【证明】美式期权平价关系
金融衍生工具课件：美式期权定价
金融衍生工具
7
第二节 美式期权定价的分析近似类模型
➢ Barone-Adesi和Whaley（1987）近似 ➢ 其他分析近似类模型
金融衍生工具
8
Barone-Adesi和Whaley（1987）近似
➢ Barone-Adesi和Whaley（1987）基于由MacMilan（1986）提出的二次
金融衍生工具
14
已知红利支付率
➢ 唯一可能提前执行的时间点在第二阶段末除权日前的瞬间，我们接下来就分 析第二阶段末除权日前的瞬间各点的提前执行决策，即二叉树图中的B、C、 D各点。以B点为例，若不提前执行美式期权，则期权的价值为6.58。若在B 点提前执行美式买权，则期权的价值为35.90/0.95-30=7.79，大于6.58。故在B 点，投资者应该选择提前执行美式买权。同理，对于C点和D点，我们可以运 用相同的分析方法。在C点，若提前执行，则期权的价值为0；若不提前执行， 期权的价值为1.42。故投资者不会选择提前执行美式买权。在D点，期权处于 虚值状态，投资者不会提前执行，期权的价值为0。
金融衍生工具
4
红利支付
➢ 对于支付红利的股票，美式买权可以视为一系列欧式买权的复合。在任意两 个除权日之间，美式买权都不会被提前执行（理由同上）。在除权日前的瞬 间，投资者将判断是否执行该期权。若执行美式买权，则该期权的存续期中 止；若不执行，则可能的执行时点将是下一个除权日前的瞬间；这样不断往 下，直到期权在最后到期日被执行（等同于欧式期权）。
金融衍生工具
20
➢ 对以于给u 不出 d支一1 付种红可利行的的股参票数，估当计方案的：高t 阶小量可忽略时,使用限制条件
期权平价理论
期权平价理论⼀、买卖权平价关系买卖权平价关系是指具有相同的到期⽇与执⾏价格的⾦融⼯具，其卖权与买权价格间所必然存在的基本关系。
如果两者不相同，则存在套利的空间。
买卖权平价关系可应⽤于欧式期权，即不能提前、只能在到期⽇履⾏。
⼆、欧式期权的平价关系欧式期权平价关系是指在完备的⽆套利⾦融市场条件下，没有红利⽀付且其他条件相同时欧式看涨期权和看跌期权之间存在的确定性关系。
假设某股票现在价格为S0，以该股票作为标的资产的看涨期权（Call）和看跌期权（Put）都是在T时刻到期，执⾏价格都是K。
设看涨期权当期理论价格为C，看跌期权当前理论价格为P，该股票在T时刻价格为S T。
1年期⽆风险利率为r。
考虑下⾯两个组合。
组合A：⼀份欧式看涨期权（Call）加上在T时刻的⼀笔价值为K的现⾦资产。
组合B：⼀份该欧式看跌期权（Put）加上⼀只股票。
在T时刻，组合A的价值：若在T时刻股票价格S T≥K,则在T时刻组合A 的价值为看涨期权的价值S T－K加上现⾦资产K,即S T －K +K=S T；若在T时刻股票价格S T＜K,则在T时刻组合A的价值为看涨期权的价值0 加上现⾦资产K，即0+K=K。
在T时刻，组合B的价值：若在T时刻股票价格S T≥K,则在T时刻组合B 的价值为看跌期权的价值0 加上股票价值S T，即0+ST= S T。
若在T时刻股票价格S T＜K,则在T时刻组合B的价值为看跌期权的价值K-S T加上股票价值S T，即K-S T+S T=K。
综上所述，可知⽆论该股票价格在T时刻是多少，组合A和组合B在到期时的价值总是相同的，该值为S T和K中的较⼤值，即max（S T，K）。
由此可知组合A和组合B在当前时刻的理论价格也应相同，否则将产⽣⽆风险套利的机会。
T时刻价值为K的现⾦复利贴现回当前的价值为Ke-rT。
因此，组合A 的当前理论价格C+Ke-rT等价于组合B的当前理论价格P+S0，即C+Ke-rT= P+S0上式即为欧式期权的平价关系，该公式说明了具有同样执⾏价格和到期⽇的欧式看涨期权和看跌期权当前理论价格之间的关系。
第九章 期权估价-美式期权估价
2015年注册会计师资格考试内部资料财务成本管理第九章 期权估价知识点：美式期权估价● 详细描述：（1）美式期权在到期前的任意时间都可以执行，除享有欧式期权的全部权力之外，还有提前执行的优势。
因此，美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值，在某种情况下比欧式期权的价值更大。
（2）对于不派发股利的美式看涨期权，可以直接使用布莱克－斯科尔斯模型进行估价。
（3）对于派发股利的美式看跌期权,按道理不能用布莱克－斯科尔斯模型进行估价。
不过，通常情况下使用布莱克－斯科尔斯模型对美式看跌期权估价，误差并不大，仍然具有参考价值。
【总结】对于不派发股利的看涨期权，均可以使用BS模型估价。
例题：1.下列关于美式看涨期权的表述中，正确的是（）。
A.美式看涨期权只能在到期日执行B.无风险利率越高，美式看涨期权价值越低C.美式看涨期权的价值通常小于相应欧式看涨期权的价值D.对于不派发股利的美式看涨期权，可以直接使用布莱克-斯科尔斯模型进行估价正确答案：D解析：美式期权可以在到期H或到期日之前的任何时间执行，选项A错误；无风险利率越高，看涨期权价值越高，看跌期权价值越低，选项B错误；美式期权的价值应当至少等于相应欧式期权的价值，在某种情况下比欧式期权的价值更大。
