江苏省扬州大学附中东部分校2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题

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江苏省扬州大学附中东部分校2024-2025学年高一(上)第一次月考数学试卷(含答案)

2024-2025学年江苏省扬州大学附中东部分校高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={0,1}，则下列式子表示错误的是( )A. 0∈AB. {1}∈AC. ⌀⊆AD. {0,1}⊆A2.设集合A={3,5,6,8}，B={4,5,8}，则A∪B=( )A. {3,6}B. {5,8}C. {4,6}D. {3,4,5,6,8}3.设命题p：∃x∈Z，x2≥3x+1，则p的否定为( )A. ∀x≠Z，x2<3x+1B. ∃x∉Z，x2<3x+1C. ∀x∈Z，x2<3x+1D. ∃x∈Z，x2<3x+14.已知x∈R，则“x>0”是“x>1”的( )A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数y=x2−4x−5的零点为( )A. (5,0)B. (−1,5)C. −1和5D. (−1,0)和(5,0)6.设m，n∈(0,+∞)，且m+2n=1，则1m +1n的最小值为( )A. 3+22B. 42C. 5D. 47.对于实数a，b，c，下列说法正确的是( )A. 若a>b，则1a <1bB. 若a>b，则ac2>bc2C. 若a>0>b，则ab<a2D. 若c>a>b，则ac−a >bc−b8.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2−a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+4=0”.若命题￢p和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是( )A. a≤−2或a=1B. a≤−2或1≤a≤2C. a≥1D. a≥2二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设A={x|x2−8x+15=0}，B={x|ax−1=0}，若A∩B=B，则实数a的值可以为( )A. 15B. 0 C. 3 D. 1310.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(−12,2)，则下列结论正确的是( )A. a>0B. b>0C. c>0D. a+b+c>011.下列说法正确的是( )A. a>b的一个必要条件是a−1>bB. 若集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素，则a=4C. “ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根”的充要条件D. 已知集合M={0,1}，则满足条件M∪N=M的集合N的个数为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷

2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1. 若α，β是方程x2−2x−3=0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为( )A.5B.7C.10D.92. 已知集合A={1,3,5,7}，B={y|y=2x+1,x∈A}，则A∩B=( )A.{3,7}B.{3,5,9}C.{1,3,5,7,9,11,15}D.{1,3,5,7}3. 已知全集U={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}，集合A={2, 7, 11}，集合B={5, 11, 13}，则(∁U A)∩B=( )A.{11, 13}B.{5, 13}C.{5}D.{13}4. 已知集合A={x|−2<x<1}，B={x|x>0}，则集合A∪B=( )A.(−2, +∞)B.(0, +∞)C.(−2, 1)D.(0, 1)5. 已知集合A={x|x−a≤0}，若2∈A，则a的取值范围为( )A.[2,+∞)B.(−∞,4]C.[4,+∞)D.(−∞,2]6. 若集合A={y|y=x2+1,x∈R}，集合B={x∈R|x+5>0}，则集合A与B的关系是( )A.A=BB.B⊆AC.A∈BD.A⊆B7. 某校运动会上，高一(1)班共有28名同学参加比赛，其中有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有2人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加田径比赛和球类比赛的人数为( )A.3B.1C.4D.28. 定义集合运算：A⊗B={z|z=(x+y)(x−y)，x∈A，y∈B}，设A={√2，√3}，B={1，√2}，则集合A⊗B的真子集个数为( )A.15B.16C.8D.7二、多选题设全集U={0, 1, 2, 3, 4}，集合A={0, 1, 4}，B={0, 1, 3}，则( )A.集合A的真子集个数为8B.A∪B={0, 1, 3, 4}C.A∩B={0, 1}D.∁U B={4}已知全集U=R，集合A，B满足A⫋B，则下列选项正确的有( )A.A∩(∁U B)=⌀B.(∁U A)∩B=⌀C.A∩B=BD.A∪B=B已知集合A={x|x2−2x−3=0}，B={x|ax−1=0}．若A∩B=B，则实数a的值可能是( )A.1B.13C.−1D.0已知全集U=R，集合A={x|x<−1}，B={x|2a<x<a+3}，且B⊆∁R A，则在下列所给数值中，a的可能取值是( )A.1B.0C.−2D.−1三、填空题已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1<x<2m−1}．若B⊆A，则实数m的取值范围是________.四、解答题解不等式.(1)|x+1|>2−x；(2)|x+3|+|x−2|<7.已知集合A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁R A)∩B，A∪(∁R B)．已知集合A={x|a−1<x<2a+1}，B={x|0<x≤3}，U=R.(1)若a=12，求A∪B；A∩(∁U B)；(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．已知集合A={x|2a−3<x<3a+1}，集合B={x|−5<x<4}．(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使得A=B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】根与三程的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】函数的较域及盛求法交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】集合中都连的个数Ve都n资表达长合氧关系及运算交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】子集水水子集【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】子明与织填集速个数问题交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】集合体系拉的参污取油问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】补集体其存算集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】绝对来不等阅【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】集合体系拉的参污取油问题交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】反证法集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷

2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1. 设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件2. 函数f(x)=0√|x|−x的定义域为()A.(−∞, −1)B.(−∞, 0)C.(−∞, −1)∪(−1, 0)D.(−∞, 0)∪(0, +∞)3. 函数y=4xx2+1的图象大致为( )A. B.C. D.4. 已知函数f(x)的定义域为R，f(x)是偶函数，f(4)=2，f(x)在(−∞,0]上是增函数，则不等式f(4x−1)> 2的解集为( )A.(−34,+∞) B.(−∞,54)C.(−34,54) D.(−∞,−34)∪(54,+∞)二、多选题若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域内的任意x，有f(x)+f(−x)=0；(2)对于定义域内的任意x1，x2，当x1≠x2时，有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是( ) A.f(x)={−x2，x≥0，x2，x<0B.f(x)=x−1xC.f(x)=x2D.f(x)=−x3若a>0，b>0，则下列结论正确的有( )A.若a>b>0，则a+1b>b+1aB.若ab+b2=2，则a+3b≥4C.√a2+b2a+b≤√22D.若1a+4b=2，则a+b≥92三、填空题已知9a=3，ln x=a，则x=________．已知x1，x2是函数f(x)=x2−(2k+1)x+k2的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k的取值范围是________.已知正实数a，b满足a+b=1，则(1)ab的最大值是________；(2)1a+2+1b+2的最小值是________．四、解答题已知函数f(x)=xx2+1．(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)判断当x∈(−1,1)时函数f(x)的单调性，并用定义证明；(3)若f(x)定义域为(−1,1)，解不等式f(2x−1)+f(x)<0．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函数单验家的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】函较绕肠由的判断与证明函数奇三性的判刺函数来定义雨题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用不等式因质的印用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函验立零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函较绕肠由的判断与证明不等式射基本性面函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷

2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合M={0, 1}，则下列关系式中，正确的是( )A.0⊆MB.0∈MC.{0}∈MD.{0}∉M2. 集合A={0, 2, a}，B={1, a2}，若A∪B={0, 1, 2, 4, 16}，则a的值为()A.1B.0C.2D.43. ac2>bc2是a>b的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 下列函数中，是同一函数的是( )A.y=2x+1与y=2t+1B.y=x2+xx与y=x+1C.y=x2与y=x|x|D.y=√x2与y=(√x)25. 命题“∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定是()A.∃x∈R，x2+2x+1>0B.∀x∈R，x2+2x+1≤0C.∃x∈R，x2+2x+1<0D.∃x∈R，x2+2x+1≤06. 已知a>0，b>0，3a+2b=ab，则2a+3b的最小值为( )A.25B.20C.28D.247. 设2x=8y+1，9y=3x−9，则x+y的值为（）A.24B.18C.27D.218. 设a log34=2，则4−a=()A. 18B.116C.16D.19二、多选题下列各组集合不表示同一集合的是（）A.M={4, 5}，N={5, 4}B.M={(3, 2)}，N={(2, 3)}C.M={1, 2}，N={(1, 2)}D.M={(x, y)|x+y=1}，N={y|x+y=1}下列命题正确的是( )A.a≥b>−1，则a1+a≥b1+bB.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件C.∃a，b∈R，|a−2|+(b+1)2≤0D.∀a∈R，∃x∈R，使得ax>2下列运算（化简）中正确的有()A.3log35−2e0−lg50−lg2=1B.[(1−√2)2]12−(1+√2)−1+(√2+1)0=3−2√2C.(log89+log2√33)(log34−log2716)=23D.2a3b23⋅(−5a23b13)÷(4√a4b53)=−52a73b−23若集合A={x|(k+1)x2−x−k=0,x∈R}中只有一个元素，则实数k的可能取值是（）A.−1B.0C.−12D.1三、填空题设p:x<2，q:x<a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_______.计算：lg22+lg2⋅lg5+lg5−2−log23⋅log218=________.若不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|−12<x<13}，则a+b的值为________.若命题“∃x∈R，使x2+(a−1)x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．四、解答题(1)设A ={−4, 2a −1, a 2}，B ={a −5, 1−a, 9}，已知A ∩B ={9}，求A ∪B ．(2)已知集合A ={x|−3≤x ≤5}，B ={x|m −2≤x ≤m +1}，满足B ⊆A ，求实数m 的取值范围．计算、化简下列各式的值： (1)4lg 2+3lg 5−lg 15；(2)(√23×√3)6+(−2018)0−4×(1649)−12+√(3−π)44；(3)已知x +x −1=3，求x 32+x −32的值.已知命题p ：任意x ∈[1, 2]，x 2−a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2+2ax +2−a =0．若命题p 与q 都是真命题，求实数a 的取值范围．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/时）与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y =920v v 2+3v+1600(v >0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？设f(x)=ax 2+(1−a)x +a −2.(1)若不等式f(x)≥−2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式f(x)<a −1 (a ∈R).设函数f(x)=ax 2+(b −2)x +3(a ≠0)． (1)若不等式f(x)>0的解集(−1, 1)，求a ，b 的值；(2)若f(1)=2，①a >0，b >0，求1a +4b 的最小值；②若f(x)>1在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高一上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】判断射个初数是律聚同一函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】全称命因与特末命题命正算否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】有理于指数旋【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】集都着相等集合的常义至表示【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质有于械闭数古的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】根据较盛必食例件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根与三程的关系一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】全称命因与特末命题命正算否定命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质对数根助运算有于械闭数古的化简求值根式与使数指数如色见化及其化简运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】复合命题常育真假判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用一元二次较等绕的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】不等式都特立问题一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】不等式三成立的最题根与三程的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020-2021学年苏教版高一上学期第一次月考数学试卷及答案

第 1 页共 6 页 2020-2021学年苏教版高一上学期第一次月考数学试卷一、选择题(共10小题，每小题5分，合计50分)1．已知集合U ＝R ，A ＝{x ∈Z |x 2＜5}，B ＝{x |x 2(2﹣x )＞0}，则图中阴影部分表示的集合为( C )A ．{2}B ．{1，2}C ．{0，2}D ．{0，1，2}2．下列各组函数中，表示同一函数的是 ( D )A ．f (x )＝1，g (x )＝x 0B ．f (x )＝x ﹣2，g (x )＝x 2－4x ＋2C ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2D ． f (x )＝|x |，g (x )＝x 23.设集合M ＝{x |(x ＋1)(x ﹣3)≤0}，N ＝{y |y (y ﹣3)≤0}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则函数f (x )的图象可以是 ( B )A ．B ．C ．D ．4.．已知函数y ＝f (x ﹣1)定义域是[﹣3，2]，则y ＝f (2x ＋1)的定义域是 ( B )A ．[﹣7，3]B ．[﹣52,0]C ．[﹣3，7]D ．[﹣32,1] 5. 若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有 ( C )A ．15个B ．12个C ．9个D ．8个6．设f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2x ＜14－x －1x ≥1则使得f (m )＝1成立的m 值是 ( D ) A ．10 B ．0，10 C ．1，﹣1，11 D ．0，﹣2，107.奇函数f (x )在(﹣∞，0)上的解析式是f (x )＝x (1＋x )，则f (x )在(0，＋∞)上有 ( B )A ．最大值－14B ．最大值14C ．最小值－14D ．最小值148. 已知f (x )＝⎩⎨⎧axx ＞1(4－a 2)x ＋2x ≤1是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是 ) A . [4,8) B .(0,8) C . (4,8) D . (0,8]9.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0＜a ＜3)，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1﹣a ，则有 ( A )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)＜f (x 2)和f (x 1)＝f (x 2)都有可能。

