自动控制原理第四
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据
04
劳斯稳定性判据的优缺点
优点
简单易行
劳斯稳定性判据是一种直接的方法，用于确定系统的稳定 性。它不需要求解系统的极点，只需要检查劳斯表格的第 一列。
普遍适用性
劳斯稳定性判据适用于所有线性时不变系统，无论系统是 单输入单输出（SISO）还是多输入多输出（MIMO）。
数学基础
劳斯稳定性判据基于数学中的因式分解和不等式性质，具 有坚实的数学基础。
劳斯稳定性判据的局限性在于它只能判断系统 的稳定性，无法给出系统动态性能的评估和优 化。
对自动控制原理的展望
随着科技的发展，自动控制原理的应用领域不断扩大，涉及到工业、交通、医疗、 农业等多个领域。
未来，自动控制原理将与人工智能、机器学习等先进技术相结合，实现更加智能化、 自适应的控制方案。
自动控制原理的理论体系也将不断完善和发展，以适应不断变化的应用需求和技术 环境。
2
在航空航天领域，为了确保飞行器的安全和稳定， 需要利用劳斯稳定性判据对飞行控制系统进行稳 定性分析和设计。
3
在化工领域，为了确保生产过程的稳定和安全， 需要利用劳斯稳定性判据对工业控制系统进行稳 定性分析和设计。
02
劳斯稳定性判据的基本原理
线性系统的稳定性
线性系统
01
在自动控制原理中，线性系统是指系统的数学模型可以表示为
缺点
01
对初始条件的敏感性
劳斯稳定性判据对系统的初始条件非常敏感。即使系统在大部分时间内
是稳定的，如果初始条件设置不正确，可能会导致错误的稳定性判断。
02
数值稳定性问题
在计算劳斯表格时，可能会遇到数值稳定性的问题，例如数值溢出或数
值不精确。这可能会影响判据的准确性。
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
(自动控制原理)第四章根轨迹(06改)
i 1 n
A( )e
j ( )
1 Kg
满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件为：
由于Wk ( s )是复数，上式可写成：Wk ( s ) | Wk ( s ) A( )e j ( ) 1 | 或 A( )
| ( s z ) | li 1 | (s p j ) |
N z N p 1 2 ( 0,1,2,)
由此，满足幅值条件：
i j N z N p 180 (1 2 )
i 1 j 1
m
n
[例]： 已知系统开环零极点的分布如图示，判断z 2 和p2 之间的实轴是否存在根轨迹？
p4
p3
例题 4-1 已知开环系统的传递函数为：
K k (1s 1) Wk ( s) s(T1s 1)(T2 s 1)
求s=s0 时的放大系数K g 0。
解：改写传递函数为 K g ( s z1 ) K k 1 ( s 1 1 ) Wk ( s) T1T2 s( s 1 T1 )(s 1 T2 ) s( s p1 )(s p2 ) K k 1 K k p1 p2 Kg —— 根轨迹放大系数 T1T2 z1 K g z1 Kk —— 开环放大系数 p1 p2 可将系统的三个极点和一个有限零点画在复平面上如图：
1) 在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示开环有限 值零
点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“ ” 表
示根轨迹上的点。
2）在绘制根轨迹时，令S平面横轴和纵轴比例尺相同。
g 3）绘制根轨迹的依据是幅角条件。
k
4）利用幅值条件计算
的值。
自动控制原理第4章
第四章 根轨迹法教学时数：10学时 教学目的与要求：1. 正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。
2. 正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。
熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。
3. 正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统K 从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。
4. 正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。
能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。
5. 了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。
教学重点：根轨迹与根轨迹方程、绘制根轨迹的基本法则、广义根轨迹、系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系、系统阶跃响应的根轨迹分析。
教学难点：根轨迹基本法则及其应用。
闭环控制系统的稳定性和性能指标主要有闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的。
根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。
这给系统的分析与设计带来了极大的方便。
§4－1 根轨迹与根轨迹方程一、根轨迹定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K ）从零变到无穷时，闭环特征根在s 平面上移动的轨迹。
当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为180︒根轨迹。
例子 如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：()(0.51)K G s s s =+图4-1 二阶系统结构图开环传递函数有两个极点120,2p p ==-。
没有零点，开环增益为K 。
闭环传递函数为：2()2()()22C s K s R s s s K φ==++闭环特征方程为： 2()220D s s s K =++= 闭环特征根为：1211s s =-+=--从特征根的表达式中看出每个特征根都随K 的变化 而变化。
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
自动控制原理第四章
K
*
s p sz
j 1 i 1 m
n
i
j
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件。 当需要确定根轨迹上各点的值时，才使用模值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件， 仍实际上还是不能绘制出根轨迹。
• 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找 出根轨迹的一些基本规律。
§4.2 绘制根轨迹的基本规则
渐近线包括两个内容：
渐近线与实轴的夹角和渐近线与实轴的交点。
规则4：渐近线与实轴的交点为
sa
pi z j
i 1 j1
n
m
nm
渐近线与实轴的夹角为
180 0 90 (2k 1)180 a nm 180 ,60 45 ,135 n m 1 nm 2 nm 3 nm 4
第四章 系统的根轨迹法
系统的性能
稳定性
动态性能
闭 环即 特闭 征环 方极 程点 的 根
开环放大倍数 开环积分环节个数
稳态误差
困
难!
