第八章 波动学基础

=
−π 2
.
(3)距波源为 15m 和 16m 的两质点的位相差：
∆φ = ∆x × 2π = π . λ2
8.5
已知某平面简谐波的波源振动方程为 y
π = 0.06sin(
t) ，式中 y
以 m 计，t 以
2
s 计.设波速为 2m/s，试求离波源 5m 处质点的振动方程.这点的位相所表示的运
动状态相当波源在哪一时刻的运动状态?
角为 30o，且 PA=4m，求两波通过 P 点位相差．
解：依题意可知，PA=4m，AB=0.1m， 利用余弦定理，可得
PB=3.91m，两波通过 P 点的相位差：
∆φ = (PA − PB) × 2π λ
又∵ λ = c f
∴ ∆φ = 10.8π
8.7 S1和 S2 是两个相干波源，相距 1 波长，S1 比 S2的位相超前 π .设两列波在 S1，
波沿+X 方向传播，求：
(1) 此波的方程；
(2) 沿波传播方向距离波源为 λ 处的振动方程； 2
(3) 当 t = T 时，波源和距离波源为 λ ， λ ， 3λ 及λ的各点各自离开平衡位置
4
42 4
的位移；
(4) 当 t = T 时，波源和距离波源为 λ ， λ ， 3λ 及λ的各点各自离开平衡位置
解：(1)两波传到 P 处的位相差 ∆α ： 2π
∆α = α 2 − α1 − (r2 − r1 ) × λ 由题中给出 A,B 两点的振动方程可知，A 比 B 的位相超前π
6
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∴ ∆α = π − ( PA − PB) 2π = π − 2π × (PA − PB) × ω = −2.5π
ππ
π
y1
=
A cos(200π
t
−16 ×
2
−
2
)
=
A cos( 200π
t
−
) 2
同理,
y2
=
A cos( 200π
t
−
20 ×
π 2
−
π 2
)
=
A cos(200π
t
−
π) 2
4
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初相位分别为：t=0
时， φ1 0
=
−π 2
,φ20
x = 0.2 + c∆t = 0.2 + c(1.25−1) = 0.825(m)
同理，在 t=1.5s 时，该位相所代表的运动状态，距离原点的位置为：
x = 0.2 + c∆t′ = 1.45(m)
(4)t=1s 时， y = 0.05cos4πx ，
t=1.1s 时， y = −0.05 cos 4πx ，
(3)设 t 时刻，传播方向上相距为 D 的两点分别为 x1， x2 那么这两点所对应的波动方程分别为：
y1 = A cos(Bt − Cx1)
y2= Acos( Bt − Cx2 )
∴这两点的相位差 ∆φ 为： ∆φ = φ1 − φ2 = C x2 − x1 = CD .
8.2 一列横波沿绳子传播时的波动方程为 y = 0.05cos(10πt − 4πx) ，式中 x,y 以 m 计，t 以 s 计. (1)求此波的振幅、波速、频率、和波长； (2)求绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度； (3)求 x=0.2m 处的质点在 t=1s 时的位相,它是原点处质点在哪一时刻的位相？ 这一位相所代表的运动状态在 t=1.25s 时刻到达哪一点?在 t=1.5s 时刻到达哪一 点?
2π
f
(2)
∵平面简谐波的波动方程为： y
=
Acos ω(t −
x )
c
∴绳子上各质点的振动速度为: ν = ∂y = − Aω sin ω(t − x)
∂t
c
绳子上各质点的振动加速度为: a = ∂ 2 y = − Aω 2 cosω(t − x )
∂t 2
c
∴绳子上各质点振动时的最大速度为 vmax = Aω =0.5π=1.57(m/s)
当取波源为原点并且该波沿+X 方向传播时，波动方程为
y
=
0.1cos(4π
t
π −
x)
5
(2) 沿波传播方向距离波源为λ/2 处的振动方程为：
y = 0.1cos(4π t − π ⋅ λ ) = −0.1cos(4π t) 52
(3) 距离波源分别为 λ , λ , 3λ 和λ的各点的振动方程为： 42 4
∂t
5
当 t = T 时，距离波源 λ 处质点的振动速度为：
4
4
v
=
−0.4π
sin(
4π
T ×
−
π
× λ ) =0(m/s)
454
同理，当 t = T 时，距离波源 λ 处质点的振动速度为：
2
4
v = −0.4π (m / s)
8.4 一波源做简谐振动，周期为 1 s，经平衡位置向正方向运动时，作为计时起 100
绳子上各质点振动时的最大加速度为 amax = Aω 2 =5π 2 =49.35(m/s2).