江苏省扬州大学附属中学东部分校2020-2021学年高一上学期期中数学试卷及解析

江苏省扬州大学附属中学东部分校2020-2021学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知幂函数y f x =的图象过点(，则()81f =（） A.3B.13C.9D.192.已知集合{}{}20,1,4A B x x ==≤，则A B =（）A.{}0,1B.{}0,1,2C.{}02x x ≤<D.{}02x x ≤≤3.已知10x y -<<<，比较2211,,,x y x y的大小关系得（） A.2211x y y x<<< B.2211y x x y<<< C.2211y x y x <<< D.2211y x y x<<< 4.下列图形中，表示函数图象的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知函数y =f(x)，部分x 与y 的对应关系如表：则f(f(4))=( )A. −1B. −2C. −3D. 36.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，则对实数a 、b ，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.下列命题为真命题的是（） A.若ac bc >，则a b > B.若22a b >，则a b >C.若11a b>，则a b < D.<a b <8.已知函数()3122xx f x x =+-，若()()2120f a f a -+≤，则实数a 的取值范围为（） A.(]1,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦D.11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题）二、填空题210x >的解”的否定________，并判断其真假_________（填“真命题”或“假命题”）. 10.若0,0x y >>，化简:21113333243x yx y ---⎛⎫÷- ⎪⎝⎭得__________. 11.设lg 6,lg12a b ==，用,a b 表示lg 75得__________. 12.下列几个命题:①下列函数中2y =；y 2log 2x y =；2log 2xy =，与函数y x =相同的函数有2个；②函数()f x x x bx c =++的图象关于点()0,c 对称；③函数y =是偶函数，但不是奇函数；④()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()221f x x x =+-，则当0x ≥时，()221f x x x =-++；⑤函数3222xx y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.其中正确命题的序号有__________.三、解答题13.设集合1{|()8}22xA x =<<，{|||1}B x x a =+<．（1）若3a =，求AB ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．14.已知一次函数()y f x =满足()12f x x a -=+， . 在所给的三个条件中，任选一个补充到题目中，并解答. ①()5f a =，②142a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，③()()41226f f -=. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()()g x x f x f x x λ=⋅++在[]0,2上的最大值为2，求实数λ的值. 15.已知a ∈R ，且a ≠1，比较a +2与31a-的大小. 16.已知函数2()f x x x m =-+.（1）当2m =-时，解不等式()0f x >；（2）若0m >， ()0f x <的解集为(,)a b ，求14a b+的最小値. 17.某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x 要小于m ，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率，已知鱼群的年增加量y （吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率的乘积成正比（设比例系数k >0）. （1）写出y 与x 的函数关系式，并指出定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.18.已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()11x xe f x e -=+. （1）求当0x <时，函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性并证明；（3）设函数()()()2g x f ax f x a =--+，使函数()g x 有唯一零点的所有a 构成的集合记为M ，求集合M .四、新添加的题型） A.若1x >，则21x > B.=x y =C.若220x x +-=，则1x =D.若x AB ∈，则x A B ∈20.对任意实数,,a b c ，下列命题中正确的是（） A.“5a <”是“3a <”的必要条件 B.“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C.“a b =”是“ac bc =”的充要条件D.“a b >”是“22a b >”的充分条件21.已知函数()225,1,1x ax x f x a x x⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩在区间(),-∞+∞上是减函数，则整数a 的取值不可以为（） A.-2B.-1C.0D.122.关于定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，()22f x x x =+，则下列说法正确的是（）A.0x <时，函数解析式为()22f x x x =- B.函数在定义域R 上为增函数C.不等式()328f x -<的解集为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.不等式()210f x x x ---<恒成立参考答案1.C【解析】1.设幂函数解析式，代入点的坐标，求出幂函数解析式，即可求得结果. 由题意设()y f x x α==，图象过点(，得3α=解得12α=， ∴()12f x x=，()1281819f ==；故选：C. 2.A【解析】2.利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再利用交集的定义求解即可. 因为{}{}20,1,{|4}22A B x x x x ==≤=-≤≤，所以{}0,1AB =，故选：A. 3.C【解析】3.利用不等式的性质求解即可. 由10x y -<<<，得22110y x y x<<<<，故选：C. 4.B【解析】4.利用函数的定义判断即可.利用函数的定义，在定义域内的任一个x ，都有唯一确定的y 与之对应，观察图像得第一个图和第二个图正确，第三个图和第四个图不正确；故选：B. 5.D【解析】5. 先求f(4)=−3，再求f(−3)=3通过表格可以得到f(4)=−3，f(f(4))=f(−3)=3故选：D 6.A【解析】6.本道题结合偶函数满足f (x )=f (−x )以及单调递增关系,前后推导,即可.结合偶函数的性质可得f (x )=f (−x ),而当a >|b |,−a <b <a ,所以结合f (x )在 [0,+∞)单调递增,得到f (a )=f (−a )>f (b ),故a >|b |可以推出f (a )>f (b ).举特殊例子,f (−3)=f (3)>f (1),但是−3<|1|,故由f (a )>f (b )无法得到a >|b |,故a >|b |是f (a )>f (b )的充分不必要条件,故选A.7.D【解析】7.根据不等式的性质判断各个命题．A 中若0c <，则得不出a b >，错误；B 中，若0,0a b <<，则有a b <，错误；C 中若0,0a b ><，则仍然是a b >，错误；由不等式的性质知D 正确．故选：D. 8.D【解析】8.先求出函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断奇偶性，最后利用幂函数和指数函数的单调性判断函数的单调性，即可解不等式. 由()3122xxf x x =+-定义域为R ，()()33112222x xx xf x x x f x ---=-+-=--+=-，所以函数()f x 为奇函数，利用幂函数和指数函数的单调性易知：函数()f x 为R 上的增函数，()()()()()()2221201212f a f a f a f a f a f a -+≤⇒-≤-⇒-≤-，则211212a a a -≤-⇒-≤≤，故选：D.9.存在大于3的自然数不是不等式210x >的解假命题【解析】9.利用“改量词，否结论.”求命题的否定，判断原命题的真假即可判断. 由命题：大于3的自然数是不等式210x >的解，得命题的否定为：存在大于3的自然数不是不等式210x >的解，因为大于3的自然数有4,5,6，它们的平方一定大于10，即大于3的自然数都是不等式210x >的解，故该否定为假命题.故答案为：存在大于3的自然数不是不等式210x >的解；假命题. 10.6x -【解析】10.利用指数幂的运算法则求解即可. 由0,0x y >>，得2111213333113333234432x yx y x y ---+-+⎛⎫÷-=-⨯ ⎪⎝⎭066xy x =-=-；故答案为：6x -. 11.432a b -+【解析】11.由题意条件得出lg 2lg3lg32lg 2ab+=⎧⎨+=⎩，解出lg 2和lg 3，由此可得出lg 75lg32lg 22=-+，代入即可得出答案.lg6lg 2lg3a =+=， lg12lg32lg 2b =+=，即lg 2lg3lg32lg 2ab +=⎧⎨+=⎩，解得lg 2lg32b aa b=-⎧⎨=-⎩，753lg 75lg2lg 2lg32lg 224321004a b ∴=+=+=-+=-+，故答案为：432a b -+. 12.②⑤【解析】12.对于选项①：判断函数的定义域与对应关系是否相等即可判断；对于选项②：求解()()2f x f x c +-=即可判断；对于选项③：先求函数的定义域，写出函数解析式即可判断；对于选项④：利用函数为定义在R 上的奇函数，则()00f =，即可判断；对于选项⑤：令()20xt t =>，原函数变为：()25351222t t y t t t -++-===-++++，利用t 的范围求解即可判断.对于选项①：由2y =定义域为{}0x x ≥，y x ==，2log 2x y x ==，2log 2x y =定义域为{}0x x >，得与函数y x =相同的函数只有1个；故①不正确；对于选项②：由()f x x x bx c =++，得()()2f x f x x x bx c x x bx c c +-=++--+=，则函数()f x x x bx c =++的图象关于点()0,c 对称；故②正确；对于选项③：由函数y ，得2210110x x x ⎧-≥⇒=±⎨-≥⎩，所以()01y x ===±即是偶函数，也是奇函数；故③不正确；对于选项④：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，而题干中，当0x ≥时，()221f x x x =-++；此时()01f =，故不满足题意，故④不正确；对于选项⑤：令()20xt t =>，原函数变为：()25351222t t y t t t -++-===-++++ 因为5522,022t t +><<+，则531122t -<-<+，所以函数3222xx y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故⑤正确；故答案为：②⑤. 13.（1）(4,1)A B =-（2）[0,2]【解析】13.(1)将3a =代入B ,求得B ,再求得AB ;(2)将问题转化为集合B 是集合A 的真子集,再根据真子集关系列式可得. （1）由已知可得(3,1)A =-，(4,2)B =--，∴(4,1)A B =-．（2）由题意可得集合B 是集合A 的真子集，∵(1,1)B a a =---+，∴1311a a ---⎧⎨-+<⎩或1311a a -->-⎧⎨-+⎩，∴02a ，∴实数a 的取值范围是[0,2]． 14.（1）()23f x x =+（2）2λ=-【解析】14.利用待定系数法求出()22f x x a =++，（1）根据所选条件，都能求出1a =，可得()23f x x =+；（2）根据对称轴与区间中点值的大小分两种情况讨论求出最大值，结合已知最大值可求得λ的值.设()f x kx b =+(0)k ≠，则(1)2k x b x a -+=+，即2kx k b x a -+=+，所以2k =，2b a ，所以()22f x x a =++，若选①，（1）由()5f a =得225a a ++=，得1a =，所以()23f x x =+.（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-. 若选②，（1）由142a f ⎛⎫=⎪⎝⎭得14222a a =⨯++，解得1a =，所以()23f x x =+；（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-. 若选③，（1）由()()41226f f -=得4(22)2(42)6a a ++-++=，解得1a =，所以()23f x x =+；（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-，当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；当()212λ+->，即4λ<-时，max()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23λ=（舍），综上所述：2λ=-. 15.当1a <时，321a a +<-；当1a >时，321a a+>-【解析】15.利用作差的方法比较数值的大小关系22213()3(2)(1)31124(2)11111a a a a a a a a a a a a a +++-----+++-====----- 我们不难发现：分式中分子始终为正值，所以：1a <时3(2)01a a+-<- 当1a >时，3(2)01a a+->-；故：当1a <时，321a a +<-；当1a >时，321a a+>- 16.（1）{2x x >或}1x <-；（2）最小值为9.【解析】16.（1）由一元二次不等式的解法即可求得结果；（2）由题()0f x =的根即为a ，b ，根据韦达定理可判断a ，b 同为正，且1a b +=，从而利用基本不等式的常数代换求出14a b+的最小值.（1）当2m =-时，不等式0f x >（），即为220x x -->，可得()()210x x -+>，即不等式()0f x >的解集为{2x x >或}1x <-.（2）由题()0f x =的根即为a ，b ，故1a b +=，0ab m =>，故a ，b 同为正，则14a b +=144()559a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当13a =，23b =等号成立，所以14a b+的最小值为9.17.（1）．定义域为；（2）当时，；（3）的取值范围是．【解析】17.试题分析：（1）由题意求出空闲率，然后利用正比例关系得与的函数关系式，并确定函数的定义域；（2）利用配方法求二次函数的最值；（3）鱼群年增长量达到最大值时，应保证实际养殖量和增加量的和在0到之间，由此列不等式求解的取值范围即可．试题解析：（1）空闲率为,由已知得：．（2）因为，所以当时，．（3）由题意得：，即,解得．又因为，所以，所以的取值范围是．18.（1）()11xxe f x e-=+；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见详解；（3）{}1,0,1,2M =-.【解析】18.（1）当0x <时，0x ->，()1111x xx xe ef x e e-----==++，利用函数的奇偶性求解即可；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，利用定义证明函数的单调性即可；（3）把函数()g x 有唯一零点的问题转化为方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解的问题，利用函数的奇偶性和单调性得到2ax x a =-+，两边平方，利用方程有唯一的解即可得出结果. （1）当0x <时，0x ->，又函数()f x 为偶函数，则()()1111x xx xe ef x f x e e-----===++，所以函数()f x 的解析式为()11xxe f x e-=+；（2）函数()f x 在(),0-∞上单调递减，设任意120x x <<，则()()()()()12212112212111111x x x x x x x x e e e e f x f x e e e e ----=-=++++，因为xy e =在R 上单调递增，所以12x x e e <，即120x x e e -<，所以()()21f x f x <，所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减；（3）因为函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()()()2g x f ax f x a =--+的零点就是方程()()20f ax f x a --+=的解，因为函数()g x 有唯一零点，所以方程()()20f ax f x a --+=有唯一的解，因为函数()f x 为偶函数，所以方程变形为：()()2fax f x a =-+，因为函数()f x 在()0,∞+上单调递减，所以2ax x a =-+，平方得：()()()22212220a x a x a -+-+-=，当210a -=时，即1a =±，经检验方程有唯一解；当210a -≠时，()()()222424120a a a ∆=----=，得()22200a a a -=⇒=或2a =，综上可得：集合{}1,0,1,2M =-. 19.AD【解析】19.对于选项A ：利用不等式的性质判断即可；对于选项B =x y =即可判断；对于选项C ：解一元二次方程即可判断；对于选项D ：利用元素与集合的关系判断即可.对于选项A ：若1x >，则21x >，故选项A 正确；对于选项B =x y =或y x =-，故选项B 不正确；对于选项C ：若220x x +-=，则1x =或2x =-，故选项C 不正确；对于选项D ：若x A B ∈，则x A B ∈，故选项D 正确；故选：AD. 20.AB【解析】20.利用充分与必要条件的定义，判定各选项中的充分性与必要性是否成立，从而选出正确答案．A 中，∵a ＜3时，得出a ＜5， ∴a ＜5是a ＜3的必要条件； ∴A 是正确的；B 中，5a +是无理数，得出a 是无理数，充分性成立；a 是无理数，得出5a +是无理数，必要性成立；∴B 是正确的；C 中，由a b =，得出ac bc =，充分性成立；由ac bc =，不能得出a b =，例如：c ＝0时，2×0＝3×0，2≠3， ∴必要性不成立； ∴C 是不正确的；；D 中，∵a ＞b 不能得出22a b >，例如：1,2a b =-=得22a b <， ∴充分条件不成立； D 不正确. 故选：AB ． 21.CD【解析】21.根据题意，讨论1x <时，()f x 是二次函数，在对称轴对称轴左侧单调递减，1x 时，()f x 是反比例函数，在0a <时单调递减；再利用端点处的函数值即可得出满足条件的a的取值范围．解：由函数()225,1,1x ax x f x a x x⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩在区间(,)-∞+∞上是减函数，当1x <时，2(2)5f x x ax +=+，二次函数的对称轴为x a =-，在对称轴左侧单调递减，1a ∴-，解得1a ≤-；当1x 时，()a f x x=-，在0a <时单调递减；又2152a a +≥-+，即2a ≥-；综上，a 的取值范围是21a -≤≤-，则整数a 的取值不可以为0或1；故选：C D. 22.AC【解析】22.对于A ，利用偶函数定义求0x <时，函数解析式为()22f x x x =-；对于B ，研究当0x ≥时，()f x 的单调性，结合偶函数图像关于y 轴对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(2)8f =，不等式(32)8f x -<，转化为(32)(2)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立. 对于A ，设0x <，0x ->，则2()2f x x x -=-，又()f x 是偶函数，所以()2()2f x f x x x =-=-，即0x <时，函数解析式为2()2f x x x =-，故A 正确；对于B ，2()2f x x x =+，对称轴为1x =-，所以当0x ≥时，()f x 单调递增，由偶函数图像关于y 轴对称，所以()f x 在(),0-∞上为减函数，故B 不正确；对于C ，当(0,)x ∈+∞时，2()28f x x x =+=，解得12x =，24x =-（舍去），即(2)8f =，所以不等式(32)8f x -<，转化为(32)(2)f x f -<，又()f x 在R 上为偶函数，得432203x x -<⇒<<，所以不等式的解集为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，故C 对；对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-，222()12131f x x x x x x x x --=--=-----，不恒小于0；当0x ≥时，2()2f x x x =+，222()1211f x x x x x x x x --=+---=--不恒小于0，故D 错；故选：AC.。

