二次函数知识点总结题型分类总结
人教版九年级上册 第22章 二次函数复习知识点总结和题型讲解
二次函数复习知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。
（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0.）⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. y＝ax2的性质：2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）4. y ＝a (x －h)2＋k 的性质：5. y ＝ax2+bx+c 的性质：三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a.(a 决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然a ≠0 ① 当0a >时，抛物线开口向上，当0a <时，抛物线开口向下；②a 的绝对值越大，开口越小，反之a 的绝对值越小，开口越大。
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b （a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置）.抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；② （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③ （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c(c 决定了抛物线与y 轴交点的位置)⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 四、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）五、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．八、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 交点式（两根式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）， 适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与x 轴的两个交点（1x ，0），（2x ，0），一般选用交点式；九、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。
二次函数中考题型总结
二次函数常考知识点总结整理一、函数定义与表达式1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3.交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化二、函数图像的性质——抛物线（1）开口方向——二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线一般式：2bx a=-对称轴顶点式：x=h一般式：2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，顶点式：（h、k）顶点坐标y=-2x 2两根式：x=221x x +（3）对称轴位置一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
（“左同右异”）a 与b 同号（即ab ＞0）对称轴在y 轴左侧a 与b 异号（即ab ＜0）对称轴在y 轴右侧（4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而减少；当a>0时，函数有最小值，并且当x=a b2-，2min 44ac b y a -=；当a<0时，函数有最大值，并且当x=ab2-，2max 44ac b y a -=；（5）常数项c常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
(完整版)初中二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数知识点及题型归纳总结
二次函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--. (1) 单调性与最值①当0a >时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时， 2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)b -+∞上递减，当bx =-时，；24()4ac b f x a -=.(2) 当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，1212||||||M M x x a =-==. 二、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，图2-9令02p qx +=： （1） 若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2） 若02b p x a <-<，则(),()2bm f M f q a =-=；（3） 若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a =-=；（4） 若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==.三、一元二次方程与二次函数的转化1．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c x x a=< 2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1） 开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表2-5所示.四、二次不等式转化策略1. 二次不等式的解集与系数的关系若二次不等式2()0f x ax bx c =++≤的解集是0(,][,)a b a c a αβαβαβ⎧⎪<⎪⎪-∞+∞⇔+=-⎨⎪⎪⋅=⎪⎩二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与x 轴交点横坐标有关的.2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠.()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩.注 若表述为“已知函数2()f x ax bx c =++”，并未限制为二次函数，则应有()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨>⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨<⎩. 五、二次函数有关问题的求解方法与技巧有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1） 要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问 题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2） 对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型归纳及思路提示题型1 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系思路提示 二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答，利用数形结合思想进行分析.例2.41 “0a <”是“方程2210ax x ++=至少有一个负数根”的（ ）Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件解析 由于0a <，则方程2210ax x ++=的判别式440a ∆=->，设12,x x 为方程的两根，则12122010x x ax x a ⎧+=->⎪⎪⎨⎪=<⎪⎩，故12,x x 异号，因此方程有一个负数根；但反之，若方程2210ax x ++=有负数根，当0a =时，即210x +=有负数根12x =-，那么方程2210ax x ++=有负数根⇒0a <.因此“0a <”是方程“2210ax x ++=至少有一个负数根”的充分不必要条件.故选B.变式1 已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A m f m =<，则（ ）. A. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +> B. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +<C. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +=D. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +<变式2 已知函数2()24(03)f x ax ax a =++<<，若12x x <，121x x a +=-，则（ ）.A. 12()()f x f x <B. 12()()f x f x =C. 12()()f x f x >D. 1()f x 与2()f x 的大小不能确定例 2.42 （2012江苏13）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为_____________. 解析 将二次不等式转化为二次方程求解.由题意知2()f x x ax b =++的值域为[0,)+∞，得240a b ∆=-=.不等式()f x c < ()0f x c ⇔-<，即20x ax b c ++-<的解集为(,6)m m +，设方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，则1212x x ax x b c +=-⎧⎨=-⎩，12||x x -==6==，得9c =.评注 本题的关键在于将二次不等式转化为二次方程求解.即不等式2x ax b c ++<的解集为(,6)m m +与方程2x ax b c ++=的实根12,x x 之间的联系，即12||6x x -=.变式1 （2012浙江理17）设a R ∈，若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则______a =. 变式2 （2012北京理14）已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<，则m 的取值范围是________. 题型2 二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件思路提示 结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.例2．43 已知,αβ是方程2(21)420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求实数m 的取值范围. 分析 根据二次方程根的分布结合图像求解.解析 根据题意，如图2-10所示，对于2()(21)42f x x m x m =+-+-，由图像知2αβ<<，得(2)0f <，故2(2)2(21)2420f m m =+-⨯+-<，解得3m <-，所以m 的取值范围是(,3)-∞-.图2-10评注 利用图像法研究二次方程根的分布问题，会起到事半功倍的效果.变式1 关于x 的方程22(1)210m x mx -+-=的两个根，一个小于0，一个大于1.求实数m 的取值范围. 变式2 已知二次函数2()2(,)f x x bx c b c R =++∈满足(1)0f =,且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间(3,2)--和(0,1)内，求实数b 的取值范围.例2.44 已知方程32230(,,)x ax bx c a b cR +++=∈的三个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线、一个）.A. )+∞ B.)+∞ C.)+∞ D. )+∞ 解析 由方程32230(,,)x ax bx c a b c R +++=∈有三个实根123,,x x x ，且满足12301,1,1x x x <<=>.则231a b c ++=-，得123c a b =---.32232310x ax bx a b ++---=, (*)由1x =是方程的根，可知方程(*)可写成：2(1)[(231)]0x x mx a b -++++=，展开并与方程(*)对照系数可得21m a =+.所以2(21)(231)0x a x a b +++++=. 