困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！
困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生
变化时系统闭环特征方程的根如何变 化!
参数改变，系统性能如何改变！
开环传递函数(开环零极点+开环增益)
根轨迹法的任务就是由已知的开环零极点的分布及 根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。 根轨迹是系统所有闭环极点的集合。
闭环极点与开环零、极点之间的关系
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点
闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
开环零极点和根轨迹增益
根轨迹图
闭环极点
分析系统
4、根轨迹方程
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解
系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
K m 变化时系统的根轨迹， 2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1 K* P( s ) ( s 6.93 j 6.93)( s 6.93 j 6.93) 1 K * Q( s ) s 2 ( s 13.86)
当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2) 稳态性能：
回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。
由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
K * lim
s
j 1 i 1 m
n
s pi s zj
lim s
s
nm
, 0 ,
nm nm
（无穷零点）
（无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论： 由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K * 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
例如，在上列程序之后增加语句： [k,p]=rlocfind(num,den)
《自动控制原理》第4章_根轨迹分析法
因此求分离点和会合点公式： 可以判断是分离点或
N(s)D '(s) N '(s)D(s) 0 会合点，只有满足条
Kg 0
件Kg≥0的是有用解。
例4-1.设系统结构如图， 试绘制其概略根轨迹。
R(s)
k(s 1) c(s)
s(s 2)(s 3)
解：画出 s 平面上的开环零点（-1），开环极点（0， -2，-3）。
逆时针为正。（- ， ）
m
n
pj (2k 1) ( z j pi ) pj pi
j 1
j 1
ji
m
n
zi (2k 1) ( z j zi ) p j zi
j 1
j 1
j i
k 0,1,
k 0, 1,
例3.设系统开环传递函数为： G(s) Kg(s 1.5)(s 2 j)(s 2 j) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K
s1
00
0.5 1
1 1 j1
s2
K
K 2.5
2
K 1
1 K 0
1 j1
2 1
2 1 j 3 1 j 3
1 j 1 j
j
2
1
0
K 0.5
1
2
一、根轨迹的一般概念
开环系统（传递函数）的某一个参数从零变化到 无穷大时，闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹 称为根轨迹。
根轨迹法:图解法求根轨迹。 借助开环传递函数来求闭环系统根轨迹。
nm
独立的渐近线只有（n-m）条 u=0,1…,(n-m-1)
（2）渐近线与实轴的交点
分子除以分母
自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b
* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*
自动控制原理第四章答案
自动控制原理第四章答案在自动控制原理的学习中，第四章是一个重要的环节，本章主要讲解了控制系统的稳定性。
在这一章节中，我们将学习如何分析控制系统的稳定性，并且掌握相应的解决方法。
接下来，我将为大家详细介绍第四章的内容及答案。
1. 什么是控制系统的稳定性？控制系统的稳定性是指当系统受到干扰时，系统能够保持平衡状态或者在一定的范围内回到平衡状态的能力。
在控制系统中，稳定性是一个非常重要的指标，它直接关系到系统的可靠性和性能。
2. 如何分析控制系统的稳定性？要分析控制系统的稳定性，我们通常采用的方法是利用系统的传递函数进行分析。
