正余弦定理复习课(第1课时)

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第一章正余弦定理复习课

√D.π3
在△ABC中，利用正弦定理，得
2sin Asin B＝ 3sin B，∵B∈(0，π2)，sin B≠0，
∴sin A＝ 23.又∵A 为锐角，∴A＝π3.
123
2.在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，BC＝ 10，则B→A·A→C＝－32 .
答案解析
由余弦定理，得 cos A＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝9＋41－ 2 10＝14. ∴A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|·cos A＝3×2×14＝32. ∴B→A·A→C＝－A→B·A→C＝－32.
3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解．
(1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为323，求△ABC 的周长．
【解】 (1)由 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即 2cos Csin(A＋B)＝sin C，故 2sin Ccos C＝sin C.
可得 cos C＝1，所以 C＝π.
2
3
5．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos
123
第一章复习
1．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．
2．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．

正弦定理余弦定理复习课

正弦定理、余弦定理及应用复习课学习目标：1、理解用向量的数量积证明正弦定理、余弦定理的方法。

2、掌握正弦定理、余弦定理的变形形式。

3、灵活运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题。

了解感知1.三角形边角关系：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ．1）正弦定理 R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）变式1：a = 2R sinA ，b= 2R sinB ，c= 2R sinC变式2：R Cc B b A a C B A c b a 2sin sin sin sin sin sin ====++++ 变式3：b a B A =sin sin ，c a C A =sin sin ，c b C B =sin sin2）余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bccosC ，b 2 = a 2+c 2－2accosB ，a 2 = b 2+c 2－2bccosA ．变式1：bca cb A 2cos 222-+=；=C cos .；=B cos . . 2 三角形面积公式：2)(sin 2121r c b a C ab ah S ++===∆（其中r 为内切圆半径） 3、解三角形常见题型及解法(1)已知两角A 、B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝180°可求出角C ，由正弦定理再依次求出b 、c .(2)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C .(3) 已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理求出另一对角B （注意：角的取舍），由C ＝π－(A ＋B )求出C ，再由正弦定理求出c 。

(4)已知两边b ，c 与其夹角A ，由余弦定理求出a ，再由正弦定理依次求出角B 、C （注意：角的取舍）。

4、常用的三角形内角恒等式：①由A ＝π－（B ＋C ）可得出： sinA ＝sin （B ＋C ），cosA ＝－cos （B ＋C ）． ②由222C B A +-=π．有： 2cos 2sin C B A +=，2sin 2cos C B A +=．深入学习例1、在△ABC 中，（1）已知︒===30,8,4B c b ，求a A C ,,；（2）已知2,2,30==︒=c b B ，求a C A ,,；(3)已知10:)13(:)13(sin :sin :sin -+=C B A ，求最大角。

高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53

45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1；当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外

1.1.2余弦定理(第1课时)

ABC
9
中，当 C 为锐角时，
a 2 b2 c 2 ; 当C 为钝角时，a 2 b2 c 2 .
3.挑战题：三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为多少？
七、归纳小结
活动6：说一说，结一结
1.我最大的三点收获是： 2.我最大的两点反思是： 3.我最大的一点困惑是：
10
11
问题3：联系三角形两边及其夹角的知识有哪些？
三、尝试理解
活动2：读一读，说一说
问题5：课本上用向量的方法证明余弦定理，主要用到什么知识？
5
问题6：请你用其他的方法证明余弦定理？
三、尝试理解
活动2：读一读，说一说
问题7：尝试用多种语言描述余弦定理？
6
四、深度理解
活动3：辨一辨，思一思
问题8：根据问题情境2、课本例题3，思考如下变式问题。
1.掌握余弦定理，理解余弦定理与勾股定理之间的关系； —— 学会
3
2.能证明余弦定理；
——会学 3.体会余弦定理的美学价值，体验合作学习的快乐，增强学习信心。 ——乐学
二、寻找联系
活动1：读一读，想一想
问题1：初中学习判断两个三角形全等判定定理有哪些？
4
问题2：正弦定理是从哪些判定定理来精确刻画边角之间的数量关系？
7
变式：如图2，A、B两地之间隔着一个水塘，先选择另一点C，测得 CA 182m, CB 126m, ACB 63 , 求AB两地之间的距离（精确到1m）
五、交流分享
活动4：用一用，展一展
8
讨论余弦定理与勾股定理之间的联系与区别
六、实践反馈
活动5：练一练，查一查
1.必做题：完成课本第8页练习1； 2.选做题：用余弦定理证明：在