令2()(21)(231)f x x a x a b =+++++，(0)2310(1)4330f a b f a b =++>⎧⎨=++<⎩，如图2-11，(,)a b 所在的区域如阴影部分所示,点1(1,)3A -)+∞.故选A.图2-11变式1 设直线2y x m =-+与y 轴相交于点P ，与曲线22:33(1)C x y x -=≥相交于Q ，R ，且|PQ|<|PR |,求||||PR PQ 的取值范围. 题型3 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题思路提示 根据二次函数图像，分析对称轴与区间的位置关系.例2.45 函数2()23f x x ax =--在区间[1,2]上是单调函数，则（ ）. A. (,1)a ∈-∞ B. (2,)a ∈+∞ C. [1,2) D. (,1][2,)a ∈-∞+∞ 分析 利用区间[1,2]在对称轴的左侧和右侧分别作图.解析 作出函数在[1,2]上符合单调区间的图像，如图2-12（a ）,(b)所示的情况均满足要求.故选D.图2-12(b)(a)x评注 在处理“动轴定区间”问题时，首先应确定不定量，即区间一定，然后根据题目要求分类讨论对称轴与区间的相对位置关系，求解参数的范围.变式1 函数2()23f x x kx =-+在[1,)-+∞上是增函数，求实数k 的取值范围. 例2.46 求函数2()21f x x ax =--在[0,2]上的值域.分析 解答本题可结合二次函数的图像及对称轴与区间的位置关系. 解析 2()21f x x ax =--，抛物线()y f x =开口向上，对称轴x a =.（1） 当0a ≤时，函数在区间[0,2]上为增函数，故min max (0)1,(2)34y f y f a ==-==-，所以函数的值域为[1,34]a --.（2） 当2a ≥时，函数在区间[0,2]上为减函数，故min max (2)34,(0)1y f a y f ==-==-，所以函数的值域为[34,1]a --.（3） 当01a <≤时，函数在区间[0,]a 上为减函数，在区间[,2]a 上为增函数，故2min max ()(1),(2)34y f a a y f a ==-+==-，所以函数的值域为2[(1),34]a a -+-.（4） 当12a <≤时，函数在区间[0,]a 上为减函数，在区间[,2]a 上为增函数，故2min max ()(1),(0)1y f a a y f ==-+==-，所以函数的值域为2[(1),1]a -+-.评注 在求二次函数的最值时，要注意定义域是R 还是区间[,]m n ，若是区间[,]m n ，最大（小）值不一定在对称轴处取得，而应该看对称轴是在区间[,]m n 内还是在 区间的左边或右边.在区间的某一边时，应该利用函数的单调性求解，最值不在对称轴处取得，而在区间的端点处取得.变式1 已知函数22()4422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值.例2.47 已知二次函数2()23f x x x =--，若()f x 在[,1]t t +上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式. 分析 本题考查“定轴动区间”问题，求给定的二次函数在动区间上的最值，利用数形结合及分类讨论思想求解.解析 根据二次函数的解析式知1x =为其对称轴，分析对称轴与区间的位置关系，如图2-13所示.(b)(c)图2-13(a )x(1) 当1t >时，如图2-13（a ）所示，2()()23g t f t t t ==--；(2) 当11t +<，即0t <时，如图2-13（b ）所示，2()(1)4g t f t t =+=-； (3) 当11t t ≤≤+，即01t ≤≤时，如图2-13（c ）所示，()(1)4g t f ==-.因此224(0)()4(01)23(1)t t g t t t t t ⎧-<⎪=-≤≤⎨⎪-->⎩.变式1 已知二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)0,(1)1f f ==，若()f x 在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，求,m n 的值.变式2 （2012北京东城期末理8）已知函数2()1f x x =+的定义域为[,]()a b a b <，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(,)a b 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形面积为A.8B.6C.4D.2最有效训练1.函数2263,[1,1]y x x x =-+∈-，则y 的最小值是（ ）.A. 32-B. 3C. 1-D.不存在 2.已知,,a b c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或13. 函数y =x 2+mx +1的图像关于直线x =1对称的充要条件是( ). A. m =-2 B. m =2 C. m =-1 D. m =14. 已知函数ƒ(x )=ax 2+bx +c ，且a >b >c ，a +b +c =0，则( ). A. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )>0 B. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )<0 C. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)=0 D. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)>05. 已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y=x2的图像上，则使得∆ABC的面积为2的点C的个数为( ).A. 4B. 3C. 2D. 16. 已知函数ƒ(x)=2x2+(4-m)x+4-m，g(x)=mx，若对于任意实数x，ƒ(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( ).A. [-4,4]B. (-4,4)C. (-∞,4)D. (-∞,-4)7. 若函数ƒ(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线x=1对称，则ƒ(x)max=________.8. 关于x的方程2x2+ax-5-2a=0的两实根可分别作为一个椭圆与一个双曲线的离心率，则实数a的取值范围是________.9. 当x∈[0,2]时，函数ƒ(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是________.10.已知二次函数ƒ(x)=ax2-x+c(x∈R)的值域为[0,+∞)，则c aa c+++22的最小值为________.11.已知定义域为R的函数ƒ(x)满足ƒ(ƒ(x)-x2+x)=ƒ(x)-x2+x.(1)若ƒ(2)=3，求ƒ(1)，又若ƒ(0)=a，求ƒ(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得ƒ(x0)=x0，求函数ƒ(x)的解析式.12.已知二次函数ƒ(x)=x2+mx+1(x∈Z)，且关于x的方程ƒ(x)=2在区间(-3,12)内有两个不同的实根.(1)求ƒ(x)的解析式；(2)若x∈[1,t](t>1)时，总有ƒ(x-4)≤4x成立，求t的最大值.。
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳1．二次函数的定义与解析式(1) 二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．(2) 二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠ 0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠ 0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠ 0)．2．二次函数的图象和性质3. 幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．4．幂函数的图象及性质(1) 幂函数的图象比较(2) 幂函数的性质比较1(1) 已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2) 已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．(3) 已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2． 幂函数的图象(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴，在 (1，＋ ∞) 上幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴．1(2)函数 y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 2，y ＝x －1 可作为研究和学习幂函数 图象和性质的代表．题型一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是8， 试确定此二次函数．思维启迪： 确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件 灵活运用．解 方法一 设 f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴所求二次函数解析式为 f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 设 f(x)＝a(x －m)2＋n ，a ≠ 0.∵f(2)＝f(－1)，2＋ － 1 1 1 ∴抛物线对称轴为 x ＝ 2 ＝ 2.∴m ＝ 2. 又根据题意函数有最大值为 n ＝ 8，12∴y ＝f(x)＝a (x )2 ＋8.依题意有4a ＋2b ＋c ＝－1， a －b ＋c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8， a ＝－4，解之，得 b ＝4， c ＝7，∵f(2)＝－1，∴a(x 1) ＋8＝－1，解之，得a＝－ 4.2∴f(x)＝－4(x 1)2＋8＝－4x2＋4x＋7.2方法三依题意知，f(x)＋1＝0 的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.即f(x)＝ax2－ax－2a－1.4a －2a－1 －a2又函数有最大值y max＝8，即4a＝8，解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．题型二二次函数的图象与性质例 2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈［－4,6］．(1)当a＝－2 时，求f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使y＝f(x)在区间［－4,6］上是单调函数；(3) 当a＝1 时，求f(|x|)的单调区间．思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解：(1)当a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈［－4,6］，∴f(x)在［－4,2］上单调递减，在［2,6］上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在［－4,6］上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3) 当a＝1 时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈［－6,6］，x2＋2x＋3，x∈0，6］且f(x)＝2，x2－2x＋3，x∈［－6，0］∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6］，单调递减区间是［－6,0］．探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．题型三二次函数的综合应用例 3 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋ c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间［－1,1］上，不等式f(x)>2x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解(1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴ a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，2a＝2，a＝1，即2ax＋a＋b＝2x，∴∴a＋b＝0，b＝－ 1.