哈密顿算符运算原理75页PPT
哈密顿算子
S
(u v)dS (u v)dV (v u uv)dV
同理
S
(v u )dS (v u vu )dV
两式相减
S
(uv vu )dS (uv vu )dV
பைடு நூலகம்
例3 其中 a 为常矢量 r xi y j zk 证明：由 Stokes 公式
验证 l (a r )dl 2S adS
l Adl S ( A)dS , l (a r )dl S (a r )dS (a r) (r )a (a )r r( a) a( r) 0 ( ax ay az )r 0 3a x y z (ax i ay j az k ) 3a a 3a 2a 所以 证毕 (a r )dl 2 adS
解 由公式10知 (ur ) u r u r r 3 u 3sin yzi 3xz cos yz j 3xy cos yzk 3(sin yzi xz cos yz j xy cos yzk ) (ur ) 9x sin yz 3x sin yz 3xyz cos yz 3xyz cos yz
l S
例4 验证 Green 第一公式
S (u v)dS (vu vu)dV 与第二公式 (uv vu)dS (uv vu )dV
S
证明：由 Gauss 公式
AdS (A)dV 取 A u v ，用公式10
哈密顿力学课件
x
y
F 0 F C
y
y
例4 捷线
T
1
b
1 y2
2g
a
dx y
F 1 y2 F 0 y x
F y F
1
1
y
y 1 y2
2C1
dy 2C1 y
dx
y
y C1 1 cos
dx
2C1 sin2
2
d
C1 1
cos
d
x C1 sin C2
y
C1
1
cos
旋轮线
C1,C2 由边界条件决定
A
F F
sin2 2 sin2
cos0 const.
d sin2 d
tan2 0 cot2
d
d cot
0
tan2 0 cot2
arccos cot0 cot 0 const.
第19页/共57页
cos cos0 sin sin0 cot cot0 0 Rsin sin0 eq. xsin0 cos0 y sin0 sin0 z cos0 0
p,t ,t
p
q,
p,t
力学状态参量变换 q,q q, p
找到新的特征函数，通过对 q, p 的偏导生成力学方程。
第2页/共57页
1．Legendre变换
f f x, y
df f dx f dy x y
udx vdy
d ux xdu vdy
g g u, y
u
f x
u
x,
y
b a
b
a
s 1
F y
d dx
F y
δy dx
哈密顿正则方程课件
解析解的意义
解析解能够精确地描述系统的运 动状态，对于理解和分析物理现 象具有重要意义。
哈密顿正则方程的物理意义
系统能量守恒
哈密顿正则方程描述了系统的能量守恒关系，即系统的总能量保持 不变。
运动状态演化
哈密顿正则方程描述了系统运动状态的演化过程，即随着时间的推 移，系统的运动状态会发生怎样的变化。
广义哈密顿正则方程
广义哈密顿正则方程是经典哈密顿正则方程的扩展，它允许系统具有非保守力和非完整约束。
广义哈密顿正则方程的形式为：$frac{d}{dt}frac{partial L}{partial q'} - frac{partial L}{partial q} = Q$， 其中$L$是系统的拉格朗日函数，$q'$和$q$是系统的广义坐标，$Q$是非保守力。
在统计物理中的应用
描述系统微观状态
哈密顿正则方程在统计物理学中用于描述系统的微观 状态和能量。
分析系统宏观性质
通过哈密顿正则方程，可以分析系统的宏观性质，如 温度、压强和熵等。
研究相变和临界现象
哈密顿正则方程可以用来研究相变和临界现象，包括 对称性破缺和标度律等。
05
CATALOGUE
哈密顿正则方程的扩展与深化
广义哈密顿正则方程在分析力学、动力学和控制系统等领域有广泛应用。
非完整约束系统中的哈密顿正则方程
非完整约束系统是指具有非完整约束的力学系 统，这些约束不能由牛顿第三定律完全确定。
在非完整约束系统中，哈密顿正则方程需要考 虑约束对系统运动的影响，其形式与完整约束 系统中的哈密顿正则方程有所不同。
非完整约束系统中的哈密顿正则方程在机器人 学、航天器和车辆动力学等领域有重要应用。
哈密顿正则方程ppt课件
z v0 er
p mr2 sin2 C(常数) (10)
则根据(10)式，可得初始时刻，以
r0 e 及后面任意时刻，都有
0, C 0, p 0
O
这意味着质点将始终保持在z轴和初位 矢r0所确定的平面内运动。
z轴就是平面极坐标的极轴。
15
5.5 哈密顿正则方程
例题 2
2
r
(1)代入(2)可得
H
1 2m
pr2
p2 r2