江苏省扬州市扬州大学附属中学2020-2021学年第一学期第一次月考高一数学

江苏省扬州市扬州大学附属中学2020-2021学年第一学期第一次月考高一数学（本卷满分：150分考试时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、集合{}Z x x x A ∈<<-=,12中的元素个数为（）A 、1B 、2C 、3D 、42、已知集合{}{}3,1,4,3,2,1==A U ，则U A =（）A 、{}4,2B 、{}2,1 C 、{}3,2 D 、{}4,2,1 3、“1>x ”是“2>x ”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、下列命题中，是假命题的是（）A 、0,=∈∃x R xB 、1102,=-∈∃x R xC 、0,3>∈∀x R x D 、01,2>+∈∀x R x5、函数1322+-=x x y 的零点是（）A 、()0,1,0,21-⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 、1,21-C 、()0,1,0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛ D 、1,21 6、已知1,22,22-+=+=∈x x B x x A R x ，则A ，B 的大小关系是（）A 、B A = B 、B A >C 、B A <D 、无法判定7、如果0<<b a ，那么下列不等式成立的是（）A 、b a 11<B 、2b ab <C 、2a ab -<-D 、ba 11-<- 8、若不等式012≥--bx ax 的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31，则不等式02<--a bx x 的解集是（） A 、()3,2 B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 C 、()2,3-- D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2131,二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、若C C B A B A == ,，则集合A ，B ，C 之间的关系必有（）A 、C A ⊆B 、C A = C 、B A ⊆D 、B A =10、已知q p ,都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则（）A 、p 是q 的既不充分也不必要条件B 、p 是s 的充分条件C 、r 是q 的必要不充分条件D 、s 是q 的充要条件11、下列说法正确的是（）A 、xx 1+的最小值是2 B 、223x x +的最小值是32 C 、2322++x x 的最小值是2 D 、x x 1+的最小值是2 12、已知函数()02>++=a b ax x y 有且只有一个零点，则（）A 、422≤-b aB 、412≥+b a C 、若不等式02<-+b ax x 的解集为()21,x x ，则021<x xD 、若不等式c b ax x <++2的解集为()21,x x ，且421=-x x ，则4=c 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、命题“01,2>++∈∀x x R x ”的否定是 .14、某班共30人，其中15人喜爱篮球，10人喜爱乒乓球，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球但不喜爱乒乓球的人数是 .15、设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合{}Q b P a ab z z Q P ∈∈==*,,，若{}{}2,2,1,0,1-=-=Q P ，则集合Q P *有个子集.16、已知0,0>>y x ，且114=+yx ，则y x +的最小值为 . 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（本题满分10分）已知全集{}{}{}22,3,23,21,2,5U U a a A a A =+-=-=，求实数a 的值.18、（本题满分12分）求下列不等式的解集.（1）0432≤--x x （2）1342>-+x x19、（本题满分12分）已知命题:p “关于x 的方程012=++mx x 有两个不相等的实数根”是真命题.（1）求实数m 的取值集合M ；（2）若{}2+<<=a m a m N ，且“N m ∈”是“M m ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20、（本题满分12分）已知集合{}(){}0112,04222=-+++==+=a x a x x B x x x A .（1）若B A B A =，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围.21、（本题满分12分）为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定: 若提前完成，则每提前一天可获2万元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则将被罚款. 追加投入的费用按以下关系计算:11837846-++x x （万元），其中x 表示提前完工的天数（附加效益=所获奖金-追加费用）. （1）求附加效益y （万元）与x 的函数关系式；（2）提前多少天，能使公司获得最大的附加效益? 并说明理由.22、（本题满分12分）已知二次函数()()m x m x y -+-+-=222. （1）若“0,<∈∀y R x ”为真命题，求实数m 的取值范围；（2）是否存在小于4的整数a ，使得关于x 的不等式()()4222≤-+-+-≤m x m x a 的解集恰好为[]4,a ? 若存在，求出所有可能的a 的取值集合；若不存在，说明理由.。

2020-2021学年江苏省扬州中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)

2020-2021学年江苏省扬州中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．集合{}11M x x =-<<，{}02N x x =≤<，则M N =（）A ．{}12x x -<< B ．{}01x x ≤<C ．{}01x x <<D ．{}10x x -<<【答案】B【解析】根据集合交集的定义进行运算即可. 【详解】在数轴上分别标出集合,M N 所表示的范围如图所示，由图象可知， {}|01M N x x =≤<.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 2．命题“20002,x x x π∃≥≥”的否定是 A ．20002,x x x π∃<≥ B ．20002,x x x π∃<< C ．22,x x x π∀≥≤ D ．22,x x x π∀≥<【答案】D【解析】根据特称命题的否定是全称命题，得出选项. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“20002,x x x π∃≥≥”的否定是22,x x x π∀≥<，故选D . 【点睛】本题考查特称命题与全称命题的关系，属于基础题.的集合是（）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,1【答案】C【解析】由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.【详解】(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，{|21}A B x x ⋃=-<≤，∴(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或01}x ≤≤，故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.4．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b +≤，解得，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 5．设25a b m ==，且112a b+=，则m =（） A ．10 B ．10C ．20D ．100【答案】A【解析】先根据25a b m ==，得到25log ,log a m b m ==，再由11log 2log 5m m a b+=+求解. 【详解】因为25a b m ==，所以25log ,log a m b m ==，所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==， 210m ∴=，又0m >，∴10m =．故选：A 【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于基础题.6．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2+bx+a 2﹣1的图象为下列之一，则a 的值为（）A ．1B ．﹣1C ．152- D ．152- 【答案】B【详解】把四个图象分别叫做A ，B ，C ，D ．若为A ，由图象知a ＜0，对称轴为x ＝0，解得02ba ->矛盾，所以不成立．若为B ，则由图象知a ＞0，对称轴为x ＝0，解得02ba-<矛盾，所以不成立．若为C ，由图象知a ＜0，对称轴为x ＞0，且函数过原点，得a 2﹣1＝0，解得a ＝﹣1，此时对称轴02ba->有可能，所以此时a ＝﹣1成立．若为D ，则由图象知a ＞0，对称轴为x ＞0，且函数过原点，得a 2﹣1＝0，解得a ＝1，此时对称轴02ba-<，矛盾，所以不成立．故图象为第三个，此时a ＝﹣1．故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，要求熟练掌握抛物线的开口方法，对称轴之间的关系，属于中档题．7．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样 D ．无法确定【答案】B【解析】分别求出两种方案平均油价，结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m 元/升，第二次的油价为n 元/升．第一种方案的均价：3030602m n m n++=≥第二种方案的均价：4002200200mnm nm n=≤++ 所以无论油价如何变化，第二种都更划算．故选:B 【点睛】本题考查不等式的实际运用，以及基本不等式比较大小，属于中档题.数小于B 中的最小数的集合对(A ,B )的个数为（） A ．49 B ．48C ．47D ．46【答案】A【解析】利用分类计数法，当A 中的最大数分别为1、2、3、4时确定A 的集合数量，并得到对应B 的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量. 【详解】集合{}1,2,3,4,5P =知：1、若A 中的最大数为1时，B 中只要不含1即可：A 的集合为{1}，而B 有 42115-=种集合，集合对(A ,B )的个数为15；2、若A 中的最大数为2时，B 中只要不含1、2即可：A 的集合为{2},{1,2}，而B 有3217-=种，集合对(A ,B )的个数为2714⨯=；3、若A 中的最大数为3时，B 中只要不含1、2、3即可：A 的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}，而B 有2213-=种，集合对(A ,B )的个数为4312⨯=；4、若A 中的最大数为4时，B 中只要不含1、2、3、4即可：A 的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，而B 有1211-=种，集合对(A ,B )的个数为818⨯=； ∴一共有151412849+++=个，故选：A 【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.二、多选题9．设正实数,a b 满足1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．11a b+有最小值4 B 12CD ．22a b +有最小值12【解析】根据基本不等式逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A ，2111142+=≥=⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b ab a b ，当且仅当12a b ==时等号成立，故A 正确.对于B，由基本不等式有1a b +=≥12，当且仅当12a b ==时等号成立，12，故B 错误. 对于C，因为2112a b =+≤++=≤，当且仅当12a b ==，故C 正确. 对于D ，因为2221121222a b ab a b +⎛⎫=-≥-⨯=⎪⎝⎭+，当且仅当12a b ==时等号成立，故22a b +有最小值12，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，注意“一正、二定、三相等”，本题属于基础题. 10．下列各小题中，最大值是12的是（） A ．22116y x x=+B．[]0,1y x =∈ C ．241x y x =+D ．()422y x x x =+>-+ 【答案】BC【解析】利用基本不等式的性质即可判断出结论. 【详解】解：对于A ，y 没有最大值；对于B ，y 2＝x 2（1﹣x 2）≤22212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝14，y ≥0，∴y ≤12，当且仅当x＝2时取等号.对于C ，x ＝0时，y ＝0.x ≠0时，y ＝2211x x+≤12，当且仅当x ＝±1时取等号. 对于D ，y ＝x +2+42x +﹣2＝2，x ＞﹣2，当且仅当x ＝0时取等号. 故选：BC. 【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 11．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（）A ．方程有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈< B ．方程有两个正根的充要条件是{}01m m m ∈<≤ C ．方程无实数根的必要条件是{}1m m m ∈> D ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0 【答案】ABC【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合根的分布情况、对应二次函数的性质判断各选项的正误即可. 【详解】A 选项中，方程有一个正根一个负根则()()2340{00m m f ∆=--><即0m <；同时0m <时方程有一个正根一个负根；0m <是方程有一个正根一个负根的充要条件.B 选项中，方程有两个正根则()()23403{02200m m b ma f ∆=--≥--=>>即01m <≤；同时01m <≤时方程有两个正根；01m <≤是方程有两个正根的充要条件. C 选项中，方程无实数根则2(3)40m m ∆=--<即19m <<；而1m 时方程可能无实根也可能有实根；故1m 是方程无实数根的必要条件. D 选项中，3m =时230x +=知方程无实根；故选：ABC本题考查了一元二次方程根与系数关系，结合二次函数的性质判断方程的根不同分布情况下的充要条件.12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2-200x +80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是（） A ．该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 B ．该单位每月最低可获利20000元 C ．该单位每月不获利，也不亏损D ．每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损【答案】AD【解析】根据题意，列出平均处理成本表达式，结合基本不等式，可得最低成本；列出利润的表达式，根据二次函数图像与性质，即可得答案. 【详解】由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥=，当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元，故A 正确；设该单位每月获利为S 元，则2211100100(80000200)3008000022S x y x x x x x =-=-+-=-+-21(300)350002x =---，因为[400,600]x ∈，所以[80000,40000]S ∈--.故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损，故D 正确，BC 错误，故选：AD本题考查基本不等式、二次函数的实际应用，难点在于根据题意，列出表达式，并结合已有知识进行求解，考查阅读理解，分析求值的能力，属中档题.三、填空题 13．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆，则满足这一关系的集合A 的个数为______.【答案】7【解析】列举出符合条件的集合A ，即可得出答案. 【详解】由题意知，符合{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆的集合A 有：{}1,2,3、{}1,2,4、{}1,2,5、{}1,2,3,4、{}1,2,3,5、{}1,2,4,5、{}1,2,3,4,5，共7个.故答案为7. 【点睛】本题考查集合个数的计算，一般列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.14．已知1a b >>.若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则a b +=__________．【答案】6【解析】根据题意，设log b t a =，根据1a b >>得出t 的范围，代入5log log 2a b b a +=求出t 的值，得到a 与b 的关系式，与b a a b =联立方程组，即可求出a 、b 的值．【详解】由题意得，设log b t a =，由1a b >>可得1t >，代入5log log 2a b b a +=，得 152t t += 解得2t =，即2log 2b a a b =⇒= 又b a a b =，可得2b a b b = 即22a b b == 解得2,4b a == 所以6a b +=．故答案为6．本题主要考查对数的运算性质．15．已知01,01x y <<<<，且44430xy x y --+=，则12x y+的最小值是___________.【答案】4+【解析】由44430xy x y --+=，整理得1(1)(1)4x y --=，设1,1a x b y =-=-，41ab =，再化简124224441x y a a +=++--，再结合()()44413a a -+-=，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为44430xy x y --+=，可得44441xy x y --+=，整理得1(1)(1)4x y --=，设1,1a x b y =-=-，则41ab =，又由01,01x y <<<<，则10,10a x b y =->=-> 所以121212181242221111141141444114a x y a b a a a a a a a a+=+=+=+=++=++----------又由()()44413a a -+-=，则()()41444444214214()2()()[][6]444134441344411a a a a a a a a a a +=⋅+=++----------+16[633++=≥，当且仅当4()2()44444114a a a a =----，即24a =等号成立，所以1224x y +≥=12故答案为：43+. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中熟记基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，合理化简和构造基本不等式的条件是解答的关键，着重考查推理与运算能力.四、双空题16．已知不等式210ax bx +->的解集为{|34}x x <<，则实数a = _________；函数2y x bx a -=-的所有零点之和等于_________．【答案】112-712【解析】根据不等式解集，结合不等式与方程关系可求得参数,a b ；代入函数解析式，即可由韦达定理求得零点的和. 【详解】∵等式210ax bx +->的解集为{|34}x x <<， ∴3,4x x ==是方程210+-=ax bx 的两个实根，则13412a ⨯=-=，解得112a =-，而两根之和7b a =-，解得712b =，故函数2y x bx a -=-的所有零点之和为712b =，故答案为：112-，712．【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，由不等式解集确定参数值，属于基础题.五、解答题17．已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-. （1）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈R 时，若AB =∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）3m ≤；（2）(,2)(4,)-∞⋃+∞；【解析】（1）由条件知B A ⊆，讨论B =∅、B ≠∅求m 的范围，取并集即可；（2）由A B =∅分类讨论B =∅、B ≠∅，求m 的范围即可；【详解】（1）由A B A ⋃=知：B A ⊆，当B =∅时，121m m +>-得2m <；当B ≠∅时，12215121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤-⎩解得23m ≤≤；综上，有：3m ≤；（2）x ∈R 时，AB =∅知：当B =∅时，121m m +>-得2m <；当B ≠∅时，15121m m m +>⎧⎨+≤-⎩或212121m m m -<-⎧⎨+≤-⎩，解得4m >；∴m 的取值范围为(,2)(4,)-∞⋃+∞；【点睛】本题考查了集合，根据集合交、并结果判断集合间的关系求参数范围，属于基础题. 18．化简下列各式：（1）212.531305270.0648π-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）2lg 2lg311ln lg 0.36lg1624e +++. 【答案】（1）0；（2）1.【解析】（1）根据分数指数幂的计算法则进行计算即可；（2）利用对数的运算法则求解. 【详解】解：（1）()213133312212.531305330.410.410270.064228π⨯---⎡⎤⎛⎫=--=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）2lg 2lg3lg 4lg3lg12lg121111lg 0.6lg 2lg10lg1.2lg12ln lg 0.36lg1624e ++====+++++. 【点睛】本题考查指数幂的化简计算，考查对数式的化简运算，难度一般，解答时要灵活运用指数幂及对数的运算法则.19．已知:(1)(2)0,:p x x q +-≥关于x 的不等式2260x mx m +-+>恒成立 (1)当x ∈R 时q 成立，求实数m 的取值范围; (2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】(1) ()3,2m ∈- （2）10733m <<-【解析】（1）分析可知一元二次不等式大于零恒成立等价于0<恒成立（2）p 是q 的充分不必要条件可得p 是q 的真子集，再进行分类讨论即可【详解】（1）由题可知2244240,60,32m m m m m =+-<∴+-=∴-<<实数m 的取值范围是()3,2-（2）:12p x -，设{|12}A x x =-≤≤，{}2|260B x x mx m =+-+>p 是q 的充分不必要条件，∴A 是B 的真子集① 由（1）知，32m -<<时，B=R ，符合题意；② 3m =-时，{}{}26903B x x x x x =-+>=≠，符合题意 ③2m =时，{}{}24402B x x x x x =++>=≠-，符合题意④32m m <->或时，设2(2)6x m f x mx +-+=,()f x 的对称轴为直线x m =-，由A 是B 的真子集得()()1212,10203+703+100m m m m f f m m -<-->><-⎧⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨⎨-<>->>⎩⎩⎩⎩或或，71010712,323333m m m m ∴<<-<<-∴-<<-<<或或综上所述：10733m <<- 【点睛】复杂的二次函数问题，需要判断函数值域的情况下，需要进行分类讨论，根据对称轴、单调性及特殊点进行判断20．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(2≤x ≤6). （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低?（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900(1)a x x+元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.【答案】（1）4米；（2）(0，12).【解析】（1）设甲工程队的总造价为y 元，则y=900(x+16x)+7 200，利用基本不等式求解函数的最值即可；（2）由题意可得，900(x+16x)+7 200>900(1)a x x +对任意的x ∈[2，6]恒成立，即可a<2(4)1x x ++=(x+1)+91x ++6恒成立，再利用基本不等式求解函数的最值即可【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元，则y=3(150×2x+400×12x )+7 200=900(x+16x)+7 200(2≤x ≤6)，900(x+16x )+7 200≥900×27 200=14 400. 当且仅当x=16x，即x=4时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元. （2）由题意可得，900(x+16)x+7 200>900(1)a x x +对任意的x ∈[2，6]恒成立，即2(4)(1)x a x x x++>， ∴a<2(4)1x x ++=(x+1)+91x ++6，又x+1+91x ++6=12，当且仅当x+1=91x +，即x=2时等号成立， ∴a 的取值范围为(0，12).【点睛】此题考查基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 21．已知函数()214y x m x =-++，区间[]0,3A =，分别求下列两种情况下m 的取值范围.（1）函数y 在区间A 上恰有一个零点；（2）若0x A ∃∈，使得1y <-成立.【答案】（1）103m >或3m =；（2）1m >．【解析】（1）分类讨论，（i ）0或3是零点时；（ii ）0和3都不是零点，在(0,3)上有唯一零点，用零点存在定理求解；（2）不等式1y <-变形为51m x x +>+，求出5x x+的最小值即可得．【详解】记2()(1)4f x x m x =-++，（1）显然(0)0f ≠，（i ）若2(1)160m ∆=+-=，则3m =或5-，5m =-时，()0f x =的解为122[0,3]x x ==-∉， 3m =时，()0f x =的解为122[0,3]x x ==∈，（ii ）若(3)93(1)40f m =-++=，则103m =，此时()f x 的另一零点是6[0,3]5∈，不合题意；（iii ）(0)40f =>，(3)133(1)0f m =-+<，103m >，综上，103m >或3m =；（2）即不等式2(1)41x m x -++<-在[0,3]上有解，0x =显然不是它的解，(0,3]x ∈，则51m x x +>+，即51m x x+>+在(0,3]上有解，设5()g x x x =+，25()1g x x '=-225x x-=,所以当0x <<时，()0g x '<，()g x3x <≤时，()0g x '>，()g x 递增，所以x =()g x取得极小值也是最小值g =1m +>，1m >．【点睛】本题考查零点存在定理，考查不等式能成立问题，不等式恒成立与能成立问题都是要进行问题的转化，常常转化为求函数的最值，但要注意是求最小值还是求最大值． 22．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤> （Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）；（ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）. 【答案】（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,32{42,2a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+->+（ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=．所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．。

