不等式组及解法
不等式与不等式组的解法
不等式与不等式组的解法一、不等式的解法不等式是数学中一种重要的运算关系，用于表示两个数之间的大小关系。
不等式的解就是满足不等式条件的所有实数的取值范围。
1. 一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。
解一元一次不等式的方法通常有以下三种：（1）图解法：将不等式所对应的直线或曲线绘制在坐标平面上，然后通过观察图形确定解集。
（2）试解法：假设一些可能的解，将这些解带入不等式进行验证，得到满足不等式的解集。
（3）代数法：通过一系列代数变换将不等式化简为形如x<a或x>a 的形式，根据大小关系确定解集。
2. 一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。
解一元二次不等式的方法通常有以下几种：（1）图解法：将不等式所对应的抛物线绘制在坐标平面上，然后通过观察图形确定解集。
（2）区间法：通过一系列代数变换将不等式转化为形如(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0的形式，根据关系确定解集。
（3）配方法：通过配方法将一元二次不等式化简为(x-p)^2<q或(x-p)^2>q的形式，然后通过解关于x的一元二次方程确定解集。
3. 绝对值不等式的解法绝对值不等式是指不等式中含有绝对值的形式。
解绝对值不等式的方法通常有以下两种：（1）条件法：根据绝对值的定义将不等式分为两个部分，即当|x-a|<b时和当|x-a|>b时，在两个条件下讨论解集。
（2）符号法：根据绝对值的符号，将不等式转化为带有绝对值的两个不等式，然后分别求解，并取并集得到最终的解集。
二、不等式组的解法不等式组是指多个不等式组成的一组方程。
解不等式组的方法通常有以下两种：1. 图解法：将不等式组所对应的多个直线或曲线绘制在坐标平面上，通过观察图形得到交集或并集，确定解集的范围。
2. 代数法：通过一系列代数变换将不等式组转化为一元不等式或二元不等式，然后根据不等式的解法确定解集。
不等式组的解法与不等式优化
不等式组的解法与不等式优化不等式是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
在代数学中，不等式组的解法及不等式优化是一项重要的研究内容。
本文将介绍不等式组的解法和不等式优化的方法和技巧。
一、不等式组的解法不等式组是由一组不等式组成的方程组。
解决不等式组的关键是确定不等式组的可行解集，即满足所有不等式的解的集合。
下面将介绍两种常见的不等式组解法。
1. 图像法图像法是通过图像的方法来解决不等式组的问题。
首先，将每个不等式表示为一条直线或曲线，并标记出不等式的方向。
然后，通过几何方法确定满足所有不等式的解的区域。
最后，确定可行解集。
例如，考虑以下不等式组：① 2x + 3y ≤ 12② 4x - 5y ≥ 10将不等式①表示为直线2x + 3y = 12，并在直线下方标记不等式的方向；将不等式②表示为直线4x - 5y = 10，并在直线上方标记不等式的方向。
通过观察交集区域，找到满足两个不等式的解的区域，确定可行解集。
2. 代入法代入法是通过代入变量的具体值来解决不等式组的问题。
首先，选取一个不等式，将其他不等式的变量表示为该不等式变量的函数。
然后，将该函数代入其他不等式中，得到只含有一个变量的不等式。
最后，解决这个只含有一个变量的不等式，得到解。
例如，考虑以下不等式组：① x + y ≤ 5② 2x - y ≥ 1选取不等式①，将不等式②的y表示为x的函数，得到y = 2x - 1。
将该函数代入不等式①中，得到x + (2x - 1) ≤ 5。
解决这个只含有一个变量x的不等式，得到x ≤ 2。
将x的解代入y = 2x - 1，得到y ≤ 3。
因此，可行解集为x ≤ 2，y ≤ 3。
二、不等式优化不等式优化是在一定的约束条件下，寻找不等式的最优解的过程。
在数学建模、最优化等领域中有广泛应用。
下面将介绍两种常见的不等式优化方法。
1. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是优化问题中常用的方法之一，基于拉格朗日函数的构造。
不等式组的解法与绝对值不等式
不等式组的解法与绝对值不等式不等式是数学中常见的一种表示数值大小关系的关系式，对于求解不等式组以及绝对值不等式，我们需要掌握一些解法的方法和技巧。
本文将介绍不等式组的解法和绝对值不等式的求解方法，帮助读者更好地理解和应用不等式的解法。
一、不等式组的解法不等式组是指一组由不等式关系组成的方程组。
解不等式组需要满足所有不等式的约束条件。
下面分别介绍常见的不等式组的解法。
1. 图像法图像法是解不等式组时常用的一种方法。
首先，我们将每个不等式关系转化为直线或曲线在坐标系中的图像。
然后，通过观察图像的交点和区域来确定解的范围。
2. 代入法代入法是一种直接将不等式约束条件代入到其他方程中的方法。
通过将一个不等式的约束条件代入到另一个不等式中，可以简化方程组，使得求解更加容易。
3. 分区间讨论法对于包含多个不等式的不等式组，可以通过分区间讨论法逐个讨论每个不等式的解的范围。
这种方法在处理复杂的不等式组时非常有效。
二、绝对值不等式的解法绝对值不等式是一种特殊的不等式，其解法相对简单。
绝对值不等式通常包含一个或多个绝对值表达式，下面介绍两种常见的绝对值不等式的解法。
1. 分类讨论法对于形如|ax + b| < c的绝对值不等式，我们可以通过分类讨论解出不等式的范围。
具体的做法是将绝对值中的表达式分为正负两种情况，然后分别解出不等式，最后得到整体的解的范围。
2. 移项和平方法对于形如|ax + b| > c的绝对值不等式，我们可以通过移项和平方的方式将绝对值不等式转化为普通的二次方程不等式。
然后再通过求解二次方程不等式得到绝对值不等式的解。
绝对值不等式的解法还有其他的方法和技巧，例如绝对值的性质和不等式的性质等，读者可以根据具体问题选择合适的解法。
总结：本文介绍了不等式组的解法和绝对值不等式的求解方法。
对于不等式组，可以通过图像法、代入法和分区间讨论法等方法来求解；对于绝对值不等式，可以通过分类讨论法和移项和平方法等方法来求解。
不等式解集方法
不等式解集方法一、引言不等式是数学中常见的一种基本概念，它涉及到比较两个数大小关系的数学符号。
不等式的解集是指满足不等式条件的所有数值的集合。
掌握不等式的解集方法对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍求解一元一次不等式、解集在数轴上的表示、二元一次不等式组的解集、分式不等式的解法、含绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法和一元高次不等式的解法等方法。
二、求解一元一次不等式一元一次不等式是数学中最基础的不等式类型，其形式为ax+b>cc或ax+b<c，其中a、b、c为常数，x为未知数。
求解一元一次不等式的方法是将其转化为等式，然后通过移项、合并同类项和化简等步骤求解。
例如，求解2x+3>5，首先移项得到2x>2，然后除以2得到x>1。
三、解集在数轴上的表示解集在数轴上的表示是将不等式的解集在数轴上标出来。
首先需要确定解集的取值范围，然后将这个范围在数轴上表示出来。
例如，解集x>1表示在数轴上1的右侧的所有点都是这个不等式的解。
四、二元一次不等式组的解集二元一次不等式组是由两个或多个一元一次不等式组成的。
求解二元一次不等式组的方法是分别求解每个不等式，然后找出满足所有不等式的解的集合，即解集。
例如，求解不等式组{x+y>2, x-y<1}，首先分别求解两个不等式得到两个解集，然后找出这两个解集的交集即为原不等式组的解集。
五、分式不等式的解法分式不等式是指含有分母的不等式。
求解分式不等式的方法是将其转化为整式不等式，然后通过求解整式不等式得到分式不等式的解。
例如，求解不等式(x+3)/(x-2)>0，首先去分母得到x^2-x-6>0，然后因式分解得到(x-3)(x+2)>0，最后确定解集为x<-2或x>3。
六、含绝对值不等式的解法含绝对值的不等式是指含有绝对值符号的不等式。
求解含绝对值不等式的方法是根据绝对值的定义将其转化为分段函数，然后分别求解每个分段函数的不等式得到原不等式的解。
不等式组的解法与应用知识点总结
不等式组的解法与应用知识点总结在数学中，不等式组是由一组不等式构成的方程组。
解不等式组是求解这组不等式的所有可能解的过程。
不等式组的解法与应用是数学中的重要知识点，本文将对不等式组的解法和应用进行总结，并提供几个实际问题的例子来说明其应用。
一、不等式组的解法不等式组的解法与方程组的解法有些相似，但也有一些不同之处。
