>1,∴sin>,∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z,∴g(x)的单调递增区间为,k∈Z.又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,g(x)单调递减,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.∴g(x)的单调递减区间为,k∈Z.§7.3函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用一y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质1.定义域:R;2.值域:[-A,A];3.周期:T=;4.对称轴方程:;5.对称中心坐标:-(k∈Z);6.单调递增区间:,单调递减区间:.二图象的变换函数y=sin x的图象经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图象的步骤如下:把函数y=sin的图象向右平移个单位长度,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的,所得的函数解析式为.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为.求函数f(x)=cos的单调递减区间.知识清单一、4.x=-(k∈Z)6.---(k∈Z)--(k∈Z)二、|φ|基础训练1.【解析】将原函数的图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin-的图象,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的,得到函数y=sin-的图象.【答案】y=sin-2.【解析】由图象易知A=2,T=6,∴ω=,又图象过点(1,2),∴sin=1,∴φ+=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,∴φ=.【答案】6和3.【解析】由不等式2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递减区间为-(k∈Z).题型一函数y=A sin(ωx+φ)的图象及变换【例1】已知函数y=2sin,(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(2)写出该函数的振幅、周期、初相,说明y=2sin的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.【解析】(1)令X=2x+,则y=2sin=2sin X.列表,并描点画出图象:(2)振幅A=2,周期T==π,初相φ=.(法一)把y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin的图象;再把y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=sin的图象;最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.(法二)把y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=sin2x的图象;再把y=sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度,得到y=sin2=sin的图象;最后把y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图象.【变式训练1】(2017厦门第二次质检)将函数f(x)=cos-(ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得的图象经过点,则ω的最小值是().A. B.1 C. D.2【解析】f(x)=sinωx的图象向右平移个单位长度后得g(x)=sin-ω的图象,故g=sinω=0,所以ω=kπ,k∈Z,即ω=2k,当k=1时,ω取最小值2.【答案】D题型二求函数y=A sin(ωx+φ)的解析式【例2】(2017河北石家庄二模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f(0)的值为.【解析】由图知T=2π,∴ω=1,则f(x)=sin(x+φ),且f=0,∴+φ=kπ,∴φ=kπ-,∴φ=,∴f(x)=sin,∴f(0)=sin=.【答案】【变式训练2】已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的图象的一部分如图所示,则该函数的解析式为.【解析】观察图象可知,A=2且点(0,1)在图象上,∴1=2sin(ω·0+φ),即sinφ=.∵|φ|<,∴φ=.又∵是函数的一个零点,且是函数图象递增穿过x轴形成的零点,∴ω+=2π,∴ω=2,∴f(x)=2sin.【答案】f(x)=2sin题型三三角函数模型的应用【例3】如图,一个水轮的半径为4m,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟按逆时针转动5圈,若当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?【解析】(1)如图所示,建立平面直角坐标系,设角φ-是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为=,所以OP在时间t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sin+2.当t=0时,z=0,得sinφ=-,即φ=-.故所求的函数关系式为z=4sin-+2.(2)令z=4sin-+2=6,得sin-=1.令t-=,得t=4,故点P第一次到达最高点大约需要4s.【变式训练3】如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数y=A sin(ωx+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.【解析】(1)由图可知这段时间的最大温差是30-10=20(℃).(2)由图可知从6时到14时的图象是函数y=A sin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,所以×=14-6,解得ω=.