江苏省扬州大学附属中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题

C．的最小值是2D．的最小值是2
12．已知函数有且只有一个零点，则( )
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
三、填空题
13．命题“ ”的否定是
14．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_______
正确的是B、D．
故选：BD．
【点睛】
本题主要考查充分条件与必要条件的概念，属于基础题．
11．AB
【分析】
根据基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，由，当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值是2，故A是正确的；
对于B中，由，当且仅当时，即时等号成立，
9．AC
【分析】
由可得，由可得，然后可得答案.
【详解】
由可得，由可得，所以
故选：AC
【点睛】
本题考查的是集合的运算，较简单.
10．BD
【分析】
由已知可得；，然后逐一分析四个选项得答案．
【详解】
解：由已知得：；．
是的充分条件；是的充分条件；是的充要条件；是的充要条件．
江苏省扬州大学附属中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合中的元素个数为（）
A．1B．2C．3D．4
2．已知集合，则（）
A． B． C． D．
3．“ ”是“ ”的（）

2020-2021学年江苏扬州高三上数学月考试卷

2020-2021学年江苏扬州高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知全集U ={x ∈Z|1≤x ≤6}，A ={2,3,4}，B ={1,3,5}，则(∁U A )∩B =( ) A.{1,5} B.{1,5,6} C.{3,6} D.{3,4,5}2. 设a =(13)2，b =213，c =log 213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.b >c >a B.c >b >a C.a >b >c D.b >a >c3. log m 2=a ，log m 3=b ，则m 2a+b的值为( ) A.6 B.7C.12D.184. “b =2”是“函数f (x )=(2b 2−3b −1)x α （α为常数）为幂函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 函数f(x)=lg (|x|−1)的大致图象是( )A. B. C. D.6. 设函数f(x)=12x 2−9ln x 在区间[a −1, a +1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.(−∞,2] B.(1,2] C.(0,3] D. (4,+∞)7. 已知函数f (x )对任意的x ∈R 都有f (x +2)−f (x )=f (1)．若函数y =f (x +2)的图象关于x =−2对称，且f (0)=8，则f (99)+f (100)=( ) A.0 B.4 C.5 D.88. 定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对于任意的x ，y ∈(0,+∞)，都有f (x ⋅y )=f (x )+f (y )；②当x >1时，f (x )>0；③f(√6)=1，则关于x 的不等式f (x )−f (15−x )≥2的解集是( )A.[2，3]B.[−√2，−1]∪[0，√2]C.[√2，+∞)D.(0，2]二、多选题若(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，x ∈R ，则( ) A.a 2=180B.|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 10|=310C.a 1+a 2+⋯+a 10=1D.a 12+a 222+a 323+⋯+a10210=−1已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布N (100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线.下列说法正确的是( )附：随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ2)，则P (μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P (μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P (μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974． A.该市学生数学成绩的期望为100 B.该市学生数学成绩的标准差为100 C.该市学生数学成绩及格率超过0.8D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等2020年“七夕”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/ℎ)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是( )A.这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B.在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80km/ℎ的概率为0.35C.若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1415 D.若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为13下列命题中，正确的命题的是( )A.已知随机变量服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=23B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)=p，则P(−1<ξ≤0)=12−pD.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X∼B(10,0.8)，则当X=8时概率最大三、填空题设L为曲线C:y=ln xx在点(1, 0)处的切线，则L的方程为________．已知函数f(x)={(1−2a)x+3a,x<1，2x−1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围为________．若函数f(x)=(1−x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=−2对称，则f′(x)=________.给出以下四个结论：①若函数f(2x)的定义域为[1，2]，则函数f(x2)的定义域是[4，8]；②函数f(x)=log a(2x−1)−1（其中a>0，且a≠1）的图象过定点(1，0)；③当a=0时，幂函数y=x a的图象是一条直线；④若log a12>1，则a的取值范围是(12，1)；⑤若函数f(x)=lg(x2−2ax+1+a2)在区间(−∞，1]上单调递减，则a的取值范围是[1，+∞). 其中所有正确结论的序号是________.四、解答题已知函数f(x)=√x+1x−2的定义域为集合A，函数g(x)=√x2−(2a+1)x+a2+a的定义域为集合B．(1)求集合A，B；(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(0, f(0))处的切线是l:2x−y+3=0．(1)求b，c的值；(2)若f(x)在(0, +∞)上单调递增，求a的取值范围．精诚中学团委组织了“古典诗词”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生（男女各30名），将其成绩分成六组[40,50),[50,60），… [90,100]，其部分频率分布直方图如图所示．(1)求成绩在[70,80)的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的众数和中位数；(2)从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率；(3)我们规定学生成绩大于等于80分时为优秀，经统计男生优秀人数为4人，补全下面表格，并判断是否有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关？K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，已知正方形ABCD和矩形BDEF所在的平面互相垂直，AC交BD于O点，M为EF的中点，BC=√2，BF=1.(1)求证：BM//平面ACE；(2)求二面角B−AF−C的大小．已知a为常数，且a≠0，函数f(x)=−ax+2+ax ln x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a=1时，若直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[1，e])有公共点，求t的取值范围．e+a2x+a ln x，实数a>0．已知函数f(x)=2x(1)讨论函数f(x)在区间(0, 10)上的单调性；(2)若存在x∈(0, +∞)，使得关于x的不等式f(x)<2+a2x成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高三上数学月考试卷一、选择题 1.【答案】 A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题．【解答】解：依题意得U ={1,2,3,4,5,6}，所以∁U A ={1,5,6}，所以(∁U A )∩B ={1,5}．故选A ． 2.【答案】 D【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题．【解答】解：∵ a =(13)2=19， b =213>20=1， c =log 213<log 21=0， ∴ b >a >c ．故选D ． 3. 【答案】 C【考点】对数的运算性质【解析】本题考查指对数互化解决指数幂运算问题.将真数化为底数的指数幂的形式进行运算是解题关键．【解答】解：∵ log m 2=a ，log m 3=b ，∴ m a=2，m b=3，∴ m 2a+b =m 2a m b =(m a )2m b =22×3=12．故选C ．4.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题．【解答】解：∵ 当函数f (x )=(2b 2−3b −1)x α为幂函数时，2b 2−3b −1=1，解得b =2或−12，∴ “b =2”是“函数f (x )=(2b 2−3b −1)x a 为幂函数”的充分不必要条件．故选A ． 5. 【答案】 B【考点】对数函数的图象与性质【解析】利用特殊值法进行判断，先判断奇偶性；【解答】解：∵ 函数f(x)=lg (|x|−1)，∴ f(−x)=lg (|x|−1)=f(x)，f(x)是偶函数. 又当x =1.1时，y <0，故可排除ACD . 故选B . 6.【答案】 B【考点】已知函数的单调性求参数问题利用导数研究函数的单调性【解析】首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m 的范围即可．【解答】解：∵ f(x)=12x 2−9ln x ， ∴ 函数f(x)的定义域是(0, +∞)， f ′(x)=x −9x ， ∵ x >0，∴ 由f ′(x)=x −9x ≤0，得0<x ≤3．∵函数f(x)=12x2−9ln x在区间[a−1, a+1]上单调递减，∴{a−1>0,a+1≤3,解得1<a≤2．故选B．7.【答案】D【考点】抽象函数及其应用【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性及周期性，求抽象函数的值，同时考查函数的图象的平移变换，属于中档题．【解答】解：因为y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，所以y=f(x)的图象关于直线x=0对称，即f(x)为偶函数．因为f(x+2)−f(x)=f(1)，所以f(−1+2)−f(−1)=f(1).又f(−1)=f(1)，所以f(1)=0，可得f(x+2)=f(x)，所以f(x)的最小正周期为2，所以f(99)=f(1)=0，f(100)=f(0)=8，所以f(99)+f(100)=8．故选D．8.【答案】A【考点】函数新定义问题抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】证明函数单调递增，f(6)=f(√6)+f(√6)=2，变换不等式为f(x)≥f(65−x)，利用函数单调性解得答案．【解答】解：设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)=f(x2x1⋅x1)−f(x1)=f(x2x1)>0，即函数在(0，+∞)上单调递增．∵ f(√6)=1，∴ f(6)=f(√6)+f(√6)=2．∵ f(x)−f(15−x)≥2，∴ f(x)≥f(15−x )+f(6)=f(65−x)，故满足{x>0，65−x>0，x≥65−x，解得x∈[2，3]．故选A．二、多选题【答案】A,B,D【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式系数的性质【解析】本题主要考查二项式的通项，二项式系数的和，还考查了赋值法的应用，属于中档题．【解答】解：A，因为(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，所以有C108(2x)2(−1)8=180x2，所以a2=180，故A正确；B，因为(2x+1)10=|a0|+|a1|x+|a2|x2+⋯+|a10|x10，令x=1，得|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a10|=310，故B正确；C，令x=0，得a0=1，令x=1得：a0+a1+a2+⋯+a10=1，所以a1+a2+⋯+a10=0，故C错误，D，令x=12，得a0+a12+a222+a323+⋯+a10210=0，所以a12+a222+a323+⋯+a10210=−1，故D正确．故选ABD．【答案】A,C【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】解：因为学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100)，所以该市学生的数学成绩的期望为100，标准差为10，故A正确，B错误；P(X≥90)=1−P(X<90)=1−12[1−P(90<X<110)]=0.8413，故该市学生数学成绩及格率超过0.8，故C正确；P(X<90)=12[1−P(90<X<110)]=0.1587，P(X≥120)=12[1−P(80<X<120)]=0.0228，故该市学生数学成绩不及格人数和优秀的人数不相等，故D错误.故选AC.【答案】 A,B,C 【考点】用频率估计概率众数、中位数、平均数古典概型及其概率计算公式【解析】众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值可判断A ；用频率估计概率可判断B ；在C 中，由题可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型的概率计算公式即可判断C 、D ．【解答】解：由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值75+802=77.5，故A 正确；车速超过80km/ℎ的频率为0.05×5+0.02×5=0.35，用频率估计概率知P =0.35，故B 正确；由题可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型求概率得，至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为P =1−C 22C 62=1−115=1415，所以车速都在[60,65)内的概率为115，故C 正确，D 错误. 故选ABC ．【答案】 B,C,D 【考点】二项分布与n 次独立重复试验的模型正态分布的密度曲线命题的真假判断与应用【解析】由二项分布、独立重复试验、正态分布逐个进行判断. 【解答】解：可得，E (X )=np =30，D (X )=np (1−p )=20，解得p =13，所以A 错误；根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一常数后，方差恒不变，所以B 正确；由正态分布的图象的对称性可得， P (−1<ξ≤0)=1−2P (ξ>1)2=1−2p 2=12−p ，所以C 正确；由独立重复试验的概率计算公式可得，P (X =8)=C 108×(0.8)8×(1−0.8)2，由组合数公式，可得当X =8时取得最大值，所以D 正确. 