p2
r sin2
r
正则方程
例题 2
(2) (3)
p r
H r
p2 mr3
p2
mr3 sin2
r2
p
H
p2 cos mr2 sin3
p
(6)
H
p
p
mr2 sin2
(7) (8) (9)
0, p 0
p r
p2 mr3
r2
(4')
p 0
(5')
r
pr m
p mr2
(7')
(8')
16
5.5 哈密顿正则方程
分析：四、最终的运动微分方程
8
5.5.3 能量积分与循环积分
循环积分
若H不显含某个广义坐标q ，则根据正则方程
可得：
p
H q
0
p
《哈密顿原理》PPT课件
则 d , H 0
dt t
反之，若 , H 0 则 C
t
是正则方程的一个运动积分，因为有
dt
dq1 H
dq2 H
p1 p2
dqs H
dp1 H
dp2 H
ps
q1
q2
dps H
2q3 s
q
(1)c, 0, c为常数 (2), , 0
n
n
(3)如 j ,则, , j
振动解要求 l 为纯虚数，要做到这一点势能V>0. 令 l il
s
q Aleilt Aleilt , 1, 2, , s
l 1
s
q al coslt bl sinlt , 1, 2, , s
l 1
上式中 l 叫简正频率，共有s个。
6
3.简正坐标
T
1 2
s
a q q
1
V
V0
s 1
V q
q 0
1 s 2V 2 1 q q
1
q q
0
高级项
取 V0 0 对保守系 V 0
q
略去高级项
1 s 2V
1s
V
2
1 1
q
q
q q 0
2 1 c q q
1
2
在稳定约束下，动能只是速度的二次函数
T
1 2
s
a q q
1
1
也展开为泰勒级数
j 1
j 1
(4), ,
(5)
t
,
t
,
,
t
(6) ,, ,, , , 0
1,如
(7) q , p 0,如
哈密顿算符运算原理
例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等， 都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以 电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、 X射线和γ射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共 同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实 验都有重大的意义。
近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot
A
0
称为无旋场。
3、斯托克斯定理（Stoke’s Theorem）
LA ds ( A) ds
s
它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合
曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。
§0-4 正交曲线坐标系中 运算
的表达式
Expression of Operation on
y为常数平面
y
x x为常数平面
a) 笛卡儿坐标
x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1
ex
x
ey
y
ez
z
ex
x
ey
y
ez
z
A
Ax
Ay
Az
x y z
ex ey ez A x y z
Ax Ay Az
2 2 2 2
x 2 y 2 z 2
r r r r 2 2 z 2
2
A
(
2
A)
r
er
(
2
A)
e
(
2
A)
z
ez
将
2A
(
A) (
A)
应用于圆柱坐标可得：
(2 A)r
哈密顿算符运算原理
哈密顿算符可以表示为物理量的函数， 通过测量这些物理量可以获得系统的 状态信息。
哈密顿算符的历史与发展
起源
哈密顿算符起源于19世纪初的经 典力学，最初用来描述质点的运
动规律。
发展
随着量子力学的兴起，哈密顿算 符被广泛应用于描述微观粒子的
运动状态和能量变化。
当前研究
目前，哈密顿算符在仍然占据重要地位，是探索 物质世界基本规律的重要工具之
详细描述
在求解哈密顿算符的演化方程时，可 以将问题转化为求某个泛函的极值问 题。通过变分法，可以将偏微分方程 转化为欧拉方程或变分方程，从而简 化求解过程。
05 哈密顿算符的运算实例
一维谐振子的哈密顿算符运算
总结词
一维谐振子的哈密顿算符运算涉及到对位置和动量的平方和运算，以及能量表达式的求解。
详细描述
一。
02 哈密顿算符的基本运算
哈密顿算符的矩阵表示
01
哈密顿算符在量子力学中通常表示为矩阵形式，其元素对应于 系统的能量和动量。
