实变函数历年考试真题汇总

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陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A)

一．填空.（每空2分，共20分）

1给出自然数集+N 与整数集Z 之间的一一对应关系 . 2设B A ,是两集合，B A <是指 .

3⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0,00,1sin ),(x x x y y x E ,在2

R 内求= E ,='E ，

4.设,

,(),[0,1]\.

x x x P f x e x P ∈⎧=⎨

∈⎩其中P 是Cantor 集,则[]

=⎰1,0)(dx x f ________. 5.设n

E R ⊂,则称E 是L 可测的是指: . 6.设()sin f x x =,[0,2]x π∈,则()f x +

= ;

()f x -= .

7.称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指 8.设⑴mE <∞;⑵

{}()n f x 是

E 上一列几乎处处有限的可测函数;⑶

lim ()()n n f x f x →∞

=..a e 于E ,且()f x <∞..a e 于E .则0δ∀>,E E δ∃⊂,使得

mE δδ<,而{}()n f x 在 上一致收敛于()f x .

二.选择（每题2分，共10分）

1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是（ ）.

A .A

B 是可数； B .A B 是不可数；

C .A B c =；

D .A B B =

2.设E 是任一可测集,则( )．

A .E 是开集;

B .0ε∀>,存在开集G E ⊃,使得(\)m G E ε<;

C .E 是闭集;

D .

E 是

F σ型集或

G δ型集.

3.下列关系式中成立的是（ ）

①()A B B A =\ ，②()A B B A = \，③()B A B A ''='

， ④()

B A B A =，⑤()B A B A =，其中B A ,是二集合.

A .①②

B .③④⑤

C .③⑤

D .①②③④⑤

4. 设n E R ⊂,mE <+∞,{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x .则( ). A ．{}()n f x 在E 上处处收敛于()f x ;

B ．存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{}

()i n f x 在E 上一致收敛于()f x .

C . {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ;

D . {}()n f x 在

E 上依测度收敛于()f x ;

5.设q

R E ⊂为可测集，{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数，则（ ）

A

⎰⎰∞→∞

→≤E

n n n

E n dx x f dx x f

)(lim )(lim B

⎰⎰∞→∞

→≥E

n n n

E n dx x f dx x f

)(lim )(lim

C

⎰⎰∞→∞

→=E

n n n

E n dx x f dx x f

)(lim )(lim D

⎰⎰∞→∞

→=E

n n n

E n dx x f dx x f

)(lim )(lim

三．判断题(每题2分，共10分)

1. 0mE =E ⇔是有限集或可数集. （ ）

2. 若开集1G 是开集2G 的真子集,则12mG mG < （ ）

3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ）

4. 设()f x ,()g x 是可测集E 上的可测函数,则()()f x g x 也是E 上的可测函数

（ ）

5.可测函数)(x f 在E 上L 可积⇔)(x f 在E 上L 可积 （ ）

四．证明题(每题8分，共40分)

1.证明： 设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则a R ∀∈,{}

()E x f x a =>是

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一开集.

2.设q R E ⊂,证明存在G δ型集G E ⊃,使得E m G m *

*

=

3．证明：黎曼函数[]⎪⎩

⎪

⎨⎧==中的无理数，及，为为既约分数，为自然数，且,1010,0,,,1)(x q p q p q p x q x R

是[],10上的可测函数 4.设函数列{}()n f x (1,2,

)n =在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x （即

0,δ∀>E E δ∃⊂,使得{}()n f x 在E δ上一致收敛于()f x 且()m E E δδ-<.）证

明:{}n f 在E 上..a e 收敛于f .

5.设0mE ≠,()f x 在E 上可积,如果对于任何有界可测函数()x ϕ,都有

()()0E

f x x dx ϕ=⎰

,则()0f x =..a e 于E .

五．计算题(每题10分，共20分)

1． 设3[0,1][0,1],,

()1,.

x x Q f x x Q ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 问()f x 在[0,1]上黎曼可积吗？勒贝格可积吗？

若可积,则计算其积分值. 2．1

5220lim sin 1n nx

xdx n x

→∞+⎰

陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数论期末试题(B)

一．填空.（每空2分，共20分）

1给出(1,1)-与(,)-∞+∞之间的一一对应关系 . 2设B A ,是两集合，B A <是指 . 3{

}

1),(2

2<+=y x y x E ,在2

R 内求=

E ,='E ， 4.设,

,(),[0,1]\.

x x x P f x e x P ∈⎧=⎨

∈⎩其中P 是Cantor 集,则[]

=⎰1,0)(dx x f ________. 5.设n E R ⊂,则称E 是L 可测的是指: . 6.设x x f cos )(=,[0,2]x π∈,则()f x +

= ;

()f x -= .

7.称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指 8.设⑴mE <∞;⑵

{}()n f x 是

E 上一列几乎处处有限的可测函数;⑶

lim ()()n n f x f x →∞

=..a e 于E ,且()f x <∞..a e 于E .则0δ∀>,E E δ∃⊂,使得

mE δδ<,而{}()n f x 在 上一致收敛于()f x .

二.选择.每题2分，共10分）

1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是（ ）.

A .A

B 是可数；

B .A B 是不可数；

C .A B c =；

D .A B B = 2.设

E 是任一可测集,则( )．

A .E 是开集;

B .0ε∀>,存在开集G E ⊃,使得(\)m G E ε<;

C .E 是闭集;

D .

E 是

F σ型集或

G δ型集.

3.下列关系式中成立的是（ ）

①()A B B A =\ ，②()A B B A = \，③()B A B A ''='

，

线