所以正确命题为BCD .故选BCD . 三、填空题【答案】 x −y −1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x =1时的导数值，即切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由y =ln x x，得y ′=1−ln x x 2，∴ y ′|x=1=1−ln 112=1，即曲线C:y =ln x x在点(1, 0)处的切线的斜率为1，∴ 曲线C:y =ln x x在点(1, 0)处的切线方程为y −0=1×(x −1)，即x −y −1=0．故答案为：x −y −1=0．【答案】[0, 12) 【考点】分段函数的应用函数的值域及其求法【解析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．【解答】解：当x ≥1时，f(x)=2x−1≥1，当x <1时，f(x)=(1−2a)x +3a ， ∵ 函数f(x)={(1−2a)x +3a,x <1，2x−1，x ≥1的值域为R ，∴ (1−2a)x +3a 的取值必须到负无穷，即满足：{1−2a >01−2a +3a ≥1，解得0≤a <12.故答案为：[0, 12)．【答案】−4x 3−24x 2−28x +8 【考点】函数的对称性导数的运算【解析】【解答】解：∵ 函数f (x )=(1−x 2)(x 2+ax +b )的图象关于直线x =−2对称， ∴ f (−1)=f (−3)=0，且f (1)=f (−5)=0，即[1−(−3)2][(−3)2+a ⋅(−3)+b ]=0，且[1−(−5)2][(−5)2+a ⋅(−5)+b ]=0，整理得{9−3a +b =0,25−5a +b =0,解得{a =8,b =15,因此，f (x )=(1−x 2)(x 2+8x +15)=−x 4−8x 3−14x 2+8x +15，求导得f ′(x )=−4x 3−24x 2−28x +8. 故答案为：−4x 3−24x 2−28x +8. 【答案】 ①④⑤ 【考点】已知函数的单调性求参数问题对数函数的图象与性质命题的真假判断与应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域函数的定义域及其求法【解析】无【解答】解：对于①，因为1≤x ≤2，2≤2x ≤4，所以f (x )的定义域为[2，4]，令2≤x2≤4，故4≤x ≤8，即f (x2)的定义域为[4，8]，故①正确；对于②，当x =1，y =−1，图象恒过定点(1,−1)，故②错误；对于③，幂函数要求x ≠0，故y =x 0的图象是两条射线，故③错误；对于④，原不等式等价于log a 12>log a a ，故 {a >1，a <12，（无解）或 {0<a <1，a >12，故12<a <1，故④正确；对于⑤，实数应满足{a ≥1，1−2a +1+a 2>0，解得a ≥1，故⑤正确.综上，正确结论的序号为①④⑤．故答案为：①④⑤. 四、解答题【答案】解：(1)由x+1x−2≥0且x −2≠0可得x >2或x ≤−1，由x 2−(2a +1)x +a 2+a ≥0可得x ≥a +1或x ≤a ， ∴ A =(−∞, −1]∪(2, +∞)，B =(−∞, a]∪[a +1, +∞). (2)∵ A ∩B =A ， ∴ A ⊆B ， ∴ {a ≥−1，a +1≤2，解得−1≤a ≤1.【考点】函数的定义域及其求法集合的包含关系判断及应用【解析】（1）分别解得集合A ，B 即可；（2）根据A ∩B ＝A ，得出A ⊆B ，借助数轴解得即可．【解答】解：(1)由x+1x−2≥0且x −2≠0可得x >2或x ≤−1，由x 2−(2a +1)x +a 2+a ≥0可得x ≥a +1或x ≤a ， ∴ A =(−∞, −1]∪(2, +∞)，B =(−∞, a]∪[a +1, +∞). (2)∵ A ∩B =A ， ∴ A ⊆B ， ∴ {a ≥−1，a +1≤2，解得−1≤a ≤1.【答案】解：(1)∵ f(x)=x 3+ax 2+bx +c ， ∴ f ′(x)=3x 2+2ax +b .∵ 曲线y =f(x)在点P(0, f(0))处的切线是l:2x −y +3=0，即y =2x +3， ∴ f(0)=c =3，f ′(0)=b =2，即b =2，c =3.(2)∵ b =2，c =3，∴ f(x)=x 3+ax 2+2x +3， ∴ f ′(x)=3x 2+2ax +2.∵ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ f ′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立.①当a ≥0时，f ′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，满足条件． ②当a <0时，要使f ′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则Δ=4a 2−4×3×2≤0，即a 2≤6， ∴ −√6≤a <0. 综上可知a ≥−√6．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）利用导数的几何意义，建立导数和切线之间的关系，求b ，c 的值；（2）利用f(x)在(0, +∞)上单调递增，则f ′(x)≥0恒成立，即可求a 的取值范围．【解答】解：(1)∵ f(x)=x 3+ax 2+bx +c ， ∴ f ′(x)=3x 2+2ax +b .∵ 曲线y =f(x)在点P(0, f(0))处的切线是l:2x −y +3=0，即y =2x +3， ∴ f(0)=c =3，f ′(0)=b =2，即b =2，c =3.(2)∵ b =2，c =3，∴ f(x)=x 3+ax 2+2x +3， ∴ f ′(x)=3x 2+2ax +2.∵ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ f ′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立.①当a ≥0时，f ′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，满足条件． ②当a <0时，要使f ′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则Δ=4a 2−4×3×2≤0，即a 2≤6， ∴ −√6≤a <0. 综上可知a ≥−√6．【答案】解：(1)根据频率和为1，计算[70,80)的频率为：1−10(0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)=0.3，所以[70,80)对应的频率直方图高度为0.03，如图所示：由频率分布直方图知众数为75；由0.1+0.15+0.15=0.4<0.5，0.4+0.3=0.7>0.5可知，中位数在[70,80)内，计算中位数为70+0.10.03=2203．(2)成绩在[40, 50)内有60×0.1=6人，在[90, 100]内有60×0.05=3人；从这9人中选2人，基本事件为C 92=36（种），其中在同一分数段的基本事件为C 62+C 32=18（种），故所求的概率为P =1836=12.(3)由题意填写列联表如下：计算K 2=60×(4×16−14×26)230×30×18×42≈7.937>6.635，所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关．【考点】众数、中位数、平均数频率分布直方图独立性检验古典概型及其概率计算公式【解析】本题主要考查了频率直方图的应用与利用组合求解概率的问题，同时也考查了独立性检验判定事件是否与某变量有关的问题．属于中档题．本题主要考查了频率直方图的应用与利用组合求解概率的问题，同时也考查了独立性检验判定事件是否与某变量有关的问题．属于中档题．本题主要考查了频率直方图的应用与利用组合求解概率的问题，同时也考查了独立性检验判定事件是否与某变量有关的问题．属于中档题．【解答】解：(1)根据频率和为1，计算[70,80)的频率为：1−10(0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)=0.3，所以[70,80)对应的频率直方图高度为0.03，如图所示：由频率分布直方图知众数为75；由0.1+0.15+0.15=0.4<0.5，0.4+0.3=0.7>0.5可知，中位数在[70,80)内，计算中位数为70+0.10.03=2203．(2)成绩在[40, 50)内有60×0.1=6人，在[90, 100]内有60×0.05=3人；从这9人中选2人，基本事件为C 92=36（种），其中在同一分数段的基本事件为C 62+C 32=18（种），故所求的概率为P =1836=12. (3)由题意填写列联表如下：计算K 2=60×(4×16−14×26)230×30×18×42≈7.937>6.635，所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关．【答案】(1)证明：连接EO ，如图.∵ AC 交BD 于O 点，M 为EF 的中点， ∴ 四边形BMEO 是平行四边形，OE//BM . 又BM ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴ BM//平面ACE ．(2)解：以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，如图，则B(√2,√2,0)，A(√2,0,0)，F(√2,√2,1)，C(0,√2,0)， AB →=(0,√2,0)，AF →=(0,√2,1)，AC →=(−√2,√2,0). 设平面CAF 的法向量n →=(x,y,z )，则{n →⋅AC →=−√2x +√2y =0,n →⋅AF →=√2y +z =0, 取x =√2，得n →=(√2,√2,−2). 又平面ABF 的法向量m →=(1,0,0)， ∴ cos ⟨n →,m →⟩=√2√8=12，而⟨n →,m →⟩∈[0,π]，∴ ⟨n →,m →⟩=60∘，∴ 二面角B −AF −C 的平面角为60∘．【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：连接EO ，如图.∵ AC 交BD 于O 点，M 为EF 的中点， ∴ 四边形BMEO 是平行四边形，OE//BM . 又BM ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴ BM//平面ACE ．(2)解：以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，如图，则B(√2,√2,0)，A(√2,0,0)，F(√2,√2,1)，C(0,√2,0)， AB →=(0,√2,0)，AF →=(0,√2,1)，AC →=(−√2,√2,0).设平面CAF 的法向量n →=(x,y,z )，则{n →⋅AC →=−√2x +√2y =0,n →⋅AF →=√2y +z =0, 取x =√2，得n →=(√2,√2,−2). 又平面ABF 的法向量m →=(1,0,0)， ∴ cos ⟨n →,m →⟩=√2√8=12，而⟨n →,m →⟩∈[0,π]，∴ ⟨n →,m →⟩=60∘，∴ 二面角B −AF −C 的平面角为60∘．【答案】解：(1)∵ f(x)=−ax +2+ax ln x ，定义域为(0,+∞)， ∴ f ′(x )=a ln x ．因为a ≠0，故：①当a >0时，由f ′(x )>0得x >1，由f ′(x )<0得0<x <1； ②当a <0时，由f ′(x )>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1．综上，当a >0时，函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)；当a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)． (2)当a =1时，f (x )=−x +2+x ln x ，f ′(x )=ln x ．由(1)可得，当x 在区间[1e ，e]内变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)(x ∈[1e ，e])的值域为[1,2]．又∵ 2−2e<2，直线y =t 与曲线y =f (x )[1e，e]总有公共点，∴ t 的取值范围是[1,2]．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求导数f (x )然后在函数的定义域内解不等式f (x )>0和f (x )<0，f (x )>0的区间为单调增区间，f (x )<0的区间为单调减区间；（2）要使直线y =t 与曲线y =f(x)（x ∈[1e ,e]）有公共点，只需t 在f (x )在区间[1e ,e]内值域内即可，再利用导数研究函数的最值即可求解．【解答】解：(1)∵ f(x)=−ax +2+ax ln x ，定义域为(0,+∞)， ∴ f ′(x )=a ln x ．因为a ≠0，故：①当a >0时，由f ′(x )>0得x >1，由f ′(x )<0得0<x <1； ②当a <0时，由f ′(x )>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1．综上，当a >0时，函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)；当a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)． (2)当a =1时，f (x )=−x +2+x ln x ，f ′(x )=ln x ．由(1)可得，当x 在区间[1e ，e]内变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)(x ∈[1e ，e])的值域为[1,2]．又∵ 2−2e <2，直线y =t 与曲线y =f (x )[1e ，e]总有公共点， ∴ t 的取值范围是[1,2]．【答案】解：(1)f ′(x)=−2x 2+a 2+ax =a 2x 2+ax−2x 2=(ax+2)(ax−1)x 2(x >0).令f ′(x)=0，可得x =1a ，x =−2a（舍）．①当a >110时，1a <10．函数f(x)在区间(0, 1a )上单调递减，在区间(1a , 10)上的单调递增； ②当0<a ≤110时，函数f(x)在区间(0, 10)上单调递减．(2)存在x ∈(0, +∞)，使得不等式f(x)<2+a 2x 成立等价于存在x ∈(0, +∞)，使得不等式2x +a ln x −2<0成立，令g(x)=2x +a ln x −2(x >0)， g ′(x)=−2x 2+ax =ax−2x 2.∵ a >0，∴ g ′(x)>0⇒x >2a，g ′(x)<0⇒0<x <2a，第21页共22页 ◎ 第22页共22页∴ g(x)在(0, 2a)上递减，在(2a, +∞)上递增，∴ g(x)min =g(2a )=a +a ln 2a −2，则a +a ln 2a −2<0恒成立．又a >0，所以ln 2a +1−2a <0恒成立．令ℎ(x )=ln x +1−x (x >0)，则ℎ′(x )=1x −1=1−x x ，在(0,1)上，ℎ′(x )>0，ℎ(x )单调递增；在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0，ℎ(x )单调递减，所以ℎ(x )≤ℎ(1)=0，因此解ln 2a+1−2a<0可得2a>0，且2a≠1，即a >0且a ≠2，所以实数a 的取值范围是(0,2)∪(2,+∞). 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f ′(x)=−2x 2+a 2+ax =a 2x 2+ax−2x 2=(ax+2)(ax−1)x 2(x >0).令f ′(x)=0，可得x =1a ，x =−2a （舍）． ①当a >110时，1a <10．函数f(x)在区间(0, 1a )上单调递减，在区间(1a , 10)上的单调递增； ②当0<a ≤110时，函数f(x)在区间(0, 10)上单调递减．(2)存在x ∈(0, +∞)，使得不等式f(x)<2+a 2x 成立等价于存在x ∈(0, +∞)，使得不等式2x +a ln x −2<0成立，令g(x)=2x +a ln x −2(x >0)，g ′(x)=−2x 2+a x =ax−2x 2.∵ a >0，∴ g ′(x)>0⇒x >2a ，g ′(x)<0⇒0<x <2a ， ∴ g(x)在(0, 2a)上递减，在(2a, +∞)上递增，∴ g(x)min =g(2a)=a +a ln 2a−2，则a +a ln 2a −2<0恒成立．又a >0，所以ln 2a +1−2a <0恒成立．令ℎ(x )=ln x +1−x (x >0)，则ℎ′(x )=1x −1=1−x x ，在(0,1)上，ℎ′(x )>0，ℎ(x )单调递增；在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0，ℎ(x )单调递减，所以ℎ(x )≤ℎ(1)=0，因此解ln 2a+1−2a<0可得2a>0，且2a≠1，即a >0且a ≠2，所以实数a 的取值范围是(0,2)∪(2,+∞).。