下面将介绍几种常见的不等式组解法方法。
1. 图解法图解法是一种直观的方法，通过在坐标系中绘制不等式的图像来确定解的范围。
将不等式的解区域标记出来，所有不等式的解的交集即为不等式组的解。
举例说明：考虑如下的不等式组：{3x + 2y ≤ 10,x - y > 1}首先，将第一个不等式3x + 2y ≤ 10转化为直线方程3x + 2y = 10，得到一条直线。
然后，找到不等式的解区域，并用阴影表示。
接着，将第二个不等式x - y > 1转化为直线方程x - y = 1，并找到不等式的解区域。
最后，找到两个不等式解区域的交集，即可得到不等式组的解。
2. 代入法代入法是一种常用的解不等式组的方法，通过求解一个不等式，然后将其解代入到其他不等式中进行验证。
如果满足所有不等式，则该解为不等式组的解。
举例说明：考虑如下的不等式组：{2x + 3y > 5,x - y ≤ 2}首先，解第一个不等式2x + 3y > 5，得到一组解。
然后，将这组解代入到第二个不等式x - y ≤ 2中进行验证，如果满足，则该解为不等式组的解。
3. 消元法消元法是解不等式组的常用方法，通过对不等式组中的某个变量进行消元，将多个不等式转化为一个不等式或只含一个变量的不等式。
举例说明：考虑如下的不等式组：{2x + 3y ≥ 6,x + 2y < 5}首先，对不等式组进行消元，可以通过相加或相减的方法。
将两个不等式相加，得到新的不等式3x + 5y ≥ 11。
然后，解新的不等式，得到一组解。
最后，将这组解代入到原来的两个不等式中进行验证，如果满足，则该解为不等式组的解。
不等式与不等式组的解法
不等式与不等式组的解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了变量之间的大小关系。
不等式的解集是使不等式成立的所有变量取值的集合。
解不等式的方法有很多种，下面我将介绍常用的不等式解法及其应用。
一、一元不等式的解法对于形如ax + b < 0的一元不等式，我们可以采用以下步骤进行求解：步骤一：将不等式转化为等价的形式，即ax + b = 0。
步骤二：求得等式的根x0，即x0 = -b/a。
步骤三：根据x0求得不等式在数轴上的解集。
例如，对于不等式2x - 1 < 5，我们可以按照上述步骤进行求解：步骤一：2x - 1 = 5。
步骤二：2x = 6，x = 3。
步骤三：不等式在数轴上的解集为(-∞, 3)。
二、一元不等式组的解法一元不等式组是由多个一元不等式构成的方程组。
解一元不等式组的方法可以通过解每个一元不等式，并求它们的交集得到。
具体步骤如下：步骤一：解每个一元不等式，得到它们的解集。
步骤二：求得不等式组的解集，即取所有一元不等式的解集的交集。
例如，解不等式组{2x - 1 < 5, x + 3 > 2}，我们可以按照上述步骤进行求解：步骤一：2x - 1 < 5的解集为(-∞, 3)，x + 3 > 2的解集为(-∞, -1)。
步骤二：不等式组的解集为(-∞, -1) ∩ (-∞, 3) = (-∞, -1)。
三、二元不等式组的解法二元不等式组是由多个二元不等式构成的方程组。
解二元不等式组的方法可以通过图像法或代数法来求解。
下面分别介绍两种方法。
1. 图像法通过将二元不等式转化为二维平面上的区域，将不等式的解集表示为区域内的点的集合。
例如，我们解不等式组{y > 2x, y < x + 2}：首先，将每个不等式转化为等式，得到y = 2x和y = x + 2；然后，在二维平面上绘制两条直线y = 2x和y = x + 2，分别用虚线表示；最后，确定满足题目要求的不等式组解集，即两条直线所围成的区域，如图所示。
不等式和不等式组的认识与解法
不等式和不等式组的认识与解法知识梳理一、不等式1、概念：利用不等符号连接的式子叫不等式。
不等符号有：>、<、≥、≤、≠注：1、有些不等式中不含有未知数，有些不等式中含有未知数。
要与方程加以区别。
含有未知数的等式叫方程。
比如2x+5=0 是方程，而2x+5>0是不等式。
2、一些常见关键词的隐含条件：“不大于、最多”就表示“小于等于”,不要把等于忘记了 ,符号：≤“不超过”也表示“小于等于”符号：≤“不小于、至少”表示“大于等于”符号：≥“不是正数、非正数”表示“0和负数”符号：≤0“非负数、不是负数”表示“0和正数”符号：≥0二、一元一次不等式：含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式。
不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫这个不等式的解的集合，简称解集。
而求不等式解集的过程叫做解不等式。
三、不等式的性质：【重点】性质①、不等式左右两边加（减）同一个数（式），不等式仍然成立（不等号的方向不变）；性质②、不等式左右两边乘以（除以）同一个正数，不等式仍然成立（不等号的方向不变）；性质③、不等式左右两边乘以（除以）同一个负数，不等号的方向改变。
注：不等式左右两边同乘或同除以一个数或已知符号的式子时，这个数或式子的值绝对不能是零，否则无意义；注意：要与等式的性质相区别：最大区别就是不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号要改变方向。
不等式组知识点一：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。
要点诠释：在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；1 耐心细心责任心。
不等式与不等式组
不等式与不等式组在数学中，不等式是描述数之间关系的一种表达方式。
不等式可以用于求解线性方程组、判断函数的增减性以及解决许多实际问题。
本文将介绍不等式及不等式组的概念、性质和解法。
1. 不等式的定义和性质不等式是用符号>、<、≥或≤表示数值之间相对大小关系的数学表达式。
其中，>表示大于，<表示小于，≥表示大于等于，≤表示小于等于。
例如，对于两个实数a和b，若a>b，则称a大于b，记作a>b。
不等式满足如下的性质：（1）传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。
（2）反对称性：如果a>b且b>a，那么a=b。
（3）加法性：如果a>b，那么a+c>b+c，其中c为任意实数。
（4）乘法性：如果a>b且c>0，那么ac>bc。
2. 不等式的解法要求解一个不等式，需要确定不等式的解集。
解集是满足不等式条件的所有的实数集合。
（1）一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程相类似。
例如，对于不等式2x+3<7，我们可以按照如下步骤解题：2x+3<72x<4x<2因此，解集为x<2。
（2）一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程相类似。
例如，对于不等式x^2-5x+6>0，我们可以按照如下步骤解题：(x-2)(x-3)>0根据零点的性质，我们可以得出两个解为x<2或x>3。
（3）不等式组的解法不等式组是由多个不等式组成的方程组。
解不等式组的方法与解方程组类似，需要找到所有满足所有不等式条件的解。
例如，考虑以下不等式组：x+y>32x-y<2我们可以通过图像法或代入法求解不等式组。
最终我们得到解集为x>1，y>2。
3. 不等式的应用不等式在实际问题中有着广泛的应用。
初二不等式基本知识点总结
初二不等式基本知识点总结一、一元一次不等式1. 不等式的定义不等式是使用大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)、小于等于号(≤)等符号来表示两个数量的大小关系。
例如：a < b、c > d。
2. 不等式的解法对于一元一次不等式ax + b > c，其中a、b、c为已知数，x为未知数，解不等式的步骤如下：(1) 将不等式化为等价不等式，即去掉绝对值号，并根据a的正负情况变号；(2) 通过化简和移项找出不等式的解集。
3. 不等式组的解法对于一元一次不等式组{ax + b > c, dx + e < f}，其中a、b、c、d、e、f为已知数，x为未知数，解不等式组的步骤如下：(1) 分别解出每个不等式的解集；(2) 将每个不等式解集进行交并运算，得到不等式组的解集。
4. 不等式的图像表示使用数轴可以方便地表示一元一次不等式的解集。
对于不等式ax + b > c，首先画出表示常数c的点，然后根据a的正负情况，确定画出的区域是大于还是小于c的区域。
二、一元二次不等式1. 不等式的定义一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0的不等式，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