余弦定理与正弦定理第1课时高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

归纳小结
问题3 本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
（1）这节课我们发现了什么新知识？我们是如何研究它的？
（2）余弦定理的变式有哪些？三角形的面积公式是什么？
（1）我们发现了余弦定理，三角形面积公式的另一种表达形式；
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
（1）求cos C；
（2）求△ABC的面积．
解答：（1）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得b2＋25－5b＝49，
解得b＝－3（舍）或b＝8．
（2）由（1）得： Δ
2 + 2 − 2 49 + 64 − 25 11
∴ cos =
=
=
．
2
2×7×8
14
1
1
= sin = × 8 × 5 sin 60° = 10 3．
2
2
2
a
b
h
A
c
B
初步应用
例1 如图，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点为O．甲、乙两人同时从点O分别沿
OA，OC方向出发，速度分别为4 km/h，4.5 km/h．3 h后两人相距多远？（精确到0.1 km）
C
Q
80°
B
O
D
3 h后两人相距16.4 km．
（详解参考教材P109例1的解析．）
= ｜｜2 − 2 ⋅ + ｜｜2
b
c
＝a2＋b2－2ab cos C，
C
同理可证：
a
B
所以c2＝a2＋b2－2abcos C．
a2＝b2＋c2－2bccos A，

6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版

a2 b2 c2 cos C
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想：余弦定理在直角三角形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)．由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理

.
探究一:余弦定理的推导
提问：
（1）已知两边及它们的夹角求第三边，当夹角为多少度
时我们可以求出？
（2）以任意三角形为例探索三角形如何求出第三边.如：在
ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，
b和C表示c？
.
如图，设 CB a, CA b AB c ，
那么 c a - b ①，我们的研究目标
是 | a |,| b∣和C 表示 c ，联想到数量
积的性质 c c | c |2 ，可以考虑用向量 c （即 a b ）
与其自身作数量积运算.
.
由①得
| c |2 c c (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a || b | cos C
2 − 2 − 2
>0
2
，则△ABC（）
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.是锐角或直角三角形
答案：C
解析：由
2 − 2 − 2
>0
2
得
−cos > 0
，所以 cos < 0 ，
从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．
例题
2．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋
所以 c 2 a 2 b 2 2ab cos C
同理可得：a 2 b2 c 2 2bc cos A b 2 c 2 a 2 2ca cos B
2
2
2
c

a

b
2ab cos C
由此得出余弦定理：

1.2 余弦定理(第1课时)

a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
A.30 B.45 C.135
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
(1)在△ABC中，已知a 2 b 2 c 2 2ab，则角C （B ） D.150
(2)在△ABC中，B 60，b 2 ac，则△ABC是（ D ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
(3)若三角形的三边长的比为5 : 7 : 8，则它的最大角和最小角的和是（ B ） A.90 B.120 C.135 D.150
(4)若△ABC的各边满足(a b) 2 c 2 4，且C 60，则ab的值为 4 2 （ A ）A. B.8 4 3 C.1 D. 3 3
Yanhui Jian
zhumuxiansheng@
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
§1.2 余弦定理
课堂练习
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
21 (5)在△ABC中，若a 2，b 3，C 60，则sin A _________ 7
(6)在△ABC中，已知a 3，b 4，c 6，则bc cos A ca cos B 61 ab cosC的值为________ 2
即： BC b c
a a (b c) (b c)
2 2
b b ， bc b c cos A， c c2
a 2 b2 2bc cos A c 2即：a 2 b2 c 2 2bc cos A

5.5.1两角和差的正弦余弦公式第一课时课件(人教版)

- =-

-()

=-.

因为 tan β=- ,β∈(0,π),所以β∈(,π)且 sin β=- cos β.
2
2

由 sin β+cos β=1 知 sin β=,cos β=-.

所以 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-)×(-)+×=.
sin cos cos sin
sin cos cos sin .
故两角差的余弦公式为：
sin sin cos cos sin
简记为: S( )
3、两角和与差的正弦、余弦角公式：
sin sin cos cos sin
13
13
13
所以 cos( ) cos cos sin sin
3
5
4
12
33
( ) ( ) ( ) .
5
13
5
13
65
思考：由 cos( ) cos cos sin sin 如何
求: cos( ) ?
分析：注意到（）

所以 cos α=- - =- ,sin β= - = ,
所以 tan α=

=- ,tan β=

=- ,所以 tan(α-β)=
-
+

= .