高一数学第一次月考试卷试题2_1

扬大附中东局部校2021-2021学年度第一学期高一数学第一次月考试卷创作人：历恰面日期： 2020年1月1日(考试时间是是:120分钟分值:150分)第一卷〔选择、填空题〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.选出你认为正确的选项，填在答卷中.〕1．集合}1|{2+==x y y A ，集合}1|{+==x y y B ，那么A ∩B 等于[ ]A ．〔0，1〕，〔1，2〕B ．{〔0，1〕，〔1，2〕}C ．}21|{==y y y 或D ．}1|{≥y y2．：集合}1|1||{>-∈=x N x A ，那么集合N A 中含有元素[ ]A ．1个B ．2个C ．3个D ．以上都不对3．不等式x 2– 5|x| + 6 < 0的解集是 [ ]A ．{x| 2 < x < 3}B ．{x|– 3 < x < – 2或者2 < x< 3}C ．{x|– 2 < x < – 3或者2 < x < 3}D ．{x|– 3 < x< – 2}4．设A ，B 是两个集合，那么满足条件},{b a B A =⋃的集合A ，B 组对一共有 [ ] A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组5．以下函数中，在区间〔0，2〕上为增函数的是[ ]A ．y = 3 – xB ．y = x 2+1 C ．y = -x 2D ．y = x 2– 2x+ 36．可作为函数y = f (x)的图象的是 [ ]7．假设函数y=x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为[254-,4-]，那么m 的取值范围是[ ] A ．(]4,0B ．[23，4] C ．[23，3] D ．[23，+∞)8．集合A = {x 1，x 2，x 3，…，x 10}，那么集合A 的非空真子集的个数有[ ] A ．1024B ．1023C ．1022D ．1021(A)(B)(C)(D)9. 如下图, 图中阴影局部是 [ ] A ．ABB ．(U A)∪(U B)C ．[(U A)∩B]∪[(U B)∩A]D ．U (A ∩B)10．函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有f (1 –x ) = f (1 + x) 成立，假设当x ∈[- 1，1]时，f (x) > 0恒成立，那么b 的取值范围是 [ ] A ．12b b <->或 B ．2b >C ．10b -<<D ．不能确定二、填空题：〔本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分，把答案填在答题卷相应位置上.〕 11．函数()01()112f x x x x=+-+-的定义域为 . 12．集合A ≠∅，B = {1，2，3，4，5，6，7}，假设x ∈A ，必有x ∈B 且8– x ∈A 成立，那么集合A 最多有_______个. 13．函数])2,31[(1∈+=x x x y 的最小值为m ，最大值为n ，那么m + n = .14．)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，那么不等式)]2(2[)(->x f x f 的解集是 .UAB15．f (x) =⎩⎪⎨⎪⎧x + 2， (x > 0)2， (x = 0)0， (x < 0)，那么)))))0(((((2008ff f f f f 个= ．16．给出五组函数： ①3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ；②111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；③x x f =)(， 2)(x x g = ；④x x f =)(， 33)(x x F =；⑤21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。

扬州大学附属中学高三第一次月考数学试题

扬州大学附属中学2020届高三数学测试班级姓名学号成绩一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分。

直接将答案填在下列表格中。

1．下列函数中，与||x y =为同一函数的是（ B ）A ．()2x y = B ．2x y =C ．⎩⎨⎧<->=)0(,)0(,x x x x y D ．x y = 2．三个数0.56，60.5，0.5log 6的大小顺序为（ D ）A ．5.05.0666log 5.0<<B ．6log 65.05.05.06<<C ．65.05.05.066log << D ．5.065.065.06log <<3．设集合2{|,}M y y x x R ==∈，{|2,}xN y y x R ==∈，则M N I 中元素的个数有（ D ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个 4．若关于x 的不等式24x x m -≥对任意(0, 1]x ∈恒成立，则 ( D ) A ．4m ≥- B ． 3m ≥- C ． 30m -≤< D ． 3m ≤-5．设指数函数()(01)xf x a a a =>≠且，则下列等式不正确．．．的是（ B ） A ．()()()f x y f x f y +=⋅ B ．[()]()()nnnf xy f x f y =⋅C ．()()()f x f x y f y -= D ．()()nf nx f x = 6． 2|log |y x =的定义域为[, ]a b ，值域为[0, 2]则区间[, ]a b 的长度b a -的最小值为( B )A ．3B ．43C ．2D ．23 7．函数lg ||x y x=的图象大致是（ D ）8．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ B ） A ．(1,2) B ．(2,)e C ．(,3)e D ．(3,)+∞9．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程[()]g f x x =的解集为（ C ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．∅10．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++=L( D ) A ．－2 B ．–1 C ．0 D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。

2020-2021学年江苏省扬州大学附中东部分校高一上学期第一次月考数学试题解析版

2020-2021学年江苏省扬州大学附中东部分校高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==，则UM =A ．UB ．{}1,3,5C ．{}2,4,6D ．{}3,5,6【答案】D【解析】试题分析：因为{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==，所以，{}3,5,6UM =故选D.【考点】集合的运算.2．若集合{|A x N x =∈≤，a = ） A ．{}a A ⊆ B ．a A ⊆ C ．{}a A ∈ D ．a A ∉【答案】D【解析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系可得B 、C 错误，再根据a =为无理数可得正确的选项. 【详解】因为a 表示元素，{}a 表示集合，故B 、C 错误.因为a A ∉，且{}a A ⊆不成立，故A 也错误，D 正确，故选：D . 【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，一般地，集合与集合之间用包含或不包含，3．已知命题p“2,0x N x ∃∈≤”，则p ⌝为（） A ．2,0x N x ∃∉≤． B ．2,0x N x ∃∈> C ．2,0x N x ∀∉> D ．2,0x N x ∀∈> 【答案】D【解析】特称命题的否定是全称命题，由此得到选项. 【详解】特称命题的否定是全称命题，C 选项应改为x ∈N ，这里不需要否定，故C 选项错误.所以选D. 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，在否定时要注意否定结论.属于基础题. 4．ac 2＞bc 2是a ＞b 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若22ac bc >成立，则20,c a b >∴>成立；若a b >成立，而2c ≥0，则有22ac bc ≥，故22ac bc >不成立；22ac bc ∴>是a b >的充分不必要条件.故选:A 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决问题的关键，属于基础题.5．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围为（） A ．2a ≥ B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≤【答案】A【解析】根据A B ⊆确定集合A 与集合B 区间端点的大小关系求解. 【详解】若A B ⊆，则只需满足2a ≥，故选：A. 【点睛】本题考查利用集合间的关系求参数的取值范围，属于简单题.6．不等式组5511x x x m +<+⎧⎨->⎩的解集是{}1x x >，则m 的取值范围是（）A ．m 1≥B ．1mC ．0m ≥D ．0m ≤【解析】化简不等式组得到11x x m>⎧⎨>+⎩，结合不等式的解集，得出不等式11m +≤，求解即可得到m 的取值范围. 【详解】5511x x x m +<+⎧⎨->⎩,可化为11x x m >⎧⎨>+⎩ 因为不等式组5511x x x m +<+⎧⎨->⎩的解集是{}1x x >所以11m +≤，解得：0m ≤ 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题.7．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（） A ．62% B ．56% C ．46% D ．42%【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果. 【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-= 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C.本题考查了积事件的概率公式，属于基础题. 8．已知0,0x y >>，且21x y +=，则11x y+的最小值是（）A ．4B ．2+C ．2D ．3+【答案】D【解析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为0,0x y >>，且21x y +=，所以()1222131113y x x y x x x y y y ⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2y x x y =，即x =1y =时取等号，故选：D 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 9．已知函数11y x x=++（0x <），则该函数的（）． A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．没有最小值 D ．最大值为1-【答案】D【解析】先由基本不等式得到12x x --≥，再转化得到111y x x=++≤-（0x <），最后判断选项即可. 【详解】解：因为0x <，所以0x ->，10x->，由基本不等式：1()()2x x-+-≥=，当且仅当1x x-=-即1x =-时，取等号. 所以12x x --≥，即12x x +≤-，所以111y x x=++≤-（0x <），当且仅当1x x-=-即1x =-时，取等号. 故该函数的最大值为：1- 故选：D 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.二、多选题10．下列四个不等式中，解集为∅的是（） A ．210x x -++≤ B ．22340x x -+<C ．23100x x ++≤ D ．2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】根据题意，找到不等式对应的一元二次函数函数，再利用判别式判断其解集是否为空集即可. 【详解】对于A ，210x x -++≤对应函数21y x x =-++开口向下，显然解集不为∅；对于B ，22340x x -+<，对应的函数开口向上，9320=-<，其解集为∅；对于C ，23100x x ++≤，对应的函数开口向上9400=-<，其解集为∅；对于D ，2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭对应的函数开口向下41641640a a ⎛⎫=-+≤-⨯= ⎪⎝⎭，其解集为∅；故选：BCD . 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题，掌握一元二次不等式的解集与一元二次函数的性质之间的关系是解题的关键，属于基础题.11．已知集合{}2|1A y y x ==+，集合{}2(,)|1B x y y x ==+，下列关系正确的是（）． A ．(1,2)B ∈ B ．A B =C ．0A ∉D ．(0,0)B ∉【答案】ACD【解析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．【详解】由已知集合{}1}[1,)A y y =≥=+∞，集合B 是由抛物线21y x =+上的点组成的集合， A 正确，B 错，C 正确，D 正确，故选：ACD ．【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．12．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{|6}x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞【答案】ABD【解析】由20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，可知0a >，-2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，利用韦达定理可得,6b a c a =-=-，进而可判断选项B ，D 的正确性. 【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，0a ∴>，A 选项正确；且-2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误；不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6x <-，B 选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或12x >，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目.三、填空题13．已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．【答案】()0,3【解析】化简命题q ，根据p 是q 的充分不必要条件，建立不等式组，即可求解. 【详解】令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴M ⫋N ，∴014a a >⎧⎨+<⎩，解得0<a <3.故填()0,3 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，属于中档题.14．已知命题“2,410x ax x ∀∈++>R ”是假命题，则实数a 的取值范围是_________________．【答案】(,4]-∞【解析】当命题为真时，由0a >且0∆<可得4a >，故命题为假时，4a ≤，故实数a 的取值范围是(],4-∞．15．已知0x >，0y >，且3622x y+=．若247x y m m +>-成立，则m 的取值范围为________．【答案】(,3)(4,)-∞⋃+∞【解析】根据均值不等式的“1”的妙用得最值求解. 【详解】因为136132414(4)12(121222222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当32x =，6y =时，取等号，由题意得2127m m >-，解得4m >或3m <．故得解.【点睛】本题考查均值不等式，属于中档题. 16．正实数,,a b c 满足11111,1a b a b c+=+=+，则实数c 的取值范围是__________. 【答案】4(1,]3【解析】利用均值不等式求()11a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭的范围从而求得+a b 的范围，由1a b +的范围及所给关系式即可求得c 的范围. 【详解】因为正实数,,a b c 满足11111,1a b a b c+=+=+，所以1c >，又()11224b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，（当且仅当2a b ==时取等号），所以4a b +≥，则1104a b <≤+，11014c<-，解得 413c<. 故答案为：4(1,]3【点睛】本题考查基本不等式的应用、不等式的性质，属于中档题.四、解答题17．（1）已知0a b c >>>，试比较a c b-与b ca -的大小；（2）比较2253x x ++与242x x ++的大小. 【答案】（1）a cb cb a-->；（2）2222543x x x x ++++>. 【解析】（1）利用作差法可得出a c b-与b ca -的大小关系；（2）利用作差法可得出2253x x ++与242x x ++的大小关系. 【详解】（1）()()()()()()22a b c a b a a c b b c a b a b c a c b c b a ab ab ab-------+----===， 0a b c >>>，0a b ∴->，0a b c +->，0ab >，所以，0a c b c b a --->，因此，a c b cb a-->；（2）()()222213253102424x x x x x x x ⎛⎫++-=++=++ ⎪⎝⎭+>+，因此，2222543x x x x ++++>. 【点睛】本题考查利用作差法比较代数式的大小关系，按照作差、因式分解、判断符号、下结论四个步骤进行，考查推理能力，属于基础题.18．已知集合{}12A x x =-≤<，集合{}1B x m x m =≤≤+. （1）当2m =-时，求()RA B ⋃；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()[)22-∞-⋃+∞，，；（2）{|11}m m -≤<【解析】（1）代入2m =-，确定集合{|21}B x x =-≤≤-，求解集合()RA B ⋃；（2）由B A ⊆，则有112m m ≥-⎧⎨+<⎩，求出m 的取值范围即可．【详解】（1）当2m =-时，{|21}B x x =-≤≤-，{|12}A x x =-≤<， ∴{|22}A B x x ⋃=-≤<，所以()()[)22RA B ⋃=-∞-⋃+∞，，（2）B A ⊆，则有112m m ≥-⎧⎨+<⎩，所以11m -≤<实数m 取值范围是{|11}m m -≤<．【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查集合间的关系，要注意对特殊的集合进行讨论，属于基础题.19．已知集合(){}(){}22116,880P x x Q x x a x a =->=+--≤.（1）求a 的取值范围，使它成为{}58P Q x x ⋂=<≤的充要条件；（2）求PQ .【答案】（1）[]5,3-；（2）答案见解析；【解析】（1）首先求出P ，由PQ ，得到{}|8Q x a x =-且53a a -≤⎧⎨-≥-⎩，解得即可；（2）对参数a 分类讨论，分别求出集合Q ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：（1）因为(){}(){}22116,880P x x Q x x a x a =->=+--≤所以{|3P x x =<-或5}x >，()(){}80Q x x a x =+-≤ 因为{}58P Q x x ⋂=<≤ 所以{}|8Q x a x =-且53a a -≤⎧⎨-≥-⎩，解得53a -≤≤，所以当a 取值范围是区间[]5,3-时，就是{}58P Q x x ⋂=<≤的充要条件；（2）①当3a >时，{}8Q x a x =-≤≤，所以[)(],35,8P Q a =--②当53a -时，{}8Q x a x =-≤≤，所以(]5,8P Q = ③当85a -<-时，{}8Q x a x =-≤≤，所以[],8P Q a =-④当8a <-时，{}8Q x x a =≤≤-，所以[]8,P Q a =-【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，以及交集的结果求参数的取值范围，考查分类讨论思想，属于中档题.20．已知m R ∈，命题:p 对[]0,1x ∀∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题[]:1,1q x ∃∈-，使得m x ≤成立.（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 有且仅有一个为真，求m 的取值范围. 【答案】（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞【解析】（1）对任意[0x ∈，1]，不等式2223x m m --恒成立，2(22)3min x m m --．利用函数的单调性与不等式的解法即可得出．（2）存在[1x ∈-，1]，使得m x 成立，可得1m ，命题q 为真时，1m ．p ，q 中一个是真命题，一个是假命题，分类讨论分别计算再取并集．【详解】解：（1）对任意[0x ∈，1]，不等式2223x m m --恒成立，2(22)3min x m m ∴--．即232m m --．解得12m ．因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．（2）存在[1x ∈-，1]，使得m x 成立，1m ∴，所以命题q 为真时，1m ． p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，则121m m ⎧⎨>⎩解得12m <；当p 假q 真时，121m m m ⎧⎨⎩或，即1m <． ∴实数m 的取值范围是()(],11,2-∞．【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（1）设0x ≥，求函数()()231x x y x ++=+的最小值. （2）若关于x 的不等式()2221x ax -<的解集中整数恰好有3个，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）2549(,]916. 【解析】（1）化简函数()()232(1)311x x y x x x ++==+++++，集合基本不等式，即可求解；（2）由不等式()2221x ax -<，化为2(4)410a x x --+<，得到40a ∆=>且40a ->，结合一元二次不等式的解法，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()()223562(1)3111x x x x y x x x x ++++===++++++ 因为0x ≥，可得11x +≥，则2(1)3331x x +++≥=+，当且仅当211xx+=+时，即21x=-时等号成立，所以函数()()231x xyx++=+的最小值223+.（2）由题意，不等式()2221x ax-<，即2(4)410a x x--+<，其中40a∆=>且40a->，解得04a<<，可得不等式的解集为22xa a<<+-，由11422a<<+，可得解集中一定含有整数1,2,3，可得342a<≤-，所以5374aa⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得2549916a<≤，即实数a的取值范围是2549(,]916.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值，以及含有参数的一元二次不等式的解集的应用，其中解答中根据函数的解析式构造基本不等式的条件，以及判定得出>0∆且40a->，结合不等式的解法，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 22．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形1111DCBA的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区1111DCBA的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）．（1）若设休闲区的长和宽的比1111(1)A Bx xB C=>，求公园ABCD所占面积S关于x的函数()S x的解析式；（2）要使公园所占面积最小，则休闲区1111DCBA的长和宽该如何设计？【答案】（1）80000()41608(0)S x x xx=++>；（2）长100米、宽为40米.【解析】【详解】(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4000，得a.则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋＋160＝＋4160(x>1)．)＋4160＝1600＋4160＝5760.当且仅当x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．。