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m 等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在［－1,1］上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在［－1,1］上的最小值大于0 即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在［－1,1］上单调递减，∴g(x)min ＝g(1) ＝－m－1，由－m－1>0 得，m<－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式（尤其是恒成立）问题是高考命题的热点．题型四幂函数的图象和性质例 4 已知幂函数f（x）＝xm2－2m－3 （m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞ ）上是减函数，求满足（a＋1）－m3<（3－2a）－m3的 a 的取值范围．思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3<0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解∵函数在（0，＋∞）上递减，∴ m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，1∴m＝1.而f（x）＝x－3在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，11∴（a＋1）－3<（3 －2a）－3等价于a＋1>3－2a>0 或0>a＋1>3－2a 或 a＋1<0<3－2a.2 3 2 3解得a<－1 或3<a<2. 故 a 的取值范围为a|a<－1或3<a<2 .探究提高（1）幂函数解析式一定要设为y＝xα（α为常数的形式）；（2）可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数 形结合来解，一般从 ①开口方向； ②对称轴位置； ③判别式； ④端点 函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时， 一般需借助于二次函数的图 象、性质求解．2． 与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋ bx ＋ c>0， a ≠ 0 恒成立的充要条件是(2)ax 2＋ bx ＋ c<0， a ≠ 0 恒成立的充要条件是3． 幂函数 y ＝x α(α∈R)，其中 α为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变 量，指数 α为常数．失误与防范1． 对于函数 y ＝ ax 2＋bx ＋ c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明 a ≠0时，就要讨论 a ＝0和 a ≠0两种情况. 2． 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象a>0 b 2－4ac<0a<0最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.。
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二次函数知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
注意： x 轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用a, b 表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当 a b 时，a,b和b, a是两个不同点的坐标。
知识点二、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y，如果对于 x 的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是x的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点三、概念总结及基本性质1、二次函数的概念：一般地，形如y ax2bx c（ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
二次函数的定义域是全体实数．2. 、二次函数y ax2bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，x 的二次式，x 的最高次数是b 是一次项系数，c 是常数项．2．3、二次函数的基本形式（平移规律：左加右减，上加下减）（1） y ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2024年初中二次函数知识点汇总最全
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地,形如（是常数，）的函数,叫做二次函数。
2y ax bx c =++a b c ，，0a ≠这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数,而能够为零．二次函数的定义域是0a ≠b c ，全体实数．2. 二次函数的结构特性：2y ax bx c =++⑴ 等号左边是函数,右边是有关自变量的二次式,的最高次数是2.x x ⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数，是常数项.a b c ，，a b c 二、基本形式１. 二次函数基本形式:的性质:2y ax =ａ 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. 的性质:（上加下减）2y ax c =+的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()00，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <y随的增大而减小；时,有最小值.x 0x =y 00a <向下()00，轴y 时,随的增大而减小；时，0x >y x 0x <y随的增大而增大；时,有最大值.x 0x =y 0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0c ，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <y３. 的性质:(左加右减）()2y a x h =-4. 的性质:()2y a x h k =-+三、二次函数图象的平移1． 平移步骤:措施1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;()2y a x h k =-+()h k ，⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，详细平移措施如下:2y ax =()h k ，随的增大而减小；时，有最小值x 0x =y c．a <向下()0c ，轴y 时，随的增大而减小;时,随0x >y x 0x <y 的增大而增大；时,有最大值.x 0x =y c 的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()0h ，X=h时,随的增大而增大；时，x h >y x x h <y随的增大而减小;时,有最小值．x x h =y 00a <向下()0h ，Ｘ＝h时，随的增大而减小;时,随x h >y x x h <y 的增大而增大;时，有最大值.x x h =y 0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()h k ，X=h时,随的增大而增大；时,随x h >y x x h <y 的增大而减小;时,有最小值.x x h =y k 0a <向下()h k ，Ｘ＝h时,随的增大而减小;时,随x h >y x x h <y 的增大而增大;时,有最大值.x x h =y k【【【(h <0)【【【【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【 ２. 平移规律在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下h k 减”． 措施2:⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2（或）m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2(或）c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数与的比较()2y a x h k=-+2y axbx c =++从解析式上看，与是两种不一样的体现形式,后者通过配方能够得()2y a x h k =-+2y ax bx c =++到前者,即，其中.22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2424b ac b h k a a -=-=，五、二次函数图象的画法2y ax bx c =++五点绘图法：利用配措施将二次函数化为顶点式,确定其开2y ax bx c =++2()y a x h k =-+口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选用的五点为:顶点、与轴的交点、以及有关对称轴对称的点、与轴的交点y ()0c ，()0c ，()2h c ，x ，(若与轴没有交点,则取两组有关对称轴对称的点)．()10x ，()20x ，x 画草图时应抓住如下几点:开口方向,对称轴,顶点，与轴的交点，与轴的交点.x y 六、二次函数的性质2y ax bx c =++ 1. 当初,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.0a >2bx a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当初，随的增大而减小;当初,随的增大而增大；当初，有最2b x a <-y x 2b x a >-y x 2bx a=-y 小值．244ac b a- ２. 当初，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当初,0a <2b x a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2bx a <-随的增大而增大；当初，随的增大而减小；当初，有最大值.y x 2b x a >-y x 2bx a=-y 244ac b a -七、二次函数解析式的表示措施１． 一般式：(,,为常数，);2y ax bx c =++a b c 0a ≠2. 顶点式：(，，为常数，);2()y a x h k =-+a h k 0a ≠３. 两根式：(,,是抛物线与轴两交点的横坐标)．12()()y a x x x x =--0a ≠1x 2x x 注意：任何二次函数的解析式都能够化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都能够写成交点式,只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才能够用交点式表示．二次x 240b ac -≥函数解析式的这三种形式能够互化．八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数中,作为二次项系数，显然.2y ax bx c =++a 0a ≠ ⑴ 当初，抛物线开口向上，的值越大,开口越小,反之的值越小，开口越大；0a >a a⑵ 当初,抛物线开口向下，的值越小,开口越小，反之的值越大，开口越大.0a <a a 总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向，的大小决定开口的大a a a 小.2. 一次项系数b在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.a b ⑴ 在的前提下,0a >当初，,即抛物线的对称轴在轴左侧；0b >02ba-<y 当初,,即抛物线的对称轴就是轴；0b =02ba-=y 当初，，即抛物线对称轴在轴的右侧.0b <02ba->y ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a <当初,，即抛物线的对称轴在轴右侧;0b >02ba->y 当初，,即抛物线的对称轴就是轴;0b =02ba-=y 当初,，即抛物线对称轴在轴的左侧．0b <02ba-<y 总结起来，在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置．a b 的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则，概括的说就是ab abx 2-=y 0>ab y 0<ab “左同右异”总结:3． 