【证明】美式期权平价关系

【知识点】美式看涨和看跌期权价格的平价关系（是个不等式）为

()r T t S X C P S Xe ---<-<-

【证明】：令c ，p 代表欧式看涨、看跌期权价格；C ，P 代表美式看涨看跌期权价格

（I ）考虑两个组合：

组合A ：一份美式看涨期权加上数额为X 的现金；

组合B ：一份美式看跌期权加上一份股票。

美式看涨期权不可能被提前执行，设在()t T ττ<<时刻看跌期权可能被提前执行，两个组合在不同时刻的价值分别为：

t τ T

A V C X + ()r t C Xe ττ-+ ()max(,0)r T t T S X Xe --+ 提前执行

B V P S + X

不提前执行B V P S + max(,0)T T X S S -+

可见，如果提前执行，则()()A B V V ττ>；若不提前执行，()()A B V T V T >，即组合A 的价值总是大于组合B 的价值。所以：()A V T 总是大于 ()B V T ，即

C X P S +>+

或 S X C P -<- （1）

（II ）

利用欧式看涨和看跌期权的平价关系：

()r T t c Xe p S --+=+ （2）

推得：()r T t p c Xe S --=+- （3） 美式期权可以提前执行，而欧式期权不可以提前执行，因此美式期权的价值应大于欧式期权的价值：,C c P p ≥≥。

对于不付红利的股票，,C c P p =>。将其带入（3）式可得：()r T t P C Xe

S -->+- 即 ()r T t C P S Xe ---<- （4）

综合（I ）、（II ）的结果可得美式看涨和看跌期权价格的平价关系（是个不等式）为：

()r T t S X C P S Xe ---<-<-

问 题

解答：

在实际中我们一般假定股价遵循连续变量连续时间的随机过程，我们一般认为：

dS udt dz S

σ=+ dt 时间段的平均收益率遵循服从均值为 ，方差为 的正态分布： 故要在97.5%的置信水平下要实现非负的收益率需：

解之得：12年

要在97.5%的置信水平下实现6%的无风险收益率需：

解之得: 70年

备注： A,B ，C,D 证券彼此既非完全正相关也非完全负相关，各自的收益率也不正好相同，具有普遍性。

①

u

2/T

σ1.96≤

-1.96≤-

两种证券的投资组合的可行域（不可卖空情况下）两种证券的投资组合的可行域（可卖空情况下）

②

若存在一个证券M ，在u-σ坐标系中正好出于A,B 证券组合的可行域上，这三个证券（A,B,M ）的的投资组合可行域仍与A,B 证券的可行域完全一样。（可卖空和不可卖空的情形下均是）。因为证券M 在A,B 证券组合的可行域上，

即可

u σ

u σ

以将证券M 看作是A,B 证券的一个组合，那么A,B,M 证券的组合与A,B 证券的组合一样，只是各自的权数发生了变化，可行域是各种可能的权数的组合的表现，银次可行域自然不会发生变化。

A,B,M 三种证券组合的可行域（其中M 证券在A,B 两证券的可行域上）

不可卖空

A,B,M 三种证券组合的可行域（其中M 证券在A,B 两证券的可行域上） 可卖空

③

u σ

u σ

四种证券的投资组合的可行域（不可卖空情况下）

两种证券的投资组合的可行域（可卖空情况下）

组合可行域――当由多种证券（不少于3个证券）构造证券组合时，组合可行域是所有合法证券组合构成的u-σ坐标系中的一个区域。不允许卖空情况下，多种证券所能得到的所有合法组合将落入并填满坐标系中每两种证券的组合线围成的区域；允许卖空情况下，多种证券组合的可行域不再是有限区域，而是包含该有限区域的一个无限区域。可行域满足一个共同的特点：左边界必然向外凸或呈线性。