[例 2] 已知 0<α<β<π,且 cos(α-β)=,tan β=,求 tan α的值.

15.4正弦定理、余弦定理(第1课时)

第2页，共13页。
(1)当ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐
C
三角函数的定义,得到
aE
b
CD a sin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A
得到 a b sin A sin B
作AE BC .有 b c sin B sin C
3 小结:已知两边和其中一边的对角，可以正弦定理求出三角形的其他的边和角。
第7页，共13页。
1、在 AB中C，已知
b 2, A ,C，求5
4 12
。 B, a
2、在 ABC中，已知 a 30, b 15 2, A ，4求5 B。, c
第8页，共13页。
想一想
• 你能根据图15-13推导三角形面积公式
第5页，共13页。
2.定理的应用举例
例1. ABC中,已知A=45o，，C=30o，c=10,求b(精确到0.1)
变式：若将c=10改为a=10，结果如何？
通过例题你发现了什么一般性结论吗?
小结：已知三角形的两个内角和任意一边，利用正弦定理可求出三角形中的其它元素。
第6页，共13页。
例2 在 ABC 中，已知a 3, b 6, A , 求B和c
15. 4 正弦定理、余弦定理（第1课时）
第1页，共13页。
1.定理的推导
A
回忆一下直角三角形的边角关系?
c
b
a c sin A b c sin B 两等式间有联系吗？
Ba C
a b c sin A sin B
sin C 1
abc sin A sin B sin C
思考:
对一般的三角形,这个结论还能成立吗?

