标度律

1 ∑σ i , σ i属于第j块. N' i
L4
L7
都相等, 就是刚才的平均场的情况. 如果我们把各块 中的 L j 不相等的情况也包含进来, 就会出现梯度项. 考虑左下图情况: 1和2两块, 蓝色虚线是分界线, 假定 各块中的自旋数为 N ' , 1块中的序参量为 L1 , 1块中 的序参量为 L2 , 1,2块中的自旋向上的格位数为
出现梯度的平方项.
2 ( L1 − L2 ) 2 − L1 − L2 2 L1L2 = − 2
也就是说, 当把序参量在空间上不均匀的情况(热力学涨落)也考虑进去时, 自由能 的展开就会出现梯度的平方项. 当然还可以出现梯度的四次, 六次等高次方项. 上次 课中的气液临界点附近关联函数的计算得到
其中
考虑到: 我们有: 假定: 令
x
T → t , B → h ; TL → t L , BL → hL
f (t L , hL ) = Ld f (t , h) t L = L t , hL = L h
Brgg—Williams平均场解与朗道金兹堡哈密顿量的联系的再讨论 Bragg-Williams 假设 再引入长程序参量 自由能密度为
1 1 1+ L 1+ L 1− L 1− L F ln Q( L) = − qJL2 + ln ln =− + βN 2 2β 2 2β 2 N
N ++ N+ 2 =( ) 1 N qN (6.2.19)式 2 1 N − N− N = 2 + − 1, ( − 1 ≤ L ≤ 1) L = ∑σ i = + N N i N
∫
H = − J ∑ δσ i ,σ j − h∑ δσ i ,1
<ij >
i
其中 σ i = 1,2,L q , 每个格位有q种状态, 最近邻格点上状态相同, 则对能量贡献 − J , 否则对能量贡献为零. 外场指向一个特别的状态. 这个模型对应的朗道— 金兹堡哈密顿量为
g4 4 1 2 1 2 g3 3 H = ∫ d r[ tφ + (∇φ (r )) + φ (r ) + φ (r )] 2 2 3 4
f (t , h) = ct (1−q ) / p h q
又或者 f (t , h) = c(t p + x h q − x )1 /( p + q ) , 其中 x 为任意实数. 显然这些函数的线性 组合也是一个齐次函数. 所以齐次函数的形式可以很复杂. 不过这种函数有些很强 的限制, 用这些性质可以导出 α , β , γ , δ 四个指数的关系.
N 1 N + + = qN + + ，或者 N 2
在临界温度附近, 序参量很小, 我们把上式在 L = 0 附近进行展开, F 1 1 1 4 ≈− ln 2 + tL2 + L βC 2βC 12βC N 朗道认为, 在临界温度附近, 序参量是个小量, 系统的自由能可以用它来展开
朗道--金兹堡哈密顿量为
3
临界指数 按朗道的理论, 对于临界现象的描述, 从序参量开始. 我们一铁磁相变(或伊辛模型) 为例来介绍一下临界指数. (1)零外场时, 磁化强度对约化温度的依赖关系
m
m(T ,0) ~ (−t ) β , t < 0
其中 t = (T − TC ) / TC .
TC
通常有 γ 1 = γ 2 = γ .
m(T ,0) ~ (−t ) β , t < 0
= λq m(t ' , h' )
令 λ p t = −1 ,则有 m(t ,0) = λq −1m(−1,0) = (−t ) −( q −1) / p m(−1,0) ~ (−t ) −( q −1) / p 得到
m(TC , B) ~ ( B)1 / δ 类似地也可以得到 δ . 临界温度时, 磁化强度和磁场的关系
比如磁化强度随温度变化的关系为, 由于
∂f ∂f 可以得到 m(λ p t , λq h) = λm(t , h) )T → m ~ −( )t ∂h ∂B 其中用到了 ( ∂f (t ' , h' ) ) = ( ∂f (t ' , h' ) ) dh' 其中 t ' = λ p t , h' = λq h t t' ∂h ∂h' dh m = −(
f (λ p t , λq h) = λf (t , h),
其中 t = (T − TC ) / TC , h = µB / kTC . 上述形式的函数称为齐次函数, 奇次函数的 一般性质我们可以不去管它, 我们将要用到的都是幂函数, 所以我们只管幂函数就 行了. 比如
f (t , h) = c(t p h q )1 /( p + q ) 或者
