韦达定理教案

韦达定理

如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a

⋅= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；

(2)求与方程的根有关的代数式的值；

(3)已知两根求作方程；

(4)已知两数的和与积，求这两个数；

(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；

（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.

注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅ （2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅；

12x x -=（3）①方程有两正根，则1212

000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；

②方程有两负根，则1212

000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；

③方程有一正一负两根，则12

00x x ∆>⎧⎨⋅<⎩； ④方程一根大于1，另一根小于1，则12

0(1)(1)0x x ∆>⎧⎨--<⎩ （4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。

根系关系的三大用处

（1）计算对称式的值

例1 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1) 2212x x +；

(2)

1211x x +；

(3) 12(5)(5)x x --；

(4) 12||x x -．

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

222121212()2x x x x x x +=+-，121212

11x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，

12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，

33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．

（2）构造新方程

理论：以两个数12,x x 为根的一元二次方程是21212()0x x x x x x -++=。

例2 ：方程 x+y=5和 xy=6有共同的解，求x 、y 的值

（3）定性判断字母系数的取值范围

例3 一个三角形的两边长是方程

的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。

【典型例题】

例4 已知关于x 的方程221(1)104

x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．

分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．

说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．

例5 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．

(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2

x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．

(2) 求使1221

2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．

说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．

(2) 本题综合性较强，要学会对41

k +为整数的分析方法．

例6关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。

例71x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

（1）2221x x + （2）21x x - （3）22

22133x x x -+

例8已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。

例9已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(442

2=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

课堂练习

1、证明：方程0199719972=+-x x 无整数根。

2、已知关于x 的方程032=++a x x 的两个实数根的倒数和等于3，关于x 的方程023)1(2=-+-a x x k 有实根，且k 为正整数，求代数式

2

1--k k 的值。

3、已知关于x 的方程03)21(2

2=-+--a x a x ……①有两个不相等的实数根，且关于x 的方程01222=-+--a x x ……②没有实数根，问：a 取什么整数时，方程①有整数解？

4、已知关于x 的方程03)1(22

2=-++-m x m x

（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。