场论与数理方程
数理方程学习方法..
三、如何学好数学物理方法
1.认真学好先行课 2.珍视课堂学习，专心听讲积极思维 3.勤于练习、勤于思考、勤于答疑 4.善于总结、善于分析、善于对比 5.乐于交流，乐于讨论，乐于创新 6.学会举一反三，懂得由树木见森林。 7.熟记重要公式结果，简化求解过程。 8.树立信心，培养兴趣
Xi’an jiaotong University
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一、本课程的内容和特点
数学物理方法 成了公认的难教难学的 课程。 如何变难教难学课程为易教易学课 程，也就成了全国高校数学物理研究会
每届年会的重要议题。 数学物理方法应是数学美和物理美的 结合 “我没有试图直接解决某一物理问题，而 只是试图寻求某种优美的数学”
---牛顿
xi xi (t ), t
“只要能解微分方程，我就能预测宇宙的过去 和将来” -Laplace
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二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课 2.数理方法是进行基础研究的重要工具 3.数理方法是培养学生逻辑思维能力和 创造思维能力的重要课程
电动力学 量子力学
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二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课
数理方法是普通物理与四大力学的“粘合剂”
四大力学
理论力学 热 统
数理方法
数理方程 分离变量法 正交曲线坐标 格林函数法 (电象法) 傅里叶变换法 δ函数 特殊函数 变分原理
电动力学 量子力学
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二、数学物理方法在物理学中的地位
数理方程知识点总结
数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。
数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。
一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。
求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。
具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。
（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。
算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。
场论的相关数学理论
场论的相关数学理论场论是研究某些物理量在空间中的分布状态及其运动形式的数学理论，它的内容是进一步深入研究电磁场及流体等的运动规律的基础，也是学习某些后继课程的基础，本章主要介绍场论中几个基本概念（梯度、散度、旋度）以及它们的应用。
§2.1 场 1、 场的概念 设有一个区域（有限或无限）V ，如果V 内每一点M ，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在区域V 中确定了该物理量的一个场。
若该物理量是数量，则称此场为数量场；若是矢量，则称此场为矢量场。
例如温度场、密度场、电位场等为数量场，而力场、速度场等为矢量场。
此外，若物理量在场中各点处的对应值不随时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳定场。
后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果也适合于不稳定场的每一瞬间情况）。
在数学上给定一个数量场就相当于给定了一个数性函数)(M u u =；同样，给定了一个矢量场就相当于给定了一个矢性函数A=A )(M ，其中M 表示区域V 中的点。
当取顶了直角坐标系Oxyz 以后，空间中的点M 由它的三个坐标x 、、y、所确定，因此，一个数量场可以用一个数性函数)(x 、、y、z u u = （2.1.1）来表示。
同样，一个矢量场可用一个矢性函数A=A )(x 、、y、 （2.1.2） 来表示。
从数学观点看，数量场的概念与点函数概念相比没有新的内容，向量场的概念与向量函数相比没有新的内容，但是为了强调场这个概念的起源与物理意义，我们仍用“场”的有关术语重述前面有关章节的内容，并赋予它新的含义。
2、 数量场的等值面 在数量场中，为了直观地研究数量u 在场中的分布状况，我们引入等值面的概念。
所谓等值面，是指由场中使函数u 取相同数值的点所组成的曲面。
例如电位场中的等值面，就是由电位相同的点所组成的等值面。