常数项c ⑴ 当初，抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c >y x y ⑵ 当初，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c =y y 0 ⑶ 当初，抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.0c <y x y总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置.c y 总之,只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.a b c ，，二次函数解析式确实定：依照已知条件确定二次函数解析式，一般利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须依照题目标特点，选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说，有如下几个情况:１. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；２. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小)值,一般选用顶点式;3． 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；x 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，能够用一般式或顶点式体现 １． 有关轴对称x 有关轴对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++x 2y ax bx c =---有关轴对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+x ()2y a x h k =--- 2. 有关轴对称y 有关轴对称后，得到的解析式是； 2y ax bx c =++y 2y ax bx c =-+有关轴对称后,得到的解析式是；()2y a x h k =-+y ()2y a x h k =++3. 有关原点对称 有关原点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++2y ax bx c =-+- 有关原点对称后,得到的解析式是；()2y a x h k =-+()2y a x h k =-+- 4． 有关顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转18０°） 有关顶点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++222b y ax bx c a=--+-有关顶点对称后，得到的解析式是．()2y a x h k =-+()2y a x h k =--+ 5. 有关点对称 ()m n ，有关点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+()m n ，()222y a x h m n k=-+-+- 依照对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远a 不变.求抛物线的对称抛物线的体现式时,能够依据题意或以便运算的标准,选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线（或体现式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的体现式．十、二次函数与一元二次方程:1． 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况)：x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.20ax bx c ++=2y ax bx c =++0y =图象与轴的交点个数:x ① 当初,图象与轴交于两点，其中的是一元二240b ac ∆=->x ()()1200A x B x ，，，12()x x ≠12x x ，次方程的两根.这两点间的距离()200ax bx c a ++=≠2AB x =-② 当初，图象与轴只有一个交点; 0∆=x ③ 当初,图象与轴没有交点.0∆<x 当初,图象落在轴的上方,无论为任何实数，都有；1'0a >x x 0y > 当初,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.2'0a <x x 0y <２． 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为，；2y ax bx c =++y (0)c 3． 二次函数常用解题措施总结：⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;x ⑵ 求二次函数的最大（小)值需要利用配措施将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 依照图象的位置判断二次函数中，,的符号,或由二次函数中，,的符号2y ax bx c =++a b c a b c 判断图象的位置，要数形结合;⑷ 二次函数的图象有关对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的x 一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的尚有二次三项式,二次三项式自身就是所含字母的二次函2(0)ax bx c a ++≠x 数;下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:0a >0∆>抛物线与轴有x 两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0∆=抛物线与轴只x 有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0∆<抛物线与轴无x 交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出目前选择题中，如:已知以为自变量的二次函数的图像通过原点, 则的值是 x 2)2(22--+-=m m x m y m 2．综合考查正百分比、反百分比、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如:如图，假如函数的图像在第一、二、三象限内,那么函数的图像大体是b kx y +=12-+=bx kx y （ ）ｙ ｙ y y 1 0 x o-1 x ０ x 0 -1 ｘ A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高，习题类型有中等解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线通过（0,3),（4,6）两点,对称轴为，求这条抛物线的解析式。
二次函数知识点总结及相关典型题目
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 二次函数基础知识二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =； ②k ax y +=2； ③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.二次函数解析式的表示方法一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2bx a =-.顶点坐标坐标：），（ab ac a b 4422--抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠,a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴 常数项c总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.直线与抛物线的交点y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；关于顶点对称2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
二次函数知识点总结——题型分类总结
二次函数知识点总结——题型分类总结一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 .①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
[4、若函数y=(m －2)x m－2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。
6、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
二、二次函数的对称轴、顶点、最值}记忆：如果解析式为顶点式：y=a(x －h)2+k ，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为一般式：y=ax 2+bx+c ，则对称轴为： ，最值为： ； 如果解析式为交点式：y=(x-x 1)(x-x 2), 则对称轴为： ，最值为： 。
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 （4y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。
二次函数知识点总结——题型分类总结
二次函数知识点总结——题型分类总结一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）1、下列函数中，是二次函数的是 .①142+-=x x y ； ②22x y =； ③x x y 422+=； ④x y 3-=；⑤12--=x y ； ⑥p nx mx y ++=2； ⑦()x y ,4=； ⑧x y 5-=。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252+=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 _________ 。
3、若函数()547222++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
4、若函数()1522++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数，则m 的值为 。
6、已知函数()35112-+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。
二、二次函数的对称轴、顶点、最值记忆：如果解析式为顶点式：()k h x a y +-=2，则对称轴为： _ , 最值为： ；如果解析式为一般式：c bx ax y ++=2，则对称轴为： __ ，最值为： ； 如果解析式为交点式：()()21x x x x a y --=, 则对称轴为： ，最值为： 。
1．抛物线m m x x y -++=2242经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ .3．已知抛物线()4112--+=x m x y 的顶点的横坐标是2，则m 的值是 . 4．抛物线322-+=x x y 的对称轴是 。
5．若二次函数332-+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。
6．已知二次函数3222++-=a ax x y ，当a = 时，该函数y 的最小值为0.7．已知二次函数342-+-=m x x y 的最小值为3，则m ＝ 。
三、函数c bx ax y ++=2的图象和性质1．抛物线942++=x x y 的对称轴是 。
二次函数知识点总结及相关典型题目(含答案)
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0CA EF BD第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ Ｄ ）DO424O424O 424O 424yx2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤22114k x x ＋－，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ． 于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2=∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴2a m =- .这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m 2m -∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，．（2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ． ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ． （3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ． 222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ， 解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ， 解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； （2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ． 因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜． ∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ a c x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝． 所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－． ∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝，∴ a x 321-＝，a x 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ． 连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．。