由图可知A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20,故y=10sin+20.将x=6,y=10代入上式,可取φ=.综上所述,所求解析式为y=10sin+20,x∈[6,14].方法数形结合思想1.掌握“五点法”作图,确定定义域,基本思想是把ωx+φ看作一个整体,抓住函数y=A sin(ωx+φ)的图象的特征;2.从整体思想和数形结合思想确定函数y=A sin(ωx+φ)的性质.【突破训练1】已知向量a=(sin x,-1),b=(cos x,m),m∈R,设函数f(x)=2(a+b)b-2m2-1,将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在上有两个零点,求m的取值范围.【解析】∵f(x)=2(a+b)b-2m2-1=2sin x cos x+2cos2x-2m-1=sin2x+cos2x-2m=2sin-2m,∴g(x)=2sin--2m=2sin--2m.∵x∈,∴2x-∈-,则2sin-∈[-1,2].设y1=2sin-,y2=2m,由数形结合知,若函数g(x)在上有两个零点,则2m∈[1,2),∴m的取值范围是.【突破训练2】已知函数f(x)=2sin2x,记函数f(x)在区间上的最大值为M t,最小值为m t,设函数h(t)=M t-m t.若t∈,则函数h(t)的值域为.【解析】由已知得函数f(x)的周期T=π,区间的长度为,作出函数f(x)在上的图象(图略),又t∈,则由图(图略)可得,当t∈时,h(t)=f-f=2-2cos2t∈;当t∈时,函数f(x)为减函数,则h(t)=f(t)-f=2sin-∈[2,2],∴h(t)的值域为[1,2].【答案】[1,2]1.(2017阜阳二模)将函数f(x)=sin-的图象向右平移个单位长度后得到的图象的一条对称轴是().A.x=B.x=C.x=D.x=【解析】由题意得平移后函数为y=sin--=sin-,对称轴为2x-=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),因此直线x=为平移后函数的一条对称轴,故选C.【答案】C2.(2017淮北二模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为().A.f(x)=2sinB.f(x)=2sinC.f(x)=2sinD.f(x)=2sin【解析】由图可得A=2,=π⇒ω=,由f-=2得-+φ=(0<φ<π),则φ=,∴f(x)=2sin.【答案】B3.(2017鹰潭市一模)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=A sin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为().A.f(x)=2sin-+7(1≤x≤12,x∈N*)B.f(x)=9sin-(1≤x≤12,x∈N*)C.f(x)=2sin x+7(1≤x≤12,x∈N*)D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)【解析】由题意得b=7,则A=9-7=2,T=2(7-3)=8,∴ω==,又x=3时,×3+φ=2kπ+(k∈Z),得φ=-,故选A.【答案】A4.(2017河北联考)将函数y=sin(x+φ)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F',若F'的一个对称中心为,则φ的一个可能取值是().A. B. C. D.【解析】图象F'对应的函数为y=sin,则++φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z.令k=1,得φ=.【答案】D5.(2017唐山二模)已知函数f(x)=cos(2x-φ)-(2x-φ)的图象向右平移个单位长度后关于y 轴对称,则f(x)在区间-上的最小值为().A.-1B.C.-D.-2【解析】由题意可知f(x)=2cos-,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,得f(x)=2cos-的图象.又该函数图象关于y轴对称,可得-φ=kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,即f(x)=2cos.在区间-上,2x+∈-,则2cos∈[,2],故f(x)的最小值为-.【答案】C6.(2017长沙二模)函数y=2sin的最小正周期在内,则正整数m的值是.【解析】∵T=,又<<,∴8π<m<9π,且m∈Z,∴m的值为26,27,28.【答案】26,27,287.(2017咸阳二模)函数y=sin x+x的图象可由函数y=sin x-x的图象至少向左平移个单位长度得到.【解析】y=sin x+cos x=2sin,y=sin x-cos x=2sin-,将y=2sin-向左平移个单位长度得到y=2sin的图象.【答案】8.(2017昆明二模)若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f=f-,且f=-3,则实数m的值等于.【解析】依题意得,函数f(x)的图象关于直线x=对称,于是当x=时,函数f(x)取得最值,因此有±2+m=-3,解得m=-5或m=-1.【答案】-1或-59.(2017贵阳一模)设ω>0,函数y=sin+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则ω的最小值是().A. B. C. D.3【解析】由函数向右平移个单位后与原图象重合,得是此函数周期的整数倍.又ω>0,∴·k=,∴ω=k(k∈Z),∴ωmin=.【答案】C10.(2017广西联考)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则下列说法错误的是().A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)的值域为[-4,4]C.函数f(x)的图象关于对称D.函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y=A sinωx的图象【解析】由图可得T=2-=2,∴ω=π,∵f=0,∴+φ=kπ.∵-π<φ<0,∴φ=-.又f(0)=-2,∴A sin-=-2,得A=4,∴f(x)=4sin-,故选项D错误.【答案】D11.(2017锦州质检)已知f(x)=sin x cos x-sin2x,把f(x)的图象向右平移个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到y=g(x)的图象,若对任意实数x,都有g(a-x)=g(a+x)成立,则g+g=().A.3B.4C.2D.