全国版高考数学必刷题：第七单元 三角函数

第七单元 三角函数

考点一 三角函数求值

1.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1

3

,则cos (α-β)= .

【解析】∵α与β关于y 轴对称,∴α+β=π+2k π(k ∈Z ),则sin α=sin β=13

,∴|cosα|=

2√23,cos α=-cos β,∴cos (α-β)=-cos 2α+sin 2

α=-79

. 【答案】-79

2.(2016年全国Ⅲ卷) 若tan α=34

,则cos 2

α+2sin2α=( ).

A .6425

B .4825

C .1

D .1625

【解析】cos

2

α+2sin2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=1+4×3

41+(34)

2=64

25.

【答案】A

3.(2016年上海卷)方程3sin x=1+cos2x 在区间[0,2π]上的解为 .

【解析】由3sin x=1+cos2x ,得3sin x=2-2sin 2

x ,所以2sin 2

x+3sin x-2=0,解得sin x=12

或sin x=-2(舍去),

所以原方程在区间[0,2π]上的解为π6或5π6

.

【答案】π6或5π6

考点二 三角函数的图象与性质

4.(2017年全国Ⅰ卷)已知曲线C 1:y=cos x ,C 2:y=sin (2x +

2π

3

),则下面结论正确的是( ).

A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长度,得到曲线

C 2

B .把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度,得到曲线C 2

C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12

,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度,得到曲线C 2

D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度,得到曲线C 2

【解析】因为C 2:y=sin (2x +

2π

3

)=sin (2x +π2+π6)=cos (2x +π6

),所以只需把C 1上各点的横坐标缩短到原

来的12

,纵坐标不变,再向左平移π12

个单位长度,即得到曲线C 2.

【答案】D

5.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f (x )=cos (x +π3

),则下列结论错误的是( ).

A .f (x )的一个周期为-2π

B .y=f (x )的图象关于直线x=8π3

对称

C .f (x+π)的一个零点为x=π6

D .f (x )在(π2

,π)上单调递减

【解析】函数f (x )的周期为2k π(k ∈Z ),故A 正确;

由x+π3

=k π(k ∈Z ),得x=k π-π3

(k ∈Z ),当k=3时,x=8π3

,故B 正确;

f (x+π)=-cos (x +π3),则当x=π

6时,f (x+π)=0,故C 正确;

函数f (x )的图象是由函数y=cos x 的图象向左平移π3个单位长度得到的,故函数f (x )在(-π3,2π

3

)上单调递减,在(

2π3,5π

3

)上单调递增,故D 错.

【答案】D

6.(2017年全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin 2

x+√3cos x-34(x ∈[0,π2

])的最大值是 .

【解析】f (x )=sin 2

x+√3cos x-34=1-cos 2

x+√3cos x-34

=-(cosx -√3

2

)2

+1,∵x ∈[0,π2

],∴cos x ∈[0,1],∴f (x )的最

大值为1.

【答案】1

7.(2017年天津卷)设函数f (x )=2sin (ωx+φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f (5π8

)=2,f (11π

8

)=0,且f (x )的最小正

周期大于2π,则( ).

A.ω=23

,φ=π12

B .ω=23,φ=-

11π

12

C .ω=13,φ=-

11π

24

D .ω=13,φ=7π24

【解析】由题意知,函数f (x )的最小正周期为T=4(

11π8-5π8)=3π,∴ω=2

3

,即f (x )=2sin (2

3x +φ).

∵|φ|<π,f (5π8)=2,∴φ=π

12.

【答案】A

8.(2016年全国Ⅱ卷)若将函数y=2sin2x 的图象向左平移π12

个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ).

A .x=kπ2-π6

(k ∈Z )

B .x=kπ2+π6

(k ∈Z )

C .x=kπ2-π12

(k ∈Z )