02
在矩阵表示中，哈密顿算符的矩阵元素由系统波函数的性质决
定，反映了系统内部相互作用和能量传递的关系。
哈密顿算符的矩阵形式对于计算系统的能量和波函数具有重要
03
意义，是理解和描述量子系统的重要工具。
哈密顿算符的演化方程
1
哈密顿算符的演化方程是薛定谔方程，描述了量 子系统的状态随时间的变化。
2
薛定谔方程是一个偏微分方程，将系统的波函数 与时间关联起来，通过求解该方程可以获得系统 在不同时刻的状态。
3
哈密顿算符的演化方程是量子力学中的基本方程 之一，对于理解量子系统的动力学行为和演化规 律具有重要意义。
总结词
哈密顿算符和哈密顿算子
哈密顿算符和哈密顿算子
算子是一种定义在希尔伯特空间上的线性映射，它可以把一个向量变成另一个向量。
哈密顿算子是一个描述物理系统能量的算子，它是薛定谔方程的系数，是一种矢量微分算符，因此用来表达麦克斯韦方程的微分形式。
如同其他自伴算符，哈密顿算符的谱可以透过谱测度被分解，成为纯点、绝对连续、奇点三种部分。
哈密顿算符在物理、量子力学领域中具有重要作用，对应于系统的总能量，其谱为测量系统总能时所有可能结果的集合。
在量子力学中，哈密顿算符是一个重要的概念，它对于理解粒子的运动和状态，以及描述物理系统的能量等方面都有着广泛的应用。
第18章_哈密顿原理
第18章_哈密顿原理第⼋章哈密顿原理（Hamilton’s Principle ）⼀、泛函和变分的概念1．最速落径问题如图1，A 、B 是同⼀铅垂⾯上的两点，A ⾼于B ，不考虑阻⼒，试确定连接A 、B 的⼀条曲线，使初速为零的质点m 从A ⾄B ⾃由下滑所需时间最短。
设路径曲线为 y = y (x )，并设22)()(dy dx ds +=为曲线微段的弧长，则 dx dty dt dy dx dtds v 222)(1)()('+=+==另⼀⽅⾯，由动能定理可得gy v 2=，所以dx gyy dx v y dt 2)(1)(122'+='+=上式积分，得时间T 为'+=adx gyy x y T 022)(1)]([ （1）选取不同的y (x )必有不同的T 值，T 随函数y (x )的变化⽽变化。
这些可变化的函数称为⾃变函数，⽽随⾃变函数⽽变的量称为该⾃变函数的泛函。
最速落径问题可归结为如下数学命题：在0 [ x [ a 的区间内找⼀个函数y (x )，它满⾜边界条件====b y a x y x 时，当时，当00 并使（1）式所给泛函T [y (x )]取极⼩值。
变分法就是研究在各种不同的边界和约束下，各种泛函取极值的必要充分条件。
2．⾃变函数的变分如图2，将⾃变函数曲线 y = y (x ) 作微⼩变更，得到另⼀曲线y * = y * (x )，⽽ y * = y * (x ) = y (x ) + δ y (x )其中δ y 称为⾃变函数的变分。
下⾯推导d 、δ交换法则。
由图2，有dyy y dy y y yy y yy '+=+=+==321δ若从点3向上算，有)()(334dy y dy y dy y dy y y y y δδδδ+++=+++=+= 若从点2向上算，有)()(224y d dy y y y y d y y dy y y δδδδ+++=+++=+= ⽐较以上两式，得)()(dy y d δδ= （2）因此，⾃变函数变分、微分的运算顺序可交换。
哈密顿原理的推导 ppt课件
0
21
ppt课件
k
j 1
d
dt
T q j
T q j
V q j
q j
0
引入拉格朗日函数L=T-V(质点系动能与势能 之差，称为动势)，则上式可表示为：
k
j 1
d dt
L q j
q j
的两个关系式:
q j dt q j
(1)
ri
ri t
k ri j1 q j
q j
(ri ri (q1, q2,,t) (6)
q j 称为广义速度，为广义坐标对时间的变化率，
因 ri 和 ri 仅是广义坐标和时间的函数，与广义 t q j
速度 q j 无关，
L q j
q j
0
(11a)
22
ppt课件
广义力：Q j
V q j
代入(11a)式中，而拉格朗日
函数L=T-V(质点系的动能与势能之差又称为动势)
(11a)式又可以写为：
k
j 1
d dt
L q j
q
j
L q j
q j
量函数：
11
ppt课件
r i
r i
(q1
,
q2
,,
qk
,
t
)
(i 1,2,n) (1)
n为质点的数目，为了将质点系中质点Mi 的 虚位移δri表示为广义坐标的变分 q j ( j 1,2,, k，) 求(1)式的变分：
经典力学的哈密顿理论精课件
（1）
pr
L r
mr ,
r pr m
p
L
mr 2 ,
p mr 2
（2）
哈密顿函数
H T V (Why ?)
