《概率论与数理统计》教学教案—06参数估计

1. 无偏性：设ˆ ˆ(X1, X2, , Xn ) 是未知参数 的估计量，若 E(ˆ) ，则称ˆ 为 的无偏估计。
2. 有效性：设ˆ1 ,ˆ2 均为参数 的无偏估计量，若 D(ˆ1) D(ˆ2) , 则称ˆ1比ˆ2 有效。
3. 相合性（一致性）：设ˆ 为未知参数 的估计量，若对任意的 0，都有 lim P ˆ 1，即ˆ n
，
ˆ3
1 4
( X1
X2
X3
X4
)
x 0, ，其中 为未知参数，
x0
问哪一个最优？
《概率论与数理统计》 教学教案
第 6 章 参数估计
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
第 6 章 第 1 节 点估计 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
点估计、估计量与估计值的概念、估计量的无偏
课的类型 教学手段 教学难点
性、有效性和一致性的概念、、估计量的相合性、
矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。
度分别为 X1, X 2 , , X n ，试用矩估计法估计 a , b .
例 4．设袋中放有很多的白球和黑球，已知两种球的比例为 1:9，但不知道哪种颜色的球多，现从中有放
回地抽取三次，每次一球，发现前两次为黑球，第三次为白球，试判断哪种颜色的球多。
例 5．求出例 2 中未知参数 的最大似然估计量.
例
2．设某种钛金属制品的技术指标为
X
其概率密度为
f
(x)
x
10,,x x Nhomakorabea 1, 其中未知参数 1.
1，
X1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求 的矩估计量.
例 3．已知某种金属板的厚度 X 在( a , b)上服从均匀分布，其中 a , b 未知，设抽查了 n 片金属板，厚
新知识课 黑板多媒体结合 矩估计法（一阶、二阶距）和最 大似然估计法。
参考教材 浙江大学《概率论与数理统计》第四版
作业布置 课后习题
大纲要求 1．理解参数的点估计、估计量与估计值的概念；了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）
和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性；会利用大数定律证明估计量的相合性。
2．掌握矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。
教 学 基本内容
一．矩估计法 1.矩估计法的基本思想是替换原理，即用样本矩去替换相应的总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中
心距。我们知道，矩是由随机变量的分布唯一确定的，而样本来源于总体，由大数定律，样本矩在一定程度上 反映总体矩的特征。
2．矩估计法：用样本矩来估计总体矩的估计方法称为矩估计法. 3．矩估计法的步骤：
例 6．设某种元件使用寿命
X
的概率密度为
f
(x)
2e2( x
)
,
0 ,
x ，其中 0 是未知参数，设 其它
x1, , , xn 是样本观测值，求 的最大似然估计.
例 7．设某工厂生产的手机屏幕分为不同的等级，其中一级品率为 p，如果从生产线上抽取了 20 件产品， 发现其中有 3 件为一级品，求：
（1）p 的最大似然估计； （2）接着再抽 5 件产品都不是一级品的概率的最大似然估计. 例 8．设样本 X1, X 2 , , X n 来自正态总体 X N (， 2)，其中， 2 未知，求和 2 的最大似然估计。
例 9．设总体 X 的 k 阶矩 k
E( X k ) 存在，证明:
不论
X
服从什么分布，样本的 k 阶矩 Ak
解似然方程组 L 0, i 1, 2, , k ，或者对数似然方程组 ln L 0, i 1, 2, , k ，即可得到参数的最大似然
i
i
估计ˆ1,ˆ2,...,ˆk 。
2．定理：若ˆ 为参数 的最大似然估计， g( ) 为参数 的函数，则 g(ˆ ) 是 g( ) 的最大似然估计.
三．点估计的评价标准
1 n
n i 1
X
k i
是
k 的无偏估计。
例 10．已知
B2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
，S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
都是总体方差 2 的估计量，问哪个估计量更
好？
2x
例
11．设总体
X
的概率密度为
f
(x)
3
2
0
x 2 ，其中 是未知参数, X1, X 2 ,..., X n 为来自 其它
设总体 X 的分布中包含 m 个未知参数 1， 2，…， m， X1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的样本，如果总体
的 k 阶 原 点 矩 E( X k ) 存 在 ， 并 设 E( X k ) k (1,2 ,...,m ) ， 相 应 的 k 阶 样 本 原 点 矩 为
Ak
1 n
依概率收敛于参数 ，则称ˆ 为 的相合（一致）估计。
4.定理：设ˆ 为 的估计量，若 lim E( ) , lim D(ˆ) 0 ,则ˆ 为 的相合（一致）估计.
n
n
四．例题讲解
例 1．设 X 为某零配件供应商每周的发货批次，其分布律为
X0
1
23
P 2 2 (1 ) 2 1 2
其中 是未知参数，假设收集了该供应商 8 周的发货批次如下：3，1，3，0，3，1，2，3，求 的矩估计值.
n i 1
X
k i
，以 Ak 替代 E( X k ) ，即可得到关于
1，
2，…，
m 的方程组
k
(1 , 2 , ..., m
)
1 n
n i 1
X
k i
,
k 1, 2,..., m
方程组的解 k ( X1, X 2 , , X n ), k 1, 2, , m ，称为参数 k (k 1, 2, , m) 的矩估计量.
n
总体 X 的简单样本，选择适当常数 c，使得 c
X
2 i
是
2
的无偏估计.
i 1
例
12．设某种产品的寿命
X
服从指数分布，其概率密度为
f
(x)
1
x
e
0
X1, X 2 , X3, X 4 是来自总体的样本，设有 的估计量
ˆ1
1 6
(
X1
X
2
)
1 3
(
X
3
X
4
)
，
ˆ2
1 5
( X1
2X2
3X3
4X4)
4．若代入一组样本观测值 x1, x2 , , xn ，则 k (x1, x2 , , xn ) 称为参数 k (k 1, 2, , m) 的矩估计值.
二．最大似然估计法
1．最大似然估计的步骤： 若总体 X 的分布中含有 k 个未知待估参数 1， 2，…， k，则似然函数为
n
L(1,2 ,...,k ) f (xi ;1,2 ,...k ). i 1