选项C错误。
2.对于欧式期权，下列说法不正确的是（）。
A.股票价格上升，看涨期权的价值增加B.执行价格越大，看跌期权价值越大C.股价波动率增加，看涨期权的价值增加，看跌期权的价值减少D.期权有效期内预计发放的红利越多，看跌期权价值增加正确答案：C解析：无论是看涨期权还是看跌期权，股价波动率增加，都会使期权的价值增加。
3.下列关于企业筹资管理的表述中，正确的有()。
A.在其他条件相同的情况下，企业发行包含美式期权的可转债的资本成本要高于包含欧式期权的可转债的资本成本B.由于经营租赁的承租人不能将租赁资产列入资产负债表，因此资本结构决策不需要考虑经营性租赁的影响C.由于普通债券的特点是依约按时还本付息，因此评级机构下调债券的信用等级，并不会影响该债券的资本成本D.由于债券的信用评级是对企业发行债券的评级，因此信用等级高的企业也可能发行低信用等级的债券正确答案：A,D解析：由于美式期权的价值通常高于欧式期权的价值，投资人的收益高，所以发行包含美式期权的可转债的资本成本要高于包含欧式期权的可转债的资本成本，选项A正确；财务分析人员把长期租赁都视为负债，不管它是否列入资产负债表，选项B错误；信用等级下调说明该债券的风险大，投资人要求的额外风险补偿高，债务的资本成本会提高，选项C错误。
第八讲 期权价格关系
第8讲 期权价格关系● 期权Option （欧式；美式） ● 买权（call ）；卖权（put ） 8.1 期权价格的合理界限命题 8.1：任何情况下期权的价值都是非负的：0,0,0,0C c P p 吵吵有限责任性质命题 8.2：在到期日T ，美式期权与欧式期权的价值相同，并且，(,,)(,,)max{,0}T T T C S X T c S X T S X ==- (,,)(,,)max{,0}T T T P S X T p S X T X S ==-命题 8.3：对于美式期权，(,,)t t c S X T S X ? (,,)t t p S X T X S ?命题 8.4：如果21T T >，则21(,,)(,,)t t c S X T c S X T ³ 21(,,)(,,)t t p S X T p S X T ³命题 8.5：美式期权的价值高于具有同一标的资产和到期日的欧式期权的价值，亦即(,,)(,,)t t c S X T C S X T ³ (,,)(,,t t p S X T P S X T ³命题 8.6：其他条件相同时，履约价越高，买权价值越低，卖权价值越高。
命题 8.7：任何一份买权的价值都不可能高于标的资产的当前价格：(,,)t t C S X T S £，(,,)t t c S X T S £命题 8.8：一份履约价格为零的永续美式买权与其标的股票等价：(,0,)t t c S S ?命题 8.9：标的资产的价格为零时买权的价值也是零：(0,,)(0,,)0C X T c X T ==命题 8.10：若在到期日之前标的资产不发放股利，欧式买权的价格不会低于股价减履约价的现值。
在连续折现的情况下，记无风险利率为r ，这就是：()(,,)r T t t tC S X T S Xe --?【证明1】在时刻t 考虑这样一个投资组合：卖空一股标的股票，买进一份买权，再在无风险资产市场贷出()r T t X e --元现金。
美式期权CP
美式期权看涨-看跌平价关系的证明美式看涨期权不会提前执行，因此其价值等于欧式看涨期权价值。
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为X的现金组合B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产如果美式期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为max(ST,X)（如果股票价格高于X，则不执行，价值为ST；如果股票市场价格低于X，则执行，组合B的价值为X）。
同理，组合A的价值为max(ST,X)+ Xe r(T-t)-X（执行看涨期权的收益max(ST,X)-X，以及原有的X的本息和）。
由于max(ST,X)-X≥0，组合A的价值也大于组合B。
如果美式期权在T-t’时刻（t’>t）提前执行，则在t’时刻，组合B的价值为X，而此时组合A的价值大于等于(max(ST,X)+Xe r(T-t)-X)e-r(T-t’)，由于max(ST,X)-X≥0，(max(ST,X)+ Xe r(T-t)-X)e-r(T-t’)≥Xe r(t’-t),由于t’>t，故Xe r(t’-t)>X。
因此组合A的价值也大于组合B。