显然，数量场u 的等值面方程为C x 、、y、u ==)(（C 为常数）。
由隐函数存在定理知道，在函数u 为单值，且连续偏导数z y x u 、u 、u '''不全为零时，这种等值面一定存在。
场论的名词解释
场论的名词解释引言：场论（Field Theory），是物理学中的一个重要分支。
它被广泛应用于粒子物理学、相对论、统计力学等领域，为我们理解自然界的基本原理提供了一种深入的思考方式。
本文将对场论进行详细解释和探讨，带领读者进入这个神秘而美妙的世界。
1. 场的概念与特性在物理学中，场是一种描述物质或物质运动的物理量分布的数学对象。
它可以是标量场（Scalar Field）、矢量场（Vector Field）、张量场（Tensor Field）等。
场具有局部性、连续性和相对性等基本特性。
局部性意味着场的值在空间中的任意一点都是独立的；连续性表示场的取值在空间中任意两点之间是连续变化的；相对性则是指场的取值与观察者的参考系有关。
2. 场的基本描述场论采用数学上的场方程来描述和推导物理现象。
典型的场方程包括著名的波动方程、麦克斯韦方程组和薛定谔方程等。
这些方程可以通过变分原理和作用量原理来推导，从而获得代表系统演化的微分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到描述场的物理量和它们随时间和空间的变化而变化的解。
3. 场与粒子的关系场论的一个重要概念是“场粒子二重性”。
根据量子力学的观点，场与粒子是密不可分的。
简单来说，场是描述粒子的数学对象，而粒子则是场的激发或扰动。
例如，在量子场论中，电子场和正电子场可以相互作用，从而产生电子-正电子对。
这种相互作用过程可以通过费曼图等图形进行描述，使我们对粒子的产生和湮灭有更直观的理解。
4. 场的量子化场论的量子化是将经典场论转化为量子场论的过程。
在经典场论中，场是连续的，而在量子场论中，场被量子化成离散的粒子。
量子场论采用了量子力学和量子统计的框架，引入了算符和正则量子化方法等技巧，从而使得场可以像粒子一样被描述。
量子场论的发展为我们理解基本粒子和宇宙微观结构提供了理论基础。
5. 场论的应用和发展场论的应用广泛涉及微观和宏观世界的各个领域。
在粒子物理学中，场论为我们理解基本粒子的相互作用提供了框架。
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
2015/10/13
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通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
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例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
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受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
场论与数理方程lesson8
在整个 域内 g 0，所以在 内
1 1 G g 4 rM 0 M 4 rM 0 M
即
1 0 G( M , M 0 ) 4 rM 0 M
性质4
格林函数 G( M , M 0 )在自变量 M 及参变量 M 0 之间
G(M1 , M 2 ) G(M 2 , M1 )
具有对称性，即设 M1, M 2为区域中的两点，则
三、调和函数的积分表达式：
1 u(M 0 ) 4 1 u(M ) n rM M 0 1 u( M ) dSM rM M n 0
其中点 M0 ( x0 , y0 , z0 )
四、格林函数
g (M , M 0 ) ，它在区域 内关于变量 M 是到处调和的， 1 并且在区域 的边界 上与函数 在边界 上的 4 rM 0 M
格林第二公式
u v (uv vu )d u v dS n n
g (M , M 0 ) |
1 | 4 rM 0 M
由格林第二公式得
g u g 式相减，就得到
1 ，故以 M 0为中心，适当小的 为半径作球 ， 4 rM 0 M
总可以使 G在 上为正。又G 在 及 围成的域内是调和
的，且
G | 0, G | 0
由极值原理知，在该域内 G 0 ，令 0 ，则知在整
个域 内 G 0 。
1 又 g 在 内处处调和且 g | 4 r 0 ，由极值原理知， M0M
值相同，即
若 u , v 均调和，则它们满足格林第一公式
u v u v u v v uvd u n dS x x y y z z d
场论与数理方程lesson05
y
B
C
G
F
在dt 时间内通过ABCD面流入的质量为
n
D
A
E H
dx
o
x
x + dx
图 9.2
z
