11-8正弦级数 余弦级数

为周期的周期函数.如果它满足条件: 设 f ( x ) 是以 2π 为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则 的傅里叶级数收敛, 至多只有有限个极值点 则 f ( x ) 的傅里叶级数收敛
(0 ≤ x ≤ π )
4 1 1 1 π x + 1 = + 1 (cos x + 2 cos 3x + 2 cos 5x + 2 cos 7x) 2 π 3 5 7
y = x +1
三,小结
1,基本内容: ,基本内容 奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余 奇函数和偶函数的傅氏系数 正弦级数与余 弦级数;非周期函数的周期性延拓 非周期函数的周期性延拓; 弦级数 非周期函数的周期性延拓 2,需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确 2,需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确) 误认为以下三情况正确) a.只有周期函数才能展成傅氏级数 只有周期函数才能展成傅氏级数; 只有周期函数才能展成傅氏级数
b.在 0, π]上,展成周期为 π的傅氏级数唯一 [ 2 ;
c.在 π, π]上连续且只有有限个极值点时, [ 级数处处收敛于f ( x).
思考题
设f ( x )是在[a, b]上定义的函数 , 应如何选择 A, B, 才能使 F ( t ) = f ( At + B )成为[ π, π]上 定义的函数 .
1 1 1 1 y = 2(sin x sin 2x + sin 3x sin4x + sin5x) 2 3 4 5 观 察 两 函 y= x 数 图 形
数, 例 2 将 期 数 (t ) = Esin t 展 成 氏 数 周 函 u 开 傅 级 , 中 其 E是 常 . 正 数
所给函数满足狄利克雷充分条件, 解 所给函数满足狄利克雷充分条件 在整个 数轴上连续. 数轴上连续
a0 ∞ f ( x ) + ∑ (a k cos kx + bk sin kx ) 2 k =1 f ( x + 0) + f ( x 0) = 2
1 π ) an = π ∫π f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L bn = 1 π f ( x)sin nxdx, (n = 1,2,L ) ∫π π
4E 1 1 1 1 u(t ) = ( cos 2t cos 4t cos 6t L ) 15 35 π 2 3
∞ 2E cos 2nx = [1 2∑ 2 ]. π n=1 4n 1
(∞ < x < +∞)
二,函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
[ 2 设f ( x)定义在 0, π]上, 延拓成以 π为周期的 函数 F( x).
2 二,将函数 f ( x ) = 2 x ( 0 ≤ x ≤ π ) 分别展开成正弦级数 和余弦级数 .
x 三,将以 2π 为周期的函数 f ( x ) = 在 ( π, π ) 内展开成 2 ∞ 1 傅里叶级数, 傅里叶级数,并求级数 ∑ ( 1) n+1 的和 . 2n + 1 n= 0
cos nx x 2 πx π 2 证明: = + . 四,证明:当0 ≤ x ≤ π 时, ∑ 2 n 4 2 6 n =1
证明
(1) 设f ( x )是奇函数 ,
1 π a n = ∫ π f ( x ) cos nxdx = 0 π 奇函数
( n = 0,1,2,3,L)
1 π 2 π bn = ∫ π f ( x ) sin nxdx = ∫0 f ( x ) sin nxdx π π 偶函数 ( n = 1,2,3,L)
π
y
0
π
x
f ( x )的傅氏正弦级数
f ( x ) ∑ bn sin nx
n=1
∞
(0 ≤ x ≤ π )
偶延拓: 偶延拓
g( x ) = f ( x )
y
0≤ x≤ π f ( x) 则F ( x ) = f ( x ) π < x < 0
f ( x )的傅氏余弦级数
a0 ∞ f ( x ) + ∑ a n cos nx 2 n =1
y = x +1
(2)求余弦级数. (2)求余弦级数. 对f ( x )进行偶延拓, 求余弦级数 2 π a0 = ∫ ( x + 1)dx = π + 2, π 0 2 π a n = ∫0 ( x + 1) cos nxdx π 当n = 2,4,6,L 0 2 = 2 (cos nπ 1) = 4 2 当n = 1,3,5,L n π n π 4 1 1 π x + 1 = + 1 (cos x + 2 cos 3 x + 2 cos 5 x + L] 2 π 3 5
f ( x ) 0 ≤ x ≤ π 且F ( x + 2π ) = F ( x ), , 令 F ( x) = g( x ) π < x < 0
奇延拓 . 则有如下两种情况 偶延拓
奇延拓: 奇延拓 g ( x ) = f ( x )
0< x≤π f ( x) x=0 则F ( x ) = 0 f ( x ) π < x < 0
2 的周期函数,它在 例 1 设 f (x) 是周期为 π 的周期函数 它在 [π, π)上的表达式为 f ( x) = x ,将f (x) 展开成 将 数. 傅 级 氏 数