第4章第6讲第1课时正弦定理和余弦定理

第6讲正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理和余弦定理必备知识自主学习1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2＝□1b2＋c2－2bc cos A；b2＝□2a2＋c2－2ac cos B；c2＝□3a2＋b2－2ab cos Casin A＝□4bsin B＝□5csin C＝2R常见变形cos A＝□6b2＋c2－a22bc；cos B＝□7c2＋a2－b22ac；cos C＝□8a2＋b2－c22ab(1)a＝2R sin A，b＝□92R sin B，c＝□102R sin C；(2)sin A＝a2R，sin B＝□11b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝□12sin A∶sin B∶sin C；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A2A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<ba≥b a>b a≤b解的个数□13一解□14两解□15一解□16一解□17无解3.三角形常用面积公式(1)S＝12a·h a(h a表示a边上的高).(2)S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A＝abc4R(R为外接圆的半径).(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆的半径).常用结论►(1)三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π，变形：A＋B2＝π2－C2.(2)三角形中的三角函数关系①sin(A＋B)＝sin C．②cos(A＋B)＝－cos C．③sin A＋B2＝cos C2.④cos A＋B2＝sin C2.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B．()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.()2．(教材改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A．π6B．π3C．2π3D．5π63．(教材改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝．4．(教材改编)在△ABC中，已知B＝30°，b＝2，c＝2，则C＝．关键能力互动探究命题点1利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(1)(2024·山西太原质检)在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝2，则B等于() A．30°B．60°C．150°D．30°或150°(2)(2023·北京卷T7)在△ABC中，(a＋c)·(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝()A．π6B．π3C．2π3D．5π6命题点睛►1．利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).2．利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．针对训练(2023·天津卷T16)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a39，b＝2，A＝120°.(1)求sin B的值；(2)求c的值；(3)求sin(B－C)的值．命题点2 判断三角形的形状例2 (1)在△ABC 中，c －a 2c ＝sin 2B2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形(2)在△ABC 中，sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为等边三角形．命题点睛►判断三角形形状的两种思路(1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．针对训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb ＜cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形2．(2024·河南商丘质检)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为直角三角形．命题点3 三角形的面积问题例3 (2023·全国乙卷理T18)在△ABC 中，已知∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1. (1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD ＝90°，求△ADC 的面积．命题点睛►三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．针对训练(2023·新课标Ⅱ卷T17)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC 面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝π3，求tan B；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.拓展培优10三角形中的射影定理设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝b cos C＋c cos B；b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A．以“a＝b cos C＋c cos B”为例，b，c在a上的射影分别为b cos C，c cos B，故名射影定理．其证明如下：[证明] 如图，在△ABC中，AD⊥BC，则b cos C＝CD，c cos B＝BD，故b cos C＋c cos B＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝b cos C＋c cos B，同理可证b＝c cos A＋a cos C，c＝a cos B＋b cos A．例(1)(2023·全国乙卷文T4)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos B－b cosA＝c，且C＝π5，则B＝()A．π10B．π5C．3π10D．2π5(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若c cos B＋b cos C＝a sin A，S＝312(b2＋a2－c2)，则B＝()A．90°B．60°C．45°D．30°体验练1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos B＋b cos A＝3，且sin2A＋B2＝34，b＝3，则a＝()A．34B．32C．3D．3 32．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝a cos B＋2cos A，2b＝c，若cos C＝－14，则△ABC的面积为．课时作业[基础巩固练]1．(2023·辽宁丹东二模)△ABC中，AC＝2，BC＝3，A＝60°，则cos B＝()A．±22B．±12C．12D．22 2．(2023·四川成都二模)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a tan B＝203，b sinA＝4，则a的值为()A．6B．5 C．4D．33．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a sin A＋b sin B－c sin C＝62a sin B，则cos C＝()A．68B．66C ．64D ．634．(2023·山东济宁二模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB 边上的高为2c ，A ＝π4，则cos C ＝( )A ．1010B ．31010C ．3510D ．555．已知△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)(其中b ，c 为△ABC 内角B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等腰三角形但不是直角三角形D ．等腰直角三角形6．(2024·广东广州质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，△ABC 的面积S ＝a 2＋b 2－c 24，且c ＝6，则△ABC 的外接圆的半径为( ) A ．63 B ．62 C ．33D ．3 27．(2023·北京西城二模)在△ABC 中，若a ＝2，tan A ＝－43，cos B ＝45，则b ＝．8．(2023·陕西宝鸡三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中c ＝4，且满足cos C ＝sin C ，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝c －23cos A ，则a 等于．9．(2024·江西九江质检)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＝(c －b )sin C ＋b sin B ，bc ＝6，则△ABC 的面积为．10．(2023·山东青岛三模)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c sin B ＝(2a －c )tan C ．(1)求角B ；(2)若c ＝3a ，D 为AC 的中点，BD ＝13，求△ABC 的周长．11．(2023·全国甲卷文T17)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＋c 2－a 2cos A ＝2. (1)求bc ； (2)若a cos B －b cos A a cos B ＋b cos A －bc＝1，求△ABC 面积．[能力提升练]12．(2024·山西运城质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2b 2＝sin A cos Bsin B cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形13．(2023·山东淄博一模)已知△ABO 中，OA ＝1，OB ＝2，OA →·OB →＝－1，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，则( )A ．OD →＝57OA →＋27OB →B ．OD →＝37OA →＋47OB →C ．OD →＝27OA →＋57OB →D ．OD →＝47OA →＋37OB →14．(2023·广东东莞三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求sin (2A －B )的值．。

余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册

∴ − = 0，
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
故∆为等边三角形.
练习
变3.在∆中，若 2 2 + 2 2 = 2 �� ，试判断∆的形
确到1°，边长精确到1 ).
解：由余弦定理，得：
2 = 2 + 2 − 2|||| = 602 + 342 − 2 × 60 × 34 × 41° ≈ 1676.78，
所以 ≈ 41().
由余弦定理的推论，得： =
2 + 2 −2
2
=
412 +342 −602
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时余弦定理
新知探索
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、
面积等，它们之间存在着确定的关系.例如，在初中，我们得到过勾股定理、
锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们
已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了，，，等判定
2 = 2 + 2 − 2|||| .
推论
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 +2 − 2
.
2
2.解三角形的定义
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？
思考1：在∆中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示
？
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数

正弦定理和余弦定理》(第1课时)

1.1.1 正弦定理【教学目的】1.理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形； 2.理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性。

【教学重点难点】正弦定理的证明和理解正弦定理的证明一．新课引入：初中学习了全等三角形只要根据已知条件就能判断三角形是否全等。

能否根据给定条件算出三角形的未知边与未知角？这就是解三角形。

解三角形有几个重要定理，今天学习其中之一----正弦定理问题1.在直角三角形ABC 中，对应边依次为a,b,c ，求证：Aa sin =Bb sin =Cc sin【猜想与推广】正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即Aa sin =Bb sin =Cc sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）证明：证明一：证明二：（外接圆法）如图所示，二．正弦定理的应用定理剖析，加深理解⑴正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即：Cc Bb Aa sin sin sin === 2R （R 为△ABC 外接圆半径）“知三求一”。