通过传递函数的极点和零点，我们可以判断系统的稳定性。
另外，我们还可以利用根轨迹法、Nyquist法、Bode图等方法进行分析。
3. 控制系统的稳定性解决方法有哪些？针对不同的稳定性问题，我们可以采取不同的解决方法。
比如，对于系统的根轨迹出现在右半平面的情况，我们可以采取根轨迹设计法进行修正；对于系统的相位裕度不足的情况，我们可以采取相位裕度补偿的方法进行调整。
4. 控制系统的稳定性分析在工程中的应用。
控制系统的稳定性分析在工程中有着广泛的应用，比如在飞行器、汽车、机器人等自动控制系统中，稳定性分析是至关重要的。
只有保证了系统的稳定性，才能确保系统的可靠性和安全性。
5. 总结。
通过本章的学习，我们对控制系统的稳定性有了更深入的了解。
掌握了稳定性分析的方法和解决方案，我们可以更好地应用于工程实践中，提高系统的性能和可靠性。
希望本文的内容能够帮助大家更好地理解自动控制原理第四章的内容，并且在学习和工程实践中取得更好的成绩。
自动控制原理第四版习题答案
鲁棒控制系统的设计目标是使系统在不确定性和干扰作用下 仍能保持其稳定性和性能。
03
鲁棒控制理论中常用的方法有鲁棒性分析、鲁棒控制器设计 等。
06
习题答案解析
第1章习题答案解析
1.1
简述自动控制系统的基本组成。答案：一个典型的自动控制系统由控制器、受控对象、执行器、传感 器等部分组成。
1.2
简述开环控制系统和闭环控制系统的区别。答案：开环控制系统是指系统中没有反馈环节的系统，输 出只受输入的控制，结构相对简单；而闭环控制系统则有反馈环节，输出对输入有影响，结构相对复 杂。
20世纪60年代末至70年代，主要研究多变量线 性时不变系统的最优控制问题，如线性二次型最 优控制、极点配置等。
智能控制理论
20世纪80年代至今，主要研究具有人工智能的 控制系统，如模糊逻辑控制、神经网络控制等。
02
控制系统稳定性分析
稳定性定义
01
内部稳定性
系统在平衡状态下受到扰动后，能 够回到平衡状态的性能。
步骤
时域分析法包括对系统进行数学建模、 系统稳定性分析、系统性能分析和系 统误差分析等步骤。
缺点
时域分析法需要对系统的数学模型进 行详细的分析，对于复杂系统的分析 可能会比较困难。
频域分析法
步骤
频域分析法包括对系统进行数学建模、系 统稳定性分析和系统性能分析等步骤。
定义
频域分析法是在频率域中对控制系 统进行分析的方法。它通过对系统 的频率响应进行分析，来描述系统
它通过分析系统的频率响 应，并根据频率响应的性 质来判断系统的稳定性。
如果频率响应曲线超出奈 奎斯特圆，则系统是不稳 定的。
根轨迹法
根轨迹法是一种图解方法，用 于分析线性时不变系统的稳定
自动控制原理课后答案第4章
5
的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）
5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
自动控制原理第四版刘文定
自动控制原理第四版刘文定介绍《自动控制原理第四版刘文定》是一本经典的自动控制原理教材。
本书由刘文定教授编著，是自动控制领域的权威人物。
本书深入浅出地介绍了自动控制的基本原理和方法，适合作为自动化、电气工程、机械工程等专业的教材。
内容概述本书共分为十个章节，下面简要概括每个章节的内容：第一章：引言本章介绍了自动控制的基本概念和发展历史，以及自动控制在工程和科学研究中的重要性。
同时还介绍了本书的组织结构和学习方法。
第二章：数学建模与系统辨识本章介绍了自动控制系统的数学建模方法，包括微分方程建模、传递函数建模和状态空间建模。
同时还介绍了系统辨识的基本概念和方法。
第三章：传递函数与频域分析本章介绍了传递函数的概念以及传递函数的常见性质。
同时还介绍了频域分析的基本方法，包括频率响应和极坐标图。
第四章：控制系统的稳定性分析本章介绍了控制系统稳定性的概念和判据。
主要包括Routh-Hurwitz稳定性判据、Nyquist稳定性判据和Bode稳定性判据。
第五章：时域分析与设计方法本章介绍了控制系统的时域分析方法，包括单位脉冲响应、单位斜坡响应和阶跃响应。
同时还介绍了控制系统的根轨迹和根轨迹设计方法。
第六章：根轨迹与频率响应方法本章继续介绍了根轨迹方法和频率响应方法。
主要包括极点配置法、根轨迹分析法和频率响应设计法。
第七章：PID控制器本章介绍了最常用和实用的控制器——PID控制器。
内容包括PID控制器的基本原理、参数调节方法和在实际应用中的设计。
第八章：校正器和灵敏度本章介绍了校正器和灵敏度的概念及其在控制系统中的作用。
内容包括校正器的设计方法和对灵敏度的调节。
第九章：状态空间分析与设计本章介绍了状态空间分析和设计方法。
内容包括状态空间模型、状态转移矩阵和状态观测器设计。
第十章：现代控制理论本章介绍了现代控制理论中的一些重要概念和方法，包括模糊控制、自适应控制和神经网络控制等。
总结《自动控制原理第四版刘文定》是一本很好的自动控制原理教材，涵盖了自动控制的基本原理和方法，并介绍了一些现代控制理论的概念。