2. 不等式的解法对于一元二次不等式ax² + bx + c > 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数，解不等式的步骤如下：(1) 求出二次函数的零点，即ax² + bx + c = 0的解；(2) 根据二次函数的图像，确定不等式的解集。
3. 不等式的图像表示一元二次不等式和二次函数的图像表示是相互联系的。
通过画出二次函数的图像，并确定大于0的区域，可以得到不等式的解集。
三、一元一次不等式组1. 不等式组的定义一元一次不等式组是多个一元一次不等式的组合，其中每个不等式都是以相同的未知数为变量。
2. 不等式组的解法对于一元一次不等式组{ax + b > c, dx + e < f}，其中a、b、c、d、e、f为已知数，x为未知数，解不等式组的步骤如下：(1) 分别解出每个不等式的解集；(2) 将每个不等式解集进行交并运算，得到不等式组的解集。
不等式组的解法与绝对值与根号不等式
不等式组的解法与绝对值与根号不等式不等式的解法是初中数学重要内容之一，因为在实际工作和生活中常常需要解决各种不等式关系。
在这篇文章中，我们将介绍不等式组的解法，同时关注绝对值与根号不等式的特殊情况和解法。
一、不等式组的解法不等式组是多个不等式的组合，如下例子：x < 52x > 83x < 15要求我们解出 x 的取值范围。
这时，我们可以通过逐步缩小 x 的取值范围来解出不等式组的解。
通过根据不等式分别得到x 的取值范围，再找到它们的交集即可。
例如，对于上面的不等式组，我们可以分别解出：① x < 5② x > 4③ x < 5它们的交集是 4 < x < 5，即不等式组的解为 4 < x < 5。
二、绝对值不等式的解法绝对值不等式的一般形式为：|ax + b| < c其中 a、b、c 都是已知实数，且a ≠ 0。
对于求解绝对值不等式，我们可以按照以下步骤进行：①分类讨论，即将绝对值内部的式子分类，使其不再涉及绝对值。
②构造新的不等式，根据分类讨论的结果构造新的不等式来代替原绝对值不等式。
③求解新的不等式，根据不等式的性质，我们可以解出构造的新不等式的解集，并将其与分类讨论的结果相结合，最终得出原绝对值不等式的解集。
三、根号不等式的解法对于形如 x² < a 或 x² > a 的根号不等式，我们可以按照以下步骤进行求解：①当 a > 0 时，根号不等式有两个解，即x > √a 或 x < -√a。
②当 a = 0 时，根号不等式仅有一个解，即 x = 0。
③当 a < 0 时，根号不等式无解，因为不能存在负数的平方等于一个负数。
对于形如 a < x² < b 的根号不等式，我们可以将其转化为 a + x² < b，即|x| < √(b-a)。
【暑假分层作业】第11练 不等式(组)及其解法-2022年七年级数学(人教版)(答案及解析)
第11练不等式（组）及其解法知识点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．注：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．知识点二、解一元一次不等式组1.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．注：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．知识点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．注：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．一、单选题1．不等式组12511xx-⎧⎨-⎩＜＜的解集是（）A．x＞2 B．﹣3＜x＜2 C．﹣1＜x＜2 D．﹣2＜x＜2【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，然后再写出不等式组的解集即可．【详解】12511x x -⎧⎨-⎩＜①＜②， 解①得：x ＞﹣2，解②得：x ＜2，故不等式组的解集是：﹣2＜x ＜2，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确解出两个不等式的解集，是解题的关键． 2．若不等式组的解集为22x -≤<，则以下数轴表示中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】【分析】根据在数轴上表示解集的方法判断即可．【详解】解：若不等式组的解集为22x -≤<，在数轴上表示解集为：，故选：C ．【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键． 3．不等式组213417x x +≥⎧⎨-<⎩的解集是（ ） A ．1≥xB ．2x <C ．12x ≤<D ．12x < 【答案】C【分析】求一元一次不等式组的解集即可；【详解】解：213x +≥，解得：1≥x ；417x -<，解得：2x <；∴不等式组的解集为：12x ≤<；故选：C ．【点睛】本题主要考查求一元一次不等组的解集，正确计算是解本题的关键．4．若关于x 的不等式组325x m x ≤+⎧⎨>⎩无解，则m 的取值范围是（ ） A ．1mB ．1m <C ．m 1≥D ．1m【答案】A【解析】【分析】首先解每一个不等式，然后根据不等式组无解确定m 的范围．【详解】 解：325x m x ≤+⎧⎨>⎩①② ∵不等式组无解，∵325m +≤解得，1m ，故选：A【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．5．关于x 的不等式组()1233111222x x x a ⎧->-⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩有且只有三个整数解，则a 的最大值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为1x a <<，根据不等式组有且只有三个整数解的条件计算出a 的最大值．【详解】 解不等式1233x x ->-， 1233x x -+>， ∴2233x >， ∴1x >， 解不等式111(2)22x a -<-， 得11(2)122x a <-+， ∴x a <， ∴1233111(2)22x x x a ⎧->-⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩的解集为1x a <<， ∵不等式组有且只有三个整数解，∴不等式组的整数解应为：2，3，4，∴a 的最大值应为5故选：C ．【点睛】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识．6．如果关于x 的不等式组301x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅有2和3，那么适合这个不等式组的两整数a ，b 组成的有序数对()a b ，的个数为（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A【解析】【分析】 求出不等式组的解集，根据已知求出1＜3a ≤2，3＜b +1≤4，解得：36a ≤＜，23b ≤＜，即可得出答案．【详解】解：解不等式3x −a ≥0，得：x ≥3a ， 解不等式x −b ＜1，得：1x b +＜，∵不等式组的整数解仅有x ＝2、x ＝3，∴1＜3a ≤2，3＜b +1≤4， 解得：36a ≤＜，23b ≤＜，则a ＝4时，b ＝3；当a ＝5时，b ＝3；当a ＝6时，b ＝3；∴适合这个不等式组的整数a 、b 组成的有序数对（a ，b ）共有3个，故A 正确． 故选：A ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的关键是求出a 、b 的取值范围．二、填空题7．不等式组325,212x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集为______． 【答案】41x -<≤-【解析】【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据确定不等式组解集原则“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”确定出不等式组的公共解集即可．