u u dm x (k ) x dtdydz (k ) x dtdydz n x x 在dt 时间内通过FGHE面流入的质量为 u u dm x dx (k ) x dx dtdydz (k ) x dx dtdydz n x
弹性支持 自由冷却
热传导方程的定解问题：
例：有一长为 l 的均匀细杆，侧向与外界无热交换，杆内有强 度随时间连续变化的热源，设在同一截面上具有同一热源强度 及初始温度为 ( x)，且杆的一端保持零度，另一端绝热，试推 导定解问题。
u 2u a 2 2 f ( x, t ), x (0, l ), t 0 t x u (l , t ) u (0, t ) 0, t 0 x u ( x, 0) ( x), x [0, l ]
u k |x 0 dsdt H [u (0, t ) u1 (t )]dsdt n u k |x 0 H [u (0, t ) u1 (t )] x u H H |x 0 u (0, t ) u1 (t ) x k k
H 令 k
u u u1 (t ) x x 0
u 2u a2 2 t x
则得到一维扩散方程
一维热传导方程的边界条件：两边界条件
（1）两端温度为已知函数：
u |x0 (t ), u |xl (t )
数学物理中的场论
数学物理中的场论场论可以说是数学物理学中非常重要的一个分支，其主要研究的是具有空间分布性质的物理场，如电磁场、引力场、量子场等。
场论是数学和物理学高深复杂的交叉学科，其应用广泛，贯穿于整个物理学和工程学的各个领域。
首先，让我们来看一下什么是物理场。
物理场是由在空间中存在的物理量所构成的。
物理量指的是描述物理世界状态和性质的数或向量。
比如我们所熟悉的温度、速度、电场、电势等物理量，这些物理量都是可以在空间中建立起来的，它们随着位置的变化而变化，从而形成了物理场。
场论的基础概念是场和场量。
场是空间中各个点的物理量在某种范围内的集合，场存在于物理空间中。
物理学家常说的物质场是指物质状态在空间和时间上分布的物理量，比如说电磁场、流体力学场和引力场等等。
而更为基础的是标量场，即不随空间方向而变化的物理变量。
比如说温度场，电势场等等。
场量是指场在某一点的值或场的变化量，是一种与场相关的数值，比如说电荷、质量、能量等等。
场论主要分为经典场论和量子场论两个方面。
经典场论是研究电磁场、引力场和流体场等经典物理场的性质和相互作用的物理学理论。
它是在经典物理学范畴内发展起来的，在宏观世界中非常有效。
量子场论跟经典场论类似，试图描述宇宙中各种基本粒子的行为，它着重于描述物质粒子的行为，特别是声子、玻色子等量子粒子的行为。
量子场论与经典场论有很大的差别，其中最基本的差别是对物理量的测量不可能完全精确，因此基本粒子的性质在量子场论中是随机和模糊的。
场论的研究涉及到数学、物理学、天文学、化学、工程学等众多学科。
在数学中，场论使得微分方程、椭圆方程和双曲方程可以更加容易被处理。
在物理学中，场论首先被用来研究电磁波的性质。
后来，它被用来研究引力场以及基本粒子之间的相互作用，成为了研究宇宙学的重要工具。
总之，场论是数学物理学中至关重要的一个分支，它为了解自然世界的本质起到了至关重要的作用，目前仍在不断被推陈出新，拓展着我们对宇宙的认识。
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
场论 公式 推导
场论公式推导以场论公式推导为标题的文章引言：场论是物理学中的一个重要分支，它研究的是物质和能量在空间中的分布和相互作用。
场论的推导过程是通过使用数学公式来描述和解释物理现象。
本文将以场论公式推导为主题，介绍场论的基本概念和推导过程，帮助读者更好地理解和应用场论。
一、场的概念场是指空间中的某个物理量在各个点上的取值。
在场论中，常见的场包括电场、磁场、引力场等。
场的分布可以通过使用场函数来描述，场函数是一个数学函数，它描述了场在空间中各个点上的取值。
二、场的方程场的演化可以通过场方程来描述。
场方程是一组偏微分方程，它描述了场在空间中的演化规律。
不同的场有不同的场方程，例如，电场的演化可以通过麦克斯韦方程组来描述，磁场的演化可以通过安培定律来描述。
三、场的运动方程场的运动可以通过场的运动方程来描述。
场的运动方程是一组二阶偏微分方程，它描述了场在空间中的运动规律。
场的运动方程可以通过场的拉氏量和哈密顿量推导得到。
四、场的相互作用场之间可以相互作用，这种相互作用可以通过相互作用势来描述。
相互作用势是一个数学函数，它描述了场之间相互作用的强度和方向。
场的相互作用可以通过最小作用量原理推导得到。
五、场的量子化场论的量子化是将经典场论转化为量子场论的过程。
量子场论是量子力学和场论的结合，它描述了场的量子特性和粒子的产生和湮灭过程。
量子场论的推导是通过对场的量子化和量子力学的原理进行推导得到的。
六、场的应用场论在物理学的各个领域都有广泛的应用。
例如，在粒子物理学中，场论被用来描述基本粒子之间的相互作用；在电磁学中，场论被用来描述电磁场的演化；在广义相对论中，场论被用来描述引力场的弯曲等。
结论：通过场论的公式推导，我们可以更好地理解和描述物理现象。