解 所给函数满足狄利克雷充分条件 所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点 x = ( 2k + 1) π( k = 0, ±1, ±2,L)处不连续 ,
∞
练习题答案
( 1) n+1 2 nπ + 2 sin ] sin nx . 一, f ( x ) = ∑ [ n nπ 2 n =1 ( x ≠ ( 2n + 1) π, n = 0, ±1, ±2,L)
∞
4 2 π2 2 二, f ( x ) = ∑ [( 1) n ( 3 ) 3 ] sin nx n n n π (0 ≤ x < π) ;
E cos( n + 1)t cos( n 1)t = + 0 (n ≠ 1) n+1 n1 π
4E , 2 = [( 2k ) 1]π 0, 当n = 2k 当n = 2k + 1
( k = 1,2,L)
π
2 π 2 π a1 = ∫0 u( t ) cos tdt = ∫0 E sin t cos tdt = 0, π π
f ( π 0) + f ( π + 0) π + ( π ) 收敛于 = = 0, 2 2
在连续点 x ( x ≠ ( 2k + 1) π )处收敛于 f ( x ),
Q x ≠ ( 2k + 1) π 时 f ( x )是以2π为周期的奇函数 ,
y
和 函 数 图 象
3π 2π
π π
0
π
2π
3π
x
π
∴ an = 0,
( n = 0,1,2,L)
2 π 2 π bn = ∫0 f ( x ) sin nxdx = ∫0 x sin nxdx π π 2 x cos nx sin nx π ]0 = [ + 2 n π n 2 2 ( n = 1,2,L) = cos nπ = ( 1)n+1 , ( n n 1 1 f ( x) = 2(sin x sin2x + sin3x L ) 2 3 n+1 ∞ (1) sin nx. = 2∑ n n=1 (∞ < x < +∞; x ≠ ±π,±3π,L )
一,奇函数和偶函数的傅里叶级数
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 一般说来 一个函数的傅里叶级数既含有正弦 又含有余弦项.但是 项,又含有余弦项 但是 也有一些函数的傅里叶级 又含有余弦项 但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项 定理
同理可证(2) 同理可证 定理证毕. 定理证毕
∞ n =1
定义 如果 f ( x ) 为奇函数,傅氏级数 ∑ bn sin nx 为奇函数,
称为正弦级数. 称为正弦级数. 正弦级数
a0 ∞ 为偶函数, 如果 f ( x ) 为偶函数, 傅氏级数 + ∑ a n cos nx 2 n =1
称为余弦级数. 称为余弦级数. 余弦级数
∞ 2 2 ( 1) n f ( x ) = π + 8∑ 2 cos nx ( 0 ≤ x ≤ π ) . 3 n =1 n x ∞ 1 π = ∑ ( 1) n+1 sin nx x ∈ ( π, π) ; . 三, 2 n=1 n 4
�
2 1 π x + 1 = [( π + 2) sin x sin 2 x + ( π + 2) sin 3 x L] 2 3 π (0 < x < π )
2 1 1 π π x +1 = [(π + 2) sin x sin 2x + (π + 2) sin 3x sin4x + (π + 2) sin5x] π 2 3 4 5
(1)当周期为2π 的奇函数 f ( x ) 展开成傅里叶级数 (1)当周期为 时,它的傅里叶系数为 an = 0 ( n = 0,1, 2,L)
2 π bn = ∫ f ( x ) sin nxdx π 0 ( n = 1, 2,L)
(2)当周期为 (2) 当周期为 2π 的偶函数 f ( x ) 展开成傅里叶级 数时, 数时,它的傅里叶系数为 2 π an = ∫ f ( x ) cos nxdx ( n = 0,1, 2, L) π 0 bn = 0 ( n = 1, 2, L)
思考题解答
应使A( π) + B = a, ba , 即A = 2π Aπ + B = b,
b+a B= . 2
练习题
的周期函数, 一,设 f ( x ) 是周期为2π 的周期函数,它在[ π, π ) 上的表 π π 2 , π ≤ x < 2 π π 达式为 f ( x ) = x , ≤ x < . 2 2 π , π ≤ x < π 2 2
Q u( t )为偶函数 , ∴ bn = 0,
( n = 1,2,L)
2π
π
u(t )
E
0
π
2π
t
2 π 2 π 4E a0 = ∫0 u( t )dt = ∫0 E sin tdt = , π π π
2 π 2 π a n = ∫0 u( t ) cos ntdt = ∫0 E sin t cos ntdt π π E π = ∫0 [sin( n + 1)t sin( n 1)t ]dt π
π
Fra Baidu bibliotek
0
π
x
(0 ≤ x ≤ π )
例 3 将 数 f ( x) = x + 1 (0 ≤ x ≤ π)分 展 成 函 别 开 弦 数 余 级 . 正 级 和 弦 数
(1)求正弦级数 求正弦级数. 解 (1)求正弦级数.
对f ( x )进行奇延拓 ,
2 π 2 π bn = ∫0 f ( x ) sin nxdx = ∫0 ( x + 1) sin nxdx π π 2 (1 π cos nπ cos nπ ) = nπ 2 π + 2 当n = 1,3,5,L π n = 2 当n = 2,4,6,L n