(3) x=0.2m 处的质点在 t=1s 时的位相: φ = 9.2π
设该位相是原点处质点在 t 时刻的位相，可得
φ = 9.2π =10π t ∴ t = 0.92 (s)
这一位相代表的运动状态在 t=1.25s 时距离原点的位置为：
(3)试求任何时刻,在波传播方向上相距为 D 的两点的位相差.
解:(1) ∵A、B、C 为正值恒量，所以该波沿 X 轴正方向传播，与平面简谐波的
波动方程 y = Acos ω(t − x) 比较系数，可得 c
波的振幅为 A，ω = B , ω = C ，∴T = 2π ， f
=
B
，c = ω
B =
c
24
设该点的位相所代表的运动状态相当波源在 t′时刻的运动状态，所以
π
t
5π −
=
π
t′
2 42
可得 t′ = (t − 2.5) (s)
8.6 如图所示，A 和 B 是两个同位相的波源，相距 d=0.10m,同时以 30Hz 的频率
发出波动，波速为 0.50m/s.P 点位于 AB 上方，AP 与 AB 夹
方向传播，A 点的振动方程为 y2 = 0.2 ×10−2 cos(2π t + π ) ， 两式中 y 以ｍ计，ｔ以ｓ计，P 处与 B 相距 0.40m，与 A 相距 0.05m，波速为 0.20m/s.求： (1)两波传到 P 处的位相差； (2)在 P 处合振动的振幅； (3)如果在 P 处相遇的两横波，振动方向是互相垂直的，则合振动的振幅又如何?
其中 ∆α 为两列相干波在空间任一点所引起的两个振动的位相差
2π ∆α = α 2 − α1 − (r2 − r1 ) × λ 当 P 点在 S1 外侧时，根据题中所给的条件，可得
2π π 2π λ
∆α = α 2 − α1 − (r2 − r1 ) × λ
=− − 2
λ
× = −π 4
∴ A = 2A0 2 + 2A0 2 cos(-π ) = 0
又∵波的强度与振幅的平方成正比 ∴ I = 0
同理，当 P 点在 S2 外侧时，
2π π λ 2π
∆α = α 2 − α1 − (r2 − r1 ) ×
λ
= − − (− ) × 24
λ
=0
∴ A = 2 A0 ∴ I = 4I 0 8.8 如图所示，设平面横波 1 沿 BP 方向传播，它在 B 点 的振动方程为 y1 = 0.2 ×10−2 cos 2π t ，平面横波 2 沿 AP
y4 =0(m)
(4) 与(3)的方法类似，易求得，
x = λ 时， y=0(m)； x = λ 时， y=0.1(m)；
4
2
x = 3λ 时，y=0(m)； x = λ 时， y=-0.1(m). 4
3
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(5)各质点的振动速度， v = ∂y = −0.4π sin( 4π t − π x)
1
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(4)分别图示 t=1s，1.1s，1.25s 和 1.5s 各时刻的波形.
解：(1)通过与平面简谐波的波动方程比较系数，可得
此波的振幅 A=0.05m， 波速 c = 10π =2.5(m/s)， 4π
频率 f = 10π =5(HZ)， 波长 λ = c =0.5(m).
解：已知某平面简谐波的波源振动方程为 y = 0.06sin( π t) ，则该平面简谐波的波 2
动方程为 y = 0.06sin π (t − x ) 2c
∴离波源 5m 处质点的振动方程为：将 x=5m 代入上式中的波动方程得，
y
=
0.06sin
π
(t
−
5 )
=
0.06 sin(
π
t
−
5π
)Baidu Nhomakorabea
2c
t=1.25s 时, y = 0.05sin 4πx ，
t=1.5s 时， y = −0.05cos4πx .