场论的推导过程是通过使用数学公式来描述和解释场的演化、运动和相互作用。
场论的应用涵盖了物理学的各个领域，对于我们深入理解自然界的规律和发展科学技术具有重要意义。
数理方程课件
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
浅谈数理方程
浅谈《数学物理方程》很小的时候，就听过这么一句话，“学好数理化，走遍天下都不怕。
”在慢慢深层接触数学以及物理之后，又被灌输了那么一句话：“数学是为物理服务的。
”进入大学之后，从高等数学到普通物理学、大气物理学、动力学，再到接触数理方程，我愈发的觉得，数学是以物理为语言的。
从比较官方的、全面的角度来说，数学物理方程是指在物理学、力学、工程技术等问题中经过一些简化后所得到的、反映客观世界物理量之间关系的一些偏微分方程(有时也包括积分方程和某些常微分方程) 。
具体地说，有三种常见的数理方程: ①反映波动现象的波动方程；②反映输运过程的输运方程；③反映稳定场的方程。
我在一个学期的学习过程中，不断摸索，不断将它与所学的高数物理相联系。
不得不承认，数学物理方法是在高等数学课程基础上的又一重要基础数学课程，它将为学习物理类的专业课程提供基础的数学处理工具。
我觉得学习数理方程的目的应该是：灵活运用数理方程的知识，各种物理问题翻译成数学的定解问题并掌握求定解问题的多种方法，如：行波法；分离变量法；积分变换法；格林函数法；变分法。
同时需要注意的是,描述普遍物理规律的方程,必须加上一定的初始条件和边界条件等定解条件才能求解。
而方程加上定解条件才构定解问题。
参考课堂上老师对对物理问题的处理，我总结了以下的步骤：利用物理定律将物理问题翻译成数学问题，这是其一。
而处于核心地位的是解该数学问题。
数学物理方程占有很大的比重，有多种解法，需要注意的是，行波法主要适用于求解无界区域的齐次波动方程的定解问题;分离变量法适用于解波动法方程、输运方程和稳定场方程等;积分变换法适用于无界区域或半无界区域的定解问题。
最后将所得的数学结果翻译成物理，及讨论所得结果的物理意义。
数学物理方法是数学和物理的融合，是连接物理和数学的桥梁。
一学期的学习，让我能从里一个角度更好得去理解一些物理规律，这个角度更科学，更专业，更让我觉得清晰。
狄拉克曾说：“我没有试图直接解决某一物理问题，而只是试图寻找某种优美的数学。
数学物理方法课件：场论的基本概念
的模，称矢量G(M)为函数u在点M处的梯度
u |{u , u , u}| cos({cos , cos , cos },l0 )
l x y z
G gradu {u , u , u} x y z
G gradu u i u j u k x y z
i, j, k 分别是x, y, z方向的单位矢量。
间形成的电势场）
u 1
q
4 x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
引力场： u M
1
G x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
方向导数、梯度的数理含义
数学含义： 数量场中每一点M处的梯度，必垂直于过该点的场 函数的等值面u(x, y, z)=c（常数）, 并指向函数增大 的方向。
场论的基本概念
《数理方法》课程必备基础； 在弹性力学、流体力学、电磁学等学科中具有应 用广泛； 掌握场论基本概念及其计算方法，对数理方程的 学习至关重要；
场的概念
场 如果在全空间或部分空间中的每一点，都对应 着某个物理量的一个确定的值，就称这空间里确定 了该物理量的场。
场的实例 温度场、密度场、电势场； 重力场、流场、加速度场；
x2 y2 z2
1
2k
a
3
x2 y2 z2
1 2
x
a
20
x2 y2 z2
grad及div a ,其中
x2 y2 z2
1. 2
解：grad i j k
x y z
x
x2 y2 z2
3
2 i y
x2 y2 z2
3
2j
z
x2 y2 z2
3
2k
数理方程------中国科学技术大学-季孝达
数理方程------中国科学技术大学-季孝达数学物理方程:讨论的对象是物理问题里提出来的数学方程，这个方程以偏微分方程为主，也包括常微分方程、积分方程、差分方程。
也可以叫数学物理的偏微分方程。
不是泛泛的讨论偏微分方程，跟数学上的讨论不同，是从物理角度讨论物理里重要的偏微分方程。
研究数理方程归纳为三个步骤:第一步建立数学模型(导出一个偏微分方程)，把物理问题变成数学问题。
第二步求解。
把解找出来。
第三步把解回复到物理中，做出物理的解释。
一方面检验解的正确性，即检验解与观测到的物理现象、总结的物理规律是不是吻合，另一方面，通过解对物理现象进行预测。
我们这个课程主要做的是第二步，即求解。
第一步和第三步也会涉及到一些，但这些主要是在相应的专业课程中学习的。
我们的主要任务是求解，研究对象是数学物理方程，求解:一要从物理上认识这个问题，找出求解的思路，物理上直观的想法很重要(要有物理的直观)，希望大家不要搞成纯粹数学。
