高等数学(下)课后习题答案

高等数学（下）

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);

D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？

答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0;

在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？

答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0;

z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离：

（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；

（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.

解：（1）s=

(2) s==

(3) s==

(4) s==

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.

故

s==

s==

x

s==

y

s==.

5

z

6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.

解：设此点为M（0，0，z），则

222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++--

解得 149z = 即所求点为M （0，0，

149）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.

证明：因为|AB |=|AC |=7.且有

|AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2.

故△ABC 为等腰直角三角形.

8. 验证：()()++=++a b c a b c .

证明：利用三角形法则得证.见图7-1

图7-1

9. 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v -

解：

232(2)3(3)

2243935117u v -=-+--+-=-++-+=-+a b c a b c a b c a b c a b c

10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A .

解：1115

D A BA BD =-=--c a 2225

D A BA BD =-=--c a 3335

D A BA BD =-=--c a 444.5

D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.

解：设M 的投影为M '，则

1Pr j cos604 2.2

u OM OM =︒=⨯= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量

的起点A 的坐标.

解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则

{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----

解得x =-2, y =3, z =0

故A 的坐标为A (-2, 3, 0).

13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：

（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；

（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量.

解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==

12Pr j 1

,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-

(2) 12(7PP =

=(3) 12

3cos 14x

a PP α== 121cos 14y

a PP β==

122cos 14

z

a PP γ-==

(4) 12

0123{

14PP

PP ===+

e i j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦. 解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）

||=

=R

cos

cos

cos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .

解：||==a

||==b

||3==c

, , 3. a b c ==a b c e

16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.

解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k

在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .

17. 向量r 与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e r .

解：因αβγ==,故23cos 1 α=

,cos αα==

则{cos ,cos ,cos })r αβγ===++e i j k . 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.

解：设向径OM ={x , y , z }

12{2,5,3}

{3,2,5}

M M x y z MM x y z =--+=----

因为，123M M MM = 所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩

故OM ={111,,344

-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是

236,,777，求点P 的坐标. 解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=

得222

9524x y z z ++=-+

126570cos 6, 749

z z γ==⇒==