基于极坐标投影法的五轴加工刀具路径生成法

文章编号　100426410(2006)0320005204

基于极坐标投影法的五轴加工刀具路径生成法

俞芙芳

(福建工程学院机电及自动化工程系,福建福州　350014)

摘　要:针对五轴加工中刀具矢量变化较大且易产生干涉的问题,提出了基于极坐标投影法的五轴加工刀具路径生成法。利用微分几何理论计算得自由曲面的法矢、主曲率及其极值,利用极坐标投影法获得刀轴矢量,并求得可能的干涉区域;应用等距偏移曲面法计算出曲面数控精加工刀位数据,并通过控制切削残留高度的方法求得切削行距。结果表明,极坐标投影法可以得到无干涉的五轴加工刀位数据,并可以获得均匀变化的刀轴矢量。

关　键　词:极坐标投影;自由曲面;五轴铣削;无干涉刀位数据

中图分类号:T P 391173 文献标识码:A

收稿日期:2006205208

作者简介:俞芙芳(19502),女,福建长汀人,福建工程学院机电及自动化工程系副教授,硕士。 在机械、船舶、航空航天等零件设计制造中经常遇到由二次曲线弧和二次曲面表示的轮廓,以及由组合二次曲面与自由型样条曲面混合而成的轮廓[1,2]。这些轮廓在设计时由参数明确给出,在制造时由制造精度保证。用参数矢量表达自由曲线曲面是目前的主流方法。由于自由曲面的数控加工涉及复杂的计算过程,通常采用多轴加工。当与被加工曲面有相邻的表面时(如叶轮叶片的铣削),常采用4～5轴铣削。

但是,5轴铣削过程中刀轴矢量是变化的,这个变化若是不平滑的,则会造成曲面表面形貌的不规则。因此,如何实现刀轴矢量的平滑变化,是需要研究的问题之一。本文根据极坐标系和刀具姿态的相似性,构造了基于极坐标投影的自由曲面5轴铣削时刀具路径的产生方法,实现了刀轴矢量的平滑变化,提出了避免刀具碰撞和求取刀具路径的方法。

1　自由曲面的微分几何特性

设被加工曲面的参数方程为

p (u ,v )=∑n i =1p i (u ,v )=∑n

i =1[u 3　u 2　u 1]M i [v 3　v 2　v 1

](1)

式中　p i (u ,v )——第i 个曲面片的参数方程;M i ——第i 个曲面片的矢量方阵(

4阶方阵);

u ,v ——曲面方程的双参数,u ,v ∈[0,1];n ——曲面片的数量。

曲面上任一点C 处沿u ,v 方向的切矢分别为

p u =5p (u ,v )5u ,　p v =5p (u ,v )5v

(2) C 点处的法矢量为

n =p u ×p v p u ×p v

(3) C 点处的法曲率为

ϑn =w T D w w T G w

(4) 式中　w =[・u ・v ]

T G =p u p u p u p v p v p u p v p v =g 11　g 12g 21　g 22,　D =p uu ・n p uv ・n p vu ・n p vv ・n

=d 11　d 12d 21　d 22(5)

第17卷　第3期

广西工学院学报 V ol 117　N o 13

2006年9月　JOU RNAL O F GUAN GX IUN I V ER S IT Y O F T ECHNOLO GY Sep t 12006

其中p uu =52p (u ,v )2u p uv =p vu =52p (u ,v )u v p vv =52p (u ,v )2v

设{e 1,e 2}分别为曲面在点C 的两个彼此正交的主方向单位向量,对应的主曲率分别为ϑ1和ϑ2,则在点C 沿任意一个单位切向量e =cos Ηe 1+sin Ηe 1的法曲率是

ϑn (Η)=ϑ1co s 2Η+ϑ2sin 2Η

(6) 由Euler 公式,令B =g 11d 22+d 11g 22-2d 12g 12,则曲面上任一点的主曲率极值为 ϑm ax =B +B 2-4 G ‖D 2 G ϑm in =B -B 2-4 G ‖D

2 G (7)

2　基于平面极坐标刀轴矢量计算

211　从刀轴矢量到平面极坐标的投影

这里讨论用球头铣刀加工曲面。当用球头铣刀进行5轴铣削加工时,刀轴矢量是由刀心点和切削点之间的关系确定的。图1为三维欧氏空间中球头刀具姿态定义。取刀具中心点O 为原点,在被加工表面一点C 处建立一右手D escartes 坐标系。取刀具进给方向为x 轴,C 点的法线方向为z 轴。刀轴矢量T 由角度Η(0≤Η≤Π

2

)(Η为z 轴与刀轴间的夹角)和从x 轴起始绕z 轴的旋转角Υ确定。 图2是一个平面极坐标下的点的构成。在一个极坐标系中任一点P ,它与原点间的距离与倾角Η和绕原点的旋转角Υ有关。换言之,一个极坐标中的点与刀具在真实空间中的位置是一一对应的。因此,极坐标中的点可以视为刀具姿态点的投影点。这样,就可以将所有的刀具姿态、周边面、无碰撞区域等投影二维空间里表示。

根据式(7),确定刀具安装方向(即刀轴矢量)时,切削点处刀轴矢量T 和刀具半径R 满足

n ×T ≠0;R <1ϑm ax

212　周边面在极坐标系中的投影

曲面加工是通过刀具的线性插补运动逼近被加工曲面来完成的。周边面是和曲面p 邻接的且可能与刀具发生碰撞的面(如图1的S 1和S 2)。由于这些面通常也是复杂曲面,要求出它在C 空间的投影,常用的方法是用多边形来拟合它,具体拟合方法可见文献[6].

当刀具运动到每个多边形的边时,刀轴将要变化。同时,Η和Υ的值也随之变化。刀轴矢量的计算方法如图3所示。 用Rot V (Ξ)表示4×4旋转变换矩阵,绕任一个矢量V 旋转Ξ角,刀轴矢量t 可由如下方程表示:

t =pRot {(p ×d )×p }(Ξ)

(8)6广西工学院学报 第17卷