需要调动所有的数学工具来求解偏微分方程，需要既要从物理上又要从数学上。
从历史上，前面是微积分、线性代数、复变函数，都学过了，凡是能用的我们把它都拿过来，目标是一个，把解找出来。
结合物理问题，一结合实际问题往往比较复杂，从计算量上或许就会大一些，求解方法常常是比较繁琐的，不一定难，有可能很繁，希望大家把这个作为我们科学工作能力的(锻炼)一个方面来要求自己，不怕繁、要坚持做到底，发明、创新第一步是找准方向，然后去实现它，实现必须踏踏实实、一步步的做。
我们所涉及到的数学物理方程主要是三个，这部分内容主要是19世纪的内容，物理和数学是紧密结合的，数学帮助解决物理问题，物理提供了数学发展的动力。
从牛顿、莱布尼茨创立微积分开始就是紧密结合的，很多问题就是从物理里促使了微积分的出现，从历史上讲，偏微分方程在18世纪的时候就由了，最重要的发展是19世纪力学、热学、电磁学(独立成分支)的发展急需数学工具解决，偏微分方程就是适应了这种形式发展起来的，且发展的比较快。
数理方程教学大纲
《数理方程》教学大纲一、课程的基本信息课程名称：《数理方程》英文名称：Mathematics and Physical Equation课程性质：专业方向选修课课程编号：1623303002周学时：3学时总学时：48学时学分：3学分适用专业：适用于信息与计算科学专业预备知识：数学分析、高等代数、常微分方程、复变函数课程教材：姜礼尚，陈亚浙主编，《数学物理方程讲义》（第二版），高等教育出版社出版、1996年9月参考书目：[1] 谷超豪主编，《数学物理方程》（第二版），高等教育出版社、2002年．[2] 南京工学院数学教研组主编，《数学物理方法》(第五版)，高等教育出版社、1982年.[3]陈恕行主编，《数学物理方程》，复旦大学出版社、2003年.考核方式：考试制定时间：2013年10月制定二、课程的目的与任务《数理方程》是高等院校信息与计算科学专业的专业选修课之一。
数学物理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
通过数理方程的教学，使学生了解和掌握数理方程这一学科的基本概念、理论，培养学生的理论思维能力，为从事信息与计算科学学科的教学和研究打下一定的理论基础。
通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三个典型方程定解问题的解法，为后继课程进一步扩大数学知识面提供了必要的数学基础。
第一章方程的导出和定解条件（10学时）一、本章基本要求1．掌握典型方程和定解条件的表达形式；2．了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题；3．掌握偏微分方程的基本概念。
二、教学内容1．守恒律2．变分原理3．定解问题的适定性第二章波动方程（14学时）一、本章基本要求1．了解波动方程的导出方法，领会定解条件及意义；2．掌握初边值问题的分离变量法；3．掌握高维波动方程的柯西问题；4．了解波的传播与衰减的意义；5．了解能量不等式确定方程解的唯一性和稳定性。
二、教学内容1．一阶线性方程的特征线解法2．初值问题（一维情形）3．初值问题（高维情形）4．混合问题第三章热传导方程（14学时）一、本章基本要求1．了解通过物理原理建立热传导方程；2．掌握分离变量法解初边值问题；3．掌握傅立叶变换求解柯西问题；4．了解极值原理确定定解问题解的唯一性和稳定性。
数理方程公式总结
数理方程公式总结数理方程是描述自然界中各种物理现象的数学模型。
它在物理学、工程学、经济学等领域中起着重要作用。
数理方程的研究内容包括方程的分类、解析方法、数值方法等。
在实际应用中，我们经常遇到各种各样的数理方程，比如常微分方程、偏微分方程、积分方程等。
本文将总结几个常见的数理方程，并介绍它们的一些解析方法和数值方法。
1. 常微分方程常微分方程是描述一个未知函数与其导数之间的关系的方程。
根据方程中的未知函数的个数和导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、二阶、高阶等。
常见的解析方法包括分离变量法、常系数线性微分方程的特征方程法、变系数线性微分方程的待定系数法等。
数值方法包括欧拉法、梯形法、龙格-库塔法等。
2. 偏微分方程偏微分方程是描述未知函数与其偏导数之间关系的方程。
它的求解通常需要给出适当的边界条件和初值条件。
根据方程的类型和性质，偏微分方程可以分为椭圆型、双曲型、抛物型等。
常见的解析方法包括分离变量法、变量替换法、特征线法等。
数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
3. 积分方程积分方程是未知函数与其积分之间的关系的方程。
它可以看作是微分方程的一种推广。
积分方程能够描述一些涉及积分的物理问题，如电磁场问题、弹性力学问题等。
常见的解析方法包括变量分离法、奇异积分方程的分析法、积分变换法等。
数值方法包括数值逼近法、数值积分法、有限元法等。