【详解】 解：325212x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②， 解①得：x ≤–1，解②得：x >-4，∴-4<x ≤-1．故答案为：-4<x ≤-1．【点睛】本题考查解不等式组，掌握确定不等式组解集原则“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”是解题的关键．8．若不等式组12x x k<≤⎧⎨>⎩无解，则k 的取值范围是______． 【答案】k ≥2【解析】【分析】根据不等式组的解集口诀：大大小小没有解得出k 的取值范围即可．【详解】解：∵不等式组12x x k <≤⎧⎨>⎩无解， ∴k ≥2，故答案为：k ≥2．【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，解答的关键是熟知不等式组的解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小没有解，注意端点值的取舍．9．已知关于x 的一元一次不等式()24m x +>的解集是42x m <+，如图，数轴上的A ，B ，C ，D 四个点中，实数m 对应的点可能是______．【答案】A【解析】【分析】根据解一元一次不等式步骤中化系数为1中不等号变号，可得20m +<，进而得到m 的取值范围，结合数轴即可得到答案．【详解】由题意()24m x +>的解集为42x m <+， 则20m +<即2m <-则根据数轴中A ，B ，C ，D 位置，小于-2的只有A 点．故答案为A ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，数轴，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．10．定义运算：*2a b a b =-，例如3*42342=⨯-=，则不等式组()*242*17x x ≥⎧⎨-<⎩的解集是________．【答案】34x ≤<【解析】【分析】根据所给的定义运算，不等式组*242*(1)7x x ≥⎧⎨-<⎩为22437x x -≥⎧⎨+<⎩，进行计算即可得． 【详解】解：根据题意不等式组*242*(1)7x x ≥⎧⎨-<⎩为2244(1)7x x -≥⎧⎨--<⎩， 即22437x x -≥⎧⎨+<⎩， 解得34x x ≥⎧⎨<⎩， 即34x ≤<，故答案为：34x ≤<．【点睛】本题考查了求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，掌握题中的定义运算． 11．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．【答案】32【解析】【分析】设该商品最多可降价x 元，列不等式32024020%240x --≥，求解即可； 【详解】解：设该商品最多可降价x 元；由题意可得，32024020%240x --≥， 解得：32x ≤；答：该护眼灯最多可降价32元．故答案为：32．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．12．若关于x ，y 的二元一次方程组52121,45,x y k x y -=-⎧⎨-+=⎩的解满足0x y ->，则k 的取值范围是______． 【答案】12k >【解析】【分析】解关于x 、y 的二元一次方程组，再代入不等式x －y ＞0，解不等式即可．【详解】 解： 5212145x y k x y -=-⎧⎨-+=⎩①②， ①－②有66126x y k -=-，即21x y k -=-，∵x －y ＞0，∴2k －1＞0， 解得12k ＞．【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法，掌握相关知识点是解题的关键．三、解答题13．解不等式组：421122x x x x ->+⎧⎪⎨--≤⎪⎩． 【答案】3x ≤１＜【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找这两个解集的公共部分即是不等式组的解集．【详解】421122x x x x -+⎧⎪⎨--≤⎪⎩＞①②， 解不等式①得：x ＞1；解不等式②得：3x ≤；即不等式组的解集为：13x ≤＜．【点睛】本题考查了求解一元一次不等式组的解集，解题的关键是准确解答出每一个不等式的解集．14．整式133m ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为P ．(1)当m ＝2时，求P 的值；(2)若P 的取值范围如图所示，求m 的负整数值．【答案】(1)5-(2)2,1--【解析】【分析】（1）将m ＝2代入代数式求解即可，（2）根据题意7P ≤，根据不等式，然后求不等式的负整数解．(1)解：∵133m P ⎛⎫- ⎪⎝⎭= 当2m =时，1323P ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭533⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭5=-；(2)133m P ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，由数轴可知7P ≤， 即1373m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 1733m ∴-≤，解得2m ≥-，∴m 的负整数值为2,1--．【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．15．（1）解方程组：33814x y x y -=⎧⎨-=⎩； （2）解不等式组51222113x x +≥⎧⎪-⎨<⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）21x y =⎧⎨=-⎩（2）22x -≤< 【解析】【分析】（1）运用加减消元法解二元一次方程组，即可得出答案．（2）将不等式组中的两个一元一次不等式分别解出，再通过数轴确定公共解集，即可得出答案．【详解】（1）解：33814x y x y -=⎧⎨-=⎩①② 3⨯①得：339x y -=③③-②得：33(38)914x y x y ---=-55y =-∴1y =-把1y =-代入①：(1)3x --=∴2x =∴原方程组的解为：21x y =⎧⎨=-⎩； （2）解：51222113x x +≥⎧⎪⎨-<⎪⎩①② 解不等式①得：2x ≥-解不等式②得：2x <数轴上表示为：∴原不等式组的解集为：22x -≤<【点睛】本题考查知识点为，二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的解法．熟练掌握二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，是解决本题的关键．16．解不等式组()5131212x x x x ⎧+>-⎨-≤+⎩①②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）． 解：解不等式①，得______．解不等式②，得______．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．所以原不等式组解集为______．【答案】2x >-；3x ≤；见详解；23x -<≤【解析】【分析】分别解两个不等式，然后在数轴上表示解集，再根据公共部分确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式①，得2x >-，解不等式②，得3x ≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：所以原不等式组解集为：23x -<≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．17．已知方程组713x y m x y m +=--⎧⎨-=+⎩的解满足x 为非正数，y 为负数． (1)求m 的取值范围；(2)当m 为何整数时，不等式2mx +x ＜4m +2的解集为x ＞2．【答案】(1)23m -<≤【解析】【分析】（1）解方程组，再根据x 、y 的范围列出关于m 的不等式组，解不等式组即可得到答案； （2）由不等式2mx ＋x ＜4m ＋2，即()()21221m x m ++＜的解集为x ＞2，可知2m ＋1＜0， 求出此不等式解集，再从－2＜m ≤3中找到符合此条件的m 的整数值即可．(1)解：解方程组得324x m y m =-⎧⎨=--⎩， ∵x 为非正数，y 为负数，∴30240m m -≤⎧⎨--<⎩， 解得－2＜m ≤3．