2021届江苏省扬州市扬大附中东部分校高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2021届江苏省扬州市扬大附中东部分校高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =≥-，则正确的是（） A ．0⊆A B ． {0}A ∈ C ．A φ∈ D ．{0}A ⊆【答案】D【解析】由元素与集合以及集合与集合的关系即可求解. 【详解】对A ，0A ∈,故A 错误；对B ，{0}A ⊆，故B 错误；对C ，空集φ是任何集合的子集，即A φ⊆，故C 错误；对D ，由于集合{0}是集合A 的子集，故D 正确. 故选D 【点睛】本题主要考查了元素与集合以及集合与集合之间的关系，要注意区分，属于基础题.2．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．3．若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-，则不等式()()2130b x a x c -+++>的解为（）A ．413,⎛-⎫ ⎪⎝⎭B ．(),3,41-∞+⎪∞⎛⎫ ⎝⎭C ．()1,4-D ．()()–21,∞-+∞，【答案】A【解析】根据不等式20ax bx c ++>的解集求出b 、a 和c 的关系，再化简不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>，从而求出所求不等式的解集．【详解】根据题意，若不等式20ax bx c ++>的解集是()4,1-，则4-与1是方程20ax bx c ++=的根，且0a <，则有()()4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得3b a =﹐4c a =-﹐且0a <；∴不等式()()2130b x a x c -+++>化为：()()231340x x -++-<，整理得2340x x +-<﹐ 即()()3410x x +-<﹐ 解可得413x -<<，即不等式()()2130b x a x c -+++>的解为4,13⎛⎫-⎪⎝⎭；故选：A. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系，属于中档题．4．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，并且当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()2log 10f 的值为（）A ．35B ．35C ．25-D ．25【答案】A【解析】先求出函数的最小正周期，再利用函数的奇偶性和周期化简即得解. 【详解】因为()f x 满足()()4f x f x +=，所以函数的周期为4，由题得()()2222105log 10log 104(log )(log )168f f f f =-==，因为函数f(x)是奇函数，所以222558(log )=(log )(log )885f f f --=-，因为28log 0,15∈（），所以28log 522583(log )(log )=-(21)855f f =--=-.故选A 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．已知如图为函数()f x 的图象，则()f x 的解析式可能是（）A ．()2sin 1xf x x =-B ．()2221x xf x x --=- C ．()31x f x x =-D ．()ln 1xf x x =- 【答案】B【解析】由函数图象和函数的性质，对选项A ，D 可进行排除，利用导数，求出选项C 中函数在()1,+∞上的最小值，结合图像即可判断选项C 错误，由此即可判断出最终答案．．【详解】由函数图像可知，函数定义域可知x 可以取到0，故排除D ；由函数图象可知函数只有一个零点，且为0，故排除A ；对()31x f x x =-求导可得()()()3222311x x f x x x -'>-＝令()0f x '=得32x =，且此时()f x 取最小值为274，与函数图象不符，排除C ；故选：B ．【点睛】本题考查了函数的图象、函数的性质以及导数在求函数最值中的应用，属于中档题． 6．若集合3| 01x A x x -=≥+⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{|10}B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（） A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎛-⎤ ⎥⎝⎦C ．(,1)[0,)-∞-+∞D ．1[,0)(0,1)3-⋃【答案】A【解析】先根据分式不等式求解出集合A ，然后对集合B 中参数a 与0的关系作分类讨论，根据子集关系确定出a 的范围. 【详解】因为301x x -≥+，所以()()10310x x x +≠⎧⎨-+≥⎩，所以1x <-或3x ≥，所以{|1A x x =<-或}3x ≥，当0a =时，10≤不成立，所以B =∅，所以B A ⊆满足，当0a >时，因为10ax +≤，所以1x a≤-，又因为B A ⊆，所以11-<-a，所以01a <<，当0a <时，因为10ax +≤，所以1x a≥-，又因为B A ⊆，所以13a -≥，所以103a -≤<，综上可知：1,13a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查分式不等式的求解以及根据集合间的包含关系求解参数范围，难度一般.解分式不等式的方法：将分式不等式先转化为整式不等式，然后根据一元二次不等式的解法或者高次不等式的解法（数轴穿根法）求出解集.7．下列命题中：①若“x y >”是“22x y >”的充要条件； ②若“x R ∃∈，2210x ax ++<”，则实数a 的取值范围是()(),11,-∞-+∞；③已知平面α、β、γ，直线m 、l ，若αγ⊥，m γα=，l γβ=，l m ⊥，则l α⊥；④函数()13xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭. 其中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】利用充分条件与必要条件的关系判断①的正误；根据特称命题成立的等价条件求实数a 的取值范围，可判断②的正误；由面面垂直的性质定理可判断③的正误；利用零点存在定理可判断④的正误. 【详解】①由x y >，可知0x >，所以有22x y >，当0x y <<时，满足22x y >，但x y >不成立，所以①错误；②要使“x R ∃∈，2210x ax ++<”成立，则有对应方程的判别式>0∆，即2440a ->，解得1a <-或1a >，所以②正确；③因为αγ⊥，m γα=，l γβ=，所以l γ⊂，又l m ⊥，所以根据面面垂直的性质定理知l α⊥，所以③正确；④因为111332111103333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111222111102332f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且函数()y f x =连续，所以根据零点存在定理可知在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭上，函数()y f x =存在零点，所以④正确. 所以正确的是②③④，共有三个. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的真假判断．正确推理是解题的关键．要求各相关知识必须熟练，考查推理能力，属于中等题.8．新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（） A ．丙没有选化学B ．丁没有选化学C ．乙丁可以两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选化学【答案】D【解析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．【详解】根据题意可得，∵甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，∴乙必定没选化学；又∵丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学；若丙没选化学，又∵丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学．综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A ，B 不正确，D 正确．假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科．不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此C 不正确．【点睛】本题主要考查学生的逻辑推理能力．二、多选题9．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m nC ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD【解析】由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为载体逐一分析即可得出结论．【详解】解：若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对；若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对；故选：ACD ．【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理、面面平行的判定定理以及线面垂直的判定定理，通常借助长方体为载体进行判断，属于基础题．10．设1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么( ) A ．+a b 有最小值21) B ．+a b 有最大值221) C ．ab 有最大值322+． D ．ab 有最小值322+【答案】AD【解析】根据1a >，1b >，即可得出2a b ab +，从而得出1ab -，进而得出21+，从而得出ab 有最小值3+2()2a b ab +，从而得出2()4()4a b a b +-+，进而解出2(21)a b ++，即得出+a b 的最小值为1)．【详解】解：1a >，1b >，∴2a b ab +，当a b =时取等号， ∴1()2ab a b ab ab =-+-21+，∴2(21)3ab +=+，ab ∴有最小值3+；2()2a b ab +，当a b =时取等号， ∴21()()()2a b ab a b a b +=-+-+， 2()4()4a b a b ∴+-+，2[()2]8a b ∴+-，解得222a b +-，即2(21)a b ++，a b ∴+有最小值1)．故选：AD ．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值时的应用，考查了计算能力，属于中档题． 11．已知函数()2()lg 1f x x ax a =+--，给出下述论述，其中正确的是（） A ．当0a =时，()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞B ．()f x 一定有最小值；C ．当0a =时，()f x 的值域为R ；D ．若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{4}∣aa ≥- 【答案】AC【解析】对A ，当0a =时，求出函数()f x 的定义域，可判选项A ；当0a =时，函数()f x 的值域为R ，可判选项B ，C ；根据复合函数单调性可知，内函数21y x ax a =+--递增且0y >可求出a 的取值范围，可判断选项D.【详解】对A ，当0a =时，解210x ->有(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞，故A 正确；对B ，当0a =时，2()lg(1)f x x =-，此时(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞，21(0,)x -∈+∞，此时2()lg(1)f x x =-值域为R ，故B 错误；对C ，同B ，故C 正确；对D ，若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，此时21y x ax a =+--在[2,)+∞上单调递增，所以对称轴22a x =-≤，解得4a ≥-，但当4a =-时，2()lg(43)f x x x =-+在2x =处无定义，故D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的定义域、值域、最值、单调性，对于复合函数的单调性问题，可先将函数(())y f g x =分解成()y f t =和()t g x =，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断或求解.12．设()'f x 为函数()f x 的导函数，已知2()()ln x f x xf x x '+=，1(1)2f =，则下列结论不正确的是（） A ．()xf x 在(0,)+∞单调递增 B ．()xf x 在(1,)+∞单调递增C ．()xf x 在(0,)+∞上有极大值12D ．()xf x 在(0,)+∞上有极小值12【答案】AC【解析】首先根据题意设()()g x xf x =，得到ln ()'=xg x x，再求出()g x 的单调性和极值即可得到答案. 【详解】由2()()ln x f x xf x x '+=得0x >，则ln ()()xxf x f x x'+=即ln [()]'=xxf x x，设()()g x xf x = ln ()01xg x x x'=>⇒>，()001g x x '<⇒<< 即()xf x 在(1,)+∞单调递增，在(0,1)单调递减即当1x=时，函数()()g x xf x=取得极小值()()1112==g f.故选：AC【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，同时考查了构造函数，属于中档题.三、填空题13．在长方体1111ABCD A B C D-中，11,3AB BC AA===，则异面直线1AD与1DB 所成角的余弦值为__________.【答案】5【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AD与1DB所成角的余弦值.【详解】解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体1111ABCD A B C D-中，11,3AB BC AA===1(1,0,0),3),(0,0,0)A D D∴，13)B，11(1,0,3),(1,13)AD DB∴=-=设异面直线1AD与1DB所成角为θ，则1111||5cos||||25AD DBAD DBθ⋅===⋅∴异面直线1AD与1DB5.. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题. 14．若()3log 21a b +=+42a b +的最小值为______.【答案】163【解析】由题意可得23,0,0a b ab a b +=>>，可得213b a+=，12142(42)3a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式的性质即可得出．【详解】由3log (2b)1a +=+得()()12123333log 21log1log log 3a b ab ab ab +=+=+=，所以23,0,0a b ab a b +=>>，可得213b a+=，则118211642(42)882333321b a a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎭+⎝⎝，当且仅当423a b ==时取等号. 故答案为：163. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质、对数的运算以及换底公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于较易题． 15．已知函数()3xx1f x =x 2x+e -e -，其中e 是自然数对数的底数，若()()2f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________．【答案】1[1,]2-【解析】因为31()2e ()ex x f x x x f x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以数()f x 在R 上单调递增，又2(1)(2)0f a f a -+≤，即2(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-．点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内． 16．关于x 的方程1ln 2x a x +=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______. 【答案】11ln 22a -<<【解析】首先方程变形为1ln 2x x a =-，将方程有3个不同的实数解转化为函数ln y x =与12y x a =-有3个不同交点，利用数形结合求a 的取值范围. 【详解】原式变形为1ln 2x x a =-，当函数ln y x =与12y x a =-有3个不同交点时，如图，满足条件的直线夹在如图的两条直线之间，一条是过()1,0的直线，此时12a =，此时与y 轴的交点是10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，另外一条是相切的直线，设切点()00,ln x x ，则0112x =，解得：02x =，则切点是()2,ln 2，则1ln 222a =⨯-，解得1ln 2a =-，，此时与y 轴的交点是()0,ln 21-，1ln 212a ∴-<-<- 11ln 22a ∴-<<.故答案为：11ln 22a -<< 【点睛】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.四、解答题17．设命题:p 实数x 满足22320x ax a -+<，其中0a >；命题:q 实数x 满足()3log 11x -<.（1）当1a =时，若命题p 和命题q 皆为真命题，求x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()1,2；（2）[]1,2【解析】（1）当1a =时，解出p 为真命题时x 的取值范围和q 为真命题时x 的取值范围，求交集即可得到结果；（2）因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，即p 为真命题时x 的取值范围是q 为真命题时x 的取值范围的真子集，由此即可求出a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，2320x x -+<，所以()()120x x --<，解得12x <<；即命题p 为真命题，则12x <<；因为()3log 11x -<，所以14x <<，即命题q 为真命题，则14x <<；若命题p 和命题q 皆为真命题，所以1214x x <<⎧⎨<<⎩，所以12x <<；即x 的取值范围()1,2（2）因为22320x ax a -+<，0a >，所以()()20x a x a --<，解得2a x a << ，因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，即(),2a a 是()1,4的真子集，则124a a ≥⎧⎨≤⎩，则12a ≤≤，经检验，当1a =或2a =时，都满足题意. 即实数a 的取值范围[]1,2. 【点睛】本题主要考查了不等式的解法、充分条件与必要条件的应用，属于基础题. 18．已知函数()2305kxy k x k=>+.（1）若y m >的解集为{5x x <-或}1x >-，求,m k 的值；（2）若05x ∃>，使不等式3y >成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）1,12m k =-=；（2）()20,k ∈+∞.【解析】(1)由题意对不等式y m >化简可得2350mx kx mk -+<，在结合一元二次不等式的解集，可知5,1--是方程2350mx kx mk -+=的根，利用韦达定理求得,m k 的值.(2)由题意可知05x ∃>，使不等式3y >成立，等价于05x ∃>，使不等式25k x x >-成立.令()2(),5,5x x g x x -=∈+∞，原问题等价于()min k g x >，再利用基本不等式求出()g x 的最小值，即可求得k 的取值范围. 【详解】（1）因为y m >的解集为{5x x <-或}1x >-，所以235kxm x k>+的解集为{5x x <-或}1x >-，即2350mx kx mk -+<的解集为{5x x <-或}1x >-，所以1,5--是方程2350mx kx mk -+=的根，所以()()351551km k ⎧=-+-⎪⎨⎪=-⨯-⎩，所以1,12m k =-=；（2）()2223335055kx y x k x x kkx k x ->⇔>⇔+<⇔<-+，又05x ∃>，使不等式3y >成立，即05x ∃>，使不等式25k x x >-成立，令()2(),5,5x x g x x -=∈+∞，则 ()min k g x >，令5t x =-，则()0,t ∈+∞，所以()2525101020t y t tt +==++≥= 当且仅当25t t=，即5t =时取等号；所以当10x =时，()g x 取最小值，min ()20g x =，所以()20,k ∈+∞. 【点睛】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，二次函数的性质、基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题.19．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重. 大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病. 为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表:（1）问有多大的把握认为是否患心肺疾病与性别有关?（2）空气质量指数PM 2.5（单位:3μg/m ）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重. 某市在2016年年初着手治理环境污染，改善空气质量，检测到2016年1~5月的日平均PM 2.5指数如下表:试根据上表数据，求月份x 与PM 2.5指数y 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测2016年8月份的日平均PM 2.5指数（保留小数点后一位）. 附:()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑.【答案】（1）由99.5%的把握性认为是否患有心肺疾病与性别有关系；（2）ˆ 1.780.1yx =-+，预测2016年8月份的日平均PM 2.5指数66.5. 【解析】（1）根据题设中的22⨯的列联表中的数据，利用公式求得28.333χ≈，结合附表，即可求解；（2）由表格中的数据，分别求得,x y ，以利用公式求得ˆˆ,ba ，得出回归直线的方程，即可求解. 【详解】（1）根据题设中的22⨯的列联表中的数据，可得() ()()()()22250(2015510)8.3337.87925253020n ad bca b c d a c b dχ-⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，结合附表，可得由99.5%的把握性认为是否患有心肺疾病与性别有关系.（2）由表格中的数据，可得：1234535x++++==，7976757372755y++++==，所以()()()121(2)4(1)1001(2)2(3)ˆ 1.741014ni iiniix x y ybx x==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===-++++-∑∑，则ˆˆ75( 1.7)380.1a y bx=-=--⨯=，所以回归直线方程为ˆ 1.780.1y x=-+，令8x=，可得ˆ 1.7880.166.5y=-⨯+=，即预测2016年8月份的日平均PM2.5指数66.5.【点睛】本题主要考查了卡方的计算、独立性检验的应用，以及回归直线方程的求解及应用，其中解答中认真审题，熟练应用公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 20．如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M 为棱AB的中点，AB=2，AD=23，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)1326；(Ⅲ)34．【解析】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得113226MNcos DMNDM∠==．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为13．（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得3CMsin CDMCD∠==．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为3．详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM22=13AD AM+因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN22=13AD AN+在等腰三角形DMN中，MN=1，可得1132cosMNDMNDM∠==．所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326．（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM3又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD22AC AD+．在Rt△CMD中，3sinCMCDMCD∠==．所以，直线CD与平面ABD3点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．21．已知函数()()ln 0f x x a x a =->. （1）若1a =，求()f x 的极值；（2）若存在[]01,x e ∈，使得()0010af x x ++<成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）极小值是f （1）=1，无极大值；（2）211e a >e +-. 【解析】（1）求出导数'()f x ，由不等式'()0f x >确定增区间，由'()0f x <确定减区间，从而得极值；（2）问题等价于()1a f x x ++最小值小于0，因此用导数研究函数()1()ah x f x x+=+的最小值，由最小值小于0可求得a 的范围，注意要分类讨论．【详解】（1）a =1时，()ln f x x x =-，函数()f x 的定义域是(0,)+∞，()111x f x x x-'=-=，令()0f x '>，解得x ＞1，令()0f x '<，解得0＜x ＜1， ()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，故()f x 的极小值是f （1）=1，无极大值.（2）存在[]01,x e ∈，使得()0010af x x ++<成立，等价于()00min10a f x x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭[]()01,x e ∈成立，设1()ln ah x x a x x +=-+，2(1)(1)()x x a h x x +--'= 令()0h x '=，解得：x =﹣1（舍），x =1+a ；①当1a e +≥，()h x 在[]1,e 递减，∴()h x 的最小值为1()ah e e a e+=-+，令()h x min ＜0，解得211e a >e +-，；②当1a e +<时，()h x 在(1,1)a +递减，在(1,)a e +递增，ln(1)ln 1a e +<= ∴()h x 的最小值为(1)1ln(1)1[1ln(1)]22h a a a a a a +=+-++=-++>与min ()0h x <矛盾，综上，211e a >e +-．【点睛】本题考查导数的应用，考查转化与化归思想，命题“若存在x 0∈[1，e]，使得使得()0010af x x ++<成立”等价于“[1,e]x ∈时， ()1a f x x++最小值小于0”，转化后只要用导数研究函数的最小值即可. 22．已知函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在点()()22,A e f e （e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4．（1）求实数a 的值；（2）若m Z ∈，且()()11m x f x -<+对任意1x >恒成立，求m 的最大值．【答案】（1）2a =；（2）m 的最大值为3．【解析】（1）由题意得出()24f e '=，进而可求得实数a 的值；（2）求得()ln f x x x x =+，由参变量分离法得出ln 11x x x m x ++<-，构造函数()ln 11x x x g x x ++=-，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,+∞上的最小值，进而可得出整数m 的最大值. 【详解】（1）()()1ln f x a x x x =-+，()ln f x x a ∴'=+，函数()()1ln f x a x x x =-+的图象在2x e =处的切线斜率为4，()24f e ∴'=，即2ln 4a e +=，因此，2a =；（2）由（1）知()ln f x x x x =+．()()1m x f x -<对任意1x >恒成立，()1ln 111f x x x x m x x +++∴<=--对任意1x >恒成立，令()ln 11x x x g x x ++=-，则()()()()()()22ln 21ln 1ln 311x x x x x x x g x x x +--++--==--'，令()ln 3u x x x =--，则()11u x x'=-， 1x >，()0u x ∴'>，()ln 3u x x x ∴=--在()1,+∞为增函数，第 1 页共 6 页 ()41ln 40u =-<，()52ln50u =->，∴存在()04,5x ∈，使()000ln 30u x x x =--=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增.()()()00000000min 0031ln 1111x x x x x x g x g x x x x +-+++∴====---，故有01m x <-对1x >恒成立．()04,5x ∈，()013,4x ∴-∈，因此，m 的最大值为3．【点睛】本题第（1）问考查切线问题，较基础；第（2）问考查恒成立问题，使用适当的变换，可以归结为函数的最值问题．需要注意的是，这里需要用到设而不求的未知数的技巧，主要考查了转化与化归思想的使用，数形结合能力和运算求解能力，对考生的要求较高，属难题．。