这就是说，无论美式组合是否提前执行，组合A的价值都高于组合B，因此在t时刻，组合A的价值也应高于组合B，即：c+X>P+S由于c=C，因此，C+X>P+S结合式欧式看涨-看跌平价关系（c+Xe-r(T-t)=p+S），由于美式看涨期权期权费(C)等于欧式看涨期权的期权费(c),即c=C，而美式看跌期权期权费（P）高于欧式看跌期权(p)（美式看跌期权可能提前执行），即P>p，我们可得：c+Xe-r(T-t)<p+S。
根据以上分析，可以得到美式期权的看涨看跌平价关系：S-X<C-P<S-Xe-r(T-t)由于美式期权可能提前执行，因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系，但我们可以得出结论：无收益美式期权必须符合以上的不等式。
【证明】美式期权平价关系
【知识点】美式看涨和看跌期权价格的平价关系（是个不等式）为【证明】：令c，p代表欧式看涨、看跌期权价格；C，P代表美式看涨看跌期权价格（I）考虑两个组合：组合A：一份美式看涨期权加上数额为X的现金；组合B：一份美式看跌期权加上一份股票。
美式看涨期权不可能被提前执行，设在时刻看跌期权可能被提前执行，两个组合在不同时刻的价值分别为：提前执行不提前执行可见，如果提前执行，则；若不提前执行，，即组合A的价值总是大于组合B的价值。
所以：总是大于，即或（1）（II）利用欧式看涨和看跌期权的平价关系：（2）推得：（3）美式期权可以提前执行，而欧式期权不可以提前执行，因此美式期权的价值应大于欧式期权的价值：。
对于不付红利的股票，。
将其带入（3）式可得：即（4）综合（I）、（II）的结果可得美式看涨和看跌期权价格的平价关系（是个不等式）为：问题解答：在实际中我们一般假定股价遵循连续变量连续时间的随机过程，我们一般认为：时间段的平均收益率遵循服从均值为，方差为的正态分布：故要在97.5%的置信水平下要实现非负的收益率需：解之得：12年要在97.5%的置信水平下实现6%的无风险收益率需：解之得: 70年备注： A,B，C,D证券彼此既非完全正相关也非完全负相关，各自的收益率也不正好相同，具有普遍性。
①两种证券的投资组合的可行域（不可卖空情况下）两种证券的投资组合的可行域（可卖空情况下）②若存在一个证券M，在u-σ坐标系中正好出于A,B证券组合的可行域上，这三个证券（A,B,M）的的投资组合可行域仍与A,B证券的可行域完全一样。
（可卖空和不可卖空的情形下均是）。
因为证券M在A,B证券组合的可行域上，即可以将证券M看作是A,B证券的一个组合，那么A,B,M证券的组合与A,B证券的组合一样，只是各自的权数发生了变化，可行域是各种可能的权数的组合的表现，银次可行域自然不会发生变化。
A,B,M三种证券组合的可行域（其中M证券在A,B两证券的可行域上）不可卖空A,B,M三种证券组合的可行域（其中M证券在A,B两证券的可行域上）可卖空③四种证券的投资组合的可行域（不可卖空情况下）两种证券的投资组合的可行域（可卖空情况下）组合可行域――当由多种证券（不少于3个证券）构造证券组合时，组合可行域是所有合法证券组合构成的u-σ坐标系中的一个区域。
美式期权定价
美式期权定价由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。
由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。
但是，如果标的股票在期权到期日以前支付红利，则提前执行美式看涨期权可能是最优的。
提前执行可以获得股票支付的红利，而红利的收入超过利息损失。
事实上，我们将证明，投资者总是在股票分红前执行美式看涨期权。
对于美式看跌期权而言，问题变的更复杂。
看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待的价值，所以对于美式看跌期权而言，即使标的股票不支付红利，也可能提前执行。
提前执行可以获得执行价格的利息收入。
许多金融证券都暗含着美式期权的特性，例如可回购债券（called bond ），可转换债券（convertible bond ），假设：1．市场无摩擦2．无违约风险3．竞争的市场4．无套利机会1．带息价格和除息价格每股股票在时间支付红利元。
当股票支付红利后，我们假设股价将下降，下降的规模为红利的大小。
可以证明，当市场无套利且在资本收益和红利收入之间没有税收差别时，这个假设是成立的。
()()t e c d t S t S +=这里()t S c 表示股票在时间的带息价格，()t S e表示股票在时间的除息价格。
这个假设的证明是非常直接的。
如果上述关系不成立，即()()t e c d t S t S +≠，则存在套利机会。
首先，如果()()t e c d t S t S +>，则以带息价格卖出股票，在股票分红后马上以除息价格买回股票。
因为我们卖空股票，所以红利由卖空者支付，从而这个策略的利润为()()()t e c d t S t S +-。
因为红利是确定知道的，所以只要()()()t S t S e c -var =0，则利润是没有风险的。
