解一元一次方程(提高篇)

一元一次方程的解法（提高篇）【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称 具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移 项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项 把方程化成ax ＝b (a≠0)的形式 字母及其指数不变 系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a=．不要把分子、分母写颠倒要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．要点二、解特殊的一元一次方程 1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点诠释：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，分类讨论：(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-.2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论： （1） 当a≠0时，b x a=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b≠0时，方程无解．（2）【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程1．解方程：(1)25332xx-=+；(2)15.4320.6x x+=-．【答案与解析】解：(1)253 32xx-=+．移项，合并得18 6x=．系数化为1，得x＝48．(2)15.4x+32＝-0.6x．移项，得15.4x+0.6x＝-32．合并，得16x＝-32．系数化为1，得x＝-2．【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．(2)合并：即通过合并将方程化为ax＝b(a≠0)．(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解bxa =．举一反三：【变式】下列方程的解法对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？3x+2＝7x+5解：移项得3x+7x＝2+5，合并得10x＝7，系数化为1得710x=．【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2．正确解法：解：移项得3x-7x＝5-2，合并得-4x＝3，系数化为1得34x=-．类型二、去括号解一元一次方程2. 解方程：112 [(1)](1) 223x x x--=-【答案与解析】解法1：先去小括号得：11122[]22233x x x-+=-再去中括号得：1112224433x x x-+=-移项，合并得：5111212x-=-系数化为1，得：115x=解法2：两边均乘以2，去中括号得：14(1)(1)23x x x--=-去小括号，并移项合并得：51166x-=-，解得：115x=解法3：原方程可化为：112 [(1)1(1)](1) 223x x x-+--=-去中括号，得1112 (1)(1)(1) 2243x x x-+--=-移项、合并，得51(1)122x--=-解得115 x=【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．3．解方程：111111110 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案与解析】解法1：(层层去括号)去小括号11111110 2242x⎧⎫⎡⎤----=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，去中括号1111110 2842x⎧⎫----=⎨⎬⎩⎭，去大括号111110 16842x----=，移项、合并同类项，得115168x=，系数化为1，得x＝30．解法2：(层层去分母)移项，得11111111 2222x⎧⎫⎡⎤⎛⎫---=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭，两边都乘2，得1111112 222x⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，移项，得111113 222x⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，两边都乘2，得11116 22x⎛⎫--= ⎪⎝⎭移项，得111722x⎛⎫-=⎪⎝⎭，两边都乘2，得11142x-=，移项，得1152x=，系数化为1，得x＝30．【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做．举一反三：【变式】解方程11111641 2345x⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．【答案】解：方程两边同乘2，得1111642 345x⎡⎤⎛⎫--+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，移项、合并同类项，得111162 345x⎡⎤⎛⎫--=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，两边同乘以3，得11166 45x⎛⎫--=-⎪⎝⎭．移项、合并同类项，得1110 45x⎛⎫-=⎪⎝⎭，两边同乘以4，得1105x-=，移项，得115x=，系数化为1，得x＝5．类型三、解含分母的一元一次方程4．解方程：4 1.550.8 1.2 0.50.20.1 x x x----=【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．【答案与解析】解法1：将分母化为整数得：40155081210 521x x x----=约分，得：8x-3-25x+4＝12-10x移项，合并得：117x=-．解法2：方程两边同乘以1，去分母得：8x-3-25x+4＝12-10x移项，合并得：117x=-．【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如解法1；但有时直接去分母更简便一些，如解法2．举一反三：【变式】解方程0.40.90.30.210.50.3y y++-=．【答案】解：原方程可化为4932153y y++-=． 去分母，得3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得12y+27-15-10y ＝15． 移项、合并同类项，得2y ＝3．系数化为1，得32y =． 类型四、解含绝对值的方程5．解方程：3|2x|-2＝0【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x 的值． 【答案与解析】解：原方程可化为：223x = 当x ≥0时，得223x =，解得：13x =， 当x ＜0时，得223x -=，解得：13x =-，所以原方程的解是x ＝13或x ＝13-．【总结升华】此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再根据（ax b +）的正负分类讨论，注意不要漏解．举一反三：【变式】解方程|x-2|-1＝0． 【答案】解：原方程可化为：|x-2|=1，当x-2≥0，即x≥2时，原方程可化为x-2＝1，解得x ＝3； 当x-2＜0，即x ＜2时，原方程变形为-(x-2)=1，解得x ＝1． K] 所以原方程的解为x ＝3或x ＝1．类型五、解含字母系数的方程6. 解关于x 的方程：1mx nx -= 【答案与解析】解：原方程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n=-； 当0m n -=，即m n =时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论．举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值. 【答案】解：∵原方程有解，∴ 40k -≠ 原方程的解为：64x k =-为正整数，∴4k -应为6的正约数，即4k -可为：1，2，3，6 ∴k 为：5，6，7，10答：自然数k 的值为：5，6，7，10.巩固练习题一、选择题1．关于x 的方程3x+5＝0与3x+3k ＝1的解相同，则k 的值为( )． A ．-2 B ．43 C ．2 D ．43- 2．下列说法正确的是 ( )A ．由7x ＝4x-3移项得7x-4x ＝-3B ．由213132x x --=+去分母得2(2x-1)＝1+3(x-3) C ．由2(2x-1)-3(x-3)＝1去括号得4x-2-3x-9＝4D ．由2(x-1)＝x+7移项合并同类项得x ＝5 3．将方程211123x x ---=去分母得到方程6x-3-2x-2＝6，其错误的原因是( ) A ．分母的最小公倍数找错B ．去分母时，漏乘了分母为1的项C ．去分母时，分子部分的多项式未添括号，造成符号错误D ．去分母时，分子未乘相应的数 4．解方程4530754x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，较简便的是( )． A ．先去分母 B ．先去括号 C ．先两边都除以45 D ．先两边都乘以455．小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：11222y y -=+■，怎么办呢?小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是53y =，于是小明很快补上了这个常数，并迅速完成了作业．同学们，你们能补出这个常数吗?它应是( )．A ．1B ．2C ．3D ．46. （山东日照）某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ） A ．54盏 B ．55盏 C ．56盏 D ．57盏7. “△”表示一种运算符号，其意义是2a b a b ∆=-，若(13)2x ∆∆=，则x 等于 （ ）。

A ．1 B ．12 C ．32D ．28.关于x 的方程(38)70m n x ++=无解，则mn 是 （ ） A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数二、填空题9.（福建泉州）已知方程||x 2=，那么方程的解是 .10. 当x= _____ 时，x －31x+的值等于2. 11．已知关于x 的方程的3322x a x -=+解是4，则2()2a a --=________．12．若关于x 的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则整数a 的值是 ．13．已知关于x 的方程32()mx x m +=-的解满足230x --=，则m 的值是____________．14．a 、b 、c 、d 为有理数，现规定一种新的运算：a b ad bc cd=-，那么当241815x =-时，则x ＝______．三、解答题15．解下列方程: （1） 521042345102y y y --+-=-+．（2） 111233234324x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭．（3）0.150.1330200.30.110.07300.2x x x +++-=+。