∴m 的取值范围为－2＜m ≤3．(2)解：∵不等式2mx ＋x ＜4m ＋2，即()()21221m x m ++＜的解集为x ＞2，∴2m ＋1＜0，解得m ＜－12，在－2＜m ≤3中符合m ＜－12的整数为－1．∴m 为－1时，不等式2mx ＋x ＜4m ＋2的解集为x ＞2．【点睛】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解本题的关键．18．先阅读理解下列例题，再按要求完成作业．例题：解一元二次不等式（3x ﹣6）（2x +4）＞0． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①360240x x ->⎧⎨+>⎩或②360240x x -<⎧⎨+<⎩． 解不等式组①得x ＞2，解不等式组②得x ＜﹣2．所以一元二次不等式（3x ﹣6）（2x +4）＞0的解集是x ＞2或x ＜﹣2．(1)求不等式（2x +6）（2﹣x ）＜0的解集；(2)求不等式51542x x+-≥0的解集． 【答案】(1)x ﹥2或x ＜-3(2)32x -≤<【解析】（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可；（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可．(1)解：由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得①26020xx+>⎧⎨-<⎩或②26020xx+⎧⎨-⎩＜＞，解不等组①得：x>2，解不等组②得：x<-3，∴不等式（2x+6）（2﹣x）＜0的解集x﹥2或x＜-3；(2)解：由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，得①5150420xx+≥⎧⎨-⎩＞或②5150420xx+≤⎧⎨-⎩＜，解不等组①得：-3≤x<2，解不等组②得：不等式组无解，∴不等式51542xx+-≥0的解集为-3≤x<2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据题意得出两个不等式组是解此题的关键．1．已知关于x的不等式组320230a xa x-≥⎧⎨+>⎩恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A．2332a≤≤B．4332a≤≤C．4332a<<D．4332a≤<【答案】B 【解析】首先确定不等式组的解集，先利用含a 的式子表示，根据题意得到必定有整数解0，再根据恰有3个整数解分类讨论，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．【详解】解：320230a x a x -≥⎧⎨+>⎩①② 解不等式①得32a x ≤，解不等式②得23a x -＞， 由于不等式组有解，则2332a a x -<≤，必定有整数解0， ∵32||||23a a >-， ∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；若三个整数解为0，1，2，则32323102a a ⎧≤<⎪⎪⎨⎪-≤-<⎪⎩； 解得4332a ≤≤． 故选：B【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．难度较大，理解题意，根据已知条件得到必定有整数解0，再分类讨论是解题关键．2．整数m 满足关于x ，y 的二元一次方程组214x y m x y m +=⎧⎨-=-⎩的解是正整数，且关于x 的不等式组54028x m x ->⎧⎨+≤⎩有且仅有2个整数解，则m 的值为______． 【答案】5【解析】【分析】根据题意先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于x 的不等式，进而根据是正整数的条件求得m 的范围，解一元一次不等式组54028x m x ->⎧⎨+≤⎩，根据有且仅有2个整数解，确定m 的范围，最后根据x ，y 为整数，舍去不符合题意的m 的值即可求解．【详解】解：214x y m x y m +=⎧⎨-=-⎩①② ①＋②得，2213x m =-2132m x -∴= 将2132m x -=代入①，得5212m y -= x ，y 是正整数，21305210m m ->⎧∴⎨->⎩， 解得2175m <<， 54028x m x ->⎧⎨+≤⎩③④ 解不等式③得：45m x > 解不等式④得：6x ≤465m x ∴<≤ 有且仅有2个整数解，4455m ∴≤< 解得2554m ≤< 2175m << 212554m ∴≤< m 是整数5m ∴=或6当6m =时，21321183222m x --===，不合题意，故舍去 5m ∴=故答案为：5【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组结合，解一元一次不等式组，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．3．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程13x -=的解为4x =，而不等式组1123x x ->⎧⎨-<⎩的解集为25x <<，不难发现4x =在25x <<的范围内，所以方程13x -=是不等式组1123x x ->⎧⎨-<⎩的“相依方程”．(1)在方程①6(2)(4)23x x +-+=；②930x -=；③230x -=中，不等式组2113(2)4x x x x ->+⎧⎨--≤⎩的“相依方程”是________；（填序号）(2)若关于x 的方程36x k -=是不等式组312121123x x x x +⎧>⎪⎪⎨-+⎪≥-⎪⎩的“相依方程”，求k 的取值范围； (3)若关于x 的方程322x m -=-是关于x 的不等式组121x m x m m 的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m 的取值范围．【答案】(1)①(2)9 3.k(3)35.23m 【解析】【分析】（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组611,3k 解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得131,m x m 再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：,1,2,3,4,n n n n n 再求解02,n 而n 为整数，则1,n = 可得45,33m 再解方程可得34,x m 可得134,3431m m m m 解得3,2m 从而可得答案． (1)解：①6(2)(4)23x x +-+=，整理得：515,x = 解得：3,x =②930x -=，解得：1,3x = ③230x -=，解得：3.2x =2113(2)4x x x x ->+⎧⎨--≤⎩解不等式211x x ->+可得：2,x >解不等式324x x 可得：5,x ≤所以不等式组的解集为：2 5.x根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．故答案为：①(2) 解：312121123x xx x ①②由①得：1,x >-由②得：1,x ≤所以不等式组的解集为：11,x36x k -=，63k x根据“相依方程”的含义可得：611,3k363,k 解得：9 3.k(3)解：121x m x m m ①②由①得：1,x m由②得：31,x m∴不等式组的解集为：131,m x m此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：,1,2,3,4,n n n n n 11,4315n m nn m n∴1,3433n m n n n m 则43,313n n n n 解得：02,n 而n 为整数，则1,n = 12,4533m m 45,33m 因为322x m -=-， 解得：34,x m 根据“相依方程”的含义可得：134,3431m m m m 解134m m 可得：3,2m而3431m m 恒成立，所以不等式组的解集为：3,2m综上：35.23m 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键．4．【提出问题】已知2x y -=，且1x >，0y <，试确定x y +的取值范围．