于是，正弦定理可解决两类有关解三角形的问题： ①已知两角与任一边，求其他两边和一角；②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求出其他的边和角。

a bcOB CAD例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆ 解：【变式1】在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：【比较例1，【变式1】】体会：【变式2】 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：(*)例4 已知△ABC ，B Ｄ为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝A Ｄ∶ＤC四、课堂练习： 1在△ABC 中，k Cc Bb Aa ===sin sin sin ,则k 为( )A 2RB RC 4R DR 21(R 为△ABC 外接圆半径)2△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )A 直角三角形B 等腰直角三角形C 等边三角形D 等腰三角形302,135,3,ABC a A b B ∆===中，求(*)4在△ABC 中，求证：2222112cos 2cos babB aA -=-五、小结正弦定理，两种应用六、课后作业： 1在ABC ∆中，已知3=b ， 45=A ， 60=B ，求a 2在ABC ∆中，已知3=c ， 45=A ， 60=B ，求b3在△ABC 中，已知)sin()sin(sin sin C B B A CA --=，求证：2b2＝a 2＋c 24．在△ABC 中，已知cos cos b A a B =试判断△ABC 的形状。

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（1）△ABC中，a=30，b=25，A=1500 ，有一解。 √
（1）△ABC中，a
3,b 2, B 450
，有一解。 × 有两解
判定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边。
例3、设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 b cos C c cos B a sin A, 则ABC的形状为（） A、直角三角形 C、钝角三角形
．
2．若△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，
向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，若m⊥n，则∠C等于．
3．在△ABC中，已知acos A＝bcos B，则△ABC的形状为________．
1、已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则sinC= 2、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若 a2 b2 3bc
①a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，c＝ 2RsinC ；变形形式 ②sin A＝，sin B＝，sin C＝
； cos B＝ cos C＝
③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC ；
2、正弦定理、余弦定理的应用
正弦定理： ①知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边2)已知两边及一边的对角（解不唯一）
(3)已知两边及其夹角 (4)已知三边（解唯一）（解唯一）
4、判定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角； (2)化角为边。
转化思想
1．在△ABC中，若 A 600 , B 450 , BC 3 2 ，则AC边等于
出事地点与出发地点的距离？
5000km 出事地点 600 失联地点
1000km
出发地：吉隆坡
1、正弦定理、余弦定理及相关知识
定理正弦定理余弦定理 a2＝ b2＋c2－2bc·cosA，内容 (其中R是△ABC外接圆的半径) b2＝ c2＋a2－2ca·cosB ， cosC ． c2＝ a2＋b2－2ab· cos A＝；； .
sin C 2 3 sin B ，则A=（
A、300 B、600
，
）
D、1500
C、1200
余弦定理： ①已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. ②已知三边，求各角；
例1、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 a 2b sin A
（1）求B的大小；
（2）若 a 3 3, c 5, 求b.
① 变形公式a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，c＝2RsinC 的正确使用；
熟悉边化角，角化边两种方法
B、锐角三角形 D、不确定
变式3、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状为(
A．直角三角形 C．等腰三角形 B．锐角三角形 D．不确定
)
1、正弦定理： 2、余弦定理： a2=b2＋c2－2bc·cosA 3、正余弦定理的基本应用： (1)已知两角和任一边（解唯一）
②规范做题格式； ③知两角和一边两边及夹角三边三角形的解是唯一的。
变式1：设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 a sin A c sin C 2a sin C b sin B
（1）求B；
（2）若A=750，b=2，求a，c。
20 3 0 a , b 20, B 60 例2、在△ABC中，已知， 3 求A、C和c。
①规范做题格式；
②知 “ 两边及其中一边对角 ” 三角形的解是不唯一（难点）。
a、函数值的有界性通常根据 b、大边对大角定理进行判断
变式2：判断下列命题的真假：
（1）△ABC中，a=6，b=9，A=450 ，有两解。
× 无解
（2）△ABC中，a=7，b=14，A=300 ，有两解。 × 有一解