二次函数知识点总结及相关典型题目(含答案)
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分二次函数基础知识相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc （a b c ，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数2yaxbxc 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx axy 2用配方法可化成：k hx a y2的形式，其中abac kab h4422，.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y ；②k axy2；③2h x a y ；④k hx a y2；⑤c bx axy 2.二次函数解析式的表示方法一般式：2y axbx c （a ，b ，c 为常数，0a ）；顶点式：2()y a x h k （a ，h ，k 为常数，0a ）；两根式：12()()ya xx x x （0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2ax y 的性质二次函数2y ax c 的性质二次函数2ya x h 的性质：二次函数2ya x hk 的性质抛物线2yaxbx c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b xa.特别地，y 轴记作直线0x .顶点坐标坐标：），（a bac a b4422顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 抛物线c bx axy 2中，c b a ,,与函数图像的关系二次项系数a 二次函数2yaxbxc 中，a 作为二次项系数，显然0a．⑴当0a 时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵当0a 时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴在0a 的前提下，当0b 时，02ba ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b 时，02ba，即抛物线的对称轴就是y 轴；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上00，y 轴0x 时，y 随x 的增大而增大；0x 时，y随x 的增大而减小；0x 时，y 有最小值0．0a 向下00，y 轴0x 时，y 随x 的增大增大而减小；0x 时，y 随x 的增大而增大；0x 时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质性质a向上0c，y 轴0x时，y 随x 的增大而增大；0x时，y随x 的增大而减小；0x 时，y 有最小值c ．a 向下0c ，y 轴0x时，y 随x 的增大而减小；0x时，y随x 的增大而增大；0x 时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上h ，X=hxh 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值0．0a向下h ，X=hxh 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x的增大而增大；xh 时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a向上h k，X=hxh 时，y 随x 的增大而增大；xh 时，y 随x 的增大而减小；xh 时，y 有最小值k ．a 向下h k，X=hxh 时，y 随x 的增大而减小；xh 时，y 随x 的增大而增大；xh 时，y 有最大值k ．当0b 时，02ba，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b 时，02b a ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b 时，02b a ，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．总结：常数项c⑴当0c 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当0c 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：abac abxa cbx axy 442222，∴顶点是），（ab ac a b4422，对称轴是直线ab x2.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为k hx a y 2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x .运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx axy 2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.顶点式：k h x a y2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：21x x x xa y.直线与抛物线的交点y 轴与抛物线c bx axy2得交点为(0, c ).与y 轴平行的直线h x与抛物线c bx axy2有且只有一个交点(h ,c bh ah2).抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx axy2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02cbx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与x 轴相切；③没有交点抛物线与x 轴相离.平行于x 轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax2的两个实数根.一次函数0k n kx y 的图像l 与二次函数02ac bx axy的图像G 的交点，由方程组2y kx n yaxbx c的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点；③方程组无解时l 与G 没有交点. 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx axy2与x 轴两交点为0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02c bx ax的两个根，故ac x x a b x x 2121,aaac bac ab x x x x x x x x AB444222122122121二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x 轴对称2ya xb xc 关于x 轴对称后，得到的解析式是2y axbx c ；2y a x hk 关于x 轴对称后，得到的解析式是2y a xhk ；关于y 轴对称2y a x b x c 关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bxc ；2ya x hk 关于y 轴对称后，得到的解析式是2y a x h k ；关于原点对称2y a x b x c 关于原点对称后，得到的解析式是2y axbx c ；2ya xhk 关于原点对称后，得到的解析式是2y a x hk ；关于顶点对称2y a x b x c关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbx ca；2ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk ．关于点m n ，对称2y a x hk 关于点m n ，对称后，得到的解析式是222y a x h m n k总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图象的平移平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标h k ，；⑵保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到h k ，处，具体平移方法如下：向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h )2+ky=a(x-h )2y=ax 2+ky=ax2平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
二次函数知识点总结及相关典型题目(含答案)
二次函数知识点总结及相关典型题目(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0CA EF BD第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ Ｄ ）DO 424O424O 424O 424yxB2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ． 6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤22114k x x k＋－，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. 解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-. （2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-． （1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ． 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要多少时间⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=．∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）．∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ．〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-aa a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ． 于是222BC AC AB +=．∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB 5求m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2121245x x x x -=2（+）∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴2a m =- .这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m 2m -∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；NMCxyO（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2．∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上，∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ． ∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ，且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0），∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． 令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ．∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）．∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQPF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． 以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ． ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ． （3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ．设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ， 解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ， 解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ． 所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜．∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ ac x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c ac ＝＝． 所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0． 解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－． ∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝， ∴ a x 321-＝，ax 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ．连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ． 即直线PA 是⊙E 的切线．。
二次函数知识点总结及相关题型
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识1.定义：一般地，如果 y =ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a#0)2.二次函数y=ax 2的性质(1)抛物线y = ax 2的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴.(2)函数y =ax 2的图像与a 的符号关系.①当a>0时u 抛物线开口向上 u 顶点为其最低点; ②当a <0时u 抛物线开口向下 u 顶点为其最局点. (3)顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为3.二次函数 y =ax 2 +bx + c 的图像是对称轴平行于(包括重合)4.二次函数y=ax 2+bx+c 用配方法可化成：y = a(x —h ，+k 的形式，其中h =, k = 4ac -b2a4a5.二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式：①y = ax 2 ；②y=ax 2+k ;③y = a(x - h )2 ；④y = a(x - h f + k ;⑤ y = ax 2 bx c .6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点①a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a >0时，开口向上；当 a<0时，开口向下;相等，抛物线的开口大小、形状相同②平行于y 轴(或重合)的直线记作 x = h .特别地，y 轴记作直线x = 0. 7. 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(2) 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对那么y 叫做x 的二次函数.y 轴的抛物线.(1)公式法：y = ax 2 + bx + c = a x2 2b 4ac - b …口/ + — I + -------- ，.顶点是(-2a 4a2a 4ab 4ac - b 2、,,——; -- )，对称轴是直线 x2ay = a(x — hf + k 的形式，得到顶点为(h , k ),对称轴是直线称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失^9.抛物线y =ax2 +bx + c中，a,b, c的作用(1) a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y = ax2+ bx十c的对称轴是直线x = —2,故：①b = 0时，对称轴为y轴；②->0 (即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；③-< 0 (即a、2a a a b异号)时，对称轴在y轴右侧.(3) c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.当x=0时，y=c, ■抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0, c )：①c=0，抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴；③ c<0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，贝U - <0.a11. 用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y =ax2 +bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2) 顶点式：y =a(x -h 2 + k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3) 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x〔、x2,通常选用交点式：y = a(x - x1 (x -x2).12. 直线与抛物线的交点(1) y轴与抛物线y=ax2+bx+ c得交点为(0, c).(2) 与y 轴平行的直线x = h 与抛物线y=ax 1 2+bx+ c 有且只有一个交点(h , ah 2 +bh+c ). (3) 抛物线与x 轴的交点二次函数y = ax 2 +bx + c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标 x 1、x 2,是对应一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0的两 个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ① 有两个交点 = A 〉0u 抛物线与x 轴相交；② 有一个交点(顶点在 x 轴上)=A = 0u 抛物线与x 轴相切； ③ 没有交点 u A < 0 u 抛物线与x 轴相离.(4) 平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ,则横坐标是ax 2 +bx + c =k 的两个实数根.(5) 一次函数y=kx+ n(k 。
二次函数知识点及题型归纳总结
二次函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、二次函数解析式的三种形式及图像 1. 二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 2．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--. (1) 单调性与最值①当0a >时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时， 2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)b -+∞上递减，当bx =-时，；24()4ac b f x a -=.(2) 当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，1212||||||M M x x a =-==. 二、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，图2-9令02p qx +=： （1） 若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==；（2） 若02b p x a <-<，则(),()2bm f M f q a =-=；（3） 若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a =-=；（4） 若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==.三、一元二次方程与二次函数的转化1．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120c x x a=< 2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1） 开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表2-5所示.四、二次不等式转化策略1. 二次不等式的解集与系数的关系若二次不等式2()0f x ax bx c =++≤的解集是0(,][,)a b a c a αβαβαβ⎧⎪<⎪⎪-∞+∞⇔+=-⎨⎪⎪⋅=⎪⎩二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与x 轴交点横坐标有关的.2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠.()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩.注 若表述为“已知函数2()f x ax bx c =++”，并未限制为二次函数，则应有()0f x >恒成立00a >⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨>⎩；()0f x <恒成立00a <⎧⇔⎨∆<⎩或00a b c ==⎧⎨<⎩. 五、二次函数有关问题的求解方法与技巧有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1） 要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问 题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2） 对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型归纳及思路提示题型1 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系思路提示 二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答，利用数形结合思想进行分析.例2.41 “0a <”是“方程2210ax x ++=至少有一个负数根”的（ ）Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件解析 由于0a <，则方程2210ax x ++=的判别式440a ∆=->，设12,x x 为方程的两根，则12122010x x ax x a ⎧+=->⎪⎪⎨⎪=<⎪⎩，故12,x x 异号，因此方程有一个负数根；但反之，若方程2210ax x ++=有负数根，当0a =时，即210x +=有负数根12x =-，那么方程2210ax x ++=有负数根⇒0a <.因此“0a <”是方程“2210ax x ++=至少有一个负数根”的充分不必要条件.故选B.变式1 已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A m f m =<，则（ ）. A. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +> B. m A ∀∈ ，都有(3)0f m +<C. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +=D. 0m A ∃∈，使得0(3)0f m +<变式2 已知函数2()24(03)f x ax ax a =++<<，若12x x <，121x x a +=-，则（ ）.A. 12()()f x f x <B. 12()()f x f x =C. 12()()f x f x >D. 1()f x 与2()f x 的大小不能确定例 2.42 （2012江苏13）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为_____________. 解析 将二次不等式转化为二次方程求解.由题意知2()f x x ax b =++的值域为[0,)+∞，得240a b ∆=-=.不等式()f x c < ()0f x c ⇔-<，即20x ax b c ++-<的解集为(,6)m m +，设方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，则1212x x ax x b c +=-⎧⎨=-⎩，12||x x -==6==，得9c =.评注 本题的关键在于将二次不等式转化为二次方程求解.即不等式2x ax b c ++<的解集为(,6)m m +与方程2x ax b c ++=的实根12,x x 之间的联系，即12||6x x -=.变式1 （2012浙江理17）设a R ∈，若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则______a =. 变式2 （2012北京理14）已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<，则m 的取值范围是________. 题型2 二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件思路提示 结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.例2．43 已知,αβ是方程2(21)420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求实数m 的取值范围. 分析 根据二次方程根的分布结合图像求解.解析 根据题意，如图2-10所示，对于2()(21)42f x x m x m =+-+-，由图像知2αβ<<，得(2)0f <，故2(2)2(21)2420f m m =+-⨯+-<，解得3m <-，所以m 的取值范围是(,3)-∞-.图2-10评注 利用图像法研究二次方程根的分布问题，会起到事半功倍的效果.变式1 关于x 的方程22(1)210m x mx -+-=的两个根，一个小于0，一个大于1.求实数m 的取值范围. 变式2 已知二次函数2()2(,)f x x bx c b c R =++∈满足(1)0f =,且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间(3,2)--和(0,1)内，求实数b 的取值范围.例2.44 已知方程32230(,,)x ax bx c a b cR +++=∈的三个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线、一个）.A. )+∞ B.)+∞ C.)+∞ D. )+∞ 解析 由方程32230(,,)x ax bx c a b c R +++=∈有三个实根123,,x x x ，且满足12301,1,1x x x <<=>.则231a b c ++=-，得123c a b =---.32232310x ax bx a b ++---=, (*)由1x =是方程的根，可知方程(*)可写成：2(1)[(231)]0x x mx a b -++++=，展开并与方程(*)对照系数可得21m a =+.所以2(21)(231)0x a x a b +++++=. 令2()(21)(231)f x x a x a b =+++++，(0)2310(1)4330f a b f a b =++>⎧⎨=++<⎩，如图2-11，(,)a b 所在的区域如阴影部分所示,点1(1,)3A -)+∞.故选A.图2-11变式1 设直线2y x m =-+与y 轴相交于点P ，与曲线22:33(1)C x y x -=≥相交于Q ，R ，且|PQ|<|PR |,求||||PR PQ 的取值范围. 题型3 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题思路提示 根据二次函数图像，分析对称轴与区间的位置关系.例2.45 函数2()23f x x ax =--在区间[1,2]上是单调函数，则（ ）. A. (,1)a ∈-∞ B. (2,)a ∈+∞ C. [1,2) D. (,1][2,)a ∈-∞+∞ 分析 利用区间[1,2]在对称轴的左侧和右侧分别作图.解析 作出函数在[1,2]上符合单调区间的图像，如图2-12（a ）,(b)所示的情况均满足要求.故选D.图2-12(b)(a)x评注 在处理“动轴定区间”问题时，首先应确定不定量，即区间一定，然后根据题目要求分类讨论对称轴与区间的相对位置关系，求解参数的范围.变式1 函数2()23f x x kx =-+在[1,)-+∞上是增函数，求实数k 的取值范围. 例2.46 求函数2()21f x x ax =--在[0,2]上的值域.分析 解答本题可结合二次函数的图像及对称轴与区间的位置关系. 解析 2()21f x x ax =--，抛物线()y f x =开口向上，对称轴x a =.（1） 当0a ≤时，函数在区间[0,2]上为增函数，故min max (0)1,(2)34y f y f a ==-==-，所以函数的值域为[1,34]a --.（2） 当2a ≥时，函数在区间[0,2]上为减函数，故min max (2)34,(0)1y f a y f ==-==-，所以函数的值域为[34,1]a --.（3） 当01a <≤时，函数在区间[0,]a 上为减函数，在区间[,2]a 上为增函数，故2min max ()(1),(2)34y f a a y f a ==-+==-，所以函数的值域为2[(1),34]a a -+-.（4） 当12a <≤时，函数在区间[0,]a 上为减函数，在区间[,2]a 上为增函数，故2min max ()(1),(0)1y f a a y f ==-+==-，所以函数的值域为2[(1),1]a -+-.评注 在求二次函数的最值时，要注意定义域是R 还是区间[,]m n ，若是区间[,]m n ，最大（小）值不一定在对称轴处取得，而应该看对称轴是在区间[,]m n 内还是在 区间的左边或右边.在区间的某一边时，应该利用函数的单调性求解，最值不在对称轴处取得，而在区间的端点处取得.变式1 已知函数22()4422f x x ax a a =-+-+在区间[0,2]上有最小值3，求实数a 的值.例2.47 已知二次函数2()23f x x x =--，若()f x 在[,1]t t +上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式. 分析 本题考查“定轴动区间”问题，求给定的二次函数在动区间上的最值，利用数形结合及分类讨论思想求解.解析 根据二次函数的解析式知1x =为其对称轴，分析对称轴与区间的位置关系，如图2-13所示.(b)(c)图2-13(a )x(1) 当1t >时，如图2-13（a ）所示，2()()23g t f t t t ==--；(2) 当11t +<，即0t <时，如图2-13（b ）所示，2()(1)4g t f t t =+=-； (3) 当11t t ≤≤+，即01t ≤≤时，如图2-13（c ）所示，()(1)4g t f ==-.因此224(0)()4(01)23(1)t t g t t t t t ⎧-<⎪=-≤≤⎨⎪-->⎩.变式1 已知二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)0,(1)1f f ==，若()f x 在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，求,m n 的值.变式2 （2012北京东城期末理8）已知函数2()1f x x =+的定义域为[,]()a b a b <，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(,)a b 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形面积为A.8B.6C.4D.2最有效训练1.函数2263,[1,1]y x x x =-+∈-，则y 的最小值是（ ）.A. 32-B. 3C. 1-D.不存在 2.已知,,a b c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或13. 函数y =x 2+mx +1的图像关于直线x =1对称的充要条件是( ). A. m =-2 B. m =2 C. m =-1 D. m =14. 已知函数ƒ(x )=ax 2+bx +c ，且a >b >c ，a +b +c =0，则( ). A. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )>0 B. ∀x ∈(0,1)，都有ƒ(x )<0 C. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)=0 D. ∃x 0∈(0,1)，都有ƒ(x 0)>05. 已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y=x2的图像上，则使得∆ABC的面积为2的点C的个数为( ).A. 4B. 3C. 2D. 16. 已知函数ƒ(x)=2x2+(4-m)x+4-m，g(x)=mx，若对于任意实数x，ƒ(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( ).A. [-4,4]B. (-4,4)C. (-∞,4)D. (-∞,-4)7. 若函数ƒ(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线x=1对称，则ƒ(x)max=________.8. 关于x的方程2x2+ax-5-2a=0的两实根可分别作为一个椭圆与一个双曲线的离心率，则实数a的取值范围是________.9. 当x∈[0,2]时，函数ƒ(x)=ax2+4(a-1)x-3在x=2时取得最大值，则a的取值范围是________.10.已知二次函数ƒ(x)=ax2-x+c(x∈R)的值域为[0,+∞)，则c aa c+++22的最小值为________.11.已知定义域为R的函数ƒ(x)满足ƒ(ƒ(x)-x2+x)=ƒ(x)-x2+x.(1)若ƒ(2)=3，求ƒ(1)，又若ƒ(0)=a，求ƒ(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得ƒ(x0)=x0，求函数ƒ(x)的解析式.12.已知二次函数ƒ(x)=x2+mx+1(x∈Z)，且关于x的方程ƒ(x)=2在区间(-3,12)内有两个不同的实根.(1)求ƒ(x)的解析式；(2)若x∈[1,t](t>1)时，总有ƒ(x-4)≤4x成立，求t的最大值.。
二次函数知识点总结及相关典型题目
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 二次函数基础知识✧ 第一天✧ 相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.第二天.✧ 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． ✧ 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 第三天✧ 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --= （讲解）三点式。
二次函数中考复习题型总结归纳
中考专题之二次函数考点一：二次函数解析式【知识点】三种解析式形式 1.一般式：2+y ax bx c =+(a ≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为2y ax bx c =++，将已知条件代入，求出a 、b 、c 的值．2.交点式（双根式）：12()()(0)y a x x x x a =--≠．若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，设所求二次函数为12()()y a x x x x =--，将第三点(m ，n)的坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 3.顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为2()y a x h k =-+，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 【经典例题】例1 已知一条抛物线经过点 （0，0），（2，4），（4，0）,求这个函数关系式。
【变式练习】1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。
5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