其次，如果()()t e c d t S t S +<，则以带息价格买入股票，获得红利后以除息价格卖出，获得利润为()()t S d t S c t e -+。
《2024年关于美式期权定价问题的研究》范文
《关于美式期权定价问题的研究》篇一一、引言美式期权（American Option）是一种允许持有者在任何时间点以预定价格购买或出售标的资产的金融衍生工具。
与之相对的欧式期权则只能允许在到期日执行交易。
因此，美式期权的价格更为复杂且富有动态性。
本篇研究论文将重点讨论美式期权的定价问题，涉及各种相关理论和实际解决方案的探索，包括主要的定价模型和方法等。
二、美式期权定价的主要挑战在理解和分析美式期权定价的问题之前，我们必须首先理解它的复杂性及其主要的挑战。
主要的挑战主要来源于以下几个方：1. 动态性：美式期权的价格随时间变化，并且受到标的资产价格变动的影响。
因此，定价模型需要能够捕捉到这种动态性。
2. 早期执行权：与欧式期权不同，美式期权的持有者可以在到期日之前的任何时间点执行期权。
这增加了定价的复杂性，因为需要考虑到各种可能的执行情景。
3. 缺乏封闭解：与某些简单的金融问题相比，美式期权的定价问题没有封闭解，通常需要使用数值方法进行求解。
三、主要定价模型为了解决美式期权的定价问题，学者们已经提出了许多定价模型。
其中最著名的有二叉树模型、蒙特卡洛模拟以及Black-Scholes模型等。
1. Black-Scholes模型：这是一种常用的期权定价模型，基于一些假设条件（如标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率为常数等），采用偏微分方程进行求解。
尽管它最初是为欧式期权设计的，但在一定的条件下，也可用于近似的估计美式期权的价值。
2. 二叉树模型：这个模型将期权的生存期分为若干个很短的时段（二叉树上的各个分支），假设标的资产在每个时段只有上涨或下跌两种可能的价格变化情况，以此计算出各个时间点上期权的价值。
尽管此模型在某些情况下并不准确，但它为我们提供了一个分析期权价值和其影响因子的基本框架。
3. 蒙特卡洛模拟：这种方法利用计算机随机抽样生成标的资产价格的路径，然后根据这些路径模拟出期权的收益和风险，从而得出期权的价值。
美式期权定价自由边界问题及数值方法
摘要期权定价理论是目前金融工程、金融数学所研究的前沿和热点问题。
针对不存在定价公式的一类美式期权，本文研究其定价中的自由边界问题，并结合自由边界提出了更快速的精确度更高的数值方法。
本文绪论部分对金融衍生工具及其定价理论作了概括性的回顾。
第二部分详细地阐述了衍生证券价格所服从的Black—Scholes偏微分方程的建立过程，并利用傅立叶变换详细推导了欧式期权的Black—Scholes定价公式。
文章第三部分结合自由边界，改进了原有的为美式看跌期权定价的有限元方法：首先通过变量变换就原问题化简并转化为等价的变分不等式方程，然后建立半离散和全离散有限元逼近格式，且着重论证了有限元解的稳定性以及在L2和H1模意义下的误差估计。
最后用数值算例验证了该方法的有效性。
文章第四部分本文又针对满足Black-Scholes方程的美式期权定价问题，提出了一种快速的数值方法：在定义域的趋于无限那一端，找到一个准确的人工边界条件，将计算区域变小。
然后再将人工边界与确定自由边界位置数值方法相结合，并用有限差分方法求解所导出的问题。
对一些付红利的美式看涨期权给出了数值算例，证明新的处理办法非常有效，而且精度也比标准的有限差分方法高。
关键词：B-S模型，美式期权，自由边界，有限元法，人工边界，有限差分方法ABSTRACTThe option pricing and volatility estimate is financial project,financial mathematics problem of leading edge as well as a hot one at present.For a kind of American options which didn’t have pricing formula,the article studies the free boundary problem of its bining with the free boundary,the article gives faster and more exact numerical method for pricing of American options.The part of this text introduction has done the reviewing of generality to the financial derivative and pricing theory.At the second chapter,the article expatiates the instauration of the Black-Scholes Differential Equation in detail.Then