kT eik ⋅r 1 C (r ) = 2 ∑ | nk |2 eik ⋅r = ∑ V k a + bk 2 V k T − Tc a(T ) = a0 ( ) = a0t , a0 > 0 Tc
在临界点上, a(T ) = 0 , 对关联函数的贡献最大的部分来自于 k ~ 0 的模式, 即 长波模式. 如果在自由能中加上梯度的四次, 六次等高次方项, 在 k ~ 0 时, 这些 项会变得很小. 还有另一种方法也可以给出梯度项. 考虑左面的图. −1 0 1 我们把二维格子的坐标标了出来. 中心的那个自旋 1 的坐标为(0,0), 和它发生作用的有上下左右四个自 旋, 这部分的哈密顿量为 0
N1+ = N ' (1 + L1 ) / 2,
N 2+ = N ' (1 + L2 ) / 2
L1
L2
计算自旋都向上的最近邻对数时不能再象上页中 那么简单地处理. 因为边界上的自旋都向上的最近 邻对数应涉及两块中的序参量, 应该正比于
N1+ N 2+ ∝ (1 + L1 )(1 + L2 )
而
L2 − L1 如果把 1 看作序参量在边界上的梯度, 在自由能中就会
∂ 2σ ∂ 2σ ∫ ∫ dxdyσ ( x, y)[ ∂x 2 + ∂y 2 ]
→
σ∇ 2σ = ∇ ⋅ (σ∇σ ) − ∇σ ⋅ ∇σ dxdyσ ∇ 2σ = ∫∫ dxdy[∇ ⋅ (σ∇σ ) − (∇σ ) 2 ] ∫∫
右边第一项可化为一个边界上的积分, 等于零. 这样就可以得到梯度的平方项. 从朗道的理论, 我们可以看到, 从具体的模型到朗道—金兹堡哈密顿量, 要有许多 近似. 书中似乎对各项的系数也没有太多的讨论. 不同的系统, 比如气液相变和 铁磁相变的朗道—金兹堡哈密顿量中的各项的系数肯定是不一样的. 同是气液 相变, N 2 和 O2 的朗道—金兹堡哈密顿量中的各项的系数也是不一样的. 现在 的教科书上一般不讨论这个问题. 这有点奇怪, 因为物理量的大小, 单位对学物理 的人来说很重要. 这要归因于临界现象这个问题本身的一个特点: 标度性和普适 性. 虽然不同的物理系统, 比如 N 2 和 O2 , 气液临界点的温度, 压强是不一样的, 对应的朗道—金兹堡哈密顿量中的各项的系数也是不一样的, 但是两个系统的 临界点附近的性质, 比如比热对温度的依赖关系曲线, 采用某种单位进行标度后, 两个系统的曲线可以重合. 这就叫标度性. 所有的气液相变的临界点附近的各种 曲线都可以通过标度重合起来, 这叫普适性. S K Ma, Modern Theory of Critical Phenomena, W. A. Benjamin, Inc. (1976). 一书中对朗道—金兹堡哈密顿量中的各项的系数的大小有一个讨论.
令 得到 类似地还可以证明
β = (1 − q) / p
t = 0,
λq h = 1, 则有
m(0, h) = λq −1m(0,1) ~ (h) (1−q ) / q
δ = (1 − q) / q α = (2 p − 1) / p
和
γ = (2q − 1) / p
四个关系式和起来, 得到 和
α + 2β + γ = 2 γ = β (δ − 1)
各种统计模型 伊辛模型
H = − J ∑ σ iσ j
<ij >
海森堡模型(经典版的) H = − J
<ij >
∑ SiS j , 其中Si 是个长度为单位长度的三维矢量.
1 2 1 2 g 4 φ (r )] 4
朗道—金兹堡哈密顿量 H = d 3r[ tφ 2 + (∇φ (r )) 2 +
其中 φ 如果是个标量, 则它是伊辛模型在临界点附近的有效模型. φ 如果是个三分量的矢量, 则它是海森堡模型在临界点附近的有效模型. 还有一个常用的模型是Potts模型
标度律和普适性 平均场与朗道—金兹堡哈密顿量 临界指数 标度律 卡丹诺夫变换
不同的系统的临界行为是类似的, 热力学量对于约化温度和外场表现出幂率的依赖 关系. 这些幂律中的指数, 称为临界指数. 具有相同的临界指数的系统属于同一个 普适类. 标度假设可以把临界指数联系起来, 而卡丹诺夫变换则可以对标度假设 给出一个物理解释.卡丹诺夫变换最终引出了一个伟大的理论– 重正化群理论.
−1
J − σ (0,0)[σ (1,0) + σ (−1,0) + σ (0,1) + σ (0,−1)] 2
∂σ 1 ∂ 2σ σ (1,0) ≈ σ (0,0) + + ∂x 2 ∂x 2
∂σ 1 ∂ 2σ σ (−1,0) ≈ σ (0,0) − + ∂x 2 ∂x 2
可以看出, 连续化处理后会出现 利用 ∇ ⋅ (σ∇σ ) = ∇σ ⋅ ∇σ + σ∇ 2σ 得到