总之，数理方程是对自然界中各种物理现象进行数学建模的有效工具。
在实际应用中，我们需要根据问题的具体性质选择适当的数理方程，并采用相应的解析方法或数值方法进行求解。
解析方法能够给出精确解，但对于复杂问题往往难以求解；数值方法能够给出近似解，并且在计算机上容易实现，但对于精度要求较高的问题需要选用更精细的网格或更高阶的方法。
因此，在实际应用中，我们需要权衡解析方法和数值方法的优劣，选择适当的方法求解数理方程。
22_4 场论初步
第22章
场论初步
一、场的概念 二、梯度场 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场
一、场的概念
•若对全空间或其中某一区域V 中每一点M，都有
一个数量（或向量）与之对应，则称在V上给定了一 个数量场（或向量场）。
数量场 (数性函数) 函数 场
如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等
( P cos Q cos R cos ) d s
数学分析
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12
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
13
定义:
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
数学分析
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旋度的力学意义: 设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为 , M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图,则 z
(0, 0, ), r ( x, y, z )
点 M 的线速度为
在场中点 M(x, y, z) 处
A n d S 为向量场 A 通过
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
数学分析
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9
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
数学物理方程在量子场论中的应用
数学物理方程在量子场论中的应用量子场论是研究微观世界最基本物质粒子的理论框架，它描述了在能量尺度较高、粒子速度接近光速且需要考虑相对论效应时的物理现象。
在量子场论中，数学物理方程的应用至关重要，它们帮助我们理解和描述粒子的行为、相互作用以及宇宙中的基本力量。
本文将重点讨论数学物理方程在量子场论中的应用以及其意义。
1. 拉格朗日方程在量子场论中，拉格朗日方程是最基本的数学工具之一。
它是通过运动方程的变分原理来推导系统的运动规律。
拉格朗日方程为我们提供了研究粒子运动和场的涨落的重要方法。
通过量子化处理，我们可以得到量子场论的拉格朗日方程，从而描述了多种粒子的相互作用和对应的费曼图。
2. 施瓦泽-戈登方程施瓦泽-戈登方程是描述自旋为1/2的费米子（如电子和中微子）的量子场论方程。
它是相对论量子力学的基础，引入了自旋概念，并成功地解释了电子在磁场中的行为。
施瓦泽-戈登方程通过引入场算符和场算符的共轭动量算符来描述粒子的运动和相互作用，提供了从场论描述到粒子描述的桥梁。
3. 狄拉克方程狄拉克方程是描述自旋为1/2的费米子的相对论性量子力学方程。
它是对施瓦泽-戈登方程的进一步推广，引入了概念更加完备的自旋，成功地预言了反物质的存在，并在描述强相互作用时发挥了重要作用。
狄拉克方程通过将费米子视为场的激发来描述粒子的性质和行为，为粒子物理学提供了重要的数学工具。
4. 矢量场论方程除了描述自旋为1/2的费米子，量子场论也用于描述自旋为1的玻色子。
例如，电磁场可以用量子电动力学（QED）来描述。
在QED中，麦克斯韦方程被量子化，并通过矢量场论方程来描述电磁相互作用的规律。
这个方程可以用费曼图来计算各种物理过程的概率，从而解释了电磁相互作用的基本规律。
5. 场的量子化在量子场论中，场的量子化是一个重要的步骤。
通过将场视为算符，我们可以将经典的连续场转化为量子态，从而描述场的粒子性质和涨落。
量子场论中的一个关键概念是福克空间，它描述了不同粒子数的不同量子态，进而描述了各种相互作用和衰变过程。
场论与数理方程lesson11
消失。因此，局部范围内的初始扰动，具有长期的后效 现象。且 t 逐渐上升，扰动逐渐减小，愈来愈弱，称为 波的弥漫。
t
0
t0
y
m0 d
x
2.三维情形（仿照二维）：
( x0 , y0 , z0 , t0 ) 的依赖区域：
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 a2t02