【分析问题】先根据已知条件用y 去表示x ，然后根据题中已知x 的取值范围，构建y 的不等式，从而确定y 的取值范围，同理再确定x 的取值范围，最后利用不等式的性质即可解决问题．【解决问题】解：2x y -=，2x y ∴=+．1x >，21y ∴+>，1y ∴>-．0y <，10y ∴-<<，①同理，得12x <<．②由+①②，得1102y x -+<+<+，x y ∴+的取值范围是02x y <+<．【尝试应用】（1）已知3x y -=-，且1x <-，1y >，求x y +的取值范围；（2）已知1y >，1x <-，若x y a -=成立，求x y +的取值范围(结果用含a 的式子表示)．【答案】（1）11x y -<+<；（2）当2a <-时，22a x y a +<+<--【解析】【分析】（1）仿照例子，运算求解即可；（2）仿照例子，注意确定不等式有解集时a 的取值范围即当2a <-时，关于x 、y 的不等式存在解集，然后运算求解即可．【详解】（1）解：∵3x y -=-，∴3x y =-，∵1x <-，∴31y -<-，∴2y <，∵1y >，∴12y <<，①同理，得21x -<<-，②由①+②，得2112x y -+<+<-+，∴x y +的取值范围是11x y -<+<．（2）解：∵x y a -=，∴x y a =+，∵1x <-，∴1y a +<-，∴1y a <--，∵1y >，∴当2a <-时，11y a <<--，①同理，得11a x +<<-，②由①+②，得22a x y a +<+<--，∴x y +的取值范围是22a x y a +<+<--．【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式．能够仿照例子结合不等式的基本性质作答是解题的关键．。
不等式的解法高中数学
不等式的解法高中数学高中数学：不等式与不等式组的解法1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a<0时，其解集为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集为R，当a=0，b≥0时，其解集为空集。
例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其解集为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△<0，其解集为R②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a<1时，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.例3：解不等式组m2+4m-5>0(1)m2+4m-12<0(2)解：由①得m<-5或m>1由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)∪(1，2)4.分式不等式的解法任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后讨论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).故原不等式的解集为(-1，43).5.含有绝对值不等式的解法去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。
七年级数学第9章不等式与不等式组(整章知识详解)
X>-3
2、不等式组
X<2 X<5
的非负整数解是__0_,1____
方法：先求不等式(组)的解集，再确定整数解问题
七年级数学第9章不等式与不等式组
考点三:不等式（组）的特殊解
3.(烟台)不等式4－3x≥2x－6的非负整数
解是___0_,1__,2.
x 3≥0,
4.
（苏州）不等式组
x
2
考点四：求字母的取值范围
1. 如- -果- -不- - 等- - -式- -xxm5 有解，那么m的取值范围是
_m__<_5___.若 无解 ， 则m的 取值 范 围是_m__≥_5___.
2.如
果
不
等
式
组xx
m m
1的 2
解
集
是x
-
1，
则m的 取 值 范 围 是______.
.
不等式组的解集是x>m+2，有因解集是x>-1
所以 m+2= -1，即 m = -3
（较小）
(1)若不等式组
xm1 （较大无） 解，则
x 2 m 1
m的取值范围为___m_____3_______
2m 2 m 1
(2)若不等式组
xБайду номын сангаас（1 较小的）解集为x>3，
x3 （较大）
3
的所有整数
解有（ B ）个
A、2
．
B、3
C、4
D、5
方法:先求不等式(组)的解集，再确定整数解的问题
（2 x-6）<3-x
①
求不等式组
不等式的解法
2 x 10 0 2 解这个不等式组，得 x 3 x 4 2 x 10
3 1 不 等 式 中 所 含 的 以为 底 的 对 数 函 数 是 减 数 函， 3 2 x 3x 4 0 原 不 等 式 可 化 为
x | x 1或x 4 x | x 5 x | 2 x 7 x | 2 x 1或4 x 7
2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法.
-c≤ax+b≤c (1)|ax+b|≤c⇔____________.
-c (2)|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤ __________________.
2.|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：
1.移项,通分把不等式的左边化为0. 2.由积商同号,把分式不等式转化为整式不 等式. 3.若分母大于0可直接去分母. f ( x) 0( 0) f ( x) g ( x) 0( 0) g ( x) f ( x) 0( 0) f ( x) g ( x) 0( 0)且g(x) 0 g ( x)
x | 2 x 1或4 x 7 所以原不等式的解集为
例3.解 不 等 式 4 x
3 2 x1 16 0
解：原不等式可以化为
(2 x )2 6 2 x 16 0
分解因式得 (2 8)(2 2) 0
x x
∵ ∴
2 220
x
∴ 解这个不等式，得 x
类型 一简单绝对值不等式的解法
1 答案： ［2,6］ 1.不等式 | x－2 | 1的解集是_____. 2
初中数学中的不等式与解法
初中数学中的不等式与解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，其使用范围广泛，并且在解决实际问题中起着重要作用。
本文将介绍初中数学中的不等式及其解法。
一、不等式的基本概念不等式是描述两个数之间大小关系的数学表达式。
常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
例如，对于两个数x和y，我们可以表示不等式x>y，表示x大于y。
二、不等式的解集表示方法不等式的解是使不等式成立的所有实数的集合。
解集可以用数轴上的图示或集合的形式表示。
例如，对于不等式3x+1>7，我们可以通过求解得到解集{x|x>2}，表示一切大于2的实数。
三、一元一次不等式的求解一元一次不等式是形如ax+b>0（或≥0、<0、≤0）的不等式，其中a 和b为已知实数。
解一元一次不等式的基本步骤如下：1. 化简不等式，使其形式为ax>c（或≥c、<c、≤c）；2. 根据a的正负情况，分析不等式解集的情况；a) 当a>0时，解集为x>c/a（或≥c/a、<c/a、≤c/a）；b) 当a<0时，解集为x<c/a（或≤c/a、>c/a、≥c/a）。
四、一元二次不等式的求解一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或≥0、<0、≤0）的不等式，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。
解一元二次不等式的步骤如下：1. 将不等式化简为二次函数的形式；2. 找到二次函数的顶点（极值点）；3. 根据二次函数的凹凸性质，判断不等式的解集情况；a) 当a>0时，解集为x在顶点两侧的区域；b) 当a<0时，解集为x在顶点两侧和顶点上的区域。
五、不等式的加减乘除性质不等式具有一些特有的性质，使得我们可以利用这些性质快速求解不等式。
主要的加减乘除性质如下：1. 加减性质：若a>b，则a+c>b+c，其中c为任意实数；2. 乘除性质：若a>b且c>0，则ac>bc，若a>b且c<0，则ac<bc。
不 等 式 组(二)
2、关于x的不等式组 求k的取值范围.
