等差数列(通项+求和+性质)

等差数列复习

1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

例1．根据数列前4项，写出它的通项公式：

（1）1，3，5，7……；

（2）2212-，2313-，2414-，2515

-； （3）11*2-，12*3，13*4-，14*5。 解析：（1）n a =21n -； （2）n a = 2(1)11n n +-+； （3）n a = (1)(1)

n

n n -+。 点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。

如（1）已知*2()156n n a n N n =

∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ；

（2）数列}{n a 的通项为1

+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___；

（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围；

2、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

例2．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ）

A.等比数列，但不是等差数列

B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列

D.既非等比数列又非等差数列 答案：B ；

解法一：a n =⎩⎨⎧≥-==⇒⎩⎨⎧≥-=-)2( 12)1( 1)

2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ）

又a n +1－a n =2为常数，1

2121-+=+n n a a n n ≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列.

解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式a n =S n －S n －1的推理能力.但不要忽略a 1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。

练一练：设{}n a 是等差数列，求证：以b n =

n

a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n

b 为等差数列。

3、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

4、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2

n n n S na d -=+。 例3：等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值是一个确定的常数，则数列{a n }中也为常数的项是( )

A ．S 7

B ．S 8

C ．S 13

D ．S 15

解析：设a 2＋a 4＋a 15＝p (常数)，

∴3a 1＋18d ＝p ，解a 7＝13

p . ∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13a 7＝133

p . 答案：C

例4．等差数列{a n }中，已知a 1＝13

，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为( ) A ．48 B ．49 C ．50 D ．51

解析：∵a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝4，则由a 1＝13得d ＝23，令a n ＝33＝13＋(n －1)×23

，可解得n ＝50.故选C.

答案：C

如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = ；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；

例5：设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.

解析：S 9＝9a 5＝－9，

∴a 5＝－1，S 16＝8(a 5＋a 12)＝－72.

答案：－72

例6：已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10

<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( )

A ．11

B ．19

C ．20

D ．21

解析：∵a 11a 10

<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，

∴S 19＝19(a 1＋a 19)2

＝19·a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2

＝10(a 10＋a 11)<0. 所以使得S n >0的n 的最大值为19，故选B.

答案：B

如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+

≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝ ；

（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .

5、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b A +=。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）

6.等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222

n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

（4）若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、

*{}(,)p nq a p q N +∈、

232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.

练一练：等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。

（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，

S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S S k k =+。

练一练：项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.