the article deduces the Black-Scholes pricing formula of European options by Fourier transform.At the third chapter of the article,combining with the free boundary,finite element method used for American put options pricing is improved.First,the option pricing problem is transformed to variational inequality equations by variable substitution,then both semi discrete and fully discretized finite element approximation schemes are established.It is proved that the numerical methods are stable and convergent under and norms.Numerical example shows the convergence and efficiency of the algorithm.A fast numerical method for computing American option pricing problems governed by the Black–Scholes equation is presented in the fourth chapter.An accurate artificial boundary condition on the far boundary is found.It makes the computational domain smaller.Then this boundary condition is discretized and combined with a simple numerical method to determine the location of the free boundary.The finite difference method is used to solve the resulting putational results of some American call option problems show that the new treatment is very efficient and gives better accuracy than the normal finite difference method.Keyword：B-S model，American option，free boundary，the finite difference method, artificial boundary，the finite element method1绪论金融衍生品（derivative security，也称为衍生品、衍生证券、衍生工具）是一种新型的金融工具，近些年来在国际金融市场中发挥了越来越大的作用，其价格或投资回报最终取决于另一种资产，即所谓的标的资产的价格。
美式期权价格公式
美式期权价格公式美式期权是一种可以在到期日前任意时间行使的期权合约，与欧式期权相比，具有更高的灵活性。
因此，为了计算美式期权的价格，我们需要使用不同的公式。
美式期权的价格可以通过两种方法进行计算：理论定价方法和模拟方法。
下面我们将介绍具体的美式期权定价公式，包括Black-Scholes期权定价模型、树模型（二叉树和三叉树）和蒙特卡洛模拟方法。
1. Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是最常见的对欧式期权进行定价的模型。
然而，对于美式期权，Black-Scholes模型并不适用。
美式期权的特点是可以在到期日前任意时间行使，因此在到期前，股价可能会有剧烈波动。
这种情况下，使用Black-Scholes模型来计算美式期权的价格会导致低估。
2.树模型（二叉树和三叉树）树模型是一种常用的计算美式期权价格的方法。
树模型基于假设股价会按照指数过程增长，并根据风险中性概率构建一个期权价格的二叉或三叉树。
对于二叉树模型，可以根据不同的参数（股价、期权价格、无风险利率等）构建一棵二叉树，并通过回溯计算每个节点的期权价格。
通过比较每个节点的预期回报和早期执行的收益，可以决定何时行使期权。
类似地，三叉树模型也是一种计算美式期权价格的有效方法。
三叉树模型在二叉树模型的基础上增加了一个附加节点，使得股价有三种可能的变动。
这样可以更准确地估计股价的变动范围，提高美式期权价格的准确性。
