数学建模课件-污水处理

是两项合作的分配之和。
Shapley在提出的三条公理基础上，用逻辑推理的方法 证明，存在唯一的分配：
(v)=(1(v) ,2(v),……, n(v))
（ w(| s |)[ v( s ) v( s \ i )] i v）
sS i
i 1,2,, n (n | s |)! (| s | 1)! w(| s |) n!
设I定义为n人集合，s为n人集合中的任一种合作， v(s)为合作s的效益。每一种合作都会得到一定的 效益，合作人数的增加不会引起效益的减少。
V(Ø)=0 V(s1 s2) v(s1)+v(s2), s1 s2 = Ø
用xi表示I的成员I从合作的最大效益v(I)中应得到的 一份收入。x=(x1,x2,……,xn)叫做合作对策的分配， 通常有无穷多个分配，满足
共有五种方案
方案五：城镇1、2、3合作
所需的投资分别为： C(1,2,3)=730* C6.6*30.51*38 =5560 （ 5+3+5 ）
0.712+6.6*50.51*20
总投资为： S5= C(1,2,3) =5560。
比较五个方案可知: 应该选择三个城镇联合建厂的方案.
下面的问题是: 如何分担总额为S5=5560万元的费用。
河 流
已知的条件：
以Q表示污水量（吨/秒） L表示管道长度（公里） 按照经验公式，建立处理厂的费用
CT=730Q0.712
1 2
38km
铺设管道的费用为
20km
CP=6.6Q0.51L
今已知三个城镇的污水量分别为 Q1=5，Q2=3，Q3=5。 L的数值如图所示，
河 流
3
共有五种方案
方案一：三个城镇都单独处理污水。
共有五种方案
方案三：城镇2、3合作，城镇1单独建厂
所需的投资分别为： C(2,3)=730* （ 3+5 ） 0.712+6.6*30.51*38=3650 ， 低于两城镇单独建厂 C(2)+ C(3)= 3900 C(1)=730*50.712=2300 总投资为： S3= C(2,3)+C(1) =5950。
污水处理问题中1(v)的计算 s v(s) v(s\1) v(s)-v(s\1) |s| w(|s|) 1 0 0 0 1 1/3 1U2 40 0 40 2 1/6 1U3 0 0 0 2 1/6 I 64 25 39 3 1/3
w(|s|)[v(s)+v(s\1)]
0
6.7
0
13
1(v)=19.7（元），同法可计算出 2(v)=32.1 （元） 3(v)=12.2 （元）
分担费用的初步建议：
城3的负责人提出
（1）联合建厂的费用按三城的污水量之 比5：3：5分担， 1 （2）铺设管道应由城1，2担负。
城2的负责人同意
并提出从城2到城3的管道 费由城1、2按污水量之比5： 3分担，从城1到城2的管道 费应由城1自己负担。
20km
2
38km
河 流
3
城1的负责人先算了一笔帐：
s v(s) v(s\1) v(s)-v(s\1) |s| w(|s|) 1 1 0 1 1 1/3 1U2 7 1 6 2 1/6 1U3 5 1 4 2 1/6 I 10 4 6 3 1/3
w(|s|)[v(s)+v(s\1)]
1/3
1
2 /3
2
1(v)=4（元），同法可计算出2(v)=3.5 （元） 3(v)=2.5 （元）
（结果出乎意料之外，城2和城3的费用 都比单独建厂时少，而城1的费用却比单 独建厂时还要多！城1的负责人当然不能 同意这个方法，但是城1的负责人一时又 找不出公平合理的解决办法，为了促成 联合建厂的实现，你能为他们提供一个 满意的分担费用的方案吗？
ShapleyL.S.1953年给出了解决该问题的一种方法， 称Shapley值。
所需的投资分别为： C(1)=730*50.712=2300， C(2)=730*30.712=1600，
C(3)=730*50.712=2300，
总投资为： S1Baidu Nhomakorabea C(1)+ C(2)+ C(3)=6200。
共有五种方案
方案二：城镇1、2合作，城镇3单独建厂
所需的投资分别为： C(1,2)=730*（3+5）0.712+6.6*50.51*20=3500， 低于两城镇单独建厂的费用： C(1)+ C(2)= 3900， C(3)=730*50.712=2300， 总投资为： S2= C(1,2)+C(3) =5800。
xi=v(I), xi v(i),
I=1,2,……,n
Shapley首先提出了几条公理：
公理1：每人的分配与他被赋予的记号i无关。 公理2：若成员i对于他参加的合作都没有贡献，
那么他不应从全体合作的效益中获得报 酬，另外，各成员分配之和应等于全体 合作的效益。
当n人同时进行两项合作时，每人的分配 公理3：
联合建厂的费用是：730*（5+3+5）0.712=4530 从城2到城3的管道费“是6.6*（3+5）0.51*38=730 从城1到城2的管道费是：6.6*50.51*20=300 按上述办法分担时，各城应负担的费用是：
5 5 730 300 2500 13 8 3 3 D(2) 4530 730 1320 13 8 5 D(3) 4530 1740 13 D(1) 4530
其中Si是I中包含的所有子集，|s|是子集s中的元素 数目（人数），w(|s|)是加权因子。
例：甲乙丙三人经商，若单干，每人仅获利1元，甲乙合 作可获利7元，甲丙合作可获利5元，乙丙合作可获利4元， 三人合作则可获利10元，问三人合作时怎样合理地分配 10元的收入？
三人经商中甲的分配1(v)的计算
共有五种方案
方案四：城镇1、3合作，城镇2单独建厂
所需的投资分别为： C(1,3)=730* （ 5+5 ） 0.712+ 6.6*50.51*58=4630 ， 高于两城镇单独建厂的费用： C(1)+ C(3)= 4600 C(2)=730*30.712=1600 总投资为： S4= C(1,3)+C(2) =6230。
三城镇污水处理方案
问题：
沿河流有三个城镇1、2和3，地理位置如 图所示， 1 污水需处理后才能排入河中， 三个城镇或者单独建立污水 20km 处理厂，或者联合建厂，用 2 管道将污水集中处理（污水 应于河流的上游城镇向下游 38km 城镇输送）。试从节约总投 资的角度为三个城镇制定污 3 水处理方案。