1 2m
(r 2
r 22 ) ( r
)
1 2m
( pr2
p2 r2
) r
于是得正则方程
r
H pr
pr m
p r
H r
p 2 mr 3
r2
m(r r2 )
（径向运动方程）
r
m
（3）
（2）
则哈密顿函数
H
p
•
L
[m
m(
r)]
[1 m 2 2
m
•
(
r)
1 m( 2
r
)2
V
（4）
1
m
2
1
m(
r
)
2
V
2
2
（3）式代入（4）式，得
H
p2
p
•
(
r)
V
2m
正则方程为
H P
p m
(
r)
p
H r
p
V r
（5） （6）
将
p
m
m
r
代入上式中的第二式，可得粒子的动力学方程
r2
（3）
H p
p mr 2
p
H
0
p mr 2 常数 （角动量守恒）
（4）
[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。
解：取图7.3所示的转动参考系。粒 子的L函数为（参见5.12式）
L
哈密顿算子课件
(u1u2 ) u1u2 u2u1 若u 0，则u 常数
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
u
x
ex
y
ey
z
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
A
x
ex
y
ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex ey ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
x ey
Ay x
Ax y
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
ex
u y
ey
u z
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2. 算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
结果：
(1). R R
R
R R R
哈密顿算符公式
哈密顿算符公式
哈密顿算符公式是一种有用的数学定理，它令人大开眼界，被广泛应用于数学、物理、计算机科学等诸多领域。
它的发现为科学界提供了一种新的衡量工具，推动了科学的发展。
1830年，英国数学家哈密顿（William Rowan Hamilton）提出了哈密顿算符公式，它是一种有限制大小的总求和算法，用来衡量函数的总和，该公式又名“哈密顿-玻尔兹定理”，是一个非常有用的数学定理，用以测量函数的总和。
哈密顿算符公式的最强大之处在于它能够把有限的函数综合到
一起，它允许人们用不同的数学方法来衡量以前很难定量的概念，例如能量，动量和位置。
它的最基本形式如下：
H[f] =_(n∈S) f (x_n)
它的意思是，当函数f的集合S的所有值的总和可以衡量函数f 的大小或深度时，就可以使用这个公式了。
由此可见，哈密顿算符公式给出了一个简单明了的形式，便于人们更好地理解函数。
哈密顿算符公式的发现也推动了现代物理学的发展。
由于它可以用来衡量能量，动量和位置，它可以用来描述物理系统的性质，从而帮助人们更容易地理解物理系统的运行方式。
它也提供了一种新的比较和分析物理系统的方法，推动了现代物理学的发展。
此外，哈密顿算符公式也在计算机科学领域中发挥了重要作用。
它可以用来计算最优化路径，最优化计算任务和优化数据分析，从而提高计算机系统的性能。
因此，哈密顿算符公式是一种有用的数学定理，它令人大开眼界，被广泛应用于数学、物理、计算机科学等诸多领域。
这一技术的研究会促进科学的发展，为世界各国提供应用价值，推动社会的进步。
哈密顿力学案例PPT
哈密顿变量： q , p , t H[q , p , t]
s
H p q L 1
新函数
新的 不要的 旧函数 独立 原独立 变量 变量
根据前面我们
H
得到的勒让德 变换有：
q p
H L q q
H L t t
这些勒让德变换只是数学内容，考虑拉格朗日方程，
d L L 0 dt q q
[q
q
]
[q
][
q t
]
[
q2 t
]
[q
p
]
[
L q
][q
]
[
L q /
t
q
]
[
Lt
]
能量×时间 =作用量
1. 哈密顿正则方程
一、正则方程 完整、保守的系统，动力学方程为拉格朗日方程
d L L 0 dt q q
是广义坐标的二阶微分方程，可改写为
p
L q
广义动量定义为
L p q
2s个一阶微分方程作为系统的 动力学方程
比
x
较 v f y
第一式：u 与 x 对易
第二式：加负号
这种由一组独立变量(x,y)变为另一组独立变量(u,y) 的变换成为勒让德变换
勒让德变换指出：独立变量改变，相应的函数本身 随之改变，这样不独立变量仍可以用独立变量的偏 导数表示
由勒让德变换给出正则方程：
拉格朗日变量：q , q ,t L(q , q ,t)
dt
s H
1
q
H H p p
H q
H t
H t
dH H dt t
也就是说，哈密顿函数H中不显含时间t，
H 0 t