解：
2x – 1 ——— ＞ x-1 3 1 x – 3k ＜0 —
2
① ②
的解集为x＜2,
不等式①得解集是：x＜2
不等式②得解集是：x＜6k ∵不等式组的解集是x＜2 ∴6k≥2
1 ∴ k≥— 3
3、若a、b、c是△ABC的三条边，且a、b满足关 系式∣a - 3∣+ (b - 4)²= 0，c是不等式组 x–1 ——＞x – 4 ① 的最大整数解,求△ABC的三条边 3 6x+1 2x+3＜—— ② 的长。 2
2(x - 3) ≤x – 8 ②
m 3m – 解： 关于x的方程 x+2 = — 的解是： x = ——4 — 3 2 2
∵不等式①的解集是：x＜4 不等式②的解集是：x≤ - 2 ∴不等式组的解集是：x≤ - 2 ∴ 3m – 4 ≤ - 2 ——
2
解得：m≤0 答：m的取值范围是m≤0
例4、关于x的不等式组 2x<3(x - 3) +1 3x+2>4(x+a) 解，求a的取值范围。
① ②
2x+8 例2、已知不等式组： 2x - 1＜——
3
①
3(x+1) x-1 2+ ——— ＞3 - ——
8 4
②
⑴求此不等式组的整数解； ⑵若上述整数解满足方程mx+6=x- 2m,求m的值； ⑶求式子m²¹ - —— 的值. º¹
m²¹ ºº
11 7 解： ⑴不等式①的解集：x＜— 不等式②的解集：x＞— 4 5 7 11 ∴不等式组的解集是：—＜x＜— 5 4
解： ∵ 不等式①的解集是：x > 8
不等式与不等式组的解法
不等式与不等式组的解法不等式是数学中常见的一种表示方法，用于比较两个数值的大小关系。
解决不等式问题的关键是确定不等式的解集，即使不等式成立的所有实数值。
一、一元一次不等式的解法：一元一次不等式指的是只含有一个变量的不等式，且变量的最高次数为一次。
解决一元一次不等式的问题主要有以下两种方法：1. 图解法：通过将一元一次不等式转化为图形，可以直观地判断不等式的解集。
以不等式2x - 3 < 5为例，可以将其转化为2x < 8，即x < 4。
在数轴上标出x = 4，由于左侧为不等式解集，在4的左边全部为解集，即(-∞, 4)。
2. 代入法：对于一元一次不等式，可以通过代入数值来验证不等式的解集。
以不等式3 - 2x ≥ 7为例，可以将x = 2代入不等式，得到3 - 2(2) = -1。
由于-1≥7不成立，说明x = 2不是不等式的解。
继续将x = 3代入不等式，得到3 - 2(3) = -3。
由于-3≥7不成立，说明x = 3也不是不等式的解。
继续将x = 4代入不等式，得到3 - 2(4) = -5。
由于-5≥7不成立，说明x = 4同样不是不等式的解。
因此，不等式的解集为(-∞, 2)。
二、一元二次不等式的解法：一元二次不等式指的是含有一个变量的二次方项的不等式。
解决一元二次不等式的问题需要利用二次曲线的几何性质或变形后进行求解。
1. 分析法：对于一元二次不等式，可以通过对二次方程的根和导数进行分析，确定不等式的解集。
以不等式x^2 - 3x - 4 > 0为例，首先求出二次方程x^2 - 3x - 4 = 0的根x1 = -1和x2 = 4。
通过观察可知，当x位于这两个根之间时，不等式的解集为x∈(-1, 4)。
2. 图解法：通过将一元二次不等式转化为图形，可以直观地判断不等式的解集。
以不等式x^2 - 4x + 3 > 0为例，可以将其转化为(x - 1)(x - 3) > 0。
不等式(组)的概念、性质及解法
不等式的概念1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：252,314,10,10,0,35a x a x a a-<-+>-++≤+>≥≠等都是不等式．2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”。
【例1】用不等式表示数量的不等关系．（1）a是正数（2）a是非负数（3）a的相反数不大于1（4）x与y的差是负数（5）m的4倍不小于8（6）q的相反数与q的一半的差不是正数（7）x的3倍不大于x的1 3（8）a不比0大【巩固】用不等式表示：⑴x的15与6的差大于2；⑵y的23与4的和小于x；⑶a的3倍与b的12的差是非负数；⑷x与5的和的30%不大于2-．【巩固】用不等式表示：不等式（组）的概念、性质及解法知识讲解⑴a 是非负数； ⑵y 的3倍小于2； ⑶x 与1的和大于0；⑷x 与4的和大于1不等式基本性质基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥-基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a b c c >) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c<) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >．不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．【例2】 ⑴如果a b >，则2a a b >+，是根据；⑵如果a b >，则33a b >，是根据； ⑶如果a b >，则a b -<-，是根据； ⑷如果1a >，则2a a >，是根据； ⑸如果1a <-，则2a a >-，是根据．【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴若a b <，则2a _______2b ；⑵若a b >，则4a -______4b -； ⑶若362x ->，则x ______4-；⑷若a b >，0c >，则ac ______bc ；⑸若0x <，0y >，0z <，则()x y z -_______0．【巩固】若a b <，用“>”或“<”填空⑴2_____2a b ++；⑵2_____2a b -- ⑶11______33a b ；⑷____a b --【巩固】若a b <，则下列各式中不正确的是（）A.88a b -<+B.1188a b < C. 1212a b -<- D.22a b -<-【例3】 已知a b >，要使bm am -<-成立，则m 必须满足( )A ．0m >B ．0m =C ．0m <D ．m 为任意数【巩固】如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是（）A.0a >B.0a <C.1a >-D.1a <-【巩固】若0a b <<，则下列不等式成立的是( )A ．11a b< B ．2ab b < C ．2a ab > D ．||||a b < 【巩固】如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立( )A ．a b ->-B ．11a b< C ．2a b b +> D ．2a ab > 【巩固】如果2x >，那么下列四个式子中：①22x x >②2xy y >③2x x >④112x <正确的式子的个数共有 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【巩固】根据a b >，则下面哪个不等式不一定成立( )A ．22a c b c +>+B ．22a c b c ->-C ．22ac bc >D ．2211a bc c >++不等式的解集1.不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．2.不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解． 不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．在数轴上表示不等式的解集(示意图)：【例4】 下列说法中错误的是（）A.不等式28x -<的解集是4x >-；B.40-是不等式28x <-的一个解C.不等式6x <的正整数解有无数多个D.不等式6x <整数解有无限个【例5】 在数轴上表示下列不等式的解集：⑴1x <；⑵2x ≥-；⑶2x <-或1x ≥；⑷21x -≤<不等式的解集在数轴上表示的示意图不等式的解集在数轴上表示的示意图x a >x a ≥x a <x a ≤xa xa xa a x【巩固】在12-、1-、2-、0、3-、12、32-中，能使不等式32x +<成立的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【巩固】下列不等式：①76->-；②a a >-；③1a a +>；④0a >；⑤210a +>，其中一定成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个一元一次不等式的解法1.一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b <或ax b >的形式，其中x 是未知数，,a b 是已知数，并且0a ≠，这样的不等式叫一元一次不等式．