江苏省扬州市扬州大学附属中学2020-2021学年第一学期期中考试高一数学(无答案)

江苏省扬州市扬州大学附属中学2020-2021学年第一学期期中考试高一数学（本卷满分：150分考试时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、已知集合{}{}A n n x x B A ∈==--=,,4,1,2,32，则=B A （） A 、{}16,9 B 、{}3,2 C 、{}4,1 D 、{}2,12、设R c a b ∈>>,0，下列不等式中正确的是（）A 、22bc ac <B 、a b >C 、a b 11>D 、bc a c > 3、函数142+=x x y 的图象大致为（） A 、B 、C 、D 、 4、若2log 3=a ，则a a -+33的值为（）A 、3B 、4C 、23 D 、25 5、下列函数: ①12+=x y ；②(]2,2,2-∈=x x y ；③11-++=x x y ；④()21-=x y . 其中是偶函数的有（）A 、①B 、①③C 、①②D 、②④ 6、狄利克雷是德国著名数学家，函数()1,0,R x Q D x x Q ∈⎧=⎨∈⎩被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数()x D 的结论中，正确的是（）A 、()x D 是奇函数B 、若x 是无理数，则()()0=x D DC 、函数()xD 的值域是[]1,0 D 、若0≠T 且T 为有理数，则()()x D T x D =+对任意的R x ∈恒成立7、若定义运算⎩⎨⎧<≥=*ba ab a b b a ,,，则函数()()()2422+-*+--=x x x x g 的值域为（） A 、(]4,∞- B 、(]2,∞- C 、[)+∞,1 D 、()4,∞-8、已知()()11log 2log 22=-+-b a ，则b a +2取到最小值时，b a 2+的值为（）A 、223+B 、9C 、8D 、215 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、在区间()+∞,0上是单调递增函数的是（）A 、12+=x yB 、1-=x yC 、xy 2-= D 、122+-=x x y 10、若2,0,0=+>>b a b a ，则下列不等式正确的有（）A 、1≥abB 、2≤+b a C 、222≥+b a D 、211≥+ba 11、下列说法正确的是（）A 、命题“1,2->∈∀x R x ”的否定是“1,2-<∈∃x R x ”B 、“22y x >”是“y x >”的既不充分也不必要条件C 、已知函数()x f 是R 上的偶函数，若R x x ∈21,，则“()()021=-x f x f ”是“021=+x x ”的必要不充分条件D 、设()()+∞∈,11,0, b a ，则“b a =”是“a b b a log log =”的充分不必要条件12、下列结论正确的是（）A 、函数()x f y =的定义域为[]3,1，则函数()12+=x f y 的定义域为[]1,0B 、函数()x f 的值域为[]2,1，则函数()1+x f 的值域为[]3,2C 、若函数42++-=ax x y 有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是()3,0D 、已知函数()R x x x x f ∈+=,32，若方程()01=--x a x f 恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为()()+∞,91,0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=1,311,2x xx x x x f ，则()()2f f 的值为 . 14、已知函数()13++=xa x x f ，若()62020=-f ，则()=2020f . 15、若m x x ≥++1422恒成立，则实数m 的取值范围是 . 16、已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且()01=-f ，若对任意()0,,21∞-∈x x ，且21x x ≠，都有()()0212211>--x x x f x x f x 成立，则不等式()0<x f 的解集为 .四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（本题满分10分）计算:（1）()202143325.08116--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--π；（2）()01.0lg 20lg 5lg 2lg 2+⨯+.18、（本题满分12分）已知集合()(){}{}132,033+≤≤-=≤-+=m x m x B x x x A .（1）当1-=m 时，求B A ；（2）若B B A = ，求m 的取值范围.19、（本题满分12分）已知R a ∈，命题:p “[]0,2,12≤-∈∀a x x ”，命题:q “022,2=-++∈∃a ax x R x ”. （1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若q p 、有且只有一个真命题，求实数a 的取值范围.20、（本题满分12分）由于疫情影响，某公司欲定期租借某种型号快艇向距离码头50海里的小岛A 运送物资，经调查发现: 该型号快艇每小时花费的燃料费y 与快艇航行速度v 的平方成正比，比例系数为k ，快艇的最大速度为15海里/小时，当快艇速度为10海里/小时，它的燃料费是每小时48元，其余航运费用（不论速度如何）总计是每小时75元. 假定航行过程中快艇总以速度v 匀速航行.（1）求k 的值；（2）求租一艘快艇运送一次物资的总费用W （往返的燃料费+航运费用）的最小值.21、（本题满分12分）已知函数()432++=ax b x x f 是定义在()2,2-上的偶函数，且()531=f . （1）求b a ,的值；（2）判断函数()x f 在区间()2,0上的单调性，并证明；（3）解不等式()()2212->+m f m f .23、（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点()b a A ,，若函数()x f y =满足:[]1,1+-∈∀a a x ，都有[]1,1+-∈b b y ，则称这个函数是点A 的“界函数”.（1）若函数x y =是点()b a A ,的“界函数”，求b a ,需满足的关系；（2）若点()n m B ,在函数221x y -=的图象上，是否存在m 使得函数221x y -=是点B 的“界函数”? 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.。