线性系统极点配置和状态观测器基于设计(matlab) - 最新版本

一. 极点配置原理

假设原系统的状态空间模型为：

⎩⎨⎧=+=Cx

y Bu Ax x 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：

这时，闭环系统的状态空间模型为：

()x A BK x Bv y Cx =-+⎧⎨

=⎩

二. 状态观测器设计原理

假设原系统的状态空间模型为：

⎩⎨⎧=+=Cx

y Bu Ax x 若系统是完全可观的，则可引入全维状态观测器，且：

ˆˆ(y y)ˆˆx Ax Bu G y Cx ⎧=++-⎪⎨=⎪⎩

设ˆx x x

=-，闭环系统的状态空间模型为： ()x A GC x =-

解得：

(A GC)t

(0),t 0x e

x -=≥

由上式可以看出，在t 0≥所有时间内，如果(0)x =0，即状态估计值x 与x 相等。如果(0)0x ≠，两者初值不相等，但是()A GC -的所有特征值具有负实部，这样

x 就能渐进衰减至零，观测器的状态向量ˆx

就能够渐进地逼近实际状态向量x 。状态逼近的速度取决于G 的选择和A GC -的特征配置。

三. 状态观测的实现

为什么要输出y 和输入u 对系统状态x 进行重构。

u Kx v =-+

证明 输出方程对t 逐次求导，并将状态方程x Ax Bu =+代入整理，得

2(n 1)(n 2)(n 3)21n n y Cx

y CBu CAx y CBu CABu CA x y CBu CABu CA Bu CA x

-----=⎧⎪-=⎪⎪--=⎨⎪⎪⎪----=⎩

将等号左边分别用z 的各分量12,,

,n z z z 表示，有

121(n 1)(n 2)(n 3)

2

n n n y C z y CBu CA z z y CBu CABu x Qx z CA y CBu CABu CA Bu -----⎡⎤

⎧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪

-⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎪

⎪

⎢

⎥⎢⎥⎢⎥==--==⎨⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎪----⎩⎣

⎦

如果系统完全能观，则

rankQ n =

即

1ˆ(Q Q)T T

x Q z -= （类似于最小二乘参数估计） 综上所述，构造一个新系统z ，它是以原系统的输出y 和输入u ，其输出经过变

换1(Q Q)T T Q -后得到状态向量ˆx

。也就是说系统完全能观，状态就能被系统的输入输出以及各阶倒数估计出来。

四. 实例

给定受控系统为

再指定期望的闭环极点为12,341,1,2i λλλ***

=-=-±=-，观测器的特征值为

12,33,32i λλ=-=-±，试设计一个观测器和一个状态反馈控制系统，并画出系统

的组成结构图。

[]0100000101000100

05

021000x x u y x

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

=

1. 状态反馈设计：

第一步、判断系统的能控性。

23001

02102040201020100Q rank B

AB

A B

A B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦

可知系统完全能控，可任意配置极点x 。

第二步、写出原系统和极点配置后系统的特征多项式。

42det(sI )5A s s -=-；

432det(sI (A ))510104BK s s s s --=++++。

则：01230,0,5,0αααα===-=，01234,10,10,5αααα****

====。

第三步、求出矩阵p 。

33

223123

10003010100030110002010002P A B

A B

AB

B α

ααααα-⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢

⎥⎢⎥-⎣⎦

⎣⎦ 11/3

01/6001/301/6001/200001/2P ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥

-⎣⎦ 第四步、求出k 。

[]1

00

1122334/310/349/325/6K P αααααααα*

***-⎡⎤=----=----⎣⎦。

2. 观测器设计：

第一步、判断系统的能观性。

12310000

100400100001C CA Q rank CA CA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥===⎢⎥⎢⎥

-⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦⎣⎦

可知系统完全能观，能对系统状态x 重构。

第二步、判断C 的秩和状态方程是否是降维观测器的形式,写出各矩阵以及观测器特征多项式。

1rankC =；

[]1112212212001010,100,0,001,B 0,B 000502A A A A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

。 ()3293139s s s s α=+++。

第三步、设出[]123L l l l =并求出L 。

()()()3222121213det 55sI A LA s l s l s l l -+=+-+-+；

93684L ⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

。 第四步、写出z 。

9104513601240084505761z z y u ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

。 第五步、写出ˆx

。 12310009100ˆ3601084001y z x

z z ⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

。

3.matlab 计算：

B=[0 1 0 -2]';

C=[1 0 0 0]; %输入状态方程的矩阵 D=0;

A12=[1 0 0];

A22=[0 -1 0;0 0 1;0 5 0];

m=rank(ctrb(A,B)) %判断系统是否完全能控