考点二：二次函数图像【知识点】一、各种形式的二次函数的图像性质如下表：1.抛物线c bx ax y ++=2中的系数c b a ,,（1）a 决定开口方向，几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当0>a 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0<a 时，抛物线开口向下，顶点为其最高点. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：当0=b 时，对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 决定抛物线与y 轴交点位置：当0=c 时，抛物线经过原点； 当0>c 时,相交于y 轴的正半轴；当0<c 时,则相交于y 轴的负半轴. （4）.抛物线与x 轴的交点设二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定： （1）240b ac ->⇔抛物线与x 轴有两个交点；（2）240b ac -=⇔抛物线与x 轴有一个交点（顶点在x 轴上）； （3）240b ac -<⇔抛物线与x 轴没有交点. 要点诠释：当x ＝1时，函数y ＝a+b+c ； 当x ＝-1时，函数y ＝a-b+c ； 当a+b+c ＞0时，x ＝1与函数图象的交点在x 轴上方，否则在下方； 当a-b+c ＞0时，x ＝-1与函数图象的交点在x 轴的上方，否则在下方． 2.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=。
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二次函数知识点总结——题型分类总结一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 .①142+-=x x y ； ②22x y =； ③x x y 422+=； ④x y 3-=； ⑤12--=x y ； ⑥p nx mx y ++=2； ⑦()x y ,4=； ⑧x y 5-=。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252+=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 _________ 。
3、若函数()547222++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
4、若函数()1522++-=-x xm y m 是关于x 的二次函数，则m 的值为 。
6、已知函数()35112-+-=+x x m y m 是二次函数，求m 的值。
二、二次函数的对称轴、顶点、最值记忆：如果解析式为顶点式：()k h x a y +-=2，则对称轴为： _ , 最值为： ；如果解析式为一般式：c bx ax y ++=2，则对称轴为： __ ，最值为： ；如果解析式为交点式：()()21x x x x a y --=, 则对称轴为： ，最值为： 。
1．抛物线m m x x y -++=2242经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线x x y 32+=的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线x ax y 62-=经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线b ax y +=不经过二、四象限，则抛物线c bx ax y ++=2( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线()4112--+=x m x y 的顶点的横坐标是2，则m 的值是 . 7．抛物线322-+=x x y 的对称轴是 。
8．若二次函数332-+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。
9．当n ＝______，m ＝______时，函数()()x n m x n m y n-++=的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.10．已知二次函数3222++-=a ax x y ，当a = 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数()112-+-+=m x m mx y 有最小值为0，则m ＝ __。
12．已知二次函数342-+-=m x x y 的最小值为3，则m ＝ 。
三、函数c bx ax y ++=2的图象和性质1．抛物线942++=x x y 的对称轴是 。
2．抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 _______ (填“向上”或“向下”) ，顶点坐标是 。
3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。
4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y5．把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，试求c b ,的值。
6．把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3 个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。
7．某商场以每台2500元进口一批彩电。
如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？四、函数()k h x a y +-=2的图象与性质 12．已知函数54242,22-+=-==x y x y x y 和。
（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。
（2）分析分别通过怎样的平移。
可以由抛物线22x y =得到抛物线()242-=x y 和()5422-+=x y ？3．试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移23个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
4．试说明函数()2321-=x y 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。
5．二次函数y=a(x －h)2的图象如图：已知a=12，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。
五、二次函数的增减性1.二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。
2.已知函数y=4x 2－mx+5，当x> －2时,y 随x 的增大而增大；当x< －2时，y 随x的增大而减少；则当x ＝1时,y 的值为 。
3.已知二次函数y=x 2－(m+1)x+1，当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 .4.已知二次函数y=－12 x 2+3x+52的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3<x 1<x 2<x 3，则y 1,y 2,y 3的大小关系为 .六、二次函数的平移记法：只要两个函数的 a 相同，就可以通过平移重合。
将二次函数一般式化为顶点式y=a(x －h)2+k ，平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减，对y 。
6.抛物线y= －32x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
7.抛物线y= 2x 2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。
8.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
9.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
10.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .11.将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.七、函数的交点11.抛物线y=x 2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。
12.直线y=7x+1与抛物线y=x 2+3x+5的图象有 个交点。
八、函数的的对称13.抛物线y=2x 2－4x 关于y 轴对称的抛物线的关系式为 。
14.抛物线y=ax 2+bx+c 关于x 轴对称的抛物线为y=2x 2－4x+3，则a= b= c=九、函数的图象特征与a 、b 、c 的关系1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<02.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则下列结论正确的是（ ）A．a+b+c> 0 B．b> -2aC．a-b+c> 0 D．c< 03.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如右图，有以下结论：①c>0；②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0；其中正确的为（）A．①②B．①④C．①②③D．①③⑤4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( )6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac， 2a＋b，a＋b＋c 四个代数式中，值为正数的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个7.在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y=cx(a<c)图象可能是图所示的( )A B C D1xyO1xyO1xCyO1xyO8.反比例函数y= k x的图象在一、三象限，则二次函数y ＝kx 2-k 2x-1c 的图象大致为图中的（ ）A B C D9.反比例函数y= k x中，当x> 0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y ＝kx 2+2kx 的图象大致为图中的（ ）A B C D10.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中：正确的个数是（ ）①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同；③4a ＋b ＝0; ④当y ＝－2时，x 的值只能取0；A ．1B ．2C ．3D ．411.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y ＝ax ＋bc 不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限十、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）1. 如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即可）2. 二次函数y ＝x 2-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为3. 抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( )A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点4. 如图所示，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于点C ， 则△ABC 的面积为( )A.6B.4C.3D.15. 已知抛物线y ＝5x 2＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离平方等于为 4925，则m 的值为( ) A.－2 B.12 C.24 D.486. 若二次函数y ＝(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是7. 已知抛物线y ＝x 2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。
十一、函数解析式的求法（一）、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax 2+bx+c ，然后解三元方程组求解； 1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。