高维波动方程
一、定义 三维波动方程：
2u 2u 2u 2u a2 2 2 2 t 2 y z x
二维波动方程： 2 2u 2u u a2 2 2 t 2 y x
膜振动（自由）
2u 2u 2u a 2 2 2 f ( x, t ) 2 t x y
( x0 , y0 , z0 ) 距离为 r ，只有(r at0 ) t0
r 时，受到扰动影 a
响，过后恢复常态。
考察：某有界区域 中扰动的传播。任意一点m 处，
经时间 t 后，影响区域为以m 为中心，at 为半径的球
面上。所有这些球面的外包络面称为传播波的前阵面。
惠更斯原理：
( x0 , y0 , z0 , 0) 的影响区域 t t0 时为：
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 a2t02
为一个以( x0 , y0 , z0 )为中心，半径为 at 的球面，随着
t 增加，扰动面以 a 在扩大。对一点( x1 , y1 , z1 ) ，若与
2 2 2 2
t
( x0 , y0 , t0 )
(t t0 )
二维波动方程特征解
( x0 , y0 ,0) 的影响区域为：
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utt a uxx
2
（8）
称式（8）为一维弦振动方程（一维波动方程）
(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 F ( x, t ) 作用，则式(2)应该改写为
T1 sin 1 T2 sin 2 gds F ( x, t )ds dsutt
可导出
utt a uxx f ( x, t )
（2）
sin 2 2 tan 2
ds (dx)2 (du)2 1 (ux )2 dx dx
注意到:
u ux tan sin 故由上图得 x
ux x tan 1 sin 1 ,
这样，(1)和(2)简化为
ux
x dx
tan 2 sin 2
差分方法 有限元 多尺度
古典解
数值解法
数值解
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
§1.1 基本方程的建立 一、弦振动方程
例1：设一长为l的均匀柔软的细弦，导出弦的微小的横振动方 程
u
T2
u ( x, t )
B
T 1
C
α2
α1
A
x
x + dx
图 9.1
x
横振动：1.在同一平面内振动 2.振向与弦向垂直
(5)
dx
x dx
可以取得很小，根据微分知识有下式成立
x
ux
因此
ux
u x dx u xx dx x
utt Tuxx g 0
(6)
utt a 2uxx g
其中 a 2 T / 讨论：
（7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．
（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(7)右端的重力 加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
u
T2
B
T1
C
α2
α1
A
x
x + dx
图 9.1
x
作用于小段 ABC 的横向合力应该为零：
T2 cos 2 T1 cos 1 0
仅考虑微小的横振动， 夹角
（1）
1 , 2 为很小的量，忽略 12 , 22
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
12 cos 1 1 2!
1, cos 2 1
T1 T2
u
T2
B
T1
C
α2
α1
A
x
x + dx
图 9.1
x
根据牛顿第二定律 F ma u 方向运动的方程可以描述为
T2 sin 2 T1 sin 1 gds (ds)utt
13 sin 1 1 1 tan 1 , 3!
微分方程
常微分方程
u ( x)
u f ( x) x偏微分方程u ( x, t ) （其中x表示位置，t表示时间） v( x, n) （其中x表示大小，n表示方向）
2u 2u 2 f ( x, t ) 2 x t
数学物理方程
数学物理方程：用数学方法研究物理现象的偏微分 方程。 经典方程
2
(9)
式中 f ( x, t ) F ( x, t ) 称为力密度
式（9）称为弦的受迫振动方程.
T2 u x x dx T1 u x x gdx utt dx T2 T1 0
（3(9.1.3) ） （4） (9.1.4)
T2 T1
，弦中张力不随
可记为 x 而变，
T T2 T1 故有
T (ux
变化量
x dx
ux x ) gdx utt dx
波动方程 热传导方程 调和方程
数学物理方程的发展
对流扩散方程 奇异摄动方程
2u u u a 2 b f ( x, t ) x x t 2u u 1 2 2 f ( x, t ) x x
弹性力学
数学物理方程的解法
分析解法
分离变量法 积分变换法 行波法