3.蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的计算美式期权价格的方法。
该方法通过生成大量的随机路径，以确定期权价格的期望值。
在蒙特卡洛模拟中，我们首先需要设定一个股价的路径模型，如几何布朗运动模型。
然后，通过生成多条随机路径，计算每条路径对应的期权价格，并取平均值作为期权价格的估计值。
蒙特卡洛模拟方法的优点在于可以处理复杂的期权合约和多种因素的影响，但由于需要生成大量路径进行模拟，计算速度可能较慢。
美式期权的定价原理与算法
美式期权的定价原理与算法期权分为欧式期权和美式期权，其中美式期权由于可以在在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利，所以计算时就比欧式期权更加困难。
对于FRM考生和金融专业同学来说，平时接触欧式期权比较多，今天可以尝试来了解一下美式期权的定价原理和算法。
今天推荐Jiang的这篇文章，希望大家有所收获。
作者：Jiang来源：Jiang的金融窝(QuantJiang）今天的文章会比较technical，需要有一定的数学功底。
但没办法，美式期权算是流动性高的期权中最难的一种。
如果对原理篇没有明白，其实也不会很影响实际操作，有兴趣但又不能搞懂原理的朋友可以直接跳到算法部分。
1.寒暄篇美式期权和传统欧式不同的地方在于，美式期权的持权人可以在到期日之前的任意时间行权。
由于这种兴行权的灵活性，美式期权的价格总是大于或等于相对应欧式期权的价格的。
在现实里，很多个股的期权都是美式，因此美式期权实际上拥有很大的市场。
很多人可能会认为，既然美式期权这么灵活，那么持权人只要在可以获得收益的时候行权不就可以了吗？这有点类似barrier嘛。
那可就大错特错了。
因为你如果是持权人，即使你的行权可以给你带来收益，你其实还可以选择不行权，而是把期权卖出去。
你要对这两种方式的收益进行比较，如果行权带来的收益大，则行权，若卖出收益大，则卖出。
因为某个时刻期权的价格其实就是在那个时刻期权本身的continuation value，我们在美式期权可以行权时，实际上就是在比较美式期权的continuation value（H_t）与strike value（E_t）。
2.原理篇实际上，美式期权的定价公式由下式表示其中N用来表达一个测度。
之所以这里不用利率的discount factor是为了保证它更加general。
在实践中，我们往往需要用一个百慕大期权（只有在某些特定日期可以行权）去逼近一个美式期权，我们不妨就假设它只能在下述日期行权因此，结合着最开始的式子，我们现在的美式期权价格就应该满足这个Bellman equation（dynamic programming principle）其实也就是一个Backward Induction Algorithm（逆向递推算法）。
期权平价关系的名词解释
期权平价关系的名词解释在金融市场上，期权是一种金融衍生产品，其允许投资者在未来的特定时间内，以预先约定的价格购买或卖出基础资产（如股票、商品等）。
期权交易的核心在于预测基础资产的价格变动趋势，而期权平价关系则是指在特定条件下，看涨期权和看跌期权的市场价格之间存在一种有规律的关系。
首先，让我们来解释一下看涨期权和看跌期权的含义。
看涨期权是指投资者购买合约，如果基础资产在期权到期时价格高于预定的行权价格，投资者可以按照合约规定的价格购买基础资产，在此情况下，投资者将获得利润。
而看跌期权则相反，投资者购买的合约允许他们在期权到期时，以预定的价格出售基础资产。
如果基础资产的价格低于行权价格，投资者将获得利润。
期权平价关系的理论基础可由两个主要原则来解释：无套利和随机漫步。
无套利原则指出在市场中不存在无风险收益的机会。
如果两种期权在特定条件下的市场价格差异显著，将会引起套利机会的出现，这将导致市场价格的调整，最终使两种期权的价格达到平衡。
而随机漫步则是指资产价格的变动是一种随机的、不可预测的过程，它不受任何趋势或模式的影响。
期权平价关系中最著名的一种表达方式是布莱克-斯科尔斯-墨顿模型，该模型提供了一种衡量看涨和看跌期权价格之间关系的公式。
根据这个模型，期权的价格是基于多种因素来决定的，包括期权的价格波动率、基础资产价格、行权价格、无风险利率和期权合约的到期时间。
布莱克-斯科尔斯-墨顿模型的发展使得投资者更容易理解和估计期权的价格，进而进行更稳健的投资决策。
当市场上的看涨期权和看跌期权的价格符合期权平价关系时，投资者可以用一种策略来获得投资组合的保护或收益增长。
这种策略被称为期权套利，其中投资者同时买入看涨期权和看跌期权，并调整其仓位以保证投资组合收益相对稳定。
当市场价格变动时，套利策略可以帮助投资者通过利润回归到期权平价关系来获得额外收益。
需要注意的是，期权平价关系并不是绝对的。
市场情况的变动可能会导致期权的价格与期权平价关系发生偏离，这为一些投资者提供了利用价格差异进行套利交易的机会。
美式期权有限差分定价方法综述