2
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8.3 已知平面余弦波波源的振动周期 T= 1 s，所激起的波的波长λ=10m，振幅为 2
0.1m，当 t=0 时，波源处振动的位移恰为正方向的最大值，取波源处为原点并设
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第八章 波动学基础
8.1 已知波源在原点(x=0)的平面简谐波的方程为 y = Acos(Bt − Cx) 式中 A , B , C
为正值恒量.试求：
(1)波的振幅,波速,频率,周期与波长；
(2)写出传播放向上距离波源 l 处一点的振动方程；
λ
2π c
(2)在 P 处合振动的振幅为：
A = A10 2 + A 20 2 + 2A10A 20 cos∆α = 2.83×10−2 (m) (3)由于两列横波振幅相同，频率相同，相位差 ∆α = 5π ,
2 ∴当振动方向相互垂直时，合成的结果是圆周运动
∴ A = A10 = 0.2 ×10−2 (m) 8.9 一列正弦式空气波，沿直径为 0.14m 的圆柱形管行进，波的平均强度为 18 ×10-3 J·s-1·m-2，频率为 300Hz，波速为 300m/s，问： (1)波中的平均能量密度和最大能量密度是多少? (2)每两个相邻的、相位差为 2π的同相面(亦即相距 1 波长的两同相面)之间的波 段中有多少能量? 解：(1)根据题中所给的条件，由 I = ω c
B
2π
CC
∵ c = λf ，∴ λ = CT = B ⋅ 2π = 2π ． CB C
∴该波的振幅为 A,波速为 B ,频率为 B ,周期为 2π ,波长为 2π .
C
2π
B
C
(2) 已知平面简谐波的方程为 y = Acos( Bt − Cx) ，令式中的 x = l 即为传播方向上
距波源 l 处一点的振动方程： y = Acos(Bt − Cl) .
y = 0.1sin( 4π t) , y = −0.1cos(4π t) ， y = −0.1sin( 4π t) , y = 0.1cos(4π t)
当 t = T 时，它们各自离开平衡位置的位移为： 4
y1
=
0.1sin(
4π
⋅
T 4
)
=0.1(m)，
y2 =0(m),
y 3 =-0.1(m),
4
2
S2 连线方向上的强度相同且不随距离变化，问 S1，S2 连线上在 S1 外侧各点处的
合成波的强度如何?又在 S2 外侧各点处的强度如何?
解：两列相干波在空间任意点 P 所形成的振动的振幅为
A = A1 2 + A 2 2 + 2A 1A 2 cos∆α
5
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φ0
=
−π 2
,
设该平面简谐波的波动方程为
2π 2π
y = Acos( T
t−
λ
x + φ0 )
将上面的结果代入可得， y = Acos( 2π t − 2π x − π ) = Acos(200π t − π x − π ) ①
Tλ2
22
(2)距波源为 16m 和 20m 处质点振动方程为：
将 x=16m 代入①式，得，
点.设此振动以 c=400m/s 的速度沿直线传播，求：
(1) 这波沿某一波线的方程；
(2) 距波源为 16m 处和 20m 处质点振动方程和初位相；
(3) 距波源为 15m 和 16 m 的两质点的位相差是多少?
解：(1)根据题意可知，该简谐波的频率为ƒ=100(HZ)，波速 c=400m/s，初相位
2
42 4
的位移；并根据(3)(4)计算结果画出波形(y-x 关系)曲线；
(5) 当 t = T 和 T 时，距离波源 λ 处质点的振动速度.
42
4
解：(1)根据题意可知，该平面余弦波的振幅 A=0.1m，频率 f =2(HZ),波速
c = λ f = 20 (m / s) ,初相位φ0 = 0 .
则ω = I = 18×10−3 / 300= 6×10−5 ( J ⋅ m−3 ) c