【解析】f(x)=sin2x-=sin-,所以g(x)=sin-+2-=sin2x+.因为2a=+kπ(k∈Z),所以g+g=sin++sin+=sin(π+kπ)+4=4,故选B.【答案】B12.(2017山西二模)已知f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=.【解析】依题意,当x==时,f(x)有最小值,∴sin=-1,∴ω+=2kπ+(k∈Z),∴ω=8k+(k∈Z).∵f(x)在区间上有最小值,无最大值,∴-<,即ω<12,令k=0,得ω=.【答案】13.(2017北京一模)已知函数f(x)=A sinωx,ω>0的图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)cos,求g(x)在上的单调递减区间.【解析】(1)由图象可知A=2,设函数f(x)的周期为T,则--=T,求得T=π,从而ω=2,所以f(x)=2sin2x.(2)因为g(x)=2sin2x cos=sin2x cos2x-sin22x=sin4x+cos4x-=sin-,所以+2kπ≤4x+≤+2kπ,即+≤x≤+,k∈Z,令k=0,得≤x≤,所以g(x)在上的单调递减区间为.。

新教材高中数学第7章三角函数7

第7章三角函数7.3三角函数的图象与性质7.3.3函数y=A sin(ωx+φ)第2课时函数y=A sin(ωx+φ)的性质及应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω=()B.4C.3D.2-x0=,解得ω=4.2.若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R其中ω>0,|φ|<的最小正周期是π,且f(0)=,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=φ= D.ω=2,φ==π,∴ω=2.∵f(0)=,∴2sin φ=.sin φ=.∵|φ|<,∴φ=.3.已知函数y=A sin(ωx+φ)+m(A>0,ω>0)的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是()A.y=4sin4x+B.y=2sin2x++2C.y=2sin4x++2D.y=2sin4x++2,A==2,m==2,ω==4,∴φ=kπ+(k∈Z),∴当k=1时,φ=,∴符合条件的一个解析式为y=2sin4x++2.4.(2021新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数f(x)=7sin x-的增区间是()A. B.D.x-,k∈Z,即x∈,k∈Z.当k=0时,函数f(x)=7sin的增区间为,∵,∴是函数f(x)的一个增区间.故选A.5.(多选)(2020江苏连云港高一期末)将函数f(x)=3sin x的图象先向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的()A.周期是πB.增区间是(k∈Z)C.图象关于点-,0对称x=对称答案ABC解析将函数f(x)=3sin x的图象先向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则函数g(x)=3sin2x-.对于选项A,函数g(x)的周期为=π,故A正确;对于选项B,令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,即函数g(x)的增区间是,k∈Z,故B正确;对于选项C,令2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,即函数g(x)的对称中心为,0,k∈Z,故C正确;对于选项D,令2x-=kπ+,k∈Z,则x=,k∈Z,即函数g(x)的对称轴方程为x=,k∈Z,故D错误.y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值为.sin=±1,解得+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z).因为-<φ<,所以k=0,φ=-.f(x)=sin的图象的对称轴方程是.π+,k∈Zx-+kπ,k∈Z,∴x=+kπ,k∈Z.8.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的周期为π,且图象上一个最低点为M,-2. (1)求f(x)的解析式;x∈时,求f(x)的最大值和最小值.由函数f(x)图象上的一个最低点为M,得A=2.由周期T=π,得ω==2.由点M在图象上,得2sin=-2,即sin=-1,所以+φ=2kπ-(k∈Z),故φ=2kπ-(k∈Z),又φ∈,所以k=1,φ=.所以函数的解析式为f(x)=2sin.(2)因为x∈,所以2x+,所以当2x+,即x=0时,函数f(x)取得最小值1;当2x+,即x=时,函数f(x)取得最大值.关键能力提升练9.若将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度之后得到的图象与原图象的对称中心重合,则正实数ω的最小值是()A. B. C. D.解析将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度之后,可得y=sinsinωx+的图象.由于所得的图象与原图象的对称中心重合,故所得图象与原图象相差半个周期的整数倍,所以=k·(k∈Z),故ω=(k∈Z),则正实数ω的最小值为.10.(2020江苏南通高一期末)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论不正确的是()A.函数f(x)的图象关于直线x=对称B.函数f(x)的图象关于点-,0对称C.函数f(x)在区间上为增函数D.函数y=1与y=f(x)-≤x≤的图象的所有交点的横坐标之和为f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的图象可得,A=2,,因此T=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ),过点,-2,因此+φ=+2kπ,k∈Z,又0<|φ|<π,所以φ=,所以f(x)=2sin2x+.