自动控制原理-第四章-根轨迹
snm 1 p1 1 pn
s
s
0
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s
s
s pi i 1, 2, n
K*
s p1 s pn
snm 1 p1 1 pn
s
s
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s(0.5s 1) s(s 2)
通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进行 分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨 迹图，这对高阶系统将是很繁重的和不现实的。
为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函 数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的内容。
① (s1 p2 ) 、(s1 p3 ) 两向量对称于实轴，引起的相角大小 相等、方向相反； (s1 z2 ) 、(s1 z3 ) 两向量也对称于实轴，引起的相角大 小相等、方向相反;
∴ 判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。
② 位于s1左边的实数零、极点：(s1 z1) 、(s1 p4) 向量引起的相
GK
(s)
kg s(s 1)
解：判断某点是否在根轨迹上，应使用相角条件。求某点对应的根轨迹增益值，应使用 幅值条件。
s1 ： m (s zi ) n (s p j ) 0 (s1 p1) (s1 p2 )
i 1
j 1
s1 (s1 1) 135 90 225
s2： 0 (s2 p1) (s2 p2) (116.6 ) (63.4 ) 180
自动控制原理第4章
z2 ) p2 )
m
sm z j n1
i 1
(s zm )
(s pn )
m
(zj)
j 1
n
( pi )
i 1
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
如果开环零、极点的数目满足n-m 2，则 闭环特征方程为
snnp isn 1 n( p i)K *m( zj) 0
证明：系统的闭环特征方程
n
m
D(s) (spi)K* (szj)0
i1
j1
根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重
根。因此，
n
m
(s pi ) K* (s zj ) 0
i1
j1
d
ds
n i1
(s
pi )
K*
m j1
(s zj )
0
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
将上面两式相除，整理得
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。
常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时 所对应的根轨迹。
广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函 数中其它参数时所对应的根轨迹。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得
m
(s
j 1
n
(s
zj) pi )
1 K*
i1
令K* =0，得
m
j 1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
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自动控制
二、闭环极点与开环零极点的关系
闭环传递函数：
T (s) G (s) 1 G (s)H (s)
一般地，可设:
mg
K
* G
(s
z gi
)
G (s) i1 ng
( s p gi )
i1
———前向通路传递函数
K
* H
mh
(s
z hi
)
H (s) i1
nh
( s p hi )
当 K =0 时 ， s1 0, s2 2; K = 0 .5 时 ， s1 1, s 2 1; K =1 时 ， s1 1 j, s2 1 j; K = ∞ 时 ， s1 1 j , s 2 1 j ;
自动控制
由根轨迹分析系统动态性能：
① 当 K 从 0→ 变 化 时 ， 根 轨 迹 总 在 s 左 半 平 面 系 统 对 所 有 的 K 都 稳 定 。
，相角为奇数个
－－－模值方程
－－－相角方程
自动控制
结论： ① 复平面上的 s 点若是闭环极点，则它与开环零点极点组成的向量必满
足上述方程。 ② 相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件，它可确定哪些点在或不在根
轨迹上，模值方程主要用于确定根轨迹上的各点对应的开环增益 K *。