美式期权有限差分定价方法综述摘要：本文针对不支付红利的美式看跌期权定价，介绍了基于B-S模型的美式期权的定价问题，基础阐述显隐式及高精度的高阶有限差分方法，对美式期权定价B-S模型的发展进行了综述，最后，总结了各种方法的特点和效果。
关键词：综述；美式期权定价；B-S模型；有限差分方法一、引言期权是最基本的金融衍生工具之一，以付出一定费用为代价获得的一种权力，这种权力赋予期权持有人在将来的某一时刻按照规定的价格买卖合约指定的基础资产。
期权已成为最具活力的金融衍生产品，得到迅速发展和广泛利用。
其中，美式看跌期权是在期权交易期限内的任何一个时点上，持有者都有按约定价格卖出的权利。
实际应用中，美式期权定价问题应用更为广泛，然而，不同于欧式期权定价问题有精确的解析式，美式期权定价问题不存在解析解，它的有关理论和数值方法研究一直是不同学者的花费大量精力钻研的领域。
布莱克和斯科尔斯[1]给出不支付红利下的欧式期权的定价公式重要论文，同年，莫顿[2]可以用来对支付已知红利的期权进行定价，奠定了期权定价理论基础。
后来，各类学者在B-S模型基础上做出了大量的理论研究与数值方法探讨。
本文主要针对不支付红利的美式看跌期权定价问题，进行各种有限差分方法的综述，首先，介绍了基于B-S模型的美式期权的定价模型，然后，基础阐述显式、更高精度的高阶有限差分方法，最后，对各种方法的特点和效果进行评价。
二、美式期权定价问题的模型Black-Scholes期权定价模型布莱克和斯科尔斯推导出不支付红利下欧式期权价格满足著名的B-S方程，进而得到欧式期权的解析式，基本假设有：利用mathmatic可以得到一个三对角矩阵线性方程组，从而迭代得到最后的期权价值，这里的边界条件和初始条件均不变。
五、结论对于美式看跌期权的定价，各种文献的数值仿真过程与结果证明：在最基础的B-S模型上，流行的有限差分直接方法简单易操作，显式差分方法最易，但与隐式差分格式相比稳定性较弱，CN介于显隐式之间比二者效果好，对计算机性能要求低，这些方法都有一个共同的弱点，在时间和空间上的点数过少，最多只能达到二阶精度，最优执行边界不够平滑。
《2024年关于美式期权定价问题的研究》范文
《关于美式期权定价问题的研究》篇一一、引言美式期权是一种允许持有者在任何时间以特定价格买入或卖出标的资产的金融衍生品。
与欧式期权相比，美式期权给予了持有者更大的灵活性，但也使得定价问题变得更为复杂。
美式期权定价问题一直是金融学、数学和经济学领域的重要研究课题。
本文旨在深入探讨美式期权定价问题的相关研究，分析现有模型、方法及挑战，以期为未来的研究提供参考。
二、美式期权定价的背景与意义美式期权定价问题的研究对于金融市场、投资者和金融机构具有重要意义。
首先，美式期权为投资者提供了更大的灵活性，使其能够在市场变动时做出更合理的决策。
其次，准确的定价有助于投资者进行风险管理，确保投资收益的稳定性。
此外，美式期权定价问题的研究也有助于完善金融市场理论，推动金融产品的创新与发展。
三、美式期权定价的现有模型与方法目前，美式期权定价问题的研究主要基于以下几种模型：1. 二叉树模型：通过模拟标的资产价格的可能变动路径来计算期权价格。
该方法简单易懂，但计算量较大。
2. 偏微分方程方法：利用偏微分方程描述期权价格与相关因素的关系，通过求解方程得到期权价格。
该方法较为复杂，但可以处理多种因素影响下的期权定价问题。
3. 蒙特卡洛模拟方法：通过模拟大量标的资产价格的随机路径来计算期权价格。
该方法灵活且适用于复杂情境，但计算量较大。
四、美式期权定价问题的挑战与困难尽管已有多种模型和方法用于美式期权定价，但仍存在以下挑战和困难：1. 模型假设与现实市场的差异：现有模型往往基于一定的假设，如标的资产价格的波动性、无风险利率等。
然而，现实市场的这些因素往往具有不确定性，导致模型的实际应用效果受限。
2. 计算复杂度：美式期权的定价问题涉及多个因素和复杂的计算过程，使得计算复杂度较高。
尤其是在处理大量数据和多种因素影响时，计算量巨大，需要高性能的计算设备和算法。
3. 交易者的行为和心理因素：美式期权的定价不仅取决于标的资产的价格和波动性等客观因素，还受到交易者的行为和心理因素的影响。
《2024年关于美式期权定价问题的研究》范文
《关于美式期权定价问题的研究》篇一一、引言美式期权是一种给予期权持有者在期权有效期内任意时刻选择执行权利的金融衍生品。
相较于欧式期权只能在到期日执行，美式期权提供了更大的灵活性，但也因此增加了定价的复杂性。
美式期权定价问题一直是金融学、数学及经济学领域的热点研究问题。
本文将围绕美式期权定价问题进行深入的研究与探讨。
二、美式期权定价的基本理论美式期权定价主要基于无套利原则和风险中性原则。
在完全市场假设下，通过构建适当的投资组合来消除风险，进而推导出期权的理论价格。
然而，由于美式期权的复杂性，其定价通常需要借助数值方法或启发式算法。
三、美式期权定价的主要方法1. 二叉树模型：二叉树模型是一种常用的美式期权定价方法，通过构建一系列的二叉树来模拟期权的收益。