当x=时,f=-1,故A错;当x=-时,f-=0,故B正确;当x∈,2x+,所以f(x)=2sin2x+在x∈上为增函数,故C正确;当-≤x≤时,2x+,所以y=1与函数y=f(x)的图象有4个交点,设这4个交点的横坐标为x1,x2,x3,x4,x1+x2+x3+x4=×2+×2=,故D正确.11.设f(x)=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的定义域为R,T=,φ=,值域为[-1,3],则函数f(x)的解析式为()A.f(x)=2sin+1B.f(x)=2sin-1C.f(x)=-2sin-12sin+1-A+B=-1,A+B=3,所以A=2,B=1.因为T=,所以ω=3.又φ=,故f(x)=2sin+1.12.(2021江苏徐州一中调研)函数y=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象的一部分如图所示,则它的解析式是()A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sin,A=2,T=2×=4,ω=,∴解析式可写成y=2sin.将看作函数图象的第一个特殊点代入上式,得+φ=2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=.∴解析式为y=2sin,故选B.13.(2021江苏宝应中学调研)若将函数y=sin2x-的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度,则所得函数g(x)图象的一个对称中心为()A. B.D.y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可以得到y=sin=sin的图象,再向右平移个单位长度可以得到y=sin=sin的图象,因此,g(x)=sin,由g=sin 0=0,选项A正确.14.(多选)函数y=sin的图象在(-π,π)上的对称轴方程有()A.x=-B.x=D.x=-2x-+kπ,k∈Z,∴x=,k∈Z,k=-2时,x=-;k=-1时,x=-;k=0时,x=;k=1时,x=.故选AC.15.(多选)(2021山东泰安调研)已知函数f(x)=sin ωx(ω>0且ω∈Z)的图象关于点对称,且在区间上为增函数,则ω的取值可以为()B.4C.5D.6f(x)=sin ωx的图象关于点对称,且在上为增函数,所以解得所以ω的取值为3,6.16.(多选)已知函数f(x)=sin,以下命题中为真命题的是()A.函数f(x)的图象关于直线x=对称B.x=-是函数f(x)的一个零点C.函数f(x)的图象可由g(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到f(x)在上是增函数2x+=kπ+(k∈Z),当k=0时,x=,即函数f(x)的图象关于直线x=对称,选项A正确;令2x+=kπ(k∈Z),当k=0时,x=-,即x=-是函数f(x)的一个零点,选项B正确;2x+=2,故函数f(x)的图象可由g(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到,选项C错误;若x∈,则2x+,故f(x)在上是增函数,选项D正确.17.(2021江苏昆山中学调研)已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则ω=;φ=.T=2=2π,∴2π=,即ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),∴f=sin=±1.∵0<φ<π,∴<φ+,∴φ+,∴φ=.18.若函数f(x)=sinωx+(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,且该函数的图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈0,,则x0=.答案π解析由f(x)=sinωx+(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,知T=π,ω=2,又图象关于点(x0,0)成中心对称,得2x0+=kπ(k∈Z),而x0∈0,,则x0=π.19.已知函数f(x)=2sin+a.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的减区间;x∈时,f(x)的最小值为-2,求a的值.易知T==π.(2)f(x)=2sin+a=2sin+a.由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).所以f(x)的减区间为(k∈Z).(3)由0≤x≤,得≤2x+,所以f(x)的最小值为-2+a=-2.所以a=0.20.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的一个对称中心到相邻对称轴的距离为,且图象上有一个最低点为M,-3.(1)求函数f(x)的解析式;f(x)在[0,π]上的增区间.由函数f(x)的一个对称中心到相邻对称轴的距离为,可知函数f(x)的周期为π,所以ω==2.又函数f(x)图象上有一个最低点为M,|φ|<,所以A=3,2×+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=,所以f(x)=3sin.(2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,又x∈[0,π],则可得函数f(x)的增区间为,,π.学科素养拔高练21.已知P(1,)是曲线f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)上的一个最高点,且f(9-x)=f(9+x),x∈R,曲线在(1,9)内与x轴有唯一交点,求函数f(x)的解析式.点P(1,)是曲线f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)上的一个最高点,∴A=,且直线x=1是曲线的一条对称轴.∵f(9-x)=f(9+x),x∈R,∴直线x=9也是曲线的一条对称轴.又曲线在(1,9)内与x轴有唯一交点,∴直线x=1,直线x=9是曲线的两条相邻对称轴,∴=9-1=8,∴T=16,∴=16,∴ω=.∴f(x)=sin x+φ.∵P(1,)是曲线上的一个最高点,∴×1+φ=2kπ+(k∈Z),∴φ=2kπ+(k∈Z).∵|φ|<π,∴φ=.故函数f(x)的解析式为f(x)=sin x+.。

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