§4-2 绘制根轨迹的基本法则
自动控制
五、 根轨迹的渐近线
当 s 时，G(s)H(s)=-1 是什么样子？
若m n，则n m条根轨迹 的方向
可由渐近线决定。
渐近线与实轴交点的坐标：
n
m
pi zi
a
i1
i 1
nm
渐近线与实轴交点的夹角：
a
(2k 1) ，k 0,1,2,... nm
至获得(n m)个角。
m
(s zi )
设 开 环 传 递 函 数 G ( s ) H ( s ) 有 m 个 零 点 ，n 个 极 点 ， 则 上 式 可 写 为 ：
K
*
m
(s
zi)
i1 n
1
(s pi)
i1
K
*
m
(s
zi
)
i1 n
1
(s pi )
i1
m
i1
(
k
s
z
0
i
,
)
1
n
,i 1
(s
2，
pi)
(2k
1)
荡过程。 ⑤ ∵开环传递函数有一个位于坐标原点的极点。
∴ 为 I 型 系 统 。 → 阶 跃 作 用 下 ，e ss ＝ 0 。
结论： ① 根轨迹可分析系统中参数（ 具有物理意义的参数 ，如 K。而 二阶系统中的
、 n 反映了系统的本质，却不可实测）变化时闭环极点的位置。
② 以上解析法不适于高阶系统。 ③ 根轨迹法思路：根据反馈系统中开、闭环传递函数之间的确定关系，由开环传
i1
—— 反馈通路传递函数
———
K
* G
、
K
* H
分别为前向、反馈通路的根轨迹增益。
自动控制
开环传递函数：
K
*
mg
(s
z
gi
mh
)
(s
z hi
)
G (s)H (s) i1
i1
ng
nh
( s p gi ) ( s p hi )
i1
i1
—
——
K
*
K
* G
K
* H
为开环系
统
的根轨迹增益。
闭环传递函数：
s(0.5 s 1) s(s 2) 关系。
自动控制
解 ： 有 G (s)的 开 环 极 点 ： 0、 -2，
闭环传递函数:
T (s) G (s)
2K
，
1 G (s) s 2 2s 2K
闭环特征方程： s2 2s 2K 0，
∴ 闭环极点为：
s1 1 1 2 K , s2 1 1 2 K 。
实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。
m
(s
pi
)
m 1,n5 (2k
1)
i 1
i 1
3 0o，
2 1 z 180 o ，
4 5 2
z ( 1 2 3 4 5 ) 3 ＝ （2 0 2）
共轭对幅角之和无贡献，
左边幅角为 0， 右边为 ，有奇数个 即可！
K
* G
mg
(s
z gi
nh
)
(s
p hi
)
T (s)
i1
i1
ng
(s
nh
p gi )
(s
p hi
)
K
mg
*
(s
mh
z gi )
(s
z hi
)
i1
i1
i1
i1
结论：
H (s )1
① ②
闭 闭 当
环
环H
系
零( s
统的
点) ＝
＝1
根G (轨s )迹 增 益
的零点 时，闭环零
K
* T
＋H
点＝
K
② 当 0<K<0.5 时 ， 闭 环 极 点 为 实 数 ， 系 统 呈 过 阻 尼 状 态 ,阶 跃 响 应 为 非 周 期 过 程 。 ③ 当 K=0.5 时 ， 两 闭 环 极 点 相 等 ,系 统 临 界 阻 尼 。 ④ 当 K>0.5 时 ， 两 闭 环 极 点 为 共 轭 复 根 ,系 统 呈 欠 阻 尼 状 态 ， 阶 跃 响 应 为 阻 尼 振
一． 根轨迹的分支数 分支数＝闭环极点数
＝闭环特征方程的阶数 n
二． 根轨迹对称于实轴 闭环极点为 实数→在实轴上
{ 复数→共轭→对称于实轴
三． 根轨迹的起点与终点 起于开环极点，终于开环零点。
自动控制
由根轨迹方程有：
m
(s
i1
n
(s
zi) pi)
1 K*
i1
起 点 ： K * 0 → s pi 0 → s pi；
sm
m
z
i
s
m1
m
(zi )
G(s)H (s) i1
K
i 1
i 1
自动控制
§ 4— 1 根 轨 迹 与 根 轨 迹 方 程
一、根轨迹 一 般 根 轨 迹 是 指 当 开 环 增 益 K 从 0— ∞ 变 化 时 ，闭 环 极 点
在 S平面上移动的轨迹。 例：已知下图所示系统的开环传递函数 G ( s ) K 2 K 。分 析 其 根 轨 迹 与 系 统 性 能 之 间 的
(s)
开环
* G
的 零
极 点
点 ＝
。
G
K
(s
*
)
。 的
零
点
。
③闭环极点与开环零点、开环极点及根轨迹开环增益有关。
自动控制
三、根轨迹方程
画 根 轨 迹 实 质 上 是 找 闭 环 特 征 方 程1 G (s)H (s) 0 的 根 。 满 足 G ( s ) H ( s ) 1 的s 值 ， 必 是 根 轨 迹 上 的 点 。
终 点 ： K * → s zi 0 → s zi
若开环零点数 m < 开环极点数 n (有 n m 个 开 环 零 点 在 无 穷 远 处 )
m
m
(s
(s
i1
pi)
zi)
n
(s
pi)
1
i1
i m 1
则 有 (n m )条 根 轨 迹 终 于 无 穷 远 点 。
自动控制
四、实轴上的根轨迹