该方法简单易行，但可能无法准确反映期权的实际价值。
2. 有限差分法：有限差分法是一种通过离散化偏微分方程来求解期权价值的方法。
该方法可以处理复杂的期权合约，但在处理高维问题时计算量较大。
3. 动态规划法：动态规划法通过将美式期权定价问题转化为一系列子问题的最优解问题来求解。
该方法能够处理多维问题，但在高维度情况下可能存在计算困难。
四、美式期权定价问题的研究现状与挑战目前，美式期权定价问题的研究已经取得了显著的进展，但仍存在诸多挑战。
首先，市场的不完全性和不确定性使得期权的实际价值难以准确估计。
其次，随着期权的复杂性和维度的增加，传统的数值方法可能无法满足实时定价的需求。
此外，现有的定价方法往往忽略了交易成本、税收等因素的影响，这也给美式期权定价带来了挑战。
五、未来研究方向与展望针对美式期权定价问题，未来的研究可以从以下几个方面展开：1. 结合机器学习和深度学习等人工智能技术，开发更为先进的定价模型和方法，以提高定价的准确性和实时性。
2. 研究考虑交易成本、税收等因素的期权定价问题，以更全面地反映期权的实际价值。
3. 探索将美式期权与其他金融衍生品相结合的定价策略，以实现更为复杂的投资组合优化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【知识点】美式看涨和看跌期权价格的平价关系（是个不等式）为
()r T t S X C P S Xe ---<-<-
【证明】：令c ，p 代表欧式看涨、看跌期权价格；C ，P 代表美式看涨看跌期权价格
（I ）考虑两个组合：
组合A ：一份美式看涨期权加上数额为X 的现金；
组合B ：一份美式看跌期权加上一份股票。
美式看涨期权不可能被提前执行，设在()t T ττ<<时刻看跌期权可能被提前执行，两个组合在不同时刻的价值分别为：
t τ T
A V C X + ()r t C Xe ττ-+ ()max(,0)r T t T S X Xe --+ 提前执行
B V P S + X
不提前执行B V P S + max(,0)T T X S S -+
可见，如果提前执行，则()()A B V V ττ>；若不提前执行，()()A B V T V T >，即组合A 的价值总是大于组合B 的价值。
所以：()A V T 总是大于 ()B V T ，即
C X P S +>+
或 S X C P -<- （1）
（II ）
利用欧式看涨和看跌期权的平价关系：
()r T t c Xe p S --+=+ （2）
推得：()r T t p c Xe S --=+- （3） 美式期权可以提前执行，而欧式期权不可以提前执行，因此美式期权的价值应大于欧式期权的价值：,C c P p ≥≥。
对于不付红利的股票，,C c P p =>。
将其带入（3）式可得：()r T t P C Xe
S -->+- 即 ()r T t C P S Xe ---<- （4）
综合（I ）、（II ）的结果可得美式看涨和看跌期权价格的平价关系（是个不等式）为：
()r T t S X C P S Xe ---<-<-
问 题
解答：
在实际中我们一般假定股价遵循连续变量连续时间的随机过程，我们一般认为：
dS udt dz S
σ=+ dt 时间段的平均收益率遵循服从均值为 ，方差为 的正态分布： 故要在97.5%的置信水平下要实现非负的收益率需：
解之得：12年
要在97.5%的置信水平下实现6%的无风险收益率需：
解之得: 70年
备注： A,B ，C,D 证券彼此既非完全正相关也非完全负相关，各自的收益率也不正好相同，具有普遍性。
①
u
2/T
σ1.96≤
-1.96≤-
两种证券的投资组合的可行域（不可卖空情况下）两种证券的投资组合的可行域（可卖空情况下）
②
若存在一个证券M ，在u-σ坐标系中正好出于A,B 证券组合的可行域上，这三个证券（A,B,M ）的的投资组合可行域仍与A,B 证券的可行域完全一样。
（可卖空和不可卖空的情形下均是）。
因为证券M 在A,B 证券组合的可行域上，
即可
u σ
u σ
以将证券M 看作是A,B 证券的一个组合，那么A,B,M 证券的组合与A,B 证券的组合一样，只是各自的权数发生了变化，可行域是各种可能的权数的组合的表现，银次可行域自然不会发生变化。
A,B,M 三种证券组合的可行域（其中M 证券在A,B 两证券的可行域上）
不可卖空
A,B,M 三种证券组合的可行域（其中M 证券在A,B 两证券的可行域上） 可卖空
③
u σ
u σ
四种证券的投资组合的可行域（不可卖空情况下）
两种证券的投资组合的可行域（可卖空情况下）
组合可行域――当由多种证券（不少于3个证券）构造证券组合时，组合可行域是所有合法证券组合构成的u-σ坐标系中的一个区域。
不允许卖空情况下，多种证券所能得到的所有合法组合将落入并填满坐标系中每两种证券的组合线围成的区域；允许卖空情况下，多种证券组合的可行域不再是有限区域，而是包含该有限区域的一个无限区域。
可行域满足一个共同的特点：左边界必然向外凸或呈线性。