ax b <或ax b >(0a ≠)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b <或ax b >形式)→系数化一(化成b x a >或bx a<的形式)【例6】 求不等式3(1)5182x x x +-+>-的解集．【巩固】解不等式：5192311236x x x +--+≤【巩固】解不等式2110155364x x x ++--≥，并把它的解集在数轴上表示出来．【巩固】解不等式2(1)34(1)5x x x+->++【巩固】当x为何值时，代数式2113x+-的值不小于354x+的值？【例7】求不等式4512x-＜1的正整数解．【巩固】不等式132x x+>的负整数解是_______．【巩固】不等式111326y y y+---≥的正整数解为__________．【巩固】求不等式12123x x+-≥的非负整数解．一元一次不等式组的解法1.一元一次不等式组和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集2.解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集 注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点； ②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解 3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：不等式组（a b <）图示 解集 口诀x ax b ≥⎧⎨≥⎩x b ≥ 同大取大x ax b ≤⎧⎨≤⎩x a ≤同小取小x ab b ≥⎧⎨≤⎩a xb ≤≤ 大小，小大中间找x ax b ≤⎧⎨≥⎩空集 小小，大大找不到【例8】 解不等式组31422x x x ->-⎧⎨<+⎩，并把它的解集表示在数轴上．【巩固】求不等式组2(2)43251x x x x -≤-⎧⎨--⎩＜①②的整数解．【例9】 解不等式：32122x--<≤；ba a ba ba b【巩固】解不等式：23121 42xx-≤≤+【例10】解不等式组：11141010372xx xxx⎧-+>+⎪⎪--⎨⎪+>+⎪⎩；【巩固】解不等式组：323(1)12123x xx xx +≥--⎧⎪-+⎨->-⎪⎩【例11】解不等式组：2(20)203(34)25 21623x x x x x-+≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩【巩固】解不等式组：73434 2555(4)2(4) 3x xx x x-+⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+-≤-⎪⎩【例12】 解不等式组()121123621[41]43x x x x x x x --+⎧->-⎪⎪⎨⎪---⎪⎩①≥②。
不等式的解法和应用
不等式的解法和应用不等式是数学中常用的一种描述两个数或者两个算式大小关系的工具。
解决不等式问题需要掌握一些基本的解法和技巧，并能够应用于实际问题中。
本文将介绍不等式的解法和应用。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似。
例如要解不等式3x + 5 > 10，可以按照以下步骤进行：1. 首先将不等式转化为等价的方程。
将不等式中的大于号改为等号，得到：3x + 5 = 10。
2. 解方程，得到x = 5/3。
3. 最后根据不等式的性质，确定解集。
由于原不等式中不等号是大于号，所以解集为x > 5/3。
二、一元一次不等式组的解法一元一次不等式组是由多个一元一次不等式组成的方程组。
解决一元一次不等式组的关键是找到所有不等式的交集，也就是满足所有不等式的解。
例如解决以下一元一次不等式组：2x + 7 > 53x - 4 < 101. 首先解决每个不等式，得到：x > -1x < 42. 然后求出交集，即满足所有不等式的解。
由于x既要大于-1又要小于4，所以解集为-1 < x < 4。
三、二元一次不等式的解法二元一次不等式可以由两个变量表示，常用的方法是绘制平面图形。
例如解决以下二元一次不等式：2x + 3y ≤ 10x - y > 11. 首先将不等式转化为等式，得到：2x + 3y = 10x - y = 12. 然后绘制平面图形。
以x轴表示x变量，y轴表示y变量，绘制两个方程的直线。
3. 接下来根据不等式的符号绘制阴影部分。
对于第一个不等式2x + 3y ≤ 10，只需要将直线上方的区域进行阴影处理。
对于第二个不等式x - y > 1，需要将直线下方的区域进行阴影处理。
4. 最后求出交集部分，即满足所有不等式的解。
根据图形，确定交集部分，得到最终的解集。
四、不等式在实际问题中的应用举例不等式在解决实际问题中起到了重要的作用，下面以两个例子来说明。
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即原不等式组的解集为 空 集,无解.
大大 , 小小解没了.
小结一
• 一元一次不等式组解集口诀歌:
•大大取大大,小小取小小; •大小 , 小大中间找; •大大 , 小小解没了.
课堂练习一（学习卷）
利用数轴说出不等式组的解集
．．
x ＜-2
Hale Waihona Puke 无解．1 ＜X
．．
-2 ＜X ＜1
2. 写出下列不等式组的解集：
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
•
即原不等式组的解集为 x＞3
课堂练习二(学习卷)
• 解下列不等式组:
2 x 3 5 •⑴ 3x 2 4
无解 -4 ≤X ＜4
x 2 1.5 x ⑵ 5 x 2 6 x 1
7 x 2 3x 2 x 1 2 3 x 5 3x 1 2
X ＜-0.6
x 4 3 x 2 • ⑶ 1 2 x 1 x 3
1 ＜X ＜4
⑷
作业:
• 教材141页2题
•
x 2 ⑴ x 1
⑵
x 1 x 2
• ⑶
x 1 x 2
⑷ x 2
x. 0 x 1
• 例1. 解不等式组 • 3X＋1≥5－X ① • 2(3X＋1)－12≤4(X－1) ② • 解: 解不等式①得 3X＋X≥5－1 即X≥1 • 解不等式②得 6X＋2－12≤4X－4 • 2 X ≤6 • X≤3 • 把不等式① ②的解集在数轴上表示出来 • •
一元一次不等式组
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不等式的基本性质
• 1、不等式两边同时加上（或减去）同一
个数(或式子)，不等号的方向不变。 • 2、不等式的两边同乘以(或除以)同一个 正数，不等号的方向不变。 • 3、不等式的两边同乘以(或除以)同一个负 数，不等号的方向改变。
解不等式的基本步骤
• 1、去分母 （不等式的性质二） • 2、去括号 （乘法分配律） • 3、移项 （不等式的性质一） • 4、合并同类项 (整式加减性质) • 5、化系数为1 （不等式性质二，三）
探究１
•
现有两根长度分别为３cm和10cm 的木条，若要再找一根木条与这两根木条 一起钉成一个三角形木框，则第三根木条 的长度L应满足什么条件？ L＞10－3 L＜10＋3
• •
概括：
• 1. 把两个一元一次不等式组合在一起就组
成了一个一元一次不等式组.
• 2. 不等式组中各不等式解集的公共部分叫
即原不等式组的解集为X＜1
小小 取 小小
操作三
•
将不等式组 X≥-4 的解集在数轴上表 示出来. X≤6
•
•
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
即原不等式组的解集为 -4≤X≤6
大小 , 小大中间找
操作四
•
将不等式组 表示出来. X≤-1 的解集在数轴上 X＞ 2
•
•
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
•
即原不等式组的解集为 1≤X≤3
• 例2. 解不等式组 • 4 x 3 3 2 x 1 • 3 1 x 1 5 x • 2 2 • 解: 解不等式①得 x＞－3 • 解不等式②得 x＞3
① ②
把不等式① ②的解集在数轴上表示出来
不等式组的解集.
• 3. 求不等式组解集的过程叫解不等式组.
操作一
• 将不等式组 X＞1的解集在数轴上表示出 •
来.
X＞ 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
•
•
即原不等式组的解集为X＞3
大大取 大大
操作二
将不等式组 表示出来. X＜5 的解集在数轴上 X＜ 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8